APOL ALGEBRA LINEAR

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Questão 1/5 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). Assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3).
Nota: 20.0
	
	A
	u=(1,2,−1).
Você acertou!
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3).  Outra forma de resolução é determinado a solução do sistema  {x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-127).
	
	B
	u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).
Questão 2/5 - Álgebra Linear
Considere as matrizes A=[aij]2×2 e B=[bij]2×2 definidas por aij={i+j, se i=j0, se i≠j e bij=2i−3j. A matriz A+BA+B é
Nota: 20.0
	
	A
	[1412].
	
	B
	[−3412].
	
	C
	[1−412].
Você acertou!
Usando as definições dos elementos das matrizes de AA e de BB, encontramos A=[2004]A=[2004] e B=[−1−41−2].B=[−1−41−2]. Assim, A+B=[2−10−40+14−2]=[1−412]A+B=[2−10−40+14−2]=[1−412] (livro-base p. 20-21 e 27-29)
	
	D
	[1−4−12].[1−4−12].
	
	E
	[141−2].[141−2].
Questão 3/5 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2 a transformação linear dada por  T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que contém a matriz de T com relação à base canônica do R2:
Nota: 20.0
	
	A
	[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201](livro-base p. 130-137)
	
	B
	[1021].
	
	C
	[1210].
	
	D
	[2110].
	
	E
	[1012].
Questão 4/5 - Álgebra Linear
Considere os vetores  u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). Assinale a alternativa que descreve o vetor u como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:
Nota: 20.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3 (livro-base p. 89-93).
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3.
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3.
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.u=2v1−v2−4v3.
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Considere a transformação T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0). Com base nessa transformação, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa:
I. (   )  TT é uma transformação linear.
II. (   ) O núcleo de T é N(T)={(0,0,z); z∈R}.
III. (   ) O conjunto imagem de T satisfaz dim(Im(T))=2.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 20.0
	
	A
	V, V, V.
Você acertou!
Dados u,v∈R3 e λ∈R, observamos que T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).
Assim, T é uma transformação linear e afirmativa I é verdadeira. Além disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,
o que mostra que zz pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R}N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130).
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.