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1 FUNÇÕES Determinação do Domínio de uma Função Caso 1) O domínio de toda função polinomial ( ) 11 0...n nn nf x a x a x a−−= + + + é R, isto é, não há restrições para os valores da variável x. Exercício 1) Determine o domínio das seguintes funções: (a) ( ) 5f x x= + (b) ( ) 2 4 2f x x x= + − (d) ( ) 5 43 5 2f x x x x= + − (e) ( ) 3 8 7 45 27 2 3 f x x x x= + − Caso 2) O domínio de toda função da forma ( ) ( ) f x g x é dado por ( ){ }/ 0x g x∈ℜ ≠ , isto é, são todos os valores de x para os quais o denominador da função é diferente de zero. Exercício 2) Determine o domínio das seguintes funções: Bloco 1 (a) ( ) 5 1 x f x x + = − (b) ( ) 3 5 2 1 x f x x + = − (c) ( ) 7 5 3 8 x f x x − + = − (d) ( ) 6 3 4 7 x f x x − + = − (e) ( ) 5 8 4 9 x f x x − = − − (f) ( ) 5 9 3 12 x f x x − = − + Bloco 2 (a) ( ) 9 5 3 7 2 x f x x − + = − (b) ( ) 5 2 5 7 x f x x − + = − (c) ( ) 7 4 5 1 2 x f x x − + = − (d) ( ) 3 4 3 5 8 x f x x − + = − (e) ( ) 6 7 7 2 5 x f x x − + = − (f) ( ) 8 2 9 11 4 x f x x − + = − Bloco 3 (a) ( ) 2 4 5 1 x f x x + = − (b) ( ) 2 3 7 81 3 x f x x − + = − + (c) ( ) 2 5 2 3 27 x f x x + = − (d) ( ) 2 3 5 64 4 x f x x − = − (e) ( ) 2 2 6 121 11 x f x x − = − (f) ( ) 2 3 5 144 12 x f x x − = − + Bloco 4 (a) ( ) 2 5 4 2 x f x x x + = − − (b) ( ) 2 2 2 4 5 6 x x f x x x − + = + − (c) ( ) 2 2 5 7 6 x f x x x − = − − (d) ( ) 2 2 5 3 4 9 20 x x f x x x − + = + + (e) ( ) 2 6 2 11 30 x f x x x + = − + (f) ( ) 2 2 7 3 3 28 x x f x x x − + = − − 2 Caso 3) Para funções da forma ( )n f x seu domínio é dado por: • ( ){ }/ 0x f x∈ℜ ≥ se n for um número par. • ℜ se n for um número ímpar. (Exercício 3) Determine o domínio das seguintes funções: Bloco 1 (a) ( ) 2f x x= − (b) ( ) 5 3 1f x x= − (c) ( ) 6 4 8f x x= − (d) ( ) 9 2 9f x x= − (e) ( ) 10 57 3 x f x = − (f) ( ) 9 2 9 3 x f x = − (g) ( ) 11 21 3 x f x = + (h) ( ) 16 25 3 f x x= − Bloco 2 (a) ( ) 3 2 4f x x= − (b) ( ) 2 9f x x= − (c) ( ) 8 2 25f x x= − (d) ( ) 7 22 72f x x= − (e) ( ) 5 2243 3f x x= − + (f) ( ) 6 2200 2f x x= − (g) ( ) 24 2 18f x x x= − + (h) ( ) 214 2 32f x x x= − + (i) ( ) 7 23 8f x x x= − + (j) ( ) 212 3 27f x x x= − Bloco 3 (a) ( ) 2 2 8f x x x= + − (b) ( ) 24 6f x x x= − − (c) ( ) 6 2 8 15f x x x= − + (d) ( ) 8 2 12f x x x= − + + (e) ( ) 10 2 2 35f x x x= − − + (f) ( ) 212 3 18f x x x= − − + Caso 4) Para funções da forma ( ) ( )n g x f x seu domínio é dado por: • ( ){ }/ 0x f x∈ℜ > se n for um número par. • ( ){ }/ 0x f x∈ℜ ≠ se n for um número ímpar. (Exercício 4) Determine o domínio das seguintes funções: Bloco 1 (a) ( ) 4 2 x f x x + = − (b) ( ) 7 4 4 x f x x + = + (c) ( ) 4 6 3 4 8 x f x x − + = − (d) ( ) 6 6 3 8 2 x f x x − + = − (e) ( ) 5 3 3 1 x f x x − = − (f) ( ) 5 5 3 3 2 x f x x − = + (g) ( ) 3 4 2 5 2 x f x x − = − (h) ( ) 8 3 5 2 1 x f x x − = − 3 Bloco 2 (a) ( ) 9 3 4 5 2 3 x f x x − + = − (b) ( ) 2 5 5 7 3 x f x x − + = − (c) ( ) 11 2 5 7 3 5 x f x x − + = − (d) ( ) 3 4 2 9 3 x f x x − + = − (e) ( ) 13 4 5 3 2 x f x x − − = + (f) ( ) 3 9 2 1 3 x f x x − − = + Bloco 3 (a) ( ) 3 2 2 1 3 12 x f x x − = − (b) ( ) 2 3 2 2 18 x f x x + = − (c) ( ) 8 2 4 3 2 50 x f x x + = − (d) ( ) 7 2 5 2 2 32 x f x x − + = − (e) ( ) 5 2 6 9 162 2 x f x x − − = − + (f) ( ) 6 2 7 3 100 x f x x − = − + (g) ( ) 2 2 3 2 1 2 8 x x f x x x − + = + − (h) ( ) 2 8 2 2 3 4 12 x x f x x x + + = − + + (i) ( ) 2 10 2 4 7 5 2 35 x x f x x x + − = − − + (j) ( ) 2 212 5 9 2 3 18 x x f x x x − − = − − + Caso 5) Para funções da forma ( ) ( ) n g x f x seu domínio é dado por: • ( ) ( ) / 0 f x x g x ∈ℜ ≥ se n for um número par. • ( ){ }/ 0x f x∈ℜ ≠ se n for um número ímpar. (Exercício 5) Determine o domínio das seguintes funções: Bloco 1 (a) ( ) 4 2 x f x x + = − (b) ( ) 3 4 3 9 x f x x + = − + (c) ( ) 4 8 6 3 x f x x − = − + (d) ( ) 7 8 2 6 3 x f x x − = − + (e) ( ) 3 1 5 3 x f x x − = − (f) ( ) 5 3 2 5 3 x f x x + = − (g) ( ) 3 9 5 4 3 x f x x − − = + (h) ( ) 9 5 3 3 x f x x − = − (i) ( ) 5 7 3 9 x f x x − = − (j) ( ) 2 7 3 4 x f x x − = − + (l) ( ) 11 5 3 7 2 5 x f x x − = − + (m) ( ) 13 2 3 5 8 x f x x − = − − 4 Bloco 2 (a) ( ) 3 2 2 1 3 12 x f x x − = − (b) ( ) 2 3 2 2 18 x f x x + = − (c) ( ) 2 8 2 50 3 4 x f x x − = + (d) ( ) 2 7 2 32 4 7 x f x x − = − + (e) ( ) 5 2 4 8 162 2 x f x x − = − (f) ( ) 2 6 100 7 14 x f x x − + = − (g) ( ) 2 4 2 2 18 3 9 x x f x x x − + = − + (h) ( ) 2 14 2 2 32 3 27 x x f x x x − + = − (i) ( ) 2 2 2 8 12 x x f x x x + − = − + + (j) ( ) 2 10 2 2 35 3 18 x x f x x x − − + = − − + Caso 6) Para funções da forma ( ) ( ) n g x f x seu domínio é dado por: • ( ) ( ){ }/ 0 e 0x g x f x∈ℜ ≥ ≠ se n for um número par. • ( ){ }/ 0x f x∈ℜ ≠ se n for um número ímpar. (Exercício 6) Determine o domínio das seguintes funções: Bloco 1 (a) ( ) 4 2 x f x x + = − (b) ( ) 3 6 7 x f x x + = − (c) ( ) 3 9 4 x f x x − = − (d) ( ) 13 3 4 2 x f x x + = − (e) ( ) 7 14 3 7 x f x x − = − (f) ( ) 3 5 10 3 8 x f x x − = − (g) ( ) 5 2 8 4 9 x f x x − = − (h) ( ) 9 3 3 2 x f x x − = − (i) ( ) 7 14 7 2 6 x f x x + = − (j) ( ) 4 7 3 9 x f x x − = − (l) ( ) 3 12 3 4 2 x f x x − = − (m) ( ) 4 4 2 3 18 x f x x − = −1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Limite. Seja :f D ⊂ℜ→ℜ uma função dada. Se ( )f x se aproxima de um número L quando x se aproxima de um número c tanto pela esquerda como pela direita, dizemos que L é o limite de ( )f x quando x tende a c, o que em notação matemática é escrito como ( )lim x c f x L → = . Geometricamente, a igualdade ( )lim x c f x L → = significa que a ordenada do gráfico de ( )y f x= se aproxima de L quando x se aproxima de c, como mostra a figura ao lado. Exemplo. Vamos usar uma tabela para estimar o limite 1 1 lim 1x x x→ − − . O gráfico de aparece na figura abaixo. O cálculo do limite mostra que a ordenada do gráfico da função ( )y f x= tende para L=0,5 quando x tende para 1. Assim escrevemos: 1 1 lim 0,5 1x x x→ − = − É importante não esquecer que os limites descrevem o comportamento de uma função “perto” de um ponto, mas não necessariamente no próprio ponto. PROPRIEDADES DOS LIMITES Se ( )lim x c f x → e ( )lim x c g x → existem, então: • ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x c x c x c f x g x f x g x → → → ± = ± • ( ) ( )lim lim x c x c k f x k f x → → ⋅ = ⋅ • ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim x c x c x c f x g x f x g x → → → ⋅ = ⋅ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim , se lim 0 lim x c x c x c x c f xf x g x g x g x → → → → = ≠ • ( ) ( )lim lim pp x c x c f x f x → → = • lim x c k k → = Estas propriedades são demonstradas formalmente em cursos mais teóricos. Elas são importantes porque simplificam o cálculo dos limites de funções algébricas. EXERCÍCIOS 1. Calcule os limites abaixo: (a) ( ) 4 lim 5 x→ − = (b) 2 6 lim 5x→ = (c) 8 3 lim 7 x→− = (d) 9 5 lim 3x→− = 2 2. Calcule os limites abaixo: (a) ( ) 3 lim 4 2 x x → + = (b) ( )2 4 lim 5 9 8 x x x → − − = (c) ( ) 2 lim 7 6 x x →− − = (d) ( )3 2 lim 3 2 7 x x x →− − + = (e) 1 4 lim 5 3x x →− + = (f) ( ) 7 lim 5 3 x x → − + = (g) ( )2 4 lim 4 8 7 x x x → − + = (h) ( ) 4 lim 5 2 x x →− − = (i) ( )2 2 lim 6 7 5 x x x →− − − = (j) 2 3 lim 2 4x x →− − = 3. Calcule os limites abaixo: (a) ( ) 1 lim 2 4 1 x x x → − = (b) ( ) ( ) 1 lim 2 7 2 x x x →− − + + = (c) ( ) ( ) 2 lim 5 3 3 9 x x x →− − + − = (d) 1 3 2 lim 1 1 2 3x x x →− − + − = (e) 0 7 5 lim 2 9 2 3x x x → − − = (f) ( ) 1 lim 3 2 1 x x x →− − = (g) ( )( ) 1 lim 4 3 5 2 x x x → − + − = (h) ( )( ) 1 lim 3 5 6 2 x x x →− − + − = (i) 1 2 3 lim 1 2 3 2x x x → − − + = (j) 1 2 5 4 lim 4 3 2 3x x x → + − = 3 4. Calcule os limites abaixo: (a) ( )3 3 lim 2 4 x x →− + = (b) ( )6 1 lim 6 1 x x → − − = (c) ( )2 1 lim 6 4 x x →− − = (d) 6 0 1 lim 5 2x x → − + = (e) 5 3 5 lim 1 3x x →− − = (f) 4 4 2 lim 5 3x x →− − = (g) 2 3 4 lim 2 5x x →− − = (h) 2 2 2 3 lim 1 5x x x →− + − = (i) 42 1 4 lim 5 5 3x x x →− + − = (j) 36 0 5 5 lim 3 4 7x x x → − − = 5. Calcule os limites abaixo: (a) 3 4 5 lim 5 1x x x→ − = − (b) 1 6 4 lim 3 2x x x→− − = − (c) 1 3 9 lim 8 1x x x→ − + = − (d) 2 3 4 lim 8 1x x x→ + = − (e) 1 4 lim 2 1x x x→− + = + (f) 5 2 lim 4x x x→ + = − (g) 2 31 4 6 3 lim 16 8 7x x x x x→ − + = + − (h) 2 21 2 5 3 lim 6 7 2x x x x x→− + − = − + (i) 2 30 5 3 2 lim 19 6 2x x x x x→ − + = + − (j) 2 21 5 9 lim 9 17 12x x x x x→ − + = + − 4 6. Calcule os limites abaixo: (a) 2 1 1 2lim 2x x x→ − = − (b) 3 1 1 3lim 3x x x→ − = − (c) 5 1 1 5lim 5x x x→ − = − (d) 8 1 1 8lim 8x x x→ − = − (e) 9 1 1 9lim 9x x x→ − = − (f) 4 1 1 4lim 4x x x→ − = − (g) 6 1 1 6lim 6x x x→ − = − (h) 10 1 1 10lim 10x x x→ − = − (i) 13 1 1 13lim 13x x x→ − = − (j) 1 1 lim x a a x x a→ − = − 7. Calcule os limites abaixo: (a) 21 1 lim 1x x x→ − = − (b) 22 2 lim 4x x x→ − = − (c) 23 3 lim 9x x x→ − = − (d) 24 4 lim 16x x x→ − = − (e) 25 5 lim 25x x x→ − = − (f) 21 1 lim 1x x x→− + = − (g) 22 2 lim 4x x x→− + = − (h) 23 3 lim 9x x x→− + = − (i) 25 5 lim 25x x x→ + = − (j) 26 6 lim 36x x x→− + = − 5 8. Calcule os limites abaixo: (a) 2 2 4 lim 2x x x→− − = + (b) 2 3 9 lim 3x x x→− − = + (c) 2 4 16 lim 4x x x→ − = − (d) 2 1 1 lim 1x x x→ − = − (e) 2 4 16 lim 4x x x→− − = + (f) 2 5 25 lim 5x x x→− − = + (g) 2 6 36 lim 6x x x→− − = + (h) 2 7 49 lim 7x x x→ − = − (i) 2 8 64 lim 8x x x→− − = + (j) 2 9 81 lim 9x x x→ − = − 9. Calcule os limites abaixo: (a) 25 5 lim 25x x x→ − = − (b) 24 4 lim 16x x x→ − = − (c) 26 6 lim 36x x x→− + = − (d) 21 1 lim 1x x x→− + = − (e) 27 7 lim 49x x x→ − = − (f) 28 8 lim 64x x x→− + = − (g) 210 10 lim 100x x x→ − = − (h) 29 9 lim 81x x x→− + = − (i) 211 11 lim 121x x x→ − = − (j) 212 12 lim 144x x x→ − = − 6 10. Calcule os limites abaixo: (a) 2 21 2 lim 2 3x x x x x→ + − = + − (b) 2 22 6 lim 2 8x x x x x→ + − = + − (c) 2 23 12 lim 6x x x x x→ − − = − − (d) 2 24 9 20 lim 10 24x x x x x→ − − = − + (e) 2 25 11 30 lim 7 10x x x x x→ − + = − + (f) 2 26 9 18 lim 8 12x x x x x→ − + = − + 11. Calcule os limites abaixo: (a) 2 23 12 lim 6x x x x x→− − − = + − (b) 2 24 20 lim 3 4x x x x x→− − − = + − (c) 2 25 30 lim 2 15x x x x x→− − − = + − (d) 2 26 5 6 lim 4 12x x x x x→− + − = + − (e) 2 27 5 14 lim 4 21x x x x x→− + − = + − (f) 2 28 5 24 lim 6 16x x x x x→− + − =+ − 12. Calcule os limites abaixo: (a) 31 1 lim 1x x x→ − = − (b) 32 2 lim 8x x x→ − = − (c) 33 3 lim 27x x x→ − = − (d) 34 4 lim 64x x x→ − = − (e) 35 5 lim 125x x x→ − = − (f) 36 6 lim 216x x x→ − = − 13. Calcule os limites abaixo: (a) 4 2 16 lim 2x x x→ − = − (b) 4 3 81 lim 3x x x→− − = + (c) 4 4 256 lim 4x x x→ − = − (d) 4 5 625 lim 5x x x→− − = + (e) 4 6 1296 lim 6x x x→ − = − 7 14. Calcule os limites abaixo: (a) ( )2 0 1 1 lim x x x→ + − = (b) ( )2 0 2 4 lim x x x→ + − = (c) ( )2 0 3 9 lim x x x→ + − = (d) ( )2 0 5 25 lim x x x→ − − = (e) ( )2 0 6 36 lim x x x→ − − = (f) ( )2 0 7 49 lim x x x→ − − = (g) ( )2 0 9 81 lim x x x→ − − = (h) ( )2 0 10 100 lim x x x→ − − = (i) ( )2 0 11 121 lim x x x→ − − = (j) ( )2 0 12 144 lim x x x→ − − = 15. Calcule os limites abaixo: (a) 1 1 lim 1x x x→ − = − (b) 4 4 lim 2x x x→ − = − (c) 9 9 lim 3x x x→ − = − (d) 16 16 lim 4x x x→ − = − (e) 25 25 lim 5x x x→ − = − (f) 36 36 lim 6x x x→ − = − (g) 49 49 lim 7x x x→ − = − (h) 81 81 lim 9x x x→ − = − (i) 100 100 lim 10x x x→ − = − (j) 121 121 lim 11x x x→ − = − 8 16. Calcule os limites abaixo: (a) 16 16 lim 4x x x→ − = − (b) 4 4 lim 2x x x→ − = − (c) 25 25 lim 5x x x→ − = − (d) 36 36 lim 6x x x→ − = − (e) 49 49 lim 7x x x→ − = − (f) 64 64 lim 8x x x→ − = − (g) 81 81 lim 9x x x→ − = − (h) 100 100 lim 10x x x→ − = − (i) 121 121 lim 11x x x→ − = − (j) 144 144 lim 12x x x→ − = − 17. Calcule os limites abaixo: (a) 4 5 1 lim 4x x x→− + − = + (b) 6 15 3 lim 6x x x→− + − = + (c) 61 3 8 lim 61x x x→ + − = − (d) 9 7 4 lim 9x x x→ + − = − (e) 32 4 6 lim 32x x x→ + − = − 18. Calcule os limites abaixo: (a) 0 1 1 3 3lim x x x→ − + = (b) 0 1 1 4 4lim x x x→ − + = (c) 0 1 1 5 5lim x x x→ − + = (d) 0 1 1 6 6lim x x x→ − + = (e) 0 1 1 7 7lim x x x→ − + = 9 19. Calcule os limites abaixo: (a) 0 3 3 lim x x x→ + − = (b) 0 5 5 lim x x x→ + − = (c) 0 7 7 lim x x x→ + − = (d) 0 9 9 lim x x x→ + − = (e) 0 13 13 lim x x x→ + − = (f) 0 lim 2 2x x x→ = + − (g) 0 lim 4 2x x x→ = + − (h) 0 lim 6 6x x x→ = + − (i) 0 lim 10 10x x x→ = + − (j) 0 lim 8 8x x x→ = + − 20. Calcule os limites abaixo: (a) 2 20 9 3 lim x x x→ + − = (b) 2 20 4 2 lim x x x→ + − = (c) 2 20 25 5 lim x x x→ + − = (d) 2 20 16 4 lim x x x→ + − = (e) 2 20 49 7 lim x x x→ + − = (f) 2 20 6 36 lim x x x→ − + = (g) 2 20 9 81 lim x x x→ − + = (h) 2 20 8 64 lim x x x→ − + = (i) 2 20 10 100 lim x x x→ − + = (j) 2 20 11 121 lim x x x→ − + = 10 21. Calcule os limites abaixo: ( )( )3 32 23 3 3x a x a x ax a− = − + + (a) 33 2 2 lim 2x x x→ − = − (b) 3 3 5 5 lim 5x x x→ − = − (c) 3 3 6 6 lim 6x x x→ − = − (d) 3 37 7 lim 7x x x→ − = − (e) 3 39 9 lim 9x x x→ − = − (f) 3 310 10 lim 10x x x→ − = − 22. Calcule os limites abaixo: (a) 31 1 lim 1x x x→ − = − (b) 3 41 1 lim 1x x x→ − = − (c) 4 51 1 lim 1x x x→ − = − (d) 5 61 1 lim 1x x x→ − = − (e) 6 71 1 lim 1x x x→ − = − 23. Calcule os limites abaixo: (a) 31 1 lim 1x x x→ − = − (b) 3 41 1 lim 1x x x→ − = − (c) 4 51 1 lim 1x x x→ − = − (d) 5 61 1 lim 1x x x→ − = − (e) 6 71 1 lim 1x x x→ − = − 24. Sabendo que 0 lim 1 x senx x→ = calcule os limites abaixo: (a) 0 sen 2 lim x x x→ = (b) 0 sen 3 lim x x x→ = (c) 0 sen 4 lim x x x→ = (d) 0 sen 5 lim x x x→ = (e) 0 sen 6 lim x x x→ = 11 (f) 0 sen 2 lim 3x x x→ = (g) 0 sen 4 lim 5x x x→ = (h) 0 sen 6 lim 4x x x→ = (i) 0 sen 7 lim 3x x x→ = (j) 0 sen8 lim 9x x x→ = (k) 0 sen 3 lim sen 2x x x→ = (l) 0 sen 5 lim sen 4x x x→ = (m) 0 sen 4 lim sen 6x x x→ = (n) 0 sen 3 lim sen 7x x x→ = (o) 0 sen 9 lim sen8x x x→ = (p) 0 tg lim x x x→ = (q) 0 tg 2 lim x x x→ = (r) 0 tg5 lim x x x→ = (s) 0 tg 7 lim x x x→ = (f) 0 tg9 lim x x x→ = (g) 0 tg 2 lim 3x x x→ = (h) 0 tg3 lim 4x x x→ = (i) 0 tg5 lim 7x x x→ = (j) 0 tg 7 lim 9x x x→ = 12 25. Sabendo que 0 1 lim ln x x a a x→ − = calcule os limites abaixo: (a) 0 2 1 lim x x x→ − = (b) 0 4 1 lim x x x→ − = (c) 0 3 1 lim 5 x x x→ − = (d) 0 6 1 lim 7 x x x→ − = (e) 0 9 1 lim 3 x x x→ − = (f) 0 2 3 lim x x x x→ − = (g) 0 3 4 lim x x x x→ − = (h) 0 5 7 lim x x x x→ − = (i) 0 6 8 lim 2 x x x x→ − = (j) 0 5 3 lim 4 x x x x→ − = (k) 0 9 4 lim 5 x x x x→ − = (l) 0 7 3 lim 6 x x x x→ − = (m) 2 3 9 lim 2 t t t→ − = − (n) 2 4 16 lim 2 t t t→ − = − (o) 3 3 27 lim 3 t t t→ − = − (p) 3 2 8 lim 3 t t t→ − = − (q) 2 5 25 lim 2 t t t→ − = − (r) 2 6 36 lim 2 t t t→ − = − (s) 3 4 64 lim 3 t t t→ − = − 13 26. Sabendo que 0 1 lim ln x x a a x→ − = calcule os limites abaixo: (a) 2 3 0 lim t t t e e t→ − = (b) 4 5 0 lim t t t e e t→ − = (c) 2 5 0 lim t t t e et→ − = (d) 3 6 0 lim t t t e e t→ − = (e) 2 4 0 lim t t t e e t − − → − = (f) 3 7 0 lim t t t e e t − − → − = 27. Sabendo que ( ) 1 0 lim 1 x x x e → + = calcule os limites abaixo: (a) 2 1 lim 1 n n n + →∞ + = (b) 4 1 lim 1 n n n + →∞ + = (c) 3 1 lim 1 n n n + →∞ + = (d) 5 1 lim 1 n n n + →∞ + = (e) 7 1 lim 1 n n n + →∞ + = (f) 2 lim 1 t t t→∞ + = (g) 4 lim 1 t t t→∞ + = (h) 5 lim 1 t t t→∞ + = (i) 7 lim 1 t t t→∞ + = (j) 9 lim 1 t t t→∞ + = 14 Limites Laterais, Limites Infinitos e Limites no Infinito 1. Calcule ( ) ( )lim , lim x a x a f x f x + −→ → e ( )lim x a f x → caso existam: (a) ( ) 5 ; 5f x x a= − = (b) ( ) 7 ; 7f x x a= − = (c) ( ) 9 ; 9f x x a= − = (d) ( ) 10 ; 10f x x a= − = (e) ( ) 38 ; 2f x x a= − = (f) ( ) 327 ; 3f x x a= − = 2. Calcule os limites abaixo: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 lim lim x x a f x x f x f x − + → → = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 lim lim x x b f x x f x f x − + → → = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 5 lim lim x x c f x x f x f x − + → → = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 4 7 lim lim x x d f x x f x f x − + → → = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 5 8 lim lim x x e f x x f x f x − + → → = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 lim lim x x f f x x f x f x − + → → − = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 5 3 lim lim x x g f x x f x f x − + → → − = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 7 4 lim lim x x h f x x f x f x − + → → − = − = = 15 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 8 5 lim lim x x i f x x f x f x − + → → − = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 3 lim lim x x j f x x f x f x − + → → = − = = ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 6 10 lim lim x x l f x x f x f x − + → → = − = = 6. Determine os limites: (a) 3 4 lim 5 2x x x→+∞ − = + (b) 3 2 lim 6 3x x x→+∞ − = + (c) 9 7 lim 3x x x→−∞ − − = − (d) 2 2 5 2 lim 3 4x x x→+∞ − = + (e) 4 2 4 3 2 lim 8 5x x x x x→−∞ − − = + 7. Determine os limites: (a) 2 3 5 3 lim 2 4x x x→+∞ − = + (b) 3 2 4 4 3 lim 7 5x x x x x→−∞ − − = + (c) 2 3 2 7 lim 4 3x x x→+∞ − = + (d) 5 2 5 7 3 5 lim 2 3x x x x x→−∞ − − = − (e) 3 4 9 5 3 4 lim 5 2x x x x x→+∞ − = − 8. Determine os limites: (a) 6 2 3 3 3 9 lim 6 5 3x x x x x x→−∞ − − + = + − (b) 5 3 10 7 9 lim 5 3 4x x x x x→+∞ − − = + + (c) 7 2 3 5 5 3 2 1 lim 3 4 2x x x x x x x→−∞ − − + − = − + − (d) 8 3 4 5 3 4 3 2 7 lim 2 5 4 2x x x x x x x→+∞ − + − = − + − (e) 9 3 2 2 4 5 7 6 3 lim 3 2 5x x x x x x→−∞ − + − = − + 16 9. Determine os limites: (a) 2 4 3 lim 5 2x x x→+∞ + = − (b) 2 3 4 lim 2 5x x x→−∞ + = − (c) 2 5 4 lim 6 3x x x→+∞ − = + (d) 2 4 5 lim 3 6x x x→−∞ + = − 10. Determine os limites: (a) 23 4 lim 2 5x x x→+∞ + = − (b) 25 2 lim 4 3x x x→−∞ − = + (c) 23 6 lim 4 5x x x→+∞ − = − (d) 26 3 lim 3 7x x x→−∞ − = + 11. Determine os limites: (a) ( )2lim 9 4 3 x x x →+∞ + − = (b) ( )2lim 16 3 4 x x x →−∞ + + = (c) ( )4 2lim 3 25 5 x x x →+∞ + − = (d) ( )6 3lim 36 2 6 x x x →−∞ + + = (e) ( )4 2lim 5 49 7 x x x →+∞ + + = Continuidade 1. Verifique se f é contínua no ponto dado: (a) ( ) 2 4 , 2 2 x f x a x − = = − (b) ( ) 2 4 , se 2 , 22 3, se 2 x x f x ax x − ≠ = =− = (c) ( ) 2 9 , 3 3 x f x a x − = = − + (d) ( ) 2 9 , se 3 3 6, se 3 x x f x x x − ≠ − = + − = − (e) ( ) 2 16 , 4 4 x f x a x − = = − 17 (f) ( ) 2 16 , se 4 4 8, se 4 x x f x x x − ≠ = − − = (g) ( ) 225 , 5 5 x f x a x − = = − + (h) ( ) 225 , se 5 , 55 10, se 5 x x f x ax x − ≠ − = = −+ − = − (i) ( ) 236 , 6 6 x f x a x − = = − (j) ( ) 236 , se 6 , 66 12, se 6 x x f x ax x − ≠ = =− = 2. Verifique se f é contínua no ponto dado: (a) ( ) 3 , 2 2 f x a x = = − + (b) ( ) 5 , 1 1 f x a x = = − (c) ( ) 2 3 se 1 , 1 2 se 1 x x f x a x + ≠ = = ≠ (d) ( ) 3 se 1 , 1 3 se 1 x x f x a x x + ≤ = = − < (e) ( ) 2 9 3 , 33 4 3 x se x f x ax se x − ≠ = =− = (f) ( ) 2 9 3 , 33 2 3 x se x f x ax se x − ≠ − = = −+ = − (g) ( ) 1 4 , 4 0 4 se x f x a se x ≠ = = = (h) ( ) 3 se 3 , 3 2 se 3 x x f x a x − ≠ = = = (i) ( ) 5 5 , 55 1 5 x se x f x ax se x − ≠ = =− = 3. Determine todos os números para os quais f é descontínua: (k) ( ) 2 3 6 f x x x = + − (l) ( ) 2 5 4 12 f x x x = − − (m) ( ) 2 1 2 x f x x x − = + − (n) ( ) 2 4 12 x f x x x − = − − (o) ( ) 2 2 16 16 x f x x − = − 4. Determine todos os números para os quais f é contínua: (a) ( ) 2 3 5 2 3 x f x x x − = − − (b) ( ) 2 9 3 x f x x − = − 18 (c) ( ) 22 3f x x x= − + (d) ( ) 2 1 1 x f x x − = − (e) ( ) 21 x f x x = − (f) ( ) 9 9 x f x x + = + (g) ( ) 2 1 x f x x = + (h) ( ) 3 2 5 f x x x = − (i) ( ) ( )( )2 4 7 3 2 8 x f x x x x − = + + − (j) ( ) 2 29 25 4 x x f x x − − = − (k) ( ) 9 6 x f x x − = − 5. Mostre que f é contínua no intervalo dado: (a) ( ) [ ]4 ; 4,8f x x= − (b) ( ) ( )1 ; 1,3 1 f x x = − (c) ( ) ( )16 ; ,16f x x= − −∞ (d) ( ) ( )2 1 ; 0,f x x = ∞ (e) ( ) ( )2 3 ; 2, 2 x f x x + = ∞ − (f) ( ) ( )2 3 ; ,3f x x= − −∞ 6. Explique por que a função é descontínua no número dado a. (a) ( ) ln 2 ; 2f x x a= − = (b) ( ) 1 se 1 ; 11 2 se 1 x f x ax x ≠ = =− = (c) ( ) 2 se 0 ; 0 se 0 xe x f x a x x < = = ≥ (d) ( ) 2 2 se 1 ; 11 1 se 1 x x x f x ax x − ≠ = =− = (e) ( ) 22 5 3 se 3 ; 33 6 se 3 x x x f x ax x − − ≠ = =− = 7. Mostre que f é contínua em toda a reta. (a) ( ) 2 se 1 s e 1 x x f x x x < = ≥ (b) ( ) sen se 4 cos se 4 x x f x x x π π < = ≥ 8. Encontre os pontos nos quais f é descontínua. (a) ( ) ( ) 2 2 1 se 0 2 se 0 2 2 se 2 x x f x x x x x + ≤ = − < ≤ − > 19 (b) ( ) 1 se 1 1 se 1 3 3 se 3 x x f x x x x x + ≤ = < < − ≥ 9. Para quais valores da constante c a função f é contínua em toda a reta? (a) ( ) 2 3 2 se 2 - s e 2 cx x x f x x cx x + < = ≥ (b) ( ) 2 2 3 se 3 4 - s e 3 cx x x f x x cx x − < = ≥ (c) ( ) 3 2 4 7 se 1 2 -5 s e 1 cx x x f x x cx x − ≤ = > 10. Investigue a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados. (a) ( ) sen se 0 em 0. 0 s e 2 x x f x xx x ≠ = = = (b) ( ) 3 2 8 se 2 em 2.4 3 s e 3 x x f x xx x − ≠ = =− = (c) ( ) 2 1 se 0 0 s e 0 x sen x f x x x ≠ = = 1 DERIVADA Definição. A derivada de uma função f é a função denotada por f ′ , tal que seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por ( ) ( ) ( ) 0 lim x f x x f x f x x∆ → +∆ − ′ = ∆ se esse limite existir. Quando ( )y f x= , isto é, y é uma função de x, escrevemos também dy dx para indicar a derivada de y com respeiro a x. 1. Regras de Derivação 1.1. Derivada de uma função constante Teorema. Se ( ) ,f x c c= ∈ℜ então ( ) 0 , .f x x′ = ∀ ∈ℜ Exercício: Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 2f x = (b) ( ) 3 5 f x − = (c) ( ) 3 7f x = 1.2. Derivadas de nx Teorema. Seja n um número racional. Então ( ) ( ) 1n nf x x f x nx −′= ⇒ = Teorema. Se f for uma função, c uma constante e g a função definida por ( ) ( )g x c f x= ⋅ , então, se ( )f x′ existir, tem-se ( ) ( )g x c f x′ ′= ⋅ . EXERCÍCIOS 1. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 4f x x= (b) ( ) 6f x x= (c) ( ) 100f x x= (d) ( ) 2f x x= (e) ( )f x x= (f) ( ) 32f x x= (g) ( ) 74f x x= (h) ( ) 405f x x= (i) ( ) 206f x x= (j) ( ) 87f x x= 2 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 3 1 f x x = (b) ( ) 5 1 f x x = (c) ( ) 7 1 f x x = (d) ( ) 4 1 f x x = (e) ( ) 1f x x = (f) ( ) 2 8 f x x = (g) ( ) 4 3 f x x − = (h) ( ) 8 6 f x x = (i) ( ) 5 2 f x x − = (j) ( ) 9 2 f x x = 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( )f x x= (b) ( ) 4f x x= (c) ( ) 6f x x= (d) ( ) 8f x x= (e) ( ) 9f x x= (f) ( ) 32f x x= (g) ( ) 6 73f x x= (h) ( ) 8 54f x x= (i) ( ) 9 45f x x= (j) ( ) 5123f x x= 3 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 3 1 f x x = (b) ( ) 54 1 f x x = (c) ( ) 6 7 1 f x x = (d) ( ) 8 5 1 f x x = (e) ( ) 9 4 1 f x x = (f) ( ) 5 2 f x x = (g) ( ) 74 3 f x x − = (h) ( ) 7 6 4 f x x = (i) ( ) 6 5 5 f x x − = (j) ( ) 8 3 6 f x x = Teorema. Sejam f e g deriváveis em p e seja k uma constante. Então as funções f+g, kf e fg são deriváveis em p e têm-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i f g p f p g p ii kf p kf p iii f g p f p g p f p g p ′ ′ ′+ = + ′ ′= ′ ′ ′⋅ = + ⋅ EXERCÍCIOS 1. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 4 3 25 6 7 8 3f x x x x x= − + + − (b) ( ) 5 4 3 26 7 8 9 4 1f x x x x x x= − + − + − + (c) ( ) 6 4 5 37 8 9 10 11 2f x x x x x x= − + − + − + (d) ( ) 3 4 5 6 58 9 10 11 12 3f x x x x x x= − + − + − + (e) ( ) 2 3 4 5 69 8 7 6 5 4f x x x x x x x= − + − + − + (f) ( ) 5 2 3 43 6 5 8 7 2f x x x x x x= − + − + + − (g) ( ) 2 3 4 57 6 9 8 4f x x x x x x= − + − + − (h) ( ) 4 7 3 5 26 7 10 9 15f x x x x x x x= − + − + − + (i) ( ) 7 6 5 4 39 8 11 12 16 3f x x x x x x x= − + − + − (j) ( ) 9 8 7 6 5 48 9 6 7 4 5f x x x x x x x= − + − + − + 4 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 3 4 5 6 72 3 4 5 6 4 3 5 2 3 2 5 3 2 f x x x x x x x= − + − + − + + (b) ( ) 4 5 6 5 4 35 2 3 2 5 3 2 2 3 4 5 6 4 3 f x x x x x x x= − + − + − + + (c) ( ) 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 4 2 3 4 5 6 4 3 f x x x x x x x= − − − − − − − (d) ( ) 3 4 5 6 7 84 3 8 7 5 3 9 5 6 7 8 9 10 4 f x x x x x x x x= − + − + − + (e) ( ) 4 5 6 7 8 96 3 9 4 6 3 5 5 4 8 7 5 7 3 f x x x x x x x x= − + − + − + (f) ( ) 3 4 5 6 7 3 5 4 7 8 3 2 5 2 3 2 5 3 3 f x x x x x x x = − + − + − + + (g) ( ) 4 5 6 5 4 3 5 4 7 3 9 5 4 2 3 4 5 6 4 3 f x x x x x x x = − + − + − + + (h) ( ) 5 6 7 8 9 10 5 7 3 8 4 6 10 2 3 4 5 6 4 13 f x x x x x x x = − − − − − − − (i) ( ) 3 4 5 6 7 8 3 4 9 5 7 3 5 3 5 6 7 8 9 5 6 5 f x x x x x x x x = − + − + − + − . (j) ( ) 4 5 6 7 8 9 5 6 7 9 3 4 2 1 3 7 8 5 4 9 3 2 f x x x x x x x x = + − + − + − + 3. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 33 2 34f x x x x= + − (b) ( ) 6 7 87 8 7f x x x x= − + (c) ( ) 8 7 65 4 32 3 4f x x x x= + − (d) ( ) 9 8 74 3 25 6 7f x x x x= − + (e) ( ) 7 9 55 7 38 9 10f x x x x= − + (f) ( ) 33 2 34 2 3 4 f x x x x = + − (g) ( ) 6 7 87 8 7 5 6 7 f x x x x = − + (h) ( ) 8 7 65 4 3 3 4 5 2 3 4 f x x x x = + − (i) ( ) 9 8 74 3 2 7 5 6 5 6 7 f x x x x = − + (j) ( ) 9 8 75 7 3 3 4 5 7 6 5 f x x x x = − + 5 4. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( ) ( )4 3 26 5 3 7 8f x x x x x= − ⋅ + − (b) ( ) ( ) ( )5 4 3 27 8 6 9 4f x x x x x x= − + − ⋅ − + (c) ( ) ( ) ( )6 4 5 38 9 7 2 3 4f x x x x x x= − + − ⋅ − + (d) ( ) ( ) ( )3 4 5 6 59 10 8 12 3 15f x x x x x x= − + − ⋅ − + (e) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 68 7 9 5 4 3f x x x x x x x= − + − ⋅ − + (f) ( ) 3 4 5 62 3 4 5 5 2 3 2 f x x x x x = − + − + (g) ( ) 4 5 6 55 2 3 2 2 3 4 5 f x x x x x = − + − + (h) ( ) 5 6 7 82 3 4 5 3 4 5 6 f x x x x x = − − − − (i) ( ) 6 5 6 44 3 3 7 3 2 5 6 f x x x x x = − + − − (j) ( ) 8 6 7 55 4 4 8 4 3 7 9 f x x x x x = − + − − Teorema (regra do quociente). Se f e g forem deriváveis em p e se g(p) ≠ 0, então f/g será derivável em p e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f p g p f p g pf p g g p ′ ′ ′− = EXERCÍCIOS 1. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 1 2 3 f x x = + (b) ( ) 2 3 4 f x x = − (c) ( ) 3 3 4 f x x − = + (d) ( ) 4 4 5 f x x = − (e) ( ) 5 5 6 f x x − = + (f) ( ) 3 2 f x x = − + (g) ( ) 4 2 3 f x x = − (h) ( ) 2 5 7 f x x − = + (i) ( ) 5 3 2 f x x − = − (j) ( ) 6 7 1 f x x − = + 6 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 3 2 4 6 x f x x − = + (b) ( ) 2 5 4 3 x f x x + = − (c) ( ) 4 6 5 7 x f x x − − = + (d) ( ) 5 3 3 2 x f x x − = − (e) ( ) 6 9 3 4 x f x x − + = +(f) ( ) 4 1 3 5 x f x x − = + (g) ( ) 3 5 2 1 x f x x − = − (h) ( ) 6 4 7 5 x f x x − − = + (i) ( ) 3 5 4 x f x x − − = − (j) ( ) 9 6 4 3 x f x x − + = + 3. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 2 3 2 5 7 x x f x x + − = + (b) ( ) 23 5 4 3 4 x x f x x − + = − (c) ( ) 25 4 6 7 5 x x f x x − − = + (d) ( ) 22 3 5 2 3 x x f x x + − = − (e) ( ) 24 9 6 4 4 x x f x x − + = + (f) ( ) 2 2 3 2 1 6 7 5 x x f x x x + − = − + (g) ( ) 2 2 4 3 5 5 4 3 x x f x x x − + = + − (h) ( ) 2 2 6 5 4 6 5 7 x x f x x x + − = − + (i) ( ) 2 2 5 2 3 4 3 2 x x f x x x + − = − + (j) ( ) 2 2 5 8 7 7 3 4 x x f x x x − + = + − 7 Derivadas de algumas funções especiais ( ) xf x e= ( ) xf x e′ = ( ) lnf x x= ( ) 1f x x ′ = ( ) senf x x= ( ) cosf x x′ = ( ) cosf x x= ( ) senf x x′ = − ( ) tgf x x= ( ) 2secf x x′ = ( ) secf x x= ( ) sec tgf x x x′ = EXERCÍCIOS 1. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 23 xf x x e= ⋅ (b) ( ) 34 lnf x x x= ⋅ (c) ( ) 45 senf x x x= ⋅ (d) ( ) 56 cosf x x x= (e) ( ) lnxf x e x= (f) ( ) senxf x e x= (g) ( ) cosxf x e x= (h) ( ) ln senf x x x= (i) ( ) ln cosf x x x= (j) ( ) cos senf x x x= 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 25 x x f x e = (b) ( ) 43 ln 1 x f x x = + (c) ( ) 54 sen 1 x f x x = − (d) ( ) 45 cos 1 x f x x = + (e) ( ) ln xe f x x x = − (f) ( ) 1 sen xe f x x x − = + (g) ( ) cos xe x f x x x + = − (h) ( ) ln 2 sen x f x x x − = + (i) ( ) ln cos x x f x x x + = − (j) ( ) 1 cos 1 sen x f x x − = + 8 3. Seja ( ) xf x a= , onde 0, 1a a> ≠ . Sabendo que ( ) lnxf x a a′ = calcule ( )f x′ nos casos abaixo. (a) ( ) 2xf x = (b) ( ) 3xf x = (c) ( ) 4xf x = (d) ( ) 5xf x = (e) ( ) 6xf x = (f) ( ) 3 2 x f x = (g) ( ) 4 5 x f x = (h) ( ) 5 3 x f x = (i) ( ) 6 7 x f x = (j) ( ) xf x e= 4. Seja ( ) logaf x x= , onde 0, 1a a> ≠ . Sabendo que ( ) 1 ln f x x a ′ = calcule ( )f x′ nos casos abaixo. (a) ( ) 2logf x x= (b) ( ) 3logf x x= (c) ( ) 4logf x x= (d) ( ) 5logf x x= (e) ( ) 6logf x x= (f) ( ) 7logf x x= (g) ( ) 8logf x x= (h) ( ) 9logf x x= (i) ( ) 10logf x x= (j) ( ) lnf x x= 9 { { dy dx dx dt dy dt dy dy dx y x t dt dx dt → → ⇒ = ⋅ 14243 5. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 2 6 log x f x x = (b) ( ) 4 7 log x f x x = (c) ( ) 3 8 log x f x x = (d) ( ) 6 9 log x f x x = (e) ( ) 7 10 log x f x x = 2. Regra da Cadeia Sejam y=f(x) e x=g(t) duas funções deriváveis, com Im(g)⊂D(f). Temos que a composta h(t)=f(g(t)) é derivável e vale a regra da cadeia ( ) ( )( ) ( ).h t f g t g t′ ′ ′= ⋅ Na notação de Leibniz, a regra da cadeia se escreve: dy dy dx dt dx dt = ⋅ Uma maneira de fixar a regra da cadeia é fazer o seguinte diagrama: EXERCÍCIOS 1. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )422f x x= + (b) ( ) ( )163f x x= − (c) ( ) ( )1004f x x= + (d) ( ) ( )156f x x= + (e) ( ) ( )139f x x= − (f) ( ) ( )2423 4f x x x= − (g) ( ) ( )153 24 5f x x x= − − (h) ( ) ( )104 35 4f x x x= − (i) ( ) ( )55 47 8f x x x= − (j) ( ) ( )67 36 5f x x x= − 10 2. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )5 1 7 f x x = − (b) ( ) ( )7 3 8 f x x = + (c) ( ) ( )4 5 9 f x x = − (d) ( ) ( )6 2 10 f x x − = + (e) ( ) ( )7 4 14 f x x = − (f) ( ) ( )4 3 2 7 f x x = − (g) ( ) ( )6 4 3 5 f x x = − + (h) ( ) ( )5 3 4 2 f x x = − (i) ( ) ( )7 4 2 10 f x x − = − + (j) ( ) ( )9 5 2 4 f x x = − 3. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 4 3 2f x x= − (b) ( ) 6 2 3f x x= + (c) ( ) 8 5 4f x x= − (d) ( ) 9 4 7f x x= + (e) ( ) 10 9 6f x x= − (f) ( ) ( )32 1f x x= + (g) ( ) ( )76 3 1f x x= − (h) ( ) ( )58 4 2f x x= + (i) ( ) ( )49 5 3f x x= − (j) ( ) ( )610 3 5f x x= − 11 4. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )3 1 6 4 f x x = − (b) ( ) ( )54 1 7 5 f x x = + (c) ( ) ( )76 1 8 6 f x x = − (d) ( ) ( )34 3 2 1 f x x = − (e) ( ) ( )45 2 3 2 f x x − = + 5. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 2xf x e−= (b) ( ) 3xf x e= (c) ( ) 4xf x e−= (d) ( ) 6xf x e= (e) ( ) 8xf x e−= (f) ( ) 4 3 xe f x − = (g) ( ) 4 5 xe f x = (h) ( ) 5 6 xe f x − = (i) ( ) 3 7 xe f x = (j) ( ) 8 4 xe f x − = (k) ( ) 3 5xf x e= (l) ( ) 7 6xf x e−= (m) ( ) 8 5xf x e−= (n) ( ) 9 7xf x e−= (o) ( ) 10 8xf x e−= 12 6. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )ln 2 1f x x= + (b) ( ) ( )ln 3 2f x x= − (c) ( ) ( )ln 2 5f x x= − (d) ( ) ( )ln 5 7f x x= − (e) ( ) ( )ln 7 1f x x= − (f) ( ) ( )3ln 7 3f x x= − (g) ( ) ( )4ln 5 2f x x= − (h) ( ) ( )5ln 6 1f x x= − (i) ( ) ( )6ln 3 12f x x= − (j) ( ) ( )27ln 4 10f x x= − 7. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )sen 3 2f x x= + (b) ( ) ( )cos 7 3f x x= − (c) ( ) ( )sen 5 3f x x= − (d) ( ) 6cos 2 5 x f x = − (e) ( ) 5sen 3 2 x f x = + 8. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )sen xf x e= (b) ( ) ( )cos xf x e= (c) ( ) ( )sen lnf x x= (d) ( ) ( )cos lnf x x= (e) ( ) ( )sen cosf x x= 13 9. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) sen xf x e= (b) ( ) cos xf x e= (c) ( ) nl xf x e= (d) ( ) ( )ln cosf x x= (e) ( ) ( )ln senf x x= (f) ( ) ( )cos lnf x x= (g) ( ) ( )sen lnf x x= 10. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )2sen 2f x x= (b) ( ) ( )3cos 3f x x= (c) ( ) ( )4sen 5f x x= (d) ( ) 5 5cos 3 x f x = (e) ( ) 6 2sen 3 x f x = (f) ( ) 7 3cos 5 x f x = (g) ( ) 8 3sen 7 x f x = (h) ( ) 8 9cos 4 x f x = (i) ( ) 6 3sen 2 x f x = (j) ( ) 7 8cos 3 x f x = 11. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( ) ( )2 42 34 7 2 1f x x x= + + (b) ( ) ( ) ( )3 223 5 3 1f x x x= + − (c) ( ) ( ) ( )2 12 2 24 1f x x x x −−= − + (d) ( ) ( ) ( )1 22 5 4 3f x x x− −= − + (e) ( ) ( ) ( )32 32 9 4 5f x x x x= − + − 14 12. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 2 2 3 6 4 x f x x − = + (b) ( ) 3 5 2 3 4 x f x x + = − (c) ( ) 4 6 4 7 5 x f x x − − = + (d) ( ) 5 3 5 2 3 x f x x − = − (e) ( ) 6 2 5 4 x f x x − + = + 13. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) 2 3 3 4 x f x x − = + (b) ( ) 3 4 4 1 3 2 x f x x − = − (c) ( ) 4 5 1 5 x f x x − − = + (d) ( )5 7 5 3 4 1 x f x x − = − (e) ( ) 6 8 3 4 2 5 x f x x − + = + 14. Calcule ( )f x′ . (a) ( ) ( )ln 3 2f x x= + (b) ( ) ( )3 ln 4 3f x x= − (c) ( ) ( )4 ln 5 2f x x= + (d) ( ) ( )5 ln 6 3f x x= − − (e) ( ) ( )6 ln 4 1f x x= − + (f) ( ) ( )4 sen 7 3f x x= + (g) ( ) ( )5 cos 3 7f x x= − (h) ( ) ( )6 sen 3 7f x x= − (i) ( ) ( )7 cos 5 9f x x= − (j) ( ) ( )sen xf x e= 15 3. Derivação Implícita Seja ( ), 0F x y = uma equação nas variáveis x e y. Definição. A função ( )y f x= é definida implicitamente pela equação ( ), 0F x y = ,quando ( )( ), 0F x f x = . Em outras palavras, quando ( )y f x= satisfaz a equação ( ), 0F x y = . Exemplo. Seja a equação ( ), 0F x y = ,onde ( ) 3, 1F x y x y= + − ; a função 31y x= − é definida implicitamente pela equação ( ), 0F x y = , pois ( )( ) ( )3 3, 1 1 0F x f x x x= + − − = . Método do Cálculo da derivação implícita Dada uma equação que define y implicitamente com uma função derivável de x, calcula-se y′ do seguinte modo: Deriva-se ambos os lados da equação em relação a x, termo a termo. Ao fazê-lo, tenha em mente que y é uma função de x e use a regar da cadeia, quando necessário, para derivar as expressões nas quais figure y. O resultado será uma equação ode figura não somente x e y, mas também y′ . Expresse y′em função de x e y. Tal processo é chamado explicitar y’. EXERCÍCIOS 1. Admitindo que a equação determine implicitamente uma função diferenciável ( )y f x= , calcule ( )f x′ : (a) 2 2 4x y− = (b) 3 2 4y x y x+ = + (c) 2 2 3xy y+ = (d) 5y y x+ = (e) 2 24 5x y+ = (f) 3xy y x+ = (g) 2 2 2 0x y y+ + = (h) 2 3 2x y xy+ = (i) 2 28 10x y+ = (j) 3 34 2x y x− = 5y y x+ = (k) 3 2 32 1x x y y+ + = 16 (l) 2 2 25 2 8x x y y+ + = (m) 2 25 4 0x xy y− − = (n) 4 2 2 34 3 2 0x x y xy x+ − + = (o) 3 2 32 1 0x x y y− + − = (p) 4 2 33 4 4 0y x x y+ − − = (q) 2 23 4 4x y+ = (r) 2 2 33 4 12x x y y− + = (s) 4 33 4 5 1y y x x+ − = + (t) 3 2 34 5 6 0xy x y x x− + − + = (u) 4 3 3 2 4 33 5 4 2 0x y x y x y xy+ − + = (v) 5 4 4 3 5 4 2 24 6 5 3 0x y x y x y x y+ − + = (w) 4 5 3 4 5 6 3 25 7 9 11 0x y x y x y x y+ − + = (x) 3 4 5 6 7 8 9 102 3 4 5 0x y x y x y x y+ − + = 2. Admitindo que a equação determine implicitamente uma função diferenciável ( )y f x= , calcule ( )f x′ : (a) 7x y+ = (b) 4 x y x y − = (c) 23 3 4x xy y+ = (d) 3 4y y y x+ + = (e) 2xy x y+ = 3. Admitindo que a equação determine implicitamente uma função diferenciável ( )y f x= , calcule ( )f x′ : (a) ( )cosy x y= − (b) ( )seny x y= + (c) ( )cos 2 3y x y= − (d) ( )sen 4 5y x y= + (e) ( )cos 7 9y x y= − 17 4. Admitindo que a equação determine implicitamente uma função diferenciável ( )y f x= , calcule ( )f x′ : (a) ( )ln 2 4x x y= + (b) ( )ln 3 5y x y= − (c) ( )ln 9 7x x y= − (d) ( )ln 3 2y x y= − + (e) ( )ln 5x x y= − + (f) ( )5 3x y y e −= (g) ( )3 4x y x e += (h) ( )6 4x y y e −= (i) ( )3 7x y x e += (j) ( )5 3x y y e −= 4. Equação da Reta tangente A função { }( )0: , domínio de F D x D f− →ℜ = ,definida por ( ) ( ) ( )0 0 f x f x F x x x − = − , representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos ( )( ) ( )( )0 0, e ,x f x x f x . Logo, quando f é derivável no ponto 0x , a reta de coeficiente angular ( )0f x′ e passando pelo ponto ( )( )0 0,x f x é a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )0 0,x f x . Se f admite derivada no ponto 0x , então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )0 0,x f x é: ( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x′− = − . A equação da reta normal ao gráfico de f no ponto ( )( )0 0,x f x é: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 ; 0.y f x x x f x f x − ′− = − ≠ ′ 18 EXERCÍCIOS 1. Determine a equação da reta tangente em ( )( ),p f p sendo dados: (a) ( ) 4 e 1f x x p= = (b) ( ) 2 e 2f x x p= = (c) ( ) 3 e 2f x x p−= = − (d) ( ) 5 1 e 3f x p x = = (e) ( ) 6 e 1f x x p= = (f) ( ) 3 1 e 1f x p x = = − (g) ( ) 3 42 3 4 5 e 1 5 2 3 2 f x x x x p= − + − + = − (h) ( ) 8 7 65 4 3 3 4 5 e 1 2 3 4 f x p x x x = + − = (i) ( ) ( ) ( )4 3 26 5 3 7 8f x x x x x= − ⋅ + − e 1p = (j) ( ) 5 6 7 8 7 5 9 3 2 3 4 5 f x x x x x = − − − − e 1p = 2. Determine a equação da reta tangente em ( )( ),p f p sendo dados: (a) ( ) 23 e 1xf x x e p= ⋅ = (b) ( ) 34 ln ef x x x p e= ⋅ = (c) ( ) 45 sen e 2 f x x x p π = ⋅ = (d) ( ) 56 cos e 2 f x x x p π = = (e) ( ) ln e 1xf x e x p= = (f) ( ) sen exf x e x p π= = (g) ( ) cos exf x e x p π= = (h) ( ) ln sen ef x x x p e= = (i) ( ) ln cos ef x x x p π= = (j) ( ) cos senf x x x= e 4 p π = 19 3. Determine a equação da reta tangente em ( )( ),p f p sendo dados: (a) ( ) 1 e 0 4 3 f x p x = = + (b) ( ) 2 e 1 3 5 f x p x = = − (c) ( ) 3 e 0 2 4 f x p x − = = + (d) ( ) 1 e 1 4 3 f x p x = = − − (e) ( ) 5 e 0 2 3 f x p x − = = + (f) ( ) 3 2 e 1 4 6 x f x p x − = = + (g) ( ) 2 5 e 1 4 3 x f x p x + = = − − (h) ( ) 4 6 e 0 5 7 x f x p x − − = = + (i) ( ) 5 3 e 1 3 2 x f x p x − = = − (j) ( ) 6 9 e 1 3 4 x f x p x − + = = − + 4. Determine a equação da reta tangente em ( )( ),p f p sendo dados: (a) ( ) 23 e 0 x x f x p e = = (b) ( ) 42 e 1 ln 1 x f x p x = = + (c) ( ) 54 e sen 1 x f x p x π= = − (d) ( ) 23 e cos 1 x f x p x π= = + (e) ( ) e 1 ln xe f x p x x = = − (f) ( ) 1 e sen 2 xe f x p x x π− = = + (g) ( ) e 0 cos xe x f x p x x + = = − (h) ( ) ln e 1 sen x f x p x x = = + (i) ( ) ln e 1 cos x x f x p x x + = = − (j) ( ) 1 cos e 1 1 sen x f x p x − = = + 20 5. Taxa de Variação A velocidade de uma partícula que se move ao longo do gráfico da função derivável u=u(t) no tempo t é v(t)=u’(t) e representa a razão do deslocamento por unidade de variação de tempo. u’(t) expressa a taxa de variação de u(t) por unidade de tempo ( ) ( ) ( ) 0 lim h u t h u t u t h→ + − ′ = . ( )y f x= ( )dy f x dx ′=Se é uma função derivável, então é a taxa de variação de y em relação a x. EXERCÍCIOS 1. Admita que todas as variáveis sejam funções de t: (a) Se 2 e 3 dx A x dt = = quando 10x = determine dA dt . (b) Se 3 e 2 dz S z dt = = − quando 3z = determine dS dt . (c) Se 3 25 e 4 dV V p dt = − = − quando 40V = − determine dp dt . (d) Se 3 e 5 dP P w dt = = quando 9p = determine dw dt . (e) Se 2 23 2 10 e 2 dx x y y dt + + = = quando 3 e 1x y= = − determine dy dt . (f) Se 3 22 4 10 e 3 dy y x x dt − + = − = − quando 2e 1x y= − = determine dx dt . (g) Se 23 2 32 e 4 dy x y x dt + = − = − quando 2 e 3x y= = − determine dx dt . (h) Se 2 2 4 44 e 5 dx x y y dt − − = − = quando 3 e 2x y= − = determine dydt 2. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm. 3. Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 1 m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20 m. 4. Gás está sendo bombeado para um balão esférico à razão de 0,1 m³/min. Ache a taxa de variação do raio quando este é de 0,45 m. 21 5. Suponha que uma bola de neve (esférica) esteja se derretendo, com o raio decrescendo à razão constante, passando de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm? 6. Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente à razão de 1 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 2,5 m acima do solo? 7. Uma luz está no alto de um poste de 5m. Um menino de 1,6 m se afasta do poste à razão de 1,2 m/s. A que taxa se move a ponta de sua sombra quando ele está a 6m do poste? A que taxa aumenta o comprimento de sua sombra? 6. Estudo da Variação das Funções 6.1. Intervalo de Crescimento e de Decrescimento – Pontos Críticos Teorema: Seja f contínua no intervalo I. - Se ( ) 0f x′ > para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I. - Se ( ) 0f x′ < para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I. EXERCÍCIOS 1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo: (a) ( ) 3 22 2f x x x x= − + + (b) ( ) 3 28 30 24 10f x x x x= + + + (c) ( ) 3 23 1f x x x= − + (d) ( ) 3 22 1f x x x x= + + + (e) ( ) 4 3 24 4 2f x x x x= − + − + (f) ( ) 23 2 5f x x x= + − (g) ( ) 3 22 1f x x x x= − + + (h) ( ) 3 210 25 50f x x x x= + + − (i) ( ) 4 33 4 6f x x x= − + (j) ( ) 2 48 2f x x x= − (k) ( ) 1f x x x = + (l) ( ) 2 1f x x x = + 22 (m) ( ) 2 1 f x x x = + (n) ( ) 2 2 1 x f x x = − (o) ( ) 2 21 3 x x f x x − = + (p) ( ) 21 x f x x = + (q) ( ) 2 21 x f x x = + (r) ( ) 2 xf x e−= − (s) ( ) 2xf x e−= (t) ( ) 2x xf x e e= − (u) ( ) xf x xe= (v) ( ) xe f x x = (w) ( ) ln xf x x = (x) ( ) xf x x e= − 6.2. Concavidade e Ponto de Inflexão Teorema: Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem no intervalo aberto I: - Se ( ) 0f x′′ > em I, então f terá concavidade para cima em I. - Se ( ) 0f x′′ < em I, então f terá concavidade para baixo em I. EXERCÍCIOS 1. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou côncavo para baixo: (a) ( ) 3 22 2f x x x x= − + + (b) ( ) 3 28 30 24 10f x x x x= + + + (c) ( ) 3 23 1f x x x= − + (d) ( ) 3 22 1f x x x x= + + + (e) ( ) 4 3 24 4 2f x x x x= − + − + (f) ( ) 23 2 5f x x x= + − (g) ( ) 3 22 1f x x x x= − + + (h) ( ) 3 210 25 50f x x x x= + + − (i) ( ) 4 33 4 6f x x x= − + 23 (j) ( ) 2 48 2f x x x= − (k) ( ) 1f x x x = + (l) ( ) 2 1f x x x = + (m) ( ) 2 1 f x x x = + (n) ( ) 2 2 1 x f x x = − (o) ( ) 2 21 3 x x f x x − = + (p) ( ) 21 x f x x = + (q) ( ) 2 21 x f x x = + (r) ( ) 2 xf x e−= − (s) ( ) 2xf x e−= (t) ( ) 2 x xf x e e= − (u) ( ) xf x xe= (v) ( ) xe f x x = 6.3. Máximos e Mínimos Uma maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo de uma função f é estudá-la com relação a crescimento e decrescimento. Sejam a c b< < : - Se f for crescente em ]a,c[ e decrescente em [c,b[, então c será um ponto de máximo local de f. - Se f for decrescente em ]a,c[ e crescente em [c,b[, então c será um ponto de mínimo local de f. Exercícios 1. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais. (a) ( ) 3 2 2 1 3 2 x x f x x= + − + (b) ( ) 3 23 2 2 3 2 x x f x x − = − − + (c) ( ) 3 2 15 12 3 x f x x x= + − − (d) ( ) 3 24 15 5 3 x f x x x − = − − + (e) ( ) 3 23 40 3 3 2 x x f x x= + − + 24 (f) ( ) 3 26 32 7 3 x f x x x − = − − + (g) ( ) 3 29 14 26 3 2 x x f x x= − + + (h) ( ) 3 213 42 18 3 2 x x f x x − = − − + (i) ( ) 4 3 2 1 4 3 x x f x x= + − − (j) ( ) 4 3 23 3 2 3 2 x x x f x = − − + (k) ( ) 4 3 25 13 3 7 2 3 2 x x x f x = + − − (l) ( ) 4 3 23 2 18 9 2 x f x x x − = − + + (m) ( ) 4 3 23 18 1 4 x f x x x= + − + (n) ( ) 4 3 23 16 36 11 2 x f x x x= + + + (o) ( ) 4 3 25 20 40 4 2 x f x x x= − + + (p) ( ) 4 3 221 168 315 14 4 3 2 x x x f x = + + + 2. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais. (a) ( ) 1f x x x = + (b) ( ) 2 1f x x x = + (c) ( ) 2 1 f x x x = + (d) ( ) 2 2 1 x f x x = − (e) ( ) 2 21 3 x x f x x − = + (f) ( ) 21 x f x x = + (g) ( ) 2 21 x f x x = + (h) ( ) 2xf x e−= (i) ( ) 2x xf x e e= − (j) ( ) xf x xe= (k) ( ) xe f x x = (l) ( ) ln xf x x = (m) ( ) xf x x e= − 25 Teorema. Sejam f uma função que admite derivada de 2ª. Ordem contínua no intervalo aberto I e p∈I. (a) ( ) ( )0 0 é ponto de mínimo local.f p e f p p′ ′′= > ⇒ (b) ( ) ( )0 0 é ponto de máximo local.f p e f p p′ ′′= < ⇒ Se ( ) 0f p′′ = não se pode usar este teste. Em tal caso, deve-se usar o teste da derivada primeira. EXERCÍCIOS 1. Determine os extremos locais de f usando o teste da derivada segunda quando aplicável: (a) ( ) 3 22 1f x x x x= − + + (b) ( ) 3 210 25 50f x x x x= + + − (c) ( ) 4 33 4 6f x x x= − + (d) ( ) 2 48 4f x x x= − (e) ( ) 6 42 6f x x x= − (f) ( ) 5 33 5f x x x= − (g) ( ) 4 34 10f x x x= − + (h) ( ) 3 23 2 2 3 2 x x f x x − = − − + (i) ( ) 4 3 2 1 4 3 x x f x x= + − − (j) ( ) 4 3 25 13 3 7 2 3 2 x x x f x = + − − 1 PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função definida num intervalo I. Uma primitiva de f em I é uma função F definida em I, tal que ( ) ( )F .x f x x I′ = ∀ ∈ Sendo F(x) uma primitiva de f em I, então, para toda constante k, F(x)+k é, também, primitiva de f. Segue que as primitivas de f em I são funções da forma F(x)+k, com k constante. Diremos, então, que ( )Fy x k= + é a família das primitivas de f em I. A notação ( )f x dx∫ será usada para representar a família das primitivas de f: ( ) ( )Ff x dx x k= +∫ Na notação ( )f x dx∫ , a função f denomina-se integrando e referimo-nos a ( )f x dx∫ como a integral indefinida de f. EXERCÍCIOS 1. Sabendo que 1 , e 1 1 x x dx α α α α α + = ∈ℜ ≠ − +∫ calcule: (a) x dx =∫ (b) 2x dx =∫ (c) 3x dx =∫ (d) 4x dx =∫ (e) 5x dx =∫ (f) 10x dx =∫ (g) 15x dx =∫ (h) 20x dx =∫ (i) 27x dx =∫ (j) 37x dx =∫ (k) 3 1 dx x =∫ (l) 5 1 dx x =∫ (m) 7 1 dx x =∫ (n) 4 1 dx x =∫ (o) 6 1 dx x =∫ (p) 9 1 dx x =∫ (q) 11 1 dx x =∫ (r) 8 1 dx x =∫ (s) 10 1 dx x =∫ (t) 12 1 dx x =∫ 2. Sabendo que 1 1 x x dx α α α + = +∫ , e 1αα∈ℜ ≠ − calcule: (a) x dx =∫ (b) 3 2x dx =∫ (c) 34 x dx =∫ (d) 5 4x dx =∫ (e) 7 5x dx =∫ (f) 5 2x dx =∫ (g) 3 5x dx =∫ 2 (h) 9 7x dx =∫ (i) 5 7x dx =∫ (j) 3 2 1 dx x =∫ (k) 34 1 dx x =∫ (l) 5 4 1 dx x =∫ (m) 7 5 1 dx x =∫ Obs. Mostra-se que: • 1 ln , 0dx x k x x = + >∫ . 1x xe dx e kα α α = +∫• 3. Calcule: xe dx∫(a) 2xe dx∫(b) 3xe dx∫(c) 4xe dx∫(d) 5xe dx∫(e) 11 1 x dx e∫(f) 12 1 x dx e∫(g) 13 1 x dx e∫(h) 15 1 x dx e∫(i) 3 2x e dx∫(j) (k) 5 3x e dx∫ (l) 7 5 1 x dx e =∫ Teorema: Admita que f e g são funções que possuem primitivas num intervalo I. Então: ( ) ( )( ) i c f x dx c f x dx⋅ = ⋅∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ii f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ 4.Calcule: (a) ( )3 22 2x x x dx− + +∫ (b) ( )3 28 30 24 10x x x dx+ + +∫ (c) ( )3 23 1x x dx− +∫ (d) ( )3 22 1x x x dx+ + +∫ (e) ( )4 3 24 4 2x x x dx− + − +∫ (f) ( )23 2 5x x dx+ −∫ (g) ( )3 22 1x x x dx− + +∫ (h) ( )3 210 25 50x x x dx+ + −∫ (i) ( )4 33 4 6x x dx− +∫ (j) ( )2 48 2x x dx−∫ (k) 3 x dx x + ∫ (l) 2 5x dx x − ∫ 3 (m) 2 1 x dx x + ∫ (n) 3 2 43 6 3 2 x x x dx + − − ∫ (o) 4 3 25 13 3 7 2 3 2 x x x dx + − − ∫ (p) 4 3 23 2 18 9 2 x x x dx − − + + ∫ (q) 3 211 30 13 3 2 x x x dx − + − + ∫ Obs. Mostra-se que: • ( ) ( )1 cossen x dx x kα α α = − +∫ Exemplo: ( ) ( )12 cos 2 2 sen x dx x k= − +∫ ( ) ( )1cos x dx sen x kα α α = +∫• Exemplo: ( ) ( )1cos 3 3 3 x dx sen x k= +∫ 4. Calcule: sen x dx∫(a) cos x dx∫(b) ( )3sen x dx∫(c) ( )cos 4x dx∫(d) ( )5sen x dx∫(e) ( )cos 6x dx∫(f) ( )7sen x dx∫(g) ( )cos 8x dx∫(h) ( )9sen x dx∫(i) ( )cos 10x dx∫(j) 5. Calcule: ( )3 xx e dx+∫(a) ( )2x senx dx+∫(b) ( )3 cos x dx+∫(c) ( )cos5 3x sen x dx+∫(d) 2 x sen dx ∫ (e) (f) cos 3 x dx ∫ (g) 3 5 x sen dx ∫ 5 3 x sen dx ∫ (h) (i) 7 cos 3 x dx ∫ (j) 5 6 x sen dx ∫ 6. Calcule: (a) ( )24 8 1x x dx− +∫ (b) ( )29 4 3t t dt− +∫ (c) ( )3 22 3 7t t t dt− + −∫ (d) 3 2 1 3 dz z z − ∫ (e) 7 4 4 7 z dz z z − + ∫ (f) 1 3 u du u + ∫ (g) 3 2 1 5u du u − + ∫ (h) 5 1 44 42 6 3v v v dv− + + ∫ 4 (i) 2 1 x dx x − ∫ (j) 2 1 2x dx x + ∫ (k) ( )2 3x x dx+∫ (l) ( )2 3 1x x dx+∫ (m) ( )32 2x x dx− −∫ (n) ( )( )2 5 3 1x x dx− +∫ (o) ( )( )3 1 4 2x x dx− +∫ (p) ( )( )5 1 2 1x x dx− −∫ (q) 3 8 5x dx x − ∫ (r) 22 3x x dx x − + ∫ (s) 2 1 1 x dx x − + ∫ (t) 3 1 1 x dx x − − ∫ (u) ( )22 6 3t dx t + ∫ ( )2 3 2t dt t + ∫(v) 3cos 4 u du∫(w) sen 5 u du − ∫(x) (y) ( )cost t dt+∫ (z) ( )3 2 sent t dt−∫ 7. ( ) ,y y x x= ∈ℜDetermine a função , tal que: ( )3 1e 0 2dy x y dx = − =(a) ( )3 1e 1 1dy x x y dx = − + =(b) ( )cos e 0 0dy x y dx = =(c) ( ) ( )3 1e 0 1dy sen x y dx = − =(d) ( )3 e 1 0 2 dy x y dx = + − =(e) ( )e 0 1xdy e y dx −= =(f) ( )2 1 e 1 1 dy y dx x = =(g) . ( )13 e 1 2dy y dx x = + =(h) (i) ( )1 e 1 0dy x y dx x = + = (j) ( )2 1 1 e 1 1 dy y dx x x = + = INTEGRAL DE RIEMANN - PROPRIEDADES DA INTEGRAL Teorema. Seja f,g funções integráveis em [a,b] e k uma constante. Então: ( ) é integrável em [a,b] e [ ( ) ( )] ( ) ( ) . b b b a a a i f g f x g x dx f x dx g x dx + + = +∫ ∫ ∫ (ii) ( ) é integrável em [a,b] e ( ) ( ) . b b a a ii kf kf x dx k f x dx=∫ ∫ (iii) ( ) ( )Se 0 em [a,b], então ( ) 0. b a iii f x f x dx≥ ≥∫ 5 ( )Se c ]a,b[ e é integrável em [a,c] e em [c,b], então ( ) ( ) ( ) . b c b a a c iv f f x dx f x dx f x dx ∈ = +∫ ∫ ∫ Teorema Fundamental do Cálculo. Se f for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então ( ) ( ) ( ) . b a f x dx F b F a= −∫ EXERCÍCIOS 1. Calcule: (a) 3 1 3 dx − ∫ (b) ( ) 4 2 5 dx − −∫ (c) 2 1 7 2 dx∫ (d) 4 2 5 3 dx∫ (e) 0 1 3 dx − ∫ (f) ( ) 1 0 3x dx+∫ (g) ( ) 1 1 2 1x dx − +∫ (h) ( ) 2 1 3 2x dx−∫ (i) ( ) 1 0 4 1x dx+∫ (j) 1 3 0 1 5 2 x dx − ∫ (k) ( ) 1 2 2 1x dx − −∫ (l) ( ) 2 2 0 3 3x x dx+ −∫ (m) ( ) 4 2 1 4 3x x dx− −∫ (n) ( ) 3 2 2 5 6x x dx − + −∫ (o) ( ) 3 3 2 8 3 1z z dz − + −∫ (p) ( ) 0 3 1 2 3x x dx − − +∫ (q) ( ) 1 7 3 1 x x x dx − + +∫ (r) ( ) 0 7 1 3x x dx− +∫ (s) 2 5 4 1 4 5 dx x x − ∫ (t) 2 3 3 1 1 x x dx x + + ∫ (u) ( ) 2 2 0 3 1t t dt+ +∫ (v) ( ) 3 2 0 2 3u u du− +∫ (w) ( ) 2 2 1 3 1s s ds+ +∫ (x) ( ) 1 2 0 1x dx+∫ (y) ( ) 0 2 1 3x dx − −∫ (z) ( ) 1 2 0 2 1x dx+∫ (aa) ( ) 1 2 1 3 2x dx − −∫ 6 (bb) ( ) 1 2 2 0 5 1x dx−∫ (cc) ( ) 2 2 4 3 0 2z z dz−∫ (dd) 3 1 1 1 dx x + ∫ (ee) 1 2 2 1 x dx x − − + ∫ (ff) 21 2 1 x dx x − − − ∫ (gg) 3 2 1 1 5 dx x + ∫ (hh) 2 3 1 1 x dx x + ∫ (ii) 4 1 1 x dx x + ∫ (jj) 2 2 4 1 1 t dt t + ∫ (kk) 2 2 1 1 3x dx x + ∫ (ll) 9 4 3t dt t − ∫ (mm) 2 3 1 2 7t dt t − − − ∫ (nn) 4 0 x dx∫ (oo) 8 3 0 x dx∫ (pp) 1 3 1 t dt − ∫ (qq) 1 8 0 x dx∫ (rr) 2 3 1 1 dx x ∫ (ss) ( ) 4 1 5x x dx+∫ (tt) ( ) 1 4 0 x x dx+∫ (uu) ( ) 8 3 2 8 2 s ds − +∫ (vv) ( ) 0 2 3 1 s s s ds+∫ 2. Calcule: (a) 6 0 sen x dx π ∫ (b) 6 0 cos x dx π ∫ (c) 4 0 sen x dx π ∫ (d) 4 0 cos x dx π ∫ (e) 3 0 sen x dx π ∫ (f) 3 0 cos x dx π ∫ (g) 2 0 sen x dx π ∫ (h) 2 0 cos x dx π ∫ (i) 0 sen x dx π ∫ (j) 0 cos x dx π ∫ (k) 3 2 0 sen x dx π ∫(l) 3 2 0 cos x dx π ∫ (m) 2 4 sen x dx π π ∫ 7 (n) 2 cos x dx π π ∫ (o) 2 sen x dx π π ∫ 3. Calcule: (a) ( ) 6 0 sen 2x dx π ∫ (b) ( ) 6 0 cos 2x dx π ∫ (c) ( ) 2 0 sen 3x dx π ∫ (d) ( ) 2 0 cos 4x dx π ∫ (e) ( ) 2 0 sen 4x dx π ∫ (f) 2 cos 3 x dx π π ∫ (g) 2 0 3sen 2 x dx π ∫ (h) 0 cos 2 x dx π ∫ (i) 0 2sen 3 x dx π ∫ (j) ( ) ( ) 3 4 4sen 2 6cos 3x x dx π π + ∫ (k) 1 2 0 xe dx∫ (l) 0 3 1 xe dx − ∫ (m) 0 2 1 xe dx− − ∫ (n) 0 4 1 xe dx−∫ (o) 1 7 0 1 x dx e − ∫ (p) 1 3 1 1 x dx e− ∫ INTEGRAL DE RIEMANN – MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL Teorema. Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquer em I. Seja : [ , ]g c d I→ , com g’ contínua em [c,d], tal que g(c)=a e g(d)=b. Nestas condições ( )( ) ( ) ( ) . b d a c f x dx f g u g u du′=∫ ∫ EXERCÍCIOS 1. Calcule: (a) ( ) 1 10 0 1x dx−∫ (b) ( ) 0 5 1 2 1x dx − −∫ (c) ( ) 2 6 1 2x dx−∫ (d) ( ) 1 4 0 3 1x dx+∫ (e) ( ) 0 3 1 2 5x dx − +∫ (f) ( ) 1 11 0 2x dx−∫ (g) ( ) 0 5 1 3 4x dx − −∫ (h) ( ) 2 9 1 5 1x dx−∫ 8 (i) ( ) 1 14 0 2 1x dx− −∫ (j) ( ) 0 7 1 5 2x dx − − −∫ 2. Calcule: (a) 1 1 2 2 1x dx−∫ (b) 1 0 3 1x dx+∫ (c) 4 4 3 5 x dx − −∫ (d) 2 3 1 3 2x dx−∫ (e) 1 5 0 4 1x dx+∫ (f) 2 1 3 1x dx−∫ (g) 1 0 4 1x dx+∫ (h) 4 4 3 3 x dx − −∫ (i) 2 3 1 5 1x dx−∫ (j) 1 5 0 4 1x dx+∫ 3. Calcule: (a) ( ) 1 9 0 1 2 dx x −∫ (b) ( ) 0 5 1 2 3 1 dx x− − ∫ (c) ( ) 2 4 1 1 2 dx x −∫ (d) ( ) 1 5 0 3 4 2 dx x +∫ (e) ( ) 0 4 1 2 5 3 dx x− + ∫ (f) ( ) 1 8 0 1 3 dx x −∫ (g) ( ) 0 6 1 4 4 2 dx x− − ∫ (h) ( ) 2 5 1 1 4 dx x − −∫ (i) ( ) 1 7 0 2 3 4 dx x +∫ (j) ( ) 0 3 1 3 4 2 dx x− − − +∫ 4. Calcule: (a) 1 1 2 3 4 1 dx x −∫ (b) 1 0 1 2 1 dx x +∫ (c) 4 5 3 3 4 dx x− − ∫ (d) 2 3 1 1 7 2 dx x −∫ (e) 1 5 0 2 5 1 dx x −∫ (f) 2 1 8 3 1 dx x −∫ 9 (g) 1 0 3 2 1 dx x −∫ (h) 4 5 3 4 3 dx x− − ∫ (i) 2 3 1 1 2 7 dx x − −∫ (j) 1 5 0 1 4 1 dx x −∫ 5. Calcule: (a) 2 1 3 2 1 dx x −∫ (b) 1 0 1 7 1 dx x −∫ (c) 4 3 2 3 4 dx x−∫ (d) 2 1 1 2 5 dx x −∫ (e) 1 0 2 3 1 dx x −∫ (f) 2 1 2 3 1 dx x− −∫ (g) 1 0 2 6 1 dx x −∫ (h) 4 3 3 1 2 dx x−∫ (i) 2 1 5 2 3 dx x −∫ (j) 1 0 4 5 2 dx x −∫ 6. Calcule: (a) 1 2 0 3x x dx+∫ (b) 1 2 0 1x x dx−∫ (c) 1 2 0 1 2x x dx+∫ (d) 1 2 0 2 3x x dx−∫ (e) 1 2 0 5 7x x dx−∫ (f) 1 2 3 0 1 3x x dx−∫ (g) 1 2 3 0 2 1x x dx+∫ (h) 1 2 3 0 5 2x x dx−∫ (i) 1 3 4 0 7 1x x dx−∫ (j) 1 5 6 0 4 1x x dx−∫ 7. Calcule: (a) ( ) 1 5 2 0 1x x dx+∫ (b) ( ) 1 7 2 0 2 3x x dx−∫ (c) ( ) 1 3 2 0 7 2x x dx−∫ (d) ( ) 1 5 2 3 0 3 4x x dx−∫ 10 (e) ( ) 1 6 3 4 0 3 1x x dx−∫ (f) ( ) 1 7 4 5 0 9 2x x dx−∫ (g) ( ) 1 8 5 6 0 7 1x x dx−∫ (h) ( ) 1 4 6 7 0 4 6x x dx−∫ (i) ( ) 1 4 7 6 0 2 3 1x x dx−∫ (j) ( ) 1 2 8 9 0 3 2 3x x dx−∫ 8. Calcule: (a) 2 2 1 2 3 1 x dx x −∫ (b) 1 2 0 5 6 3 x dx x −∫ (c) 2 2 1 3 4 5 x dx x−∫ (d) 2 2 1 5 7 2 x dx x −∫ (e) 2 2 0 3 4 1 x dx x −∫ (f) 2 2 1 4 3 5 x dx x − −∫ (g) 2 2 1 7 4 7 x dx x − −∫ (h) 1 2 0 6 3 5 x dx x − −∫ (i) 1 2 0 6 8 1 x dx x − ∫ (j) 2 2 3 1 1 2 x dx x− ∫ (k) 1 2 3 0 4 1 x dx x − ∫ (l) 1 2 3 0 2 1 x dx x − ∫ 9. Calcule: (a) 1 2 0 2x x dx+∫ (b) 0 2 1 1x x dx − −∫ (c) 1 2 0 3x x dx+∫ (d) 0 2 1 5x x dx − −∫ (e) 1 2 0 4 2x x dx+∫ (f) 1 2 0 2 1x x dx+∫ (g) 0 2 1 3 2x x dx − −∫ (h) 1 2 0 4 1x x dx−∫ (i) 0 2 1 2 4x x dx − −∫ (j) 1 2 0 3 2 3x x dx− +∫ 11 TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO PRIMITIVAS IMEDIATAS. Seja α≠0 e c constantes reais. Das fórmulas de derivação já vistas seguem as seguintes de primitivação: c dx cx k= +∫ 1x xe dx e kα α α = +∫ cos senx dx x k= +∫ sec ln sec tgx dx x x k= + +∫ 2 sec tgx dx x k= +∫ 2 1 arctg 1 dx x k x = + +∫ ( ) 1 1 1 x x dx k α α α α + = + ≠ +∫ 1 lndx x k x = +∫ sen cosx dx x k= − +∫ tg ln cosx dx x k= − +∫ sec tg secx x dx x k= +∫ 2 1 arcsen 1 dx x k x = + − ∫ Exercícios 1. Lembrando que 1 cos senx dx x kα α α = +∫ e 1 sen cosx dx x kα α α = − +∫ , calcule: (a) cos5x dx∫ (b) sen 2x dx∫ (c) cos7x dx∫ (d) sen 3x dx∫ (e) 1 1 cos 2 2 2 x dx − ∫ (f) 1 2 sen 2 3 x dx − ∫ (g) 1 cos3 5 x x dx + ∫ (h) 1 4sen3x dx x − ∫ (i) 1 5 cos7 3 2 x dx + ∫ (j) 1 cos3 sen 4 2 x x dx + ∫ (k) 1 1 sen 2 cos3 3 2 x x dx + ∫ (l) 1 1 cos3 sen 7 3 7 x x dx − ∫ (m) 3 1 sen3 3 x e x dx + ∫ (n) 3 0 sen 2x dx π ∫ (o) 2 2 cos 2 x dx π π− ∫ (p) ( ) 3 0 sen 3 cos3x x dx π +∫ (q) 2 0 1 1 cos2 2 2 x dx π + ∫ 2. Sabendo que ( ) ( )2 1 1sen cos 2 2 2 x xβ β= − e que ( ) ( )2 1 1cos cos 2 2 2 x xβ β= + , calcule: (a) 2cos x dx∫ (b) 2sen x dx∫ (c) 2cos 2x dx∫ (d) 2sen 2x dx∫ (e) 2cos 3x dx∫ (f) 2sen 4x dx∫ 12 (g) 2 4 cos 3 x dx ∫ (h) 2 2 sen 5 x dx ∫ (i) 2 3 cos 7 x dx ∫ (j) 2 5 sen 3 x dx ∫ 3. Calcule: (a) 4cos x dx∫ (b) 4sen x dx∫ (c) ( )2sen cosx x dx+∫ (d) ( )2sen cosx x dx−∫ (e) ( )25 sen3x dx+∫ (f) ( )21 cos2x dx−∫ (g) ( )24 sen 2x dx−∫ (h) ( )23 cos5x dx+∫ (i) ( )26 sen3x dx−∫ (j) ( )27 cos 4x dx+∫ 4. Sabendo
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