Ciclo trigonométrico

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Matemática 
 
 
 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Ciclo trigonométrico............................................................................................................. 2 
1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.2. Conversão de unidades .................................................................................................... 6 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
Na apostila Trigonometria no Triângulo Retângulo aprendemos sobre o 
triângulo retângulo, as razões trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, 
secante e cossecante; o uso dessas razões é muito amplo e muito importante no 
estudo da trigonometria. 
 Nesta apostila abordaremos o tema círculo trigonométrico, será apesentado 
seu conceito e utilidade na resolução de problemas. Esta ferramenta gráfica se 
classifica como uma das mais importantes na trigonometria. Compreender a lógica 
do ciclo trigonométrico e para quê ele serve, torna a trigonometria bem mais fácil. O 
uso do ciclo trigonométrico permite determinadar algumas propriedades 
trigonométricas especiais, além de ajudar na construção, marcação e interpretação 
de gráficos. 
Objetivo 
• Apresentar o conceito de ciclo trigonométrico e seus elementos; 
• Identificar as medidas de arcos, suas unidades de medidas (grau e radiano) e 
o comprimento do arco. 
 
1. Ciclo trigonométrico 
1.1. Conceito 
O círculo trigonométrico também denominado por ciclo trigonométrico ou 
circunferência trigonométrica é uma representação gráfica composta por uma 
circunferência que varia 0° a 360°, seu centro está na origem do sistema cartesiano 
(0,0) e possue raio de medida 1. Sua equação de circunferencia é: é x2+y2=1 e para 
cada ponto disposto na circunferência é associado um número real. 
O ciclo é utilizado para indicar medidas de ângulos e seus respctivos valores 
de seno, cosseno e tangente; ao utilizar retas alinhadas a este ciclo é possivel 
também identificar os valores da secante, cossecante e cotangente de um ângulo 
qualquer. Observe na figura a seguir o ciclo com a indicação da localização das 
razões trigonométricas. 
 
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Ciclo trigonométrico destacando as razões trigonométricas 
 
No ciclo trigonométrico existem simetrias, ou seja, correspondências, que 
precisamos destacar devido sua importância e que facilitam na resolução de vários 
problemas. 
A simetria em relação ao eixo vertical, equivale ao seno, ao eixo horizontal o 
cosseno e em relação ao centro é a origem. Os valores distribuídos no contorno da 
circunferência que podem ser verificados na figura a seguir, ajudam no cálculo dos 
valores das funções trigonométricas. 
 
Ciclo Trigonométrico 
 
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Outro fato importante, é que o seno é medido através do eixo y, sendo que os 
ângulos que ficam abaixo da origem possuem seno negativo e aqueles que ficam 
acima possume seno positivo. 
 
O cosseno é medido pelo eixo x, onde os ângulos à esquerda da origem são 
negativos e à direita positivos. 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
A leitura feita no ciclo trigonométrico consiste em primeiramente identificar a 
função trigonométrica e localizar se está no eixo correspondente ao ciclo, em 
O sentido do ciclo trigonométrico é positivo quando 
se movimenta no sentido anti-horário e negativo quando se 
movimenta no sentido horário. 
 
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seguida encontrar o ângulo solicitado para assim descobrir a constante relativa à 
razão trigonométrica. 
A construção do ciclo trigonométrico se dá, através de uma circunferência em 
um sistema de coordenadas cartesianas, onde o valor do raio, sempre será 1 e o 
centro coincide com a origem do sistema cartesiano. Os eixos X e Y acabam dividindo 
o círculo em quatro partes iguais, na qual chamamos de quadrantes e sua a 
contagem é feita no sentido anti-horário a partir do ponto A, conforme vemos nas 
figuras abaixo. 
 
 
 
Na primeira figura, temos a circunferência mostrando seus quadrantes 
divididos em graus, o que daria 360° numa volta completa e como vemos na segunda 
em radianos uma volta completa dando 2 π rad. 
Recordando a fórmula do perímetro de um círculo, temos que 2 π r, e como o 
radiano é a mesma medida do raio, basta fazer a substituição na fórmula por 
rad(radiano). 
Desta forma temos, podemos verificar no quadro abaixo, como cada 
quadrante se comporta em graus e em radianos: 
 
Primeiro Quadrante 0º < A < 90º 0 < A < π/2 
Segundo Quadrante 90º < A < 180º π/2 < A < π 
Terceiro Quadrante 180º < A < 270º π < A < 3π/2 
Quarto Quadrante 270º < x < 360º 3π/2 < x < 2π 
 
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1.2. Conversão de unidades 
A medida de um ângulo pode ser associada a duas unidades de medidas 
distintas; graus ou a radianos. 
A relação existente entre graus e radianos é que cada π vale 180°, logo 2π = 
2.180° = 360° , 3π = 3.180° = 540º e assim sucessivamente; assim durante a conversão 
de pi-radiano para graus, basta substituir o valor de pi. 
Observe no exemplo a seguir como realizar estes cálculos. 
Exemplo 1: Realize as conversões de pi-radiano para graus, sabendo que 𝜋 =
180 : 
a) 
𝜋
5
 𝑙𝑜𝑔𝑜 
180°
5
= 36° 
b) 
3𝜋
4
 𝑙𝑜𝑔𝑜 
3 . 180°
4
= 135° 
c) 
7𝜋
2
 𝑙𝑜𝑔𝑜 
7 . 180°
2
= 630° 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
Já para transformar graus em pi-radianos é necessário aderir a uma regra de 
três, como será apresentado no exemplo a seguir: 
Exemplo 2: Realize as conversões de graus para pi-radiano: 
a) 130° para π radianos. 
Graus______Radianos 
130°_________x 
180°__________π 
 
𝑥 . 180 = 𝜋 . 130 
𝑥 =
130𝜋 
180
→ 𝑥 =
13𝜋
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Os ângulos notáveis do ciclo trigonométrico (em 
radianos) são π/6, π/3, π/4, π/2, π e todos os seus 
múltiplos (por exemplo, 5π/6). 
 
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b) 240° para π radianos. 
Graus______Radianos 
240°_________x 
180°__________π 
 
𝑥 . 180 = 𝜋 . 240 
𝑥 =
240𝜋 
180
→ 𝑥 =
4𝜋
3
 
 
 
CAI NA PROVA! 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Organize em ordem crescente as seguintes medidas de ângulos: 
4𝜋
3
, 50°, 
𝜋
6
, 
2𝜋
5
, 87° 
 
2. (Autor, 2019) Determine em qual quadrante é possível encontrar o ângulo de 
260°? 
a) 1º quadrante 
b) 2º quadrante 
c) 3º quadrante 
d) 4º quadrante 
 
3. (Autor, 2019) Qual é o sinal correspondente ao seno e cosseno, nessa ordem, 
de um ângulo de 120°? 
Ao realizar a conversão de graus para pi-radiano, 
constantemente será realizado a simplificação de frações; 
jamais no comando será descrito para simplificar, porém 
um resultado disposto em alternativas de múltipla escolha 
quasesempre estará simplificado. 
 
 
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a) positivo e positivo. 
b) positivo e negativo. 
c) negativo e positivo. 
d) negativo e negativo. 
Gabarito 
1. Para ordenar as medidas, é necessário que estejam na mesma unidade de 
medida, desta forma é mais fácil transformar tudo em graus, uma vez que a 
ordenação fica mais fácil. Lembre-se que 𝜋 = 180°. 
4𝜋
3
 = 
4 . 180°
3
 = 240° 
𝜋
6
 =
180°
6
= 30° 
2𝜋
5
=
2 . 180°
5
= 72° 
Logo a ordem crescente destes valores fica da seguinte maneira: 
𝜋
6
< 50° <
2𝜋
5
< 87° <
4𝜋
3
 
 
2. Dividindo 260º por 90º, temos um valor aproximado de 2,88 de onde pode-se 
concluir que o ângulo de 240º localiza-se no terceiro quadrante; lembrando 
que o ciclo é composto por quatro quadrantes. 
 
3. Um ângulo de 120° localiza-se no 2° quadrante, pois 120° dividido por 90° é 
igual a aproximadamente 1,33. No segundo quadrante o seno é positivo e o 
cosseno negativo, logo a opção correta é a letra b. 
 
Resumo 
O ciclo trigonométrico é uma importante ferramenta gráfica que auxilia na 
compreensão de conceitos relacionados a trigonometria. Este círculo é composto 
por quatro quadrantes e seus eixos coordenados são representados pelas razões 
trigonométricas seno e cosseno. A interpretação do ciclo consiste em identificar o 
ângulo, este pode se encontrar na medida de graus ou pi-radianos (a conversão 
 
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entre essas unidades se baseia no fato de pi = 180°) e assim visualizar o valor 
correspondente a razão trigonométrica solicitada. 
Vimos que o seno é medido através do eixo y, sendo que os ângulos que ficam 
abaixo da origem possuem seno negativo e aqueles que ficam acima possuem seno 
positivo e o cosseno é medido pelo eixo x, onde os ângulos à esquerda da origem são 
negativos e à direita positivos. 
 
 
Como o ciclo pode ser dividido em quadrantes, temos: 
 
Primeiro Quadrante 0º < A < 90º 0 < A < π/2 
Segundo Quadrante 90º < A < 180º π/2 < A < π 
Terceiro Quadrante 180º < A < 270º π < A < 3π/2 
Quarto Quadrante 270º < x < 360º 3π/2 < x < 2π 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2014. 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986. 
Referências imagéticas 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/CirculoTrigonometrico.svg/640px-
CirculoTrigonometrico.svg.png. Acessado em: 03/03/2019 às 11h30.