4 modulo calor

Prévia do material em texto

1
CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE 
 
Método da Capacitância Global 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: metal quente repentinamente colocado em um recipiente com líquido frio 
 
 
 
 2
T
i
T
oo T(t)
 
 
alta condutividade térmica: a resistência à condução no interior do sólido pode ser desprezada!!! 
 
Balanço de Energia: 
 . . . . 
Ee + Eg = Eac + Es 
 
( ) 0TThA
dt
dT
Vc supp =−+ρ ∞ 
 
∞∞ −≡θ−≡θ TTTT ii 
 
θ−=
θρ
dt
d
hA
Vc
sup
p
 
 
 
 
 
 
 
 3
Separando e integrando: 
∫−=
θ
θ
∫
ρ θ
θ
t
0sup
p
dt
d
hA
Vc
i
 
 
















ρ
−=
θ
θ
=
θ
θρ
t
Vc
hA
expoutln
hA
Vc
p
sup
i
i
sup
p
 
 
Constante de tempo: ttp
sup
t CRVc
hA
1
=ρ×=τ 
 
Total de energia transferida: ∫ θ=∫=
t
0
sup
t
0
dthAqdtQ 
 












τ
−−θρ=
t
ip
t
exp1VcQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
Validade do Método da Capacitância Global 
 
L
x
T
s1
T
s2
h,T
oo
 
 
 
Regime estacionário: balanço de energia na superfície: 
 
( ) ( )∞−=− TThATT
L
kA
2s2s1s 
 
( )Biotden
k
hL
R
R
hA/1
kA/L
TT
TT o
conv
cond
2s
2s1s ===
−
−
∞
 
 
Quando Biot (Bi) é pequeno: 
 
• 2s1s TT − é pequeno: a distribuição de temperatura ao longo do sólido é praticamente constante 
 
• ∞−TT 2s é grande: a resistência térmica à convecção é muito maior do que a resistência térmica à condução. 
 
 5
Regime transiente: 
 
T
i
T
oo
Bi<<1
T
i
T
oo
Bi=1
T
i
T
oo
Bi>>1
 
 
1,0
k
hL
Bi c <= 
 
Lc: comprimento característico (razão entre o volume do sólido e sua área superficial 
 
parede
2L
L
c
=L
r
o
cilindro
L
c
=r
o
/2
esfera
r
o
L
c
=r
o
/3
 
 
 
 6
Voltando à equação da temperatura pelo método da capacitância global: 
 
















ρ
−=
















ρ
−=
θ
θ
t
Lc
h
expt
Vc
hA
exp
cpp
sup
i
 
 
 
( )[ ]BiFoexp
L
t
Biexpt
Lc
k
k
hL
exp
2
c
2
cp
c
i
−=















 α
−=
















ρ
−=
θ
θ
 
 
 
Número de Fourier (Fo) = 
2
cL
tα
 
 
Se Bi < 0,1 ⇒ pode-se utilizar o método da capacitância global 
 
 7
Análise Geral Via Capacitância Global 
 
A
sup,c,r
q"
rad
q"
conv
h,T
oo
E
g
,∆E
ac
A
sup,h
q"
sup
 
 
Balanço de Energia 
 
( )
t
T
VcAqqEAq prcradconvgh ∂
∂
+′′+′′=+′′ ρ,sup,sup,sup & 
 
( )[ ]
t
T
VcAqTThEAq prcradgh ∂
∂
+′′+−−+′′ ∞ ρ,sup,sup,sup & 
 
Se a radiação for desprezada e h não varia com o tempo, a solução desta equação é: 
 
( ) [ ])exp(1)exp( at
a
b
atTTTT i −−+−−=− ∞∞ 
 
p
c
Vc
hA
a
ρ
sup,= 
p
gh
Vc
EAq
b
ρ
&+′′
= sup,sup 
 
 8
Exercícios 
 
1. A placa da base de um ferro de passar roupas com uma espessura de 7mm é feita de uma liga de alumínio 
(ρ=2800 kg/m3; cp=900 J/kg; k=180 W/mK). Um aquecedor de resistência elétrica é colocado no interior do 
ferro, enquanto a superfície externa é exposta ao ar ambiente a 25
o
C. As áreas interna e externa da superfície 
são iguais a 0,04 m
2
. Se um fluxo de calor aproximadamente uniforme de q”=1,25x10
4
 W/m
2
 for aplicado à 
superfície interna da base da placa e se o coeficiente de convecção na superfície externa for h=10 W/m
2
K, 
estime o tempo necessário para a placa alcançar a temperatura de 135
o
C. 
 
2. Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro quente em água fervente. Considere que a 
salsicha esteja inicialmente a 6
o
C, que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja de 100 
W/m
2
K e que a temperatura final na sua linha de centro seja de 80
o
C. Trate a salsicha como se ela fosse um 
longo cilindro com 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes propriedades termofísicas: ρ=880 kg/m3, 
c=3350 J/kgK e k=0,52 W/mK. 
 
3. Eixos cilíndricos de carbono AISI 1010 (c=685 J/kgK; ρ=7832 kg/m3; k=39,2 W/mK) de 0,1m de diâmetro 
são submetidos a tratamento térmico em um forno a gás, cujos gases estão a 1200K e fornecem um 
coeficiente de convecção de 100 W/m
2
K. Se os eixos entram no forno a 300K, quanto tempo devem 
permanecer no forno para atingirem a temperatura de linha de centro de 800K? 
 9
Efeitos Espaciais 
 
Sem geração interna, k constante: 
2
2
p
x
T
k
t
T
c
∂
∂
=
∂
∂
ρ 
 
2L
h,T
oo
h,T
oo
x
T(0)=T
i
 
Condição Inicial: iT)0,x(T = 
 
Condições de Contorno: 
0xem0
x
T
==
∂
∂
 
( ) LxemTTh
x
T
k =−=
∂
∂
− ∞ 
 
( )L,T,T,h,k,,t,xTT i ∞α= 
 
 
 
 10 
Adimensionalização: 
 
L
x
x
TT
TT *
ii
* =
−
−
=
θ
θ
=θ
∞
∞ 
 
Na equação: 
( )( )
( )
( )








∂
θ∂−
∂
∂
=







∂
+θ−∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ ∞∞∞
*
*
i
*
*
i
2
2
xL
TT
xLx
TTT
xx
T
xx
T
 
 
( )
( )
( )
2*
*2
2
i
*
*
*
i
xL
TT
xLxL
TT
∂
θ∂−
=







∂
θ∂
∂
∂−
= ∞∞ 
 
( )[ ] ( )
t
TTTTT
tt
T *
i
*
i ∂
θ∂
−=+θ−
∂
∂
=
∂
∂
∞∞∞
 
Substituindo na equação: 
 
( ) ( )
t
TT
xL
TT *i
2*
*2
2
i
∂
θ∂
α
−
=
∂
θ∂− ∞∞ 
( ) ( ) FoL/ttL/
1
x
*
2
**
22*
*2
∂
θ∂
=
α∂
θ∂
=
∂
θ∂
α
=
∂
θ∂
 
 
 
 
 
 11 
Fox
*
2*
*2
∂
θ∂
=
∂
θ∂
 
 
Condição Inicial: 0Foem1
* ==θ 
 
Condições de Contorno: 
1xemBi
x
0xem0
x
**
*
*
*
*
*
=θ−=
∂
θ∂
==
∂
θ∂
 
 
( ) ( )Bi,Fo,xL,T,T,h,k,,t,xTT ***i θ=θα= ∞ 
 
 
 12 
Parede Plana com Convecção: 
 
a) Solução Exata: 
+L
h,T
oo
h,T
oo
x
-L
 
 
( ) ( )*n2n
1n
n
* xcosFoexpC ζζ−=θ ∑
∞
=
 
 
( )nn
n
n
2sen2
sen4
C
ζ+ζ
ζ
= 
nζ são as raízes positivas de Bitg nn =ζζ 
 
As quatro primeiras raízes são fornecidas no Apêndice B3 (Incropera) 
 
b) Solução aproximada: 2,0Fo > ⇒ Truncar a série no primeiro termo!!! 
 
( ) ( )*1211* xcosFoexpC ζζ−=θ 
 
 13 
 
 14 
 
 
Transferência total de energia: 
 
(Quantidade de energia que deixou a parede até um dado instante de tempo t) 
 
( ) ( )0EtEEEE acse −=∆=− 
 
( ) ( )( )0EtEQEs −−== 
 
( )[ ]dVTt,xTcQ ip∫ −ρ−= 
 
Definindo: [ ]∞−ρ= TTVcQ ip0 
 
( )[ ]
V
dV
TT
Tt,xT
c
c
Q
Q
i
i
p
p
0
∫
∞−
−−
ρ
ρ
= 
 
∞∞
∞
−
−
=θ−
−
−
=
θ
θ
=θ
TT
TT
1
TT
TT
i
i*
ii
* 
 
( )dV1
V
1
Q
Q *
0
∫ θ−= 
Utilizando a forma aproximada da equação para θ*: 
 
 15 
*
0
1
1
0
sen1
Q
Q
θ
ζ
ζ
−= 
 
em que ( )FoexpC 211*0 ζ−=θ 
 
(temperatura no centro da parede, x=0) 
 
 
 
Sistemas radiais com Convecção: 
 
a) Cilindro 
 
( ) ( )*1o211* rJFoexpC ζζ−=θ*0θ 
 
em que 200
* r/tFoer/rr α== 
 
( )11
1
*
0
0
J
2
1
Q
Q
ζ
ζ
θ
−= 
 
 
 
 
 16 
b) Esfera 
 
( ) ( )*1*
1
2
11
*
rsen
r
1
FoexpC ζ
ζ
ζ−=θ 
 
 
 
*
0θ 
 
( ) ( )[ ]113
*
0
0
cossen
3
1
Q
Q
1
ζζ−ζ
ζ
θ
−= 
 
 
 
 
 
 17 
Exercícios 
 
1. Em tratamento térmico para têmpera de esferas de aço de rolamentos (c=500 J/kgK; ρ=7800 kg/m3; k=50 
W/Mk), é desejável elevar a temperatura da superfície por um pequeno tempo sem aquecimento significativo 
do interior da esfera. Esse tipo de aquecimento pode ser obtido imergindo subitamente a esfera em um banho 
de sal liquefeito a 1300K (h=5000 W/m
2
K). Admitir que qualquer local da esfera cuja temperatura exceda 
1000K irá ser temperado. Estime o tempo necessário para alcançar a profundidade de têmpera de 1 
milímetro em uma esfera com 20mm de diâmetro, se a sua temperatura inicial for 300K. 
 
2. Uma pedra esférica de granizo de 5 mm de diâmetro é formada em nuvens de elevada altitude a -30
o
C. Se a 
pedra começa a cair através do ar morno a 5
o
C, quanto tempo ela levará para que a superfície externa comece 
a descongelar? Qual é a temperatura no centro do granizo neste instante? Um coeficiente de transmissão de 
calor por convecção de 250 W/m
2
K pode ser considerado, e as propriedades do granizo podem ser tomadas 
como as propriedades do gelo (ρ=920kg/m3; cp=2040 J/kg; k=1,88 W/mK ).