Inequações Logarítmicas

Prévia do material em texto

Matemática 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Inequações logarítmicas ...................................................................................................... 2 
1.1. Introdução ........................................................................................................................ 2 
1.2. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.3. Resolução de uma inequação logarítmica ...................................................................... 3 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila anterior, Equações Logarítmicas, vimos que uma equação 
logarítmica é aquela que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um 
logaritmo, sendo que sua solução se baseia na propriedade das equações 
logarítmicas e que para cada equação temos uma ou mais condições de existência. 
Nesta apostila, porém abordaremos as inequações logarítmicas e iremos ver 
alguns exemplos e resolver exercícios, pois assim obteremos um melhor 
aproveitamento do conteúdo. 
Objetivo 
• Conhecer os conceitos de inequações logarítmicas; 
• Resolver exercícios de inequações logarítmicas. 
 
1. Inequações logarítmicas 
1.1. Introdução 
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo menos um valor 
desconhecido (incógnita) e representa uma desigualdade. Nas inequações usamos os 
símbolos: 
• > maior que; 
• < menor que; 
• ≥ maior que ou igual; 
• ≤ menor que ou igual. 
 
1.2. Conceito 
O conceito de inequação logarítmica é o mesmo de equação logarítmica, onde 
apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo, porém ao invés 
de termos uma igualdade, temos uma desigualdade. 
Veja alguns exemplos: 
a) log2 (x+1) > log2 6 
b) log1/2 x ≤ 5 
c) log x + log 3 ≥ log 2x 
d) log1/2 (x – 1) + log1/2 (x + 5) ≤ -4 
 
3 
 
 
1.3. Resolução de uma inequação logarítmica 
Para resolver inequações logarítmicas, usaremos várias informações já 
adquiridas e aprendidas aqui sobre logaritmos e função logarítmica. Então vamos 
recordar: 
• a função f(x) = loga x é crescente quando a > 1. Nesse caso, conserva-se o 
sentido da desigualdade. Exemplo: para x > 0, temos log7/4 x > log7/4 3 ←→ x > 3; 
• a função f(x) = loga x é decrescente quando 0 < a < 1. Nesse caso, troca-se o 
sentido da desigualdade. Exemplo: para x > 0, temos log3/5 x > log3/5 3 ←→ x < 3. 
Vejamos alguns exemplos de inequações logarítmicas e suas resoluções: 
a) log2 (x + 1) > log2 6 
Condição de existência: 
x + 1 > 0 → x > -1 (I) 
A base a = 2 (a > 1) → a função é crescente, portanto, mantém-se o sentido da 
desigualdade: 
 log2 (x + 1) > log2 6 
x + 1 > 6 → x > 5 (II) 
No quadro de resolução devemos ter as condições (I) e (II) satisfeitas 
simultaneamente: 
 
Quadro de resolução de inequação logarítmica 
 
Portanto, S = {x є R | x > 5} 
b) log1/3 x + log1/3 (x – 8) > -2 
Condição de existência: 
x > 0 e x -8 > 0 → x > 0 e x > 8 → x > 8 (I) 
Como -2 = log1/3 (⅓)-2, a inequação pode ser escrita assim: 
log1/3 x + log1/3 (x – 8) > log1/3 9 
A base a = ⅓ (0 < a < 1) inverte-se o sentido da desigualdade: 
(I)
-1 x
(II)
5 x
(I)∩(II)
5 x
 
4 
 
log1/3 x + log1/3 (x – 8) > log1/3 9 
log1/3 [x(x – 8)] > log1/3 9 
x(x – 8) < 9 (aqui a desigualdade foi invertida) 
x2 – 8x – 9 < 0 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = 64 – 4.1.(-9) 
Δ = 100 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−(−8)±√100
2.1
 
𝑥 =
8±10
2
 
x’ = 9 e x” = -1 (II) 
No quadro de resolução temos: 
 
Quadro de resolução de inequação logarítmica 
 
Portanto, S = {x є R | 8 < x < 9}. 
c) Vamos determinar os valores de k para que equação x2 – 2x + log10 (k – 2) = 0 
admita raízes reais diferentes. 
Para que a equação admita raízes reais diferentes, devemos ter Δ > 0, ou seja: 
(-2)2 – 4(1) . log10 (k – 2) > 0 
4 – 4. log10 (k – 2) > 0 
– 4. log10 (k – 2) > -4 
4. log10 (k – 2) < 4 
log10 (k – 2) < 1 
Portanto, temos de resolver a inequação: 
log10 (k – 2) < 1 ou log10 (k – 2) < log10 10 
(I) 8
x
(II)
9 x
(I)∩(II)
8 9 x
 
5 
 
Condição de existência: 
k – 2 > 0 
k > 2 (I) 
A base a = 10 (a > 1) mantém-se o sentido da desigualdade: 
k – 2 < 10 → k < 12 (II) 
Quadro de resolução: 
 
Quadro de resolução de inequação logarítmica 
 
Logo, S = {k є R | 2 < k < 12}. 
d) Resolver a inequação, log1/2 (x-1) + log1/2 (x + 5) ≤ -4. 
Condição de existência (C.E.) 
 x – 1 > 0 x > 1 (I) 
 x + 5 > 0 x > -5 (II) 
 
Quadro de resolução de inequação logarítmica 
 
Temos então x > 1. 
Vamos preparar a inequação, escrevendo o número -4 da inequação como um 
logaritmo de base ½ , ou seja, -4 = log1/2 (1/2)-4 . 
Temos, então: 
log1/2 (x -1) + log1/2 (x + 5) ≤ log1/2 (1/2)-4 
Utilizando a propriedade loga ac = logb a + logb c: 
log1/2 (x -1)(x + 5) ≤ log1/2 (1/2)-4 
(I)
2 x
(II)
12 x
(I)∩(II)
2 12 x
(I)
1 x
(II)
-5 x
(I)∩(II)
1 x
 
6 
 
Pela propriedade da função logarítmica, temos que o sentido (≤) da 
desigualdade entre os logaritmos é invertido (≥) para os logaritmandos, pois a base ½ 
está entre 0 e 1. 
log1/2 (x -1)(x + 5) ≤ log1/2 16 
(x – 1)(x + 5 ) ≥ 16 
x2 + 5x –x -5 ≥ 16 
x2 + 4x –21 ≥ 0 
 
Gráfico da função logarítmica 
Portanto x ≤ -7 ou x ≥ 3. 
O conjunto solução S da inequação é a interseção do conjunto S’ dos reais x 
tais que x ≤ -7 ou x ≥ 3, com o conjunto S” dos reais que satisfazem a C.E. x > 1. Isto é: 
 
Quadro de resolução de inequação logarítmica 
 
Assim, S = {x є R | x ≥ 3}. 
 
 
 
S'
-7 3 x
S"
1 x
S=S'∩S"
3 x
 
7 
 
 
FIQUE ATENTO! 
 
 
 
 
Exercícios 
1. (Paiva, 1999) Resolver a inequação log2 (3x – 1) > 3. 
2. (Autor, 2019) Resolver a inequação log3 (x2 + x -6) - log3 (x + 1) > log3 4. 
3. (Autor 2019) Sabendo que log2 (x – 1) < log2 3 tem como condição de 
existência (C.E) x > 1 termine a resolução e dê a solução do exercício. 
Gabarito 
1. Condição de existência. 
3x -1 > 0 
x > 
1
3
 
Escrevemos o número 3 como um logaritmo de base 2, ou seja, 3 = log2 23. 
Temos, então, log2 (3x -1) > log2 23. 
Resolvendo a inequação, temos que o sentido (>) da desigualdade entre os 
logaritmos se mantém (>) para os logaritmandos, pois a base 2 é maior que 1. 
log2 (3x -1) > log2 8 
3x – 1 > 8 
3x > 9 
x> 3 
O conjunto solução da inequação é a intersecção do conjunto S’ dos reais x tais 
que x > 3, com o conjunto S” dos reais x que satisfazem a C.E. x > 
1
3
. 
Os conceitos de equação logarítmica e inequação 
logarítmica são parecidos, o que os difere é o sinal de 
igualdade nas equações emaior, menor, maior ou igual 
e menor ou igual nas inequações. 
Equação = Inequação <, >, ≤, ≥ 
 
 
8 
 
 
Portanto S = {x є R | x > 3}. 
 
2. log3 (x2 + x -6) - log3 (x + 1) > log3 4 
Vamos aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos para estabelecer a 
condição de existência: 
x2 + x - 6 > 0 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = 12 – 4.1.(-6) 
Δ = 25 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
−1±√25
2.1
 
𝑥 =
−1±5
2
 
x’ = 2 e x” = -3 
x > 2 ou x < -3 
x + 1 > 0 
→
 x > - 1 
Assim a C.E deve ser x > 2. 
Agora aplicamos a propriedade e como a base é maior que 1, mantemos a 
desigualdade. 
log3 (x2 + x -6) – log3 (x + 1) > log3 4 
4log
1
6
log 3
2
3 
+
−+
x
xx 
→
+
−+
4
1
62
x
xx
0
1
103
04
1
6 22

+
−−
→−
+
−+
x
xx
x
xx 
Resolvendo o numerador temos x’ = 5 e x” = -2. 
S'
3 x
S"
1/3 x
S=S'∩S"
3 x
 
9 
 
 
 
Portanto S = {x є R | x > 5}. 
 
3. log2 (x – 1) < log2 3 
C.E. x >1 (I) 
Resolvendo temos x – 1 < 3 e mantemos o sinal, pois a > 1. 
x – 1 < 3 
x < 4 (II) 
 
S = {x ∈ R | 1 < x < 4} 
Resumo 
Na aula de hoje aprendemos que uma inequação logarítmica é aquela que 
apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo e que ao contrário 
da equação logarítmica onde temos uma igualdade, na inequação temos uma 
desigualdade que pode ser maior que (>), menor que (<), maior ou igual que (≥) ou 
menor ou igual que (≤). 
Para iniciar a resolução de uma inequação logarítmica, é preciso estabelecer a 
condição de existência, pois somente assim ela existirá. 
• a função f(x) = loga x é crescente quando a > 1. Nesse caso, conserva-se o 
sentido da desigualdade. 
Exemplo: para x > 0, temos log7/4 x > log7/4 3 ←→ x > 3; 
(I) x > -1
-1 x
(II) x > -2 
x > 5 -2 5 x
(I)∩(II)
 5 x
(I)
1 x
(II)
4 x
S=(I)∩(II) 
1 4 x
 
10 
 
• a função f(x) = loga x é decrescente quando 0 < a < 1. Nesse caso, troca-se o 
sentido da desigualdade. 
 Exemplo: para x > 0, temos log3/5 x > log3/5 3 ←→ x < 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999.