Introdução ao Cálculo Diferencial - Limites

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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de M003 - Cálculo I 
 
2o Período 
 
 
 
Capítulo 1 
 
2o Semestre de 2018 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 2 
Capítulo 1 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL - LIMITES 
 
1.1. Introdução 
 
O universo do cálculo diferencial e integral traz as respostas para três grupos de 
questões básicas: 
 
1) Como uma função se comporta em torno de um ponto, no qual a mesma não é 
definida? Qual é o comportamento inicial de um circuito quando o mesmo é 
alimentado? Como se comporta um circuito para freqüências muito baixas ou muito 
elevadas? 
 
2) Como identificar se uma função está aumentando ou diminuindo? Qual é o seu valor 
máximo? Qual é o seu valor mínimo? Como determinar a taxa de variação de uma 
função? Como obter a equação da reta tangente a uma curva em um ponto? 
 
3) Como calcular áreas delimitadas por curvas? Qual é o valor médio de uma função 
contínua dentro de um intervalo? Como calcular probabilidades de variáveis aleatórias 
contínuas? Como analisar o conteúdo de freqüências de um sinal contínuo no tempo? 
 
O primeiro grupo de questões nos leva ao estudo de limites, o segundo grupo nos leva 
ao estudo de derivadas e o terceiro grupo nos leva ao estudo de integrais. Limites, 
derivadas e integrais são ferramentas matemáticas básicas que serão úteis e necessárias 
ao longo do curso de Engenharia. Iniciaremos agora o estudo de limites. 
 
1.2. Limite de funções 
 
É de interesse do cálculo saber o valor )(xf de uma função f para valores de x nas 
vizinhanças de um valor 0x , mas não necessariamente para 0x , mesmo porque, em 
muitos casos o valor fDx ∉0 . Isto é, para 0xx = a função não é definida. 
 
Exemplo 01: Analisemos o comportamento de 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf em torno do ponto 1=x . 
Sabemos que fDx ∉= 1 , pois 0
0)1( =f é uma expressão indeterminada. Vamos então 
construir uma tabela de valores para esta função: 
 
x
 2− 1− 0 0,9 0,99 0,999 
)(xf 
 
 
x
 3 2 1 1,1 1,01 1,001 
)(xf 
 
Observamos que a função se aproxima do valor 2 à medida que x se aproxima do valor 
1, tanto por valores menores do que 1, quanto por valores maiores do que 1. Quando 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 3 
isto ocorre, dizemos então que o limite da função 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf é igual a 2 quando x 
tende a 1, e escrevemos: 
 
2
1
1lim
2
1
=





−
−
→ x
x
x
 
 
Não devemos confundir o limite da função quando 1→x com o valor da função para 
1=x , pois como já vimos, )1(f não existe. A notação 1→x indica que x se aproxima 
do valor 1, mantendo-se diferente de 1. Quando isto ocorre, a função )(xf se 
aproxima do valor 2, mantendo-se diferente de 2. Por esta razão, é válido calcular o 
limite de uma função equivalente à função dada, utilizando como ferramenta a 
fatoração. Assim: 
 
2)1(lim)1(
)1)(1(lim
1
1lim
11
2
1
=+=
−
−+
=





−
−
→→→
x
x
xx
x
x
xxx
 
 
Não podemos dizer que 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf e 1)( += xxg representam a mesma função, pois 
seus domínios são diferentes. Todavia, podemos afirmar que são funções equivalentes, 
o que significa que seus limites retornam os mesmos valores. 
 
Exemplo 02: Tome como referência a tabela construída no exemplo 01 e esboce o 
gráfico da função 
1
1)(
2
−
−
=
x
x
xf . Qual é a diferença entre o gráfico desta função e o 
gráfico da função 1)( += xxg ? 
 
 
De modo geral, se Lxf →)( quando 0xx → , escrevemos Lxf
xx
=
→
)(lim
0
. 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 4 
Exemplo 03: Analise o comportamento de 
63
2)(
23
−
−
=
x
xx
xf quando x se aproxima de 
2. 
 
Exemplo 04: Calcule: 
 
a) 
11
lim
0
−+→ x
x
x
 
b) 
2
8lim
3
2
−
−
→ x
x
x
 
c) 13lim
5
+
→
x
x
 
d) 
2
2lim
2 +
−
→ x
x
x
 
 
 
1.3. Representação gráfica e limites laterais 
 
Dado Lxf
xx
=
→
)(lim
0
, temos: 
 
 
Se 0xx → por valores menores que 0x , dizemos que x tende a 0x pela esquerda e 
escrevemos 
−→ 0xx . Este é o limite lateral esquerdo. Se 0xx → por valores maiores 
que 0x , dizemos que x tende a 0x pela direita e escrevemos 
+→ 0xx . Este é o limite 
lateral direito. 
 
O limite de uma função existe se, e somente se os limites laterais forem iguais, ou seja, 
 
Lxfxf
xxxx
==
+− →→
)(lim)(lim
00
, como observado no gráfico da figura anterior. 
Para o gráfico da figura a seguir, 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 5 
 
 
 
observamos que 1)(lim
0
Lxf
xx
=
−→
 e 2)(lim
0
Lxf
xx
=
+→
. Como 21 LL ≠ , concluímos que 
)(lim
0
xf
xx→
 não existe. 
 
Exemplo 05: Analise o comportamento de ||)( x
x
xf = em torno do ponto 0=x . 
Esboce o gráfico desta função. 
 
Exemplo 06: Calcule os limites a seguir: 
 
a) )(lim
1
xf
x→
, em que 





+
−
=
1
4
3
)(
x
x
xf 
1
1
1
>
=
<
x
x
x
 
 
b) )(lim
3
xg
x→
, em que 



−
+
=
4
1)( 2x
x
xg 
3
3
<
≥
x
x
 
 
c) 2
4
16lim x
x
−
→
 
 
d) )(lim
2
xf
x→
, em que 





−
−
=
2
 33
4
)(
2
x
x
xf
2
20
0
>
≤≤
<
x
x
x
 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 6 
3 
-2 
1 2 3 
2 
1 
-1 
f(x) 
x 
-1 -2 -3 4 
4 
6 
-4 
1 2 3 
4 
2 
-2 
f(x) 
x 
-1 -2 -3 
4 
8 
-6 
-4 
6 
-4 
1 2 3 
4 
2 
-2 
f(x) 
x 
-1 -2 -3 4 
8 
-6 
Exemplo 07: Para o gráfico da função a seguir, determine:
 
 
a) )(lim
0
xf
x→
 
b) )(lim
1
xf
x→
 
c) )(lim
2
xf
x→
 
d) )0(f 
e) )1(f 
f) )2(f 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 08: Considere o gráfico da função f(x) representado a seguir. Determine: 
a) )(lim
1
xf
x −→
 
b) )(lim
0
xf
x→
 
c) )(lim
1
xf
x→
 
d) )(lim
2
xf
x→
 
e) )(lim
4
xf
x→
 
f) )1(−f 
g) )0(f 
h) )1(f 
i) )2(f 
j) )4(f 
 
 
Exemplo 09: Considere o gráfico da função f(x) representado a seguir. Determine: 
 
a) Domínio h) )2(−f 
b) Imagem i) )0(f 
c) )(lim
4
xf
x −→
 
j) )1(f 
d) )(lim
2
xf
x −→
 
k) )4(f 
e) )(lim
0
xf
x→
 
 
f) )(lim
1
xf
x→
 
 
g) )(lim
4
xf
x→
 
 
 
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1.4. Propriedades dos limites 
 
P1) Limite de uma constante ℜ∈k 
 
kk
xx
=
→ 0
lim 
 
P2) Limite do produto de uma constante por uma função 
 
)(lim)(lim
00
xfkxfk
xxxx →→
⋅=⋅
 
 
P3) Limite da soma ou diferença de funções 
 
[ ] )(lim)(lim)()(lim
000
xgxfxgxf
xxxxxx →→→
±=± 
 
P4) Limite do produto de funções 
 
[ ] )(lim).(lim)().(lim
000
xgxfxgxf
xxxxxx →→→
= 
 
P5) Limite do quociente de funções 
 
)(lim
)(lim
)(
)(lim
0
0
0 xg
xf
xg
xf
xx
xx
xx
→
→
→
=





 
 
P6) Limite da potência de uma função 
 
[ ] p
n
xx
p
n
xx
xfxf




=
→→
)(lim)(lim
00
 
 
P7) Limite do modulo de uma função 
 
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx →→
= 
 
P8) Limitedo logaritmo de uma função 
 
[ ]




=
→→
)(limlog)(loglim
00
xfxf
xx
aa
xx
 
 
P9) Limite de uma exponencial 
 
)(lim)( 0
0
lim
xf
xf
xx
xxaa →=
→
 
 
Diversas outras propriedades podem ser anunciadas, como exemplo, o limite do seno de 
uma função resultando no seno do limite da mesma função, o limite do cosseno de uma 
função resultando no cosseno do limite, e assim por diante. 
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Exemplo 10: Calcule os seguintes limites: 
 
a) )3(lim
0
+
→
x
x
 
b) )4(lim
4
+
−→
x
x
 
c) )102(lim
5
−
→
x
x
 
d) )23(lim 2
0
++
→
xx
x
 
e) )523(lim 2
1
−+
→
xx
x
 
f) )1(lim 23
1
−+−
−→
xxx
x
 
g) )13(lim 2345
1
+++++
−→
xxxxx
x
 
h) 





−
+
→ 5
2lim
6 x
x
x
 
i) 





−
+
−→ 1
1lim
1 x
x
x
 
j) )15(lim 23
1
+++
→
xxx
x
 
k) )cos()10(lim 2
3
xx
x
⋅−
→
pi
 
 
1.5. Teorema do confronto 
 
Considere )()()( xhxfxg ≤≤ para qualquer valor de x pertencente a um intervalo 
aberto contendo o valor a, exceto possivelmente em ax = . Se Lxhxg
axax
==
→→
)(lim)(lim , 
então Lxf
ax
=
→
)(lim . Esta análise é demonstrada no gráfico da figura a seguir. 
 
 
Exemplo 11: Esboce os gráficos das funções 
4
1)(
2
x
xg −= e 
2
1)(
2
x
xh += . Sabendo 
que )()()( xhxfxg ≤≤ 0≠∀x , determine )(lim
0
xf
x→
. 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 9 
 
 
1.6. Limite trigonométrico fundamental 
 
É o limite dado pela expressão 
x
x
x
)(senlim
0→
, cujo valor resulta em 
0
0
, considerado uma 
indeterminação do cálculo. Mas mesmo assim, este limite possui um resultado igual a 1, 
como será visto no exemplo a seguir. 
 
Exemplo 12: A figura a seguir representa o primeiro quadrante da circunferência 
trigonométrica. Prove que o limite trigonométrico fundamental é igual a 1, ou seja, 
1)(senlim
0
=
→ θ
θ
θ
. Para fazer esta demonstração, compare a área do triângulo OAT com a 
área do setor circular OAP com a área do triângulo OAP, e utilize o teorema do 
confronto. Lembre-se de que a área de um triângulo é dada pela metade do produto de 
sua base pela sua altura e que a área de um setor circular é dada pela metade do produto 
do quadrado do raio pelo ângulo (em radianos) que define este setor, ou seja, 
 
2
hbA ⋅=∆ e 2
2 θ⋅
=
rAsetor 
 
 
De forma geral, temos 
 
[ ] 1)(
)(senlim
0)(
=
→ xf
xf
xf 
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A função do limite trigonométrico fundamental é conhecida como função sample (do 
inglês, amostra), cuja notação é dada por 
x
x
x
)(sen)(Sa = , e gráfico dado pela figura a 
seguir. Esta função será bastante utilizada no estudo de Sinais e Sistemas e Sistemas de 
Comunicação. 
 
 
 
Exemplo 13: Calcule os limites a seguir: 
 
a) 
x
x
x 5
)2(senlim
0→
 
 
b) 
x
x
x
)3(tglim
0→
 
 
c) 
²
)cos(1lim
0 x
x
x
−
→
 
 
d) )(sen
)(senlim
0 bx
ax
x→
 
 
e) )2(sen
)cos()3cos(lim
0 xx
xx
x
⋅
−
→
 
 
f) )3(senlim0 x
x
x→
 
 
g) 
4²
)4²(senlim
2
−
−
→ x
x
x
 
 
h) { })]5(log[)3log(lim
0
xsenx
x
−
+→
 
 
Exemplo 14: Calcule o valor de a, sabendo que 52
cos
lim
0
=






−
→ x
ax
x
pi
 
 
 
1.7. Limites infinitos e limites no infinito 
 
Uma função )(xf possui limites infinitos quando +∞=
→
)(lim
0
xf
xx
 ou −∞=
→
)(lim
0
xf
xx
. 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 11 
 
Uma função )(xf possui limites no infinito quando Lxf
x
=
+∞→
)(lim ou Lxf
x
=
−∞→
)(lim . 
 
Exemplo 15: Para a função 
1
1)(
−
=
x
xf , pede-se: 
 
a) Domínio. 
 
b) Função inversa e imagem. 
 
c) Raízes. 
 
d) )(lim
1
xf
x −→
 
 
e) )(lim
1
xf
x +→
 
 
f) )(lim xf
x −∞→
 
 
g) )(lim xf
x +∞→
 
 
h) Esboce o gráfico de )(xf . 
 
Exemplo 16: Para a função ||
2)(
x
xf = , pede-se: 
 
a) Domínio. 
 
b) )(lim
0
xf
x −→
 
 
c) )(lim
0
xf
x +→
 
 
d) )(lim xf
x −∞→
 
 
e) )(lim xf
x +∞→
 
 
f) Esboce o gráfico de )(xf . 
 
g) Imagem. 
 
 
 
Exemplo 17: Para a função dada no gráfico a seguir, pede-se: 
 
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a) Domínio 
 
b) Imagem 
 
c) Raízes 
 
d) )(lim xf
x −∞→
 
 
e) )(lim xf
ax −→
 
 
f) )(lim xf
ax +→
 
g) )(lim xf
ax→
 
 
h) )(af 
 
i) )(lim xf
bx −→
 
 
j) )(lim xf
bx +→
 
 
k) )(lim xf
bx→
 
 
l) )(bf 
m) )(lim
0
xf
x −→
 
 
n) )(lim
0
xf
x +→
 
 
o) )(lim
0
xf
x→
 
 
p) )0(f 
 
q) )(lim xf
cx −→
 
 
r) )(lim xf
cx +→
 
 
 
s) )(lim xf
cx→
 
 
t) )(cf 
 
u) )(lim xf
ex −→
 
 
v) )(lim xf
ex +→
 
 
w) )(lim xf
ex→
 
 
x) )(ef 
 
y) )(lim xf
x +∞→
 
 
 
 
 
Exemplo 18: Calcule: 
 
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a) 
3
2lim
3 +
+
−
−→ x
x
x
 
 
b) 
5³
1lim
−
−∞→ xx
 
 
c) x
x
2lim
−∞→
 
 
d) x
x
2lim
+∞→
 
 
e) )(loglim
2
1 x
x +∞→
 
 
f) 
x
x






−∞→ 3
2lim 
 
g) )ln(lim
0
x
x +→
 
 
h) )(tglim
2
x
x
+
→
pi
 
 
Exemplo 19: Para a função 
3
42)(
+
+
=
x
x
xf , pede-se: 
 
a) Domínio. 
 
b) Função inversa e imagem. 
 
c) Raízes. 
 
d) )0(f 
 
e) )(lim
3
xf
x
−
−→
 
 
f) )(lim
3
xf
x
+
−→
 
 
g) )(lim xf
x −∞→
 
 
h) )(lim xf
x +∞→
 
 
i) Esboce o gráfico de )(xf . 
1.8. Expressões indeterminadas 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 14 
Alguns limites resultam em expressões indeterminadas. São sete as indeterminações 
encontradas no cálculo: 
 
0
0
, 
∞
∞
, 
0
∞ , 
∞1 , ∞−∞ , 00 e 0×∞ 
 
1.9. Cálculo de limites indeterminados 
 
1.9.1. Funções racionais em que ax → 
 
Sabemos que )(
)(
)(
)(lim
aD
aP
xD
xP
ax
=
→
. 
 
Exemplo 20: Determine 
3
43²lim
1 +
−+
−→ x
xx
x
. 
 
Se 0)( =aP e 0)( ≠aD , temos 0)(
0
)(
)(
)(
)(lim ===
→ aDaD
aP
xD
xP
ax
. 
 
Exemplo 21: Determine 
3
12²lim
3 +
−+
→ x
xx
x
. 
 
Se 0)( ≠aP e 0)( =aD , temos 





∃
∞−
∞+
=
→
==
→
ou 
ou 
0
)(
)(
)(
)(
)(lim
x
aP
aD
aP
xD
xP
ax
 
 
Exemplo 22: Calcule: 
 
a) 
4
43lim
4 +
−
−→ x
x
x
 
 
b) ||
1lim
0 x
x
x
−
→
 
 
Se 0)( =aP e 0)( =aD , temos 
0
0
)(
)(
)(
)(lim ==
→ aD
aP
xD
xP
ax
, que é uma expressão 
indeterminada. 
 
Neste caso ax = é raiz do numerador )(xP e é também raiz do denominador )(xD . 
Para eliminar a indeterminação e calcular o limite, basta dividir )(xP e )(xD por 
)( ax − , ou então utilizar a fatoração para simplificar o limite. 
 
 
 
 
Exemplo 23: Calcule: 
 
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a) 
86²
12²lim
4 +−
−−
→ xx
xx
x
 
 
b) 
4²3³
128²³lim
2
−+
−−+
−→ xx
xxx
x
 
 
1.9.2. Funções com radicais em que ax → 
 
Neste caso, recorremos à racionalização ou à mudança de variáveis. 
 
Exemplo 24: Calcule: 
 
a) 
5
25lim
25
−
−
→ x
x
x
 
 
b) 
413
3lim
3
−+
−
→ x
x
x
 
 
c) 
6
6lim
33
6
−
−
→ x
x
x
 
 
d) 
8
4lim
3
64
−
−
→ x
x
x
 
 
e) 
8
37lim 32
−
−+
→ x
x
x
 
 
1.9.3. Funções racionais em que ±∞→x 
 
Se )(xP é um polinômio, o limite )(lim xP
x ±∞→
 sofre influência maior do termo de mais 
alto grau de )(xP . Por exemplo, supondo o polinômio 64²2³)( −+−= xxxxP . Vamos 
calcular o seu resultado para um valor elevado de x, por exemplo, 2010=x . Teremos: 
 
610410210)10( 20406020 −×+×−=P 
 
É certo que os valores 40102× e 20104× são elevados, entretanto, ao compará-los com 
o valor 6010 obtido do termo de maior grau de )(xP , estes valores podem ser 
desprezados. Assim, podemos anunciar a seguinte propriedade: 
 
Para limites de funções envolvendo polinômios e uma tendência ±∞→x , avaliamos o 
resultado do limite tomando o termo de maior grau dos polinômios envolvidos. 
 
Exemplo 25: −∞==−+−
−∞→−∞→
³lim64²2³lim xxxx
xx
. 
 
Exemplo 26: Calcule: 
 
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Curso de Cálculo I – Capítulo 1 16 
a) 
56²³2
²4lim
−+−
−
−∞→ xxx
xx
x
 
 
b) 
34
25lim
+
−
∞→ x
x
x
 
 
c) 
9
6²2lim
−
+−
∞→ x
x
x
 
 
1.9.4. Funções com radicais em que ±∞→x 
 
Quando existir no limite uma divisão de duas funções envolvendo radicais, coloca-se 
em evidência o termo de maior grau do radicando. Quando existir no limite apenas uma 
diferença de radicais de mesmo índice, deve-se utilizar a racionalização. 
 
Exemplo 27: Calcule: 
 
a) 
2²3
2²3lim
4
−
−+
+∞→ x
xx
x
 
 
b) 
4
²9lim
+
−
−∞→ x
xx
x
 
 
c) 
4
²9lim
+
−
+∞→ x
xx
x
 
 
d) 
xxx
xxx
x
−−
+−+
−∞→ ²94
32²6lim 
 
e) 
242
342
9
5lim
xxx
xxxx
x
−−
−++
−∞→
 
 
f) 4423lim 22 −+−−+
−∞→
xxxx
x
 
 
g) 4423lim 22 −+−−+
+∞→
xxxx
x
 
 
 
1.10. Funções exponenciais e limite exponencial fundamental 
 
Para limites envolvendo funções exponenciais, utilizamos a propriedade vista 
anteriormente: 
)(lim)( 0
0
lim
xf
xf
xx
xxaa →=
→
. 
 
O limite exponencial fundamental é dado pela expressão 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 17 
a
xf
xf xf
a
e)(1lim
)(
)(
=





+
±∞→
 
 
A demonstração do limite exponencial fundamental será dada posteriormente, no 
capítulo de aplicações de derivadas. 
 
Exemplo 28: Calcule: 
 
a) x
x
x
1
0
2lim
−
→ −
 
 
b) 2
2
3lim −
→ −
x
x
x
 
 
c) 4²
2²3
4lim −
−
∞→
x
x
x
 
 
d) 32²
6²
3
2lim −+
−+
−→
xx
xx
x
 
 
e) 
x
x x 



−
−∞→
31lim 
 
f) ( )x
x
x
1
0
1lim +
→
 
 
g) 
x
x x
321lim 



+
→∞
 
 
h) 
x
x x
2
3
15lim 



−
−∞→
 
 
i) 241lnlim
x
x x



+
→∞
 
 
j) 
x
x
x 4
)1ln(lim
0
+
−→
 
 
k) 5
6
41lnlim
x
x x






+
∞→
 
 
 
 
1.11. Continuidade 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 18 
Uma função )(xfy = é contínua em um ponto ax = do seu domínio se, e somente se 
 
)()(lim afxf
ax
=
→
 
Exemplo 29: Determine os intervalos de x nos quais a função 
34²
1)(
+−
+
=
xx
x
xf é 
contínua. 
 
Exemplo 30: Verifique se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. 
 
a) 


 −
=
²2
67)(
x
x
xf
2 
2 
≥
<
xse
xse
 no ponto 2=x . 
 
b) 







−>+
−=
−<
+
++
=
1 43
1 1
1 
1
23²
)(
xsex
xse
xse
x
xx
xf no ponto 1−=x . 
 
c) 









=
−−
−
>
−
−
−
<
−
−+
=
2
2
3
2
8
3
4
1
2
2
22
)(
3
2
32
xse
xx
x
xse
xx
xse
x
x
xf no ponto 2=x . 
 
d) 









−=
−>
+
+
−<
+
++
=
12
1
1
1
1
1
34
)(
5
3
2
tse
tse
t
t
tse
t
tt
tf no ponto 1−=t . 
 
e) 









=





+
−
>





++−
−
+−
<





−−+
+−
=
2
8
3
2)24)(2(
3
)2)(2(
1
2
842
65
)(
3
2
23
2
xse
x
x
xse
xxxxx
xse
xxx
xx
xf no ponto 2=x . 
 
 
RESPOSTAS DOS EXEMPLOS 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 19 
 
01) 
 
x
 2− 1− 0 0,9 0,99 0,999 
)(xf -1 0 1 1,9 1,99 1,999 
 
x
 3 2 1 1,1 1,01 1,001 
)(xf 4 3 Não existe 2,1 2,01 2,001 
 
02) 
 
 
 
03) 
3
4)(lim
2
=
→
xf
x
 
 
04) 
 
a) 2 b) 12 c) 4 d) 0 
 
05) ∃/
→
 )(lim
0
xf
x
 
 
06) 
 
a) 2 b) ∃/ c) ∃/ d) ∃/ 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 20 
 
07) 
 
a) 2− b) 0 c) ∃/ d) 0 e) 2 f) ∃/ 
 
08) 
 
a) 0 b) ∃/ c) 0 d) ∃/ e) 4 
f) ∃/ g) 4− h) 0 i) 6 j) 0 
 
09) 
 
a) }4,4{−−ℜ b) ] ]8,∞− c) 0 d) ∃/ e) 2 f) 2− 
g) 8 h) 0 i) 2 j) 0 k) ∃/ 
 
10) 
 
a) 3 b) 0 c) 0 d) 2 e) 0 f) 4− 
g) 2− h) 8 i) 0 j) 8 k) 5
18
2
−
pi
 
 
11) 1 )(lim
0
=
→
xf
x
 
 
 
12) Demonstração feita em sala de aula. 
 
13) 
 
a) 
5
2
 b) 3 c) 
2
1
 d) 
b
a
 
e) 2− f) 
3
1
 g) 1 h) 





5
3log 
14) 5=a 
 
 
15) 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 21 
 
a) }1{−ℜ=D 
b) 
x
x
xf +=− 1)(1 
 }0{Im −ℜ= 
c) ∃/ raízes 
d) ∞− 
e) ∞+ 
f) 0 
g) 0 
 
 
16) 
 
 
a) *ℜ=D 
b) ∞+ 
c) ∞+ ∃/ raízes 
d) 0 
e) 0 
g) *Im +ℜ= 
 
 
17) 
 
a) }0,{aD −ℜ= b) ℜ=Im c) dc, d) f e) ∞+ 
f) ∞+ g) ∞+ h) ∃/ i) 0 j) 0 
k) 0 l) g m) ∞− n) ∞+ o) ∃/ 
p) ∃/ q) 0 r) f s) ∃/t) 0 
u) ∞− v) ∞− w) ∞− x) f y) g 
 
18) 
 
a) ∞+ b) 0 c) 0 d) ∞+ 
e) ∞− f) ∞+ g) ∞− h) ∞− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 22 
 
a) }3{−−ℜ=D 
b) 
x
x
xf
−
−
=
−
2
43)(1 
 }2{Im −ℜ= 
c) 2− 
d) 
3
4
 
e) ∞+ 
f) ∞− 
g) 2 
h) 2 
 
20) 3− 
 
21) 0 
 
22) a) ∃/ b) ∞− 
 
23) a) 
2
7
 b) 
3
5
 
 
24) 
 
a) 10 b) 8 c) 
18
63
 d) 
3
1
 e) 
72
1
 
 
26) 
 
a) 0 b) 
4
5
 c) ∞− 
 
27) 
 
a) 
3
1
 b) 3− c) 3 d) 
7
5
 
e) 1− f) 
2
1
 g) 
2
1
− 
 
28) 
 
a) ∞+ b) 0 c) 64 d) 4 22 
e) 3e− f) e g) 6e h) 0 
i) 2 j) 
4
1
 k) 
15
2
 
29) A função f(x) é contínua 1≠∀x e 3≠x . 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – Capítulo 1 23 
30) 
 
a) 8)(lim
2
=
−→
xf
x
 8)(lim
2
=
+→
xf
x
 8)2( =f )(xf é contínua para .2=x 
 
b) 1)(lim
1
=
−
−→
xf
x
 1)(lim
1
=
+
−→
xf
x
 1)1( =−f )(xf é contínua para .1−=x 
 
c) 
4
1)(lim
2
=
−→
xf
x
 
16
1)(lim
2
−=
+→
xf
x
 
4
1)2( =f )(xf não é contínua para .2=x 
 
d) 2)(lim
1
=
−
−→
tf
x
 
3
5)(lim
1
=
+
−→
tf
x
 2)1( =−f )(tf não é contínua para .1−=t 
 
e) 
16
1)(lim
2
−=
−→
xf
x
 
16
1)(lim
2
−=
+→
xf
x
 
16
1)2( −=f )(xf é contínua para .2=x