Cálculo de Ângulos e Arcos em Circunferências

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22/11/2018 EPS: Alunos
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O arco em radianos de medida de 120 graus é:
Qual é a medida do maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?
Qual o comprimento aproximado de um arco de 30º em uma circunferência de raio 12m ?
 
1.
2π3
π
2π
π4
3π
 
 
 
Explicação:
Sabemos que 360º = 2 pi rad e portanto 180º = pi rad . Então, proporcionalmente, se 180º são pi rad , 60 º são pi/3 e
120º são 2pi/3 . Poderia aplicar regra de três fazendo : 180º para 1 pi assim como 120 º para x pi , donde conclui x = 2/3 .
É mais prático e usual fazer da forma anterior para os arcos normalmente usados. 
 
 
 
2.
195 graus
185 graus
205 graus
190 graus
200 graus
 
 
 
Explicação:
A circunferência toda corresponde a 360º. Entre cada número há 360/12 = 30º .
Às 12h:30 o ponteiro dos minutos está sobre o 6 . Portanto entre o número 12 e número 6 há 6 x 30º = 180º .
Mas o ponteiro das horas se desloca 30º cada hora . Portanto em meia hora se deslocou 30/2 = 15 graus , reduzindo o arco
anterior .
Então o menor ângulo entre os ponteiros é 180º - 15º = 165º graus .
O maior ângulo é a diferença pra 360º = 360º - 165º = 195º
 
 
 
3.
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Qual a medida em radianos do arco de 75º?
Num circuito de motovelocidade em forma de circunferência, seu diâmetro mede 400 metros, um piloto perde o
controle de sua moto e sai da pista numa trajetória reta, formando uma tangente a esta circunferência. Sabendo
que ele parou a 200 metros do ponto de onde saiu da pista, determine o ângulo formado pelo ponto onde ele
parou e o centro do circuito:
6,28 m 
1,07 m
3,14 m 
9,42 m 
12,56 m 
 
 
 
Explicação:
Comprimento do arco = radianos x raio . 
30º = 180º /6 = pi/6 rad = 3,14 / 6
Então : C = (3,14 /6 ) x 12 = 3,14 x 2 = 6,28 m
 
 
 
4.
5pi/ 12 
 3pi /14
3pi /7 
5pi /6
5pi /8 
 
 
 
Explicação:
180º = pi rad .. então 75º = x rad ..
 Daí 180 x = 75 pi ... donde x = (75/180) pi = ( 5 /12 ) pi = 5pi /12 rad .
 
 
 
5.
90 graus.
40 graus.
60 graus.
30 graus.
45 graus.
 
 
 
Explicação:
Se o diâmetro é 400 , o raio é 400 /2 = 200 . O percurso tangente de 200 é perpendicular ao raio (90º) . A distância do ponto
em que parou na tangente até o centro do círculo e´a hipotenusa do triângulo retângulo formado por essas linhas .
Como os 2 catetos são iguais a 200 , trata-se de um triângulo isósceles que tem 2 lados e 2 ângulos iguais. Como um dos ângulos
é 90º e asomo dos ãngulos num triângulo é 180º , resulta que a soma dos ângulos agudos é 90º , e como são iguais , cada
ângulo mede 45º .
Assim o ângulo entre o raio e a linha qiue liga o centro ao ponto de parada é 45º .
 
 
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A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 6420 graus são , respectivamente
A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 3900 graus são , respectivamente
Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco determinado por um ângulo central de
150°?
 
6.
300 graus e - 60 graus
300 graus e - 30 graus
300 graus e 60 graus
330 graus e - 60 graus
330 graus e - 30 graus
 
 
 
Explicação:
Deve- se dividir o arco por 360º para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra após essas voltas
completas que é a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos côngruos A + k 360º .
6420º = 17 x 360º + 300º .. primeira determinação positiva = 300º 
A primeira determinação negativa é 300º - 360º = - 60º
 
 
 
7.
330 graus e 60 graus
300 graus e - 30 graus
330 graus e - 60 graus
300 graus e - 60 graus
330 graus e - 30 graus
 
 
 
Explicação:
Deve- se dividir o arco por 360º para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra após essas voltas
completas que é a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos côngruos A + k 360º .
3900º = 10 x 360º + 300º .. primeira determinação positiva = 300º 
A primeira determinaçõa negativa é 300º - 360º = - 60º 
 
 
 
8.
30π cm
100π cm
25π cm
15π cm
20π cm
 
 
 
Explicação:
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 Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco determinado por um ângulo central de
150°? 25 pi
Comprimento do arco = C = radianos x raio . 
Arco 150º = 150 x pi/180 rad = simplificando , dividindo por 30 = 5 pi /6 rad.
C = (5 pi /6) x 30 cm = 25 pi cm .
 
 
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