Espacos_Subespacos-Livro

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3.1.2. - Espaços Vetoriais 
 
Consideremos V um conjunto não vazio, no qual introduziremos as operações adição e multiplicação por 
escalar, ou seja, 
 
 1. ,)(,, VvutemosVvu ∈+∈∀ 
 2. ∈∀α \ .,, VuentãoVu ∈∈∀ α 
 
 O conjunto V, munido destas duas operações, é denominado espaço vetorial real, ou espaço vetorial 
sobre \ , se forem satisfeitas as seguintes propriedades: 
 
1) ,,,),()( Vwvuwvuwvu ∈∀++=++ 
2) ,,, Vvuuvvu ∈∀+=+ 
3) ,,0,0 VuuuquetalVExiste ∈∀=+∈ 
4) ,,0)(,)( VuuuquetalVuExiste ∈∀=−+∈− 
5) ),()( uu βααβ = 
6) ,)( uuu βαβα +=+ 
7) ,)( vuvu ααα +=+ 
8) ∈∀∈∀= βα ,,,1 eVvuuu \ . 
 
Ampliando o seu conhecimento.. . 
 
 
 
 
 
 
3.1.3. - Exemplos 
 
1. O conjunto \ 2 ∈= yxyx ,);,{( \ } é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um 
escalar assim definidas: dados ∈=== ),(),,(),,( 332211 yxwyxvyxu \ 2 e α,β ∈ \ 
),(),(),( 22112211 yxyxyxyxvu ++=+=+ e ).,(),( 2111 xxyxu αααα == 
Estas são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, definidas na introdução. Verificaremos que 
\ 2 munidos destas operações satisfazem as oito propriedades do espaço vetorial: 
1.1 (u + v) + w = u + (v + w) 
),()),(),((),(),(),()(
))(),(())(,)(()(
),(),(),()),(),(()(
332211323211
321321321321
332121332211
wvuyxyxyxyyxxyxwvu
yyyxxxyyyxxxwvu
yxyyxxyxyxyxwvu
++=++=+++=++
++++=++++=++
+++=++=++
 
1.2 u + v = v + u 
 
,),(),(
),(),(),(),(
1122
121221212211
uvyxyxvu
yyxxyyxxyxyxvu
+=+=+
++=++=+=+
 
1.3 Dado ∈)0,0( 2\ , ∈∀u 2\ , temos que ,),()0,0()0,0(),()0,0( 111111 uyxyxyxu ==++=+=+ 
1.4 ∈∀u 2\ , existe ∈−−=− ),()( 11 yxu 2\ tal que 
),0,0(),(),(),()( 11111111 =−−=−−+=−+ yyxxyxyxuu 
1.5 (αβ)u = α(βu) 
),()),(()(
),())(),(())(),((),)(()(
11
11111111
uyxu
yxyxyxyxu
βαβααβ
ββαβαβααβαβαβαβ
==
====
 
Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentes da sua natureza, ou seja, 
podemos chamar as matrizes mxn de vetores, onde V seria o conjunto das matrizes mxn. 
 16
 
1.6 (α + β)u = αu + βu
 
,),(),(),(),()(
),())(,)((),)(()(
11111111
11111111
uuyxyxyxyxu
yyxxyxyxu
βαβαββααβα
βαβαβαβαβαβα
+=+=+=+
++=++=+=+
 
 1.7 α(u + v) = αu + αv 
,),(),()(
),(),(),()(
))(),((),()),(),(()(
2211
22112121
212121212211
vuyxyxvu
yxyxyyxxvu
yyxxyyxxyxyxvu
ααααα
ααααααααα
ααααα
+=+=+
+=++=+
++=++=+=+
 
1.8 ∈∀==== uuyxyxyxu ,),()1,1(),(11 111111 2\ . 
 
2. O conjunto \ , em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar, é também um espaço 
vetorial. Os vetores, neste caso, são números reais. 
 
3. O conjunto V de todas as funções f:X→\ , munido das operações 
)),)(())(()()())(( xfxfexgxfxgf αα =+=+ é um espaço vetorial, pois tais operações satisfazem as oito 
propriedades da definição 3.1.2. 
 
4. O conjunto de todos os polinômios, ∈+++== inn aatatatfV ;)({ 01… \ }, é um espaço vetorial sobre 
\ em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar. 
 
5. Um conjunto pode ser um espaço vetorial com relação a um par de operações e não ser com relação a outro 
par de operações. De fato. Podemos considerar o conjunto 2\ ∈= yxyx ,);,{( \ }, agora munido das seguintes 
operações: 
).,(),(),(),(),()1.5( 111121212211 yxyxeyyxxyxyx αα =++=+ 
Observemos que a operação adição é a usual, portanto do exemplo 1 as quatro primeiras propriedades da 
definição 3.1.2 são satisfeitas. Entretanto, com relação multiplicação por um escalar temos: 
.)(
,),2,(),(),(),(),(
),,(),)((),)(()(
11111111111
1111111
uuu
éistoyxxyxyxyxyxuu
porémyxxyxyxu
βαβα
βαβαβαβα
βαβαβαβα
+≠+
+=+=+=+
+=+=+=+
 
Ou seja, a propriedade 6, da definição de espaço vetorial não é satisfeita, portanto, 2\ munido das 
operações definidas em (5.1), não é um espaço vetorial. 
 
3.1.4. - Subespaços Vetoriais 
 
Sejam V um espaço vetorial sobre \ e W um subconjunto não vazio de V. O subconjunto W é um 
subespaço vetorial de V se as seguintes condições são satisfeitas: 
 ,,,.1 WvuWvu ∈∀∈+ 
 ∈∈∀∈ αα ,,.2 WuWu \ . 
 
Dialogando e construindo o seu conhecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Todo subespaço vetorial W de V contém pelo menos o vetor nulo 0, pois quando ,0=α 
temos .00 Wu∈= 
2. Um subespaço vetorial W de V é também um espaço vetorial com todas as oito propriedades 
herdadas de V. 
3. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, chamado 
subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Os demais subespaços são denominados 
subespaços não triviais ou próprios. Por exemplo, o conjunto unitário {(0,0,0)} é um subespaço 
vetorial do V= ℝ3, assim como o conjunto W= ℝ3. 
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3.1.5. - Exemplos 
 
1 - Sejam V = 4\ e W ∈=== 43143124321 ,,);,,0,{(}0);,,,{( xxxxxxxxxxx \ }, Então W é um subespaço 
vetorial de V. De fato. 
a. 0 = (0,0,0,0)∈W, isto é, W≠ Ø. 
b. Dados u,v∈W e ∈α \ , então ),,0,(),,0,( 431431 yyyvexxxu == . Logo, 
.),,0,(),,0,(),,0,(
),,0,(),0,(),,0,(
431431431
443311431431
Wxxxxxxxxxu
eWyxyxyxyyyxxxvu
∈===
∈+++=+=+
ααααααααα 
De onde concluímos que W é um subespaço vetorial de V = 4\ . 
 
2 - Sejam 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== Rdcba
dc
ba
MV ,,,;)2,2( e 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= Rcb
c
b
W ,;
0
0 , com V munido das operações 
soma de matrizes e multiplicação por escalar, ou seja, as operações usuais. 
Notemos que ≠∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= WéistoW ,,
00
00
0 Ø. 
Dados ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0
0
,
0
0
2
2
1
1
c
b
v
c
b
u W então W
cc
bb
c
b
c
b
vu ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
0
0
0
0
0
0
21
21
2
2
1
1 e 
.
0
0
0
0
1
1
1
1 W
c
b
c
b
u ∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= α
ααα 
Portanto, W é um subespaço vetorial de V. 
 
3 - Sejam V = 2\ munido das operações usuais de adição e multiplicação 
por escalar e ∈=== xxxxyyxW );4,{(}4);,{( \ }. W representa 
geometricamente uma reta que passa pela origem. 
Observemos que W∈== )0.4,0()0,0(0 , ou seja, W é não vazio. Além 
disso, dados Wxxvxxu ∈== )4,(),4,( 2211 , temos que 
 Wxxxxxxxxvu ∈++=+=+ ))(4,()4,()4,( 21212211 e 
.))(4,()4,( 1111 Wxxxxu ∈== αααα 
Neste caso, ao tomarmos dois vetores u e v da reta, o vetor soma (u + v) também pertence à reta, veja a 
figura 01. 
 
 
4 - Ao contrário do exemplo anterior, uma reta que não passe pela origem, por 
exemplo, o conjunto ∈−=−== xxxxyyxW );43,{(}43);,{( \ } não é 
um subespaço vetorial de 2\ . De fato. Escolhendo u = (1,-1) e v = (0,3) de 
W, temos u + v = (1,-1) + (0,3) = (1,2)∉W, pois 2 3 4(1) 1,≠ − = − conforme a 
figura 02, ao lado. 
 
 
5 - O conjunto }0/),{( 111 >= xyxW não é um subespaço vetorial de V = 2\ . Pois u = (2,7)∈W, mas 
-3u = -3(2,7) = (-6,-21)∉W, já que -6 < 0. 
 
No Moodle. . . 
 
 
 
 
Leia com atenção os exemplos acima. Na plataforma moodle você deve fazer exercícios! 
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3.1.6. - Interseção de dois Subespaços Vetoriais 
 
Dados W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V, a interseção de W1 e W2, denotada por W = W1∩W2 é o 
conjunto todos os vetores v∈V tais que v∈W1 e v∈W2. 
 
3.1.6.1. – Teorema A interseção W de dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V é um subespaço vetorial 
de V. 
 
Demonstração: 
 (i) Pela definição de subespaço vetorial, 0∈ W1 e 0∈W2, logo 0∈W1∩W2. 
 (ii) Sejam u,v∈W1∩W2, então u,v∈ W1 e u,v∈ W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, por 
definição, (u + v)∈ W1 e (u + v)∈W2, daí, (u + v)∈W1∩W2. 
 (iii) Dado α∈ \ , αu∈W1 e αu∈W2, pois W1 e W2 são subespaços de V, logo αu∈W1∩W2. 
 Das 3 condições acima, concluímos que W1∩W2 é um subespaço vetorial de V. 
 
3.1.7. - Exemplos 
 
1. Consideremos )2,2(MV = e 1 ; ,0 0
a b
W a b
⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈⎨ ⎬⎢⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
R e 2
0
; , ,
0
b
W b c
c
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
= ∈R subespaços vetoriais de 
V. Seja ∈∈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= uquetalV
dc
ba
u W1∩W2. Então, 1Wu∈ ,ou seja, c = d = 0. Mas, 2Wu∈ ,daí a = d = 0. 
Logo, 
0 10
,
0 00 0
a b bu b
c d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= = = onde ∈b \ . 
Portanto, W1∩W2 0 ;
0 0
b
b
⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
R . 
 
2. Seja V = 3\ ∈= zyxzyx ,,);,,{( \ } e ∈= yxyxW ,);0,,{(1 \ } e ∈= zzW );,0,0{(2 \ } subespaços 
vetoriais de V. Se ∈= ),,( zyxu W1∩W2, então pela definição de W1 e W2, x = y = z = 0, ou seja, W1∩W2 = 
{(0,0,0)}. 
 Nosso próximo passo é definir soma direta entre subespaços vetoriais, para isto, definiremos 
inicialmente, soma entre subespaços. 
 
3.1.8. - Soma de dois Subespaços Vetoriais 
 
 Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V. A soma de W1 e W2, denotada por W = W1 + W2, é o 
conjunto de todos os vetores u + v de V tais que 21 WveWu ∈∈ . 
 
3.1.8.1. – Teorema Se W1 e W2 são subespaços vetoriais de V então W1 + W2 também 
é um subespaço vetorial de V. 
Demonstração: (i) Sejam u1,u2∈ W1 e v1,v2 ∈W2 então u1 + u2∈W1, pois W1 é um espaço vetorial. 
Analogamente, (v1 + v2) ∈W2. 
Por outro lado, (u1 + v1) ∈W1 + W2, como também u2 + v2∈W1 + W2, logo 
(u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) ∈W1 + W2. 
(ii) Para qualquer α∈ \ , sendo u1 ∈W1, v1∈W2, então αu1∈W1 e αv1∈W2. 
Por outro lado, (u1+ v1)∈W1 + W2, logo α(u1 + v1) = (αu1+ αv1)∈W1 + W2. 
 
3.1.9. - Exemplos 
 
 Observando os exemplos 3.1.7, temos que: 
 19
1. O conjunto W1 + W2
0
; , ,
0 0 0
a b b
a b c
c
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ∈⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
R = ; , ,
0
a b
a b c
c
⎧ ⎫⎡ ⎤ ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
R é um subespaço vetorial de 
V. De fato. 1 ; ,0 0
a b
W a b
⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
R e 2
0
; ,
0
b
W b c
c
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎨ ⎬⎢ ⎥⎪⎣ ⎦ ⎪⎩ ⎭
= ∈R são subespaços vetoriais de V = M(2,2) e 
como conseqüência do Teorema 3.1.8.1, W1 + W2 também é um subespaço vetorial de V. 
2. A soma de ∈= yxyxW ,);0,,{(1 \ } com ∈= zzW );,0,0{(2 \ } é o subespaço vetorial de 
 W1 + W2 = { }( , , ); , ,x y z x y z∈R �, que é o próprio 3\ . 
 
3.1.10 Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V. 
Diremos que V é a soma direta de W1 e W2, denotada por 
V = W1⊕W2, se: 
V = W1 + W2 e W1∩W2 = {0}. 
 
3.1.11 Observação 
Se V = W1⊕W2, então todo v ∈ V se escreve, de modo único, na forma: 
v = u + w, onde u∈W1 e w∈W2. 
De fato. Suponhamos que v = u + w, com u∈W1 e w∈W2 e também v = u’+ w’, onde u’∈W1 e w’∈W2. Daí, 
u + w = v = u’+ w’ ou u – u’ = w’ – w. 
Como (u – u’) ∈W1 e (w’ – w)∈W2, da última igualdade (u – u’) = (w – w’)∈ W1∩W2. 
Mas, W1∩W2 = {0}, então u – u’ = w’ – w = 0, ou seja, u = u’ e w = w’. 
 
3.1.12. - Exemplo 
 
1. O espaço 3\ é a soma direta dos subespaços vetoriais W1 = {(x,y,0) ; x,y∈ R } e W1 = {(0,0,z) ; z∈ R }, pois 
qualquer vetor (x,y,z) ∈ 3\ pode ser escrito como soma de um vetor de W1 e um vetor de W2 de maneira 
única 
(x,y,z) = (x,y,0) + (0,0,z), 
além disso, W1∩W2 = {(0,0,0)}. Portanto, 3\ = W1⊕W2. 
 
3.2. - Combinação Linear 
 
 Seja V um espaço vetorial sobre R . Um vetor v em V é combinação linear dos vetores v1,v2,...,vn em V 
se existirem escalares x1,x2,...,xn ∈ R tais que 
u = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn. 
 
3.2.1. - Exemplos 
 
1. Escreveremos o vetor v = (2,5,3) do 3\ como combinação linear dos vetores v1 = (1,2,1) e v2 = (0,1,1). 
Para isto, devemos encontrar x,y ∈ R tais que 
v = (2,5,3) = x(1,2,1) + y(0,1,1) = (x,2x + y,x + y) 
e, resolvendo o sistema 
 2
2 5
 3,
x
x y
x y
=⎧⎪ + =⎨⎪ + =⎩ 
encontramos x = 2 e y = 1. 
Considerando agora v = (0,0,-1), mostraremos que v não pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores v1 = (1,2,1) e v2 = (0,1,1). 
 20
Mostraremos que não existem escalares x e y tais que 
v = (0,0,-1) = x(1,2,1) + y(0,1,1) 
 0
2 0
1,
x
x y
x y
=⎧⎪ + =⎨⎪ + = −⎩
 logo, da primeira equação, x = 0, e da segunda, y = 0. Porém da última equação, 0 + 0 = -1, o que é incompatível. 
Portanto, não existem escalares x e y tais que v = xv1 + yv2, isto é, v = (0,0,-1) não pode ser escrito como 
combinação linear dos vetores v1 e v2. 
2. Determinar o valor de k para que o vetor v = (1,-2,k) seja uma combinação linear dos vetores v1 = (3,0,-2) e 
v2 = (2,-1,-5). 
Devemos encontrar escalares x e y tais que v = xv1 + yv2, ou seja, 
(1,-2,k) = x(3,0,-2) + y(2,-1,-5), 
resultando no seguinte sistema: 
3 2 1
0 2
2 5
x y
x y
x y k
+ =⎧⎪ − = −⎨⎪− − =⎩ 
assim, x = -1, y = 2 e o valor de k é -8. Conclusão: para que v = (1,-2,k) seja escrito como combinação linear 
dos vetores v1 e v2 é preciso que k seja igual a -8. 
 
3.2.2. - Subespaços Gerados 
 
Sejam V um espaço vetorial sobre R e v1,v2,...,vn vetores de V, o conjunto 
 
W = { v∈V; v = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn.}, 
 
constituído de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores v1,v2,...,vn de V, é um subespaço 
vetorial de V. 
De fato. (i) W é não vazio, pois 0∈W, 0 = 0v1 + 0v2 + ... + 0vn. 
(ii) Dados u,v ∈W, existem escalares x1,x2,...,xn e y1,y2,...,yn tais que v = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn. e 
u = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn., logo 
v + u = (x1v1 + x2v2 + ... + xnvn) + (y1v1 + y2v2 + ... + ynvn) 
 v + u = (x1+ y1) v1 + (x2+ y2) v2 + ... + (xn + yn)vn ∈W, 
Além disso, 
(iii) Se α ∈R e v ∈W, temos 
αv = α(x1v1 + x2v2 + ... + xnvn) = (αx1)v1 + (αx2)v2 + ... + (αxn)vn ∈W. 
 
Segue de (i), (ii) e (iii) que W é um subespaço vetorial de V. 
Este subespaço é denominado subespaço gerado pelos vetores v1,v2,...,vn, o qual se denota W = [v1,v2,...,vn]. 
 
3.2.3.1. - Exemplos 
 
1 . Os vetores i = (1,0,0) e j = (0,1,0) geram o conjunto W = {(x,y,0) ; x,y ∈ R }, pois qualquer vetor v de W 
pode ser escrito como combinação linear dos vetores i e j, ou seja, 
v = (x,y,0) = x(1,0,0) + y(0,1,0). 
 21
Neste caso, W é gerado pelos vetores i e j, pois todo vetor de W é escrito como combinação linear dos vetores i e 
j. E, usando a notação de subespaço gerado, W = [i,j]. 
 
2 . No caso dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1), estes geram o 3R , já que todo vetor (x,y,z) do 3R é 
escrito como combinação linear dos vetores, i, j e k, 
(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1). 
Assim, 3R = [i,j,k]. 
 
3. O subespaço gerado pelos vetores v1 = (1,-2,-1) e v2 = (2,1,1) será: 
[v1,v2] = {(x,y,z) ; (x,y,z) = a(1,-2,1) + b(2,1,1), a,b∈ R }. 
Da igualdade acima temos: 
2
2
,
a b x
a b y
a b z
+ =⎧⎪− + =⎨⎪ − + =⎩
 
e, resolvendo o sistema, usando as 2 primeiras equações b = 2/5x + 1/5y e a = 1/5x -2/5y. Substituindo na terceira 
equação, teremos x + 3y – 5z = 0. 
Portanto, [v1,v2] = {(x,y,z) / x + 3y – 5z = 0}, isto é, o subespaço gerado pelos vetores v1 e v2 é um plano que 
passa pela origem. 
4. Sejam V = M(2,2), v1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
32
21 e v2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
11
13
 matrizes de V. O subespaço gerado pelos vetores v1 e v2, 
será: 
1 2[ , ]
x y
v v
z t
⎧⎡ ⎤= ⎨⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
 = a ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
32
21
 + b 3 1 , ,
1 1
a b
⎫⎡ ⎤ ⎪⎬⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎭
− ∈R 
e, daí x, y, z e t satisfazem o sistema: 
3
2
2
3 ,
a b x
a b y
a b z
a b t
− + =⎧⎪ − =⎪⎨− + =⎪⎪ + =⎩ 
de onde teremos z = -y e x = -2y + t. Logo, o subespaço gerado pelas matrizes v1 e v2 é da forma: 
1 2
2 2 1 1 0
[ , ] , ; ,
1 0 0 1
y t y
v v y t y t y t
y t
⎫⎧ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭
− + −= ∈ = + ∈− −R R . 
 
3.3. - Dependência e Independência Linear
 
 
Seja V um espaço vetorial sobre R . Os vetores v1,v2,...,vn de V são ditos linearmente independentes (LI) 
se a equação vetorial 
x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = 0 
 
admite apenas a soluçãotrivial nula x1 = x2 = ... = xn = 0. Caso contrário, se a equação admite pelo menos uma 
solução não nula, os vetores são denominados linearmente dependentes (LD). 
Nos gráficos a seguir apresentaremos uma interpretação geométrica da dependência linear de dois e três vetores 
no 3R ,