Funções trigonométricas: seno e cosseno

Prévia do material em texto

Matemática 
 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO E COSSENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Funções trigonométricas: seno e cosseno .......................................................................... 2 
1.1. Função Seno ..................................................................................................................... 2 
1.2. Função cosseno ................................................................................................................ 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Ciclo Trigonométrico foi apresentado o ciclo trigonométrico 
juntamente com seu conceito e propriedades. Esta ferramenta gráfica é muito útil 
para facilitar a resolução de exercícios de trigonometria. 
Função é um conceito muito amplo e primordial no estudo matemática, seu 
uso permite modelar diversas situações corriqueiras e cotidianas. Existem diversos 
tipos de funções: função polinomial do 1° grau, função polinomial do 2° grau, função 
exponencial, função logarítmica, entre outras. Neste contexto, nesta apostila será 
abordado duas importantes funções na matemática que faz parte das funções 
trigonométricas: função seno e função cosseno; estas são exemplos de funções 
periódicas capazes de modelar fenômenos periódicos. 
Objetivo 
• Ler, identificar e representar a função seno; 
• Ler, identificar e representar a função cosseno; 
 
1. Funções trigonométricas: seno e cosseno 
1.1. Função Seno 
Formalmente, função consiste em relacionar cada elemento de um conjunto 
a um único elemento do outro conjunto e assim para cada valor do primeiro 
conjunto podemos determinar o valor correspondente no segundo conjunto e desta 
forma um valor está em função do outro. 
A lei de formação é a expressão algébrica que descreve a função e é por ela 
que se torna possível determinar os conjuntos numéricos que apresentam os 
elementos definidos pela função, são eles: domínio, imagem e contradomínio. 
Domínio é o conjunto formado pelos elementos que literalmente comandam os 
possíveis resultados a serem obtidos na imagem; conceitua-se contradomínio como 
o conjunto cujos elementos refletem os números que podem se relacionar aos 
elementos do domínio através da função f, a imagem pode ser definida como o 
conjunto dos elementos encontrados no contradomínio que se relacionam a algum 
elemento do domínio. 
A função seno é definida por: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), e associa a cada número 
real x o número 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). A ela pode ser atribuída as seguintes características: 
 
3 
 
• Seu domínio e contradomínio são compostos pelo conjunto dos 
números reais, uma vez que x pode assumir qual valor real, assim: 𝐷 = 𝑥 𝜖 ℝ, 
• O conjunto imagem é encontrado no intervalo que varia entre o valor 
máximo de +1 e mínimo de -1, ou seja, 𝐼𝑚 = [−1,1]; 
• A função seno é periódica e seu período é 2𝜋, ou seja, sua curva se 
repete neste intervalo; 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
 
Sua representação gráfica é repetida no intervalo de 0 a 2𝜋, este período é 
denominado senoide e para construí-la é indicado marcar os pontos em que a 
função é máxima, mínima e nula no eixo cartesiano. Observe no gráfico seguinte a 
ilustração desta função: 
 
 
Representação gráfica da função seno 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar o período da função seno, desde que a 
mesma se enquadre no formato 𝑓(𝑥) = sen(𝑐𝑥 + 𝑑), 
considerando c e d números reais e c diferente de zero é 
encontrado pela relação: 𝑝 =
2𝜋
|𝑐|
. 
 
 
4 
 
O estudo de sinal da função seno é realizada da seguinte maneira: 
 
Estudo de sinal da função seno 
 
Como já sabemos, o seno é medido através do eixo y, sendo que os ângulos 
que ficam abaixo da origem possuem seno negativo e aqueles que ficam acima 
possuem seno positivo. 
A função seno também pode ser escrita como f(x)= a + b.sen(cx+d), com b e c 
diferentes de 0, com domínio =R e imagem = [-1 a 1] e período 2π. 
Para determinar a imagem, temos [a –b, a + b] ou [a + b, a – b]. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o domínio, imagem e período da seguinte 
função: 𝑓(𝑥) = 1 + 3𝑠𝑒𝑛(2𝑥 −
𝜋
5
) 
• O domínio é o conjunto dos números reais, uma vez que 
não há restrições para seus valores; 
• Para determinar a imagem, basta fazer os intervalos, 
utilizando a lei f(x)=a+b.sen(cx+d). Assim teremos os 
valores de a= 1 e b=3 a e basta substituir [a –b, a + b] = 
[1-3, 1+3] = [-2,4]. Logo −2 ≤ 𝑦 ≤ 4; 
• Determinar o período consiste em identificar a 
constante c e substituir na relação: sem ter completado 
um período, ou seja, basta aplicar a relação: 
𝑝 =
2𝜋
|𝑐|
=
2𝜋
|2|
= 𝜋. 
 
5 
 
1.2. Função cosseno 
A função cosseno é definida por: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) e associa a cada número 
real x o número 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) . A ela são atribuídas as seguintes características: 
• Seu domínio e contradomínio são compostos pelo conjunto dos 
números reais, uma vez que x pode assumir qualquer valor real, assim: 𝐷 = 𝑥 𝜖 ℝ, 
• O conjunto imagem é encontrado no intervalo que varia entre o valor 
máximo de +1 e mínimo de -1, ou seja, 𝐼𝑚 = [−1,1]; 
• A função cosseno é periódica e seu período é 2𝜋, ou seja, sua curva se 
repete neste intervalo. 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
Sua representação gráfica é repetida no intervalo de 0 a 2𝜋, este período é 
denominado cossenóide e para construí-la é indicado marcar os pontos em que a 
função é máxima, mínima e nula no eixo cartesiano. Observe no gráfico a seguir a 
ilustração desta função: 
 
 
 
Representação gráfica função cosseno 
 
 
A função cosseno é decrescente no 1º e 2° quadrante e crescente nos 3° e 4° 
quadrante. 
O estudo de sinal da função cosseno é realizada da seguinte maneira; 
Analogamente a função Seno, o período da função 
cosseno desde que se enquadre no formato 𝑓(𝑥) =
cos (𝑐𝑥 + 𝑑), considerando c e d números reais e c 
diferente de zero é encontrado pela relação: 𝑝 =
2𝜋
|𝑐|
. 
 
 
6 
 
 
 
Estudo de sinal da função cosseno 
O cosseno é medido pelo eixo x, onde os ângulos à esquerda da origem são 
negativos e à direita positivos. 
Outra forma de escrever função cosseno é por f(x)= a + b.cos(cx+d), com b e c 
diferentes de 0, com domínio =R e imagem = [-1 a 1] e período 2π. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Determine o domínio e o conjunto imagem da função: 
𝒇(𝒙) = −𝟐 + 𝒄𝒐𝒔(𝒙 +
𝝅
𝟒
) 
 
Determine o domínio, imagem e período da 
seguinte função: 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑐𝑜𝑠(
𝑥
2
−
𝜋
6
) 
• O domínio é o conjunto dos números reais, uma 
vez que não há restrições para seus valores; 
• Assim como nafunção seno, também podemos na 
função cosseno, determinar a imagem fazendo os 
intervalos pela lei f(x)=a+b.cos(cx+d). Assim 
teremos a=2 e b=1 e logo [a-b, a+b]=[2-1, 
2+1]=[1,3]. Então 1 ≤ 𝑦 ≤ 3; 
• Determinar o período consiste em identificar a 
constante c e substituir na relação: sem ter 
completado um período, ou seja, basta aplicar a 
relação: 𝑝 =
2𝜋
|
1
2
|
= 4𝜋 
 
7 
 
 
2. (Autor, 2019) Encontre a imagem e período da função: 
𝒇(𝒙) = 𝟒𝒔𝒆𝒏(𝟔𝒙) 
 
3. (Autor, 2019) Classifique as afirmativas abaixo como verdadeira ou falsa e 
em seguida assinale a alternativa correta: 
I – A função cosseno, y = cos (x), para x maior que zero equivale a dois; 
II - A função tangente, f(x) = tg(x), para 0 < x < π/2, é sempre crescente; 
III – A função seno e a função cosseno variam de -1 a +1 
a) F, V, V 
b) F, F, F 
c) V, V, V 
d) V, V, F 
e) F,V,F 
Gabarito 
1. O domínio da função é definido pelo conjunto dos números reais, ou seja, 
 𝐷 = 𝑥 𝜖 ℝ. 
Como a função cosseno varia entre +1 e -1 , logo a imagem é definida por: 
−1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
4
) ≤ 1 → −1 − 2 ≤ −2 + 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
2
−
𝜋
6
) ≤ 1 − 2 → −3 ≤
−2 + +𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
2
−
𝜋
5
) ≤ −1, logo −3 ≤ 𝑦 ≤ −1 e representa o conjunto 
imagem. 
 
2. A função seno varia entre +1 e -1 , logo a imagem é definida pela 
inequação: −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) ≤ 1 → −1 . 4 ≤ 4 . 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) ≤ 1 . 4 → −4 ≤
4𝑠𝑒𝑛(6𝑥) ≤ 4, logo −4 ≤ 𝑦 ≤ 4 
Para determinar o período consiste em identificar a constante c e 
substituir na relação: sem t completa um período, ou seja, basta aplicar a 
relação: 
𝑝 =
2𝜋
|6|
=
2𝜋
|6|
=
𝜋
3
 
 
 
 
8 
 
3. Avaliando cada afirmativa; 
I - Falsa. A função Cosseno varia entre 1 e -1 
II -Verdadeira. A função tangente é sempre crescente para x > 0. 
III – Verdadeira. A função seno varia entre -1 e 1. 
Logo a resposta letra a 
Resumo 
Nesta apostila foi apresentado o conceito de algumas funções 
trigonométricas. 
Função seno é definida por: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), e a função cosseno é 
definida por: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥); ambas possuem o mesmo período, equivalente a 
2𝜋 e também mesma imagem que esta compreendido no intervalo que varia entre o 
valor máximo de +1 e mínimo de -1, ou seja, 𝐼𝑚 = [−1,1].No entanto ambas 
possuem diferenças em suas representações gráficas bem com o estudo de sinal se 
diferencia. 
O quadro abaixo, faz um resumo do conteúdo de forma bem sintetizada. 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É expressa por y = f(x) = sen(x) ou f(x)=a+b.sen(cx+d)
O Domínio é D = x є R
Conj.imagem pelo intervalo [a -b, a + b] ou [a + b, a - b]
Função Seno é periódica seu período é 2π e sua curva se repete neste intervalo
Sua representação gráfica
Seno medido pelo eixo y
ângulo abaixo da origem (negativo)
ângulo acima da origem (positivo)
É expressa por y=f(x) = cos(x) ou f(x)= a + b.cos(cx+d)
O Domínio é D = x є R
Conj.imagem pelo intervalo [a -b, a + b] ou [a + b, a - b]
Função Cosseno é periódica seu período é 2π e sua curva se repete neste intervalo
Sua representação gráfica
Cosseno medido pelo eixo x
ângulo à esquerda da origem (negativo)
ângulo à direita da origem (positivo)
Função Seno
Função Cosseno
 
10 
 
Referências bibliográficas 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2014. 
MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986. 
Referências imagéticas 
Wikipedia. Disponível em: 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Cosine.svg/800px-Cosine.svg.png. 
Acessado em: 05/03/201z às 07h30 
Wikipedia. Disponível em: 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a2/Sine.svg/1280px-Sine.svg.png. 
Acessado em: 05/03/201z às 07h35 
 Wikipedia. Disponível em: 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/Cosine.svg/800px-Cosine.svg.png. 
Acessado em: 05/03/201z às 07h30