CAP+I+-+NOÇÕES+DE+ECONOMIA+-+CUSTO+-+LUCRO+e+JUROS+SIMPLES+2017-2 (1)

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Cap I – Noções de Economia, Custo, Lucro e Regime de Capitalização Simples
Profº Msc, Antônio Carlos da F. Sarquis
profsarquis@terra.com.br
Cel: 995710989
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ECONOMIA DA ENGENHARIA 
CUSTO E LUCRO NO PROCESSO DA PRODUÇÃO
CUSTOS E LUCRO NO PROCESSO DE PRODUÇÃO
• CÁLCULO PRÁTICO DO CUSTO, RECEITA E LUCRO
C = CF + CV (CF=CUSTO FIXO e CV=CUSTO VARIÁVEL)
L = R – C L = R – (CF + CV) (L = LUCRO e R = RECEITA)
R = Qp (Receita = quantidade vendida x preço de venda unitário)
CV = QCVu (quantidade produzida x custo variável unitário)
Então: L = Qp – (CF + QCVu) = Qp – CF – QCVu
 L+CF = Q(p – CVu) 
 Q= CF+ L/p – Cvu
• EQUAÇÃO DO PONTO DE EQUILÍBRIO (Break – Even – Point)
No ponto de equilíbrio o lucro = zero 
 Qe = CF/p - CVu
(R = C) Qe = Quantidade de equilíbrio
CUSTO E LUCRO
CV
CF
R
R$
R$
R$
Q
Q
Q
R$
Q
CUSTO TOTAL
Qe
Re
BPE
Estudo Gráfico de Receitas e Quantidades:
CUSTO E LUCRO
R$
Q
CV
CF
R
Custo total
Re
Rt
T
Qe
Qt
A receita de equilíbrio (Receita a partir da qual a empresa não terá prejuízo) será dada em função da quantidade de equilíbrio.
Determine a equação da Receita de equilíbrio Re.
A Margem de segurança (MS) é o quanto a empresa trabalha acima do ponto de equilíbrio e pode ser expressa em unidades físicas (quantidades), em valor monetário ($$$$) ou em (%).
Determine a Margem de segurança de uma empresa em cada uma das modalidades acima.
CUSTO E LUCRO
*
CUSTO E LUCRO
Voltando ao exemplo da fábrica de camisas:
Preço de comercialização = R$7,00
CF=100,00 CV=2q R=7q
C = CV + CF = 2q + 100
L = R – C = 7q – (2q + 100)
L = 5q - 100
MARGEM DE SEGURANÇA (MS)
A Margem de Segurança determina o lucro da Organização em um dado momento dos seus processos produtivos, pois ela indica o quanto a empresa opera acima (lucro) ou abaixo do ponto de equilíbrio (prejuízo)
ALGEBRICAMENTE:
Em unidades físicas: MS = Qt – Qe
Em unidades monetárias: MS = Rt – Re
Em percentual: MS = (Qt-Qe/Qe) x 100%
 MS = (Rt-Re/Re) x 100%
MARGEM DE CONTRIBUIÇÃO (MG)
MG = P (Preço unitário de venda) – CVu (Custo variável unitário)
Exemplo:
Produto 1 Produto 2
P = $ 10,00 P = $ 1000,00
Cvu = $ 8,00 Cvu = $ 998,00
Mg = $ 2,00 p/unidade Mg = $ 2,00 p/unidade
Os produtos, aparentemente possuem o mesmo desempenho em termos da MG, então, qualquer conclusão pode ser precipitada, caso não comparemos a MG unitária com algum parâmetro que nos permita distinguir situações aparentemente iguais; no caso a comparação será com o preço unitário;
CUSTO E LUCRO
A MG para toda a produção será dada por: MgxQ = (p-Cvu)xQ
MgQ = PQ – CVuQ
Mg total = Rt – CVt
LUCRO EM FUNÇÃO DA MG:
Lt = Rt-Ct
Lt = pQ – (CV + CF) 
Lt – pQ – CVuQ – CF
Lt = Q(p-Cvu) – CF, então Lt = QMg – CF (L = MS x MG)
CUSTO E LUCRO
CUSTO E LUCRO NO PROCESSO DA PRODUÇÃO
CONCEITOS DE ECONOMIA
Conceito de Economia
Deriva do grego: “aquele que administra o lar”.
Economia é uma ciência social que estuda como os indivíduos e a sociedade decidem utilizar recursos produtivos escassos na produção de bens e serviços, de modo a distribuí-los entre os grupos da sociedade, com a finalidade de satisfazer as necessidades humanas.
 A ciência que estuda a escassez.
A ciência que estuda o uso dos recursos escassos na produção de bens alternativos.
 O Estudo da forma pela qual a sociedade administra seus recursos escassos. 
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Por que razão o homem criou as empresas?
A resposta a essa pergunta pode ser encontrada na história de Robinson Crusoé, normalmente, citada nos livros de ensinamentos básicos de economia, mostra-nos a essência consumista do ser humano. Em seus primeiros dias, na condição de náufrago em uma ilha deserta, todo seu tempo era destinado basicamente para obtenção de alimentos para seu consumo. Provavelmente, alimentava-se de peixes apanhados com suas próprias mãos. Ao querer mudar essa rotina, sacrificou parte desse tempo, e também de sua própria alimentação, para desenvolver um mecanismo mais sofisticado para a sua pescaria, talvez uma lança ou uma rede de pesca. A partir de então, obtinha recursos excedentes aos que necessitava para seu consumo imediato, gerando assim uma reserva que caracterizamos como uma poupança, ou seja , uma garantia para o consumo do dia de amanhã. Em sua nova rotina, sobrava-lhe tempo para se dedicar ao lazer. Foi quando se deu conta da necessidade de uma moradia e sacrificando parte do tempo destinado a seu lazer, construiu uma cabana que lhe satisfazia não apenas o dia de amanhã, mas também para os dias depois de amanhã. Caracterizamos, assim, o conceito de investimentos, ou seja, uma garantia do consumo para o depois de amanhã. Investimento, pois, representa um potencial de consumos presentes e futuros.
Por que razão o homem criou as empresas?
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Como podemos gerar riqueza?
Podemos produzir riqueza alugando bens que possuímos a quem pagar por isso.
Venda de bens não é um meio de produzir riqueza pois isso apenas a transforma. A única possibilidade de venda produzir riqueza é quando o produto vendido não se esgotar.
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Quais são os fatores de produção capazes de gerar riqueza?
 O valor dessa riqueza é determinado pela oferta e pela procura
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
As operações do Sistema Financeiro Nacional podem ser realizadas por meio de quatro grandes segmentos:
 Mercado cambial
 Mercado monetário
 Mercado de crédito
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Mercado Financeiro
Cambial
Monetário
Crédito
Valores Mobiliários
Transforma-ção de moeda estrangeira em moeda nacional e vice-versa
A vista e a curto prazo
Controle da liquidez bancária
A vista, curto e curtíssimo prazo
Financiamentos:
Capital Giro
Capital Fixo
Habitação
Rural
Consumo
Prazos curto, médio e aleatórios
Financiamentos:
Capital Giro
Capital Fixo
Underwriting
Ações
Debêntures
Prazos curto, médio, longo e indeterminado
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Dinheiro
Tempo
RETORNO
TEMPO
OU
LIQUIDEZ
RISCO
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
REVISÃO DE CONCEITOS DE MATEMÁTICA
RAZÃO, PROPORÇÃO, GRANDEZAS PROPORCIONAIS
RAZÃO: Dados dois números a e b, com b diferente de zero, chamamos de razão de a para b, ou simplesmente razão entre a e b, nessa ordem, ao quociente a/b. 
a=antecendente e b=consequente
Exemplo: Em 2007 uma fábrica lucrou R$ 300.000,00 com a venda de um produto e em 2008 lucrou R$ 450.000,00.
450.000,00/300.000,00 = 1,5, significa que a fábrica lucrou em 2008, 1,5 vezes em relação a 2007.
PROPORÇÃO: Duas razões a/b e c/d, com b e d diferentes de zero, a sentença de igualdade a/b = c/d; chamamos de proporção.
Em toda proporção: a.d = b.c; ou seja; o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Exemplo: Retornemos a fábrica do exemplo anterior:
2007 – 300.000,00
2008 – 450.000,00
2009 – 600.000,00
2010 – 900.000,00
450.000,00/300.000,00 = 900.000,00/600.000,00 = 1,5
RAZÃO, PROPORÇÃO, GRANDEZAS PROPORCIONAIS
RAZÃO, PROPORÇÃO, GRANDEZAS PROPORCIONAIS
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: Quando uma aumenta ou diminui, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção.
X = quantidade de bolsas vendidas
Y = preço de venda de uma bolsa
 Perdi2 kg no último mês.
 Eu pesava 230 kg, mas perdi 2 kg no mês passado.
 Meu filho pesava 8 kg, mas perdeu 2 kg no mês passado.
PORCENTAGEM
 Ações da Eletrobrás tiveram alta de R$ 0,52.
 Um lote de 1000 ações da Eletrobrás custava R$ 36,60, mas ontem tiveram alta de R$ 0,52.
 Um lote de 1000 ações da Eletrobrás custava R$ 0,41, mas ontem tiveram alta de R$ 0,52.
PORCENTAGEM
 Dólar subiu R$ 0,25.
 O dólar estava cotado em R$ 2,00 mas ontem subiu R$ 0,25.
 O dólar estava cotado em R$ 285,97 mas ontem subiu R$ 0,25.
PORCENTAGEM
 Porcentagem é a fração (ou parte) de um valor ou quantidade, que se determina pela quantidade correspondente a cada 100.
 As porcentagens fazem parte do nosso dia-a-dia.
 Os casos de dengue reduziram 35% neste ano.
 A gasolina vai ter um aumento de 8%.
 A inflação de 2009 não deve ser superior a 10%. 
PORCENTAGEM
Por que utilizamos tanto os percentuais?
 Porque os percentuais transmitem mais facilmente as relações aritméticas nos negócios, estatísticas e notícias.
 O número de casos de dengue reduziu de 327 em 2003 para 258 em 2004.
 Dos 7 500 funcionários da Usiminas, 5 851 são casados.
OU
 Em 2004 o número de casos de dengue reduziu 21% chegando a 258 casos.
 78% dos 7 500 funcionários da Usiminas são casados.
PORCENTAGEM
O conceito de porcentagem surge quando relacionamos duas grandezas, sendo a linguagem preferencial na discussão de aumentos e descontos.
PORCENTAGEM
Frações x Percentuais
5%	 	= 5/100 = 1/20	 = 0,05
20%	 	= 	20/100 = 1/5	 = 0,2
80%	 	=	80/100 = 4/5 	 = 0,8
100%	 	=	100/100 = 1	 	 = 1
200% 	=	200/100 = 2/1	 = 2
Existem três formas de se expressar uma porcentagem
Percentual Fracionária	 Decimal
Frações x Percentuais
Como calcular 20% de 130?
20% = 20/100 = 1/5 = 0,2
 Multiplicamos 130 por 20/100
 Multiplicamos 130 por 1/5
 Multiplicamos 130 por 0,2 obtendo 26
Calcular uma determinada porcentagem de um valor.
Frações x Percentuais
De percentual para decimal: andamos com a vírgula duas casas para a esquerda. Ex: 25,5% = 0,255
De decimal para percentual: andamos com a vírgula duas casas para a direita. Ex: 0,385 = 38,5%
Na aplicação das fórmulas para resolução dos problemas da Matemática Comercial e Financeira utilizamos as porcentagens escritas na forma decimal.
Como transformar percentuais para decimais e vice-versa?
Frações x Percentuais
Exemplos : 	Percentual	 Decimal
32,56%
5%
1,25%
225%
65,35 %
7,6%
0,52%
362,5%
Frações x Percentuais
p = C . i
Ex : Quanto é 32,5% de 220?
 p = C . i
 p = 220 . 0,325 
 p = 71,5
Problema Básico
Para calcular o valor de p (parte do todo), devemos multiplicar C (o todo) por i (taxa percentual), sendo i expressa em notação fracionária ou decimal:
Exercícios
 1) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu 12% de uma estrada. Ao concluir o segundo trecho, correspondente a 1200 metros, o percentual percorrido passou a ser 16% da estrada. Determine a extensão da estrada.
2) Um autor recebe 10% de direitos autorais de um livro que é vendido por R$ 75,00. Para que o autor ganhe R$ 11.730,00 determine o número de livros que deve ser vendido.
Exercícios
3) Para a estréia de um espetáculo foram emitidos 1800 ingressos, dos quais 60% foram vendidos até a véspera do dia de sua realização por um preço unitário de R$ 45,00. Considerando que todos os ingressos emitidos serão vendidos, por quanto cada ingresso deverá ser vendido no dia do espetáculo para que a arrecadação total, com a venda dos ingressos, seja de R$ 88.200,00?
Aumento percentual: Valor final = Valor inicial + aumento
			 Valor final = C + C . i
			 Valor final = C (1 + i )
Aumentos e Descontos
Como vimos p = C . i pode ser o aumento ou o desconto percentual. Logo, o valor final poderá ter recebido um acréscimo ou uma redução.
Desconto percentual: Valor final = Valor inicial - desconto
			 Valor final = C - C . i
			 Valor final = C (1 - i )
PORCENTAGEM
Solução: Valor Final = Valor inicial + aumento
	 Valor final = C + C . i
	 Valor final = C (1+ i)
	 Valor final = 18,25 (1 + 0,05)
	 Valor final = 18,25 . 1,05 = 19,16
Resposta : A ação passou a valer R$ 19,16
Exemplo 1
Uma ação cujo valor era R$ 18,25 subiu 5%. Qual é o novo valor dessa ação?
PORCENTAGEM
Solução: Valor final = Valor inicial - desconto
	 Valor final = C - C . i
	 Valor final = C ( 1 - i )
	 Valor final = 18,25 (1 - 0,05)
	 Valor final = 18,25 . 0,95 = 17,34
Resposta : A ação passou a valer R$ 17,34
Exemplo 2
Uma ação cujo valor era R$ 18,25 desvalorizou em 5%. Qual é o novo valor dessa ação?
PORCENTAGEM
Exemplo 3:
Um computador custa R$ 2.500,00. Seu preço sofreu um aumento de 30%, devido à elevação dos custos de seus componentes. Como a loja não consegue vender um computador devido ao reajuste, fez uma promoção dando 30% de desconto em seu preço. Determine o novo preço de venda.
 Preço com aumento = 2 500 . (1 + 0,3) = R$ 3.250,00
 Preço com desconto = 3 250 . (1 – 0,3) = R$ 2.275,00
=> Preço original = R$ 2.500,00 Preço final = R$ 2.275,00
Preço final é diferente do preço original ! POR QUÊ?
Exemplo 4:
Se uma ação da bolsa de valores cair 10% em uma semana e subir 10% na próxima semana, o seu preço sofre alteração?
Valor inicial = x
Valor após queda de 10% = x . (1 - 0,1) = 0,9 . x
Valor após a alta de 10% = 0,9 . x . (1 + 0,1) = 0,99 . x
Supondo um valor inicial de R$ 1.000,00 o valor final da ação seria de R$ 990,00. 
A: 32/400 → 32/400 = X/100 → X = 8%
B: 42/600 → 42/600 = X/100 → X = 7%
O País A teve uma taxa de crescimento do PIB, maior que a do País B.
As razões de denominador 100, são chamadas de razões centesimais, taxas percentuais ou simplesmente porcentagens
PORCENTAGEM
 
VARIAÇÃO PERCENTUAL
Suponhamos que no início do mês, o preço de um determinado produto seja R$ 20,00 e, no final do mês o preço tenha aumentado para R$ 21,00. O aumento foi de R$ 1,00. A razão entre o aumento e o valor inicial, é chamada de variação percentual do preço entre as datas consideradas.
J = 1/20 = 0,05 = 5%
Generalizando: J = (Vt – V0))/V0 = (Vt/V0) – 1
Onde: V0 = Valor na data inicial
 Vt = Valor numa data futura
J>0 – Taxa percentual de crescimento
J<0 – Taxa percentual de decrescimento (Valor absoluto)
PORCENTAGEM
 
VARIAÇÕES PERCENTUAIS SUCESSIVAS
Considerando os instantes de tempo 0, t1, t2, t3,.....,tn-1,tn, com 0<t1<t2<t3<.......<tn
De 0 – t1 → J1
De t1 – t2 → J2
De t2 – t3 → J3
De tn-1 – tn → Jn
Chamaremos J1, J2, J3,......,Jn de variações percentuais sucessivas
0
t1
t2
t3
tn-1
tn
J1
Jn
J3
J2
PORCENTAGEM
 
VARIAÇÕES PERCENTUAIS ACUMULADAS
Se indicarmos por V0, V1, V2, V3,.......,Vn os valores das grandezas nas datas 0, t1, t2, t3,......,tn-1, tn, poderemos escrever:
J1 = (V1/V0) – 1 → V1 = V0(1+J1)
J2 = (V2/V1) – 1 → V2 = V1(1+J2) = V0(1+J1)(1+J2)
J3 = (V3/V2) – 1 → V3 = V2(1+J3) = V0(1+J1)(1+J2)(1+J3)
Assim, concluímos que:
Vn = V0(1+J1)(1+J2)(1+J3).......(1+Jn)
A Variação percentual entre as datas 0 e tn damos o nome de Variação percentual acumulada, também conhecida como Jac e expressa por:
Jac = (Vn/V0) – 1 , substituindo o numerador temos:
PORCENTAGEM
 
Jac = (Vn/V0) – 1 , substituindo o numerador temos:
Jac = {V0(1+J1)(1+J2)........(1+Jn)/V0} – 1 
Jac = {(1+J1)(1+J2)(1+J3)........(1+Jn)} – 1 
Exemplo 5:
Uma mercadoria de R$ 120,00 sofre um aumento de 10% em um mês e de mais 15% no próximo mês. 
Qual será o preço final da mercadoria?
De quanto será o aumento total sobre o preço original?
Atenção: não é 25% !!!
Preço inicial = R$ 120,00
Preço após 1o Aumento = 120 . (1 + 0,10)
Preçoapós 1o Aumento = 132
Preço final (após 2o aumento) = 132 . (1 + 0,15)
Preço final = R$ 151,80
Valor final = Valor inicial (1 + i)
151,80 = 120 (1 + i)
1 + i = 151,80 / 120
1 + i = 1,265 => i = 0,265 = 26,5% (aumento total)
MATEMÁTICA COMERCIAL
É a disciplina que estuda as operações correntes do comércio.
Ex: Análise de custo de aquisição de mercadorias, fixação de preços de venda, determinação de margens de lucro, negociação de descontos.
Lucro em função do preço de custo
Toda mercadoria possui :
 Preço de Custo  PC
 Preço de Venda  PV
 Lucro  L
PV = PC + L
Exemplos : 
1) Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine: 
 a) o lucro obtido na venda do produto.
 b) o lucro percentual.
2) Uma pessoa comprou um computador por R$ 4.000,00 e deseja vende-lo para obter um lucro de 20% sobre a compra, determine o preço de venda do computador? 
3) Um investidor comprou um terreno e o revendeu, por R$ 18.750,00 lucrando 25% . Determine o preço de custo?
Lucro em função do preço de custo
Lucro em função do preço de custo
(mark-up)
Mark-up  É o índice aplicado sobre o preço de custo de um bem ou de um serviço para a formação do preço de venda.
Finalidades:
 Cobrir impostos incidentes sobre a receita de venda
 Cobrir gastos variáveis sobre as vendas
 Cobrir financiamentos das vendas
 Cobrir despesas administrativas fixas
 Cobrir custos indiretos de produção fixos
 Proporcionar lucro na venda do produto
Lucro em função do preço de custo
Lembrando da relação:
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Se o lucro será definido como um percentual (mark-up) do preço de custo, então :
Preço de Venda = Preço de Custo + % do Preço de Custo
Mark-up = Pr. Venda - Pr. Custo = Lucro .
		Pr. Custo		 Pr. Custo
Lucro em função do preço de venda
Também podemos determinar o preço de venda a partir do lucro desejado sobre esse preço de venda, e nesse caso estamos calculando a Margem.
 É muito utilizado porque identifica quanto se está ganhando em relação a qualquer faturamento.
Lucro em função do preço de venda
Lembrando da relação :
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Se o lucro será definido como um percentual (margem) do Preço de Venda, então :
Preço de Venda = Preço de Custo + % do Preço de Venda
Margem = Pr. Venda - Pr. Custo = Lucro .
		Pr. Venda		Pr. Venda
Mark-up e Margem - Exercícios e Exemplos Práticos
Exemplo 1: Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 120,00 e ele é revendido por R$ 150,00, determine a “margem” e o “mark-up” obtido na venda do produto.
Lucro = PV - PC = 150 - 120  L = R$ 30,00
Margem = L / PV
Margem = 30/150
Margem = 0,20 = 20%
Mark-up = L / PC
Mark-up = 30/120
Mark-up = 0,25 = 25%
Exemplo 2: Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 25,00 e ele é revendido com um “mark-up” de 18%, determine o preço obtido na venda do produto e margem obtida.
 Mark-up = L / PC
 L = Mark-up * PC = 0,18 * 25  Lucro = R$ 4,50
 PV = PC + L
 PV = 25 + 4,5  PV = R$ 29,50
 Margem = L / PV = 4,5 / 29,50
 Margem = 0,1525 = 15,25%
Exemplo 3: Se o preço de venda de um determinado produto é R$ 150,00 e ele é revendido com uma margem de 27% determine o preço de custo do produto e o “mark-up” obtido.
 Margem = L / PV
 L = Margem * PV = 0,27 * 150  Lucro = R$ 40,5
 PV = PC + L  PC = PV - L
 PC = 150 - 40,5  PC = R$ 109,50
 Mark-up = L / PC = 40,5 / 109,5 
 Mark-up = 0,3699 = 37%
Exemplo 4: Se o preço de custo de um determinado produto é R$ 125,00 e ele é revendido com uma margem de 8%, determine o preço de venda do produto.
 Margem = L / PV
 Margem = (PV - PC) / PV
 0,08 = (PV - 125) / PV
 0,08 * PV = PV -125
 0,92 * PV = 125  PV = 125 / 0,92 = R$ 135,87
REGRA DE SOCIEDADE
A regra de sociedade deve ser entendida como sendo um grupo de pessoas físicas ou jurídicas que reúnem um capital para ser aplicado por um determinado tempo, em uma atividade comercial, podendo ocorrer lucros e prejuízos. Existem 3 casos possíveis de formação de sociedade:
CAPITAIS IGUAIS E TEMPOS DIFERENTES
CAPITAIS DIFERENTES E TEMPOS IGUAIS
CAPITAIS DIFERENTES E TEMPOS DIFERENTES
CAPITAIS IGUAIS E TEMPOS DIFERENTES
Três pessoas construíram uma sociedade, sendo que o primeiro permaneceu 4 meses, o segundo 3 meses e o terceiro 8 meses. Quanto ganhou cada um se a sociedade teve um lucro de R$ 15.000,00.
Solução: O lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo de permanência do sócio.
Sejam x, y e z as variáveis que representam, respectivamente, os sócios que permaneceram durante a sociedade com os seguintes tempos: 4, 3 e 8 meses.
2. CAPITAIS DIFERENTES E TEMPOS IGUAIS
Solução
O lucro ou prejuízo será dividido pelos sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais aplicados pelos sócios
a, b, c e d, são as partes do lucro que caberá a cada sócio
Quatro pessoas formaram uma sociedade com os seguintes capitais: o 1º com R$ 6000,00, o 2º com R$ 4000,00 e o 3º com R$ 5000,00 e o 4º com R$ 6000,00. No fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de R$ 84000,00. Quanto coíbe a cada sócio?
3.CAPITAIS DIFERENTES E TEMPOS DIFERENTES
Neste caso, o lucro será dividido pelos sócios em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital aplicado de cada sócio
Uma empresa teve um lucro de R$ 72000,00. O primeiro sócio empregou R$ 2000,00 durante 6 meses, o segundo com R$ 5000,00 por 1 ano e o terceiro com R$ 4000,00 durante 1 ano e 6 meses. Qual foi o lucro de cada sócio?
Solução: As variáveis a, b e c representam a parte do lucro de cada sócio:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Pergunta inicial
Se um amigo lhe pedisse $ 100,00 para lhe pagar os mesmos $ 100,00 daqui a um ano, o que você acharia ?
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Valor do dinheiro no tempo
Com certeza, por melhor que fosse seu amigo, a proposta não seria vista com bons olhos!!!
Alguns pontos vêm a mente:
Será que ele vai me pagar?
Será o poder de compra dos $ 100,00 daqui a um ano o mesmo?
Se eu permanecesse com os $ 100,00, poderia aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos?
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Princípio básico
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Componentes do custo do $
Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro.
Ao transportar $ no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em:
inflação
risco de crédito
taxa real de juros
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Regra básica
Assim, existe uma regra básica da matemática financeira que deverá ser sempre respeitada:
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Diagrama de Fluxo de Caixa
Também denominado DFC
Consiste em uma representação gráfica da movimentação de $ no tempo
Seus elementos principais são:
Escala horizontal: tempo ou período de
capitalização
Seta para cima: entrada de caixa
Seta para baixo: saída de caixa
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Exemplo de DFC
Juros Simples
Objetivos:
apresentar os conceitos de juros simples
proporcionalidade de taxas
operações com equivalência de capitais
descontos com juros simples
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Juros Simples
Pré-requisito básico!!!
Juro e Consumo
• Existe juro porque os recursos são escassos.
• As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar.
• O prêmio para quem poupa é o juro.
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Juro e Capital
• O Capital também é escasso.
• O Juro é a remuneração pelo uso do capital.
• O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Conceito de Juros
Os fatores de produção considerados em economia tem remuneração diferenciada. 
Ao trabalho se remunera com o salário, à terra com o aluguel, à capacidade administrativa com o lucro, à técnica com o 'royalty' e ao capital com os juros.
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Conceito de Juros
Portanto, os juros são o preço do capital.
Sob o ponto de vista do tomador, é o preço a ser pago pela oportunidade de dispor de um capital ao longo de um tempo.
Sob o ponto de vista do emprestador, é o prêmio pela troca de uma satisfação presente por outra futura.
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Conceito de Juros
No nosso cotidiano, estamos sempre vivenciando situações que envolvem juros: as compras a prazo, o cheque especial, o cartão de crédito, o atraso no pagamento de mensalidades.
Estas situações envolvem sempre um segundo fator, o Tempo: as mercadorias adquiridas serão pagas em determinados prazos, o cartão de crédito em um certo dia e as mensalidades terão acréscimo de juros se pagas após certa data.
CAP I – NOÇÕES DE ECONOMIA e REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
CÁLCULO DO JURO
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial 
 (o principal) é diretamente proporcional:
• FÓRMULA BÁSICA:
J = P . i . n
onde:
 J = Juro
P = Capital inicial (Principal)
 i = Taxa de Juros (na forma unitária)
 n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00
pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor
a ser pago como juro ?
Resolução: Capital Inicial (P) = 1.000,00
		Taxa de juros (i) = 10% a.a. 
		Número de períodos (n) = 2 anos
	Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te-
mos o juro do primeiro ano como sendo:
		
		J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
	
	No segundo ano, teremos:
		J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
	
	O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano
(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
		J = J1 + J2
		J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
	Ou então, podemos resolver o problema diretamente:
		
		J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1
		J = 1.000,00 X 0,10 X 2
		J = $ 200,00
	
Exemplo
JURO SIMPLES
• Variações da fórmula básica.
J = P.i.n
MONTANTE
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capital
 aplicado.
M = P + J
onde:
P= principal
n= prazo de aplicação
i = taxa de juros
M = P(1 + in)
Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resolução: Capital Inicial (P) = 1.000,00
		Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. 
		Número de períodos (n) = 2 anos
	E sendo:
		M = P(1+in) 
	Substituindo-se os valores, tem-se:
		
		M = 1.000(1+0,10 x 2)
		M = 1.000(1+0,20)
		M = 1.000 x 1,20
		M = $ 1.200,00
		
	
Exemplo
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por
montante:
a) Calculando o juro devido:
		J = Pin
		J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $200,00
b) Somando-se o juro com o principal:
		M = P + J
 		M = 1.000,00 + 2000,00 = $1.200,00
MONTANTE
M = P(1 + in)
JURO SIMPLES
TAXA PROPORCIONAL
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao 
período n2) se:
i1.n2 = i2.n1
Ou, do mesmo modo, se:
Ou ainda:
TAXA EQUIVALENTE
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
	
	No regime de juros simples, as taxas de juros 
proporcionais são igualmente equivalentes.
Exemplo
Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-
mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de
aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.
	
	Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de:
		J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00
	Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 anos, teremos um juro igual a:
		J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00
	Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.
				
	
PERÍODOS NÃO-INTEIROS
	Quando o prazo de aplicação não é um número in-
teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o 
seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe-
ríodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que
resta e o juro correspondente.
	O juro total é a soma do juro referente à parte in-
teira com o juro da parte fracionária.
Exemplo
Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é
aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo 
de 5 anos e 9 meses ?
Resolução: 
	
	Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:
	5 x 2 semestres = 10 semestres
	9 meses = 1 semestre e 3 meses
	Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3
meses.
a) Cálculo do juro:
	1ª etapa:
	J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00
		
Exemplo
		J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00 
b) Montante:
	O montante é:
		
		M = P + J
		M = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00
	Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra-
ciocinando por etapas para obter o montante.
		
JURO EXATO
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em 
dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
JURO COMERCIAL
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial:
Um empréstimo foi feito a juros simples de um mesmo credor, nas seguintes condições:
P1 = $1.000,00, i1 = 7% a.m, n1 = 4m
P2 = $ 1.500,00, i2 = 4% a.m, n2 = 8m
P3 = $ 2.000,00, i3 = 10% a.m, n3 = 2m
Decide-se, então, substituir os prazos de vencimento de todas as dívidas por um prazo único, de modo que não hajam prejuízos para ambas as partes (credor e emprestador)
J1, J2 e J3 são os Juros correspondentes a cada um dos empréstimos e Jt ó Juro total, onde Jt = J1+J2+J3
PRAZO MÉDIO (nm)
 
CONTINUAÇÃO:
J1 = P1i1n1 = 1.000,00x0,07x4 = $280,00
J2 = P2i2n2 = 1500,00x0,04x8 = $480,00
J3 = P3i3n3 = 2.000,00x0,1x2 = $400,00
Jt = $1.160,00
P1=$1000,00, i1=7%a.m, nm = 1000x0,07xnm = 70nm
P2=$1500,00, i2=4%a.m, nm = 1500x0,04xnm = 60nm
P3=$2.000,00, i3=10%a.m, nm = 2000x0,1xnm = 200nm
Assim, 1160 = 70nm+60nm+200nm
nm=3,5 meses
PRAZO MÉDIO (nm)
 
PRAZO MÉDIO (nm)
Generalizando;
nm = (P1i1n1+P2i2n2+..............+Pninnn) /(P1i1+P2i2+.....+Pnin)
 
Considerando o exemplo anterior, teremos:
P1 = $1.000,00, im, n1 = 4m = 1000ximx4
P2 = $ 1.500,00, im, n2 = 8m = 1500ximx8
P3 = $ 2.000,00, im, n3 = 2m = 2000ximx2
O Juro total continua o mesmo, ou seja $1.160,00, daí teremos:
4000im+12000im+4000im = 1160
im = 0,058 = 5,8% a.m.
Generalizando: 
im = (P1i1n1+P2i2n2+........+Pninnn) / (P1n1+P2n2+.......+Pnnn)
TAXA MÉDIA(im)
CAPITAL MÉDIO(Pm)
Considerando o exemplo anterior, teremos:
Pm, i1 = 7% a.m, n1 = 4m = Pmx0,07x4=0,28Pm
Pm, i2 = 4% a.m, n2 = 8m = Pmx0,04x8=0,32Pm
Pm, i3 = 10% a.m, n3 = 2m = Pmx0,1x2=0,2Pm
O Juro total continua o mesmo, ou seja $1.160,00, daí teremos:
0,28Pm+0,32Pm+0,20Pm = 1160
Pm = $1450,00
Generalizando: 
Pm = (P1i1n1+P2i2n2+........+Pninnn) / (i1n1+i2n2+.......+innn)
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES
No regime de juros simples, dois conjuntos de capitais são equivalentes numa determinada data focal (data de referência), se forem equivalentes na data “zero”. Eles deverão produzir na data “zero” o mesmo montante, conforme abaixo:
0
1
2
3
4
5
6
2000
25007
8
Conjunto Y
0
1
2
3
4
5
6
X
7
8
Conjunto X
X
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES
M = P(1 + in)
P = M / (1 + in)
A equivalência se dará da seguinte forma:
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