Banco de questões de Algebra

Prévia do material em texto

Banco de questões de Algebra – Estacio
		2.
		Seja A uma matriz 4x2 e B uma matriz 2x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	4 x 1
	
	
	3 x 1
	
	
	1 x 4
	
	
	2 x 2
	
	
	1 x 1
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 2 colunas e B possui 2 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1).
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dado que a A é uma matriz 2 x 2 e B é uma matriz 2 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	1 x 2
	
	
	4 x 2
	
	
	2 x 1
	
	
	2 x 4
	
	
	2 x 2
	
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,2 . B 2,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Tendo duas matrizes A2x3 e B2x2. Responda a afirmativa correta, com relação a operação A x B.
	
	
	
	É impossível pois o número de linhas de A é igual ao número de linha de B
	
	
	É impossível pois o número de colunas de A é diferente do número de linha de B
	
	
	É impossível pois A e B tem dimensões diferentes
	
	
	É possível e tem com resposta C2x2
	
	
	É possível e tem com resposta C3x3
	
Explicação:
O produto só é possível se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B! 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C.  A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a:
                             
	
	
	
	87 e 93
	
	
	63 e 55
	
	
	140 e 62
	
	
	74 e 55
	
	
	102 e 63
	
Explicação:
Para o produto B (2a linha) temos:
50 + 52 = 102
25 + 38 = 63
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Adicionando [ 1 2 3 ] + [ -1 -2 3 ] , encontramos:
	
	
	
	[ 0 0 6 ]
	
	
	[ 2 2 1]
	
	
	[ 0 0 0 ]
	
	
	[ 0 0 1 ]
	
	
	[ 1 1 1 ]
	
Explicação:
1 + (-1) = 0
2 + (-2) = 0
3 + 3 = 6
Temos então como resposta: [0 0 6]
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a :
	
	
	
	10
	
	
	8
	
	
	15
	
	
	12
	
	
	20
	
Explicação:
Uma matriz com 3 linhas e 5 colunas possui 3 x 5 = 15 elementos
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a matriz: A= ⎡⎢⎣1122−13012⎤⎥⎦[1122-13012]
Determine a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz.
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	-2
		1.
		O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	36
	
	
	48
	
	
	24
	
	
	18
	
	
	8
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
12 / 6 . 4 = 8
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	2 x 3
	
	
	3 x 3
	
	
	4 x 2
	
	
	1 x 1
	
	
	4 x 3
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O determinante da matriz  A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se  i <  j  e  aij = i + j  , se i > j   é igual a
	
	
	
	26
	
	
	-34
	
	
	-26
	
	
	0
	
	
	34
	
Explicação:
a11 = 1 - 1 = 0
a12 = 1 - 2 = - 1
a13 = 1 - 3 = - 2
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = - 1
a31= 3 + 1 = 4
a32= 3 + 2 = 5
a33= 3 - 3 = 0
⎡⎢⎣0−1−20130−13045045⎤⎥⎦[0-1-20130-13045045] = - 26
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sejam as matrizes A = [(3,2),(5,7)] e B = [(4,1),(2,3)]. Quanto vale o det(A.B)?
	
	
	
	110
	
	
	101
	
	
	100
	
	
	1
	
	
	10
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Chamamos de matriz simétrica toda a matriz quadrada A, de orden n, tal que At=AAt=A. Assim sendo , indique qual é a matriz simétrica:
	
	
	
	⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣abcdbe−fgcfhidgij⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[abcdbe-fgcfhidgij]
	
	
	⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣abcdb−efgcfhidgij⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[abcdb-efgcfhidgij]
	
	
	⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣abcdbefgcfhidgij⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[abcdbefgcfhidgij]
	
	
	⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣abcdbefgcfhi−dgij⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[abcdbefgcfhi-dgij]
	
	
	⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣ab−cdbefgcfhidgij⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[ab-cdbefgcfhidgij]
	
Explicação:
Chamamos matriz simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que At  = A.
Denominamos de matriz transposta de A, representada por At a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas, ordenadamente.
Neste caso linhas e colunas correspondentes (primeira linha e primeira coluna, segunda linha e segunda coluna, etc...) devem possuir os mesmos elementos.
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual alternativa abaixo representa uma matriz antissimétrica de A = ⎡⎢⎣ 01−1−1021−20⎤⎥⎦[ 01−1−1021−20]?
	
	
	
	[ 0][ 0]
	
	
	⎡⎢⎣ 01−1−1021−20⎤⎥⎦[ 01−1−1021−20]
	
	
	⎡⎢⎣ 011102120⎤⎥⎦[ 011102120]
	
	
	⎡⎢⎣ 011101110⎤⎥⎦[ 011101110]
	
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
Explicação:
A matriz é antissimétrica é igual a sua transposta com sinal trocado, ou seja,A = -At.
Assim, se A = ⎡⎢⎣ 01−1−1021−20⎤⎥⎦[ 01−1−1021−20], podemos escrever a sua transposta  At = ⎡⎢⎣ 0−1110−2−120⎤⎥⎦[ 0−1110−2−120]. Logo, a antissimétrica será -At = ⎡⎢⎣ 01−1−1021−20⎤⎥⎦[ 01−1−1021−20].
 
Conclusão, a matriz antissimétrica de A= ⎡⎢⎣ 01−1−1021−20⎤⎥⎦[ 01−1−1021−20] é  -At = ⎡⎢⎣ 01−1−1021−20⎤⎥⎦[ 01−1−1021−20].
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sabendo que vale a soma das matrizes:
(x1−5y)(x1−5y) + (41−53)(41−53) = (32−106)(32−106)
Determinar os valores de x e y, respectivamente:
 
	
	
	
	-1 e -3
	
	
	-3 e 1
	
	
	3 e -1
	
	
	1 e -3
	
	
	-1 e 3
	
Explicação:
(x1−5y)(x1−5y) + (41−53)(41−53)= (32−106)(32−106)
x + 4 = 3 => x = -1
y + 3 = 6 => y = 3
Logo, a resposta é -1 e 3.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes.
[2013].[−1102][2013].[-1102]
	
	
	
	7
	
	
	2
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	0
	
Explicação:
Para a diagonal principal temos os seguintes resultados:
2 . (-1) + 0 . 0 = - 2
1 . 1 + 3 . 2 = 7
A soma desses valores acarreta a resposta: - 2 + 7 = 5
		1.
		Uma fabricantede instrumento musical tem um projeto para fabrica 3 modelos de percussão (repique) utilizando 3 materiais diferentes.
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade em metro do material i que serão necessários para fabricar um modelo de repique do modelo j.
A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total em metros do material 2 necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2?
	
	
	
	10
	
	
	11
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
Explicação:
Solução:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o material e as colunas o modelo do instrumento de percussão.
Com isso, como deseja-se saber quantos metros do material 2 são necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2, podemos localizar na matriz a linha 2 e a coluna 2 , e multiplicar por 10.
Ou seja, 10 . A2,2 = 10 . 1 = 10 metros.
Conclusão:
São necessários 10 metros do material 2 para fabricar o repique modelo 2.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Suponha uma matriz identidade In, ou seja, com n linhas e n colunas. Sendo o traço duma matriz quadrada A tr(A) definido como a soma dos elementos da diagonal principal, determine tr(In)
	
	
	
	n2
	
	
	n
	
	
	1
	
	
	2n
	
	
	n + 1
	
Explicação:
Matriz identidade tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Como a ordem da matriz é n, seu traço será 1 + 1 +1 ...1 = n
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere as matrizes
A=(012345)A=(012345)      B=⎛⎜⎝122334⎞⎟⎠B=(122334)
Efetuando-se o produto A.B encontramos uma matriz cuja soma dos elementos da diagonal principal é:
	
	
	
	37
	
	
	36
	
	
	46
	
	
	25
	
	
	47
	
Explicação:
Você deve fazer o prduto de A . B, e no final somar a diagonal principal.
A=(012345)A=(012345)   B=⎛⎜⎝122334⎞⎟⎠B=(122334) 
A . B = Linha 1 de A  X  coluna 1 de B, Linha 1 de A  X  coluna 2 de B,
            Linha 2 de A  X  coluna 1 de B e Linha 2 de A  X  coluna 2 de B.
Ou seja:
(0+2+60+3+83+8+156+12+20)(0+2+60+3+83+8+156+12+20) =  (8112638)(8112638)  =  8 + 38 = 46.
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule o produto AB se A=⎡⎢
⎢⎣420210−2−11⎤⎥
⎥⎦A=[420210−2−11] e B=⎡⎢
⎢⎣2312−2−2−121⎤⎥
⎥⎦B=[2312−2−2−121]
	
	
	
	AB=⎡⎢
⎢⎣1280640620⎤⎥
⎥⎦AB=[1280640620]
	
	
	AB=⎡⎢
⎢⎣080640−7−21⎤⎥
⎥⎦AB=[080640−7−21]
	
	
	AB=⎡⎢
⎢⎣1280640−7−21⎤⎥
⎥⎦AB=[1280640−7−21]
	
	
	AB=⎡⎢
⎢⎣1280640721⎤⎥
⎥⎦AB=[1280640721]
	
	
	AB=⎡⎢
⎢⎣12806−40−7−21⎤⎥
⎥⎦AB=[12806−40−7−21]
	
Explicação:
Aplica-se o Teorema de multiplicação de matrizes.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Aplicando a regra de Sarrus , qual opção abaixo representa o determinante da matriz A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]?
	
	
	
	10
	
	
	0
	
	
	⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]
	
	
	1
	
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
Explicação:
Para cálcular o determinante de A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]  através da regra de Sarrus precisamos repetir as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz de 3 linhas por 5 colunas. Somamos então o produto dos elementos das 3 diagonais principais mais o produto das três diagonais segundarias com o sinal trocado.
 
Det(A) = ⎡⎢⎣ 211211121111211⎤⎥⎦[ 211211121111211] 
= ( (2.1.2)+(1.2.1)+(1.1.1))    +  (  (-(1.1.1)) + (-(2.2.1)) = (-(1.1.2))  ) 
= ((4) + (2) + (1))    +  ( (-1) + (-4) + (-2)  )
= (7) +   (-1 -4 -2)
= 7 - 7 
=0.
Conclusão, o determinante da matriz A= ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112] é igual 0.
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Uma matriz quadrada de ordem 4 x 4 apresenta um número de elementos igual a:
	
	
	
	16
	
	
	9
	
	
	25
	
	
	4
	
	
	1
	
Explicação:
Uma matriz com 4 linhas e 4 colunas possui 4 x 4 = 16 elementos!
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dado que a A é uma matriz 2 x 4 e B é uma matriz 4 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	4 x 1
	
	
	2 x 2
	
	
	2 x 1
	
	
	2 x 4
	
	
	4 x 4
	
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,4 . B 4,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a matriz ⎡⎢
⎢
⎢⎣ 3104025623804751⎤⎥
⎥
⎥⎦[ 3104025623804751] onde cada elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas para fabricar um aparelho do tipo i. Determine o total do material 2 que será empregado para fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4.
	
	
	
	20
	
	
	10
	
	
	40
	
	
	50
	
	
	30
	
Explicação:
Nesse estudo de caso podemos considerar que as linhas correspondem ao tipo e as colunas ao material. Como o enunciado pediu o somatório somente do material 2, podemos fixar a coluna 2.
Assim, na matriz ⎡⎢
⎢
⎢⎣ 3104025623804751⎤⎥
⎥
⎥⎦[ 3104025623804751] podemos fazer o seguinte cálculo:
(8 aparelhos x 1) + (2 aparelhos x  2) + (1 aparelho x  3) + (5 aparelhos x 7).
(8 . 1) + (2 . 2) + (1 . 3) + (5 . 7) => 8 + 4 + 35 => 50
	
		Seja A uma matriz 4x4 e B uma matriz 4x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	4 x 1
	
	
	3 x 3
	
	
	1 x 4
	
	
	3 x 4
	
	
	1 x 1
	
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1).
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Chama-se de traço de uma matriz quadrada X e representa-se por tr(X) a soma dos elementos da sua diagonal principal. Sendo A = [aij] uma matriz quadrada de ordem par onde aij=1 se i é par ou aij=-1 se i é ímpar. Determine tr(3A).
	
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	1
	
Explicação:
Definimos o traço de uma matriz quadrada A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal.
Com base no enunciado podemos montar a seguinte matriz A:
 [ a1,1a1,2a2,1a2,2][ a1,1a1,2a2,1a2,2] = [ −1−111][ −1−111] 
 Tr (3A) = 3 . [ −1−111][ −1−111] =>  [ −3−333][ −3−333] => -3 + 3 = 0.
Conclusão, o tr(3A) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas duas matrizes A e B de mesmo tipo (mxn), temos que k·(A+B)=k·A+k·B. Assim sendo, se  A=⎡⎢⎣024000−137⎤⎥⎦A=[024000-137] , B=⎡⎢⎣0−12−11−11−50⎤⎥⎦B=[0-12-11-11-50] e k=2, então a alternativa correta para k·(A+B) é igual a:
	
	
	
	⎡⎢⎣0212−22−20−414⎤⎥⎦[0212-22-20-414]
	
	
	⎡⎢⎣0212−2−2−20−414⎤⎥⎦[0212-2-2-20-414]
	
	
	⎡⎢⎣0−212−22−20−414⎤⎥⎦[0-212-22-20-414]
	
	
	⎡⎢⎣0212−22−20414⎤⎥⎦[0212-22-20414]
	
	
	⎡⎢⎣0212−22−20−4−14⎤⎥⎦[0212-22-20-4-14]
	
Explicação:
k·(A+B) = 2 . ⎡⎢⎣016−11−10−27⎤⎥⎦[016-11-10-27]
k·(A+B) = ⎡⎢⎣0212−22−20−414⎤⎥⎦[0212-22-20-414]
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual alternativa abaixo representa a matriz transposta de A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]?
	
	
	
	⎡⎢⎣ 111111111⎤⎥⎦[ 111111111]
	
	
	⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112]
	
	
	⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
	
	
	⎡⎢⎣ 211111122⎤⎥⎦[ 211111122]
	
	
	⎡⎢⎣ 212111212⎤⎥⎦[ 212111212]
	
Explicação:
Para cálcular uma matriz transposta você deve tranformaa linha da matriz em coluna.
Conclusão:
Sendo a matriz A = ⎡⎢⎣ 211112112⎤⎥⎦[ 211112112] , a sua transposta será igual At =  ⎡⎢⎣ 211111122⎤⎥⎦[ 211111122].
 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que envolve raciocínio matemático, os participantes tiveram que  encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo. Somente passaram para a fase seguinte os participantes que acertaram a questão e obtiveram para a, b, c e d, respectivamente, os seguintes valores :
 
                                           
	
	
	
	0, 2, 1, 2
	
	
	1 ,1 , 2, 2
	
	
	1,2, 0, 2
	
	
	0, 0, 1, 2
	
	
	2, 0, 2, 1
	
Explicação:
 a + 2b = 4
2a - b = -2  (x2)
a + 2b = 4
4a - 2b = -4
5a = 0 então a = 0
Para a = 0  temos:
0 + 2b =4 então b = 2
 
2c + d = 4 (x2)
c - 2d = -3
4c + 2d = 8
c - 2d = -3
5c = 5 então c = 1 
Para c = 1 temos:
2.1 + 2d = 4 então d = 4 -2 = 2
 
Como resposta final temos: 0; 2; 1; 2
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Suponha as matrizes A 2x3 e  B3x4. Sejam as matrizes C e D tal que C = (A.B) + Dm x n . Assim, para que exista a equação matricial descrita, o valor da soma m + n é:
	
	
	
	7
	
	
	6
	
	
	9
	
	
	5
	
	
	8
	
Explicação:
Solução: A 2x3 . B3x4 = E2x4 . Para somar uma matriz 2 x 4 com uma D m x n , só se m = 2 e n = 4. Logo, a soma vale 6
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dadas as matrizes A = ( 1 2 3 ) e B = ( -2 0 1 ) , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz 2A+ 3B , é igual a :
	
	
	
	17
	
	
	-1
	
	
	-17
	
	
	9
	
	
	10
	
Explicação:
2 . (1 + 2 +3) + 3 . (-2 +0 +1) = 12 - 3 = 9
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dado que a A é uma matriz 2 x 6 e B é uma matriz 6 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
	
	
	
	1 x 6
	
	
	2 x 1
	
	
	2 x 6
	
	
	6 x 1
	
	
	6 x 2
	
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,6 . B 6,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
		1.
		Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é:
	
	
	
	8
	
	
	-1/14
	
	
	1/8
	
	
	20
	
	
	1/20
	
Explicação:
Utilizando a propriedade:
det (A-1) = 1 / det A
det (A-1) = 8
Logo det A = 1 / 8
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Quais são os valores de x e y para que:
(2x−y83x+y)=(5831)(2x-y83x+y)=(5831)
	
	
	
	-2 e 1.
	
	
	2 e -1.
	
	
	-1 e 2.
	
	
	-1 e -2.
	
	
	2 e 1.
	
Explicação:
2x - y = 5
x + y = 1
3x = 6
x = 2
Temos então que:
2 + y = 1
y = 1 - 2 = -1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A . B . C
	
	
	
	É matriz do tipo 3x4
	
	
	É matriz do tipo 4x3
	
	
	Não é definido
	
	
	É matriz do tipo 4x2
	
	
	É matriz do tipo 2x4
	
Explicação:
Para o produto A . B temos 2 x 3 . 3 x 1  = 2 x 1
Para o produto 2 x 1 . 1 x 4 = 2 x 4
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. 
 
[ 2111][ 2111]
 
	
	
	
	[ 1001][ 1001]
	
	
	[ 2111][ 2111]
	
	
	[ −1−1−1/2−1/2][ −1−1−1/2−1/2]
	
	
	[ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2]
	
	
	[−200−2][−200−2]
	
Explicação:
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. 
A*B = B*A = In 
[ 1−4−12][ 1−4−12]  *  [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]
 
[ a−4cb−4d−a+2c−b+2d][ a−4cb−4d−a+2c−b+2d] = [ 1001][ 1001]
Equação 1:
{a−4c=1−a+2c=0{a−4c=1−a+2c=0
-----------------------
          -2c = 1 => c = -1/2. Logo,  -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1.
Equação 2:
{b−4d=0−b+2d=1{b−4d=0−b+2d=1
---------------------
          -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2.
 
Conclusão:
A inversa da matriz A= [ 1−4−12][ 1−4−12]  é  [ −1−2−1/2−1/2][ −1−2−1/2−1/2] .
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dada a matriz A = (4276 )(4276 )  , calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(6274 )(6274 )
	
	
	(4276 )(4276 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(3/5−1/5−7/102/5 )(3/5−1/5−7/102/5 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (4276 )(4276 ), pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.6) - (7.2) = 24 - 14 =10.
A-1 = 110110 . (6−2−74 )(6−2−74 ) = (6/10−2/10−7/104/10 )(6/10−2/10−7/104/10 ) = (3/5−1/5−7/102/5 )(3/5−1/5−7/102/5 )
Concluão:
A inversa da matriz A = (4276 )(4276 ) é a matriz A-1 = (3/5−1/5−7/102/5 )(3/5−1/5−7/102/5 ).
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Prove que a matriz A=[ 2111][ 2111]é inversível, através do seu determinante.
 
	
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	-2
	
	
	0
	
	
	2
	
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= [ 2111][ 2111]
det A = (2.1) - (1.1) =  1.
Conclusão, a matriz A=[ 2111][ 2111] é inversível, pois o seu determinante é igual a 1(diferente de zero).
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dada a matriz A =  (2113 )(2113 ), calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(3/5−1/5−1/52/5 )(3/5−1/5−1/52/5 )
	
	
	(3112 )(3112 )
	
	
	(2113 )(2113 )
	
	
	(2−1−13 )(2−1−13 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (2113 )(2113 ) , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.3) - (1.1) = 6 - 1 =5.
A-1 = 1515 . (3−1−12 )(3−1−12 ) = (3/5−1/5−1/52/5 )(3/5−1/5−1/52/5 ) .
Concluão:
A inversa da matriz A = (2113 )(2113 ) é a matriz A-1 = (3/5−1/5−1/52/5 )(3/5−1/5−1/52/5 ).
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Prove que a matriz A=[ 4213][ 4213] é inversível, através do seu determinante.
 
	
	
	
	-10
	
	
	10
	
	
	1
 
	
	
	0
	
	
	14
	
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= [ 4213][ 4213]
det A = (4.3) - (1.2) =  10.
Conclusão, a matriz A=[ 4213][ 4213] é inversível, pois o seu determinante é igual a 10(diferente de zero).
		1.
		A regra de Cramer é um procedimento empregado na solução de equações lineares, com uso de determinantes. Existe o determinante principal, e os determinantes designados por Nx, Ny e Nz. Um sistema de equações lineares é representado como: { 6x + 2y - 3z = 1} { x - y + z = 2 } { 2x + 2y - z = 3 } Os determinantes D, Nx, Ny e Nz para a equação acima têm valores de, respectivamente:
	
	
	
	15, 45, 50 e 44
	
	
	-12, -12, -24 e -36
	
	
	-15, -45, -50 e -44
	
	
	-11, -13, -29 e -31
	
	
	11, 13, 29 e 31
	
Explicação:
Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes.
D = ⎡⎢⎣6 2 −36 21−1 11−12 2−12 2⎤⎥⎦[6 2 -36 21-1 11-12 2-12 2]= -12
Nx = ⎡⎢⎣1 2−31 22−1 12−13 2−13 2⎤⎥⎦[1 2-31 22-1 12-13 2-13 2]= -12
Ny= ⎡⎢⎣61−36 11 2 11 22 3−12 3⎤⎥⎦[6 1-36 11 2 11 22 3-12 3]= -24
Nz=⎡⎢⎣6 216 21−1 21−12 2 32 2⎤⎥⎦[6 216 21-1 21-12 2 32 2]= -36
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dada a matriz A = (1112 )(1112 )   , calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(2−1−11 )(2−1−11 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
	
	(2111 )(2111 )
	
	
	(1112 )(1112 )
	
	
	(1 )(1 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (1112 )(1112 ), pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.1) - (1.1) = 2 - 1 = 1.
A-1 = 1111 . (2−1−11 )(2−1−11 ) = (2−1−11 )(2−1−11 ).
Concluão:
A inversa da matriz A = (1112 )(1112 ) é a matriz A-1 = (2−1−11 )(2−1−11 ).
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada a matriz A =(45−23 )(45−23 )  , calcule a sua INVERSA.
 
	
	
	
	(45−23 )(45−23 )
	
	
	(35−24 )(35−24 )
	
	
	(3/22−5/221/112/11 )(3/22−5/221/112/11 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
	
	(4−253 )(4−253 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (45−23 )(45−23 ) , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.3) - (-2.5) = 12 - (-10) =22.
A-1 = 122122 . (3−524 )(3−524 ) = (3/22−5/222/224/22 )(3/22−5/222/224/22 ) .= (3/22−5/221/112/11 )(3/22−5/221/112/11 )
Concluão:
A inversa da matriz A = (45−23 )(45−23 ) é a matriz A-1 = (3/22−5/221/112/11 )(3/22−5/221/112/11 ).
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Podemos afirmar que o produto das  matrizes: A(3X2) por  B(2X3) será:
	
	
	
	Uma matriz 2X3.
	
	
	 Não é possivel fazer o produto de matriz de ordem diferente.
	
	
	Uma matriz 3X2.
	
	
	 Uma matriz quadra de ordem 3
	
	
	Uma matriz quadra de ordem 2
	
Explicação:
 Produto de matriz, o aluno deverá saber que para realizar a operação o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda. E a matriz resultante terá o número de linha da primeira matriz e a o número de colulna da segunda.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere a matriz A = (2111)X=(abcd).(2111)X=(abcd).
Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2.    
	
	
	
	[1−1−14][1-1-14]
	
	
	[1−1−52][1-1-52]
	
	
	[1−1−12][1-1-12]
	
	
	[3−1−12][3-1-12]
	
	
	[−1−1−1−2][-1-1-1-2]
	
Explicação:
 
A =  (2111)X=(abcd)(2111)X=(abcd)       
AX = I2
(2111).(abcd)=(1001).(1001)(2111).(abcd)=(1001).(1001)
(2a+c2b+da+cb+d)=(1001)(2a+c2b+da+cb+d)=(1001)
Agora, nós resolvemos uma parte da segunda equação(c=-a), depois a resolvemos a primeira equação(a=1) e finalizamos a solução da segunda equação(c=-1).
1)2a+c=1............ 2a+(-a)=1 => a=1
2)a+c=0 => c=-a.................................. c=-1
Por fim, nós resolvemos uma parte da terceira equação(d=-2b), depois a resolvemos a quarta equação(b=-1) e finalizamos a solução da terceira equação(d=2).
3)2b+d=0 => d=-2b..............................................  d=-2(-1)=> d=2
4)b+d=1...................b+(-2b) = 1 => -b=1 => b=-1
 
Conclusão:
(1−1−12)(1−1−12)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere uma matriz identidade I de ordem 30 x 30. Sabendo-se que traço de uma matriz A (tr(A)) é a soma dos elementos da diagonal principal, determine o traço de I, ou seja, tr(I)
	
	
	
	60
	
	
	900
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	30
	
Explicação:
Como todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e a ordem da matriz é 30, teremos a soma do "1" 30 vezes, ou seja, tr(I) = 1 + 1 + ...+ 1 = 30
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem n. Sabendo-se que ambas matrizes admitem inversa, encontre a matriz X, de ordem n, tal que A.X= B
	
	
	
	X=A.B
	
	
	X=B. A-1
	
	
	X=B-1.A
	
	
	X=A-1.B
	
	
	X=B / A
	
Explicação:
A.X= B
Multiplicando ¿pela esquerda por A-1
A-1A.X= A-1.B
Mas, A-1.A = I
I.X= A-1.B
X= A-1.B
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que:
	
	
	
	A = B
	
	
	A = B/2
	
	
	B é a inversa de A
	
	
	B é a transposta de A
	
	
	B + A = 0, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem
	
Explicação:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In    e      X.A = In (onde In é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).
Dada a matriz quadrada A, existe A-1 se, e somente se, det A ≠ 0
	
		1.
		Qual é a matriz X tal que:
(5141).x=(97)(5141).x=(97)
	
	
	
	X=(2−1)X=(2-1)
	
	
	X=(−21)X=(-21)
	
	
	X=(−12)X=(-12)
	
	
	X=(−2−1)X=(-2-1)
	
	
	X=(21)X=(21)
	
Explicação:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2.
Neste caso temos então que:
5X1 + X2 = 9
4X1 + X2 = 7
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, -2),  (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
	
	
	
	30
	
	
	24
	
	
	22
	
	
	28
	
	
	26
	
Explicação:
Determiante = ⎡⎢⎣10−2101241271071⎤⎥⎦[10-2101241271071] = 22
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada a matriz A = (2110 )(2110 )  , calcule a sua INVERSA.  
	
	
	
	(2110 )(2110 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(0112 )(0112 )
	
	
	(011−2 )(011−2 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (2110 )(2110 ), pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.0) - (1.1) = 0 - 1 = -1.
A-1 = 1−11−1 . (0−1−12 )(0−1−12 )  = (011−2 )(011−2 )
Concluão:
A inversa da matriz A = (2110 )(2110 ) é a matriz A-1 = (011−2 )(011−2 ).
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	4
	
	
	24
	
	
	12
	
	
	1
	
	
	6
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(6 / 6) . 4 = 4
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será
	
	
	
	3D
	
	
	D
	
	
	5D
	
	
	4D
	
	
	2D
	
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Como k= 2 o det (A) passa a ser igual a 4D
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Complete a afirmativa, abaixo, com a alternativa correta:
 Uma matriz  A , n x n, é invertível se, e somente se, ... 
	
	
	
	A  possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da outra
	
	
	A  é uma matriz diagonal
	
	
	det(A) ≠≠ 0
	
	
	det(A) = 1
	
	
	A  é singular
	
Explicação:
Regra prática - caso o determinantedê igual a zero, não existe matriz inversa. 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		 
Determine a matriz dos cofatores da matriz A = [ 4213][ 4213].
	
	
	
	[ 4213][ 4213]
	
	
	[ 1001][ 1001]
	
	
	[ 3−1−24][ 3−1−24]
	
	
	[ 10][ 10]
	
	
	[ 4123][ 4123]
	
Explicação:
A = [ 4213][ 4213]
O Cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. 
Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante  é obtido eliminando a linha i e a coluna j.
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 3 = 3.
A12 = (-1)1+2 . D1,2 =  -1 . 1 = -1.
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 2 = -2.
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 4 = 4.
Conclusão, o cofator da matriz A= [ 4213][ 4213] é a matriz [ 3−1−24][ 3−1−24].
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		As matrizes A=[1m13][1m13] e B=[p−2−11][p-2-11] são inversas. Calcule os valores de m e p.
	
	
	
	m=2 e p=1
	
	
	m=1 e p=2
	
	
	m=3 e p=2
	
	
	m=2 e p=3
	
	
	m=3 e p=1
	
Explicação:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).
Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que:
1 . (-2) + m . 1 = 0  que nos leva a m = 2
1 . p + 3 . (-1) = 0   que nos leva a p = 3
 
		1.
		Seja A =⎡⎢⎣11232−1−104⎤⎥⎦[11232-1-104] uma matriz não singular.
Sabendo que A-1 = ⎡⎢⎣8−4−5−a672−1b⎤⎥⎦[8-4-5-a672-1b]
 determine os valores de a e b 
	
	
	
	a=10 e b=2
	
	
	a=-11 e b=1
	
	
	a=11 e b=-1
	
	
	a=13 e b=1
	
	
	a=9 e b=3
	
Explicação:
A . A-1 = I
 
A = ⎡⎢⎣ 11232−1−104⎤⎥⎦[ 11232−1−104]     A-1 = ⎡⎢⎣ 8−4−5−a672−1b⎤⎥⎦[ 8−4−5−a672−1b]   I = ⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
 
⎡⎢⎣ 11232−1−104⎤⎥⎦[ 11232−1−104]  .  ⎡⎢⎣ 8−4−5−a672−1b⎤⎥⎦[ 8−4−5−a672−1b]   =  ⎡⎢⎣ 100010001⎤⎥⎦[ 100010001]
 
Para determinar "a" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda matriz.
(1.8) + (1.-a) + (2.2) = 1 => 8 -a + 4 = 1 => -a = 1 - 8 - 4 => -a = -11 => a = 11
Para determinar "b" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a terceira coluna da segunda matriz.
(1.-5) + (1.7) + (2.b) = 0 => -5 + 7 + 2b = 0 => 2 + 2b = 0 => 2b = - 2 => b = -1
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j será:
	
	
	
	12
	
	
	-8
	
	
	-16
	
	
	0
	
	
	9
	
Explicação:
aij = 3i - j
a11 = 3.1 - 1 = 2
a12 = 3.1 - 2 = 1
a21 = 3.2 - 1 = 5
a22 = 3.2 - 2 = 4
A soma é igual a 2 + 1 + 5 + 4 = 12
	
	
	
	 
		
	
		3.
		As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, gerando como resultado uma matriz D(3x4). Com base nessas informações é CORRETO afirmar que:
	
	
	
	A possui 3 linhas e B 4 colunas.
	
	
	A e C possuem a mesma quantidade de colunas.
	
	
	B e C possuem a mesma quantidade de linhas.
	
	
	C é uma matriz com 5 linhas.
	
	
	A e B são matrizes quadradas.
	
Explicação:
Regra para o produto:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Como regra para a soma temos:
Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos elementos correspondentes de A e B.
Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será definida.
Como a matriz resultado e do tipo 3 x 4 então podemos afirmar que o número de linhas de A é 3 e que o número de colunas de C é 4.
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dada a matriz A = [ 2111][ 2111]
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2
	
	
	
	[ 1−1−12][ 1−1−12]
	
	
	[ −1−1−1−2][ −1−1−1−2]
	
	
	[ 1112][ 1112]
	
	
	[ −11−1−2][ −11−1−2]
	
	
	[ 11−1−2][ 11−1−2]
	
Explicação:
A= [ 2111][ 2111]       X = [ abcd][ abcd] I = [ 1001][ 1001]
Ax = I2
[ 2111][ 2111]. [ abcd][ abcd] = [ 1001][ 1001]. [ 1001][ 1001]
Multiplicando teremos:
[ 2a+a2b+da+ab+d][ 2a+a2b+da+ab+d] = [ 1001][ 1001]
Assim, podemos montar as equações:
1)2a + c => 1 +> c = 1 - 2a....................................... c = 1 - 2(1) => c = -1
2)a + c = 0  .................... a + (1- 2a) = 0 => a = 1
3)b + d = 1 => d = 1 - b..........................................d = 1 - (-1) => d = 2
4)2b + d = 0 ................ 2b + (1 - b) = 0 => b = -1
Dessa forma, a matriz é [ 1−1−12][ 1−1−12]
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	96
	
	
	16
	
	
	4
	
	
	12
	
	
	24
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(24 / 6) . 4 = 16
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a inversa da matriz  AA =⎡⎢⎣121112101⎤⎥⎦[121112101]
	
	
	
	 AA =⎡⎢⎣1−12213121⎤⎥⎦[1-12213121]
	
	
	 AA =⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣12−132120−12−121−12⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[12-132120-12-121-12]
	
	
	 AA =⎡⎢⎣−1−2−1−1−1−2−10−1⎤⎥⎦[-1-2-1-1-1-2-10-1]
	
	
	 AA =⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣121321201212−112⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[121321201212-112]
	
	
	 AA =⎡⎢⎣1−211012−11⎤⎥⎦[1-211012-11]
	
Explicação:
A-1 = 1 / det A . Adj (A)
Adj (A)  é a transposta da matriz de cofatores!
det A = 2
Matriz de cofatores:
cofator do elemento
a11 = (-1)1+1 . det [1201][1201] = 1
a12 = (-1)1+2 . det [1211][1211] = 1
a13 = (-1)1+3 . det [1110][1110] = -1
a21 = (-1)2+1 . det [2101][2101] = - 2
a22 = (-1)2+2  . det [1111][1111] = 0
a23 = (-1)2+3 . det [1210][1210] = 2
a31 = (-1)1+3  .det [2112][2112] = 3
a32 = (-1)2+3 . det [1112][1112] = - 1
a33 = (-1)3+3 . det [[1,2],[1,1][[1,2],[1,1] = -1
Matriz de cofatores : ⎡⎢⎣11−1−2023−1−1⎤⎥⎦[11-1-2023-1-1]         Adj da matriz de cofatores: ⎡⎢⎣1−2310−1−12−1⎤⎥⎦[1-2310-1-12-1]             A-1 = 1/2 . ⎡⎢⎣1−2310−1−12−1⎤⎥⎦[1-2310-1-12-1]
A-1 = ⎡⎢
⎢
⎢
⎢⎣12−132120−12−121−12⎤⎥
⎥
⎥
⎥⎦[12-132120-12-121-12]
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a :
	
	
	
	300
	
	
	500
	
	
	200
	
	
	400
	
	
	100
	
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
	
	
	
	gera uma matriz triangular superior
	
	
	gera a transposta de A
	
	
	gera uma matriz identidade de mesma ordem de A
	
	
	gera a própria matriz A
	
	
	gera uma matriz nula
	
Explicação:
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
		1.
		Considere duas matrizes diagonais. A soma dessas matrizes sera uma matriz
	
	
	
	Identidade
	
	
	Diagonal
	
	
	Coluna
	
	
	Lninha
	
	
	Nula
	
Explicação:
Considerando que duas matrizes são diagonais então a soma dessas matrizes seráuma matriz diagonal. Cabe observar que uma matriz diagonal só tem elementos não nulos na diagonal principal!
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	1
	
	
	144
	
	
	24
	
	
	36
	
	
	12
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(36 / 6) . 4 = 24
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a matriz dos cofatores da matriz A= [ 2111][ 2111].
	
	
	
	[ 1][ 1]
	
	
	[ 0110][ 0110]
	
	
	[ 1−1−12][ 1−1−12]
	
	
	[ 2111][ 2111]
	
	
	[ 1001][ 1001]
	
Explicação:
Solução:
A = [ 2111][ 2111]
O cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j.  Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante  é obtido eliminando a linha i e a coluna j.
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 1 = 1.
A12 = (-1)1+2 . D1,2 =  -1 . 1 = -1.
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 1 = -1.
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 2 = 2.
Conclusão, o cofator da matriz A= [ 2111][ 2111] é a matriz [ 1−1−12][ 1−1−12].
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Prove que a matriz A=[ 4213][ 4213] é inversível, através do seu determinante.
 
	
	
	
	1
 
	
	
	10
	
	
	-10
	
	
	14
	
	
	0
	
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= [ 4213][ 4213]
det A = (4.3) - (1.2) =  10.
Conclusão, a matriz A=[ 4213][ 4213] é inversível, pois o seu determinante é igual a 10(diferente de zero).
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dada a matriz A = (4276 )(4276 )  , calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(3/5−1/5−7/102/5 )(3/5−1/5−7/102/5 )
	
	
	(6274 )(6274 )
	
	
	(4276 )(4276 )
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(1001 )(1001 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (4276 )(4276 ), pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.6) - (7.2) = 24 - 14 =10.
A-1 = 110110 . (6−2−74 )(6−2−74 ) = (6/10−2/10−7/104/10 )(6/10−2/10−7/104/10 ) = (3/5−1/5−7/102/5 )(3/5−1/5−7/102/5 )
Concluão:
A inversa da matriz A = (4276 )(4276 ) é a matriz A-1 = (3/5−1/5−7/102/5 )(3/5−1/5−7/102/5 ).
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Prove que a matriz A=[ 2111][ 2111]é inversível, através do seu determinante.
 
	
	
	
	-1
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	-2
	
	
	1
	
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= [ 2111][ 2111]
det A = (2.1) - (1.1) =  1.
Conclusão, a matriz A=[ 2111][ 2111] é inversível, pois o seu determinante é igual a 1(diferente de zero).
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dada a matriz A =  (2113 )(2113 ), calcule a sua INVERSA.
	
	
	
	(3112 )(3112 )
	
	
	(2113 )(2113 )
	
	
	(2−1−13 )(2−1−13 )
	
	
	(1 )(1 )
	
	
	(3/5−1/5−1/52/5 )(3/5−1/5−1/52/5 )
	
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = (2113 )(2113 ) , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = 1det(A)1det(A) . (d−b−ca )(d−b−ca ).
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.3) - (1.1) = 6 - 1 =5.
A-1 = 1515 . (3−1−12 )(3−1−12 ) = (3/5−1/5−1/52/5 )(3/5−1/5−1/52/5 ) .
Concluão:
A inversa da matriz A = (2113 )(2113 ) é a matriz A-1 = (3/5−1/5−1/52/5 )(3/5−1/5−1/52/5 ).
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é:
	
	
	
	1/20
	
	
	20
	
	
	1/8
	
	
	-1/14
	
	
	8
	
Explicação:
Utilizando a propriedade:
det (A-1) = 1 / det A
det (A-1) = 8
Logo det A = 1 / 8
		1.
		Sabendo-se que, em uma lanchonete, 2 sanduíches e 1 refrigerante custam R$ 12,60 e 1 sanduíche e 2 refrigerantes custam R$ 10,20. Quanto custa 1 sanduíche e 1 refrigerante?
	
	
	
	R$ 7,60
	
	
	R$ 8,70
	
	
	R$ 6,50
	
	
	R$ 9,80
	
	
	R$ 5,40
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Um sistema linear está associado a uma equação matircial conforme a descrição na figura abaixo.
Com base na definição acima, assinale a afirmativa verdadeira.
	
	
	
	O "X" é denominado de matriz ampliada e o "b" de matriz dos coeficientes.
	
	
	O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" vetor dos termos independentes.
	
	
	O "X" é denominado o vetor dos termos independente e o "b"vetor das incógnitas.
	
	
	O "A" é denominado de matriz ampliada e o "X" matriz dos coeficientes.
	
	
	O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
	
Explicação:
Solução:
A forma matricial da figura apresenta é um sistema linear com "m" equações e "n" incógnitas fica representado pelo equação matricial AX=B.
Assim, a matriz "A" é denominada de matriz dos coeficientes, "X"é o vetor das incógnitas e 'b" vetor dos termos independentes.
Conclusão:
O "A" é denominado de matriz dos coeficientes e o "b" o vetor dos termos independentes.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Um fabricante de produtos naturais produz  xampu, condicionador e creme para pentear que  em promoção são comercializados da seguinte forma:
	 2 cremes e 3 xampus
	38,00
	 4 xampus e 2 condicionadores
	26,00
	 2 cremes e 1 condicionador
	31,00
Sabendo que o preço individual de cada um dos produtos é o mesmo, independentemente do conjunto promocional ao qual pertence, o preço inividual do xampu, condicionador e creme para pentear dado nesta ordem é:
 
	
	
	
	condicionador  R$ 4,00 ;  creme  R$ 10,00  e  xampu  R$ 5,00
	
	
	xampu  R$ 4,00 ;  creme  R$ 13,00  e  condicionador  R$ 5,00
	
	
	creme  R$ 4,00 ;  condicionador  R$ 10,00  e  xampu  R$ 5,00
	
	
	xampu  R$ 5,00 ;  creme  R$ 13,00  e  condicionador  R$ 5,00
	
	
	xampu  R$ 6,00 ;  creme  R$ 10,00  e  condicionador  R$ 5,00
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣11161234134−5⎤⎥⎦[11161234134-5]
	
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
	
	x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 4
x + 3y + 4z = -5
	
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 4
x + 3y + 4z = -5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas:
                                                      
	
	
	
	2, 1, 3
	
	
	1, 2, 3
	
	
	4, 5, 1
	
	
	1, 4, 5
	
	
	2, 3, 1
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações?
⎛⎜⎝1253−4−511−8−5⎞⎟⎠(1253−4−511−8−5)
	
	
	
	x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
	
	
	5x - 10y = -5
 
	
	
	x + 2y + 5
3x - 4y - 5
11x - 8y - 5
	
	
	x + 3y + 11z = 0
2x - 4y -8z = 0
5x - 5y -5z= 0
	
	
	x + y = 5
x - y = -5
x - y = -5
	
Explicação:
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada ⎛⎜⎝1253−4−511−8−5⎞⎟⎠(1253−4−511−8−5), os elementos 5, -5 e -5 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; e Andreia e Bidu pesam 66 kg. Podemos afirmar que:
	
	
	
	Carlos é mais pesado que Andreia e Bidu juntos.
	
	
	O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
	
	
	Cada um deles pesa menos que 60 kg.
	
	
	Dois deles pesam mais que 60 kg.
	
	
	Andreia é a mais pesada dos três.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Após aplicar o método de Gauss na matriz ampliada abaixo, qual alternativa corresponde a sua matriz reduzida ?
⎛⎜⎝11131230134−2⎞⎟⎠(11131230134−2)
	
	
	
	⎛⎜⎝1005010−1001−1⎞⎟⎠(1005010−1001−1)
	
	
	⎛⎜⎝100001000010⎞⎟⎠(100001000010)
	
	
	⎛⎜⎝10−16012−300−11⎞⎟⎠(10−16012−300−11)
	
	
	⎛⎜⎝111123134⎞⎟⎠(111123134)
	
	
	⎛⎜⎝1113012−3023−5⎞⎟⎠(1113012−3023−5)
			1.
		Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?
	
	
	
	6 anos
	
	
	2 anos
	
	
	3 anos
	
	
	5 anos
	
	
	4 anos
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Dado o sistema de equações ax + 2y = 3 e 5x + 4y = 6, para que valor de a tem-se um sistema impossível?
	
	
	
	2,5
	
	
	3,5
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣224−112321343⎤⎥⎦[224-112321343]
	
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
	
	2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
⎡⎢⎣234112321343⎤⎥⎦[234112321343]
	
	
	
	2x + 3y + 4z = 1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
	
	
	x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
	
	
	2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
	
	
	x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
	
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
2x + 3y + 4z = 1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		De acordo com a classificação de um sistema de equações lineares, qual alternativa abaixo é verdadeira?
	
	
	
	Sistema Impossível (SI) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Possível e Determinado(SPD) possui apenas uma única solução.
	
	
	Sistema Possível e Determinado(SPD) possui infinitas soluções.
	
	
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI) não possui  solução.
	
	
	Sistema Possível e Indeterminado (SPI) possui apenas uma única solução.
	
Explicação:
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classificado como:
Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução.
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções.
Sistema Impossível (SI): não possui solução.
Conclusão:
A resposta correta é o Sistema Possível e Determinado (SPD) possui apenas uma única solução.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Durante um ano, Vicente economizou parte do seu salário, o que totaliza R$100.000,00. Sendo um jovem com boa visão para os negócios, resolve investir suas economias em um negócio relacionado à área alimentícia que deverá resultar em um rendimento de R$9400,00, sobre seus investimentos anuais. A aplicação oferece um retorno de 4% ao ano e o título, 10%. O valor para ser investido é decidido pelo investidor e um valor y, obrigatório, é decidido pelo acionista principal da empresa. Com base nessas informações, é possível calcular os valores de x e y, resolvendo-se um sistema de duas equações dado por :
                                                       
                                                   
 
É correto afirmar que os valores de x e y são respectivamente iguais a:
	
	
	
	80.000 e 20.000
	
	
	60.000 e 40.000
	
	
	65.000 e 35.000
	
	
	30.000 e 70.000
	
	
	10.000 e 90.000
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Em uma lanchonete, 2 sanduíches naturais mais 1 copo de suco custam R$ 10,00, e 1 sanduíche natural mais 2 copos de suco custam R$ 9,20. O preço de um sanduíche natural mais um copo de suco é
	
	
	
	R$ 6,40.
	
	
	R$ 8,80.
	
	
	R$ 7,20.
	
	
	R$ 6,90.
	
	
	R$ 9,60.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Durante um torneio de matemática, uma das questões propostas dizia que a soma das idades de duas pessoas totaliza 96 anos e que a diferença entre as idades dessas pessoas é igual a 20. Abaixo está representado o sistema referente a essa situação. É correto afirmar que a idade da pessoa mais velha corresponde a :
 
                                                       
	
	
	
	76 anos
	
	
	58 anos
	
	
	60 anos
	
	
	82 anos
	
	
	50 anos
	
		1.
		Para as apresentações de uma peça teatral (no sábado e no domingo à noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$ 4.560,00. O preço do ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no domingo era de R$ 8,00. O número de ingressos vendidos para a apresentação do sábado e para a do domingo, nessa ordem, foi:
	
	
	
	280 e 220
	
	
	270 e 230
	
	
	300 e 200
	
	
	260 e 240
	
	
	290 e 210
		1.
		Dada as equações:
x + y + z = 1
2x - y + z = 0
x + 2y - z = 0
Com base na regra de CRAMER, cálcule o Dx.
	
	
	
	-1.
	
	
	0.
	
	
	-5.
	
	
	3.
	
	
	7.
	
Explicação:
Dada as equações:
x + y + z = 1
2x - y + z = 0
x + 2y - z = 0
Para calcular o Dx, você precisa escrever a matriz reduzida A = ⎛⎜⎝1112−1112−1 ⎞⎟⎠(1112−1112−1 ).
Depois substitua a primeira coluna pelos termos independentes do sistema.  ⎛⎜⎝1110−1102−1 ⎞⎟⎠(1110−1102−1 ).
Agora, calcule Dx = ⎛⎜⎝111110−110−102−102 ⎞⎟⎠(111110−110−102−102 ).
Dx = -0 - 2 - 0 +1+ 0 + 0 => Dx = -2 + 1 => Dx = -1.
Conclusão:
O determinante Dx da equação apresentada é Dx = -1.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma das formas de resolver um sistema linear que foi abordado nas aulas é a regra de CRAMER.
Para resolução de um sistema linear baseado na regra de cramer, identifique nas afirmativas abaixo a única verdadeira.
	
	
	
	X = A-1b e det(A) ≠≠ 0.
	
	
	X ≠≠ A-1b e det(A) ≠≠ 0.
	
	
	det (A) = 0 e a matriz deve ser inversível.
	
	
	X = A-1b  e  número equações diferente do número de incógnitas.
	
	
	det (A) = 0 e X = A-1b.
	
Explicação:
Conclusão:
det(A) ≠≠  0  e X = A-1b.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O determinante de um produto de duas matrizes é igual...
	
	
	
	A diferença de seus determinantes.
	
	
	Ao quociente de seus determinantes.
	
	
	A soma de seus determinantes.
	
	
	Ao produto de seus determinantes.
	
	
	Sempre será igual a zero.
	
Explicação: O determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma matriz quadrada A4x4 possui suas linhas organizadas da seguinte maneira:
1ª linha: (-1, 1, -1, 1);
2ª linha: ( 1, 0, 1, 0);
3ª linha: (2, 1, 2, 1);
4ª linha: (0, 0, 0, 0);
Em relação ao determinante da matriz A, é CORRETO afirmar que:
	
	
	
	det(A) = 0
	
	
	det(A) = 1
	
	
	det(A) = -2
	
	
	det(A) = -1
	
	
	det(A) = 2
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
	
	
	
	27
	
	
	12
	
	
	24
	
	
	18
	
	
	3
	
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(18 / 6) . 4 = 12
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada as equações lineares:
x + y = 4
x + y = -4
Qual afirmativa abaixo está correta?
	
	
	
	 
A primeira é uma reta , a segunda uma curva e sua matriz ampliada é (400−4 )(400−4 ).
	
	
	São duas retas perpendiculares e sua matriz ampliada é (1001 )(1001 ).
	
	
	São duas curvas e sua matriz ampliada é (10401−4)(10401−4).
	
	
	São duas retas paralelas e  sua matriz ampliada é (11411−4)(11411−4).
	
	
	São duas retas perpendiculares e  sua matriz ampliada é (10401−4)(10401−4).
	
Explicação:
Com base nas equações:
 x + y = 4
x + y = -4
E, na equação x + y = 4, para x=0 obtemos y = 4 e o par (x,y) = (0,4). E , para y=0 obtemos x=4 e o par (x,y)=(4,0).
E, na equação x + y = -4, para x = 0 obtemos y = -4 e o par (x,y) = (0,-4). para y=0 obtemos x=-4 e o par (x,y)=(-4,0).
Pode-se chegar as seguintes retas:
Conclusão:
São duas retas paralelas e  sua matriz ampliada é (11411−4)(11411−4).
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma matriz A tem 10 linhas e 10 colunas. Os elementos que formam a terceira linha são formados a partir da média aritmética entre os elementos da 5a e 9a linhas. A da matriz A, é possível afirmar que:
	
	
	
	Seu determinante pode ser zero
	
	
	Seu determinante nunca será zero
	
	
	Apresenta inversa, isto é A-1
	
	
	Nada pode ser afirmado com respeito ao seu determinante
	
	
	Seu determinante sempre será zero
	
Explicação:
Como uma linha é combinação linear das demais, o determinante é igual a zero.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se A e B são matrizes quadradas (3x3), tais que det(A) = 2 e det(B) = 4, então det(Ax2B) será
	
	
	
	32
	
	
	64
	
	
	16
	
	
	8
	
	
	128
	
		.
		Com base nas equações a seguir:
x + y = 5
x - y = -7
Qual alternativa abaixo representa a matriz ampliada e a matriz escalonada, respectivamente?
	
	
	
	   (1110−20 )(1110−20 )  e (1101−10 )(1101−10 )
	
	
	(1151−1−7 )(1151−1−7 )  e   (115016 )(115016 )
	
	
	(1151−1−7 )(1151−1−7 )   e   (100010 )(100010 )
	
	
	   (1100−10 )(1100−10 )  e (1101−10 )(1101−10 )
	
	
	   (1100−20 )(1100−20 )  e (1101−10 )(1101−10 )
	
Explicação:
Equações:
x + y = 5
x - y = -7
A matriz ampliada das equaçõs acima é represenada por:
(1151−1−7 )(1151−1−7 )   
 
A matriz escalonada da matriz ampliada acima é cálculada da seguinte forma:
(1151−1−7 )(1151−1−7 )   L2 = L2 - L1 .....   L2 = 1 -1 = 0.    L2 = -1 - 1 = -2.    L2 = -7 - 5 = -12.
Assim, ficamos com : (1150−2−12 )(1150−2−12 ) .   L2 = L2 / -2.
 Com isso, temos: (115016 )(115016 )
Conclusão:
A matriz ampliada e a matriz escalonada são respectivamente:
(1151−1−7 )(1151−1−7 )  e   (115016 )(115016 ).
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O gráfico a seguir representa as equações lineares x + y = 4  e x + y = -4.
Com base no gráfico acima, qual afirmativa abaixo é verdadeira?
 
 
	
	
	
	É um sistema possível e determinado(SPD).
	
	
	O sistema com uma variável livre admitindo infinitas soluções.
	
	
	 O sistema não possui solução(SI).
	
	
	O sistema admiti uma única solução.
	
	
	É um sistema possível e indeterminado(SPI).
	
Explicação:
As equações lineares do enunciado apresentam duas retas paralelas que não possuem um ponto de interseção entre elas.
E, na equação x + y = 4, para x=0 obtemos y = 4 e o par (x,y) = (0,4). E , para y=0 obtemos x=4 e o par (x,y)=(4,0).
E, na equação x + y = -4, para x = 0 obtemos y = -4 e o par (x,y) = (0,-4). para y=0 obtemos x=-4 e o par (x,y)=(-4,0).
A sua matriz ampliada é a matriz  (11411−4 )(11411−4 )   e a sua matriz escalonada é a matriz (114008 )(114008 ).
x + y = 4
0 = 8
Conclusão:
É um sistema de equações lineares incopatível, pois na última equação da matriz escalonada temos 0 = 8.
 O sistema não possui solução(SI).
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir:
2  3  5
4 -2  3
1 0  0
	
	
	
	9
	
	
	10
	
	
	-14
	
	
	6
	
	
	11
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Suponha uma matriz quadrada A4x4 tal que seu determinante valha 3, ou seja, det (A) = 3. Qual o determinante de 2A, ou seja det(2A).
	
	
	
	6
	
	
	18
	
	
	48
	
	
	81
	
	
	3
	
Explicação:
É verdade que o  det(2A) = 24.det(A), onde 4 é a ordem da matriz A
Substituindo, det(2A) = 24.det(A) = 16 . 3 = 48
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Suponha que uma matriz A quadrada de ordem n tenha determinante igual a 2. Considere a matriz B tal que B = 2A. Encontre o determinante de B, ou seja, det(B).
	
	
	
	22n 
	
	
	2n + 1 
	
	
	2n/2 
	
	
	2n - 1 
	
	
	2n 
	
Explicação:
det(B) = det(2A) = 2n. det(A) = 2n+1
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada uma matriz A, tal que At seja a sua transposta. Com base nessa informação analise as afirmativas abaixo:
I. (At)t = A;
II. Se (At) = A, então A é uma matriz quadrada;
III. O determinante da matriz transposta é o inverso do determinante da matriz original;
Encontramos afirmativas CORRETAS somente em:
	
	
	
	I
	
	
	I e II
	
	
	II
	
	
	I, II e III
	
	
	III
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam A e B matrizes de ordem n tais que Det A = 3 e Det B = 5 , podemos afirmar que o Det (AB) é igual a :
	
	
	
	15
	
	
	2
	
	
	8
	
	
	-2
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considerando o triângulo de Pascal da figura abaixo, é correto afirmar que o valor de X será:20
	
	
	18
	
	
	17
	
	
	21
	
	
	19
		1.
		As matrizes A(3x5), B(mxn) e C(mx4) são tais que a operação A x (B + C) é possível. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o valor de m é:
	
	
	
	3
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere os vetores u = (1, -2, 3, -4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(7, 5, -5, 5, -5)
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (7, 5, -5, 5, -5)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (6, -7, 8, -9, 10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(7, -5, 5, 5, 15)
	
	
	(7, -5, 11, -5, 15)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 5)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (7, -5, 11, -5, 15)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear do vetor v=(9,8,7)?
	
	
	
	(12,14,18)
	
	
	(18,16,14)
	
	
	(12,14,11)
	
	
	(12,15,19)
	
	
	(18,16,12)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Com base nos conceitos de espaços vetoriais podemos definir que:
Se definirmos o vetor u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (1, -3, -4, 6),qual o resultado da soma do vetor u + v ? 
	
	
	
	(3, 2, 7, 9).
	
	
	(-10, 11, 19, -15).
	
	
	(-3, 8, 15, -9).
	
	
	(-1, 2, 7, 3).
	
	
	(1, 2, 6, 3).
	
Explicação:
Dados os vetores u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (1, -3, -4, 6), podemos definir a sua soma da seguinte forma:
u + v = (-2+1, 5-3, 11-4, -3+6) = (-1, 2, 7, 3).
Conclusão
u + v = (-1, 2, 7, 3).
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Com base nos conceitos de espaços vetoriais podemos definir que:
Se definirmos o vetor u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6),qual o resultado da operação do vetores  3v - 2u? 
	
	
	
	(2, 2, 7, 3).
	
	
	(-10, 11, 19, -15).
	
	
	(-6, 2, 7, -9).
	
	
	(-1, 2, 7, 3).
	
	
	(16, -19, -34, 24)
	
Explicação:
Dados os vetores u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6), podemos definir a sua subtração da seguinte forma:
3v - 2u = 3.(4, -3, -4, 6) - 2( -2, 5, 11, -3) = (12, - 9, -12, 18) - (-4, 10, 22, -6) = (16, -19, -34, 24).
Conclusão
3v - 2u = (16, -19, -34, 24).
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Com base nos conceitos de espaços vetoriais podemos definir que:
Se definirmos o vetor u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6),qual o resultado da operação do vetores u -  2v ? 
	
	
	
	(-1, 2, 7, 3).
	
	
	(2, 2, 7, 3).
	
	
	(-10, 11, 19, -15).
	
	
	(-6, 2, 7, -9).
	
	
	(6, 2, 3, 9)
	
Explicação:
Dados os vetores u = ( -2, 5, 11, -3) e o vetor v = (4, -3, -4, 6), podemos definir a sua subtração da seguinte forma:
Sendo, 2v = 2(4, -3, -4, 6) = (8, -6, -8, 12).
u - 2v = ( -2, 5, 11, -3) - (8, -6, -8, 12) = (-2 - 8, 5 + 6, 11 + 8, -3 - 12) = (-10, 11, 19, -15).
Conclusão
u - 2v = (-10, 11, 19, -15).
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se u = ( x, 12, 11),  v = (1, -3, z) e w = (2, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação 3w - u =  v  são respectivamente ?
	
	
	
	x=-10, y=19 e z =-15.
	
	
	x = 2, y = -12 e z = 55.
	
	
	x = 16, y = 19 e z = -34.
	
	
	x = 1, y = 12 e z = 11.
	
	
	x = 5, y = 3 e z = 4.
	
Explicação:
Sendo
3w - u =  v.
3(2, y, 5) - (x, 12, 11) = (1, -3, z) .
(6, 3y, 15) - (x, 12, 11) = (1, -3, z).
6 - x = 1 => x = 5.
3Y - 12 = -3 => 3y = -3 + 12 => 3y = 9 => y = 3.
15 - 11 = z =>  z = 4.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 5, y = 3 e z = 4.
		1.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (-6, -7, 8, 9, 10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 5)
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(-5, -5, 11, 13, 15)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (-5, -5, 11, 13, 15)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		No sistema linear homogêneo temos:
	
	
	
	sempre soluções infinitas e portanto ele é SPI
	
	
	a solução trivial quando ele é sistema possível determinado (SPD)
	
	
	soluções vazias, portanto o sistema é impossível (SI)
	
	
	a solução trivial quando ele é sistema possível indeterminado (SPI)
	
	
	sempre soluções infinitas e portanto ele é SPD
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual dos vetores abaixo é uma combinação linear do vetor v=(3,3,6)?
	
	
	
	(3,2,4)
	
	
	(2,4,6)
	
	
	(1,2,3)
	
	
	(4,4,3)
	
	
	(1,1,2)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja A e B matrizes de ordem n tais que Det A = -3 e Det B = -2 , podemos afirmar que Det (AB ) é igual a :
	
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	-6
	
	
	2
	
	
	-5
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere os vetores u = (1, 2, 3, 4, 5) e v = (6, 7, -8, 9, -10) de R5. Então o vetor u + v vale:
	
	
	
	(7, -5, 5, 5, -15)
	
	
	(7, 9, -5, 13, -5)
	
	
	(7, 9, 11, -5, 15)
	
	
	(5, -5, 11, -13, 15)
	
	
	(5, -5, -5, -5, 5)
	
Explicação:
Se u = (u1, u2, u3, u4, u5) e v = (v1, v2, v3, v4, v5) então u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, u4 + v4, u5 + v5)
u + v = (7, 9, -5, 13, -5)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Se u = ( x, 5, 11),  v = (1, -3, z) e w = (1, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação w + v =  2u  são respectivamente ?
	
	
	
	x = 1, y =13 e z = 17.
	
	
	x = 1, y =-13 e z =1.
	
	
	x = 0, y = 2 e z =16.
	
	
	x = 1, y = -13 e z = 1.
	
	
	x = 1, y = 5 e z = 11.
	
Explicação:
Sendo
w + v =  2u.
(1, y, 5) + (1, -3, z) = 2(x, 5, 11).
(1, y, 5) + (1, -3, z) = (2x, 10, 22)
1 + 1 = 2x => x = 1.
Y - 3 = 10 => y = 10 + 3 => y = 13.
5 + z = 22 => z = 22 - 5 => z = 17.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 1, y = 13 e z = 17.
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Se u = ( x, 5, 11),  v = (1, -3, z) e w = (1, y, 5), os  seus  escaleres  x, y e z para a operação w + v =  u  são respectivamente ?
	
	
	
	x = 0, y = 2 e z =16.
	
	
	x = 1, y = -3 e z = 5.
	
	
	x = 1, y = 1 e z =1.
	
	
	x = 2, y = 8 e z = 6.
	
	
	x = 1, y = 5 e z = 11.
	
Explicação:
Sendo
w + v = u.
(1, y, 5) + (1, -3, z) = (x, 5, 11).
1 + 1 = x => x = 2.
Y - 3 = 5 => y = 5 + 3 => y = 8.
5 + z = 11 => z = 11 - 5 => z = 6.
Conclusão:
Os valores escalares são x = 2, y = 8 e z = 6.
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine o valor de a para que o vetor u = (-1,a,-7) seja combinação linear dos vetores de S = {(1,-3,2),(2,4,-1)}.
	
	
	
	a = 15
	
	
	a = 14
	
	
	a = 17
	
	
	a = 16
	
	
	a = 13
	
		1.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (1, 2) e v = (5, k) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	K = 10
	
	
	k ≠ 10
	
	
	k < 10
	
	
	k < - 10
	
	
	k > 10
	
Explicação:
Podemos verificar que (5, k) = 5. (1, 2) para K = 10
Então v = 5u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente,quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LI?
	
	
	
	Se posto A = 0 e o det(A) = 0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < número de vetores envolvidos.
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e  o posto de A > = número de vetores envolvidos.
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o det(A) ≠≠0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	
Explicação:
Conclusão:
Se a matriz A dos vetores não for quadrada e  o posto de A > = número de vetores envolvidos.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Para que valor de m os vetores (2,5,7), (m,1,0) e (1,1,2) são LD?
	
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (1, 2, -1) e v = (3, k, -3) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	k < 6
	
	
	k > 6
	
	
	k < - 6
	
	
	k ≠ 6
	
	
	k = 6
	
Explicação:
Podemos verificar que (3, k, -3) = 3.(1, 2, -1)  para K = 6
Então v = 3u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (3, 2) e v = (9, k) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	k = 6
	
	
	k > 6
	
	
	k < - 6
	
	
	k ≠ 6
	
	
	k < 6
	
Explicação:
Podemos verificar que (9, k) = 3. (3, 2) para K = 6
Então v = 3u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Qual dos vetores abaixo não é uma combinação linear do vetor v=(10,100,10)?
	
	
	
	(5,50,5)
	
	
	(100,1000,100)
	
	
	(1000,10000,100)
	
	
	(10000,100000,10000)
	
	
	(1,10,1)
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (1, 2, -1) e v = (4, k, -4) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	k ≠ 8
	
	
	k > 8
	
	
	K = 8
	
	
	k < - 8
	
	
	k < 8
	
Explicação:
Podemos verificar que (4, k, -4) = 4.(1, 2, -1)  para K = 8
Então v = 4u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Se as matrizes A e B abaixo são iguais, então o valor de k + t é:
	
	
	
	-2
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	0
	
	
	-1
	
		1.
		Quais os valores dos escalares para que o vetor v = (-4, -18, 7) seja combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).
	
	
	
	2 e 4
	
	
	2 e -3
	
	
	2 e 3
	
	
	-2 e 3
	
	
	-3 e -2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Após dispor os vetores como linhas de uma matriz A e seguindo a forma prática de descobrir se um vetor é Linearmente Independente(LI) ou Linearmente Dependente(LD), qual afirmativa abaixo indica que um vetor é LI?
	
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A < número de vetores envolvidos.
	
	
	Posto de A = 0 e det(A) =0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) ≠≠ 0.
 
	
	
	Se a matriz A dos vetores não for quadrada e o posto de A = 0.
	
	
	Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) =0.
	
Explicação:
Conclusão:
Se a matriz A dos vetores for quadrada e o det(A) ≠≠ 0.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i,j = 1,2,3. Analisando a Matriz [ ( 30 19 20 ), ( 15 10 8 ), ( 12 16 11 )], podemos afirmar que:
	
	
	
	a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40
	
	
	a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52
	
	
	a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11
	
	
	a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45
	
	
	a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Se os vetores u = (5, 6) e v = (10, k) são Linearmente Independentes, então
	
	
	
	k = -12
	
	
	k é menor que 12
	
	
	k é diferente de 12
	
	
	k = 12
	
	
	k é maior que 12
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o valor de K para que os vetores u = (2, 2, -1) e v = (6, k, -3) sejam linearmente dependentes:
	
	
	
	k < 6
	
	
	k > 6
	
	
	K = 6
	
	
	k ≠ 6
	
	
	k < -6
	
Explicação:
Podemos verificar que (6, k, -3) = 3.(2, 2, -1)  para K = 6
Então v = 3u, ou seja, v é combinação linear de u.
Geometricamente, quando dois elementos em R2 ou R3 são linearmente dependentes, eles estão na mesma reta, quando colocados na mesma origem.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Analise as afirmativas abaixo:
I. É sempre possível realizar o produto entre uma matriz e sua transposta;
II. Se At = A, então A é uma matriz simétrica;
III. Se A é uma matriz simétrica, então A + At = O, sendo O a matriz nula de mesma ordem;
Encontramos afirmativas corretas somente em:
	
	
	
	I
	
	
	II
	
	
	III
	
	
	II e III
	
	
	I e II
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Sejam as matrizes a seguir A = (aij)4x3 , aij = ij B = (bij)3x4 , bij = ji Se C = A. B, então c22 vale:
	
	
	
	3
	
	
	84
	
	
	14
	
	
	39
	
	
	258
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Resolva o sistema linear, utilizando a técnica de escalonamento.
  x  +  y  -   z =  0
  x - 2y + 5z = 21
4x +  y + 4z = 31
 
	
	
	
	S = { (1, 3, 2) }
	
	
	S = { (6, 2, 5) }
	
	
	S = { (5, 3, 1) }
	
	
	S = { (0, 1, 2) }
	
	
	S = { (2, 3, 5) }
		1.
		Com base no conceito de geometria espacial, assinale a opção que identifica um vetor  que representa, na geometria espacial do conjunto  ,  todos os vetores no espaço.
	
	
	
	x = a - b
	
	
	→v=→a+→b+→cv→=a→+b→+c→
	
	
	→v=a→i+b→j+c→kv→=ai→+bj→+ck→
	
	
	v = ax + by + cz
	
	
	→v=a→i+b→jv→=ai→+bj→
	
Explicação:
Conclusão:
→v=a→i+b→j+c→kv→=ai→+bj→+ck→
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a imagem do vetor v = (1, 2) pela Transformação Linear T(x,y) = (x + y, 3x - y).
	
	
	
	(3,1)
	
	
	(3,5)
	
	
	(1, 8)
	
	
	(2,3)
	
	
	(1,2)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 4) pela Transformação Linear T(x,y) = (9x - 6y, 5x +4y).
	
	
	
	(-6,26)
	
	
	(-2,24)
	
	
	(-3,25)
	
	
	(-1,22)
	
	
	(-1, 18)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a imagem do vetor v = (2, 7) pela Transformação Linear T(x,y) = (2x -