Apostila de matemática Básica para curso técnico

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MATEMÁTICA BÁSICA Professor - Milton B. de Oliveira 
Matemática Básica Pagina 1 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Naturais 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Inteiros 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Racionais 
É o conjunto dos números que podem ser 
escritos na forma p/q, com p e q inteiros e q0. 
Q = {..., -2/3, -0,3, 1, 1/3, 20/33, ...} 
Irracionais 
É o conjunto dos números que não podem ser 
escritos na forma p/q, com p e q inteiros. 
I = {
},,7,5,3,3,2 e
 
Reais 
É o conjunto formado pelos números racionais 
e irracionais 
 
Complexos 
É o conjunto onde se concentra a unidade 
imaginária i = 
1
. Ex: 2i; 3i; 4+5i; etc... 
 
SIMBOLOGIA USADA NOS CONJUNTOS 
 
: pertence – usado na relação entre elemento e 
conjunto 
: não pertence – usado na relação entre elemento e 
conjunto 
: está contido – usado na relação entre dois conjuntos 
 não está contido – usado na relação entre dois 
conjuntos 
: contém – usado na relação entre dois conjuntos 
:não contém – usado na relação entre dois conjuntos 
 
NÚMEROS RELATIVOS 
 
Conceito 
 
Assim, falar em números reais ou números 
relativos é a mesma coisa. Somente, introduzirmos o 
nome “relativo” para consagrar a idéia que os números 
são positivos ou negativos conforme, estejam à direita 
ou à esquerda do ZERO (em “relação” ao ZERO). 
Vamos representar geometricamente os 
números reais: 
... –3 –2 –1 0 1 2 3 ... 
Eles estão em correspondência biunívoca com os 
pontos sobre uma reta. Como vemos, o “zero” separa a 
classe dos positivos e dos negativos. 
 
Obs1: O simétrico (ou oposto) de um número a é 
dado por –a. Exemplo: -2 e =2 são simétricos. 
Ob2: O inverso de um número a (a0) é o número 
1/a. Exemplo: 2 e ½. 
 
Módulo 
 
Valor absoluto ou módulo de um número é o 
próprio número se ele for positivo ou nulo e o seu 
simétrico (ou oposto) se ele for negativo. 
Notação: |x| = módulo de x 
Exemplos: 
|-3| = +3 |3| = +3 |-1| = +1 |1| = +1 
 
Operações 
a) Adição: 
Se os números tiverem o mesmo sinal  
adicionam-se os seus módulos e atribui-se o sinal comum. 
Se os números tiverem sinais contrários  
subtraem-se os módulos e atribui-se o sinal do número de 
maior módulo. Exemplos: 
 
1º) (+5) + (+3) = +8 2º) (-4) + (-2) = -6 
3º) (+9) + (-4) = +5 4º) (-6) + (+2) = -4 
 
b) Regra para o uso dos Parênteses: 
b.1) os parênteses estão precedidos de sinal(+) 
Retiram-se os parênteses e conservam-se os sinais 
dos números que estão em seu interior. 
b.2) os parênteses estão precedidos de sinal (-). 
Retiram-se os parênteses e trocam-se os sinais dos 
números que estão em seu interior. 
Exemplos: 
 
1º) 7 + (3 + 1) = 7 + 3 + 1 
2º) 7 - (3 + 1) = 7 - 3 - 1 
3º) 7 + (-3 + 1) = 7 - 3 + 1 
4º) 7 - (-3 + 1) = 7 + 3 – 1 
 
c) Multiplicação e Divisão 
Multiplicam-se ou dividem-se os valores absolutos 
e atribui-se ao resultado o sinal + ou -, conforme os 
números sejam de mesmo sinal ou de sinais contrários. 
RESUMO: 
SINAIS IGUAIS  
SINAIS DIFERENTES ⊝ 
 
 
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Exemplos: 
1º) (+4) . (+2) = +8 2º) (-4) . (-2) = +8 
3º) (+4) . (- 2) = - 8 4º) (-4) . (+2) = -8 
5º) (+4)  (-2) = -2 6º) (-4)  (-2) = +2 
 
Expressões 
 
Na resolução de expressões eliminamos 
primeiramente os (parênteses), depois os [colchetes] e 
finalmente as {chaves}. 
Entre as quatro operações, a ordem é: 
{ ou .} II) {+ ou -} 
 
EXERCÍCIOS DE PROPOSTOS 
 
01) A expressão: 7 - [8 + 2 (3 – 4)] – 3(- 5 + 2) tem 
como resultado: 
 
a) um número cujo simétrico é 1/10 
b) um número cujo inverso é –10 
c) um número cujo módulo é menor do que 10 
d) um número que é maior que 5 e menor que 8 
e) um número maior que zero 
 
02) Qual o valor de: 
100)].32(1[
4
)2).(6(
5).3( 








 
a) -18 
b) –12 
c) 188 
d) –212 
e) 0 
 
03) Assinale a correta 
 
a) –6 e –[-(-6)] são simétricos 
b) o simétrico do inverso de (–1/
3
) é (-
3
) 
c) o inverso de ½ é maior que o inverso de 1/3 
d) o inverso do simétrico de –3 é menor que o inverso 
de 2 
e) 1/3 > ½ > 0 >-1 
 
04) Sendo A = 4.(2  4) -[(15  5).3] – 4+7, então: 
 
a) |A| < -2 
b) A > 0 
c) –1/A = ½ 
d) |A| > 2 
e) |A| < 2 
 
FRAÇÕES 
Definição - Dá-se a denominação de fração a 
uma ou várias das partes iguais em que se divide a 
unidade. 
Noção – Vamos dividir o círculo em 6 partes 
iguais e vamos pintar 5 partes: 
 
O exemplo acima nos mostrou o número 
fracionário 7/8 
- Seus elementos são 
7  Numerador 
8  Denominador 
 
Número Misto 
 
Número misto é um número ao mesmo tempo 
inteiro e fracionário. 
Exemplos: 
1º) 
2
1
3
2
7

 2º) 
5
24.5
5
2
4


 
 
Propriedades 
 
Uma fração não se altera, multiplicando-se seus 
dois termos pelo mesmo número, diferente de zero ou 
dividindo-os por um divisor comum. 
Exemplo:
3
2
24
16
8.3
8.2
3
2

 
Uma fração se altera adicionando-se ou 
subtraindo-se um mesmo valor ao numerador e 
denominador. 
Exemplo: 
5
4
32
31
2
1




(Bem diferente!) 
 
Operações 
 
a) Adição e Subtração: 
As frações devem ter o mesmo denominador: 
Exemplo: 
8
2
8
1

 
O resultado é obtido adicionando-se (ou 
subtraindo-se) os numeradores entre si: 
8
3
8
21


 
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Quando as frações não tiverem o mesmo 
denominador, reduzimos ao mínimo denominador 
comum. 
Exemplos: 
1º) 
15
4
1
15
19
15
109
3
2
5
3



 
 
2º) 
20
53
60
159
60
514024
12
1
3
7
5
2
12
1
3
1
2
5
2



 
 3, 5, 12, 2 
 3, 5, 6, 2 
 3, 5, 3, 3 
 1, 5, 1, 5 
 1, 1, 1, 60 
 M.M.C 
Observação: 
O Cálculo do M.D.C – Máximo Divisor 
Comum: O m.d.c. de determinados números é o 
produto dos fatores comuns, tomados cada um com o 
seu menor expoente. 
O m.m.c. de determinados números é o produto dos 
fatores comuns e não comuns, tomados cada um com o seu 
maior expoente. 
Exemplo: 
 Dados os números 126 e 60. 
 
60 2 126 2 m.d.c (60,126)=2.3 
30 2 63 3 m.d.c (60,126)=6 
15 3 21 3 
5 5 7 7 m.m.c(60,126)=22325 
1 1 
 
Exercício Calcule o m.m.c. e o m.d.c. entre os 
números 48 e 108. 
 
01) (UEL) Considere dois rolos de barbante um com 96 
m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se 
cortar todo o barbante dos rolos em pedaços do mesmo 
comprimento. O menor número de pedaços que poderá 
ser obtido é: 
a) 38 
b) 41 
c) 43 
d) 52 
e) 55 
b) Multiplicação: 
Multiplicamos numeradores e os 
denominadores entre si respectivamente. 
Exemplos: 
1º) 
7
2
7.3.4
4.2.3
7
4
.
3
2
.
4
3

 
c) Divisão: 
 Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da 
segunda fração. 
Exemplos: 
1º) 
8
15
2
5
.
4
3
5
2
4
3
 2º) 
42
5
7
1
.
6
5
7
6
5

 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) 
8
1
2
1
4
1







é igual a: 
a) -4 
b) –2 
c) 4 
d) 2 
e) 1 
 
02) 
2
1
3
1
1
3
1
2
1


 é igual a: 
a) 1/7 
b) 7 
c) –7 
d) 1/5 
e) 5 
 
03) 
2.
4
1
1
1
3
1
2
1
4


 é igual a: 
a) –5/3 
b) 3/5 
c) 5/2 
d) 2/5 
e) –5/2 
 
04) 
1
3
5
.
5
3
5
4
3
2












 é igual a: 
a)1/6 
b) –1/6 
c) 1 
d) 0 
e) 2 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) 














6
1
2
1
.2
3
2
1.3
 é igual : 
 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1 
d) –1 
e) 3/2 
 
 
 
02) O inverso de: 
 




















2
1
3
1
.
5
4
4.
2
1
1
5
3
3.
9
8
4
.5 é: 
 
a) –44 
b) 1/44 
c) 44 
d) –1/44 
e) 88/2 
 
 
 
 
03) 

































2
1
2
1
3
1
1
2
|11|
1
 é igual a: 
a) ½ 
b) 2 
c) –4 
d) – ½ 
e) 0 
 
 
04) Resolva 
6
1
4
2
1
2
1
2
1
44.
8
1
3













 
 
 
 
 
 
 
 
05) Resolva 








9
25
4
3
2
6
9
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Calculando-se




























2
1
1
1
1
2
1
1
1
1 , obtém-se: 
a) –1,66... 
b) –0,6 
c) –0,3 
d) 0,6 
e) 1,66... 
 
 
 
 
07) (SANTA CASA) A expressão 
11
1
1
1
1
11
1
1





 é igual a: 
a) 5/2 
b) 9/10 
c) 8/9 
d) 2/5 
e) 1/3 
 
 
GABARITO 
01. E 02. D 03.B 04. 125/21 
05.(-14/3) 06.B 07.B 
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POTÊNCIAS 
Definição: Dado um número real a qualquer, e um 
número n inteiro e positivo, define-se potência da base 
a com o expoente n como sendo o produto de n fatores 
iguais a a. 
Exemplo: 
Na potência: 25 = 32 
25 = 2.2.2.2.2 = 32 
Notação: 
2 é a base 
5 é o expoente 
32 é a potência 
 
Casos particulares: 
I) Expoente igual a um todo número “elevado” a 1 dá 
ele próprio! 
21 = 2 (½ )1 = ½ 1,231 = 1,23 
II) Expoente igual a zero: todo número “elevado” a 
zero dá 1, exceção feita a 00 que se trata de uma 
indeterminação matemática. 
20 = 1 (½)0 = 1 (1,23)0 = 1 
 
Propriedades 
 
a) Produto de potências de mesma base: 
 É a potência de mesma base das potências 
dadas e cujo expoente é a soma dos expoentes: 
Exemplos: 
24.23.2 = 24+3+1 = 28 ax.ax.a = a2x+1 
 
Genericamente: 
ab.ac = ab+c 
b) Divisão de Potências de Mesma base: 
 Conserva-se a base comum e subtraem-se os 
expoentes de acordo com a ordem em que eles 
aparecem. 
Exemplo: 
 
314
4
22
2
2
 
 
 Genericamente: 
cb
c
b
a
a
a 
 
c) Potência de Potência: 
 Para se elevar uma potência a um outro 
expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os 
expoentes. 
 Exemplos: 
 
(23)5 = 215 (a7)4 = a28 
 
 
d) Potência de um Produto: 
Para se elevar um produto a um expoente, elevar-
se cada fator a esse expoente. 
Exemplos: 
(a2.b.y3)5 = a10.b5.y15 (23.52)4 = 212.58 
e) Potência de fração: 
Para se elevar uma fração a um expoente, eleva-se 
o numerador e o denominador a este expoente. 
 Exemplos: 
3
33
a
m
a
m






 
4
9
2
3
2






 
f) Potência de ordem superior: 
Para potência onde o expoente é outra potência. 
 Exemplos: 
93 22
2

 
162 55
4

 
82 33
3

 
164 33
2

 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Efetue 
5
74
2
2.2
 
 
 
02) Indique qual das igualdades abaixo é verdadeira: 
a) 170 = 0 
b) a0 = a 
c) 91 = 1 
d) 80 = 1 
e) 23 = 6 
 
03) Efetue 
:
.
3
2






p
nm 
 
 
04) 
70124 2.2.2.2
02 
 é igual a: 
 
a) 2 
b) 28 
c) 27 
d) 210 
e) zero 
05) 
  1
3
3
4.2
2
4
6
032 






 é igual a: 
a) 81 
b) 80 
c) 114 
d) –1 
e) 3 
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06) Resolva 
20
24
73
52


: 
a) 41/50 
b) –41/50 
c) –9/50 
d) 9/50 
e) 50/9 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Se am = an, então: 
 
a) m = n só se a = 1 
b) n = m só se a = 0 
c) n = m só se a  0 
d) se a = 1, então m e n são quaisquer; 
e) todos corretos. 
 
02) (am)n (an)m é igual a: 
 
a) a 
b) am 
c) an 
d) 1 
e) m.n 
 
03) (MACK) 2x+1. 4x é igual a: 
 
a) xx 22 22  
b) 23x+1 
c)43x+1 
d) 82x+1 
e) 
xx 28
 
04) 24
3
1













 é igual a: 
a) (1/3)2 
b) (1/3)6 
c) (1/3)-6 
d) 38 
e) (1/3)8 
 
05) (UFSM) Efetuando a divisão exex-2, teremos: 
 
a) e-2 
b) 2xe 
c) e2 
d) ex - 2 
e) 1 
 
06) (UEL) O valor de 2123 : 
 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 9 
e) 1,75 
 
07) (MACK) O número 141414 tem como último algarismo 
(algarismo das unidades): 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
08) (CESGRANRIO) A representação decimal de 0,013 é: 
 
a) 0,03 
b) 0,001 
c) 0,0001 
d) 0,000001 
e) 0,0000001 
 
 
 
09) (CESGRANRIO) Se a2=996, b3=997 e c4=998, então 
(abc)12 vale: 
 
a) 9912 
b) 9921/12 
c) 9928 
d) 9988 
e) 9999 
 
10) Simplificando a expressão 
3
4
2.2
2.22

 
n
nn ,obtém-se: 
a)2n+1 - 1/8 
b) 7/8 
c) –2n+1 
d) 1 – 2n 
e) 7/4 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. D 02. D 03.B 04.E 05.C 
06. D 07. E 08. D 09. D 10.B 
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POTÊNCIAS (2ª PARTE) 
 
Propriedades 
 
g) Potências de expoente Negativo: 
Toda potência de expoente negativo é 
equivalente a uma fração, cujo numerador é a unidade 
positiva e o denominador é a mesma potência, porém 
com expoente positivo. 
Exemplos: 
3
1
2
1
2 
 
2
1
2
1
2
1
1 
 
2
2
4
1
4 
 
 
h) Potências de números relativos: 
a) Se o expoente é par, o resultado será sempre 
positivo. 
Exemplos: 
(+2)2 = 4 (-2)2 = 4 
(+3)2 = 9 (-3)2 = 9 
 
b) Se o expoente é ímpar, o resultado terá 
sempre o sinal da base. 
Exemplos: 
(+2)3 = +8 (-2)3 = -8 
(+1)3 = +1 (-1)3 = -1 
Observação: 
O valor de –22 não é 4 como você pode estar 
pensando, mas sim –4. A explicação é muito simples. 
Na potência (-2)2 =+4, o sinal e a base estão elevados 
ao expoente 2 e na potência –22 apenas o dois está 
elevado ao quadrado. 
Exemplos: 
-22 = -4 (-2)2 = 4 
-52 = -25 (-5)2 =25 
 
i) Potência de 10: 
As potências de 10 facilitam muito o cálculo de 
diversas expressões que surgirão nas resoluções dos 
testes de Física e Química. Para isto guarde bem, os 
três “macetes” que seguem: 
I. Para se elevar 10n (n>0), basta que se escreva 
n zeros à direita do número 1 e vice-versa. 
Exemplos: 
103 = 1.000 104 = 
100 = 102 100.000 = 
II. Para se elevar 10-n (n>0), basta que se 
escreva n zeros à esquerda do número 1, colocando-se 
a vírgula depois do primeiro zero que se escreveu e 
vice-versa. 
Exemplos: 
10-3 = 0,001 10-5 = 
0,001 = 10-2 0,000001 = 
III. Para decompor números que não sejam 
potências de 10, veja o raciocínio para números maiores 
que 1: 
a) 200 = 2.100 = 2.102 
b) 8000 = 8.1000 = 8.103 
c) 7200 = 7,2.1000 = 7,2.103 
d) 3000 = 
e) 50000 = 
f) 34000 = 3,4. 
g) 17300 = 17,3. 
Agora com números menores que 1: 
a) 0,005 = 5.0,001 =5.10-3b) 0,0007 = 7.0,0001 =7.10-4 
c) 0,00262 = 2,62.0,001 = 2,62.10-3 
d) 0,000008 = 
e) 0,000843 = 8,43. 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) m/s (metros por segundo) é igual a: 
02) 
a) m.s 
b) m.s-1 
c) m-1.S 
d) (m.s)-1 
e) m 
02) 
    3
1
3011 101010

 
 é igual a: 
a) -1 
b) –1/10 
c) 0,01 
d) 1 
e) 0 
03) O valor de 
1
11
9
1
1
94












 é: 
a) 13/40 
b) 13.40-2 
c) 40/13 
d) maior que 8 
e) menor que 3 
 
04) 
004,0
0000108,0
 é igual a: 
 
a) 33.10-4 
b) 33.104 
c) 33.10-3 
d) 33.103 
e) b e c corretas 
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Matemática Básica Pagina 8 
05) 23
10
1















 é igual a: 
 
a) 106 
b) 10-6 
c) 1/10-6 
d) 10-5 
e) 10-8 
 
06) 232
3
)3.(4









 é igual a: 
 
a) 4
4
3






 
b) 3
3
4






 
c) 3
4
3






 
d) 4
3
4






 
e) 1 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) 
21
2019
10.602
10.2,6010.02,6 
 é igual a: 
a) 1/30100 
b) 1/10 
c) 101/10000 
d) 1017 
e) 10 
 
02) 
08,0.
12,0.2,0
0036,0
 é igual a: 
a) 12.10-3 
b) 
310.
3
4 
 
c) 12.103 
 
d) 1,2.10-4 
e) 310.
4
3 
 
 
03) (UEL) Efetuando-se 



















2
5
.
2
1
2
3
22 obtém-se: 
a) –5/4 
b) 13/8 
c) 5 
d) 75/8 
e) 49/4 
 
 
04) (FUVEST) Se A = 
,
5
2
,
.


x
yx
yx
 e y = 
2
1
, então A é 
igual a: 
a) – 0,1 
b) + 0,2 
c) –0,3 
d) + 0,4 
e) – 0,5 
 
05) (MACK) Se 
2
33 xx
A


 e 
2
33 xx
B


, então, 
para todo x real. A2 – B2 vale: 
a) 0 
b) 1 
c) –1 
d) –2 
e) 2 
 
06) (PUC) Se 28.55 = 0,8.10n, então n é igual a: 
 
a) 6 
b) 5 
c) –1 
d) 2 
e) –3 
 
07) (FUVEST) Calcule o valor numérico de 
y
xyx  2
 
para x= -0,1 e y = 0,001 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.C 02.A 03.E 04.E 05.B 06.A 07.(-10,1) 
 
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Matemática Básica Pagina 9 
RADICIAÇÃO 
Definição: Dados um número real A 
(radicando) e um número inteiro, n > 1 (índice) define-
se raiz n-ésima de A como sendo um número x cuja 
potência n-ésima é igual a A. 
AxxA nn 
 
Dado um número real a e um número natural n, 
haverá raiz n-ésima de a (
n a
) sempre que existir um 
número b tal que bn = a. 
Exemplos: 
32325 
, porque 25 = 32 
007 
, porque 07 = 0 
9
 = 3, porque 32 = 9 
3 27
 = -3, porque (-3)3 = -27 
 
Observações: 
I. Para representar a raiz quadrada não usamos o índice, 
então escrevemos: 
4
 em vez de 
2 4
. 
II. Os números negativos não têm raízes de índice par 
no campo dos reais. Assim: 
4
 = ?; etc... 
III. Da definição decorre que 
  aa nn 
; 
IV. Observemos que
636 
 e não 
36
 = 6; 
V. Devemos estar atentos no cálculo da raiz quadrad de 
um quadrado perfeito: 
 25
= 5 e não 
 25
= -5. 
 
Operações 
 
a) Propriedade fundamental: 
O valor de um radical não se altera 
multiplicando ou dividindo o índice e o expoente do 
radicando pelo mesmo número. 
Assim: 
kn kmn m AA . .
 
Exemplos: 
8 44 2 222 
 
3327 3 33 
 
 
b) Adição e Subtração: 
Só podem ser efetuadas quando os radicais 
forem semelhantes, isto é, quando possuírem o mesmo 
índice e o mesmo radicando. 
Exemplos: 
2925232 
 
3333 24 aaaa 
 
Observações: 
I. 
BABA 
 
II. Quando na adição ou subtração de radicais tivermos 
raízes exatas, somamos seus valores após extraídas as 
raízes: 
11562536 
 
e nunca: 
8,7612536 
 
Percebeu a diferença?! 
 
c) Multiplicação de Radicais: 
O produto de radicais de mesmo índice é o radical 
de índice comum, tendo por radicando o produto dos 
radicando. Assim: 
. .. nnn BABA 
 
 
Exemplos: 
333 147.2 
 
 
aa
a
a
a
a  2
2
.2
2
.2
 
 
c) Divisão de Radicais: 
 
O quociente de dois radicais de mesmo índice, 
considerados numa certa ordem, é o radical comum, tendo 
por radicando o quociente dos radicandos. Assim: 
.
.
n
n
n
B
A
B
A

 
Exemplos: 
2
4
8
4
8

 
3
3
3
20
2
40

 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
01) 
2
1
.8
 é igual a: 
a) 4 
b)  2 
c) –4 
d) 2 
e) –2 
 
02) 
28 
 é igual a: 
a) 
6
 
b) 
2
 
c) 2 
d) 
8
 
e) 4 
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03) Efetuando 
82332 
 temos: 
a) 
23
 
b) 
23
 
c) 
22 
d) 
2
 
e) 
2
 
 
04) Efetuando 
)1882(2 
 encontramos: 
a) 
26
 
b) 12 
c) 6 
d) 
64
 
e) 
22
 
 
05) (UEL) O número 
3 1024
 é igual a: 
a) 
28
 
b) 
38
 
c) 32 
d) 
3 28
 
e) 
3 38
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) (UEL) Sejam as sentenças: 
 
I) (x-y)2 = x2 – y2 
II) 1221 22 416   xx 
III) 
yxyx .
 
Nas quais x e y são números reais estritamente 
positivos. Assinale a alternativa correta. 
 
a) apenas a sentença II é falsa; 
b) apenas a sentença I é falsa; 
c) apenas a sentença III é verdadeira; 
d) apenas a sentença II é verdadeira; 
e) apenas a sentença I é verdadeira. 
 
02) (UEL) Considere um número Real A, dado pela 
dado pela expressão A = 
3 33.3 xx
, onde xN. Qual 
é o menor valor de x que torna A um número inteiro? 
a) 0 
b) 2 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
03) (FUVEST) 
3
3028
10
22  = 
a) 
5
28
 
b) 
5
29
 
c) 28 
d) 29 
e) 3
1
58
10
2





 
 
04) 12 é o valor mais simples da expressão: 
a) 26 
b) 3 - 
5
3
 
c) 
2
24
 
d) 
)241525.(3 333 
 
e) 
 18822 
 
 
05) Qual das expressões é irracional? 
a) 
9
83
 
b) 
4 16
3
 
c) 
3 27
2
 
d) 
3 100
 
 
06) 
 aaa 6
 vale: 
a) a 
b) a – a2 
c) a2 – a 
d) a2 
e) a+1 
 
07) (FAAP) Escrever a representação decimal do número 
real L dado pela expressão:
)125,0.()02,0(
)25000)(00004,0(
5
L
 
 
 
 
 
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08) (CESGRANRIO) Um número real x, que satisfaz 
3935  x
 , é: 
 
a) 5,7 
b) 5,8 
c) 6 
d) 6,3 
e) 6,6 
 
09) (ACAFE–SC) Se 
3x
 e 
27224312 y
, então: 
 
a) y = x 
b) y = 5x 
c) y = 7x 
d) y = 8x 
e) y = 17x 
 
10) (UFSM) O resultado da subtração: 
991  bb
 é: 
 
a) - 2 
b) 
12  b
 
c) 
88 b
 
d) 
12 b
 
e) 2 
11) (PUC) O valor numérico da expressão 
yxxy 212 2 
, para x = 12 e y = 3, é igual a: 
 
a) 0 
b) 9 
c) –3 
d) 3 
e) n.d.a 
 
12) (UFRN) 
42713 
é igual a: 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
 
GABARITO 
01.B 02.D 03.D 04.E 05.D 06.C 
07.(5.104) 08.C 09.B 10.B 11.D 12.A 
RADICIAÇÃO – 2ª parte 
 
e) Radiciação: 
 
Para se extrair raiz de um radical é suficiente 
multiplicar os índices e conservar o radicando sob um 
único radical. Assim: 
mnn m AA .
 
Exemplos: 
63 33 
 
243 4 aa 
 
aaaaaa  6 33 23 .
 
 
f) Potenciação: 
 
Para se elevar um radical a uma potência, basta 
conservar o índice do radical e elevar o radicando a esta 
potência.Assim: 
   n kkn AA  
Exemplos: 
  44 33 
 
 
g) Expoente Fracionário: 
 
Todo radical é equivalente a uma potência cuja 
base é a base do radicando e cujo expoente é uma fração 
onde o numerador é o expoente do radicando e o 
denominador é o índice do radical. Assim: 
n
m
n m aa 
 
Exemplos: 
2
1
aa 
 323 2 bb  
7 4a
 
 
h) Racionalização: 
Uma fração é irracional quando pelo menos um de 
seus termos é irracional. Exemplos: 
3 3
2
,
3
5
 
Quando o denominador é irracional, convém, para 
maior facilidade nos cálculos, transformar esta fração em 
outra equivalente de DENOMINADOR RACIONAL. 
A operação que possibilita esta transformação é 
denominada racionalização de denominadores e consiste 
em multiplicar ambos os termos da fração por um mesmo 
número que torne o denominador racional, chamado de 
racionalizando. 
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Matemática Básica Pagina 12 
REGRAS: 
1º) CASO: O denominador é um radical de 
índice 2. Multiplicam-se o numerado e o denominador 
pelo próprio radical. 
b
ba
b
ba
b
b
b
a
b
a

2
.
 
 
2º) CASO: O denominador é um radical de 
índice diferente de 2. Multiplicam-se o numerador e o 
denominador por radical de mesmo índice e cujo 
expoente do radicando é a diferença entre o índice do 
radical e o expoente do radicando dados. 
2
2
2
2
2
2
.
2
1
2
1 3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
33

 
 
3º) CASO: O denominador é a soma ou 
diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, 
são radicais de índice 2. Neste caso multiplicam-se o 
numerador e o denominador pela expressão conjugada 
do denominador. 
3
25
25
25
.
25
1
25
1 






 
1
3510
32
32
.
32
1
32
1 






 
EXERCÍCIOS DE AULA 
01) 52x vale: 
 
a) 
5x
 
b) 
5 x
 
c) 
5 2x
 
d) 
x 
e) 52x 
 
02) 
8 3a
é igual a: 
a) 38a 
b) 81a 
c) 31a 
d) 83a 
e)
a
 
 
03) 
11 411 3 . yy
é igual a: 
 
a) 
14
15
y
 
b) 
30 12y
 
c) 
11 7y
 
d) 
15
19
y
 
e) 
38
30
y
 
 
04) 
3 x
vale: 
 
a) 
48x
 
b) 
8x
 
c) 31x 
d) 
10 x
 
c) 481x 
 
05) Racionalize: 
 
a) 
a3
8
 
 
b) 
b
a
 
 
c) 
3 a
a
 
 
d) 
5 23
3
 
 
e)
6 5
2
mm
m
 
 
f) 
36
7

 
 
 
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Matemática Básica Pagina 13 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01) A expressão 
2
1
2
1
2
1
).( yx
yx  vale: 
a) 
xy
yxyx  2 
b) 
)(
2
yxxy
yxyx


 
c) 
xy
xyyx  
d) 
yx
yx


 
e) 
xy
xyyx  
 
02) (UEL) A expressão 
3333
 é equivalente a: 
 
a)
6 103
 
b) 
6 33
 
c) 
6 53.3
 
d) 
8 43
 
e) 3.
8 73
 
 
03) (MACK) O valor de 
223
223

 é: 
a) 3 - 2
2
 
b) 3
2 
c) 6
2
 
d) 
223
 
e) 
6
-
2
 
 
04) 
12 12624 ..64 cba
 é igual a: 
a) 
bca2
 
b) 
bac 22
 
c) 
2
1
2 )2()( bac
 
d)
bca 22
 
e) 
2acb
 
05) Racionalizando 
  18 
 temos: 
 
a) 
2
2
 
b) 
2
 
c) 2
2
 
 
d) 
4
2
 
e) 
2
1
 
 
06) A expressão 
x
x
1

 vale: 
 
a) 
x
x
x
1
.

 
b) 
x
 
c) 
x
+1 
d) 21x 
e) 31x 
 
07) (FAAP) Simplificar 
51
32
51
32





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) (CESGRANRIO) Racionalizando o denominador 
vemos que a razão 
13
31


 é igual a: 
 
a) 
3
- 1 
b) 1 + 2
3
 
c) 
3
+
2
 
d) 2 + 
3
 
e) 2+ 2
3
 
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09) (MACK) Subtraindo-se 
738
5

 de 
37
12

, 
obtém-se: 
 
a) 81 - 4
7
 
b) 22 + 21
7
 
c) -22 - 21
7
 
d) 41
7
 - 81 
e) 81 
 
 
10) (UEL) A diferença 80,666...- 90,5 é igual a: 
 
a) 2 
b) 1 
c)
2
 - 3 
d) –2 
e) -2
2
 
 
 
 
11) (UnB) A seqüência correta em que se encontram os 
números A = 
9 7,2
, B = 
15 3
 e C = 
 8 17 87,2
 
 
a) C < B < A 
b) A < B < C 
c) A < C < B 
d) A = B = C 
e) A = B < C 
 
 
 
12) (MACK) Dos valores abaixo, o que está mais 
próximo de 
3
04,0
 é: 
 
a) 0,0015 
b) 0,015 
c) 0,15 
d) 1,5 
e) n.d.a. 
 
GABARITO 
01.C 02.E 03.A 04.D 05.D 06.A 
07.(
2
15
1
) 08.D 09.C 10.B 11.C 12.C
 
PROPORÇÕES 
Proporção é a igualdade entre duas razões> 
Exemplo: 
6
4
3
2

, temos 2x6 = 3x4 
Meios: 3 e 4; 
Extremos: 2 e 6 
Antecedentes: 3 e 6; 
Conseqüentes: 3 e 6. 
Outro modo de escrever: 
2:3 = 4:6 
Lê-se está para 3 assim como 4 está para . 
 
Propriedades 
 
a) Em toda proporção o produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos. 
6
4
3
2

, temos 2x6 = 3x4 
b) A soma (ou diferença) dos dois primeiros 
termos está para o primeiro ou para o segundo, assim 
como a soma (ou diferença) dos dois últimos está para o 3 
ou 4. 
Exemplo: 
6
4
3
2

, temos 
4
64
2
32 


, ou 
4
10
2
5

 
 c) A soma (ou diferença) dos antecedentes, 
está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim 
como cada antecedente está para seu conseqüente. 
Exemplos: 
9
6
63
42
6
4
3
2




 
 
Grandezas Diretamente Proporcionais 
 
Dividir o número 180 em partes diretamente 
proporcionais a 2; 3 e 4. 






180
432
zyx
zyx
, pela propriedade das 
proporções: 
20
9
180
9432



zyxzyx
 






80;60;40
20
4
;20
3
;20
2
zyx
zyx
 
 
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Matemática Básica Pagina 15 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) O perímetro de um triângulo mede 140 cm. Quais 
são as medidas dos lados sendo eles diretamente 
proporcionais a 3; 5 e 6? 
 
 
 
 
 
 
 
02) Os ângulos de um quadrilátero convexo estão entre 
si como os números 2; 3; 5 e 8. Determine os valores 
desses ângulos. 
 
 
 
 
 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais 
 
Dividir o número 390 em partes inversamente 
proporcionais aos números 2; 3 e 4. 





















90360
4/1
120360
3/1
180360
2/1
360
12/13
390
12/134/13/12/1
390
4/13/12/1
z
z
y
y
x
x
zyxzyx
zyx
zyx
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Dividir o número 44 em partes inversamente 
proporcionais a 6 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
02) Dividir o número 44 em partes diretamente 
proporcionais a 1/6 e 1/5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) (UFG) Num vestibular, sejam p1, p2 e p3 as 
possibilidades de 3 candidatos serem aprovados. 
Admitindo-se que a soma das probabilidades seja 72 e que 
p1, p2 e p3 são respectivamente proporcionais a 2, 3 e 4, 
então: 
 
a) p1=16; p2=36 e p3=20 
b) p1=24; p2=16 e p3=32 
c) p1=32; p2=16 e p3=24 
d) p1=20; p2=16 e p3=36 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
02) Três engenheiros se associaram para construir um 
edifício. Investiram, respectivamente 2; 3 e 5 milhões de 
reais. Se o lucro foi de 4 milhões dereais, qual o ganho de 
cada um, supondo ser divisão proporcional aos capitais 
investidos? 
 
 
 
 
 
 
 
03) (OSEC) A importância de R$ 780,00 deve ser dividida 
entre os três primeiros colocados de um concurso, em 
partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos 
por eles, que são, 50, 43 e 37, respectivamente. Determinar 
a importância que caberá a cada um. 
 
 
 
 
 
 
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04) (OSEC) Três pessoas participaram de uma 
sociedade, com capitais iguais. Repartir entre elas o 
lucro de R$ 8.000,00 sabendo-se que esses capitais 
estiveram aplicados durante respectivamente, 10 meses, 
1 ano e meio e 1 ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) Uma fábrica pretende premiar 4 operários 
escolhidos de forma que o prêmio seja proporcional ao 
númeo de peças perfeitas produzidas por cada 
dia(proporção direta) e também em relação a cada peça 
defeituosa produzida (proporção inversa). Os operários 
premiados produziram 250, 300, 180 e 230 peças 
perfeitas e respectivamente 1, 2, 3 e 2 peças com 
defeito. A quantia estipulada para o prêmio foi de R$ 
6.200,00. Quanto recebeu cada operário? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01) D 02) 0,8; 1; 2; 2 
03) 300; 258 e 222 04) 2.000; 3.600 e 2.400 
05) 2.500; 1.500; 600; 1.600 
REGRA DE TRÊS 
Durante o curso necessitaremos de REGRA DE 
TRÊS, por isso faremos aqui o seu estudo mais detalhado. 
A regra de três pode ser SIMPLES ou 
COMPOSTÄ. 
 
Regra de Três simples 
Como já vimos, proporção é definida como a 
igualdade de duas razões. Quando, numa proporção, Três 
termos são conhecidos e um quarto é desconhecido, 
estamos diante de um problema de REGRA DE TRÊS 
SIMPLES. 
 
Regra Geral 
Para sabermos se temos que armar uma proporção 
DIRETA ou INVERSA, fazemos a seguinte pergunta: 
Se o valor básico de uma razão da incógnita (x), 
AUMENTA ou DIMINUI? 
Se a resposta for AUMENTA, armamos uma 
proporção normal (DIRETA). 
Se a resposta for DIMINUI, armamos uma 
proporção com a segunda razão ao contrário (INVERSA). 
 
Regra de Três Simples Direta 
 
01) Uma aluna estuda 40 páginas da apostila de História 
em 6 horas. Quanto tempo gastará para estuda-la inteira, 
sendo 100 páginas a apostila. 
 
 40 páginas - 6 horas 
 100 páginas - x horas 
 
15
40
600
60040
100
406
 xx
x
 horas 
 
02) A massa do carbono contida em 44g de CO2 é de 12 g. 
Qual é a massa de CO2 que contém 36 g de Carbono? 
 
 
 
 
 
03) Uma solução de ferrocianeto de potássio tem 
molaridade igual a 2. Sabe-se que esta molaridade 
corresponde a uma normalidade igual a 8. Quando a 
normalidade vale 20, qual será o valor da molaridade? 
 
 
 
 
 
 
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Regra de Três Simples Inversa 
 
01) Um avião, com velocidade de 320 km/h vence a 
distância entre duas cidades em 6 horas. Outro avião 
pretende percorrer a mesma distância em 5 horas. Qual 
deverá ser a velocidade desse avião? 
 
 320 Km/h - 6 horas 
 x Km/h - 5 horas 
 
384
5
1920
19205
6
5320
 xx
x
 Km/h 
 
 
02) Um livro tem 300 páginas com 25 linhas cada uma. 
Para reimprimi-lo, empregando os mesmos caracteres, 
quantas páginas de 30 linhas são necessárias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40 
dentes. Calcular o número de voltas da primeira quando 
a segunda dá 600 voltas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Uma determinada usina hidrelétrica produz 200.00 
KW/h quantos KW produzirá no final de uma semana? 
 
a) 33.600.000 KW 
b) 64.200.000 KW 
c) 33.600 KW 
d) 336.000 KW 
e) 3.360 KW 
 
02) Calcular quantas moléculas existem em 90 g de água, 
sabendo-se que em 18 g, estão contidos 6,0.1023 
moléculas: 
a) 3,0.1024 
b) 3,0.1023 
c) 30.1022 
d) 1,8.1026 
e) 1,9.1025 
 
 
03) As últimas estatísticas mostraram, que a população 
mundial aumenta de um habitante por segundo. De 
quantos habitantes aumenta a cada hora que passa? 
a) 120 
b) 4320 
c) 43200 
d) 3600 
e) 1200 
 
04) O raio LASER tem velocidade de 300.000 km/s no 
vácuo. Pergunta-se qual o tempo necessário para que um 
feixe do raio LASER atinja a superfície da Lua, quando a 
distância das duas superfícies for de exatamente 390.000 
Km. 
 
a) 1,5 s 
b) 1,0 s 
c) 10.000 s 
d) 10.003 s 
e) 1,3 s 
 
05) Considerando-se que uma certa pessoa necessita para 
viver 70 calorias à cada período de 12 horas. Calcule 
quantas calorias esta mesma pessoa necessitará para se 
manter durante um período de 7 dias. 
 
a) 140 calorias 
b) 280 calorias 
c) 180 calorias 
d) 1080 calorias 
e) 980 calorias. 
 
 
 
06) A razão de dois segmentos medidos em centímetros 
será a mesma se os medirmos em metros? 
 
a) não é possível concluir 
b) pode ser 
c) nunca 
d) sempre 
e) às vezes 
 
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07) Sabe-se que 100° C correspondem a 212 graus na 
escala Fahrenheit se a lida no termômetro Celsius é de 
60 graus? 
 
a) 122,7 
b) 127,2 
c) 172,7 
d) 177,3 
e) 120,0 
 
 
08) Com velocidade de 60 Km/h, um automóvel leva 
50 min para ir de uma cidade x para uma cidade y. Se 
sua velocidade fosse de 75 Km/h, quanto tempo levaria 
para cobrir a mesma distância? 
 
a) 10 min. 
b) 20 min. 
c) 30 min. 
d) 40 min. 
e) 50 min. 
 
09) (FUVEST) Duas garotas realizam um serviço de 
datilografia. A mais experiente consegue faze-lo em 2 
horas,a outra, em 3 horas. Se dividirmos esse serviço de 
modo que as duas juntas possam faze-lo no menor 
tempo possível, esse tempo será: 
 
a) 1,5 horas 
b) 2,5 horas 
c) 72 minutos 
d) 1 hora 
e) 95 minutos. 
 
 
 
10) Numa cocheira existem 30 cavalos, para os quais 
uma certa quantidade de feno dura 40 dias. Tendo sido 
retirados 10 cavalos, quanto tempo durará aquela 
quantidade de feno? 
a) 20 dias 
b) 30 dias 
c) 40 dias 
d) 50 dias 
e) 60 dias 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.A 02.A 03.D 04.E 05.E 
06.D 07.B 08.D 09.C 10.E 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
 Quando a determinação do valor de um 
termo desconhecido envolve comparação entre os valores 
de mais de duas razões (algumas ou todas diretas e 
algumas ou todas inversas), estamos diante de um 
problema de REGRA DE TRÊS COMPOSTA. 
 São problemas que envolvem três ou mais 
grandezas direta ou inversamente proporcionais. Para isso 
resolvê-los, faz-se: 
1°) Escreve-se numa mesma coluna as grandezas 
de mesma espécie. 
2º) Identifica-se se as grandezas são direta ou 
inversamente proporcionais, considerando as colunas 
duas a duas, sendo que uma delas deve conter o termo 
desconhecido. 
3º) Escreve-se a proporção correspondente, 
igualando a razão que contém o termo desconhecido com 
o produto das outras razões, e passa-se a resolvê-la. 
Veja o exercício de sala 1. 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Se oito pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40 
m de comprimento, quantos pedreiros serão necessários 
para construir, em 14 dias, um muro de 70 m de 
comprimento? 
 
a) 4 pedreiros b) 5 pedreiros c) 6 pedreiros 
d) 7 pedreiros e) 8 pedreiros 
 
Solução: 
 
 8 pedreiros 06 dias 40 m /comp. 
 x pedreiros 14 dias 70 m/comp. 
 
68.420560
420
5608
70
40
.
6
148
xx
xx
 
 
Resp.: serão necessários 6 pedreiros, letra c 
 
 
02) Um circo é armado por 15 homens que trabalham 10 
horas por dia, em 3 dias. Em quanto tempo armariam esse 
circo, 10 homens que trabalhassem 9 horas por dia? 
 
a) 4 dias 
b) 5 dias 
c) 6 dias 
d) 7 dias 
e) 8 dias 
 
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03) Com uma bomba elétrica, eleva-se 4.200 litros de 
água à altura de 12 m, em 1 hora e 20 minutos. Quanto 
tempo empregará essa bomba para elevar 12.600 litros 
a altura de 8 metros? 
 
a) 2 h 30 min. 
b) 2 h 40 min. 
c) 2 h 20 min. 
d) 3 horas 
e) impossível de se calcular 
 
 
 
04) Se 80 operários, trabalhando 10 horas por dia 
teceram 7.500 m de fazenda em 25 dias, quantos metros 
do mesmo tecido farão 54 operários trabalhando 8 
horas por dia, durante 30 dias? 
 
a) 5.860 m. 
b) 5.560 m. 
c) 4.960 m. 
d) 4.860 m. 
e) 6.480 m. 
 
 
05) Um automóvel com a velocidade média de 60 
Km/h, rodando 7 horas por dia, leva 20 dias para fazer 
certo percurso. Quantos dias levaria o mesmo 
automóvel, para fazer aquele percurso, se viajasse 12 
horas por dia, com a velocidade média de 50 Km/h 
 
a) 7 dias 
b) 10 dias 
c) 12 dias 
d) 14 dias 
e) 21 dias 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 
engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos 
engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, 
trabalhando 8 horas por dia durante 15 dias? 
 
a) 8 
b) 12 
c) 16 
d) 20 
e) 24 
 
 
02) Um livro de 120 páginas, com 25 linhas por página, é 
impresso em 4 horas, sendo utilizado 40 m2 de papel. Com 
a mesma quantidade de papel, quantas horas seriam 
necessárias para imprimir um livro de 100 páginas com 30 
linhas por página? 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
03) Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome, 
em 30 dias, 9.780 quilos de carvão. Qual o custo do carvão 
gasto por essa máquina durante 90 dias, sabendo-se que 
nesse período trabalhou 12 horas e 30 minutos por dia, e 
que cada tonelada de carvão custou R$ 800,00? 
 
a) R$ 25.000,00 
b) R$ 22.000,00 
c) R$ 24.500,00 
d) R$ 24.750,00 
e) R$ 24.450,00 
 
 
 
 
 
04) Sabendo que ¾ de certa obra foram feitos por 33 
pessoas em 1 ano de trabalho, determinar quantas pessoas 
seriam necessárias para fazer a obra toda em metade do 
tempo? 
 
a) 100 
b) 88 
c) 98 
d) 108 
e) 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01.A 02.D 03.E 04.B 
 
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Matemática Básica Pagina 20 
PORCENTAGEM 
 
Com certa freqüência você se depara, nos 
meios de comunicações, ou em vitrines de lojas com 
expressões do tipo: 
LIQUIDAÇÂO: Desconto de 30% em todas as 
mercadorias!! 
Isto significa que se a mercadoria custa R$ 
1.000,00, o desconto será de R$ 300,00. 
O valor deste desconto é chamado 
porcentagem, esta comparação com o 10, isto é, esta 
razão que tem 100 como conseqüente é chamada “por 
cento”. 
Notação: x/100 x% (lê-se x por cento) 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Ao comprarmos uma mercadoria por R$ 3.000,00, 
obtive 20% de desconto no preço. De quanto foi esse 
desconto? 
 
100% ----------- 3.000,00 
20% -------- x 
Importante: 
Na prática para se calcular 20% de uma certa 
quantidade, basta multiplicá-la por 20 e dividi-la por 
100!!! 
 
02) (F.C.CHAGAS) )s 0,021% de 3 correspondem a: 
a) 0,00007 
b) 0,00063 
c) 0,007 
d) 0,063 
e) 0,07 
 
03) (UFRN) 25% da terça parte de 1026 é: 
a) 7695 
b) 855 
c) 769,5 
d) 94,5 
e) 85,5 
 
04) (CESGRANRIO) Em um concurso vestibular, 
112.000 candidatos disputaram 22.000 vagas. Se todas 
as vagas são preenchidas, a melhor aproximação do 
percentual de candidatos classificados é: 
a) 17,6% 
b) 19,6% 
c) 20,0% 
d) 21,7% 
e) 22,0% 
05) (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um 
retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do 
retângulo é aumentado de: 
a) 35% 
b) 30% 
c) 3,5% 
d) 3,8% 
e) 38% 
 
06) (FUVEST) O preço de certa mercadoria sofre 
anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço 
atual seja R$ 100,00, daqui a três anos, preço será: 
a) R$ 300,00 
b) R$ 400,00 
c) R$ 600,00 
d) R$ 800,00 
e) R$ 1.000,0 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) (MACK) Em 20 Kg de uma liga com 30% de cobre, 
quantos quilos se devem acrescentar desse material para 
que aquela porcentagem passe para 40%? 
 
a) 1 
b) 1,5 
c) 3 
d) 3,33 
e) 33,3 
 
02) (FUVEST) Se nos três primeiros meses do ano a 
inflação fosse de 5%, 4% e 6%. Qual a inflação acumulada 
no trimestre? 
 
a) 15,75% 
b) 17,75% 
c)) 15% 
d) 120% 
e) 17,55% 
 
 
03) (FUVEST) A cada ano que passa, o valor de um carro 
diminui 30% em relação ao seu valor no ano anterior. Se V 
for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo 
ano será: 
 
a) 0,77.V 
b) 0,37.V 
c) 0,78.V 
d) 0,38.V 
e) 0,36.V 
 
 
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Matemática Básica Pagina 21 
04) (MACK) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, 
o preço de venda de seus produtos deve ser, no mínimo, 
44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a 
tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço 
de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter 
desconto na hora da compra. Qual é o maior desconto 
que ele pode conceder ao cliente sobre o preço de 
tabela, de modo a não ter prejuízo? 
 
a) 10% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 36% 
 
 
 
05) (FUVEST) Uma loja anuncia um desconto sobre o 
valor total (x) das compras de cada cliente, de acordo 
com o seguinte esquema: 
(1) Desconto de 10% para 100  x < 200 
(2) Desconto de 15% para x  200. 
 Um cliente compra um par de sapatos por 
R$180,00 e um par de meias por R$ 20,00. O vendedor, 
muito gentilmente se oferece para reduzir o preço das 
meias para R$ 15,00 e o cliente aceita a oferta. No 
caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. 
Nessas condições pode-se dizer que o cliente: 
 
a) teve um prejuízo de sete reais; 
b) teve um lucro de cinco reais; 
c) não teve lucro nem prejuízo; 
d) teve um lucro de quatro reais; 
e) teve um prejuízo de cinco reais e cinqüenta centavos. 
 
 
 
 
06) (FUVEST) Em uma prova de 25 questões, cada 
resposta certa vale +0,4 e cada resposta errada vale –
0,1.Um alno resolveu todas as questões e teve nota 0,5. 
Qual a porcentagem de acertos desse aluno? 
 
a) 25% 
b) 24% 
c) 20% 
d) 16% 
e) 5% 
 
 
 
 
07) (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite 
de soja num total de 200 litros, dos quais 25% de leite 
natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser 
acrescentada a esta mistura para que ela venha conter 20% 
de leite natural? 
 
a) 20 litros 
b) 30 litros 
c) 40 litros 
d) 45 litros 
e) 50 litros 
 
 
08) (FUVEST) Uma certa mercadoria, que custava R$ 
12,50, teve um aumento, passando, a custar R$ 13,50. A 
majoração sobre o preço antigo foi de: 
 
a) 1,0% 
b) 10,0% 
c) 12,5% 
d) 8,0% 
e) 10,8% 
 
 
09) Em uma competição participaram rapazes e moças. 
Sabe-se que 34% dos participantes são moças e 1.650 são 
rapazes. Quantos atletas participaram desta competição? 
 
a) 1.900 
b) 2.000 
c) 2.200 
d) 2.400 
e) 2.500 
 
 
10) Uma pessoa vendeu um carro por 70% do preço de 
mercado. Sabendo que ele recebeu a importância de R$ 
2.450,00 pela venda, qual é o preço de mercado desse 
carro? 
 
a) R$ 3.000,00 
b) R$ 3.300,00c) R$ 3.500,00 
d) R$ 4.000,00 
e) R$ 5.00,00 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.D 02.A 03.A 04.C 05.B 
06.B 7.E 08.D 09.E 10.C 
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Definição 
È um conjunto de letras e números reunidos por 
determinadas operações entre seus elementos. 
Exemplos: 
a) 3x2yz 
b) 2a2bcz4 
c) 4azx3 – 5a4zy 
d) ax2 + bx + c 
 
 Os sinais de subtração e adição separam os 
termos de uma expressão algébrica. 
Exemplo: 
X3 - 3x2 + x –1 , é uma expressão algébrica de 4 termos. 
Definição de variável: é um símbolo que 
representa um elemento qualquer de um conjunto 
considerado. 
Exemplo: 
Aluno x da turma M4. 
 
Classificação 
 
a) Monômio: apenas 1 termo. 
Exemplo: 3ax2 
 
b) Binômio: 2 termos. 
Exemplo: 3ax2 + my 
 
c) Trinômio: 3 termos 
Exemplos: 3ax2 + my + 4b 
 
d) Polinômio: caso geral 
Exemplo: 3ax2 + my + 4b + 6-2 
 
Valor numérico 
 
 È o resultado obtido ao substituirmos as letras 
numéricas e efetuarmos as operações necessárias> 
Exemplos: 
01) Qual é o valor numérico de x4 – 3x3 + 1 para x=-1? 
 
 
 
 
 
02) Qual é o valor numérico de vt + at2, para v = 5; t= 8 
e a = 10? 
 
 
 
 
Termos Semelhantes 
 
 São termos que possuem a mesma parte literal mas 
não obrigatoriamente a mesma parte numérica. 
Exemplos: 
3a3y; 7a3y; -8a3y 
–5ab2; 1ab2; 8ab2; -ab2 
 
Operações Algébricas 
 
a) Adição e subtração: 
Estas duas operações são efetuadas reduzindo-se os termos 
semelhantes entre si. 
Exemplos: 
01) (x2+3y) – (x2-y) +(x2+5y) = 
 = x2 + 3y – x2 + y + x2 + 5y = x2+ 9y 
 
02) (ab3 – 5ab + ab2) - (5ab2 + ab – ab3) = 
 
 
b) Multiplicação: 
 Multiplica-se cada termo de uma das expressões 
por todos os termos da outra expressão e reduzem-se os 
termos semelhantes. 
Exemplos: 
(x+3).(2+3x) = 2x + 3x2 + 6 + 9x = 3x2 + 11x + 6. 
 
Produtos Notáveis 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
(a + b) (a - b) = a2 - b2 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab 
+ac+bc) 
a3 – b3 = (a - b) (a2 + ab+ b2) 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
 Uma aplicação de produtos notáveis é a 
racionalização de frações, como por exemplo: 
13
5

. 
Devemos multiplicar e dividir pelo conjugado do 
denominador (conjugado é a mesma expressão com o sinal 
trocado): 
2
)13(5
13
)13(5
13
13
.
13
5 







 
 
c) Fatoração: 
 Fatorar é transformar ADIÇÂO em 
SUBTRAÇÂO. Vamos ver dois casos: 
1) FATOR COMUM: é colocar em evidência um fator 
comum a todos os termos da expressão. 
Exemplos: 
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Matemática Básica Pagina 23 
1º x2 + 2x = x.(x + 2) 
2º 4x3 - 2x2 = 2x2.(2x - 1) 
3º 4a3 x2 – 6a2x3 + 18a4 x5 = 2a2x2.(2a –3x + 9a2x3) 
 
2) Fatoração por Agrupamento 
Exemplos: 
1º) 3a – 6b + ax –2bx = 3(a-2b) + x( a-2b) = 
= (3+x) (a-2b) 
2º) 2x2 – 4ax – 3xy + 6ay = 2x( x-2a) – 3y(x-2a) = 
 = (2x-3y)(x-2ª) 
3º) a3 + a2 + a + 1 = a2(a + 1) + a + 1 = (a2+1)(a+1) 
4º) a4 + a3 + a2 + a = a(a3+a2+a+1) = a (a2+1)(a+1) 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Assinale a alternativa correta: 
 
a) (4-x)2 = x2 – 8x + 16 
b) (x-5)(x+5) = (x-5)2 + 10x – 50 
c) (3x2+2)2 = 3x4 + 12x2 + 4 
d) (-2x+1)2 = 4x2 – 4x + 1 
02) Efetue: 
aba
ba
baba
ba





2
22
22
22
2
33
 
 
 
 
 
 
03) Fatorando-se 2x2 – 162 y2, obtém-se: 
 
a) 2.(x+9y)2 
b) 2.(x+9y)(x-9y) 
c) 2(x-9y)2 
d) (2x-9y)(2x+9y) 
e) (9x-2y)(9y-2x) 
 
04) (MED. SANTOS) 934.2872 – 934.2862 vale: 
a) 1.868.573 
b) 1.975.441 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) A expressão (x+3)2 – (a-3)2 é idêntica a: 
 
a) (x + a).(x – a + 6) 
b) (x - a).(x – a + 6) 
c) (x + a).(x + a + 6) 
d) (x + a + 6).(x – a + 6) 
e) a + 6 
02) A fatoração de x4 – y2 conduz a: 
 
a) (x2 - y)2 
b) (x2 - y)(x2 + y) 
c) (x2 + y)(x2 + y)2 
d) (x2 - y)(x2 - y)2 
e) x – y 
 
03) A forma fatorada da expressão: ab+5b–2a-10 é: 
 
a) (a+5)(b+2) 
b) (a+5)(b-2) 
c) (a-5)(b-2) 
d) (a-5)(b+2) 
e) (2a+b)(b-2a) 
 
04) (FEI) Supondo x e y reais com x - y0 e x+y0, 
simplificar a expressão algébrica. 
yx
yx
yx
yx




 3333
 
 
 
 
 
 
05) Se a e b são números reais quaisquer, então: 
 
a) 
baba  22
 
b) 
baba  22
 
c) 
baba  22
 
d) 
)).((22 bababa 
 
e) nda 
06) Efetue: 












 22
3
1
.
3
1
aa
 
a) 
4
2
3
2
9
1
a
a

 
b) 
4
2
3
2
9
1
a
a

 
c) 
4
2
3
2
9
1
a
a

 
d) 
4
9
1
a
 
e) nda 
 
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Matemática Básica Pagina 24 
07) (UFGO) Simplificando a expressão 
1
1
..
2
2
2
2
2
2






a
b
bb
aa
bb
aa
, para a0; a-1; b-1 e b0, 
obtém-se: 
 
a) a/b 
b) b/a 
c)(a/b)2 
d) (b/a)2 
e) nda 
08) (UnB) A expressão 
4
1
16
43
2 



aa
a
(a4) é 
equivalente a: 
a) a/b 
b) b/a 
c) (a/b)2 
d) (b/a)2 
e) n.d.a 
 
09) (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de 
dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
10) (UFGO) Simplificando 
22
23 )(2)(
yx
xyyyx


 
temos: 
a) 
yx
yx

 2)(
 
b) x-y-2yx2 
c) x+y 
d) x-y 
e) 
yx
yx

 22
 
 
11) (F.E.QUEIROZ) Se M = a+
ab
ab


1
 e 
ab
aab
N



1
1
2, com ab-1, então M/N é: 
a) a 
b) b 
c) 1 + b 
d) a - b 
.e) nda 
 
12) (UEL) A fração 
22
44




ba
ba
 é igual a: 
a) a-6 – b-6 
b) a-2 – b-2 
c) a-2 + b-2 
d) a2 + b2 
e) nda 
 
13) (FEI) Simplificando a expressão 
22
33
22
11
11
)...(
ba
bababa


 , obtemos: 
 
a) a + b 
b) a2 + b2 
c) ab 
d) a2 + ab + b2 
e) b - a 
 
 
 
14)(PUC) Sendo x3+1 = (x+1).(x2+ax+b) para todo x real, 
os valores de a e b são, respectivamente: 
 
a) –1 e 1 
b) 0 e 0 
c) 1 e 1 
d) 1 e –1 
e) –1 e 1 
 
 
15) (MED. JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão (a3 – 
b3 + 3ab2 – 3a2b) para a = 
3
3
2
23 
 e b = 
3
3
2
23 
 
 
a) 
3 9
- 2 
b) 
3 9
+ 2 
c) 8 
d) 13,5 
e) 32 
 
 
 
 
GABARITO 
01. A 02.B 03.B 04.2xy 
05.D 06.D 07.C 08.B 
09.C 10.C 11.B 12.C 
13.D 14.E 15.E 
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Matemática Básica Pagina 25 
IGUALDADES 
 
Conceito 
 
É o modo de exprimir que duas grandezas têm 
o mesmo valor numérico. O sinal = (igual) representa 
essa igualdade. 
Há duas espécies de igualdades: 
As IDENTIDADES e as EQUAÇÕES. 
IDENTIDADE é uma igualdade que se 
verifica para qualquer valor que se atribua às variáveis, 
enquanto que EQUAÇÃO é uma igualdade que se 
verifica somente para determinados valores das 
variáveis. 
Estudemos, de início, as identidades. 
 
Identidades 
 
Se duas expressões algébricas têm sempre o 
mesmo valor numérico para qualquer valor que se 
atribuam às variáveis nelas contidas, denominam-se 
idênticas. 
 
Exemplos: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
(a + b) (a - b) = a2 - b2 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab +ac+bc) 
 
Equações 
 
 São igualdades literais que se verificam 
somente para determinadosvalores atribuídos às 
variáveis. 
 
Exemplos: 
 
1º) 2x=4, somente se x=2 
2º) 2x+1 = 7, somente se x = 3 
3º) x/2 + x/4 = 6, somente se x=8. 
 
Obs: Resolver uma equação consiste em encontrar o 
valor da variável que satisfaça a igualdade enunciada. 
Assim, a solução de: 
 
2 + x = 6 –x é x = 2, porque 2 + 2 = 6 – 2 
Para resolver uma equação (1º grau): 
 
Isola-se a incógnita em um dos membros da 
equação, passando todos os outros números e letras que 
figuram na equação para o outro membro, com a 
operação inversa. As operações inversas são: 
ADIÇÃO  SUBTRAÇÃO 
MULTIPLICAÇÃO  DIVISÃO 
POTENCIAÇÃO  
RADICIAÇÃO 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Resolva 
0
3
1
4
3



 xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Resolva 
51
3
)1.(2
2


 x
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Dado x = vt – ½ .a.t2, isole a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Isole x: 2 ax + 3(ax+1) = 4 a(x+3) 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Básica Pagina 26 
05) A metade mais a terça parte do mesmo número é 
igual a treze. O número é: 
 
 
 
 
 
06) A minha idade é o dobro da sua, mas, há dez anos, 
era o triplo. Quais são as nossas idades? 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Ache o valor de x na equação: 
2mx – 4m2 = x – 2m 
 
a) 2m 
b) m - 1 
c) 2m + 1 
d) 2m – 1 
e) 0 
02) Ache o valor de x na equação: 
12
1
)1(
3
1
4
 x
x
 
 
 
 
 
 
03) Dado M= C + ert: isole t: 
a) 
er
CM 
 
b) 2 
c) M/r 
d) M – C 
e) 
er
CM 
 
 
04) Qual o número que somado a uma quarto dele 
próprio, mais dois quartos dele próprio, mais três 
quartos dele próprio dá 10? 
 
a) 4 
b) 10 
c) 40 
d) 20 
e) 180 
 
05) Qual o número que somado à décima parte dele 
próprio dá 33 é: 
 
a) 10 
b) 20 
c) 22 
d) 30 
e) 33 
 
06) 
.b
x
b
a
x
a 
. Isole x. 
 
a) a - b 
b) a.b 
c) 1/a + b 
d) a+b 
c) a/b 
 
07) Três sétimos do que ganho, gasto em alimentação e 
metade do que sobra gasto em condução. Descontados o 
que gasto com alimentação e condução, gasto 1/6 do que 
sobra em revistas, ficando, então, com R$ 6.000,00. 
Quanto ganho? 
 
a) R$ 20.000,00 
b) R$ 20.200,00 
c) R$ 25.200,00 
d) R$ 30.000,00 
e) R$ 32.300,00 
 
08) O lucro de uma firma foi de R$ 297.000,00 e deverá 
ser dividido entre os seus quatro sócios da seguinte 
maneira: o primeiro receberá 6/5 do quarto, o segundo, 1/3 
do primeiro e o terceiro, ¼ do segundo. Quanto receberá 
cada um? 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) (FUVEST) Dada a equação
1
1
1
1
2
2



 xx
, 
então: 
 
a) S =  
b) S = { 0; 1} 
c) S = { 1} 
d) S = { 0; -1} 
e) S = { 0 } 
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10) (MED. JUNDIAÍ) As três raízes da equação 
 x3.+ x2 – x – 1 = 0 são: 
 
a) todas negativas; 
b) todas positivas; 
c) duas positivas e uma negativa; 
d) duas negativas e uma positiva; 
e) todas iguais. 
 
 
 
11) (PUC) Resolver a equação 
1
1
2
1
1





x
x
x
x
 
a) S = {0} 
b) S =  
c) S = { -1, 0} 
d) S = { 0; 1} 
e) S = { 1 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) O valor de x na equação
3
1
3
1 x
x
x


 é: 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 3 
d) – 1/3 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. A 02.B 03.A 04.A 
05.D 06.B 07.C 
08.132, 44, 11 e 110 mil 09.E 
10.D 11. A 12. C 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Conceito 
 
São duas ou mais equações, onde a solução deve 
satisfazer as outras equações. Existem vários processos de 
resolução e veremos 3 tipos: SUBSTITUIÇÃO, 
COMPARAÇÃO e ADIÇÃO. 
 
Substituição 
 
 Isola-se uma incógnita em uma das equações e 
substitui-se na outra equação. 
Por exemplo: 
 





)2(2
)1(72
yx
yx
 
 
De (1) vem: 
x = 2 + y (3) 
 
Substituindo em (1): 
2.(2 + y) + 7  y = 1 
 
Substituindo em (3): 
x = 2 + 1  x = 3 
O u então: (3;1) = (x;y) 
 
Comparação 
 
Isola-se uma das incógnitas nas duas equações e 
comparam-se seus valores. 
Por exemplo: 
 





)2(2
)1(72
yx
yx
 
 
De (1) vem: 
y = 7 – 2x (3) 
 
De (2) vem: 
-y = 2 – x  y = -2 + x 
 
Comparando: 
7 – 2x = x - 2  x = 3 
 
Substituindo em (3): 
y = 3 – 2  y = 1 
 
 
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Matemática Básica Pagina 28 
Adição 
 
 Consiste em adicionar as equações 
convenientemente. Por exemplo, resolver, resolver o 
sistema por adição. 





)2(42
)1(95
yx
yx
 
 
Multiplica-se por 2 a equação (1) e adiciona-se 
à equação (2): 
 





42
18210
yx
yx
 
 11x = 22 x = 2 
 
Substituindo em (1): 
5.2 – y = 9  y = 1 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Resolver pelos três processos o sistema: 
 





042
73
yx
yx
 
 
SUBSTITUIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPARAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
02) Resolver o sistema: 
 














6
7
2
4
6
35
4
27
2
25
3
4
3
xyyx
xy
x
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) A soma de dois números é 28 e a razão entre eles é ¾ . 
O maior deles é: 
 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 20 
e) 25 
 
 
 
 
04) A soma das idades de um casal de noivos é 56 anos. 
Sabe-se que a idade da noiva está para a do noivo assim 
como 5 está para 2. Supondo que por um motivo qualquer 
(??!!) os mesmo casem-se hoje, que idade terão ao 
completar as bodas de prata? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01) A solução do sistema: 





3
22
yx
yx
é o par: 
a) (8/9; -1/3) 
b) (2/3; -1/3) 
c) (2/3; 1/3) 
d) (-8/9; -1/3) 
e) (8/3; -1/3) 
 
 
02) O valor de y no sistema: 





233
193
xy
xy
 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 10 
d) 20 
e) 5 
 
03) A solução do sistema : 










1
4
3
6
34
3
10
5
32
xxy
yyx
 é: 
a) x = 2; y = 9 
b) x = 1; y = 8 
c) x = 4; y = 9 
d) x = 2; y = 3 
e) x = 1; y = 4 
 
4) Dois números estão entre si como 7 para 11. 
Adicionando-se 4 unidades no menor, obtém-se o 
mesmo resultado que subtraindo-se 4 do maior. Os 
números são: 
a) 21 e 33 
b) 7 e 11 
c) 28 e 44 
d) 35 e 55 
e) 14 e 22 
 
05) (UEL) Na sala de espera de uma clínica, homens e 
mulheres aguardavam atendimento. Primeiramente 
foram atendidas 3 mulheres, ficando o número de 
homens igual o dobro ao de mulheres. Em seguida, 
foram atendidos 15 homens, ficando o número de 
mulheres igual ao triplo do de homens. Quantas pessoas 
aguardavam atendimento inicialmente? 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
06) (UEL) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um 
de seus vagões um certo número de passageiros. Na 
primeira parada não subiu ninguém e desceram desse 
vagão 12 homens e 5 mulheres, restando nele um número 
de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda 
parada não desceu ninguém,entretanto, subiram nesse 
vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de 
homens igual ao de mulheres. Quantos passageiros havia 
no inicio da viagem? 
 
a) 55 
b) 65 
c) 75 
d) 85 
e) 95 
 
 
 
 
07) Determinar o número de três algarismos, 
compreendido entre 400 e 500, sabendo que a soma de 
seus algarismos é 9 e que o número invertido é igual a 
36/47 do número primitivo. 
 
 
 
 
 
 
 
08) Achar um número de dois algarismos, sabendo-se que, 
4 vezes o algarismo das dezenas menos o das unidades é 
igual a 5; e sabendo-se que invertendo a ordem dos 
algarismos, obtém-se um outro número que excede o 
número procurado em 36. 
 
 
 
 
 
 
09) A soma dos dois algarismos de um número é 9. 
Dividindo-se o número pela ordem dos seus algarismos, o 
quociente exato é 8. Determinar o número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Básica Pagina 30 
10) (CESGRANRIO) Paga-se um móvel de 850 
escudos em notas de 20 e 50 escudos. Se o número total 
denotas é 23, então, a diferença de notas de um e outro 
valor é: 
 
a) 7 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3 
 
 
 
 
11) O número 38 é dividido em duas parcelas. A maior 
parcela dividida pela menor dá quociente 4 e resto 3. 
Achar o produto dessas duas partes. 
 
a) 240 
b) 136 
c) 217 
d) 105 
e) 360 
 
 
12) (FUVEST) O salário de Antônio é igual a 90% do 
de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. 
O salário de Antônio é: 
 
a) R$ 5.500,00 
b) R$ 45.000,00 
c) R$ 4.000,00 
d) R$ 4.500,00 
e) R$ 3.500,00 
 
 
 
13) Em um banquete comemorativo, 18 homens, 22 
mulheres e 25 crianças devem pagar a conta de R$ 
470,00. Ficou combinado que a quantia que cada 
homem pagaria seria o dobro da quantia paga 
conjuntamente por uma mulher e uma criança e que, 
além disso, cada criança pagaria a Terça parte da 
quantia paga por uma mulher. Assim sendo, cada 
criança deverá pagar: 
 
a) R$ 2,50 
b) R$ 1,00 
c) R$ 1,50 
d) R$ 2,00 
e) R$ 1,75 
 
 
 
14) (FUVEST) Um açougue vende dois tipos de carne de 
1ª a R$ 12,00 o quilo e de 2ª a R$ 10,00 o quilo. Se um 
cliente pagou R$10,50 por um quilo de carne, então, 
necessariamente, comprou: 
 
a) 350g de carne de 2ª 
b) 250g de carne de 2ª 
c) 600g de carne de 1ª 
d) 350g de carne de 1ª 
e) 250g de carne de 1ª 
 
 
 
 
 
 
 
15) (UEM) José gastou tudo o que tinha no bolso em três 
lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que a metade 
do que tinha ao entrar. Quanto tinha José ao entrar na 
primeira loja? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) (VUNESP) Uma certa importância deve ser 
dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha 
fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma 
receberia R$ 5.000,00 a mais. Calcule esta importância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.E 02.C 03.C 04.E 05.C 06.B 7.423 
08.37 09.72 10.E 11.C 12.D 13.D 14.E 
15.34 16.(20000) 
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Matemática Básica Pagina 31 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Definição 
 
É toda equação que pode ser escrita na forma: 
 . a.x2 + b.x + c = 0 . 
 
Exemplos: 
 
x2 – 6x + 8 = 0 
7x2 + 8x - 5 = 0 
x2 – 5x = 0 
9x2 = 1 
 
Resolução 
 
a) Incompletas: 
1º) Tipo: a.x
2
 = 0  x = 0 (duas raízes) 
Exemplo: - 4.x2 = 0  x + 0 (duas raízes) 
 
2º) Tipo: a.x
2
 + b.x = 0  coloca-se x em evidência! 
Exemplo: 
a) x2 – 5.x = 0  x.(x-5) = 0  x = 0 e x = 5 
b) 3.x2 + 7.x = 0 
 
3º) Tipo: a.x
2
 + c = 0. Isola-se o x. 
Exemplo: 
a) 3.x2 – 27 = 0  x2 = 9  x = + 3 e x = -3 
b) 2.x2 – 8 = 0 
 
b) Completas: 
 
Usa-se a fórmula : x = 
a
b
.2
 
onde :  = b2 – 4.a.c 
 
Exemplos: 
a) x2 – 7.x + 10 = 0  a = 1; b = -7; c = 10 
 = (-7)2 – 4.1.10 = 9 
 
x = 
1.2
9)7(  
x = 
2
37 
 x1 = 5 e x2 = 2 
Propriedades 
 
 Dada a equação a.x2 + b.x + c = 0; demonstra-
se que: 
x1 + x2 = -
a
b
 
x1 . x2 = 
a
c
 
 Conseqüência: Em toda equação do 2º 
grau, onde a = 1, o coeficiente do termo x representa a 
soma das raízes com sinal trocado e o termo independente 
representa o produto das raízes. 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Resolva 9.x2 – 16 = 0 
 
 
 
 
 
02) Resolva y2 – 7.y = 0 
 
 
 
 
 
03) Resolva 3x.(x+2) = (x-3) .2x 
 
 
 
 
 
04) (x2 – 9).(x2 – x – 6) = 0 
 
 
 
 
 
 
05) (2x – 1).(x2 – x - 1) = (2x – 1). (x – 2) 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Resolva 3x2 – 10x = -2x2 + 5x 
 
a) (0; 8) 
b) (0; 1) 
c) (0; 12) 
d) (0; 3) 
e) (1; 2) 
 
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Matemática Básica Pagina 32 
02) Resolva t.(2t+1) = 36 
a) (-9/2; 4) 
b) (-4; 4) 
c) (-9/2; 9/2) 
d) (-9/2; -4) 
e) (1; 2) 
 
03) Resolva 
2
3
3
1
 x
, x  0 
a) (1; 2) 
b) ( ½; -2) 
c) (2; 2) 
d) (2; -1) 
e) (3; 3) 
 
04) Resolva 
2
7
6
13
3
1 22



 xx
 
 
a) (2; 0) 
b) (2; 3) 
c) (-2; 2) 
d) (0; 1) 
e) (2; 1) 
 
 
05) Resolva 
2
23
4
2





x
x
x
x
 
 
a) (1; 6) 
b) (-1; -6) 
c) (1; 1) 
d) (3; 3) 
e) (5; 16) 
 
06) A soma das raízes da equação: 
(m - 1) x2 – (m2 - 1)x + (m - 1) = 0 
 
a) m - 2 
b) m – 1 
c) 2m + 1 
d) m + 1 
e) m 
 
07) Determine m na equação x2 – 9x + 2m = 0 de modo 
que uma de suas raízes seja 3. 
 
a) 6 
b) 9 
c) –3 
d) 3 
e) 0 
08) (MACK) A soma e o produto das raízes da equação 
0
3
1

 xx
x
, x0 e x1 são, respectivamente: 
 
a) 2 e 3 
b) –1 e 3 
c) 3 e –3 
d) –3 e –3 
e) 3 e 2 
 
09) (CESGRANRIO) Se m e n são raízes da equação 7x2 + 
9x + 21 = 0, então (m+7).(n+7) vale: 
 
a) 49 
b) 43 
c) 37 
d) 30 
e) 30/7 
 
10) (PUC) Considere o seguinte problema “Achar um 
número que somado com 1, seja igual ao seu inverso”. 
Qual das equações representa este problema? 
 
a) x2 – x + 1 = 0 
b) x2 – x - 1 = 0 
c) x2 + x - 1 = 0 
d) x2 + x + 2 = 0 
e) x2 + x - 2 = 0 
 
11) Determine os valores de m para os quais seja nula uma 
das raízes da equação: 
x2 – 3.(2x + m) +(m – 2).(m –2) = 0 
 
a) 4 e -1 
b) –4 e 1 
c) 2 e 5 
d) 0 e 1 
e) 2 e –2 
 
 
 
 
 
 
12) (FUVEST) A equação x2 – x + c = 0, para um 
conveniente valor de c, admite raízes iguais a: 
 
a) -1 e 1 
b) zero e 2 
c) –1 e zero 
d) 1 e –3 
e) –1 e 2 
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Matemática Básica Pagina 33 
13) As despesas de um condomínio totalizam 
R$1.200,00. Três condôminos, não dispondo de 
dinheiro para pagar as suas partes, obrigam os demais 
condôminos a pagar, além de suas partes, um adicional 
de R$ 90,00 cada um. Qual é o número total de 
condôminos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Se a soma das raízes da equação kx2 +3x- 4 = 0 é 
10, podemos afirmar que o produto das raízes é: 
 
a) 40/3 
b) –40/3 
c) 80/3 
d) –80/3 
e) –3/10 
 
 
 
 
15) (FUVEST) A equação 
01
2
1



 x
x
x
x
tem 
duas raízes. A soma e o produto dessas raízes são iguais 
a: 
 
a) –2 
b) 0 
c) 3 
d) –4 
e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.D 02.A 03.B 04.C 
05.B 06.D 07.B 08.D 
09.B 10.C 11.A 12.E 
13.08 14.A 15.A 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Discussão das Raízes 
 
Sendo  = b2 – 4.a.c o discriminante da equação 
de acordo com seus valorestemos as seguintes 
possibilidades: 
 
a)  > 0  raízes reais e diferentes: 
Exemplo: x2 – x – 20 = 0 
 = 81; x = 5 ou x = -4 
 
b)  = 0  raízes reais e iguais: 
Exemplo: x2 +6x + 9 = 0 
 = 0; x = -3 ou x = -3 
 
c)  < 0  raízes imaginárias (complexas): 
Exemplo: x2 – x + 3 = 0 
 = -11; 
x = 
2
111   











2
111
2
111
2
1
i
x
i
x
 
 
Forma fatorada 
 
 Supondo que b2 – 4.a.c ), tem-se que a 
expressão ax2 + bx + c = 0, a0, denominada trinômio do 
segundo grau, é idêntica ao produto: a.(x - x1).(x - x2), 
onde x1 e x2 são raízes da equação ax
2 + bx + c = 0. 
 
ax2 + bx + c = 0 = a.(x - x1).(x - x2) 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Calcule o valor de m para que a equação: 5x2 - 3x + 
m = 0 tenha raízes reais e iguais. 
 
a) 20/9 
b) ¾ 
c) 5/12 
d) 9/20 
e) n.d.a 
 
02) A equação x2 - 2x + 10 = 0 possui raízes: 
 
a) reais e iguais 
b) reais e diferentes 
c) complexas e iguais 
d) complexas e diferentes 
e) não admite raízes. 
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Matemática Básica Pagina 34 
 
03) Para que a equação (2m – 7) x2 - mx + m = 0 
admita raízes reais e iguais, m deverá ser igual a: 
 
a) 2 
b) ½ 
c) 4 
d) –2 
e) ¼ 
 
04) Fatorar a expressão 2x2 - 5x + 2. 
 
 
 
 
 
 
 
05) Sendo x = 3,14, obter o valor numérico da 
expressão 
.
12
252 2


x
xx
 
 
 
 
 
 
 
06) Dê a forma fatorada da expressão 3x2 +10x +3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) (FUVEST) Qual dos valores seguintes que 
substituindo c na equação 2x2 - 5x + c = 0 transforma-a 
em uma equação impossível em R? 
 
a) -4 
b) 2 
c) 1 
d) 5 
e) ½ 
 
02) (UFMG) O valor de m positivo para que a equação: (m 
- 1).x2 + 2mx – (m + 1) = 0 admita uma única raiz real e 
igual a: 
 
a) 
2
 
b) 2
2
 
c) 
2
/2 
d) ½ 
e) -
2
/2 
 
 
03) (CESGRANRIO) Sobre a equação: 1983x2 – 
1984x – 1985 = 0, a afirmação correta é: 
 
a) não tem raízes reais 
b) tem duas raízes reais simétricas 
c) tem duas raízes reais distintas 
d) tem duas raízes positivas 
e) tem duas raízes negativas 
 
 
 
04) A equação 
:16
92
155



xx
 
a) não admite raízes reais 
b) admite o número 9/2 como raiz 
c) admite o número 5 como raiz 
d) admite o número 16/5 como raiz 
e) admite o número 7/32 como raiz 
 
 
 
 
 
05) A equação do 2º grau x2 – mx +1 = 0 admite uma 
única raiz real. Então os valores possíveis para m são: 
 
a) –2 e 2 
b) –1/5 e 1/5 
c) –3 e 3 
d) –4 e 4 
e) –¼ e ¼ 
 
 
06) (MACK) A equação ax2 + x +1 = 0 tem duas soluções 
reais e distintas se, e somente se: 
a) a > ¼ 
b) 0  a  ¼ 
c) a  ¼ e a  0 
d) a< ¼ e a 0 
e) a é um número real não nulo. 
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Matemática Básica Pagina 35 
07) Simplifique a expressão 
8166
869
2
2


xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) O valor de k, tal que a equação (k-2).x2 –3kx+1= 0 
tenha duas raízes cuja soma seja igual ao seu produto é: 
 
a) –1/3 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) –2/3 
e) 3/5 
 
 
 
 
 
 
09) Os valores de m e n na equação x2 +mx +n = 0, para 
que suas raízes sejam 2 + 
3
 e 2 - 
3
 são, 
respectivamente: 
 
a) 0 e 1 
b) 1 e 0 
c) 1 e –4 
d) –4 e 1 
e) 0 e –4 
 
 
 
10) Obtenha dois números inteiros consecutivos cujo 
produto é 272. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Num retângulo cuja área é de 65 m2, o comprimento é 
3 m menor que o dobro da largura. A largura vale: 
 
a) 5,6 m 
b) 6,5 m 
c) 5 m 
d) 6 m 
e) 65 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Os valores de p para que a equação x2 +x+ (p2 – 7p)=0 
tenha uma raiz nula são: 
 
a) 2 e 5 
b) –5 e –2 
c) 3 e 4 
d) 0 e 7 
e) –7 e 3 
 
 
 
 
13) Um valor de m para o qual uma das raízes da equação 
x2 - 3mx + 5m = 0 seja o dobro da outra, é: 
 
a) –5/2 
b) 2 
c) –2 
d) –5 
e) 5/2 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.D 02.C 03.C 04.C 
05.A 06.D 07.* 08.B 
09.D 10.* 11.B 12.D 
13.E 14.A 15.A 
* 07.
42
43


x
x
 10. {16 e 17 ou –16 e –17} 
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Matemática Básica Pagina 36 
CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULO 
 
No estudo das formas e das linhas, a 
circunferência e o círculo chamaram a atenção da 
humanidade por serem as figuras mais regulares e 
perfeitas já desenhadas. Logo surgiram muitas 
aplicações dessas figuras e elas passaram a fazer parte 
do dia-a-dia. Os segmentos de reta que vão do centro 
até um ponto da circunferência são raios da 
circunferência e eles têm medidas iguais, ou seja, são 
congruentes. 
Uma circunferência é formada por todos os 
pontos de um plano que estão a uma mesma distância 
de um ponto fixo desse plano, que chamamos de centro. 
Corda é um segmento de reta com 
extremidades em dois pontos da circunferência. 
Diâmetro é uma corda que contêm o centro da 
circunferência. A medida de um diâmetro é o dobro da 
medida de um raio. 
 
 
AB = EF = Diâmetro 
 
OE= OF=OB=OA= Raio 
 
CD = Corda 
 
 
A figura formada pelos pontos (ex: A, B, C, D, 
E, F) da circunferência e pelos pontos internos a ela é 
chamada de Círculo (Área interna a circunferência). 
Perímetro ou comprimento de uma 
circunferência é a distância do contorno do círculo 
.π é o quociente obtido na divisão do 
perímetro ou comprimento de uma circunferência 
pela medida de um diâmetro. È um número decimal 
com infinitos algarismos em sua representação decimal 
e não é uma dízima periódica. 
Se você medir, com algum cuidado, o 
perímetro e o diâmetro de vários círculos e, em cada 
caso, calcular a razão entre as duas medidas, deverá 
obter sempre 3,14 aproximadamente. Um valor 
aproximado de π pode vir, então, de várias medições 
práticas. 
π é também é um número não-racional. 
 
 
____Comprimento de uma circunferência___ 
 Medida de um diâmetro dessa circunferência
 
 
Usando letras para representar as medidas 
C = π .d ou C = 2.π. r 
 Pois d = 2r 
C = comprimento de uma circunferência 
d = medida de um diâmetro dessa circunferência 
 
 Área de um círculo = A = π.r2 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
01) Qual é a medida de um diâmetro de uma 
circunferência cujo comprimento mede 12,5 cm? 
 
 
 
 
 
02) Uma pista circular tem 90 cm de raio. Quantos 
quilômetros terá percorrido uma pessoa após dar 20 voltas 
nessa pista? 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) Um círculo possui raio 3,4 cm. Calcule a área e o 
perímetro desse círculo. 
 
 
 
 
 
02) Um circulo possui diâmetro de 8 cm. Qual a área e o 
perímetro desse círculo? 
 
 
 
 
 
 
03) Um circulo possui área de 36 cm2. Calcule o raio e o 
perímetro desse círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
04) O comprimento da circunferência de um círculo é de 
45 cm. Qual a medida do raio e da área desse círculo? 
 
 
 
 
 
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Matemática Básica Pagina 37 
05) Calcule as áreas coloridas das figuras abaixo: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
06) Observe as dimensões desta pista: 
 
a) Para percorrer 1000 m nesta pista ele tem que dar no 
mínimo quantas voltas nesta pista? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se a empresa responsável pela pista resolver 
preencher a parte interna com grama, quantos m2 serão 
necessáriospara cobrir toda a área. 
 
 
 
 
07) Um meridiano terrestre tem, aproximadamente, 40.000 
Km de perímetro. Calcule o raio da terra usando π = 3,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) O raio da roda de uma bicicleta mede 40 cm. 
Responda às questões dando o resultado em metros, com 
uma casa decimal. 
a) Quanto avança a bicicleta, quando a roda dá um giro 
completo? 
 
 
 
b) Quantas voltas dá a roda num percurso de 5 km? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) (IMENES&Lellis) Sabendo que o valor correto até a 
sexta casa decimal de π é 3,141592, conclui-se que o valor 
aproximado 
7
22
, descoberto por Arquimedes, é correto: 
a) até a primeira casa após a vírgula; 
b) até a segunda casa após a vírgula; 
c) até a terceira casa após a vírgula; 
d) até a quarta casa após a vírgula; 
e) até a quinta casa após a vírgula; 
 
 
GABARITO 
01.Ac = 36,2984 cm
2 e Pc = 21,352 cm 
02. Ac = 50,24 cm
2 e Pc = 25,12 cm 
03. R ≈ 3,39 cm e Pc ≈ 21,2892 cm 
04. Ac = 36,2984 cm
2 e Pc = 21,352 cm 
05. a) Ac = 11,52 cm
2 b) Ac = 9,72 cm
2 
06. a) 14 voltas b) Ac = 278,5 cm
2 
07. r = 6369 km, aproximadamente 
08. a) 2,5 cm aproximadamente b) 2 000 voltas 
09.B 
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Matemática Básica Pagina 38 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
 
 
hip
adj
cos
 
hip
op
sen
 
adj
op
tg 
 
 30º 45º 60º 
Sem 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
Cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
Tg 
3
3
 1 
3
 
Em matemática, as propriedades importantes 
que deduzimos são chamadas teoremas. Um dos 
teoremas mais conhecidos da matemática é o teorema 
de Pitágoras: 
“Em Todo triângulo retângulo, o quadrado da medida 
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos.” 
 Enunciado como “a2 = b2 + c2” 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Considere o triângulo retângulo abaixo e determine: 
 
 
 
 6 
 
  
 8 
 
a) 
sen
 
 
 
b) 
cos
 
 
 
c) 
tg
 
02) Uma escada faz um ângulo de 30º com a parede 
vertical de um prédio, ao tocar o topo distante 6m do solo. 
Determine o comprimento da escada. 
 
 
 
 
03) (Unesp-SP) Do alto da torre de uma plataforma 
marítima de petróleo, de 45m de altura, o ângulo de 
depressão em relação à proa de um barco é de 60º. A que 
distância o barco esta da plataforma? 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01) (Unb) Do alto de uma torre de 50m de altura, 
localizada em uma ilha, avista-se um ponto da praia sob 
um ângulo de depressão de 30º. Qual é a distância da torre 
até este ponto? 
 
 
 
 
 
 
02) (Cesesp-PE) Do alto de uma torre de 50m de altura, 
localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 
45º em relação ao plano horizontal. Para transportar 
material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 0,20 
por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte 
que faz? 
 
 
 
 
 
 
 
03) Num trabalho prático de topografia, um estudante de 
engenharia civil deve determinar a altura de um prédio 
situado em terreno plano. Instalado o aparelho adequado 
num ponto do terreno, o topo do prédio é visto sob um 
ângulo de 60º. Afastando-se o aparelho mais 10m do 
edifício, seu topo passa a ser visto sob um ângulo de 45º. 
Desprezando-se a altura do aparelho, a altura do edifício 
é? 
 
 
 
 
Hip = a 
Op =b 
Adj = c 

 
 
10 6 
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Matemática Básica Pagina 39 
04) Do alto de um farol situado a 60m do nível do mar, 
avista-se um barco segundo um ângulo de depressão de 
15º. Qual a distância do barco ao farol? 
Dado cos 75º = 0,26. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pitágoras 
05) Os lados de um quadrado medem 15 cm. Qual é a 
medida da diagonal? 
 
 
 
 
 
06) Num triângulo retângulo, um cateto mede 24 cm e a 
hipotenusa, 26 cm. Qual é a medida do outro cateto? 
 
 
 
 
 
 
07) O lado de um triângulo eqüilátero mede 10 cm. 
a) Calcule a medida de sua altura. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calcule a área do triângulo. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01. 
3
350 02) R$ 10,00 03) h = 
10
13
10


 
 
04) 62 m 05) 15
2
 cm 06) 10 cm 
07) a) 5
3
 cm b) 25
3
 cm 
 
 
O CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
Considere uma circunferência de raio r = 1. 
Fixe nesta circunferência um ponto para ser a 
origem de todos os arcos que forem medidos na 
circunferência. 
Convencionemos que os arcos que forem medidos 
no sentido anti-horário serão positivos e os que forem 
medidos no sentido horário serão negativos. 
A esta circunferência chamaremos ciclo 
trigonométrico. 
 
 
O ângulo reto mede 90º ou 
2

 radianos. Então 
temos, na figura a seguir, as medidas, em graus e radianos, 
dos ângulos limites de quadrantes. 
 
 
 
 MEDIDAS DE ÂNGULOS 
Considere um ângulo 

 com o vértice no centro 
0 de uma circunferência, determinando um arco 
AB
. 
 
 
 
 
A 
B 
 α 
2ºQ 1ºQ 
3ºQ 4ºQ 
0º 
90º 
180º 
 270º 
0 
x 
y 
R
=1 
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Matemática Básica Pagina 40 
Então, definimos: 
Medida de 

 em radianos = 
raio
ABdeocompriment ..
 
Ou seja : 

= 
.rad
AO
AB
 
 
 
EXERCÍCIO DE SALA 
 
01) Lembrando a relação 180º 

 
radianos
 
converta: 
 
a)240º em radianos; 
 
 
 
 
b)105º em radianos; 
 
 
 
 
c)
6
11
 radianos em graus; 
 
 
 
 
d) 
3
7
 radianos em graus; 
 
 
 
02) Sendo k um número inteiro, marque no ciclo 
trigonométrico os pontos correspondentes às 
extremidades dos ângulos que medem: 
 
a)
;
3


k
 b) 
;º360.º120 k
 
 
AS FUNÇÕES SENO E COSSENO 
 
Considere o ciclo trigonométrico a seguir: 
 
Definimos: 
________
cosOBeOAsen
 
 
É fácil chegar aos valores da tabela a seguir : 
 
x 
6

 ( 30º ) 
4

 ( 45º ) 
3

 ( 60º ) 
sen x 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos x 
2
3
 E
2
2
 
2
1
 
 
PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO 
 
Do que vimos, podemos concluir: 
Domínio: o domínio de y = sem x e y = cos x é o conjunto 
dos números reais. 
Imagem: a imagem de y = sem x e y = cos x é o intervalo 
 1,1
, isto é , 
11  senx
 
e 
1cos1  x
 
Rx
 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
 
01) Calcule os valores de m para os quais existe x tal que : 
 
a) sen x = 3.m + 5 ; 
 
 
 
b) cos x = 3 – 2.m ; 
 
 
 
 
 
 
A 
B 0 
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Matemática Básica Pagina 41 
SINAIS DA FUNÇÃO SENO E COSSENO 
 
a)Função seno 
 
 
b)Função cosseno 
 
 
A IDENTIDADE FUNDAMENTAL 
 
Considere no ciclo trigonométrico a seguir o 
triângulo retângulo OAB. 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
     222 BOAOAB 
 , ou seja: 
Rxxxsen  ,1cos22
 
 
EXERCÍCIOS DE SALA 
01) Ache os valores de m, sabendo que existe um 
ângulo x tal que sen
5
m
x 
 e 
.
5
1
cos


m
x
 
 
 
 
02) A expressão 








 ..2
2
,
1
cos2
kx
senx
x
 é idêntica a: 
a)sen x d)1 + sen x 
b)1 + cos x e)1 – cos x 
c)1 – sen x 
 
 
 
 
 
 
3) Determine o valor obtido ao simplificar-se a expressão 
.5coscos..3cos.3642246  xxxsenxxsenxsen
 
 
 
 
 
 
 
A FUNÇÃO TANGENTE 
 
Observe o ciclo trigonométrico a seguir 
 
Definimos: 
ABtgx 
 
 
..
..
cos adcat
opcat
x
senx
tgx 
 
 
Daí, têm-se a seguinte tabela: 
 
x 
6

 ( 30º ) 
4

 ( 45º ) 
3

 ( 60º ) 
Tg x 
3
3 1 3 
 
 
 
Eixo das tangentes 
 
O A 
B 
- 
- + 
+ 
 + 
 - 
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Matemática Básica Pagina 42 
SINAIS DA TANGENTE 
 
 
EXERCÍCIOS PROOSTOS 
 
1.(ITA) Transformando 12º em radianos , obtemos: 
a) 
rad
15

 b) 
rad

15
 c) 
rad
30

 d) 
rad
15
2
 
e)12 rad 
 
 
 
 
 
 
2.(Mack) A medida de um ângulo é 225º.Em radianos, 
a medida do mesmo ângulo é: 
a) 
5
4
 b) 
4
5
 c) 
4
3
 d) 
4
7
 e) 
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.(Fuvest) Dentre os números abaixo o mais próximo 
de sen 50º é: 
a)0,2 b)0,4 c)0,6 d)0,8 e)1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.(Fecap)O valor de 







42
cos
4
cos
4
sen
 é: 
a)
2
 b)
2
2
 c) 
2
23
 d) 2
2
 e)n.d.a 
 
 
 
 
 
 
 
5.(Fuvest)O menor valor de 
xcos3
1

, com x real é: 
a)
6
1
 b) 
4
1
 c) 
2
1
 d)1 e)3 
 
 
 
 
 
 
 
6.(PUC-RJ)A expressão 
1
cos1
sen 2

 x
x
, com 
1cos x
, é 
igual a: 
a)
xcos1
 b)
xsen
 c) 
xsen1
 d) 
xcos1
 
e)cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.Calculando 
Rx
, de modo que ocorram 
simultaneamente 
,
1
1
cos;
1
sen





x
x
a
x
x
a
obtêm-se: 
a)0 e 1 b)1 e 4 c)1 e 1 d)0 e 4 e)4 e 
1 
 
 
 
 
 
 
 
- 
- 
+ 
+ 
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Matemática Básica Pagina 43 
8.Sabendo-se que 
5
3
cos a
e que a é um arco de 1º 
quadrante , o valor de tg a é: 
a) 
5
4
 b) 
3
4
 c) 
4
3
 d) 
3
5
 e) 
4
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.(ITA-SP)O valor da expressão


21
2
tg
tg
x


 quando 
7
3
cos


 e 
0tg
é: 
a)
31
104
 b) 
31
1012
 c) 
15
102
 d) 
7
103
 e)n.d.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.(Ufscar)O valor da expressão 
xtg
x
x 2
2
2
cos
sen2


 é: 
a)-1 b)-2 c)2 d)1 e)0 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.(FGV)O valor de 






4
5
log

tg
 é: 
a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01.A 02. B 03. B 04. B 
05.B 06. E 07. D 08. B 
09.B 10. C 11. C 
 
	CONJUNTOS NUMÉRICOS
	Reais
	Complexos
	NÚMEROS RELATIVOS
	Conceito
	Módulo
	Operações
	Expressões
	EXERCÍCIOS DE PROPOSTOS
	FRAÇÕES
	Definição - Dá-se a denominação de fração a uma ou várias das partes iguais em que se divide a unidade.
	Número Misto
	Propriedades
	Operações
	EXERCÍCIOS DE SALA
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	GABARITO
	POTÊNCIAS
	Propriedades (1)
	EXERCÍCIOS DE AULA
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (1)
	GABARITO
	POTÊNCIAS (2ª PARTE)
	Propriedades (2)
	EXERCÍCIOS DE AULA (1)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (2)
	GABARITO
	RADICIAÇÃO
	Operações (1)
	EXERCÍCIOS DE AULA (2)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (3)
	GABARITO
	RADICIAÇÃO – 2ª parte
	EXERCÍCIOS DE AULA (3)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (4)
	GABARITO
	PROPORÇÕES
	Propriedades (3)
	Grandezas Diretamente Proporcionais
	EXERCÍCIOS DE AULA (4)
	Grandezas Inversamente Proporcionais
	EXERCÍCIOS DE AULA (5)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (5)
	GABARITO
	REGRA DE TRÊS
	Regra de Três simples
	Regra Geral
	Regra de Três Simples Direta
	Regra de Três Simples Inversa
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (6)
	GABARITO
	REGRA DE TRÊS COMPOSTA
	EXERCÍCIOS DE AULA (6)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (7)
	GABARITO
	PORCENTAGEM
	EXERCÍCIOS DE AULA (7)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (8)
	GABARITO
	EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
	Definição
	Classificação
	Valor numérico
	Termos Semelhantes
	Operações Algébricas
	Produtos Notáveis
	EXERCÍCIOS DE AULA (8)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (9)
	GABARITO
	IGUALDADES
	Conceito
	Identidades
	Equações
	EXERCÍCIOS DE AULA (9)
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (10)
	GABARITO
	SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
	Conceito (1)
	Substituição
	Comparação
	Adição
	EXERCÍCIOS DE AULA (10)
	SUBSTITUIÇÃO
	COMPARAÇÃO
	ADIÇÃO
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	GABARITO
	EQUAÇÕES DO 2º GRAU
	Definição
	Resolução
	Propriedades
	EXERCÍCIOS DE AULA
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (1)
	GABARITO
	EQUAÇÕES DO 2º GRAU (1)
	Discussão das Raízes
	Forma fatorada
	EXERCÍCIOS DE SALA
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (2)
	GABARITO
	CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULO
	EXERCÍCIOS DE SALA
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (3)
	GABARITO
	TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
	EXERCÍCIOS DE SALA
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS (4)
	GABARITO
	O CICLO TRIGONOMÉTRICO
	EXERCÍCIO DE SALA
	AS FUNÇÕES SENO E COSSENO
	EXERCÍCIOS DE SALA
	A IDENTIDADE FUNDAMENTAL
	EXERCÍCIOS DE SALA (1)
	A FUNÇÃO TANGENTE
	EXERCÍCIOS PROOSTOS
	GABARITO (1)