Mudança de base

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Matemática 
 
 
 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Mudança de base .................................................................................................................. 2 
1.1. Propriedade de mudança de base ................................................................................... 2 
1.2. Consequências da mudança de base .............................................................................. 3 
1.3. Aplicações ......................................................................................................................... 5 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Conforme vimos na apostila anterior, sobre Propriedades dos Logaritmos, este 
possuem propriedades que nos ajudam a resolver determinados exercícios de forma 
mais fácil. Temos a propriedade do logaritmo de um produto, onde logb ac = logb a + 
logb c, a propriedade logaritmo de um quociente em que o logb 
𝑎
𝑐
= logb a – logb c e o 
logaritmo de uma potência onde loga Mn = n.loga M. 
Por sua vez, nesta aula, iremos estudar outra propriedade dos logaritmos para 
a mudança de base, pois até então as propriedades aplicadas, se referem ao logaritmo 
de mesma base. 
Objetivo 
• Definir a propriedade para mudança de base; 
• Conceituar informações que norteiam a mudança de base logarítmica; 
• Exemplificar situações de aplicação da mudança de base. 
1. Mudança de base 
A necessidade de conversão das bases de logaritmos, muitas vezes se faz 
necessária, pois quando temos operações com logaritmos em que as bases são 
diferentes, é preciso igualá-las, já que as propriedades logarítmicas somente podem 
ser usadas em uma mesma base. 
Nesta propriedade, veremos que a mudança de base, é justamente o que se 
faz, quando for útil trocarmos a base do logaritmo para a simplificação do cálculo, ou 
seja, escolhemos uma base qualquer (sendo útil) desde que seja maior que zero e 
diferente de um. 
1.1. Propriedade de mudança de base 
Sempre podemos mudar a base de um logaritmo, quando isso for conveniente. 
Por exemplo, para escrever o logb N usando logaritmos na base a, realizamos a 
mudança de base: 
logbN=
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑁
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 (para N > 0, b > 0, a > 0; b ≠ 1 e a ≠ 1) 
Exemplos: 
1º) log7 5 =
𝑙𝑜𝑔2 5
𝑙𝑜𝑔2 7
 (na base 2) 
 
3 
 
2º) log7 5 = 
𝑙𝑜𝑔 5
𝑙𝑜𝑔 7
 (na base 10) 
3º) log5 25 = 2, então log25 5 = ½ 
4º) logb a = −
3
4
, então loga b = −
4
3
 
1.2. Consequências da mudança de base 
 Depois de já termos definido, vamos estudar algumas consequências da 
mudança de bases de logaritmos. 
A mudança de base proporciona mais algumas ferramentas que podem ser 
utilizadas no cálculo de expressões que envolvam logaritmos. 
1ª consequência: 
logb a=
1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 
Essa consequência nos diz que, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar 
a base e o logaritmando de lugar. 
Vejamos um exemplo: 
Se tomarmos log3 42, teremos como inverso 
1
𝑙𝑜𝑔3 42
 , então baseado nessa 
consequência, iremos dizer que log3 42 = 
1
𝑙𝑜𝑔42 3
 . 
Para demonstrar esta propriedade, vamos fazê-lo através da mudança de 
base. Partimos do logb a e fazemos a mudança de base para a nova base b. 
logb a=
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 
Nós já sabemos que logb b é igual a 1, portanto, demonstramos que : 
logb a=
𝟏
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃
. 
Vamos então agora, ver na prática como utilizamos. 
Neste exemplo iremos também utilizar uma propriedade que já aprendemos 
aqui, então caso não se lembrar, faça uma revisão e retorne para que possa ter um 
melhor entendimento. 
Sendo log7 27 = a, calcule o valor de log3 7. 
Para iniciar a resolução, vamos reescrever o log7 27 = a como sendo log7 33 = a 
e aplicar a propriedade da potência. 
log7 33 = a é 3.log7 3 = a 
 
4 
 
Podemos observar que temos um logaritmo que é exatamente o inverso do 
logaritmo pedido. Sendo assim iremos modificar 3.log7 3 = a para 3. 
𝟏
𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟕
 = a 
Finalizando, basta isolar o valor do enunciado: 
log3 7 = 
3
𝑎
. 
2ª consequência: 
loga b . logb c = loga c 
Quando temos uma multiplicação de dois logaritmos em que um deles possui 
a base igual ao logaritmando do outro, podemos cortar estes dois e transformar em 
um logaritmo só: 
 
loga b . logb c = loga c 
 
Vamos então demonstrar esta consequência, que é bem tranquila e utiliza a 
troca de base. 
Iniciamos por loga b . logb c e trocamos os dois logaritmos para uma base 
comum qualquer. Não se preocupe, pode ser qualquer uma mesmo! Vamos então 
escolher a base a. Iremos trocar as bases dos dois logaritmos para a base a, porém o 
primeiro logaritmo já está na base a, assim facilita, pois não será necessário modificá-
lo. 
logb a . 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 
Assim os dois termos logb a podem ser cortados, e sobra: 
logb a . 
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 
 loga c, como queríamos demonstrar. 
Então, vamos lá! 
Calcule o valor da expressão log5 8 . log6 7 . log8 36 . log7 5. 
Em um exercício como este, é necessário fazer um reagrupamento dos fatores 
para que possamos facilitar os cortes. Agora, então vamos colocar primeiro o quarto 
logaritmo após o primeiro: 
log5 8. log7 5. log6 7 . log8 36 
Os fatores grifados, podem ser unidos em um só ao cortar a base 5 do primeiro 
logaritmo com o logaritmando 5 do segundo logaritmo: 
log7 8 . log6 7 . log8 36 
 
5 
 
Com estes novos termos grifados, também podemos uni-los ao cortar a base 7 
com o logaritmando 7: 
log6 8 . log8 36 
Podemos unir estes dois logaritmos que restaram, ao cortar a base 8: 
log6 36 = x 
36 = 6x 
62 = 6x 
x = 2 
1.3. Aplicações 
Podemos ver uma aplicação importante da propriedade de mudança de base, 
no uso em calculadoras eletrônicas, pois essas só possuem teclas para calcular 
logaritmos na base 10 e na base e. 
Vejamos alguns exemplos: 
1º) Dados loga m = 11 e loga n = 6, qual é o valor de loga (m3n2)? 
loga (m3n2) = loga m3 + loga n2 
3 loga m + 2 loga n 
3 . 11 + 2 . 6 = 45 
Então, loga (m3n2) = 45. 
2º)Vamos calcular o valor da expressão log3 5 . log25 81. 
log3 5 . log25 81 = log3 5 . 
𝑙𝑜𝑔3 81
𝑙𝑜𝑔3 25
 
log3 5 . 
𝑙𝑜𝑔3 3
4
𝑙𝑜𝑔3 52
 
log3 5 . 
4
2.𝑙𝑜𝑔3 5
 = 
4
2
= 2 
Observação: 
Para log3 34, fazemos 4.log3 3 e como log3 3 é igual a 1, temos então log3 34 = 4. 
 
 
 
 
 
 
6 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
Exercícios 
1. (Paiva, 1999) Sabendo que log6 5 = 0,898 e log6 2 = 0,386, calcule o log2 5: 
 
2. (Autor, 2019) Se o loga b = 
4
7
, então logb a é igual: 
a) 
4
7
 
b) 
7
4
 
c) 
𝑎
𝑏
 
d) 
𝑏
𝑎
 
e) 7 
3. (Autor, 2019) Vamos considerar que log a seja igual a X e log b igual a Y, 
então o logb a é : 
a) X + Yb) X – Y 
c) X . Y 
d) 
𝑌
𝑋
 
e) 
𝑋
𝑌
 
4. (Mundo Educação, 2019) Sabendo que log10 5 = a, determine o valor de 
log50 100. 
 
5. (Mundo Educação, 2019) Calcule log27 z, sabendo que log3 z = w. 
Em uma forma mais generalizada, para calcular 
logb a, podemos utilizar outra base k arbitrária. Desta 
forma, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b na 
base k que escolhermos. 
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 
𝐥𝐨𝐠𝒌 𝒂
𝐥𝐨𝐠𝒌 𝒃
 
 
7 
 
Gabarito 
1. log2 5 = 
𝑙𝑜𝑔65
𝑙𝑜𝑔6 2
 = 
0,898
0,386
 ≈ 2,326. 
2. B logb a = 
7
4
 
3. Neste exercício, temos o logaritmo de a na base 10, porém pede logaritmo 
de a na base, portanto é necessário aplicar a mudança de base, ou seja, 
transformar a base 10. 
logb a = 
𝑙𝑜𝑔 𝑎
𝑙𝑜𝑔 𝑏
 
Pelo enunciado, sabemos que log a = X e log b = Y, então a resposta será letra e 
𝑋
𝑌
. 
4. Utilizando a fórmula da mudança de base do logaritmo, temos: 
logb a=
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
 
O exercício sugeriu que log10 5 = a, precisamos que apareça o log10 5 em nossos 
cálculos e para isso faremos c = 10 e teremos: 
log50 100 = 
𝑙𝑜𝑔10 100
𝑙𝑜𝑔10 50
 
Sabemos que log10 100 = log10 102, ou seja, log10 100 = 2, então continuaremos a 
resolução substituindo log10 50 por log10 (5.10), que equivale a log10 5 + log10 10: 
log50 100 = 
2
𝑙𝑜𝑔10 (5.10)
 
log50 100 = 
2
𝑙𝑜𝑔10 5+𝑙𝑜𝑔1010 
 
Sabemos que o log10 5 = a e log10 10= 1, então temos: 
log50 100 = 
2
𝑎+1 
 
5. Pela fórmula da mudança de base do logaritmo, temos: 
 loga b= 
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
. 
Se log3 z = w, precisamos que apareça o log3 z no desenvolvimento do cálculo. 
Para isso, podemos fazer c = 3. Logo, teremos a seguinte equação: 
log27 z= 
𝑙𝑜𝑔3 𝑧
𝑙𝑜𝑔3 27
 
Sabendo que log3 27 = 3 e, segundo o enunciado, log3 z = w, temos então: 
log27 z = 
𝑤
3
 
 
8 
 
Resumo 
Hoje compreendemos que em determinadas situações, que envolvem cálculos 
com logaritmos em bases diferentes, torna-se necessário fazer a conversão dos 
logaritmos de diferentes para uma única base conveniente. 
Utilizamos logbN=
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑁
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 (para N > 0, b > 0, a > 0; b ≠ 1 e a ≠ 1). 
A mudança de base, poderá levar à algumas consequências, como por 
exemplo, ao invertermos um logaritmo, devemos trocar a base e o logaritmando de 
lugar, daí temos que logb a=
1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
 
Outra consequência é que, quando temos uma multiplicação de dois 
logaritmos em que um deles possui a base igual ao logaritmando do outro, podemos 
cortar estes dois e transformar em um logaritmo só: 
 
loga b . logb c = loga c 
 
Outro fato importante em relação à mudança de base é a sua aplicação no uso 
em calculadoras eletrônicas, pois essas só possuem teclas para calcular logaritmos na 
base 10 e na base e. 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-mudanca-base-
logaritmos.htm#resposta-1118 - Acessado em 22/04/2019 às 16h36. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999