Aula 1 - Teoria dos Conjuntos Fuzzy

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MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS
Profº. Douglas Pinheiro
Nome do Professor
Apresentação
Coordenador de Suprimentos na Gás Natural Açu S.A;
Modelagem e Simulação de Sistemas
Douglas de Oliveira Pinheiro
pinheiro.douglas@estacio.br linkedin.com/in/douglas-pinheiro-3bba4a34 (21) 99298-8523
douglaso.pinheiro
Professor de graduação da UNESA e CEFET;
Engenheiro de Suprimentos na IESA Óleo e Gás S.A;
Micromaster em Supply Chain Management pelo MIT; MBA em Gestão Logística e Supply Chain pela FGV; Especialização em Engenharia de Suprimentos pela UCAM; Bacharel em Engenharia de Produção pela UCAM; Tecnólogo em Petróleo & Gás pela UNESA;
Modelagem e Simulação de Sistemas	Professor: Douglas Pinheiro	Email: douglaso.pinheiro@gmail.com
Orientações Gerais
Calendário e Pontualidade: 08/02/19 a 05/07/2019 (Sextas - Feira) das 18:50 as 22:00
Preparação Prévia: É fundamental para o bom aproveitamento das aulas e para o cumprimento da proposta pedagógica centrada no participante a leitura e a preparação prévias, pelos alunos, do material (artigos, casos, etc.) que serão disponibilizados SIA.
Avaliação: Prova com peso de 70% (prova composta por questões objetivas e discursivas)
Trabalho: Trabalho com peso 30% (poderá ser realizado em sala de aula)
Participação em Sala de aula: a participação em sala de aula poderá contabilizar na nota final 0.5.
Comunicação: Por e-mail para o professor (pinheiro.douglas@estacio.br)
Tablets, Notebooks e Telefones Celulares: O seu uso só é permitido durante as aulas para propósitos pedagógicos (cálculos, consulta do material disponibilizado para a sessão, realização de anotações relativas à aula em andamento, etc.)
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Conjuntos Clássicos
Introdução
Informação, Complexidade e Incerteza
Cardinalidade, Conjunto Potencia, convexidade e relação
Operações Básicas (Inclusão, união, intersecção, complemento, igualdade diferença)
Propriedades
Conjuntos Fuzzy
Introdução
Terminologia, notação, funções de pertinências, tipos de funções de pertinências
Cardinalidade, Conjunto Potencia, convexidade, relação e intervalos de confiança
Operações Básicas (Inclusão, união, interseção, complemento, igualdade diferença)
Propriedades. Função de Agregação
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Modelagem e Simulação de Sistemas
Conteúdo Programático
Relações Fuzzy
Relações Binárias
Matrizes Fuzzy
Composições de Relações Fuzzy. Propriedades
Matrizes de incidência Fuzzy
Aplicações
Aritimética Fuzzy
Números Fuzzy Triangulares e Trapezoidais
Operação de Adição, subtração, multiplicação e divisão
Distancia entre números Fuzzy
Aplicações
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Conteúdo Programático
Lógica Fuzzy
Fuzzificação, inferência de Defuzzificação
Uso de Regras de Interferencia
Formas para Aquisição do Conhecimento
Aplicações
Redes Neurais Artificiais
Conceitos Básicos
Homens x computadores, o neurônio real, modelo de neurônio artificial
Arquitetura de redes
Representação do Conhecimento e Conceitos do Processo de Aprendizagem
Redes Neuro-Fuzzy
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Referencias Bibliográficas | Sites
Haykin, S. Redes Neurais: Princípios E Práticas. Porto Alegre RGS: Ed. Bookman,, 2001.
Lima, Isaias; Pinheiro , Carlos; Santos, Flavia. Inteligência Artificial. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. Shaw, I. S.; Simões, M. G. Controle E Modelagem Fuzzy,. São Paulo SP: Ed. Edgard Blucher,, 2001..
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Qual seta é maior?
A
B
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Percepção
Qual seta é maior?
A	B
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Qual seta é maior?
B
A
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As duas setas possuem o mesmo tamanho.
B
ADinâmica de Ilusão de Müller – Lyer
A
B
A percepção é um processo de aquisição do conhecimento de fatos particulares acerca do mundo físico, por meio de nossos sentidos (Armstrong, 1966).
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Dinâmica de Ilusão de Müller – Lyer
Consiste em dois seguimentos de reta de mesmo comprimento, porém o seguimento de aletas para fora (><) parece consideravelmente maior em relação àquela que possui aletas para dentro (<>).
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FILHO (2008, p.22) define:
“Simulação é o processo de 
projetar um modelo computacional de um sistema 
real (ou hipotético) e conduzir experimentos com este modelo com o propósito de entender seu comportamento e/ou avaliar estratégias para sua
 
operação.”
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Introdução a Simulação
(PIDD, 2000):
“O princípio básico é simples. Analistas constroem 
modelos do sistema 
de interesse, escrevem 
programas 
destes modelos e utilizam um computador para inicializar o comportamento do sistema e submetê-lo a diversas políticas
 
operacionais.”
“A melhor política deve ser selecionada”
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Segundo CHWIF. MEDINA, o que a Simulação NÃO é:
Não é uma bola de cristal;
Não é um modelo matemático;
Não é uma ferramenta estritamente de otimização;
Não substitui o pensamento inteligente;
Não é uma técnica de último recurso;
Não é uma panaceia.
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Sistema
Um sistema é um agrupamento de partes que operam juntas, visando um objetivo comum. (Forrester,
 
1968)
Sistema Composto por uma queijeira, um queijo, uma faca (e um rato).
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Sistema
Real
Sistema
Hipotético ou
imaginário
“Apesar de viável e muito comum, o processo de validação de um sistema hipotético ou imaginário é bem mais difícil. (Chwif. Medina. 2014)
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Modelo
Um modelo pode ser definido como uma representação das relações dos componentes de um sistema, sendo considerada como uma abstração, no sentido em que tende a se aproximar do verdadeiro comportamento do
 
sistema.
Sistema
Modelo = representação
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Tipos de Modelos:
Modelos Simbólicos, icônico ou
 
diagramático;
Modelos Matemáticos ou
 
Analíticos;
Modelos de
 
Simulação.
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Por que Simular?
Razões mais comuns para se experimentar com modelos:
•
O sistema real ainda não existe;
•
O sistema real é dispendioso;
•
Experimentarcom o sistema real não é apropriado.
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Por que Simular?
Validar um modelo de processo, mostrando que o comportamento do processo modelado é o mesmo do processo real.
Prever o desempenho do processo em cenários diferentes do que existe atualmente.
Identificar as variáveis do processo que efetivamente impactam o processo.
Avaliar o desempenho da visão futura de um processo redesenhado.
Revelar a integridade e viabilidade de um determinado projeto em termos Técnicos e econômicos.
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Por que Simular?
Reduzir os riscos da tomada de
 
decisão.
Identificar problemas antes mesmo de suas
 
ocorrências.
Reduzir custos com o emprego de recursos (mão-de-obra, energia, água,
 
etc).
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A metodologia da Simulação:
2Etapas do desenvolvimento de um modelo de simulação.
1Concepção ou
formulação do
modelo
Implementação do modelo
Análise dos
3resultados do
modelo
Entender claramente o sistema;
Decidir o escopo do modelo, hipóteses e nível de detalhamento.
Conversão do modelo conceitual em modelo computacional.
Realização dos experimentos ou modelo operacional.
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Introdução a Simulação
A metodologia da Simulação:
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Modelagem e Simulação de Sistemas
I – INTRODUÇÃO A TEORIA FUZZY
Nome do Professor
George Boole	Lotfi Asker Zadeh
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Modelagem e Simulação de Sistemas
Introdução
A palavra fuzzy, de origem inglesa, significa incerto, vago, impreciso, subjetivo, nebuloso, difuso, etc.
A teoria fuzzy (lógica fuzzy e teoria dos conjuntos fuzzy) foi introduzida por L. Zadeh em 1965 com o objetivo de modelar conceitos vagos ou imprecisos.
ImportanteHoje, existem aplicações da teoria fuzzy nas mais diversas áreas!
A teoria dos conjuntos fuzzy (tal como a lógica fuzzy) não é uma teoria vaga mas, sim, uma teoria para modelar conceitos vagos!
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1	2	3	4
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1	2	3	4
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Problema da Dicotomia (Borel, 1950)Apresentaremos algumas frases que talvez tenham motivado a teoria dos conjuntos fuzzy.
Uma semente não constitui uma pilha nem duas nem três ... do outro lado todo mundo vai concordar que 100 milhões de sementes constituem um pilha. Qual é, portanto, o limite apropriado? Podemos dizer que 325 647 sementes não constituem uma pilha, mas 325 648 fazem?
Einstein, 1928:Além do problema da dicotomia de Borel, considere o seguinte:.
Na medida em que as proposições da matemática se referem à realidade, elas não são certo; e, tanto quanto eles estão certos, eles não se referem à realidade.
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Princípio da Incomptaibilidade (Zadeh, 1973)A observação e Einstein pode ter motivado Zadeh a formular o seguinte princípio:.
Estado informalmente, a essência deste princípio é que, como o a complexidade de um sistema aumenta, nossa capacidade de fazer com precisão declarações significativas sobre o seu comportamento diminui até um limiar é alcançado além do qual precisão e significância (ou relevância) tornam-se quase características mutuamente
exclusiva
Klir, 1995:Outra interpretação pode ser dada por:
Embora geralmente (mas nem sempre) seja indesejável quando considerado sozinho, a incerteza torna-se muito valiosa quando considerada ligação às outras características dos modelos de sistemas: em geral, permitindo mais
incerteza tende a reduzir a complexidade e aumentar a credibilidade do modelo resultante.
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ExemploAbaixo apresentamos um exemplo ilustrando o princípio da incompatibilidade de Zadeh:
Suponha que você está ensinando um colega a dirigir e o carro se aproxima de um sinal fechado. Você diria:
“Comece a desacelerar o veículo daqui a 34 segundos e 22
 
milésimos.”
ou
“Breque daqui a
 
pouco.”
A primeira afirmação é mais precisa, porém, a segunda pode ser tão útil quanto a primeira.
Em essência, conceitos vagos podem ser usados para resolver problemas complexos!
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Modelagem e Simulação de Sistemas
Introdução
De fato, no cotidiano usamos muitos termos vagos. Por exemplo: dia quente, mulher bonita, carro grande, nos encontramos por volta das 10h00, etc.
Esses são modelados por fuzzy pois não possuem uma fronteira bem definida.
Com efeito, tal como no problema da dicotomia de Borel, 10h01 é próximo das 10h00? E 10h02, é também próximo das 10h00? Quando não será próximo das 10h00?
Para entender melhor o problema da dicotomia de Borel e melhor compreender a teoria dos conjuntos fuzzy, vamos fazer uma breve revisão da teoria clássica dos conjuntos.
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A teoria dos conjuntos, desenvolvida inicialmente e principalmente por George Cantor no final do século XIX, constitui uma forma elegante e sistemática de representar conceitos matemáticos.
Um conjunto é uma coleção de objetos que, por alguma razão, nos convém situar coletivamente como uma única
entidade. Tais objetos são geralmente referidos como elementos do conjunto.
Os elementos podem ser qualquer coisa como, por exemplo, livros de uma biblioteca, números, pessoas, países, etc.
O importante é que um elemento ou pertence ou não pertence a um certo conjunto. Essa relação entre um conjunto e um elemento é chamada relação de pertinência.
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Conjuntos Clássicos
Num dicionário, sinônimos da palavra incerteza incluem: subjetividade, imprecisão, aleatoriedade, dúvida, indecisão, ambiguidade, imprevisibilidade.
Com efeito, existem vários tipos de incerteza.
A teoria fuzzy trata incertezas relacionadas a linguagem natural.
Iniciaremos introduzindo o conceito de conjuntos fuzzy como uma generalização de um conjunto clássico.
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Um conjunto pode ser definido de uma das seguintes formas:
Listando seus elementos explicitamente. Por exemplo, A = {0,1,e, π}
Esta forma só vale para conjuntos finitos (e, pequenos...)
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Caracterização de Conjuntos Clássicos
Especificando uma propriedade dos seus elementos. Por exemplo, A = {x ∈ ℝ : 9 ≤ x ≤ 11}. u
V =	. a	. e
. o	. i
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A função característica xA : ℝ → {0,1} do conjunto clássico, A = {x ∈ ℝ : 9 ≤ x ≤ 11} é representado graficamente por
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O conjunto clássico A = {x ∈ ℝ : 9 ≤ x ≤ 11}, pode representar o conjunto dos “números próximos de 10”.
Nesse caso, 11 é próximo de 10 mas 12 não é próximo de 10.
De um modo geral, 11 está próximo de 10 mas 11+ ꬲ não é próximo de 10 para qualquer ꬲ > 0.
Na teoria dos conjuntos fuzzy, 11 + ꬲ pertence mais ao conjunto dos números próximos de 10 que 12 se ꬲ for pequeno.
Com efeito, não diremos se um elemento pertence ou não a um conjunto fuzzy, mas diremos o grau com que o elemento pertence ao conjunto fuzzy.
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Limitação de um Conjunto Classico
O conjunto clássico A = {x ∈ ℝ : 9 ≤ x ≤ 11}, pode representar o conjunto dos “números próximos de 10”.
Nesse caso, 11 é próximo de 10 mas 12 não é próximo de 10.
De um modo geral, 11 está próximo de 10 mas 11+ ꬲ não é próximo de 10 para qualquer ꬲ > 0.
Na teoria dos conjuntos fuzzy, 11 + ꬲ pertence mais ao conjunto dos números próximos de 10 que 12 se ꬲ for pequeno.
Com efeito, não diremos se um elemento pertence ou não a um conjunto fuzzy, mas diremos o grau com que o elemento pertence ao conjunto fuzzy.
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Definição (Conjunto Fuzzy)
Considere um universo de discurso U (conjunto clássico). Um subconjunto fuzzy, ou simplesmente conjunto fuzzy, A
de U é caracterizado por uma função
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Conjuntos Fuzzy
chamada de função de pertinência.
µA : U → [0,1]
O valor µA(x) indica o grau com o que elemento x ∈ U pertence ao conjunto fuzzy A.
A = {( x , µA (x))	|	x ∈ U}
Conjunto Fuzzy	Função Pertinência	Universo
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A = Conjunto de pessoas altas
 Conjunto Clássico			Conjunto Fuzzy	
Altura (m)
1.0
0.9		 0.8
0.5
Função de pertinência
Altura (m)
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“alto” no Brasil
0.8
0.5
0.1
“alto” nos Estados Unidos “alto” na Itália
1.75
Altura (m)
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Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy.
Várias formas diferentes.
Características das funções de pertinência:
Medidas subjetivas.
Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes, decrescentes ou subdividida em parte
crescente e parte decrescente.
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Função de Pertinência
Função Triangular:
Função Trapezoidal:
Função Gaussiana:
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Função Crescente:
Função Decrescente:
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Função de Pertinência
Função Sino Generalizada:
gbellmf (x; a, b, c) 
1
1
x  c 2b
b
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Universo Discreto
Grau 
de 
Pertinência1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0	2	4
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = “Número de filhos”
A = {(0, 0.1), (1, 0.3), (2, 0.7), (3, 1), (4, 0.6), (5, 0.2), (6, 0.1)}
6
X = Número de filhos
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Grau 
de 
Pertinência1
0.8
0.6
X = (Conjunto de números reais positivos)
B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos” B = {(x, B(x) )| x em X}
0.4
0.2
B (x) 
1 
1
x  50 2

0
0	50	100
X = Idade
	10	
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O conjunto fuzzy dos “números próximos de 10” pode ser caracterizado, por exemplo, pela seguinte função de pertinência:
Observe que há uma transição gradual entre pertinência e não-pertinência!
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Modelagem e Simulação de Sistemas
Exemplo
Destacamos também que uma função de pertinência caracteriza um conjunto fuzzy, e vice-versa.
Contudo, há uma certa arbitrariedade na escolha da função de pertinência que descreve um certo conceito.
Alternativamente, o conjunto dos números “próximos de 10” poderia ser modelado pelo conjunto fuzzy cuja função de pertinência é µA : (X) = e -1/2(x-10)2
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Dada a seguinte função contínua de pertinência, represente o gráfico:
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Exercício
MA(X) =
1, para x ≤ 10
20-x/10, para 10 < x < 20 0, para x ≥ 20
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O conjunto Fuzzy A dos números reais positivos em torno de 4 do universo 
ℝ +
, pode ser representado analiticamente da seguinte forma :
x-3, se 3 ≤ x < 4
µA(X) =
5-x, se 4 ≤ x ≤ 5
0, caso contrario
O conjunto Fuzzy A dos números reais positivos em torno de 4 do universo 
ℝ +
, pode ser representado analiticamente da seguinte forma :
x-5, se 5 ≤ x < 6
µA(X) =
7-x, se 6 ≤ x ≤ 7
0, caso contrario
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Modelagem e Simulação
 
de
 
Sistemas
Professor:
 
Douglas
 
Pinheiro
Email:
 
douglaso.pinheiro@gmail.com
Dúvidas?