CVR-Lista1-Cap 1-v3

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Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Engenharia Elétrica 
Disciplina: Conversão de Energia – Professor: Dr. Geraldo Caixeta Guimarães 
Lista de Exercícios 1: CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
Fonte: Fitzgerald, A. E.; Kingsley, C. Jr.; Umans, S. D.; “Máquinas Elétricas”, 6a Edição, Editora Bookman, 2006. 
1.11.11.11.1 Um circuito magnético com um único entreferro está mostrado na figura. As dimensões do núcleo são: Área da seção reta Ac = 1,8 × 10-3 m2, Comprimento médio do núcleo: lc = 0,6 m, Comprimento do entreferro: g = 2,3 × 10-3 m, N = 83 espiras. Suponha que o núcleo tenha permeabilidade infinita (µ → ∞) e despreze os efeitos dos campos de fluxo disperso e os de espraiamento no entreferro. a) Calcule a relutância do núcleo (ℜc) e a do entreferro (ℜg). Para uma corrente de i = 1,5 A, calcule: b) O fluxo total (Φ) e o fluxo concatenado da bobina (λ); c) A indutância (L) da bobina. 1.21.21.21.2 Repita o Problema 1.1 para uma permeabilidade finita no núcleo de µ = 2500µ0. 1.31.31.31.3 Considere o circuito magnético mostrado na figura do Problema 1.1 (com as mesmas dimensões dadas). Supondo uma permeabilidade de núcleo infinita, calcule: a) O número necessário de espiras para obter uma indutância de 12 mH; b) A corrente no indutor que resultará em uma densidade de fluxo de 1,0 T. 1.41.41.41.4 Repita o Problema 1.3 para uma permeabilidade de núcleo de µ = 1300µ0. 1.51.51.51.5 O circuito magnético do Problema 1.1 tem um núcleo constituído de material não-linear cuja permeabilidade, em função de Bm (densidade de fluxo do material), é dada por: 
> = >? @1 A 3499C1 A 0,047(EF)G,HI a) Faça o gráfico da curva de magnetização CC para este material (Bm × Hm) no intervalo 0 ≤ Bm ≤ 2,2 T. b) Encontre a corrente necessária para se obter Bm = 2,2 T. c) Faça o gráfico do fluxo concatenado da bobina em função da corrente da bobina, quando esta é variada de 0 até o valor encontrado na parte (b). 1.61.61.61.6 O circuito magnético da figura consiste em um núcleo e um êmbolo móvel de largura le, ambos de permeabilidade µ. O núcleo tem uma área de seção reta Ac e um comprimento médio lc. A área da sobreposição dos dois entreferros é uma função da posição x do êmbolo, e pode-se assumir que varia de 
acordo com: OP = OQ R1 S TUVW Pode-se desconsiderar os campos de espraiamento no entreferro e usar aproximações consistentes com a análise de circuitos magnéticos. a) Supondo que µ → ∞, deduza uma expressão que forneça a densidade de fluxo magnético Bg do entreferro, em função da corrente de enrolamento I e da posição variável do êmbolo (0 ≤ x ≤ 0,8X0). Qual é a densidade de fluxo no núcleo Bn? b) Repita a parte (a) para uma permeabilidade finita µ. 
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Universidade Federal de Uberlândia – Faculdade de Engenharia Elétrica 
Disciplina: Conversão de Energia – Professor: Dr. Geraldo Caixeta Guimarães 
Lista de Exercícios 1: CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
Fonte: Fitzgerald, A. E.; Kingsley, C. Jr.; Umans, S. D.; “Máquinas Elétricas”, 6a Edição, Editora Bookman, 2006. 
1.71.71.71.7 Um indutor tem a forma do circuito magnético da figura do Problema 1.1 com as seguintes 
dimensões: Ac = 3,6 cm2, lc = 15 cm, N = 75 espiras. Supondo uma permeabilidade do 
núcleo de µ = 2100µ0 e desprezando os efeitos do fluxo disperso e dos campos de 
espraiamento, calcule o comprimento do entreferro (g) necessário para obter uma 
indutância de 6,0 mH. 
 
1.81.81.81.8 O circuito magnético da figura consiste em anéis de material magnético dispostos em uma 
pilha de altura h. Os anéis têm raio interno Ri e externo Re. Suponha que o ferro tenha 
permeabilidade infinita (µ → ∞), e despreze os efeitos 
de dispersão e de espraiamento magnético. Para: 
Ri = 3,4 cm, Re = 4,0 cm, h = 2 cm, g = 0,2 cm, calcule: 
a) O comprimento médio do núcleo (lc) e a área da 
seção reta (Ac); 
b) As relutâncias do núcleo (ℜc) e do entreferro (ℜc). 
Para N = 65 espiras, calcule: 
c) A indutância L; 
d) A corrente i requerida para que se opere com uma 
densidade de fluxo no entreferro de Bg = 1,35 T. 
 
1.91.91.91.9 Repita o Problema 1.8 para uma permeabilidade do núcleo de µ = 750µ0. 
 
1.101.101.101.10 O indutor da figura tem um núcleo de seção reta circular uniforme de área Ac, 
comprimento médio lc, comprimento do entreferro g, permeabilidade relativa µr, e um 
enrolamento de N espiras. A partir da definição de indutância L. 
a) Determine a expressão que fornece o 
valor de L em função da geometria e 
permeabilidade do núcleo, e do número 
de espiras. 
b) Calcular o valor numérico de L do 
indutor, supondo que ele possui as 
seguintes dimensões: Ac, = 1,0 cm2, 
lc = 15 cm, g = 0,8 mm, µr = 1000, 
N = 480 espiras. 
Considerar que os campos de espraiamento e de dispersão podem ser desprezados. 
 
1.111.111.111.11 O indutor do Problema 1.10 deve operar com uma fonte de tensão de 60 Hz. Supondo uma 
resistência de bobina desprezível e uma densidade de fluxo de pico no núcleo de 1,5 T, 
determinar: 
a) A expressão e o valor da tensão eficaz correspondente no indutor; 
b) A expressão e o valor da corrente eficaz e da energia armazenada de pico. 
 
1.121.121.121.12 Um mecanismo proposto para 
armazenar energia consiste em uma 
bobina de N espiras enrolada em 
torno de um grande núcleo toroidal de 
material não magnético (µ = µ0), 
como mostrado na figura. O núcleo 
tem uma seção reta circular de raio a 
e um raio médio do toróide r (r >> a). 
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Lista de Exercícios 1: CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
Fonte: Fitzgerald, A. E.; Kingsley, C. Jr.; Umans, S. D.; “Máquinas Elétricas”, 6a Edição, Editora Bookman, 2006. 
A geometria desse dispositivo é tal que o campo magnético pode ser considerado nulo em 
qualquer ponto fora do toróide. Para uma bobina com N = 1000 espiras, r = 10 cm, 
a = 0,45 cm, pede-se: 
a) Qual é a expressão matemática e o valor da indutância L da bobina. 
b) Se a bobina deve ser carregada com uma densidade de fluxo magnético de 1,75 T, qual 
é a energia magnética total armazenada no toróide? 
c) Se a bobina tiver que ser carregada a uma taxa constante (isto é, di/dt = constante), 
qual é a tensão necessária nos terminais para que a densidade de fluxo magnético 
requerida seja atingida em 30 s. Suponha que a resistência da bobina seja desprezível. 
 
1.131.131.131.13 O circuito magnético da figura tem duas bobinas e dois entreferros. Pode-se supor que o 
núcleo tenha permeabilidade infinita. As dimensões do núcleo estão indicadas na figura. 
a) Suponha a bobina 1 com uma corrente I1 e a bobina 2 com corrente zero e calcule: 
a1) a densidade de fluxo magnético 
em cada um dos entreferros, 
a2) o fluxo concatenado da bobina 1, 
a3) o fluxo concatenado da bobina 2. 
b) Repita a parte (a), supondo agora a 
bobina 1 com corrente zero e a 
bobina 2 com corrente I2. 
c) Encontre as indutâncias próprias 
das bobinas 1 e 2, e a indutância 
mútua entre as duas bobinas. 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1.1) a) ℛQ = `abbVca = 0; ℛP =
P
bVca = 1,017 d 10
e A/Wb. 
b) Φ = 1,224 × 10-4 Wb; λ= 101,26 × 10-4 Wb; 
c) L = λ/I = 6,775 mH. 
1.2) a) ℛQ = `abbVca = 0,106 d 10
e A/Wb, 
 ℛP = PbVca = 1,017 d 10
e A/Wb; 
b) Φ = 1,11 × 10-4 Wb; 
c) λ= N Φ = 9,2 × 10-3 Wb; 
d) L = λ/I = 6,136 mH. 
1.3) a) N = 110 espiras; 
b) I = 16,57 A. 
1.4) a) N = 121 espiras. 
b) I = 18,16 A. 
1.5) a) Curva B×H - Gráfico 1. 
b) μr = 730; I = 65,8 A. 
c) Curva λ × I - Gráfico 2. 
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1.6) a) EP = >? RijkPW; 
 EQ = EPl1 S mn?o = >? l
pq2ro l1 S mn?o b) EP � @ bVijkPs,tVt ),uv wxV),`Qs`y)I 
EQ � z >?pq R1 S
mn?W2r A ,>?> ),1 S mn?),{| A {})~ 1.7) g � 0,353 mm. 1.8) a) lc � 23,05 cm; Ac � 1,2 cm2; b) ℛP � 1,326 � 10G A/Wb, ℛQ � 0; c) L � 0,319 mH; d) I � 33,1 A; e) λ � 10,5 mWb. 1.9) a) Mesmos valores do problema 1.8; b) ℛP � 1,326 � 10G €‚, ℛQ � 2,04 � 10e A/Wb; c) L � 0,276 mH; d) I � 38,15 A; e) Mesmo valor do problema 1.8. 1.10) a) ƒ � bVi„caPs`a/t…. b) L � 30,5 mH. 1.11) a) †‡Fˆ � ‰icaŠ‹Œa√k � 19,2 V; b) q‡Fˆ � …‘’‰“ � 1,67 O; ”y•Q– � 0,5 ƒ—√2q‡Fˆ˜k � 8,50 mJ. 1.12) a) ƒ � bVš›„i„kš‡ �56,0 mH. b) W� †Q R Š„kbVW � 4,7 J. c) Para T � 30 s: œ•œ � ,kš‡Š)/,bVi)ž � 2,92 d 10Ÿ A/s,   � ƒ œ•œ � 163 V 1.13) a) ,1) Eu � bVi¡j¡P¡ ; Ek � bVi¡j¡P„ ; ,2) ¢u � >?puk Rc¡P¡ A c„P„W qu; ,3) ¢k � >?pupk Rc„P„W qu. b) ,1) Eu � 0; Ek � bVi„j„P„ ,2) ¢u � >?pupk Rc„P„W qk; ,3) ¢k � >?pkk Rc„P„W qk c) ƒu � >?puk Rc¡P¡ A c„P„W ; ƒk � >?pkk Rc„P„W ; ƒuk � >?pupk Rc„P„W.