GRA1019 - Sistemas termicos (Apostila 2)

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SISTEMAS TÉRMICOSSISTEMAS TÉRMICOS
TRANSMISSÃO DETRANSMISSÃO DE
CALOR POR CONDUÇÃOCALOR POR CONDUÇÃO
Au to r ( a ) : M e . Lu c a s D e l a p r i a D i a s d o s S a n to s
R ev i s o r : M s c . J u l i a n a G u e d e s A r ve l o s B a r b o s a
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Introdução
Caro(a) estudante, neste material estudaremos a fundo a transferência de
calor através da condução. Iniciaremos estudando a condição
unidimensional em regime estacionário e, no �nal, veremos os problemas
mais complexos envolvendo superfícies estendidas e condições
bidimensionais. Aprenderemos a calcular a taxa de condução no regime
transiente, considerando que o tempo exerce alguma in�uência no sistema.
Junto com o conceito mencionado, veremos o método mais utilizado para
problemas de condução em regime transiente, que é o método da
capacitância global, além de conhecermos o Biot, sistema de validação do
método mencionado. Com o conhecimento adquirido neste material,
estaremos prontos para iniciar os estudos de convecção, nos quais usaremos
diversos tópicos que serão discutidos ao longo deste estudo.
Transmissão de
Calor por
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Você já ouviu falar sobre “transmissão de calor por condução”? Vamos
estudar a fundo o que isso signi�ca? Relembrando o conceito de condução,
de acordo com Incropera e Witt (2012, p. 2), “a condução pode ser vista como
a transferência de energia das partículas mais energéticas para as menos
energéticas de uma substância devido às interações entre partículas”.
Nós já conhecemos as leis que regem a transferência de calor e como
podemos aplicá-las na determinação do �uxo térmico.
Condução
REFLITA
Cara(o) estudante, você já pensou em como a
transferência de calor está presente em nosso
dia a dia? Como conseguimos utilizar os efeitos
da transferência de calor e como aproveitamos o
calor transferido em nossas atividades e
máquinas? A teoria da condução, por exemplo, é
extremamente utilizada na aplicação de motores
de carros, sabia? O radiador do nosso carro foi
pensado para maximizar a transferência de calor
via condução, dissipando energia térmica para o
meio.
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Iniciaremos os estudos com casos simples, ou seja, considerando a
condução unidimensional e num regime estacionário em parede plana. No
entanto, a condução também será aplicada sobre condições de regime
transiente e em geometrias complexas. Neste texto, desenvolveremos a
chamada equação do calor, também denominada de lei de Fourier,
empregada na determinação do �uxo de calor.
A Equação da Taxa de Condução
A equação da taxa de condução é uma equação empírica. Ela foi elaborada
por meio de observações de fenômenos térmicos naturais. Em décadas de
estudos e observações, cientistas e pesquisadores nunca encontraram uma
exceção à regra.
Vejamos um exemplo: imagine um bastão de forma cilíndrica e de material
conhecido. As superfícies das laterais desse bastão estão isoladas
termicamente, entretanto, possuem temperaturas diferentes, sendo T >T ,
como mostra a Figura 2.1 abaixo.
1 2
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Figura 2.1 - Condução térmica em regime estacionário
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a �gura traz um cilindro na posição horizontal. A superfície lateral
do cilindro do lado esquerdo possui a temperatura T , e a superfície lateral do
lado direito, temperatura T . A variação de temperatura ΔT é dada pela subtração
de T por T , em que T >T . Dessa forma, a taxa de condução ocorre da esquerda
para a direita (maior para menor temperatura).
O �uxo de calor é de�nido pelo gradiente de temperatura (ou seja, da maior
para a menor temperatura). Como a temperatura T é maior que a
temperatura T , a taxa de condução será no sentido da esquerda para a
direita. Podemos calcular a taxa de transferência de calor q a partir dos
seguintes dados: ΔT = diferença de temperaturas; Δx = comprimento do
bastão e A = área da seção transversal do bastão.
De�niremos aqui a taxa de condução de calor. Imaginemos que os valores de
ΔT e Δx mantenham-se constante, ao passo que a área (A) varia. Nessa
situação, q é diretamente proporcional à área. Da mesma forma, mantendo
ΔT e a área constantes, veremos que a taxa de condução q sofrerá variações
de maneira inversa com Δx. Por �m, mantendo a área e Δx constantes, a taxa
de condução será proporcional à variação de temperatura. Devemos ter em
1
2
1 2 1 2
1
2
x
x
x
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mente que diferentes materiais apresentaram diferentes valores de taxa de
condução q . Dessa forma, a proporcionalidade pode ser expressa por meio
de um coe�ciente k para de�nirmos o comportamento do material.
Equacionando tudo o que foi dito, temos que: qx = kA
ΔT
Δx , em que a constante
k é a condutividade térmica (W/(m.K)), sendo característica térmica e
intrínseca de cada material. Se imaginarmos que Δx -> 0, obteremos a
equação limite:
qx = − kA
dT
dx
E, para o �uxo de calor:
qnx =
qx
A = − k
dT
dx
O sinal “negativo” é necessário, pois a energia térmica sempre �uirá do meio
de maior temperatura para a menor temperatura.
Difusividade Térmica
Agora, vamos estudar sobre a difusividade térmica. A transferência de calor
engloba diversas propriedades termofísicas dos materiais. Essas
propriedades podem ser classi�cadas em:
1) propriedades de transporte;
2) propriedades termodinâmicas;
3) difusividade térmica.
x
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Fonte: ahmadkazan / 123RF.
#PraCegoVer: o infográ�co estático, intitulado “Propriedades termodinâmicas”,
apresenta três colunas, com seus respectivos subtítulos, de�nições e imagens. A
primeira coluna, intitulada “Propriedades de transporte”, possui a de�nição “De
acordo com Kreith, Manglik e Bohn (2016, p. 54), ‘esse grupo envolve a
condutividade térmica (k) e a viscosidade cinemática para transferência de
momento (v)’” e a imagem de uma mão, com luvas de látex azuis, manuseando
uma placa de Petri de vidro. A segunda coluna, intitulada “Propriedades
termodinâmicas”, possui a de�nição “Referem-se ao estado de equilíbrio do
sistema, envolvendo a massa especí�ca (ρ), o calor especí�co (cp) e o produto
de ambas, conhecido como capacidade térmica volumétrica ρcp (J/m³.K), que
mede a capacidade de um determinado material de armazenar energia térmica” e
a ilustração de uma linha quadriculada, simbolizando um material. Na parte
superior, há um desenho de �oco de neve e uma seta azul, que vai em direção ao
material e depois é re�etida. Abaixo do material, há um símbolo de fogo e uma
seta vermelha, que vai em direção ao material e também é re�etida de volta. A
terceira coluna, intitulada “Difusividade térmica”, apresenta a de�nição “É a razão
entre a condutividade térmica e a capacidade térmica volumétrica (α=k/ρcp). De
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acordo com Kreith, Manglik e Bohn (2016, p. 54), ‘a difusividade mede a
capacidade de um material de conduzir energia térmica em relação à sua
capacidade de armazená-la’”.Ela acompanha a imagem de uma mangueira
vermelha, �xada em uma superfície prateada, quadriculada em vermelho.
Como podemos imaginar, substâncias que apresentam difusividade térmica
elevada reagem mais rapidamente às mudanças nas condições térmicas, ao
passo que corpos que apresentam difusividade baixa, respondem mais
lentamente, o que demanda um tempo maior para atingir o equilíbrio térmico.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Dentre as formas de transmissão de calor que conhecemos, temos:
convecção, condução e radiação. Com o avanço da ciência e da tecnologia,
fomos capazes de aprender e dominar todas as formas mencionadas de
transmissão de energia térmica. Hoje, somos capazes de criar ferramentas e
equipamentos utilizando a transferência de calor.
Em relação a condução, assinale a alternativa correta:
a) A condução é de�nida como sendo a transferência de calor entre
as partículas mais energéticas (com mais energia térmica) para
aquelas com menos energia térmica do sistema, graças às interações
entre partículas.
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b) A condução pode ser vista como a transferência de energia dos
corpos com menos energia térmica para aqueles com mais energia
térmica, graças às interações de partículas.
c) É a transferência de energia térmica que ocorre devido à
movimentos macroscópicos que ocorrem nas interações de �uido,
somente. O movimento é resultado da interação molecular de forças
internas;
d) É a transferência de energia térmica através de movimentos
macroscópicos do �uido. Atribuímos esses movimentos às interações
que ocorrem no interior de cada uma das partículas de um corpo
gasoso.
e) A condução está relacionada a alterações na camada de valência
dos átomos que formam o corpo do sistema térmico. Dessa forma, a
energia térmica radioativa emigra por meio de ondas
eletromagnéticas.
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A partir deste ponto, veremos as situações em que a transferência de calor
ocorre em condições unidimensionais e em regime permanente (ou
estacionário). A seguir, veja as de�nições dos termos “unidimensional” e
“regime estacionário”.
Condução
Unidimensional em
Regime
Permanente
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Fonte: devidgrutz /
123RF.
Fonte: alhovik /
123RF.
Nos tópicos a seguir, estudaremos a condução unidimensional em regime
estacionário aplicado a sistemas que não possuem geração interna de
energia. Nosso objetivo é determinar a expressão da taxa de transferência de
calor para a geometria plana.
Parede Plana
Considerando a condução de calor unidimensional em paredes planas,
podemos dizer que o �uxo de calor �ca em função apenas da coordenada x,
visto que deve �uir por apenas uma direção.
Unidimensional
V E R M A I S
Regime
estacionário
V E R M A I S
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Na Figura 2.2, a seguir, suponha que a temperatura do lado esquerdo seja
maior que a temperatura do lado oposto. Além disso, imagine que há uma
parede plana entre os �uidos. Nessa situação hipotética, o �uxo de calor
ocorre por convecção do �uido de maior temperatura T para a superfície
da parede T . A condução acontecerá no momento em que a energia
térmica estiver em contato com o nosso sólido (parede), ao passo que
teremos a convecção na extremidade da parede Ts , 2 para o �uido frio a T∞ , 2
.
∞ ,1
s,1
2
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Figura 2.2 - Distribuição de temperatura através de uma parede plana
juntamente com seu circuito elétrico equivalente
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a �gura traz um grá�co que representa o �uxo térmico em uma
parede plana, em que o lado esquerdo está em contato com �uido quente e o
lado direito, com �uido frio. O grá�co realiza uma comparação desse sistema
térmico (�uido quente/parede/�uido frio) com um circuito elétrico composto por
resistências. A corrente elétrica nesse circuito (inicialmente, seria a temperatura
do nosso �uido quente T∞) passa pela primeira resistência (contato entre o �uido
e a parede). Nesse contato, a temperatura muda para Ts , 1. Chegamos na
segunda resistência, que representa o contato entre a parede e o �uido frio, em
que teremos Ts , 2. Por �m, na saída do circuito teremos T∞ , 2, que é a temperatura
do �uido frio.
Iniciaremos a análise pelo interior da parede. Queremos determinar a forma
com que a temperatura se distribui. A partir daí, conseguiremos calcular a
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taxa de calor por condução.
No exemplo da Figura 2.2, utilizamos a equação do calor para determinar a
distribuição de temperatura, levando em consideração as condições de
contorno pertinentes, ou seja, estamos considerando que não há geração de
energia e que o sistema se encontra em regime estacionário. Sendo assim,
temos que: 
d
dx k
dT
dX = 0
Utilizaremos também a equação do �uxo do calor que já estudamos:
qx
″ = − kA
dT
dx , sendo assim, em uma parede plana sem fonte de calor e nas
condições estabelecidas (unidimensional e regime estacionário), o �uxo
térmico independe da variável “x”, portanto podemos integrar duas vezes a
equação, obtendo T(x) = C1x + C2.
A �m de obtermos as constantes de integração C1 e C2, introduziremos as
condições de contorno expressas anteriormente. Consideramos que
X = 0 e x = L, teremos que T(0) = Ts , 1 e T(L) = Ts , 2. Ao substituirmos os
valores encontrados em X = 0, teremos:
T(x) = Ts , 2 − Ts , 1 
X
L + Ts , 1
Através da lei de Fourier, utilizada na distribuição de temperatura,
conseguimos determinar a taxa de transferência de calor por condução:
qx = − kA
dT
dx =
kA
L Ts , 1 − Ts , 2
Ainda, caro(a) estudante, se assumirmos que a área da parede plana é
constante, seja qual for o �uxo, obteremos: qnx
qx
A =
k
L Ts , 1 − Ts , 2
Estudamos aqui a ideia da condução unidimensional e em regime
estacionário. Vimos que, dentro dessas condições, a energia térmica terá
apenas uma direção. Além disso, nessas condições, a temperatura em cada
( )
( )
( )
( )
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ponto independerá do tempo. Agora sabemos como acontece a condução de
calor em paredes planas, além de entendermos de que forma a resistência
térmica in�uencia nesse processo
Condução Transiente
Até aqui, estudamos situações em que a condução de calor ocorre sobre
condições simples, em sistemas unidimensionais, apresentam regime
estacionário e não geram energia. Contudo, já temos conhecimento para
entender que existem condições que podem se alterar com o tempo. Os
problemas que apresentam sistemas transientes (ou seja, não estacionários),
ocorrem devido a mudanças de contorno no sistema em estudo. Podemos
a�rmar, portanto, que se a temperatura em um ponto qualquer da superfície
de um sistema sofrer alterações, a temperatura de todos os pontos do
sistema também se altera. Nesse caso, as mudanças ocorrerão até o sistema
atingir o equilíbrio novamente.
Agora, estudaremos o procedimento utilizado na determinação da
dependência da distribuição de temperatura no interior de um material sólido
Fonte: gregorylee /
123RF.
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em relação ao tempo durante umprocesso transiente. Além disso, veremos
também como determinar a transferência de calor do interior para o meio
externo. Para tais �ns, aprenderemos o método da capacitância global, com o
qual, por simpli�cação, podemos considerar que o gradiente de temperatura
no interior do sólido seja nulo.
O Método da Capacitância Global
Começaremos imaginando uma situação prática, contextualizando um
problema, para que possamos chegar no método proposto. Imagine que uma
barra de metal maciça sofrerá uma súbita mudança de temperatura. Essa
mudança repentina na temperatura do material é necessária, por exemplo, em
processos de têmpera e forjamento de um metal, onde T é a temperatura
inicial positiva. O metal então é submerso em um líquido a uma temperatura
muito inferior: T∞ < Ti. O processo de têmpera terá o seu início registrado no
tempo inicial T = 0. Já somos capazes de entender que a temperatura do
nosso objeto de estudo diminuirá conforme o tempo vai aumentando (t>0),
até que a temperatura atinja T∞. A convecção é a responsável pela redução
da temperatura que acontece entre o sólido e o �uido.
Durante a aplicação do método de capacitância global, devemos ter em
mente que a temperatura da matéria em estudo será uniforme em todo o
espaço e em qualquer T ≠ 0 durante o processo. Seguindo essa linha de
pensamento, podemos assumir, então, que o gradiente de temperatura no
interior do corpo será desprezível.
i
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A partir do momento que começamos a desprezar o gradiente de
temperatura no interior da matéria de estudo, não podemos mais tratar a
situação como uma equação do calor, visto que, a partir desse momento,
uma equação diferencial irá descrever a distribuição de temperatura no
interior da matéria. Sendo assim, teremos que fazer o levantamento do
balanço de energia global do sistema. Em nosso balanço, precisamos
relacionar a taxa de perda de calor na superfície do sólido com a taxa de
variação da energia interna:
−E
sai
= E
acu
Ou:
−hAs T − T∞ = ρVc
dT
dx
Se (dθ/dt)=(dT/dt) for constante, teremos:
ρVc
As
dθ
dt
= − θ.
Prosseguimos separando as variáveis e realizando a integração de ambos os
lados a partir da condição inicial t = 0 e T(O) = TV, com a qual obtemos:
ρVc
hAs
ln
θi
θ
= t
( )
Pelo que estudamos da lei de Fourier, entendemos que a
condução de calor na ausência do gradiente de temperatura
implica, diretamente, na existência de uma condutividade que
tende ao in�nito, o que sabemos que não é possível.
 
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ou
θi
θ
=
T − T∞
Ti − T∞
= exp −
hAs
ρVc
t
As equações deduzidas acima serão fundamentais em exemplos práticos
nos quais se faz necessário estabelecer o tempo que um corpo levará para
atingir uma determinada temperatura, ou mesmo para calcularmos o valor da
temperatura após um intervalo de tempo.
Analisando as equações obtidas, concluímos que a diferença de temperatura
entre o corpo e o �uido de trabalho deverá diminuir exponencialmente,
tendendo a zero, com o passar do tempo, tendendo ao in�nito. Outra
conclusão importante é de que podemos interpretar a grandeza 
ρVc
hAs
 como
uma constante de tempo térmico. Ou seja:
τt =
1
hAs
(ρVc) = RtCt
Em que Rt representa a resistência ao processo de transferência de energia
térmica por intermédio da convecção e Ct é a capacitância térmica global do
sólido. Caso uma dessas duas variáveis seja incrementada, implicará em uma
resposta mais lenta dos sólidos aos estímulos térmicos do meio.
Concluímos que a energia calorí�ca transferida (Q) até um determinado
instante de tempo (t) será determinada da seguinte forma:
Q = (ρVc)θi 1 − exp −
t
τ1
Por �m, a relação: –Q=ΔE nos diz que a energia calorí�ca transferida Q
sofrerá alterações de acordo com as mudança na energia interna do sólido..
[ ( ) ]
[ ( )]
acu
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Validade do Método da Capacitância
Global
Como já entendemos, o método da capacitância global proposto
anteriormente é o meio mais conveniente que temos para solucionarmos
problemas transientes de aquecimento e de resfriamento no meio industrial.
Entretanto, antes de sairmos aplicando o método em todas as circunstâncias,
devemos entender em quais condições podemos aplicar esse método para
termos um alto grau de precisão.
Desenvolveremos um critério satisfatório a seguir. Considere que uma parede
plana, de área A encontra-se em regime estacionário, conforme a Figura 2.3.
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Figura 2.3 - Efeito do número de Biot na distribuição do calor na situação de
regime estacionário em uma parede plana com convecção na superfície
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: a imagem apresenta uma parede plana. Na lateral esquerda, a
temperatura é  Ts , 1, e a superfície da direita está em contato com um �uido, que
se aproxima da lateral direita da parede, no sentido de baixo para cima. A
temperatura da superfície da direita é de Ts , 2.A transferência de calor no interior
da parede acontece por meio da condução, ao passo que a troca de energia
térmica entre a parede e o gás ocorre por convecção. Nessas condições, o
número de Biot entre a parede e o �uido será maior que 1, no ponto da parede
mais próxima ao �uido; também será igual a 1 em um ponto intermediário e será
menor que 1 em um ponto da parede que esteja afastada do �uido.
Em nosso exemplo, a superfície esquerda será mantida a uma temperatura
Ts , 1, e a superfície da direita será exposta a um �uido. Entendemos que a
superfície exposta, em contato com o �uido, terá uma temperatura
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intermediária Ts , 2, na qual T∞ < Ts , 2 < Ts , 1. Dessa forma, o balanço de
energia na superfície será:
kA
L Ts , 1 − Ts , 2 = hA Ts , 2 − T∞
rearranjando a equação, temos:
Ts , 1 − Ts , 2
Ts , 2 − T∞
=
(L /kA)
(1 /hA) =
Rt , cond
Rt , conv
=
hL
k = Bi
Fonte: Nexusplexus /
123RF.
Se Biot<1, podemos assumir que a resistência à condução no interior da
matéria é menor que a resistência à convecção e, sendo assim, o método da
capacitância global será válido. Entretanto, se Biot>1, então o método da
capacitância global não poderá ser utilizado.
( ) ( )
( )
( )
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Dessa forma, ao encontrarmos um problema de capacitância global, o
primeiro passo é determinar o número de Biot. Se Bi =
hLc
k < 1, então é
possível resolver o resto do exercício com o método proposto.
Podemos de�nir o comprimento característico Lc como sendo a fração entre
o volume do sólido e a área super�cial, ou seja, Lc =
V
As
. Essa suposição é
feita para simpli�car os cálculos de Lc em geometrias complexas. Em caso
de geometria cilíndrica, o valor seria de Lc =
r0
2 e 
r0
3 para esfera. Substituindo
L na equação de Biot, temos:
hAgt
ρVc =
ht
ρcLc
=
hLc
k
k
ρc
t
Lc2
ou apenas:
hAgt
ρVc = Bi. Fo
na qual
Fo =
αt
Lc2
Fo é denominado de número de Fourier. Assim como o número de Biot, Fo
também é uma variável adimensional e é utilizada na caracterização de
problemas de condução transiente.
Análise Geral via Capacitância Global
Sabemos que em um corpo, mesmo separado de sua vizinhança por �uido ou
vácuo, poderá haver transferência de calor (via radiação ou condução) se
houver gradiente de temperatura entre o sólido e a vizinhança, ocasionando
na mudança de temperatura interna do corpo.
c
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Outra forma de iniciarmos a mudança de temperatura em um sólido é por
meio de um �uxo térmico aplicado na superfície total (ou parcial) do sólido
em estudo, como, por exemplo, através de um aquecedor
A Figura 2.4, a seguir, mostra de forma generalizada a situação na qual as
condições térmicas no interior de um sólido podem ser in�uenciadas de
forma simultânea pela convecção e pela radiação, através da aplicação de
um �uxo de calor em sua superfície e pela geração interna de energia.
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Figura 2.4 - Condições térmicas no interior de um sólido
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: nessa �gura, há uma parede plana com setas apontando para fora,
indicando a transferência de calor por radiação e por convecção. Do lado direito
da �gura, há uma segunda parede representando a nossa “vizinhança” para a
troca de calor. Na parede principal, há uma seta indicando o �uxo de calor, da
esquerda para direita, e acontece a geração de calor interno. A nossa parede
principal apresenta características genéricas ρ, c, V, T(0). A temperatura entre a
parede e a vizinhança é de T∞, h, ao passo que a temperatura da parede vizinha é
de Tviz.
No instante t = 0, consideramos a temperatura do corpo (Ti) diferente da
temperatura do �uido (T∞) e da vizinhança (Tviz). Além disso, o aquecimento
super�cial e o aquecimento volumétrico serão acionados (q
″
s ).
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O �uxo térmico (q
″
s ) e a transferência de calor por radiação e convecção
ocorrerão na região da superfície exclusiva A e A , respectivamente.
Além disso, apesar de as transferências de calor, pelos métodos da
convecção e da radiação, terem sido aplicadas na mesma superfície, não há
necessidade de ambas serem iguais (A ≠ A ). A conservação de energia
poderá ser aplicada em qualquer instante t, obtendo:
qs
″As ,a + Eg − h T − T∞ + εσ T
4 − T4viz As ( c , r ) = ρVc
dT
dt
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
O �uxo de calor é de�nido pelo gradiente de temperatura. Dessa forma, o
calor tende a migrar do local de maior para menor temperatura. Imagine
uma parede plana, em que o lado esquerdo da parede está mais quente
que o lado direito. A condução interna acontecerá da esquerda para a
direita, portanto, a taxa de condução será da esquerda para a direita.
Em relação a equação da taxa de condução de calor, assinale a alternativa
correta.
a) O sinal negativo na equação da taxa de condução representa o
sentido do calor, que �uirá sempre do ponto mais energético para o
ponto menos energético.
s(a) s(c,r)
s,c s,r
[ ( ) ( )]
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b) Diferentes materiais não possuem diferentes conduções de calor,
visto que a proporcionalidade equacional e as suas constantes não
mudam.
c) Podemos calcular q baseando-nos somente nas seguintes
variáveis: ΔT = diferença de temperaturas e A = área da seção
transversal do bastão, visto que a transferência de temperatura
independe de outros fatores.
d) A equação da taxa de condução foi desenvolvida através de
cálculos matemáticos baseados em fenômenos físicos já conhecidos,
como a transferência de calor e resistividade térmica.
e) O gradiente de temperatura é a grandeza responsável por indicar
a quantidade de energia térmica que um corpo possui. Um gradiente
elevado signi�ca alta temperatura.
x
Transferência de
Calor em
Superfícies
Estendidas
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Utilizamos o termo superfície estendida para caracterizarmos a situação em
que temos a transferência de energia térmica no interior de um sólido, através
da condução, e a transferência de energia térmica nas fronteiras do nosso
objeto de estudo, através da convecção (CENGEL; GHAJAR, 2012).
Fonte: Bru-nO /
Pixabay.
Em problemas que envolvem as aletas, iremos considerar regime permanente
e sem geração de energia térmica internamente. Além disso, a condutividade
térmica do sólido mantém-se constante (k). Por �m, para simpli�car a nossa
análise, percebemos que o coe�ciente de transferência de calor por
convecção h será mantido constante e uniforme em qualquer ponto da aleta.
Para que são utilizadas as aletas?
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Nesses problemas, o coe�ciente de transferência de calor por convecção irá
variar ao longo da aleta.
Equação da Aleta
Considere um elemento de volume da aleta na localização X tendo
comprimindo ∆X, área transversal A e perímetro p, como demonstrado na
�gura a seguir.
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Figura 2.5 - Superfície aletado
Fonte: Cengel e Ghajar (2012, p. 164).
#PraCegoVer: nessa �gura, temos a ilustração de uma parede plana com uma
aleta, ou seja, uma superfície estendida. Na imagem, há as indicações de �uxo
térmico e as medidas de dimensão (representadas por X e ∆X). Na base da aleta,
que sai da parede plana, temos a temperatura T0, condução interna de calor de
Qcond , t. A taxa de convecção da aleta com o meio é Qconv, e a taxa de condução
da condução da Aleta com o meio é de Qcond , x+X, em que x+∆X é a variação no
espaço, do início até o �nal da aleta.
Em regime permanente, o balanço de energia no sólido será: (taxa de
condução de calor no elemento em x) = taxa de condução de calor a partir do
elemento em x + ∆X) + (taxa de convecção de calor a partir do elemento).
Ou
Qcond , x = Qcond , x+ Δx + Qconv
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Realizando as adequações e suposições necessárias, veremos que a
equação diferencial de transferência de calor em aletas será:
d
dx kAc
dT
dx − hp T − T∞ = 0
Em geral, em uma aleta, o perímetro (p) e a área transversal Ac variam com x,
o que aumenta a complexidade de resolução dessa equação diferencial.
Na situação particular em que a seção transversal e a condutividade térmica
são constantes, a equação pode ser reduzida para:
( ) ( )
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d2T
dx2
−
hp
kAc
T − T∞ = 0 ou 
d2T
dx2
− m2θ = 0
na qual
m2 =
hp
kAc
E θ = T − T∞ será a temperatura em excesso na base da superfície estendida.
Nas equações diferenciais acima, observamos que as soluções são funções
exponenciais (ou múltiplos delas). Temos essa certeza ao realizar a
substituição direta. Portanto, a solução gerada da equação diferencial é:
θ(x) = C1e
mx + C2e
−mx
C1 e C2 serão constantes arbitrárias. Para determinarmos os valores dessas
constantes, teremos que analisar as condições de contorno da base e da
ponta. Entretanto, geralmente a temperatura na base da aleta é um dado
conhecido. Dessa forma, na base da aleta, há a seguinte condição de
contorno:
θ(0) = θh = Th − T∞
Para �nalizar a nossa análise, assumimos que, na ponta da superfície
estendida, temos várias possibilidades, como: temperatura conhecida, perda
de calor nula, condução, convecção e radiação combinadas.
praticar
Vamos Praticar
( )
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Considere a juntade um termopar. Para efeitos de simpli�cação,
assumimos que o seu formato seja esférico, como ilustrado na Figura 2.4.
Esse equipamento é utilizado para aferir a temperatura de uma
determinada corrente gasosa. Assumimos que o coe�ciente convectivo
entre a superfície da junta e o gás seja igual a h = 400 W / m2. K e que temos
as seguintes propriedades termofísicas:
k = 20 W(m. K), c = 400J(kg. K) e ρ = 8500kg /m3.
Figura - Junta de termopar
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: nessa �gura, há uma esfera de diâmetro D, representando
a junta de um termopar. A temperatura inicial do termopar é de 25 °C, e
existe uma corrente de gás em contato com o nosso objeto de estudo.
No desenho, temos a indicação das propriedades presentes no
enunciado (k=20 W(m.K), c=400J(kg.K) e ρ=8500kg/m³, além de
h = 400 W /m2. k e T∞ = 200 ∘C)).
( )
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Com posse dessas informações, calcule o diâmetro necessário da junta para
que o termopar tenha uma constante de tempo de 1s. Em seguida, assuma
que a junta está a 25 ∘C e encontra-se posicionada em uma corrente de gás
a 200 ∘C, quanto tempo será necessário para a junta alcançar 199 ∘C?
Transmissão de
Calor por
Condução:
Condução
Bidimensional em
Regime
Estacionário
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Até o momento, estamos considerando a condução de calor unidimensional,
dessa forma, consideramos que a condução de energia térmica nas demais
direções seja insigni�cante. Fazemos essa simpli�cação, pois várias
problemáticas da transferência de calor que nos deparamos em situações
práticas podem ser aproximadas como unidimensionais, contudo, nem
sempre será assim. Há casos em que teremos que considerar que haja
transferência de energia térmica em outras direções. Aqui, caro(a) estudante,
veremos a formulação da condução de calor em regime permanente e
bidimensional em coordenadas retangulares. O método utilizado neste
estudo será o das diferenças �nitas.
Dando sequência em nossos estudos, imagine uma área quadrada onde a
condução de energia térmica é signi�cativa apenas nas direções do plano
cartesiano (x,y). Agora, imagine que o nosso plano cartesiano foi dividido em
diversos quadrados espaçados em ∆x e ∆y nas direções x e y, como é
mostrado na Figura 2.6 a seguir. Em nossas considerações, teremos a
profundidade ∆z = 1 na direção z. Queremos calcular a temperatura dos nós.
Por conveniência, iremos descrever cada nó em função da sua coordenada
(m,n), em que m = 0, 1, 2,..., M é a contagem dos nós na direção x e n = 0, 1,
2,..., N é a contagem dos nós na direção y. As coordenadas do nó (m,n) serão
x = m∆x e y = n∆y, e a temperatura do nó (m,n) é indicada por T .m,n
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Figura 2.6 - Rede nodal para formulação de diferenças �nitas da condução
bidimensional em coordenadas retangulares
Fonte: Cengel e Ghajar (2012, p. 313).
#PraCegoVer: essa ilustração é um mapa cartesiano, no qual temos o eixo X na
horizontal e o eixo Y na vertical. Entre os eixos, há uma malha quadriculada, em
que temos o ∆x e o ∆y. Na parte superior da malha quadriculada, temos a
representação de um nó (um ponto preto entre um ponto cartesiano (X,Y)
qualquer, cuja coordenada é (m,n). A partir do nó, cada variação ∆y acresce n+1
na coordenada do nó e, na direção x, acresce m+1.
Agora, imagine que elemento de volume igual a ∆x.∆y.1 esteja centralizado no
nó geral (m,n), exatamente na região onde há geração de calor e a taxa e a
condutividade térmica são constante, como mostrado na Figura 2.7 a seguir.
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Figura 2.7 - Elemento de volume de nó geral (m,n) para condução bidimensional
em coordenadas retangulares
Fonte: Cengel e Ghajar (2012, p. 313).
#PraCegoVer: essa ilustração é uma ampliação do mapa cartesiano visto
anteriormente na Figura 2.8, no qual temos o eixo X, na horizontal, e o eixo Y, na
vertical. O foco dessa imagem é o nó (um ponto preto entre um ponto cartesiano
(X,Y) qualquer. Ao redor desse ponto cartesiano, é criado um elemento de volume
com quatro faces, que possuem as coordenadas: (m-1,n); (m,n+1); (m+1,n) e
(m,n-1). A variação no eixo y será sempre igual, de ΔY, ao passo que a variação no
eixo X será de Δx.
Novamente, assumindo que o regime seja permanente e que a direção da
propagação da energia térmica via condução seja em relação ao nó, o
balanço de energia, considerando o volume do sistema, será:
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(taxa de condução nas superfícies esquerda, superior, direita e inferior) +
(taxa de geração de calor dentro do elemento) = (taxa de variação de
conteúdo do elemento).
Ou
Q .cond , esq + Q
.
cond , sup + Q
.
cond , dir + Q
.
cond , inf + E
.
ger , elem =
ΔEelem
Δt = 0
Considerando que, nos nós adjacentes, a temperatura varie linearmente,
temos que a área de transferência de calor seja Ax = Ay.1 = Ay na direção x e
Ay = ∆x .1 = ∆x na direção y, o balanço de energia torna-se
Tm− 1 ,n− 2Tm ,n+Tm+ 1 ,n
Δx2
+
Tm− 1 ,n− 2Tm ,n+Tm+ 1 ,n
Δy2
+
em ,n
k = 0
Em nossas análises, utilizamos a malha quadriculada para facilitar as nossas
deduções. Sendo assim, escolhemos ∆x e ∆y iguais por simpli�cação. Então
∆x = ∆y = 1. Dessa forma, a relação acima pode ser simpli�cada para:
Tm− 1 ,n + Tm+ 1 ,n + Tm ,n+ 1 + Tm ,n− 1 − 4Tm ,n +
em ,n. l
2
k = 0
Ou seja, a formulação das diferenças �nitas para o nó interno é obtida
somando as temperaturas dos quatro vizinhos mais próximos do nó,
subtraindo quatro vezes a temperatura do próprio nó e adicionando o termo
de geração de calor (CENGEL; GHAJAR, 2012).
praticar
Vamos Praticar
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Durante a transferência de calor pelo método da condução em regime
transiente, temos a difusividade térmica α, conhecida como propriedade de
transporte responsável por controlar a transferência térmica.
Calcule α para o um elemento metálico hipotético a 300 K.
Informações: k= 237 W/(m.K); ρ=2702 kg/m³ e c =903 J/(kg.K)p
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Material
Complementar
F I L M E
Apollo 13
Ano: 1995
Comentário: Esse famoso �lme norte-americano, baseado
no livro “Missão Apollo: A incrível história da corrida à lua”,
uma obra de Jim Lovell, retrata os esforços dos programas
espaciais para mandar o homem à lua. Entre diversos
imprevistos relatados no �lme, podemos observar como a
transferência de calor está presente em todos os
processos de construção dos motores, nos processos
químicos e físicos, desde a queima do combustível até os
processos de transferência de calor da nave em atrito com
o ar.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer
disponível em:
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TRA I LER
L I V R O
Fundamentos da transferência de
massa
Autor: Marco Aurélio Cremasco
Editora: Blucher
Capítulo: 1
Ano: 2015
ISBN: 978.85.212.0905.8
Comentário: A transferência de massa é um processo que
ocorre em diversos ambientes do nosso dia a dia, desde a
dissolução do pó de café em uma xícara de água até em
grandes polos industriais, como na indústria de fármacos e
petroquímicas. Em muitos processos em que ocorre
transferência de calor tambémocorre, simultaneamente,
transferência de massa. Nesse primeiro capítulo é possível
entender melhor essa relação.
Disponível em: Biblioteca Virtual.
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Conclusão
Cara(o) estudante. Neste material, concentramos os nossos estudos na
transferência de calor através da condução. De�nimos o regime transiente e os
sistemas unidimensionais, aprendemos o caminho para calcularmos a taxa de
condução de calor sobre determinadas condições, estudamos o método da
capacitância global e o método de Biot.
Entendemos juntos que esses métodos não são válidos para todas as situações
práticas, por isso temos que de�nir algumas condições iniciais de trabalho.
Finalizamos esta caminhada estudando superfícies estendidas, nas quais as
aletas existem para aumentar a área de contato da troca de calor durante o
processo de condução. Bons estudos!
Referên
cias
APOLLO 13 O�cial Trailer #1
- Tom Hanks Movie (1995)
HD. [S. l.: s. n.], 2015. 1 vídeo
(2 min 33 s). Publicado pelo
canal Movieclips Classic
Trailers. Disponível em:
https://www.youtube.com/w
https://www.youtube.com/watch?v=KtEIMC58sZo
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atch?v=KtEIMC58sZo.
Acesso em: 25 mar. 2022.
CENGEL, Y. A., GHAJAR, A. J. Transferência de Calor e Massa. 4. ed. São Paulo:
McGraw-Hill/Bookman, 2012.
CREMASCO, M. A. Fundamentos da transferência de massa. São Paulo: Blucher,
2015
INCROPERA, F. P., WITT, D. P. Fundamentos de transferência de calor e massa. 6.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
KREITH, F., MANGLIK, R. M., BOHN, M. Princípios de transferência de calor. 7. ed.
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 1. v.
MICHAEL, J. M. et al. Introdução à engenharia de sistemas térmicos. Rio de
Janeiro: LTC, 2005. (Disponível na Minha Biblioteca).
VICENTIN, I. C. F. S. Transferência de calor teórica e experimental em motor-
foguete a propelente sólido. 2016. Monogra�a (Mestrado em engenharia
mecânica) – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2016. Disponível em:
http://servidor.demec.ufpr.br/CFD/monogra�as/2016_Izabel_Vicentin_mestrado.p
df. Acesso em: 25 mar. 2022.
https://www.youtube.com/watch?v=KtEIMC58sZo
http://servidor.demec.ufpr.br/CFD/monografias/2016_Izabel_Vicentin_mestrado.pdf
http://servidor.demec.ufpr.br/CFD/monografias/2016_Izabel_Vicentin_mestrado.pdf