239655616-Mecanica-Dos-Fluidos-FORMATADO

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 
Dt
DV
f  
 
  








t
V
vVgp ijkV  2. 
Autor: Milton César Toledo de Sá 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
NA 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
5a Edição Revista 
Belo Horizonte 
2011 
 
 2 
Milton César Toledo de Sá 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS NA ENGENHARIA CIVIL 
TÓPICOS DE MECÂNICA DOS FLUÍDOS, CALOR E MASSA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Direitos Reservado em 2005 por Milton César Toledo de Sá. Minas Gerais, Brasil. 
 
Dados de Catalogação na Publicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte, Minas Gerais. 
E-mail: bioterraengenharia@hotmail.com 
Brasil. 
Sá, Milton César Toledo de. 
 Mecânica dos Fluidos, Calor e Massa. Milton César 
Toledo de Sá (Org.) – Belo Horizonte: Produção 
Independente. 2010. 
1. Engenharia – Fenômenos de Transporte 2. Fluidos 
 3 
 
 
 
 
 4 
SUMÁRIO 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
INDICE 
SÍMBOLOS, ABREVIATURAS E FATORES DE CONVERSÃO. 
 
CAPÍTULO 1 
 Introdução à Mecânica dos fluidos e suas principais propriedades. .......................15 
CAPÍTULO 2 
 Estática dos fluidos: Pressão e Manometria............................................................33 
CAPÍTULO 3 
 Dinâmica dos fluidos: Equação da continuidade - vazão.........................................65 
CAPÍTULO 4 
 Medidores de vazão.................................................................................................89 
CAPÍTULO 5 
 Dinâmica dos fluidos: Teorema de Bernoulli..........................................................103 
CAPÍTULO 6 
 Forças Desenvolvidas por Fluídos em Movimento.................................................141 
CAPÍTULO 7 
 Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica.......................................................179 
CAPÍTULO 8 
 Transferência de Calor e Massa............................................................................203 
 
 
 5 
 
 6 
APRESENTAÇÃO 
Nesta edição substituímos alguns exercícios, efetuamos algumas correções 
gramaticais e fizemos algumas atualizações no texto. 
Alteramos o texto original para que possa ser utilizado como texto de apoio didático 
ao ensino de Mecânica dos fluidos para a Engenharia Civil, contudo poderá ser 
utilizado nas demais modalidades. 
Sendo fruto da experiência do autor em sala de aula, ao longo de duas décadas, do 
diálogo permanente com os alunos e professores. 
O seu principal objetivo é gerar um texto para ser ministrado numa só disciplina, 
enfatizando a Mecânica dos Fluidos visando fornecer pré-requisitos as disciplinas de 
Hidráulica, Saneamento, Estradas, Hidrologia e os Recursos Hídricos. 
Parâmetros condicionantes para aplicabilidade do texto: 
 Fluxos permanente (ou estacionário), unidimensional, irrotacional, fluido 
incompressível, materiais isotrópicos e sujeitos à temperatura menores de 100oC. 
A organização básica do texto apresenta-se dividida em três partes: 
Primeira parte: aborda a mecânica dos fluidos, em especial a Hidrodinâmica, a 
partir dos princípios de Fenômenos de Transporte, ou seja: o da conservação da 
massa - Equação da Continuidade e o da Conservação da Energia – Equação do 
Equilíbrio (e Navier-Stokes), com destaque para a equação da Vazão e o teorema 
de Bernoulli. E, o princípio da quantidade de movimento - Forças desenvolvidas 
enfocando o Empuxo em curvas e reduções hidráulicas. 
Segunda parte: trata da transmissão de calor e massa sob o ponto de vista da 
Equação da continuidade para fluxo permanente. 
O texto está subdividido em capítulos a fim de permitir melhor compreensão e 
assimilação do conteúdo. Em quase todos eles, encontram-se as seguintes seções: 
 Teoria – São teorias sobre o conteúdo dos tópicos 
 Aplicações na Engenharia – sugere algumas praticas que aplicam 
imediatamente a teoria exposta. 
 Problemas propostos – são elaborados para atividades em grupos para 
serem resolvidos pelos estudantes. Objetivando um melhor entendimento das 
equações matemáticas e possibilitar a apropriação da teoria. 
 7 
 Bibliografia específica – algumas sugestões de leituras sobre o assunto do 
capítulo. 
Este trabalho foi estruturado para adequar-se ao planejamento de uma disciplina de 
60 a 80 horas aula. O capítulo 1 é sobre a introdução e trata das aplicações na 
Engenharia e os Fundamentos da Mecânica dos fluidos. Devem ser estudados na 
ordem que se apresentam. Mas, é possível reunir capítulos de partes diferentes do 
livro /sob um mesmo eixo. 
Tem-se consciência que o livro didático é instrumento básico na mediação entre o 
professor e o aluno. Eles interagem através do livro. A responsabilidade é grande e 
procurou-se cumprir a tarefa de dar qualidade a essa relação. 
Motivação, inovação, qualidade são alguns princípios que guiaram a elaboração 
desse texto, esperando e desejando a todos – professor, alunos e profissionais da 
área – um bom trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Sugestão de programa para Fenômenos de Transporte 
Capítulos recomendados 
Numero 
de aulas 
Cap. 1 – Introdução. Principais propriedades físicas dos 
fluidos 
12 h/a 
Cap. 2 – Estática dos fluidos - Pressão e Manometria 08 h/a 
Cap. 3 – Equação da Continuidade – Vazão 10 h/a 
Cap. 4 – Medidores de Vazão 8 h/a 
Cap. 5 – Teorema de Bernoulli 10 h/a 
Cap. 6 – Forças Desenvolvidas por fluidos em 
movimento 
12 h/a 
Cap. 7 – Análise dimensional e semelhança dinâmica 6 h/a 
Cap. 8 – Transferência de calor e massa 14 h/a 
TOTAL DE AULAS 80 h/a 
 
Autor: Milton César Toledo de Sá 
 
BIOGRAFIA 
MILTON CÉSAR TOLÊDO DE SÁ,Esp. Graduado em Engenharia Civil em 1979. 
Atuou em execução de obras de saneamento e edificações. Sócio da empresa 
Bioterra Engenharia do ramo de Avaliação de imóveis, projeto para outorga de uso 
de água e projeto de drenagem pluvial. Professor de Hidrologia e Mecânica dos 
Fluidos. Pós-Graduado em Metodologia do Ensino Superior e em Engenharia dos 
Materiais. 
Diretor Administrativo do CREA-MG na Gestão 2004 e Conselheiro por diversos 
mandatos. 
Belo Horizonte, MG – Brasil – E-mail: bioterraengenharia@hotmail.com 
 
 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
INDICE 
 
Capítulos Página 
Cap. 1 – Introdução. Principais propriedades dos fluidos 15 
Cap. 2 – Estática dos fluidos - Pressão e Manometria 33 
Cap. 3 – Dinâmica dos fluidos - Equação da 
Continuidade – Vazão 
65 
Cap. 4 – Medidores de Vazão 89 
Cap. 5 – Dinâmica dos fluidos - Teorema de Bernoulli 103 
Cap. 6 – Forças Desenvolvidas por fluidos em 
movimento 
141 
Cap. 7 – Análise dimensional e semelhança dinâmica 179 
Cap. 8 – Transferência de calor e massa 203 
 
 
 11 
LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIATURAS 
A lista abaixo apresenta os símbolos usados neste livro. Não se pode evitar de usar 
algumas vezes a mesma letra representando mais de um conceito, em virtude da 
limitação do alfabeto. Cada símbolo é definido quando de sua utilização, não 
ocasionando, portanto, possíveis confusões. As unidades serão fornecidas no 
sistema inglês e no sistema métrico, uma vez que encontraremos exemplos e 
problemas propostos, ora num sistema, ora noutro, a fim de familiarizar o aluno com 
ambos. Nota Importante: 
Em muitos problemas as conversões para o sistema métrico não correspondem aos 
fatores de conversão exatos. Foram usados,muitas vezes, valores arredondados ou 
seu próximo, dos valores reais, a fim de se facilitarem as explicações e resoluções. 
a aceleração m/s² (ft/s²), área em m2 (ft²). 
A área em m², (ft²). 
cc coeficiente de contração. 
cv coeficiente de velocidade. 
C coeficiente (Chézy), constante de integração. 
CD coeficiente de resistência ao avanço (de forma). 
CL coeficiente de sustentação. 
d, D diâmetro em metros ou ft. 
E módulo de elasticidade volumétrica em kg/m2 ou kg/cm2 (lb/ft² ou lb/in²), 
energia específica em mkg/kg (ft lb/lb). 
f coeficiente de atrito (Darcy) para escoamento tubular. 
ft³/s f t cúbico por segundo 
F força em kg (lb). 
g aceleração da gravidade: 9,81 m/s² (32,2 ft/²). 
Pm galões por minuto. 
h altura ou profundidade, pressão ou altura de carga em metros ou ft. 
H altura total (energia) em metros ou mkg/kg (ft ou ft 1b/1b). 
HL,he perda de carga em m (ft). Algumas vezes aparecerá como LH ou h/ 
hp Horas Power = wQH/550 = 0,746 kw. 
M massa em kg (slugs ou lb s²/ft), peso molecular, 
n coeficiente de rugosidade, expoente, coeficiente de atrito nas fórmulas de 
Kutter e Manning. 
 12 
NF número de Froude. 
NM número de Mach. 
N.W. número de Weber. 
p' pressão em lb/in² ou kg/cm² 
psf. lb/ft2 
psia lb/in2, absoluta. 
psig lb/in2, manométrica. 
q fluxo unitário em m3/s/unidade de largura (ft³/s/unidade de largura) 
Q vazão em volume em m³/s (ft³/s). vazão unitária em m³/s (ft³/s). 
r qualquer ralo em m (ft). 
R constante de gases, raio hidráulico em m (ft). 
RE número de Reynolds 
 (mu) viscosidade absoluta em poises ou kg s/m² (lb s/ft²) (poises). 
 (nu) viscosidade cinemática em stokes ou m²/s (ft²/s) = g/p. 
 (rô) massa específica em kg/m³ (slugs/ft³ ou lb. S²/ft4) = W/g. 
 (sigma)tensão superficial em kg,/m (lh/ft), tensão normal em kg!m² (psi). 
 (tau) tensão cisalhante em kg/m² lbift², lb/in² (psi) ou kg/cm² 
 
LISTA DE FATORES DE CONVERSÃO 
 
1 polegada (in) = 25,4 mm. . 
1 pé (ft) = 0,305 m = 12 in. 
1 polegada³ (in)³ = 16,4 X 10-6 m³. 
1 pé³ (ft)³ = 28,3 X 10-³ m³ = 7,48 U.S. Gallon. 
1 U.S. Gallon = 37,8 X 10-4 m³ = 8,338 lb de água a 60°F 
1 ft³/s = 0,646 mgd = 448,8 gpm = 28,3 1/s. 
1 lb s/f t² (1c) = 478,7 poises. 
1 ft²/s () = 929 cm²/s. 
1 hp = 550 lb ft/s = 0,746 kw. 
1 lb = 0,454 kgf 
1 lb/ft³ = 16 kg/m³. 
 13 
1 polegada² = 6,45 X 10-4 m². 
1 ft² = 9, 3 X 10-² m². 
1 libra por pé quadrado (lb/ft²) (psf) = 4,88 kgf/m² 
1 libra por polegada quadrada (lb/in2) 
1 milha = 1.604 m 
1 mph = 1,46 ft/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
CAPÍTULO I 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO e 
PRINCIPAIS PROPRIEDADES FÍSICAS DOS 
FLUIDOS. 
 
 
 
 
Neste capítulo são abordadas algumas definições básicas 
da mecânica dos fluidos, objetivando uma melhor compreensão 
da teoria e sua relação com os conteúdos necessários à prática da Engenharia. 
 
 
 
 
Sumário 
Introdução. 
Multidisciplinaridade. 
Sistemas de Unidades. 
Principais propriedades dos fluidos. 
Classificação do escoamento. 
Problemas propostos.
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
INTRODUÇÃO 
Sob o ponto de vista macroscópico, costumamos classificar a matéria em sólidos e 
fluidos. Fluidos, são substâncias que podem escoar. Assim, o termo fluido abrange 
os líquidos e os gases. Neste texto definiremos fluido da maneira como ele é 
comumente conhecido. Assim, as mesmas leis básicas controlam os 
comportamentos estático e dinâmico tanto de líquidos como de gases, apesar das 
diferenças que, a pressões ordinárias, observamos entre eles. 
Para sólidos, que tem volume e forma definidos, formulamos a mecânica dos corpos 
rígidos. Como os fluidos mudam de forma facilmente e, no caso dos gases, tem seu 
volume igual ao do recipiente que os contem, devemos desenvolver técnicas para 
resolver os problemas da mecânica dos fluidos. Desenvolveu-se uma formulação 
especial para essas leis básicas. 
 
Desenvolvimento histórico da mecânica dos fluídos 
O entendimento dos fenômenos da natureza que envolve os fluídos é de grande 
importância ao avanço tecnológico, propiciando ao homem melhores condições de 
sobrevivência. Algumas áreas de aplicação desses conhecimentos: Medicina, 
Habitação, Máquinas, Meteorologia, Transporte, Agricultura e muitos outros setores 
onde a mecânica dos fluídos é importante. 
Apesar da mecânica dos fluídos ter sido iniciada antes de Cristo (285 – 213 AC com 
Arquimedes), somente a partir do século XVI que acontecerá o seu desenvolvimento 
devido a Hidráulica Experimental. Pouco a pouco, estudos matemáticos começaram 
a confirmar algumas teorias propostas, e no final do século XIX, firmada como uma 
ciência. 
Muitos pesquisadores se dedicaram a esta ciência e são lembrados através de 
princípios, leis, coeficientes e unidades de medida. 
Na primeira metade do século XVII, Newton enunciou as suas famosas leis do 
movimento. Pouco depois (1755), Euler estabeleceu equações diferenciais básicas 
do movimento dos fluídos. 
Importantes equações básicas sobre energia foram estabelecidas por Bernoulli. 
 17 
Após o conhecimento das proposições de Euler, distinguem-se dois grupos de 
estudiosos. Os teóricos com suas análises abstratas, e os práticos estabelecendo 
formulações com base em experimentação. A falta de comunicação entre os dois 
grupos explica a lentidão no desenvolvimento da mecânica dos fluídos como ciência 
até fins do século XIX. 
Navier (1827) e Stokes (1845), em trabalhos independentes, generalizaram as 
equações de movimento, com a inclusão do conceito da viscosidade para fluidos 
newtonianos. Tais equações são de tratamento matemático difícil. Experiências de 
Reynolds, no fim do século, começaram a elucidar possibilidades de aplicação das 
equações de Navier-Stokes, pelo estabelecimento de dois diferentes tipos de 
escoamento: laminar e turbulento. 
Foi somente no início do século XX que Prandt estabeleceu conceitos da existência 
de duas regiões nos campos de escoamento. Introduziu assim a teoria da camada 
mais próxima das fronteiras sólidas: a camada limite. Firmou a importância da 
viscosidade na camada limite a possibilidade de tratar o fluido da outra região como 
um fluido ideal. 
Hoje novas áreas estão sendo investigadas, envolvendo transferência de energia 
sob forma de calor e influências de campos magnéticos nos escoamentos. 
 
SUA MULTIDISCIPLINARIDADE 
Algumas aplicações, dos conteúdos de Mecânica dos fluidos nas áreas da 
engenharia podem ser visto na tabela 1, abaixo; 
 
Tabela 1 – A multidisciplinaridade de Mecânica dos fluidos. 
Áreas profissionais Tópicos: fluídos, calor e massa 
Construção Civil 
Fissuras por movimentações higroscópicas 
Fissuras por movimentações térmicas 
Fissuras por retração hidráulica – secagem 
rápida 
Mangueira de nível na construção civil 
 18 
Umidade em alvenaria por capilaridade 
Estruturas 
Força do vento em edificações 
Percolação no concreto – vida útil 
Geotecnia e 
Hidrologia 
Balanço hídrico 
Descarga de um rio 
Evaporação água-ar 
Percolação da água no solo 
Umidade relativa do ar 
Hidráulica e 
Saneamento 
Bloco de Ancoragem em adutoras 
Bombas de recalque (Potência e Perda de 
Carga) 
Determinação da vazão em condutos 
forçados 
Medidores (Vertedouro, Pitot, Venturi, Canal, 
etc). 
Transporte 
Drenagem superficial: Sarjeta - Fórmula de 
ManningEnvelhecimento de pavimento asfáltico. 
Fonte: Livros texto de áreas profissionais. 
 Ver referências bibliográficas. 
 
As suas implicações com a prática profissional servirão como alerta à necessidade 
em avançar no estudo das teorias específicas de cada prática. 
 
OS PROCESSOS DE ANÁLISE EM MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
 
A mecânica dos fluídos estuda fluídos em equilíbrio e fluídos em movimento e 
divide-se em: 
 Estática dos Fluídos e 
 19 
 Dinâmica dos Fluídos. 
 
Aspecto dinâmico tem-se: 
 Fluído incompressível – Hidrodinâmica e 
 Fluído compressível – Aerodinâmica. 
 
Sob a hipótese do contínuo, o comportamento dos fluídos é analisado e estabelecido 
pelos princípios: 
 Lei de Stevin – Equação da fluidostática 
 Conservação da massa - Equação da Continuidade - Vazão 
 Conservação da energia – Equação de Bernoulli 
 Quantidade de Movimento - Equação de Forças Desenvolvidas por fluidos. 
 
MÉTODOS DE ANÁLISE DE UM FENÔMENO 
Para se resolver um problema é definir o sistema que está sendo analisado. Na 
Física clássica, é bastante difundido o diagrama do corpo livre. Neste texto 
empregamos os termos superfície de controle e volume de controle. É importante 
definir o sistema de volume de controle antes de aplicar as equações de variações e 
as equações básicas. 
 
Sistema e Volume de Controle 
Um sistema físico é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável, as 
fronteiras do sistema separam-no do ambiente à volta. As fronteiras do sistema 
podem ser fixas ou móveis, contudo, não há transferência de massa através das 
mesmas. 
Num cilindro termodinâmico, o gás no cilindro é o sistema. E o cilindro „‟e o volume 
de controle. Calor poderá cruzar as fronteiras do sistema, mas a quantidade de 
matéria dentro delas permanecera‟ constante. Não há transferência de massa 
através das fronteiras do sistema. 
 20 
Enfoque Diferencial e Enfoque Integral 
As leis básicas que aplicamos ao nosso estudo dos fenômenos de transporte podem 
ser formuladas em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais ou 
finitos. Ambos os enfoques são importantes no estudo de fenômenos de transporte. 
No primeiro caso, as equações resultantes são equações diferenciais. A solução das 
equações diferenciais do movimento oferece um meio de determinar o 
comportamento de ponto a ponto do fluido. 
Freqüentemente, nos problemas em estudo, a informação buscada não requer 
conhecimento detalhado do escoamento. Nestes casos, é mais apropriado empregar 
a formulação integral das leis básicas. Usam-se volumes de controle finitos, que 
geralmente é de tratamento analítico mais fácil. 
 
UNIDADES E DIMENSÕES 
A dimensão de uma grandeza é um conjunto de variáveis básicas que influenciam 
esta grandeza e expressam o fenômeno observado. Por exemplo: 
1,0 ft (pé) = 12 in (polegada) 
Pés, polegadas, centímetros, metros são unidades, porém todas elas representam 
uma medida de comprimento - dimensão física. No estudo da análise dimensional 
as dimensões básicas são a força F, o comprimento L, o tempo T, a temperatura t e 
a massa M. 
São três os principais sistemas de unidade: (Monte uma tabela para as principais 
variáveis em Mecflu). 
 Sistema Internacional ou MKS, 
 Sistema Inglês, 
 Sistema Técnico. 
 
PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
Termos que definem o estado físico do fluído: 
Para descrevermos o movimento de fluidos, serão necessários alguns termos que 
permitam definir o seu estado físico. Esses termos descrevem suas propriedades. E, 
 21 
uma propriedade é uma característica de uma substância que tem um valor 
constante para um dado estado; como por exemplo: 
 massa específica 
 peso específico 
 viscosidade, etc. 
 
Massa específica ou densidade absoluta 
Caracteriza a quantidade de matéria que preenche o espaço. Sendo medida pela 
massa por unidade de volume. Dada pela relação abaixo: 
 = Massa / Volume 
Onde, 
Massa = kg 
Volume = m3 
  = massa especifica = kg/m3 (no sistema MKS). 
Ou, também pela relação entre o peso especifico () e a gravidade (g), ou seja: 
 = /g 
A massa especifica ou densidade absoluta é uma função escalar e contínua das 
coordenadas dos pontos do meio e, ainda, da temperatura e do tempo que não 
deixa de ser uma das definições de fluído compressível. 
 
Peso específico:  = .G 
O peso específico de uma substância é o peso da unidade de volume da substância. 
O peso específico da água para oscilações normais de temperatura (CNTP) é de 
1000 kgf/m3 (sistema técnico de unidades). 
 = Peso / volume 
Onde, 
peso = Newton (N) 
volume = m3 
 = peso especifico = N/m3 (no sistema MKS) 
 22 
Equação geral dos gases 
As propriedades de um fluído fazem parte dos domínios da Termodinâmica. No 
processo de conversão de energia no interior do fluído ou entre o fluído e suas 
vizinhanças, o estado e o movimento do fluído são afetados. Uma equação de 
estado relaciona as propriedades em qualquer etapa em que o sistema sofre 
variações. Felizmente, para o maior número das substâncias de interesse da 
Engenharia, a equação de estado possui uma forma matemática simples, por 
exemplo, 
 = f1(p,T) 
p = f2(,T) 
T = f3(p,) 
 
Estas relações funcionais são sempre verdadeiras para substâncias puras, simples e 
compressíveis, embora as equações que descrevam estas relações possam ser 
bastante simples, quando as pressões e temperaturas não forem muito elevadas. 
Para o gás perfeito; (designará o gás com o calor específico constante – gás ideal). 
Calor específico (= Joule/Kg.oC no sistema MKS) e uma característica de cada 
substância. E definido como sendo a razão entre a capacidade térmica e a massa da 
substância. (capacidade térmica e a razão entre o calor absorvido ou liberado e a 
variação da temperatura = Joule / oC no MKS e cal/oC no técnico). 
Para um gás cujas moléculas colidam de modo perfeitamente elástico, a equação de 
estado é: 
  = p/R.T 
Onde, 
  = peso específico 
 p = pressão absoluta 
 T = Temperatura absoluta (em K ou R) 
 R = Constante Universal dos gases 
Onde R é uma constante que depende somente do peso molecular do gás, T é a 
temperatura absoluta e p é a pressão absoluta. 
 23 
Valor de R para alguns gases: 
Ar, 53,36 ft/oR 
Amônia, 90,77 ft/oR 
Dióxido de Carbono, CO2, 35,12 ft/
oR 
Monóxido de carbono, CO, 55,19 ft/oR 
Hélio, H, 386,33 ft/oR 
Metano, CH4, 96,04 ft/
oR 
Oxigênio, O2, 48,29 fr/
oR 
Vapor de água, H2O, 85,80 ft/
oR 
valor de R para alguns gases 
 
A densidade relativa dos fluidos 
A densidade relativa de um corpo é um número absoluto que representa a relação 
do peso de um corpo para o peso de igual volume de uma substância tomada como 
padrão. De um modo geral é água nas CNTP, ou seja, 
1000 kg/m3 (massa específica no sistema MKS) 
10 000 N/m3 (peso específico no sistema MKS) 
62,4 lb/ft3 (peso específico no sistema Inglês) 
Se a densidade relativa de uma substancia líquida e igual a 0,750 isto significa que a 
sua massa especifica vale: 0,750 x 1000 kg/m3 = 750 kg/m3. 
 
 24 
Exemplo 
 
Ex. (01) Calcular o peso específico, o volume específico e a massa específica do 
metano a 27 oC e 9 kgf/cm2 absoluta. Considere R = 53 m/oK constante Universal 
para o metano. (Volume especìfico = e‟ o inverso do peso especifico, ou seja; Vs = 
1/). 
Solução: 
Peso específico = 
3
4
/66,5
)27273(53
10.0,9
mkgf
RT
p



 
 
Volume específico = 
kgfmVs /177,0
66,5
11 3 
 
 
Massa específica = 
3/
81,9
66,5
mutm
g


 ou = 5,66 kg/m3 (MKS) 
Sendo,utm = unidade técnica de massa. 1.0 utm = gravidade x kg 
 
CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO 
É a classificação do movimento dos fluidos, de acordo com características próprias, 
possibilitando facilitar o entendimento do estudo dos Fenômenos de Transporte. 
 
Quanto à variação no tempo: 
Escoamento permanente (ou estacionário) e não permanente. 
Se a aceleração local, v/t = 0, diz-se que o escoamento é permanente. A 
velocidade não varia com o tempo, embora ela possa variar de ponto a ponto no 
espaço. 
Por outro lado, caso haja dependência com o tempo, diz-se que o escoamento é não 
permanente. 
 25 
Esta afirmativa implica, para escoamento permanente, em que outras variáveis 
também deverão ser constantes em relação ao tempo: 
dp/dt=0; dr/dt=0; dQ/dt=0. 
Esta condição de escoamento é encontrada em problemas de engenharia hidráulica, 
onde a altura de carga permanece constante. 
 
Quanto à variação na direção 
O escoamento pode ser Uniforme e Não Uniforme. 
Uniforme: Quando a velocidade não varia em direção e intensidade de ponto a 
ponto; isto é, com o espaço.(dv/dr=0) (r = vetor espacial.), ou aceleração convectiva 
é nula. 
Esta condição implica em que outras variáveis do escoamento sejam constantes em 
relação à distância, ou dr/dt = 0, etc. 
Exemplo: Escoamento sob pressão no interior de tubulações com diâmetro 
constante. 
Não Uniforme: Permite variação com as coordenadas espaciais. Por exemplo, 
escoamento no interior de tubulações com diâmetro variado, (pontos de mudança de 
diâmetro). 
 
Quanto à variação da direção 
O escoamento pode ser laminar ou turbulento. 
Laminar: Escoamento à baixa velocidade, onde as linhas de corrente são paralelas 
entre si. 
Turbulento: Escoamento onde não ocorre paralelismo das linhas de corrente, ou 
escoamento à alta velocidade. Os escoamentos, em sua maioria, são turbulentos. 
Em sua experiência, REYNOLDS descobriu que a existência de dois tipos de 
escoamento depende da velocidade, de um comprimento característico (no caso de 
tubulações, é o diâmetro) e da viscosidade do fluido; ou seja, o parâmetro 
adimensional REYNOLDS: 
 
 26 
Escoamento uni, bi ou tridimensional 
O escoamento Unidimensional de um fluido incompressível ocorre quando a direção 
e a intensidade da velocidade é a mesma para todos os pontos. 
Entretanto, aceita-se a análise de escoamento Unidimensional quando as 
velocidades e acelerações normais ao escoamento são desprezíveis. 
Em tais casos os valores médios da velocidade, da pressão são considerados como 
representantes do escoamento como um todo e, pequenas variações podem ser 
desprezadas. 
Exemplo: o escoamento em tubulações é analisado pôr meio de princípios de 
escoamento Unidimensional, apesar do fato de que a estrutura ser tridimensional e a 
velocidade variar através das seções normais ao escoamento. 
 
Rotacional e Irrotacional 
Para um fluído ideal, no qual não existe tensão cisalhante, e, portanto não há 
torques, o movimento de partículas fluídas em torno de seus próprios centros de 
massa não pode existir. 
Tal escoamento ideal é chamado de Irrotacional. 
Caso existam considerações a respeito da velocidade angular, o escoamento é dito 
ROTACIONAL. 
 
1.1.1 Quanto a variação da densidade com o espaço 
a) Compressível: Quando a densidade é variável, 
b) Incompressível: Quando a densidade é constante. 
 
1.1.2 Escoamento aberto e fechado 
a) Escoamento aberto: O fluido escoa aberto para atmosfera. Por exemplo: 
Escoamento em canais, Escoamento envolvendo um objeto, etc. 
b) Escoamento fechado: O fluido escoa confinado no interior do volume de 
controle. Por exemplo: escoamento forçado no interior de tubulação da 
hidráulica. 
 27 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Sistemas de Unidades 
Ex. 01) Escreva as unidades das grandezas abaixo nos seguintes sistemas de 
unidades: MKS, INGLES E TÉCNICO. 
a) velocidade linear 
b) comprimento 
c) temperatura 
d) aceleração 
e) massa 
f) força 
g) massa específica 
h) peso específico 
i) vazão 
j) pressão 
k) densidade relativa 
 
Ex. 02) Determine o volume máximo da água no oceano atlântico, em km3. 
Considere a sua área como sendo 179.000.000 km2. E, profundidade máxima de 
11.000 m. 
 
Ex. 03) Determine a área do espelho d‟água do lago da pampulha (BH) em m2, 
sendo a sua área de 2,7 km2. 
 
Ex. 04) Se a profundidade média da lagoa da pampulha vale 15 m. Qual o seu 
volume médio de água em litros. 
 
Ex. 05) Para uma aeronave a 11 km de altitude a temperatura externa vale 273 ok. 
Obter em oC e em oF. 
 
Ex. 06) Converter 70 oF e 92 oF para oC. 
 
 28 
Propriedades dos fluidos 
Ex. 07) Na densidade relativa, o líquido tomado geralmente como referência é: 
a) óleo lubrificante c) o mercúrio 
b) o álcool d) a água 4ºC 
 
Ex. 08) Um recipiente em forma de paralelepípedo, com as arestas a = 80 cm, b = 
50 cm e c = 60 cm, está cheio com 216g de óleo. Calcular a massa específica (), 
peso específico (), densidade relativa (d) e volume específico (VS). 
 
Ex. 09) Calcule a densidade de uma substância liquida para um volume de 2,0 litros 
e massa de 500 g. 
 
Ex. 10) Calcule o peso especifico do liquido do exercício anterior. 
 
Ex. 11) E, a densidade relativa do liquido anterior. 
 
Ex. 12) Calcule a massa de um liquido de volume de 3 litros, para uma densidade ou 
massa especifica igual a 750 kg/m3. 
 
Ex. 13) Determine o peso especifico do liquido do exercício anterior. 
 
Ex. 14) E, a densidade relativa do liquido anterior. 
 
Ex. 15) A densidade relativa de uma substância vale 13,6. Calcule sua densidade 
absoluta ou massa especifica. 
 
Ex. 16) Calcule o peso especifico da substancia do exercício anterior. 
 
Ex. 17) Calcule o peso especifico de um gás a 27 oC e 0,8 mPa absoluta. Considere 
a constante universal dos gases, R = 53 m/ok. 
 29 
Ex. 18) A massa especifica do gás do exercício anterior. 
 
Ex. 19) A densidade relativa do gás do exercício anterior. 
 
Classificação do escoamento 
Ex. 20) Um escoamento unidimensional é 
(a) um escoamento uniforme permanente 
(b) um escoamento uniforme 
(c) um escoamento com variações desprezíveis na direção transversal 
(d) obrigado a escoar segundo uma linha reta 
(e) nenhuma das respostas anterior 
 
Ex. 21) No escoamento turbulento 
(a) as partículas do fluido movem-se de maneira ordenada 
(b) as linhas de correntes se cruzam 
(c) As linhas de corrente são paralelas entre si 
(d) uma lâmina de fluido desliza suavemente sobre outra. 
 
Ex. 22) Um escoamento turbulento geralmente ocorre em casos que envolvem 
(a) fluido muito viscosos 
(b) passagens muito estreitas ou tubos capilares 
(c) movimentos muito lentos 
(d) nenhuma das respostas anteriores 
 
Ex. 23) Um escoamento permanente ocorre quando 
a) as condições não variam com o tempo 
b) as condições são as mesmas em pontos adjacentes em qualquer instante 
c) as condições variam permanentemente com o tempo 
d) v/t é constante 
 30 
 
Ex. 24) Um escoamento uniforme ocorre 
a) sempre que o escoamento for permanente 
b) quando v/t é nulo em qualquer ponto 
c) somente quando o vetor da velocidade permanece constante em qualquer ponto 
d) quando v/s = 0 
 
Ex. 25) Uma linha de corrente 
a) é uma linha que liga os pontos médios das seções transversais do escoamento 
b) é definida somente para um escoamento uniforme 
c) coincide sempre com a trajetória da partícula 
d) é fixa no espaço, num escoamentopermanente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
CAPÍTULO II 
 
ESTÁTICA DOS FLUÍDOS: 
PRESSÃO E MANOMETRIA 
 
 
Neste capítulo serão abordados temas relacionados à hidrostática. 
Cálculo da pressão estática, o estudo da manometria como medidores de pressão e 
outros temas importantes para melhor compreensão da engenharia. 
 
SUMÁRIO 
Aspectos Teóricos 
Conservação do Momentum ou Equação do Equilíbrio. 
Lei de Stevin. 
Biografia dos principais pesquisadores da área. 
Manometria. 
Experiências em Laboratório 
Pressão atmosférica ou Barômetro de Torricelli 
Mangueira de nível na Engenharia 
Aplicações na Engenharia 
Capilaridade da água: Mecânica dos Solos 
Intrusão salina no litoral: Hidrologia 
Mangueira de nível na construção civil 
Problemas propostos 
Referência bibliográfica 
 33 
CONSERVAÇÃO DO MOMENTUM OU EQUAÇÃO DO EQUILÍBRIO 
A equação geral da Fluidostática é deduzida a partir da condição de equilíbrio para o 
fluido em repouso, ou seja; 
Da Lei de Newton, têm-se; 
 
Dt
DV
volmaF ..
 
Fazendo, 



Vol
F
f
 
Finalmente, teremos a equação do equilíbrio para uma função composta, do tipo; 
V = f(x,y,z,t) na qual a solução é dada pela derivada substantiva utilizando a regra da 
cadeia de derivação. 
 
Dt
DV
f 
 
Equação geral de Newton 
 
Estática dos fluídos – Primeira lei de Newton 
São para fenômenos nos quais o fluido permanece em repouso, ou seja, aceleração 
nula. 
 f = 0 
LEI DE STEVIN 
São para fenômenos os quais o fluido permanece em repouso, ou seja, com 
aceleração nula. Vale afirmar que as forças externas estão em equilíbrio. 
Podemos escrever que para uma massa fluida, as forças por unidade de volume 
serão: força de pressão (F = p.A) 
força peso (P = .vol) 
Logo, podemos escrever a lei de Newton do equilíbrio na forma abaixo: 
 34 
0. 

gp  
Lembrando que é necessário conhecermos a natureza de  e de g. Integrando a lei 
acima para o eixo dos y, tem-se: 
p = - .g 
 dp/dy = - .gy 
 dp = - .g.dy 
A lei acima terá a seguinte expressão, conhecida como Lei de Stevin para a pressão 
estática. 
dygdp .. 
 
 35 
BIOGRAFIA: 
Simon Stevin 
(1548 - 1620) 
Matemático, mecânico e engenheiro militar, flamengo nascido em Bruges, a quem 
se deve a popularização do uso do sistema decimal de frações, o que viabilizou o 
uso divisionário das moedas, pesos e medidas em geral. . Filho ilegítimo de ricos 
cidadãos, pouco se sabe do início de sua vida. Sabe-se que depois dos vinte anos 
de idade viajou pela Noruega, Polônia e Prússia e, na volta, estabeleceu-se na atual 
Holanda. Passou a estudar em Leiden (1581) e dois anos depois entrou para a 
universidade local na qual, após formar-se, passou a ensinar matemática. Publicou 
De thiende (1585), de grande influência na engenharia, na prática comercial e na 
notação matemática e de grande popularidade na época. Foi nomeado para um 
poderoso posto no exército holandês (1593), por ordem do príncipe De Nassau, o 
que contribuiu para se tornar um grande engenheiro militar e assumir outros postos 
importantes no governo até sua morte, em Haia. Sua matemática foi sem dúvida 
valiosa para o desenvolvimento do algebrismo. Sua contribuição científica ao 
desenvolvimento da mecânica também foi notável. Na sua obra destacam-se três 
importantes publicações, todas editadas em Leiden e em holandês (1586): Princípios 
de estática, uma espécie de continuação dos trabalhos de Arquimedes (teoria da 
alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados), 
Aplicações de estática e Princípios de hidrostática, uma notável contribuição ao 
estudo da hidrostática, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de 
corpos mergulhados em água e a explicação do paradoxo da hidrostática - pressão 
independente da forma do recipiente. Influenciado pelas teorias de Da Vinte, 
pesquisou o comportamento hidrostático das pressões, divulgando o princípio do 
paralelogramo das forças. Enunciou o princípio dos trabalhos virtuais (1608). Sua 
genialidade abrangia os mais variados campos do conhecimento, pois também 
escreveu pequenos tratados estabelecendo aplicações práticas de alguns princípios 
mecânicos, sobre acampamentos e fortificações militares, eclusas e barragens, a 
força dos ventos e moinhos de vento, astronomia copernicana, direitos civis e 
escalas musicais. 
Quadro 10 – Biografia Simon Stevin 
Fonte – www.sobiografia.hpg.com.br 
 36 
Exemplo 
Exercício: Determinar o gradiente de pressão em relação ao eixo vertical y, para 
uma altura de 10 m; considerar o fluido compressível para uma densidade variando 
de acordo com a função: (y)=3y
2 +4y [kg/m3]. 
Supor gy= 9,81 m/s
2. Resp.:1,1772.104 N/m2 
Solução: 
Aplicando a equação: dp = - gdy 
dyydp y 


 
10
0
2
4381,9
 
Resposta 
p = 1,1772 N/m2 
 
Condição de fluído incompreensível 
Incompressível é o fluído cuja densidade permanece constante, aplicando esta 
condição na equação anterior, teremos a equação para fluído incompressível; ou 
seja, 
dygdp .. 
Onde, 
  = constante em relação a y 
 g = constante (aceleração da gravidade) 
Integrando de y1 a y2 (diferenca de alturas), tem-se; 
 
y
y
dyg
p
p
dp
2
1
2
1
.. 
p = g.y 
p2 - p1 = g(y2 - y1) 
 
 37 
Quando, 
p1 = 0 
p2 = p 
y2 - y1 = h 
teremos, 
p = .g.h 
 ou, equação para a pressão efetiva (manométrica, medida, gage) 
ygp  .. 
Onde, 
 p = pressão 
  = massa específica do líquido 
 g = gravidade 
 
Pressão absoluta: 
É a soma da pressão efetiva com a pressão atmosférica local. 
Equação para a pressão absoluta: pabs. = pef. + patm. 
 
Considerando fluído compressível 
Compressível é o fluído cuja densidade pode variar com temperatura e/ou pressão. 
 
Hipótese A: condição isotérmica -Temperatura constante 
A pressão será calculada pela seguinte expressão: 
p = po . e
(- h / RT) 
Onde, 
 R = constante Universal dos gases 
 T = Temperatura absoluta 
 p = pressão final 
 38 
 po= pressão inicial 
 h = altura entre os pontos de pressão final e pressão inicial. 
 
Hipótese B: condição adiabática - Temperatura variável 
A pressão será calculada pela seguinte expressão: 
 
p[( 1-k) / k] = po 
[( 1 - k ) / k ] - [( 1 - k) / k ] [(o. h) / po
1 / k] 
Onde, 
k = coeficiente adiabático, relacionado ao calor específico. (Tabelado) 
  = peso específico dos gases. 
 
Exemplo 02 
Traçar o diagrama de pressão devido à água (h=2,0 m) e a lama (h=0,5 m) no fundo 
e nas laterais, de acordo com a figura abaixo. 
Figura– problema resolvido sobre Lei de Stevin – perfil transversal de um rio 
 
Solução: 
 p1 = 0 
p2 = H20 . h 
= 1 000 . 2 
= 2 000 Kgf/m2 
 39 
p3 = p1 + p2 + L . hL 
= 0 + 2 000kgf/m2 
+ (1,5 . 1 000kgf/m3). 0,5 m 
 p3= 2 750 Kgf/m
2  pressão no fundo, efetiva. 
Figura - diagrama de pressão – Lei de Stevin 
 
MANOMETRIA 
Um dos métodos convenientes para medir pressão consiste em determinar o 
deslocamento produzido pelo fluido no interior de uma coluna de um tubo 
transparente em forma de U - manômetro. 
Para medir pressões elevadas, normalmente, usa-se Mercúrio como fluído 
manométrico. 
A mangueira de “Nìvel de Pedreiro” é um Manômetro diferencial contendo água. 
Veremos no final deste capítulo. 
A figura abaixo mostra um esquema de um medidor manômetro.São dois tipos de manômetros: 
 Manômetro Analógico ou Metálico 
 40 
 Manômetros diferenciais ou de Mercúrio 
Figura- Manometria - manômetro diferencial 
 
Roteiro de cálculo da pressão em manômetros diferenciais: 
No ponto “A” no interior da tubulação. 
Aplicando a equação (anterior) do Fluído Incompressível, teremos: 
 No nível BC as pressões são iguais, 
 pB - pC = ( yB - yC)  yB = yC 
Logo, 
 pB = pC  No mesmo Nível. 
 pB = pA + e . h1 e pC = patm. + m.h2 
Igualando as equações, 
 pA + e . h1 = patm. + m . h2 
Logo, 
pA = patm. + m . h2 - e . h1 
Equação da pressão absoluta 
ou, 
pA = m .h2 - e . h1 
Equação da pressão efetiva. 
 41 
Onde 
 m = peso específico do fluído manométrico 
 e = peso específico do fluído em escoamento 
 42 
Exemplo 03 
Calcule a pressão em A, no interior da tubulação, se a pressão em B vale 2,0 psi. 
Considere os dados da figura abaixo. (densidade relativa = 1,2) 
Figura 12 - Manometria -Tubulação com manômetro diferencial instalado 
Aplicando a equação para fluído Incompressível: 
 pC = pD  
pC = pA + o . (10/12) 
 pD=pB + Hg .(10/12) 
Igualando as equações; teremos, 
 pA + o(10/12) = pB + Hg(10/12) 
 pA = pB + (Hg - o) . 10/12 
 pA = pB + (dRHg - dRo) . 10/12 . água 
 pA = 2,0 . 144 + (13,6 - 1,2) . 10/12 . 62,4 
= 932,77 lb./ft2(ou psf) 
 pA = 932,77 : 144 = 6,477 lb./in
2 
 (ou psi); 
 pA = 6,477 . 0,07 Kgf/cm
2 
 = 0,4534 kgf/cm2 
 43 
EXPERIENCIAS EM LABORATÓRIO 
1. Pressão atmosférica pelo Barômetro de Torricelli 
2. Nivelamento na construção civil pela mangueira de nível 
 
 
1ª Experiência: 
Pressão Atmosférica Através do Barômetro de Torricelli 
 
Princípio 
A clássica experiência de Torricelli é reproduzida. A pressão atmosférica é expressa 
em altura (h= 760 mm a nível do mar) de coluna de mercúrio (13600 kg.m-3) em 
equilíbrio em uma cuba e um tubo transparente. 
Quando este experimento é realizado em Belo Horizonte, a altura da coluna de 
mercúrio será menor. A determinação desta altura é o objeto deste experimento. 
Aparato experimental: 
 Cuba de vidro; 
 Tubo cilíndrico de vidro transparente de 1,0 metros de comprimento fechado em 
uma das extremidades; 
 Mercúrio; 
 Escala graduada em milímetros e mesa de apoio para o experimento. 
Procedimento experimental 
1. Preencher completamente com mercúrio o tubo de vidro. 
2. Colocar mercúrio na cuba até uma altura para que seja possível mergulhar a 
ponta do tubo de vidro junto com um dedo. 
3. Com um dado fechando completamente a extremidade aberta do tubo de vidro, 
emborcá-lo na cuba. 
4. Uma vez mergulhado e completamente na vertical, liberar a extremidade imersa 
no mercúrio. 
 44 
5. Utilizando a escala graduada em milímetro e com o tubo de vidro encostado em 
seu apoio, medir a distância entre a superfície livre do mercúrio na cuba e a parte 
superior do menisco de mercúrio no tubo de vidro. 
Experimentação 
Ler a altura do mercúrio no barômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - Imagem do experimento do Barômetro de Torricelli 
Fonte: secundária 
 45 
2ª EXPERIÊNCIA: 
Mangueira de Nível na Engenharia 
Princípio 
O principio físico empregado é o da Lei de Stevinl. 
Aparato experimental 
 Mangueira de nível, transparente. 
 Água pura. 
 Trena. 
 Giz. 
Procedimento experimental 
1. Encher completamente a mangueira com água. 
2. Antes de usá-la manter as extremidades tapadas. 
3. Dois alunos um em cada extremidade, sendo que um marcará um ponto fixo e 
outro receberá este ponto através do nível da água na mangueira, o qual será 
marcado com giz. 
4. Elaborar um croqui com medidas de comprimentos e alturas. 
5. Demonstrar pela Lei de Stevin o princípio físico utilizado no nivelamento 
topográfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES NA ENGENHARIA 
Capilaridade da água: Mecânica dos Solos 
Intrusão salina no litoral: Hidrologia 
Mangueira de nível na construção civil 
 47 
 48 
O FENÔMENO DA CAPILARIDADE 
Fonte: BAUER (1985) – Materiais de Construção 
 
A importância dos Fenômenos Capilares; 
 Estradas: Na construção de pavimentos rodoviários. Assim, por exemplo, se o 
terreno de fundação de um pavimento é constituído por um solo siltoso e o nível 
freático está pouco profundo, a fim de evitar que a água capilar venha a 
prejudicar a estabilidade do pavimento a ser construído, tornam-se necessárias 
certas precauções, quer substituindo o material siltoso por outro de menor grau 
de capilaridade, quer construindo sub-bases adequadas. 
 A Contração: dos solos é também explicada pelos fenômenos capilares. À 
medida que a água vai sendo evaporada, irão surgindo forças capilares, que 
aproximam as partículas. Essa pressão capilar, que cresce à medida que se 
evapora a água, explica desse modo, a contração dos solos durante o seu 
processo de perda de umidade. 
O efeito CAPILAR produz movimento da água em solos estreitamente compactados. 
É uma conseqüência da tensão superficial. Mergulhando tubos de pequenos 
diâmetros em um líquido com contato com o ar, a superfície do líquido junto à 
parede deixa de ser plana, para torna-se côncava e elevada se o líquido molha as 
paredes (água e vidro), e convexa e deprimida se o líquido não os molha (mercúrio e 
vidro). 
Ascensão ou depressão num tubo capilar é dada por: 
A força de tensão superficial na vertical deve suportar o peso da coluna de fluído. 
Aplica-se a condição de equilíbrio Newtoneano.  F = 0 
Tensão superficial (ascendente) – peso do volume (descendente) + força devida à 
pressão (ascendente) – força devida à pressão (descendente) = 0 
d
h
.
sen.4



 
Onde, 
 49 
 = tensão superficial da água, por unidade de linha de contato entre a água e 
o tubo. 
 = ângulo de contato. Considera-se 90o para um tubo limpo. 
d = diâmetro, 
 = peso específico do líquido 
Ou, para fins práticos: 
 = 0,0764 g/cm 
 = 0o 
Daí, a expressão para o cálculo da altura capilar máxima. 
Lei de Jurin: 
d
h
306,0
max 
 
Com d em cm. 
A elevação (h) é inversamente proporcional ao diâmetro do capilar. Assim, nos solos 
finos (siltosos e argilosos), os quais têm vazios de diâmetro reduzido, a altura capilar 
será maior do que nos solos grossos (pedregulhos e arenosos); para os primeiros, h 
pode atingir valores da ordem de 30 m ou mais. Para estudos mais completo, o 
estudante deverá pesquisar em livros especializados sobre Mecânica dos solos. 
 50 
INTRUSÃO SALINA NO LITORAL 
Fonte: CROSTA, Álvaro P. (2000) – Recursos Hídricos, 
No litoral, a água subterrânea e descarregada no mar sob condições normais, uma 
vez que o lençol freático mergulha em direção ao nível do mar (figura abaixo). As 
rochas submersas no mar geralmente possuem em seu interior água subterrânea 
salgada, derivada da água do mar. O limite entre a água subterrânea doce e água 
subterrânea salgada geralmente mergulha em direção ao continente a partir da 
costa, existindo uma cunha de água subterrânea salgada, de maior densidade, 
situada debaixo da água subterrânea doce, menos densa, situada debaixo do 
continente. Este fenômeno é chamado de intruso salina. A profundidade abaixo do 
nível do mar dessa interface entre a água subterrânea doce e salgada em qualquer 
local, h2, na figura, depende da altura do lençol freático acima do nível do mar, h1. 
Ao longo dessa interface, as pressões devidas à carga da água do mar mais densa 
e a água docemenos densa estão em equilíbrio. Em qualquer ponto da interface ou 
lente (por exemplo, no ponto de h2, na figura) a pressão devida a água salgada 
devera ser igual à pressão devida a água doce (Lei de Stevin). 
Figura 2 - perfil de uma intrusão salina ao longo do litoral. A escala vertical 
encontra-se exagerada. Fonte: Desenho – Prof. Milton. 
h2 = 40h1 
Pressão da água doce = pressão da água salgada 
d.g.(h1+h2) = s.g.h2 
Onde, 
 d = densidade da água doce 
 51 
 s = densidade da água salgada 
 g = aceleração da gravidade 
 h1 = profundidade do lençol freático ao nível do mar 
 h2 = profundidade da lente 
rearranjando a equação, para h2, 
h2 = [d/(s - d)].h1 
Como d = 1000 kg/m
3 e s e tipicamente igual a 1025 kg/m
3, 
h2 = 40h1 
Isso significa que se o lençol freático próximo ao litoral e , digamos, de 5 metros 
acima do nível do mar (h1 = 5 metros), 
então 
h1 + h2 = 5 + (40x5) = 205 metros 
e, portanto, a água subterrânea salgada deve ser encontrada a uma profundidade de 
205 metros abaixo do lençol freático. 
Se as densidades da água doce e salgada variar, da mesma forma irá variar a razão 
de 40 para 1 de h2 para h1. Isso pode ocorrer nos locais onde a água salobra forma 
a interface com a água doce. A interface entre água subterrânea doce e salgada não 
e, geralmente uma zona, com pelo menos alguns metros de espessura, em que as 
águas doce e salgada se misturam. A água nessa zona é menos salgada do que na 
água do mar, isto e, trata-se de uma água salobra. O nível do mar sobe e desce com 
as marés, e ocorre uma variação na taxa de descarga da água subterrânea doce no 
mar. Esses fatores acarretam mudanças na posição dessa interface e podem causar 
a mistura de água doce e salgada. 
Intrusões salinas podem se tornar um problema nos locais em que grandes 
quantidades de água doce são extraídas dos terrenos próximos ao litoral. Sob 
condições normais, a água subterrânea doce e descarregada no mar, mas se a água 
subterrânea for abstraída em excesso em regiões próximas a costa, a água 
subterrânea doce e impedida de descarregar no mar e água subterrânea salgada 
penetra por baixo do continente. Se o nível do lençol freático for rebaixado devido as 
altas taxas de abstração (se h1 for reduzido), de modo que os poços podem 
eventualmente vir a ser preenchidos por água salgada, tornando-se imprestáveis 
 52 
para o abastecimento de água doce. Esse tipo de problema pode se tornar grave em 
ilhas de pequenas dimensões, conde existem normalmente corpos de água 
subterrânea, formato de lentes, devido às intrusões salinas ao redor da ilha (ver 
figura a seguir). 
 
Figura 3 - Intrusões salinas ao redor do litoral de uma ilha, produzindo um 
corpo de água doce em formato de lente embaixo da ilha. 
Fonte: Desenho – Prof. Milton 
 
 53 
MANGUEIRA DE NÍVEL NA ENGENHARIA 
Fonte: secundaria 
Se você quiser saber se o piso da sua cozinha está em nível, faça o seguinte: 
arranje uma mangueira de plástico transparente e encha-a de água. Coloque as 
suas extremidades em dois cantos da cozinha e marque, com um lápis, o nível da 
água. Meça, com um metro ou uma fita métrica, a altura de cada nível da água. Se 
as duas alturas forem iguais, é porque o piso está no nível certo. 
 
Figura - Uso da mangueira de nível na construção civil - Fonte: secundaria 
 
Princípio físico utilizado na mangueira de nível; 
Pode-se classificar o fluído quanto a sua variação de densidade em compressível: o 
fluído que pode variar sua densidade com a temperatura e/ou pressão exemplo, os 
gases. E, incompressível os fluídos líquidos, como por exemplo, a água. 
Como sabemos na mangueira de nível usa-se água no seu interior, para esse fim. 
Quando as duas pessoas estão segurando em cada extremidade, é importante 
mantê-las abertas ao ar atmosférico; pois, com isso, está assegurado que a pressão 
numa extremidade é igual na outra. Logo, a água das extremidades está nivelada; 
pois, num mesmo nível as pressões são iguais, de acordo com a Lei de Stevin. 
ygp  .. 
Lei de Stevin, 
Onde, 
 p = variação de pressão 
 54 
  = massa específica do líquido 
 g = gravidade 
 y = altura da coluna do líquido 
O fenômeno da mangueira de nível e explicado pelo equilíbrio de pressões num 
determinado ponto, ou seja, a pressão em (A) será igual a pressão em (B) 
pA = pB 
(a mangueira devera estar aberta ao ar atmosférico) 
Aplicando na Lei de Stevin 
yg  ..0 
 
y0
 
Logo  yA = yB 
Conclusão 
Os pontos A e B estão no mesmo nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Pressão barométrica 
Ex. 01) Calcule a pressão barométrica em psi a uma altitude de 4 000 ft se a 
pressão ao nível do mar é de 14,7 psi. Considere isotérmica a 70 oF. Resp.: 12,7 psi. 
 
Ex.02) Um barômetro acusa 30 in de Hg. 
a) Qual é a pressão atmosférica? 
b) Qual é a pressão efetiva no fundo de uma piscina de 10 ft de profundidade? 
c) Qual é a pressão absoluta neste local? 
d) Traçar o diagrama de pressão efetiva no fundo e nas laterais. 
 
Gradiente de pressão 
Ex. 03) Calcular o Gradiente de pressão em relação ao eixo vertical y, para uma 
altura de 10 m; considerar o fluido compressível para uma densidade variando de 
acordo com a função: (y)=3y
2 + 2y + 8 [kg/m3]. 
Supor gy=10 m/s
2.Resp: 1,18.104 N/m2 
 
Ex. 04) Determine a pressão absoluta a uma profundidade de 6,0 m abaixo da 
superfície livre de um volume de água. Se um barômetro indica 760 mm de Hg. 
Resp.: 1,6 . 104 kgf/m2. 
 
Manometria 
Ex. 05) Determine a pressão manométrica em A devida à deflexão do mercúrio, no 
manômetro U mostrado na figura abaixo. Resp: 25 200 N/m2. 
 56 
 
Figura – Manometria – problema proposto, manômetro diferencial em U. 
 
Ex. 06) Um óleo de densidade 0,750 escoa através de um bocal indicado na fig. 
abaixo e causa a deflexão do mercúrio no manômetro U. Determine o valor de h se 
a pressão em A é de 1,5 kgf/cm2. Resp.: 1,21m 
Figura – Manometria – problema proposto, manômetro diferencial em U, instalado. 
Fonte: secundaria 
 
Ex. 07) Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A e B em um tubo 
horizontal, no qual escoa água. A deflexão do mercúrio no manômetro é 576 mm, o 
nível mais próximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferença de pressão 
entre as seções A e B em kgf/m2. 
Resp.: 7250 kgf/m2. 
 
 57 
Lei de Stevin (pressão estática) 
Ex. 08) Um reservatório está cheio de água, cujo nível encontra-se na Elevação 750 
m. Em seu fundo há uma válvula para seu esvaziamento, cujo eixo encontra-se na 
Elevação 745 m. Nestas condições, e sabendo-se que o datum é o nível do mar 
(Elevação 0,00m), pode-se afirmar que a carga de pressão efetiva (piezométrica) de 
um ponto localizado na superfície líquida do reservatório é igual a: 
a) 0,00 m c) 745 m 
b) 5,00m d) 750m 
 
Ex. 09) Determinar o esforço resultante que atua sobre uma válvula borboleta de 
diâmetro igual a 800 mm, situada na cota 360,00m em relação à profundidade, num 
reservatório de água cuja superfície livre está na cota de Elevação 400,00m. Resp.: 
197 141,8 N 
 
Ex. 10) (Determine a pressão em uma profundidade de a) 6,0 m de água; b) h = 1,0 
m; c)h = 1,0 m de óleo de d = 0,8. 
 
Ex. 11) Que profundidade de óleo, densidade 0,750, produzirá uma pressão de 28 
N/cm2. Resp. 38,06 m. b) Qual a profundidade em água? Resp.: 28,5 m. 
 
Ex. 12) Determinar a pressão atmosférica a nível do mar onde hHg = 760 mm. Resp.: 
101321,604 N/m2. 
 
Outros: 
Ex. 13) Considerando o tanque da Figura com óleo (d=0,8)e água. Determine as 
pressões efetiva e absoluta nos pontos 1, 2 e 3. Considere a pressão atmosférica 
1,0kgf/cm2. 
 
 58 
 
 
Ex. 14) Se um manômetro de uma caldeira indica 4,12atm e se a pressão 
atmosférica local é dada por um barômetro que marca 700 mm de mercúrio, calcular 
(em atm) a pressão absoluta na referida caldeira. 
 
Ex. 15) Realizando-se a experiência de Torricelli em Belo Horizonte, obteve-se a 
medida de 690 mm para coluna de mercúrio. Calcular a pressão atmosférica local 
em kgf/cm2. 
 
Ex. 16) No alto de um prédio há um reservatório que fornece água a diversas peças, 
inclusive a uma torneira. Esta se encontra a 18m abaixo da superfície livre do 
reservatório. Calcular a pressão da água ao nível da torneira (suposta fechada). Dar 
a solução em atm, em kgf/m2 e em kgf/cm2. 
 
Ex. 17) No esquema da Figura ao lado, determinar: (a) a carga total efetiva do 
sistema, quando o nível do mar é tomado como datum (plano de referência); (b) a 
carga total absoluta do sistema, admitindo que a pressão atmosférica absoluta seja 
igual a 1 kg/cm2 em relação ao mesmo datum; (c) as cargas de posição e 
piezométricas dos pontos A e B; (d) as leituras, kgf/cm2, que seriam fornecidas por 
manômetros que fossem instalados em A e B. 
 59 
 
Ex. 18) A água que abastece uma indústria é inicialmente encaminhada até um 
reservatório principal cujo nível máximo encontra-se na elevação 450m. Daí ela é 
encaminhada até um reservatório intermediário, cujo nível d‟água encontra-se 5,00m 
abaixo do nível máximo do primeiro. Esse último reservatório abastece um hidrante, 
instalado na elevação 430,0m. Qual pressão d‟água nesse hidrante? 
 
Ex. 19) Para se conhecer a altitude do ponto mais baixo de uma adutora que 
abastece, por gravidade, uma cidade, fechou-se o registro existente em sua 
extremidade de jusante e instalou-se em manômetro naquele local. O manômetro 
indicou a pressão de 5,0 Kgf/cm2. Sabendo-se que o nìvel d‟água na extremidade de 
montante da adutora encontrava-se, naquele momento, na altitude 385m. Calcule a 
altitude do ponto mais baixo da adutora. 
 
Ex. 20) Um tubulão a ar comprimido está sendo escavado no interior do leito de um 
rio. Sabendo-se que o fundo do tubulão encontra-se a 20 metros de profundidade e 
que, desse total, os 5 últimos metros são constituído de uma camada de lodo, cuja 
densidade relativa é igual a 1,3. Qual pressão que deve ser introduzida no interior do 
tubulão para mantê-lo seco? 
 
Ex. 21) No esquema da Figura ao lado, o peso do êmbolo (A) é 3000kgf e o do 
êmbolo (B) é 200kgf. O Líquido contido entre os êmbolos é óleo de peso específico 
850 kgf/m3. Pergunta-se: Há equilíbrio nesta instalação? Se não houver, em que 
êmbolo deve ser aplicado uma força vertical para baixo de modo a restabelecer o 
equilíbrio e qual deve ser o valor desta força? 
 60 
 
 
 
 
Ex. 22) Em certo instante, o manômetro metálico, instalado na entrada de uma 
bomba, registra o vácuo (ou sucção) de 262 mm de mercúrio. Obter: 
I) a pressão efetiva (em mca e em kgf/cm2); 
II) a pressão absoluta (em kgf/cm2). Considerar a pressão atmosférica 1,0kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
Ex. 23) Um manômetro de mercúrio é instalado na entrada de uma bomba, figura ao 
lado. Mede-se a deflexão do mercúrio, encontrando-se (hm=0,4m). Determinar as 
pressões efetiva e absoluta no eixo da tubulação de sucção sendo (Hg=13600 
kgf/m3) e o líquido succionado a água (água=1000kgf/m
3). Considere (Patm
abs=1,0 
kgf/cm2). 
 61 
Ex. 24) Um manômetro de tubo em U está conectado, através de orifícios, à placa 
indicada na figura abaixo. Considerar o peso específico do ar desprezível. 
a) Para p1 = 45 psi e p2 = 32psi, determine densidade relativa do fluido do 
manômetro. 
b) Se o fluido do manômetro for o mercúrio e se p1 = 60 psi. Determine a pressão 
manométrica p2. 
 
 
Ex. 25) Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado 
a um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio da Figura, ficando sua 
superfície livre em nível com eixo do encanamento. Sendo h = 74 mm a deflexão do 
Hg, calcular a pressão efetiva em B (em kgf/m2, kgf/cm2 e mca) 
 
Ex. 26) Em um tubo vertical há óleo (d = 0,92) em situação estática, isto é, sem 
escoar, Figura abaixo. Determinar a pressão (em Kgf/cm2) que se lê no manômetro 
metálico instalado em C. 
 
 
 
 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Geral Vol. I e II. 1985. 
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal. 
BRUNETTI, FRANCO. Curso Mecânica dos Fluidos. 2a ed. 1985. Apostila. São 
Paulo. SP. 
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introdução a Mecânica dos Fluidos – 
Purdue University 1 998, 4a edição revista , LTC Rio de Janeiro Brasil. 
GILES, R.V. Problemas de Mecânica dos Fluidos - S.P. Schaum Editora Santuário 
SCHIOZER, DAYR. Mecânica dos Fluidos. 2a ed.1996. Editora LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ. 
SMITH, ª J. WARD. Internal Fluid Flow. 1980. 
IANA, MARCOS ROCHA. Mecânica dos Fluidos para Engenheiros. 3a ed. 1998 –
UFMG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 64 
CAPÍTULO III 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE – VAZÃO 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da Continuidade na sua forma diferencial e integral. 
 
 
 65 
 
 
 
 
 
 
 66 
INTRODUÇÃO 
Na análise e nos projetos de bombas, turbinas e muitos outros dispositivos 
hidráulicos, o conhecimento das forças exercidas, bem como os princípios da 
conservação da física são de grande importância no estudo do movimento dos 
fluidos. 
São eles: 
 Principio da Conservação da Massa: Equação da Continuidade gerando a 
Equação da Vazão. 
 Principio da Conservação da Energia: Equação de Euler gerando o Teorema 
de Bernoulli. 
 Principio da Conservação da Quantidade de Movimento: 2a Lei de Newton: 
Na aerodinâmica: Força de Arrasto, Força de Sustentação. 
Na hidrodinâmica: Força do Jato, Empuxo em curva e reduções. 
 
DESCRIÇÃO DE UM CAMPO DE ESCOAMENTO 
No estudo de fluxos seja ele de calor, elétrico ou de massa é comum idealizar um 
volume de controle do espaço, objetivando determinar quantidades que 
atravessaram o mesmo. 
Em transferência de calor 1,0 m2 de alvenaria com espessura “x” pode ser um 
volume de controle, para aplicar a Lei de Fourier. 
Na física moderna uma superfície fechada (Gaussiana) é utilizada para calcular o 
fluxo elétrico pela Lei de Gauss. 
Na descrição de um campo de escoamento são utilizadas linhas imaginárias - Linhas 
de corrente - no estudo dos Fenômenos de Transporte. Um feixe de linhas 
caracteriza o tubo de corrente que define o volume de controle. 
Aplicando-se o princìpio da conservação da densidade “J” de fluxo de temperatura, 
concentração mássica, velocidade, para uma simulação matemática, tem-se a 
equação diferencial, que governa o fenômeno da Transferência de Calor, Massa e 
da Quantidade de Movimento. 
Equação geral da continuidade, apresentada nos capítulos anteriores; 
 67 
0
'




t
P
EJ q
 
A Variação da densidade “J” de um fluxo através do volume de controle + Grandeza 
“q” representando um ganho ou uma perda, no interior do volume de controle + 
Variação da Energia no tempo = terá que ser igual a zero. 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE; 
Considerando fluxo permanente. 
 
Ou seja, para uma condição permanente e conservativa(sem variação de energia) 
do sistema têm-se: 
000 J 
A equação geral, na sua forma reduzida (ou simplificada), ficará; ·. 
J = 0 
Aplicando a equação da continuidade para um campo de velocidade, tem-se; 
A Lei geral da conservação do campo de velocidade ficará; 
(.V) = 0 
Ou, 
(.V)A = 0 
E, fazendo, 
  = operador matemático 
 J = q/A (fluxo por unidade de área) 
q = .V (campo de velocidade) 
 = densidade absoluta 
V = velocidade de escoamento 
 
 68 
Equação da Continuidade na forma diferencial para fluido incompressível ( = 
constante); 
Da equação anterior e considerando a densidade absoluta como uma constante, 
tem-se; 
0








k
z
w
j
y
v
i
x
u 
Ou, em função da área transversal, tem-se; 
0... 








Ak
z
w
Aj
y
v
Ai
x
u 
 
5.3.2 Equação da Continuidade na forma integral; 
Aplicando a mesma equação anterior em apresentação na forma integral, tem-se; 
 
CS
dAnV 0...
 
Onde, 
 = densidade absoluta ou massa específica 
V = velocidade 
n = vetor normal ou versor 
A = área A da superfície de controle 
CS = Superfície de controle. 
 
 
 
 V 
 
 
 
Figura de uma SC 
 69 
Exemplo 
 
Ex. (1). Calcular o fluxo hidráulico no interior de uma tubulação, se a V= 16 r2 [i], 
[m/s]. O raio do tubo vale 20 cm. 
 
Solução esperada: 
Equação da continuidade, 
 
CS
dAnV 0...
 
 Sendo, 
 dA = r.dr.ds  em coordenadas cilíndricas 
 Área (A) v = 16r 
 
r r 
 
eixo X 
 
 Figura 15 – Seção longitudinal de uma tubulação - variação da velocidade 
 
Resolvendo a equação da continuidade, tem-se; 
 dQ =  |V|.|1|.cos 0.dA 
 Q = 16r2|i.|1|i.1.r.dr.ds 
 Q = 16r2.r.dr.ds = 16r3.dr.ds 
Q = C.ds 
Onde, C = 16r3.dr 
 C = 16[r4/4]0,2 
 C = 4[0,2]4 = 0,0064 
 
 70 
Integrando ds, tem-se; 
Q = 0,0064ds, 
ds  variando de 0 a 2 rad 
Resposta: 
Q = 0,04 m3/s 
 
RESOLVENDO PELA HP-48 
 
Fazendo, dA = rdr.ds 
dQ = 16r3.dr.ds Nos intervalos: 0  s  6,28 e 0 r  0,2 
 
[Roxa] [ENTER] 
[] [Q] 
[Roxa] [0] (sinal de =) 
[Verde] [cos] 
[0] [] [6,28] [] 
[Verde] [cos] 
[0] [] [0,2] [] 
[16] [x] (vezes) [] [Roxa] [r] 
[yx] [3] [] [] 
[] [Roxa] [R] 
[] [] 
[] [s] [] 
 
Para obter a resposta: 
[EVAL] [EVAL] [EVAL] 
Q = 0,04 m3/s 
 
 71 
Exemplo 
 
Ex. (2). Resolver o exercício anterior, considerando a V= 4r [i][m/s] - Resp.: Q = 0,05 
m3/s 
 
Espaço para a solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 72 
VAZÃO EM CONDUTOS FORÇADOS 
 
Fazendo a equação igual à vazão mássica, tem-se; 
.V.n.dA = M (= vazão mássica) 
E, sua apresentação na forma integral, será; 
 
CS
M 0
 
Aplicando-a desde A até B, no interior da tubulação, onde o fluido escoa, tem-se; 
M2 - M1 = 0 
Ou, 
M1 = M2 = Constante 
Conclusão.: Para um sistema conservativo, a vazão não varia; contudo, a velocidade 
poderá variar, em função da área da seção transversal do tubo. 
 
 
Figura 16 – Seção longitudinal de um tubo - equação da vazão 
 73 
RESUMO DAS FÓRMULAS PARA DETERMINAÇÃO DA VAZÃO; 
 
 Equação da Vazão Mássica em Kg/s 
M = 1.A1.v1 =2. A2.v2 
 Equação da Vazão em Volume em m3/s 
Q = A1.V1 = A2.V2 
 Equação da Vazão em Peso em N/s 
G= .Q 
Onde, 
 G =vazão em peso, em Kgf/s ou N/s 
  = peso específico do fluido, em kgf/m3 ou N/m3 
 Q = vazão em volume, em m3/s 
A = área transversal do tubo 
 = densidade absoluta ou massa específica 
 
 74 
Exemplo 
 
Ex. (03) Determinar a vazão em volume, quando a água escoa no interior de um 
tubo de diâmetro igual 100 mm com uma velocidade de 10 m/s. 
Solução; 
Q = A.v 
Q = [3,14.(0,1)2 /4].10 = 0,0785 m3/s = 78,5 litros/s 
 
 
Ex. (04) Qual a vazão em peso do ar, quando ele escoa no interior de um tubo de 
diâmetro igual a 100 mm, com uma velocidade de 10 m/s. Considere o peso 
específico do ar igual 1,2 kgf/m3. 
Solução; 
G = .Q 
G = 1,2 . 0,07 = 0,09 kgf/m3 
 
 
 
 
 
 
 75 
APLICACOES NA ENGENHARIA 
 
1. Coeficiente de permeabilidade do solo: Hidrologia, Mecânica dos Solos e Estradas 
2. Taxa de infiltração no solo: Hidrologia e Mecânica dos Solos 
3. Vazão do rio: Hidrologia 
4. Vazão em condutos forçados: Hidráulica 
 
 
COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE (k) DO SOLO – LEI DE DARCY - ENSAIO 
DE LABORATÓRIO 
Fonte: Garcez e Acosta – (1988) - Hidrologia 
Permeabilidade é a propriedade dos solos que indica a maior ou menor facilidade 
que os mesmos oferecem à passagem da água através de seus vazios. E, é 
numericamente expressa pelo “coeficiente de permeabilidade, k” cujo conhecimento 
é importante para o movimento da água no solo. 
 Solo impermeável é quando k  10-8 cm/s  Argila 
 Concreto de alto resistência ou mármore, k  10-12 cm/s 
A determinação experimental do coeficiente de permeabilidade, k foi obtida em 
1856pelo Eng. Francês Henry Darcy, por meio da seguinte experiência: 
Ele observou que numa determinada amostra de solo submetida a um fluxo laminar 
a vazão (Q) era proporcional ao produto da área A da seção da amostra, medida 
perpendicularmente ao fluxo, pela relação H/L, denominada gradiente hidráulico (i). 
Ou seja; 
Q  A.(H/L) 
Chamando, 
 = coeficiente de proporcionalidade 
E, fazendo 
 = k = coeficiente de permeabilidade do solo 
Tem-se; 
 76 
Q = k. A.(H/L)  Lei de Darcy para percolação laminar 
Ou, 
Q = k.A.i 
E, 
V = k.i 
 
 
Figura - Imagem do permeâmetro de coluna variável - Fonte: secundária 
 
 77 
Exemplo: 
Numa sondagem de solo a percussão concomitantemente foi efetuada um ensaio de 
percolação para determinar o coeficiente de percolação, k do solo (utilizado tanto em 
Hidrologia quanto em Mecânica dos Solos). Deve-se manter o furo do solo 
permanente cheio com água durante um intervalo de tempo. Pois, a vazão que entra 
(água adicionada pelo laboratorista) deverá ser igual à vazão que irá percolar no 
solo. Foi iniciado após a saturação do solo. Considere o diâmetro do furo no solo 
igual 6,35 cm. 
De acordo com o quadro abaixo, pede-se para determinar o coeficiente de 
permeabilidade k do solo. 
No de 
Ord. 
Hora Tempo (min) 
Volume 
(litro) 
1 11h05min 0 - 
2 11h06min 1 0,370 
3 11h07min 1 0,370 
4 11h08min 1 O,320 
5 11h09min 1 0,320 
6 11h10min 1 0,280 
7 11h11min 1 0,290 
8 11h12min 1 0,280 
9 11h13min 1 0,260 
10 11h14min 1 0,250 
11 11h15min 1 0,290 
 - 10 3,030 
Quadro – Ensaio a percussão para percolação da água no solo 
 Fonte: secundaria 
Nota: Considere: y1 = 50 cm; y2 = 2,0 m e L = 3,0 m.
 78 
Figura da Sondagem à percussão; 
 
 
 Y1 
 
 Tubo 
 
 Y2 
 h 
 
 
 
 Solo 
 L 
 
Figura – sondagem para percolação da água 
 Fonte: secundaria 
 
Solução; Da Lei deDarcy 
Q = k. A.(H/L) = (3,03.10-3 m3/10.60 seg) = k. [3,14 (6,35.10-2)2 / 4].2,5/3,0 
Resposta; 
k = 1,91.10-3 m/s = 1,91.10-5 cm/s 
 
 
 
 
 
Q (vazão 
adicionada) 
Q (vazão que sai 
por percolação) 
 79 
TAXA DE INFILTRAÇÃO DO SOLO – INFILTRÔMETRO, ENSAIO DE CAMPO. 
Fonte: Garcez e Acosta – (1988) - Hidrologia 
O infiltrômetro consiste basicamente de dois cilindros concêntricos e um dispositivo 
de medir volumes da água aduzida ao cilindro interno. Tubos curtos de 200 mm a 
1,0 metros de diâmetro cravados verticalmente no solo, de modo que fique uma 
pequena parte livre (altura). 
A água infiltrada no solo deverá ser reabastecida pelo laboratorista; ou seja, a 
VAZÃO que sai deverá ser igual à VAZÃO que entra. 
O estudo da infiltração do solo é de grande utilidade em Hidrologia, Mecânica dos 
Solos e Meio Ambiente. 
 
 
 
 
Solo 
 
 
 D 
Figura - infiltrômetro no solo 
 Fonte: secundaria 
 
Determinação da taxa de infiltração (f); 
Da equação da vazão, tem-se; 
Q = A.V  V = Q/A 
Fazendo 
 V = f (taxa de infiltração, em m/s), tem-se, portanto, a equação da taxa: 
 f = Q/A 
Exemplo; 
Q(entra) 
Q(sai por 
infiltração) 
 80 
Quadro do volume de água consumida 
Hora Tempo (min) Volume (litros) 
10h00min 0 - 
10h01min 1 0.22 
10h02min 1 0.22 
10h03min 1 0,19 
10h04min 1 0,19 
10h05min 1 0,18 
TOTAL 5 1,00 
Quadro – volume de água consumida no solo – infiltrômetro 
 Fonte: secundaria 
Pede-se: Calcular a taxa de infiltração (f) do solo em cm/s; 
 
Solução: 
De, 
Q = Volume/Tempo 
Tem-se; 
Q = 1,0 litro / 5 min = 0,200 litros/seg. = 0,2.10-3 m3/s 
A = 3,14(0,2)2 / 4 = 0,0314 m2 
f = Q/A = 0,2.10-3 / 0,0314 m2 = 6,36.10-3 m/s = 6,36.10-5 cm/s 
 81 
VAZÃO DO RIO – HIDROLOGIA 
Fonte: Garcez e Acosta – (1988) – Hidrologia 
 
 L1 L2 L3 L4 L5 
 
 
 V20% Sendo: 
 Pa Pp L= largura 
 V80% P= profundidade 
 
 
Figura – Seção transversal do rio – descarga. 
 
 Fórmula da descarga (vazão) 
iiVAQ 
 
Teoria básica para descarga em rio; 
Fórmula da descarga (vazão) 
iiVAQ 
 
2
0
080
0
020 VV
V


 
2
pp
p
pa
m


 
LpA imi i.
 
 
 
 
 
Seção Trans-
versal do Rio 
 82 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE SIMPLIFICADA - VAZÃO 
Ex. (01) Quando 30 litros/seg. escoam através de um tubo de 200 mm de diâmetro, 
que depois é reduzido para 100 mm, quais serão as velocidades em cada tubo? 
Resp.: 0,955 m/s e 3,82 m/s respectivamente. 
 
Ex. (02) Em um tubo de 0,150 m escoa ar sob uma pressão manométrica de 0,2 
MPa e uma temperatura de 27 oC. Se a pressão barométrica for de 0,1 MPa e a 
velocidade for de 3,0 m/s, quantos quilos de ar pôr segundo estarão escoando? 
Resp.: 0,181 kg/s. 
 
Ex. (03) Qual o menor diâmetro de um tubo necessário para transportar 0,101 kg/s 
de ar com uma velocidade máxima de 6,0 m/s? O ar está a 27 oC e sob uma pressão 
de 0,2 MPa absoluta. 
Resp.: 0,153 m ou 153 mm. 
 
Ex. (04) Qual a vazão em litros/s, quando um tubo enche de água um tanque cúbico 
de 1,5 m de altura, em 10 minutos? 
 
Ex. (05) Verificar se a equação da continuidade para fluido incompressível em 
escoamento permanente é satisfeita quando as componentes da velocidade são 
expressas pôr: 
 u = 2x2 - xy + z2 
 v = x2 - 4xy + y2 
 w = -2xy - yz + y2 
Resp.: Satisfaz. 
 
Ex. (06) Para encher uma garrafa plástica de um litro com a água de um bebedouro, 
consumiram-se 20 segundos. Calcular a vazão desse aparelho em L/s, m3/s e ft3/s. 
 83 
Resp.: 0,05L/s; 5 . 10-5 m3/s; 1,76 . 10-3 ft3/s 
 
Ex. (07) Debaixo de um chuveiro coloca-se um balde com 6 litros de capacidade. 
Aberto o registro do chuveiro, na posição normal para um banho, mede-se o tempo 
de 30 segundos para se encher o balde. Obter a vazão desse chuveiro em L/s, m3/s 
e ft3/s 
Resp.: 0,2 L/s; 2 . 10-4m-3/s; 7,06 . 10-3ft3/s 
 
Ex. (08) Uma tubulação conduz 2400 litros de água por segundo. Determinar seu 
diâmetro para que a velocidade do líquido não ultrapasse 2m/s. 
Resp.: D >= 1,236m 
 
Ex. (09) Em um determinado projeto industrial estabelece-se que U deve ser maior 
ou igual (>=) a 1,2 m/s, a fim de evitar a deposição de algumas partículas sólidas em 
suspensão (o que ocorreria sob velocidade muita baixas). Fixada a vazão em 0,06 
m3/s, calcular o diâmetro máximo da tubulação. 
Resp.: D <= 0,252m 
 
Ex. (10) Mantendo a vazão Q e substituindo a tubulação de diâmetro D1 por outra de 
diâmetro D1/2, mostrar que a velocidade U fica quadruplicada. 
 
Ex. (11) Em um certo projeto estabelece-se, como velocidade média do líquido, o 
valor máximo de 4m/s. Escolhendo tubos com diâmetro D = 600mm, obter a vazão 
máxima (em m3/s). 
Resp.: Q = 1,13m3/s 
 
Ex. (12) A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3m figura abaixo. Em 
cada ponto da seção transversal do conduto, a velocidade é definida por v = 1,8 – 
20x2, sendo x a distância do referido ponto ao centre O da seção. Calcular Q. 
Resp.: Q = 0,254m3/s 
 84 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. (13) Com o raio do tubo e vazão em volume do problema anterior e com

 = 
1000 kg/m3, e g = 9,81m/s2 calcular: 
a) a vazão em peso 
Resp.:QP = 2491,74 N/s 
b) a vazão em massa 
Resp.: QM = 254Kg/s 
c) velocidade média do escoamento. 
Resp.: V = 0,9m/s 
 
Ex. (14) Água que escoa através da bifurcação mostrada na figura ao lado. Qual a 
velocidade na seção 3 para escoamento unidimensional (isto é, escoamento onde as 
propriedades do fluído podem ser espessas em termos de uma coordenada de 
espaço e tempo). 
Resp.: V3 = 0,93 m/s 
 
Figura do problema 
 
Figura do problema 12 
 85 
 
 
Ex. (15) Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável devida ao uso 
de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 60 mm de diâmetro, é de 
7,5L/s. Determinar a velocidade de escoamento. 
Resp.: V = 2,65m/s 
 
Ex. (16) Um tubo de 6" transporta 2,87 ft3/s de água. O tubo ramifica-se em 2 tubos, 
um de 2" de diâmetro e o outro de 4" de diâmetro. Se a velocidade no tubo dê 2" é 
40 ft/s, qual é a velocidade no tubo de 4"? 
Resp.: 22,9ft/s 
 
Ex. (17) Quando 1800 l/min escoam através de um tubo de 200 mm de diâmetro, 
que mais tarde é reduzido para 100 mm, quais serão as velocidades médias nos 
dois tubos? 
Resp.: 12,5m/s 
 86 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Geral. Vol. I e II. 1985. 
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal. 
 
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introdução a Mecânica dos Fluidos – 
Purdue University 1 998, 4a edição revista, LTC Rio de Janeiro Brasil. 
 
GILES, R.V. Problemas de Mecânica dos Fluidos – S.P. Schaum Editora Santuário. 
 
SCHIOZER, DAYR. Mecânica dos Fluidos. 2a d.1996. Editora LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ. 
 
SHAMES, IRVING HERMAN, Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blucher, 1973. 
São Paulo. Ed. Universidade de São Paulo. 
 
VIANA, MARCOS ROCHA. Mecânica dos Fluidos para Engenheiros. 3a d. 1998 – 
UFMG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8788 
CAPITULO IV 
 
 
 
 
Medidores de Velocidade e Vazão 
 
 
 
 
 
Sumário 
Vazão através dos seguintes medidores: 
Orifício 
Tubo de Pitot 
Vertedouro 
Canal 
Tubo de Venturi 
Medição a Vau. 
 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90 
ORIFÍCIOS 
Medidor de velocidade através de furo na lateral de um tanque aplica-se o teorema 
de Bernoulli. 
Figura – Tanque com orifício lateral 
 
Cálculo da descarga (Q) ou Vazão pelo orifício; 
Vazão teórica 
Q = A2.V2 
Vazão real 
Q = c(A2.V2) 
Onde, 
c = coeficiente de descarga 
c = perda devido à passagem pelo orifício 
 
Cálculo da velocidade na saída do orifício (vena contráctil) 
Teorema de Torricelli: 
ghV 22 
 
 
 91 
Ex. 1) Um orifìcio padrão de 4” de diâmetro descarrega água sob uma altura de 
carga de 6,0 m. Qual é o fluxo em m3/s? 
Solução: 
Aplicando a equação para o cálculo da velocidade na saída do orifício; 
ghV 22 
 
Teremos para a velocidade; 
6.8,9.2V
 = 
E, para a descarga; 
Q = c.(A2.V2) 
Onde, 
0,594 para um diâmetro de 4” e h = 6 m (20 ft), retirados em tabelas. 
smQ /;10.05,56.81,9.2)1,0(
4
1
594,0 322 





 
 
 
TUBO DE PITOT 
O tubo de PITOT indica a velocidade em um ponto, em virtude do fato de que ele 
mede a pressão de estagnação. Em um Canal Aberto uma vez que a pressão 
manométrica é nula, a altura a que o líquido sobe no tubo mede a taquicarga (v2/2g) 
ou pressão cinética. 
Figura - Tubo de Pitot 
 
 
 92 
Fórmula para cálculo da velocidade de escoamento; 
A fórmula da Henri Pitot (Parisiense); 
ghV 2
 
Onde, 
h = altura na qual a água subirá através do tubo de PITOT ou diferença nas 
alturas de pressão 
 g = aceleração da gravidade 
 V = velocidade de escoamento do fluído. 
 
Ex. 2) Um tubo de Pitot tendo um coeficiente de 0,98 é usado para medir a 
velocidade da água no centro de um tubo. A pressão de estagnação (na entrada do 
Pitot) é de 18,6 ft e a altura de carga estática no tubo é de 15,5 ft. Qual é a 
velocidade? 
Solução 
Aplicando a fórmula para o cálculo da velocidade de escoamento pelo tubo de Pitot; 
)5,156,18(81,9.298,02  ghCV
 
Resposta 
 V = 13,8 ft/s
 93 
VERTEDOURO 
Os vertedouros medem o fluxo de líquidos em canais abertos, usualmente água. 
Tipos conhecidos de vertedouros: 
 Triangular isósceles (90o) (Thomson) 
 Retangular: Livre e Contraído (Francis) 
 Trapezoidal (Cipolleti) 
 
Triangular isósceles 
A descarga (Q) é dada pela fórmula de Thomson, desenvolvida pelo Teorema de 
Bernoulli, em escala métrica, será; 
HCQ
2/5
..5,2
 
com c variando de: 
C = 0,6 para H  30 cm e C = 0,65 para H  30 cm 
E, 
Fazendo, 0,56 x 2,5 = 1,4 
 
equação da vazão; 
HQ
2/5
4,1
 
 
Figura – Vertedouro triangular 
 
 94 
Retangular Livre 
Cálculo da descarga (Q) pela Fórmula de Francis em escala métrica. 
 Q = m.b.H3/2 
Onde, 
m= 2/3.c.(2g) 
Q = 1,92.b.H3/2 para c = 0,65 
 
Figura – Vertedouro retangular livre 
 
 95 
CANAL 
Introdução 
Canal aberto é um conduto no qual o líquido escoa com uma superfície livre sujeita à 
pressão atmosférica. O escoamento é causado pela inclinação do canal e da 
superfície livre do líquido. 
O escoamento Permanente e Uniforme refere-se à condição na qual a profundidade, 
declividade, velocidade e seção transversal permanecem constantes para um dado 
comprimento de canal (Escoamento normal). 
Figura - canal retangular 
 
Equação para o número de Reynolds 
O número de Reynolds (

VL
RE 
) recebe pequenas modificações, 

RV
RE
4

 
Onde: 
R= Raio Hidráulico, 
V= Velocidade, 
 = viscosidade cinemática. 
 
Fórmula de Chézy para velocidade considerando o escoamento permanente e 
uniforme; 
RSCV  
 96 
Onde, 
V = velocidade 
R = raio hidráulico 
S = declividade do canal 
C = coeficiente do canal 
f = coeficiente de atrito 
f
g
C
8

 
Para escoamento laminar, 
RE
f
64

 
 
Fórmula de Manning para descarga 
Fórmula de Manning nas unidades métricas, para cálculo da Descarga (Q) é, 
SRA
n
Q
2/13/21

  em unidades métricas 
ou, para a velocidade média; Q/A = 
Vm = (1/n). R
2/3.S1/2 
E, a descarga em unidades inglesas; 
SR
n
AQ
2/13/2486,1







 
Onde, 
n = fator de rugosidade 
S = inclinação 
R =A/P = raio hidráulico 
P = Perímetro molhado 
A = Área da Seção transversal 
 97 
q = vazão unitária 
b = largura do canal 
 
Valores (n) da fórmula de Manning 
No Natureza das paredes n 
1 Vidro liso 0,010 
1 
Reboco de cimento liso e águas não 
completamente limpas. 
0,013 
2 De terra sem vegetação. 0,016 
3 
Cimento rugoso, musgo nas paredes e traçado 
tortuoso. 
0,018 
4 
De terra, com vegetação rasteira no fundo e nos 
taludes. 
0,025 
5 Rios naturais, cobertos de cascalhos e vegetação. 0,035 
Tabela– Valores de (n) na formula de Manning 
Fonte: Manual de Hidráulica - Azevedo Neto Vol. II. 6a ed. 
 
Exemplo 
 
Ex. 04) Em um laboratório hidráulico, um fluxo de 0,41 m3/s foi verificado em um 
canal retangular de 1,2 m de largura com 0,6 m de profundidade de escoamento. Se 
o declive do canal era de 0,000 4 m/m, qual o fator de rugosidade para o 
revestimento do canal ? 
Dados do problema: 
 Q = 0,41 m3/s (descarga ou vazão) 
 L = 1,20 m (Largura do canal) 
 H = 0,60 m (profundidade) 
 S = 0,000 4 (declividade do canal) 
 98 
Pede-se: 
n = rugosidade da parede interna do canal devida ao seu material de 
acabamento 
Solução: 
 Aplicando a fórmula de Manning para o cálculo da descarga (Q), teremos; 
 em unidades métricas: 
    2
1
3
2
2/13/2
0004,0
60,0.220,1
60,0.20,1
60,0.20,1
1
41,0
1








n
A
n
Q SR
 
Resposta; n = 0,0157 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 99 
TUBO DE VENTURI 
Aparelho medidor de velocidade de escoamentos de fluidos, utilizando um tubo 
manométrico em forma de U. 
Figura – Tubo de Venturi. 
 
Cálculo da descarga (Q) Vazão no estrangulamento; 
Vazão teórica 
Q = A2.V2 
Vazão real 
Q = c.(A2.V2) 
c = coeficiente “c” do venturi 
0,96  c  0,98 
Cálculo da descarga (Q) Vazão no estrangulamento; 
 



















4
1
2
2
1
21
D
D
dR
V
gh
Hg 
 
 
 
 
 100 
Ex. 05) Quando o fluxo de água através de um medidor Venturi horizontal de 12”x 6” 
(c =0,95) é de 3,93 ft3/s, qual será a deflexão do mercúrio no manômetro diferencial 
fixado ao medidor? 
Dados do problema: 
 Diâmetros: 12” e 6” 
 c = 0,95 , Q = 3,93 ft3/s 
Pede-se: 
 hm = altura manométrica 
Solução; 
Cálculo da velocidade de escoamento pela equação da vazão ou equação da 
continuidade: 
Q = c.A.V = 0,95.[(1/4).3,14(6/12)2.VB 
VB = 21,08 ft/s 
Substituindo a velocidade na fórmula do Venturi, 
   








































44
1
2
2
12
12
12
6
1
81,9.2.16,13
08,21
1
21 hgh
D
D
dR
V
Hg = 0,513 ft 
Daí, 
Resposta; h = 0,513 ft ou 6,16 in 
 
 101 
IMAGENS DE ALGUNSMEDIDORES 
 
Figura – Imagem do Tubo de Venturi e do manômetro diferencial de mercúrio 
Fonte: secundaria 
 
Figura - Imagem do córrego do Sarandi – em frente à toca da raposa – B. H. / MG 
Fonte: secundaria 
 
 
 
 
 
 
 102 
CAPÍTULO V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE BERNOULLI E SUAS APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE I 
 Teorema de Bernoulli 
 Potência de Bomba de Recalque 
 
PARTE II 
 Perda de Carga e Número de Reynolds 
 103 
 104 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE I 
Teorema de Bernoulli 
Potência de Bomba de Recalque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 106 
INTRODUÇÃO 
Para um estudo completo do escoamento dos fluidos, muitas vezes é necessário 
recorrer à condição de equilíbrio ou segunda Lei de Newton, que origina o Princípio 
da Energia e o Princípio da Quantidade de movimento linear. 
 Principio do Equilíbrio, originando: 
 O da Conservação da Energia  Originando a Equação de Euler e o 
Teorema de Bernoulli, que serão estudados neste capítulo. 
 O da Conservação da Quantidade de Movimento Linear, que será assunto do 
próximo capítulo, em Aerodinâmica e Hidrodinâmica. 
 
PRINCÍPIO DO EQUILÍBRIO 
Para a Equação de Euler e o Teorema de Bernoulli 
Equação do equilíbrio ou segunda lei de Newton. 
 F = m.a 
fazendo, 
f =  F /vol. = força por unidade de volume, tem-se; 
 f.vol = m.a 
Lembrando que, 
 = m/vol 
 f.vol = (.vol).a 
A equação ficará, 
 f = .a 
Substituindo a aceleração “a” pela aceleração substantiva ou total. Função 
composta, pois; v = f(x,y,z,t). 
a = Dv/Dt 
Tem-se a Lei de Newton; 
 
Dt
Dv
f 
 
 107 
Na qual, o termo f correspondem aos esforços externos devido à pressão, 
gravidade e atrito viscoso atuantes no volume de controle, no caso, um cubo 
elementar e inserido na equação anterior, esta se apresentará na forma da equação 
do item seguinte. 
 
EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES 
 
Dt
DV
Vgp   
2
.
 
 
EQUAÇÃO DE EULER  PARA FLUÍDO IDEAL OU SEM ATRITO VISCOSO 
 
Onde, 
0
2
 V
 
A equação ficará; 
Dt
DV
gp   . 
 
EQUAÇÃO DE EULER  PARA FLUÍDO IDEAL E PERMANENTE 
UNIDIMENSIONAL EM “Z” 
Onde, 
V/t = 0  permanente; V/y = 0 e V/x = 0  No espaço unidimensional 
A equação ficará; 
0 dz
g
VdV
g
dp

 
 
 108 
EQUAÇÃO DE EULER  PARA GASES 
 Para Fluído Compressível e Isotérmico 
Para atender alguns Fenômenos nos quais o Fluído varia sua densidade 
Isotermicamente, a Equação de Euler deverá ser particularizada, ou seja, 
 T = Temperatura constante 
  = (1/p1). p  Equação Geral dos Gases p/condição Isotérmica. 
Chamando, 
 1/p1 = C (constante) 
Substituindo na Equação de Euler, 
teremos: 
 (dp/p).(1/C) +  (vdv)/g +  dz = 0 
Resolvendo a equação acima desde uma seção 1 até uma seção transversal típica 
2, de um volume de controle; 
Teremos: 
z
Vp
p
z
Vp
p
gg 2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
ln
2
ln  
 
Equação do movimento de Euler, para fluido Isotérmico e ideal (isto é, sem perda 
por atrito) 
Onde 
 HL = Perda de Carga (desprezível por ser sem atrito) 
 p = pressão absoluta 
  = peso específico 
 V = velocidade do escoamento 
 g = aceleração da gravidade 
 z = cota (altura da tubulação) 
 
 109 
 Para Fluído Compressível e Adiabático 
A equação de Euler deverá ser particularizada para temperatura variável, sob 
condição Adiabática a partir da Equação Geral dos Gases, abaixo; ou seja, 
p1/1 = p2/2 
( 2/1)
k = p2/p1 
2/1 =( p2
1/k) / ( p1
1/k) 
Ou, 
2 = [1 / (p1
1/k )] . p2
1/k 
Equação para o peso específico final, numa transformação termodinâmica 
Onde, 
 k = coeficiente adiabático (Tabelado de acordo com o tipo de fluído.) 
 C= 1/(p1
1/k ) (uma constante) 
Substituindo na equação de Euler, 
 dp/(C.p2
1/k ) + (v.dv) / g +  dz = 0 
Resolvendo a equação acima desde uma seção 1 até uma seção transversal 2 do 
volume de controle, tem-se; 
z
V
p
pp
z
Vp
gk
k
gk
k
k
k
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
.
121














 
 
Equação do Movimento de Euler, para Fluído Compressível e Adiabático Ideal 
(isto é, sem atrito) 
Onde, 
 k = coeficiente adiabático, tabelado para cada fluido. 
 P = pressão absoluta 
  = peso específico do fluido. 
 V = velocidade de escoamento 
 g = aceleração da gravidade 
 z = cota ou altura do ponto em relação a um nível de referência. 
 110 
Equação de Euler  para fluído ideal, permanente e unidimensional em “z” 
0 dz
g
VdV
g
dp

 
 
TEOREMA DE BERNOULLI A PARTIR DA EQUAÇÃO DE EULER 
Resolvendo a equação anterior considerando a densidade e a gravidade constantes; 
tem-se: 
0
2
2




z
gg
p V

 
ou, 
Agrupando em cada membro da equação, os termos com índice 1 e os termos com 
índice 2, tem-se: 
z
Vp
z
Vp
gg 2
2
22
1
2
11
22


 
 
REPRESENTAÇÃO MECÂNICA DO TEOREMA DE BERNOULLI 
p/ = energia de pressão (ou altura piezométrica) 
 v2/2g = energia cinética (ou taquicarga) 
z = energia potencial gravitacional (ou cota) 
 H = Energia total = 
z
Vp
g 1
2
11
2


 
 
 
 
 
 
 
 111 
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE BERNOULLI 
 
Plano de carga dinâmica 
 
HL (perda de carga) 
Linha energética 
V21/2g V
2
2/2g 
Linha piezométrica 
 
H1 p2/ H2 
 
P1/ 
 
 
 
Z2 
 
Z1 NR 
 
Figura - Representação geométrica do teorema de Bernoulli para conduto forçado 
 
 
 112 
APLICAÇÃO NUMÉRICA DO TEOREMA 
z
Vp
z
Vp
gg 2
2
22
1
2
11
22


 
Onde: 
 p/ = energia de pressão (ou altura piezométrica) 
 v2/2g = energia cinética (ou taquicarga.) 
z = energia potencial gravitacional (ou cota). 
 
Obs.: Pela Calculadora HP- 48G, [verde] [3] [Fluids] [Bernoulli Equation]. 
 
EXEMPLO 
Ex. (1). O óleo (0,800) escoa através de um tubo horizontal de 10” sob pressão de 
80 psi. Considerando ausência de perdas, qual o fluxo se a pressão em uma 
redução de 5” de diâmetro é de 40 psi? 
Hipóteses: 
Fluído incompressível e unidimensional: Aplica-se o teorema de Bernoulli. 
Convertendo unidades: 
(Uso da HP - 48G) 
[verde] + [6] (Units) 
Digitando a variável: 
 [variável em converter a unidade] 
Para obter a resposta: 
[Roxa] + [a unidade para a qual se pretende converter] 
Dados do problema: 
dR = 0,800 (densidade relativa do óleo) - 
D1 = 10” (diâmetro de entrada) - 0,254 m 
D2 = 5” (diâmetro de saída) - 0,127 m 
 113 
p1 = 80 psi (libra por polegada ao quadrado - pressão de entrada) - 0,5516 
MPa 
p2 = 40 psi (idem, pressão de saída.) - 0,276 MPa 
Solução: 
Uso da HP- 48G 
[verde] + [3] (EQ LIB) + [FLUIDS] + [BERNOULLI EQUATION] 
Carregandoo programa (fórmula): 
[SOLV] + [Carregar o programa com os dados fornecidos]. 
Para obter a resposta: 
[Roxa] + [Variável que se procura = Q, vazão] 
Resposta: Q = 0,344 m3/s 
 
POTÊNCIA DE BOMBA (NB), FORNECIDA 
NB = .Q.HB 
Potência de Bomba. (Taxa do trabalho em relação ao tempo gasto) 
Onde, no sistema internacional, a potência é dada em Watt (J/s), ou seja; 
NB = N.m/s = J/s = Watt 
 = peso específico do fluido, em N/m3 
Q = Vazão, em m3/s 
HB = altura de recalque, em metro (altura + perdas). 
 
 
 
 
 
 
 114 
 
 
 
 
 
PARTE II 
 
Número de Reynolds e 
Perda de Carga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 115 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 116 
NÚMERO DE REYNOLDS 
Parâmetro adimensional estudado no capítulo sobre análise dimensional. No qual 
predomina a força viscosa do escoamento subsônico, dado pela seguinte relação; 

VL
RE 
 ou 

VL
RE 
 
Onde, no sistema Internacional é dado em; 
  = densidade absoluta do fluido, em kg/m3 
 V = velocidade de escoamento, em m/s 
 L = Diâmetro para conduto forçado, em metro 
  = viscosidade cinemática, em m2/s 
  = viscosidade dinâmica 
 
Escoamento laminar ou turbulento 
 LAMINAR  RE  3000 
 TURBULENTO  RE  3000 
 
Velocidade crítica, Vc 
É quando o escoamento deixa de ser laminar e passa a ser turbulento, é dada pela 
seguinte relação; 
Vc  (3000.)/D 
Onde, as unidades no MKS, serão as mesmas da equação anterior. 
 
PERDA DE CARGA 
Fórmula de Darcy 
HL = f.(L/D).(v
2/2g) 
Onde, “f” dependerá do tipo de escoamento, Laminar ou turbulento. 
Laminar: 
f =64/RE 
 117 
Turbulento: 
 Blasius sugere  
RE
f
25,0
316,0

 
Para tubos lisos e 3000  RE  100 000 
 Uso do Diagrama de Moody, A1 encontrado em livros especializados de 
mecânica dos fluidos. 
Onde, 
F = é função da rugosidade interna do tubo, do diâmetro e do número de 
Reynolds. 
RE = número de Reynolds. 
 
 
 
 
 f 
 
 
 Reynolds 
Figura – Gráfico para o coeficiente de atrito (f) 
 
Fórmula de Colebrook 
O Instituto de Hidráulica sugere para todos os tubos, 









fREDf
51,2
7,3
log2
1  
 
Fórmula de Flamant 
Recomendada pelos fabricantes de PVC 
Onde, 
J = perda unitária, m/m 
 118 
J = 0, 000824.(Q1,75/D4,75) 
 
Fórmula de Poiseuilli 
D
LV
HL
2
32



 
Onde, 
HL = perda de carga, em metro. 
L = comprimento do tubo, em metro. 
V = velocidade média do escoamento, em m/s. 
W = peso específico, em kg/m3. 
D = diâmetro do tubo, em metro. 
 
Perda de carga localizada 
g
KHL V
2
2
 
Sendo, 
K é tirado de tabelas apropriadas para cada tipo de conexão hidráulica. 
HL = perda de carga, em metro. 
V = velocidade, em m/s e g = gravidade, em m/s2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 119 
APLICAÇÕES NA ENGENHARIA 
 
1 Drenagem superficial - Sarjeta – Estradas. 
2 Drenagem urbana – Boca de Lobo, Vertedouro – Saneamento. 
3 Potência de turbina Hidráulica. 
4 Velocidade da água do rio por Manning: Hidrologia. 
 
DRENAGEM SUPERFICIAL - SARJETAS 
Fonte: TUCCI (2001) – Hidrologia 
 
Tem por finalidade dimensionar e detalhar os dispositivos hidráulicos capazes de 
captar e conduzir as águas superficiais e subterrâneas que chegam a rodovia, 
preservando a estrutura da via e dando-lhe destino seguro sem erosão, 
possibilitando assim a operação da via durante as precipitações. 
O solo e o concreto desprotegidos resistem a pequenas velocidades; para evitar a 
erosão dos mesmos admite-se as seguintes velocidades máximas: 
Areia fina  0,4 m/s 
Argila  1,1 m/s 
Concreto  4,5 a 5,0 m/s 
A Drenagem superficial se compõe de: Valeta de pé de talude, de aterro, sarjeta, 
Bueiro, Boca de Lobo, Descida de água, etc. 
 
 120 
 
Figura - Imagem de sarjeta 
 
Exemplo; 
Sarjeta de estradas em forma de canal retangular 
Seja dado um perfil longitudinal e a seção transversal de uma rodovia. Determinar o 
comprimento crítico de uma sarjeta cuja largura máxima de drenagem é 1,0 m. A 
chuva máxima é i = 110 mm/h. Com a inclinação do perfil em 0,03 m/m ( ou 3 %). 
 
Dimensionamento dos dispositivos de drenagem; 
Os estudos hidrológicos têm por objetivo o cálculo da vazão (Q) de enchente das 
bacias hidrográficas, para então fazer o dimensionamento hidráulico da drenagem. 
Sarjeta de concreto: 
São dispositivos destinados a coletar águas superficiais provenientes dos taludes e 
pistas de rolamento, conduzindo-a para fora do corpo da estrada. 
O dimensionamento das sarjetas está relacionado com a determinação de seu 
comprimento crítico, que é definido como o comprimento máximo de sua utilização, 
para que não haja trasbordamento e nem início de erosão. 
A seção mais usual é triangular, porém para corte muito extenso projeta-se canal 
retangular. Evitar sarjetas profundas a qual representa perigo para o tráfego, onde 
acontecem freqüentes acidentes com veículos. 
 
 
 121 
Roteiro para determinação de comprimento crítico de sarjeta; 
Se fizermos a igualdade da vazão da bacia de contribuição e a vazão do condutor, 
determinamos o comprimento máximo que a sarjeta transporta a água sem 
acontecer o trasbordamento. 
Q(bacia) = Q(sarjeta) 
Da Hidrologia a Vazão da Bacia (de Enchente) é dada pelo método Racional, ou 
seja; 
6,3
.. AIC
Q
bacia

 
Onde, 
Q = vazão em m3/s 
C = coeficiente de Run off , tabelado em função da superfície escoante 
I = Intensidade de precipitação em mm/h 
A = Área de drenagem em Km2. No caso de sarjetas é o comprimento (L) da 
sarjeta vezes a largura de contribuição. A = L x l ( Onde, L = comprimento crítico da 
sarjeta em m e l = largura de contribuição em m). De Fenômenos de Transporte a 
Vazão da Sarjeta é dada pela equação da continuidade, ou seja; 
VAQ
Sarjeta
.
 
Onde, 
Q = vazão da sarjeta em m3/s, A = Área da seção transversal da sarjeta em 
m2. 
V = velocidade média de escoamento em m/s, dada pela fórmula de Manning. 
n
S
V R
.3
2
 
Onde, 
V = velocidade em m/s, R = Raio hidráulico = A/P, A = Área da seção em m2 
P = Perímetro molhado em m, S = inclinação em m/m 
 122 
n = fator de rugosidade de Manning, tabelado em função do material de 
revestimento do canal. Para concreto acabado com desempenadeira, n = 0,015 
 
Tirando o comprimento crítico, tem-se; 
Substituindo a equação 04 na equação 03 e igualando a equação 2 com a equação 
3, teremos; 
liCn
A
L SR
...
...6,3
2/13/2
 
 
 123 
DRENAGEM URBANA: DIMENSIONAMENTO DE BOCA DE LOBO 
Fonte: TUCCI (2001) – Hidrologia. 
Bocas de lobo ou coletoras em Drenagem Urbana possuem a capacidade de 
engolimento semelhante a um vertedor retangular afogado. 
Exemplo: 
Dimensione uma boca-de-lobo (somente soleira) para uma vazão de 94 l/s na 
sarjeta e uma lâmina de água de 0,10 m. Resp.: b = 1,748 m 
 
 
 
 
 b (soleira) 
 
 
 Fluxo de água da rua 
Figura - boca de lobo simples 
 
Boca de Lobo tipo Vertedouro 
A vazão do vertedouro retangular afogado para simular o poder de engolimento da 
boca de lobo é dado pela seguinte fórmula;HbmQ
2/3
..
 
Onde, 
m = coeficiente que depende de muitas variáveis, tais como tensão 
superficial, viscosidade, massa específica, distribuição da velocidade, escoamentos 
secundários, etc. Em drenagem urbana recebe o valor de 1,7. 
b = comprimento da soleira, em metros. 
H = altura da água próxima à abertura da guia, em metros. 
 
Boca de 
Lobo 
 124 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - Imagem de uma boca de lobo dupla 
 
POTÊNCIA DE TURBINA: HIDRÁULICA 
Fonte: Reportagem T.V. Minas em 13/01/2002. 
Neste período (2001) de crise energética por falta de chuvas, um noticiário da T.V. 
Minas (Domingo, 13/01/2002), destacou a importância de uma pequena usina 
hidroelétrica numa fazenda do município de Muzambinho. Na qual a potência gerada 
pela turbina era de 10KW para um desnível de 6,0 metros e uma vazão de 300 
litros/seg. 
Nosso propósito, com este estudo de caso, é poder ilustrar a matéria sobre o 
teorema de Bernoulli. 
 
 Ponto (1) 
 
 
 H = 6 
 
 Ponto (2) 
Figura – esquema para o estudo de caso – turbina hidráulica 
 
Turbina 
 125 
Potência em turbina hidráulica 
Aplicando a equação da potência, 
NB = .Q.Ht - Para condição teórica, rendimento 100% 
Onde, 
 = peso específico da água, N/m3 
 Q = vazão em volume, em m3/s 
 Ht = Energia (da natureza) para a turbina, em metros 
 NB = potência, (trabalho/tempo), N.m/s = J/s = Watt 
Obs.: as unidades estão no sistema internacional. 
Solução: 
NB = 10 000.300.10
-3.6,0 = 18 000 = 18 KW 
 
Obs.: Considere que as perdas representem 60% do total 
Logo, 
 A potência líquida será, 
NB = 10 KW 
Como anunciado na T.V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - Imagem da turbina Pelton - experimento didático 
(Pelton nome do engenheiro norte-americano que desenvolveu a turbina de ação, 
em 1880). 
 126 
VELOCIDADE MÉDIA DA ÁGUA NO RIO 
Calculada através da fórmula de Manning e com dados "in loco". 
Fonte: (1) VILLELA (1975) – Hidrologia Aplicada 
 (2) COELHO e BAPTISTA (2000) - Fundamentos de Engenharia Hidráulica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vm 
 
 
 
 L = comprimento 
 
 
Figura - seção longitudinal típica de um rio – determinação da velocidade “in loco” 
 
Metodologia aplicada 
 Num trecho retilíneo do rio marcam-se dois pontos com espaçamento L entre 
eles 
 Com as cotas de um e do outro ponto e o espaçamento entre eles, determina-se 
a declividade em metro/metro. 
 Anota-se qual o tipo de material que reveste a superfície do perímetro molhado 
do rio, ou seja, se é grama, solo, concreto, etc. 
 Verifica-se, em tabelas especializadas, o fator de rugosidade de Manning (n). 
 E, assim, calcula-se a velocidade média da água do rio usando a fórmula de 
Manning. 
 127 
Teoria aplicada 
Fórmula de Manning nas unidades métricas, para cálculo da DESCARGA (Q) é, 
SRA
n
Q
2/13/21

  em unidades métricas 
ou, 
para a velocidade média na seção do rio  Q/A = Vm = (1/n) . R
2/3.S1/2 
SR
n
AQ
2/13/2486,1







  em unidades inglesas 
Onde, 
n = fator de rugosidade 
S = inclinação 
R =A/P = raio hidráulico 
P = Perímetro molhado 
A = Área da Seção transversal 
q = vazão unitária 
b = largura do canal 
 128 
Valores (n) da fórmula de Manning 
No Natureza das paredes n 
1 Vidro liso. 0,010 
1 
Reboco de cimento liso e águas não 
completamente limpas. 
0,013 
2 De terra sem vegetação. 0,016 
3 
Cimento rugoso, musgo nas paredes e traçado 
tortuoso. 
0,018 
4 
De terra, com vegetação rasteira no fundo e nos 
taludes. 
0,025 
5 Rios naturais, cobertos de cascalhos e vegetação. 0,035 
Tabela: coeficientes de Manning 
Fonte: Manual de Hidráulica - Azevedo Neto Vol. II 6a ed. 
 
Exemplo: 
Em um laboratório hidráulico, um fluxo de 0,41 m3/s foi verificado em um canal 
retangular de 1,2 m de largura com 0,6 m de profundidade de escoamento. Se o 
declive do canal era de 0,000 4 m/m, qual o fator de rugosidade para o revestimento 
do canal ? 
Dados do problema: 
 Q = 0,41 m3/s (descarga ou vazão) 
 L = 1,20 m (Largura do canal) 
 H = 0,60 m (profundidade) 
 S = 0,000 4 (declividade do canal) 
Pede-se: 
n = rugosidade da parede interna do canal devida ao seu material de 
acabamento. 
 
 129 
Solução: 
Aplicando a fórmula de Manning para o cálculo da descarga (Q), temos; 
 em unidades métricas 
    2
1
3
2
2/13/2
0004,0
60,0.220,1
60,0.20,1
60,0.20,1
1
41,0
1








n
A
n
Q SR
 
Resposta; 
O fator de rugosidade para o revestimento do canal deverá ser: 
 n = 0,0157 
 
 
 130 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Sobre o teorema de Bernoulli 
Ex. (01). Um tubo horizontal de ar reduz sua área de 700 cm2 para 200 cm2. 
Supondo-se que não há perdas, que variação de pressão ocorrerá quando a vazão 
for de 0,63 kgf/s de ar? Usar o 0,003 g/cm3 do ar para as condições de temperatura 
e pressão considerada. 
Resp.:15,48 kgf/m2 
 
Ex. (02). Água escoa através de um tubo horizontal de 6” (0,1524m) sob pressão de 
60 psi.(0,414 MPa) Considerando ausência de perdas, qual é o fluxo, se a pressão 
em uma redução de 3” (0,0762m) de diâmetro é 20 psi (0,138 MPa) ? 
Resp.: 3,91 ft3/s (...ou 110,6 litros/s) 
 
Ex. (03). Para um óleo de densidade 0,752 escoando nas condições do problema 
anterior, qual será a vazão? 
Resp.: 4,51 ft3/s (...ou 126,3 litros/s) 
 
Ex. (04). Um tanque fechado está cheio de amônia sob pressão de 5,3 psig a 65 
oF. 
A amônia é descarregada na atmosfera através de uma pequena abertura em uma 
das laterais do tanque. Desprezando as perdas pôr atrito, calcular a velocidade com 
que a amônia deixa o tanque (a) considerando fluido incompressível e (b) 
considerando condições isotérmicas e © condição adiabática para o escoamento. 
Resp.: a) 895 ft/s; b); c)945 ft/s. 
 
Ex. (05). Compare a velocidade em a, b e c do problema anterior para uma pressão 
de 15,3 psig no tanque. Determine, também, o peso específico da amônia fora do 
tanque. 
 
Ex. (06). Temos nitrogênio escoando de um tubo de 2”(50mm) de diâmetro, no qual 
a temperatura é de 40oF e a pressão 40 psi, para um tubo de 1” de diâmetro(25 
 131 
mm), no qual a pressão é de 21,3 psig. Calcular a velocidade em cada tubo, 
supondo-se condições isotérmicas de escoamento e ausência de perdas. 
Resp.: v2= 875 ft/s e v1=144 ft/s. 
 
SÉRIE (Uso da HP- 48G) 
Ex. (07). Para a água no problema 07, qual será a pressão final (p2)? 
Resp.: p2 = 138 290,4 N/m
2 = 0,138 MPa. 
 
Ex. (08). idem, para a pressão inicial (p1). 
Resp.: p1= 0,414 MPa. 
 
Ex. (09). idem, para y (diferença de nível). 
Resp.: y = 0 (nulo). 
 
Exercícios sobre Pitot 
Ex. (10). Um tubo de Pitot tendo um coeficiente de 0,98 é usado para medir a 
velocidade da água no centro de um tubo. A altura de carga estática no tubo é de 
3,1 ft. Qual é a velocidade? 
Resp.: 13,8 ft/s 
 
Exercícios sobre Canal. 
Ex. (11). Que vazão pode ser esperada em um canal retangular de 1,2m de largura, 
cimentado, com uma inclinação de 0,000 4, se a água escoa com a altura de 0,6m? 
Usar a fórmula de Manning. 
Resp.: 0,43 m3/s. Considere, de acordo com tabela, n = 0,015 
 
Ex. (12). Que inclinação deveria ter uma manilha vitrificada de 24” de diâmetroa fim 
de que 6 ft3/s escoe quando a manilha estiver à meia seção? (De tabela n = 0,013). 
Resp.: S = 0,00 283 
 132 
Ex. (13). Um canal trapezoidal, largura do leito de 6 m e inclinação lateral de 1:1, 
escoa com 1,2 m de altura em um declive de 0,000 9. Para um valor de n = 0,025, 
qual é a descarga uniforme? 
Resp.: 9,82 m3/s 
 
Exercícios sobre vertedouro 
Ex. (14). Qual a altura de água deve existir atrás de um vertedouro submerso de 
crista viva retangular de 1,5 m de comprimento e 1,2m de altura, quando um fluxo de 
280 litros/s ultrapassa o mesmo? (Usar a fórmula de Francis) 
 
Ex. (15). Determinar a descarga (Q) para um vertedouro triangular isósceles, cuja 
carga hidráulica, H= 5cm. 
Resp.: 0,783 litros/s 
 
Ex. (16). Na tubulação que parte da barragem, a vazão é de 28 L/s. A pressão no 
ponto 1 é de P1 = 29,6 mca. Calcular a seção da tubulação, desprezando as perdas 
de energia. 
Resp.: A = 0,01m2. 
 
Ex. (17). O centro de um orifício circular está 8,5 m abaixo da superfície livre (S.L.) 
constante de um reservatório na figura abaixo. Determinar o diâmetro deste orifício 
para que a vazão seja de 25,34 L/s (desprezando as perdas de energia), supondo o 
escoamento permanente. 
Resp.: D = 50mm 
 133 
 
Ex. (18). Pela tubulação da figura abaixo escoam 71 L/s, de modo que, no 
manômetro superior, se lê a pressão de 0,6 Kgf/cm2. Passando o plano de referência 
pelo ponto C, calcular a pressão no manômetro inferior. 
Resp.: P2 = 1 Kgf/cm
2. 
 
 
Ex. (19). Como o tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro de um 
conduto com 25 cm de diâmetro da figura abaixo. A diferença de carga é h = 0,1 
mca. Devido ao grande diâmetro, supõe-se que a velocidade média da água neste 
tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. Calcular a vazão (em L/s). 
Resp.: 45,6 L/s 
 134 
 
Ex. (20). A água escoa pelo tubo de Venturi, com seção circular, indicado na figura 
abaixo. Calcular a vazão e as velocidades. São dados: P1 = 1,47 Kgf/cm
2; P2 = 1,0 
Kgf/cm2. 
Resp.: V1 = 3,2 m/s; V2 = 12,8 m/s; Q = 0,0565m
3/s 
 
Ex. (21). Em um Tubo Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um 
manômetro de mercúrio na figura abaixo. Sendo d1= 63,25mm e d2 = 36,98mm. 
Calcular a vazão, desprezando as perdas. 
Resp.: Q = 3,14 L/s 
 
 135 
Ex. (22). Água escoa através da turbina da figura abaixo á razão de 0,21m3/s e as 
pressões em A e B são respectivamente1, 5 Kgf/cm2 e –0,35 Kgf/cm2. Determinar a 
potência fornecida à turbina. Considerar o rendimento da turbina de 90%. 
Resp: 50,13 HP 
 
Ex. (23). A figura abaixo mostra um tubo através do qual se bombeia água para uma 
elevação maior. As condições de entrada e saída estão especificadas na figura 
abaixo. Qual deve ser a potencia da bomba? Considerar o rendimento da bomba de 
85%. 
Resp.: P = 14,47 HP. 
 
 
 
Ex. (24). Água passa permanentemente pela turbina mostrada na figura ao lado, 
com vazão de 8 pés3/ s. As perdas em 1 e 2 são de 25 psi e –3 psi, respectivamente. 
Se desprezarmos a transmissão de calor, qual será a potência fornecida „a turbina 
pela água? 
 136 
Resp.: 69,0 HP. 
 
 
Ex. (25). Necessita-se de 50 HP para acionar a bomba centrifuga (hidráulica) da 
figura abaixo. A pressão de água em 1 é de 30 psig, e em 2, por onde entre, é de 10 
psig. Qual a quantidade de água fornecida pela bomba? 
Resp.: 4,8 pés3/s 
 
 
Ex. (26). Água escoa de um grande reservatório e aciona uma turbina, como mostra 
a figura abaixo. Desprezando o atrito nos tubos determinar a potência desenvolvida 
pelo escoamento, para os dados da figura. 
Resp.: 21,6 HP. 
 137 
 
 
Ex. (27). Desprezando o atrito no tubo da figura abaixo, calcular a potência 
desenvolvida na turbina pela água proveniente do reservatório. 
Resp.: 1,44 HP 
 
 
Ex. (28). Se a bomba da figura abaixo desenvolve 5 HP sobre o escoamento, qual é 
a vazão? 
Resp.: 1,128 pés3/s 
 138 
 
 
Ex. (29). Tome-se o sifão da figura abaixo. Retirado o ar da tubulação por algum 
meio mecânico ou estando a tubulação cheia, abrindo-se (C) pode-se estabelecer 
condições de escoamento, de (A) para (C), por força da pressão atmosférica. 
Supondo a tubulação com diâmetro de 150 mm, calcular a vazão e a pressão no 
ponto (B), admitindo que perda de carga no trecho AB é 0,75m e no trecho BC é 
1,25m. 
Resp.: Q = 0,124 m3/s; PB = - 5,05 mca. 
 
 
 139 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecânica dos Fluídos e Hidráulica Geral. Vol. I e II. 1985. 
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal. 
 
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introdução a Mecânica dos Fluídos – 
Purdue University 1 998, 4a edição revista, LTC Rio de Janeiro Brasil. 
 
GILES, R.V. Problemas de Mecânica dos Fluídos - SP Schaum Editora Santuário. 
 
SCHIOZER, DAYR. Mecânica dos Fluídos. 2a ed.1996. Editora LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ. 
 
VIANA, MARCOS ROCHA. Mecânica dos Fluídos para Engenheiros, 3a ed. 1998 – 
UFMG. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 140 
CAPÍTULO VI 
 
 
 
 
 
FORÇAS DESENVOLVIDAS 
POR FLUIDOS EM MOVIMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação na Hidrodinâmica 
Aplicação na Aerodinâmica 
Força do vento 
Aplicação na Engenharia: Força do vento nas edificações. 
 141 
 142 
FÓRMULA REDUZIDA PARA O MOMENTO LINEAR 
Utilizando-se da teoria do momento linear da Física clássica a partir da 2a Lei de 
Newton, 
P = m.V ou (F).dt = m(V) 
E, 
F = m(V/t)] 
Fazendo, m = .Vol 
A equação anterior ficará; 
F = .Vol (V/t)] = .(Vol/t) .V 
F =.Q.V 
Onde, 
Q = Vazão volumétrica 
Resultando, 
F =.Q.(Vf –Vi) 
Logo, a fórmula simplificada da força desenvolvida por fluídos em movimento, ficará: 
F = .Q(V2 – V1) Eq. 01 
Onde, no MKS 
F= resultante de forças, em N 
 = massa específica, em kg/m3 
Q = vazão, em m3/s 
V= velocidade, em m/s 
 
 143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 144 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DA 
FORÇA 
 Hidrodinâmica: Força do Jato, Empuxo em curva e reduções. 
 Aerodinâmica: Força de Arrasto e Força de Sustentação e do Vento. 
 145 
 146 
APLICAÇÃO NA HIDRODINÂMICA 
Força do jato 
A expressão para calcular a ação da água sobre uma placa plana normal à 
velocidade do jato, será: 
F = .A.V2 - Eq. 02 
Onde, no MKS: 
 F = Força, em N 
 = massa específica (ou densidade absoluta), em kg/m3 
A = área projetada do objeto, em m2 
V = velocidade de chegada do jato, em m/s 
 
Dedução: 
Velocidade final, V2 = 0 
 
 
 Velocidade inicial do jato, V1  0 
Figura - Velocidade do jato de água sobre a face de um cubo (ou placa plana fixa) 
 
Da equação 01, tem-se: 
F = .Q(V2 – V1) 
V2 = velocidade final, na placa em repouso = 0 
F = .Q(0 – V1) 
Como, 
Q = A.V - Equação da Continuidade 
Substituindo na equação anterior, tem-se: 
F = .A.V(0 – V) ou F = .A.V2 
Portanto, tem-se a equação para cálculo da velocidade do jato de água sobre um 
objeto ou Força de arraste da água sobre uma superfície qualquer. P.ex.: Aplica-se 
no processo inicial da erosão dos solos, onde, pode-se observar, que quanto maior a 
 147 
velocidade da água maior será a força de arraste da mesma sobre o solo, 
provocando, portanto, sulcos e posteriormente voçorocas,etc. 
F = .A.V2  Eq. da força do jato ou arraste – Eq. 02 anterior. 
 
Exercício 1) A força exercida por um jato de água de 25 mm de diâmetro contra 
uma placa chata presa normalmente ao eixo do fluxo é de 70 kgf. Qual é o fluxo em 
m3/s? 
Solução 
Da equação da força do jato, tem-se: 
F = .A.V2 = 
Substituindo os dados do problema e efetuando-se os cálculos, tem-se a velocidade 
do jato; 
V
2
2
4
025,0.14,3
100070 






 
V = 37,5 m/s 
E, também, substituindo os dados na equação da continuidade, abaixo, tem-se a 
vazão volumétrica em m3/s e em litros/seg. 
Q = A.V = 
3
2
10.4,185,37.
4
025.0.14,3 




 m
3/s ou 18,4 litros/seg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 148 
Empuxo em curvas e reduções – bloco de ancoragem 
Fórmula geral – equação 01; 
F = .Q(V2 – V1) 
E
E
 
Figura - Bloco de ancoragem para um plano vertical 
 
 
Desenvolvimento de fórmulas práticas para determinar o Empuxo; 
a. Método clássico, pela 2a Lei de Newton 
EMPUXO: em Curva e Reduções. 
F = .Q(V2 – V1) - O mesmo da Eq. 01, anterior 
Onde, 
F = Força de pressão (Fp ), 
Empuxo (E), 
Força de atrito (fa ), 
Força peso. 
 
b. Método direto de cálculo; 
Método 1: Em função da pressão interna e do diâmetro do tubo 
A força empuxo dependerá somente da pressão interna da água e do diâmetro da 
tubulação, de acordo com a equação simplificada a seguir: 
E = 2.p.S.sen (/2) - Eq. 03 
 149 
Método 2: Em função de K 
E = K.p.S - Eq. 03/A 
Onde, 
E = Empuxo, 
p = pressão interna máxima, 
S = área transversal interna (m2), 
K = coeficiente, função da geometria da peça da canalização. 
Valores p/ K; 
1. Flanges cegos, caps, Tês: K= 1 
2. Reduções: K = (1 – S‟)/S, onde S‟ = área do menor diâmetro 
3. Curvas de ângulo : K = 2 sen(/2) 
 
 
 150 
Ex. 2) Uma curva redutora de 45o, tendo a montante 24” de diâmetro (610 mm), e a 
jusante 12” (305 mm) de diâmetro conduz água à razão de 0,400 m3/s sob a pressão 
de 1,5 kgf/cm2. Desprezando as perdas na curva horizontal, calcular o Empuxo. 
Resp.: 3 780 Kgf e 13,6o com ox. 
 
 
 
 
APLICAÇÃO NA AERODINÂMICA 
Resistência ao avanço, FD - Componente horizontal desta força; Características da 
resistência ao avanço. 
 
 Situação a; 
Quando a velocidade do objeto for: 
Vo  2,0 m/s no AR e Vo  0,03 m/s na ÁGUA. 
A resistência é tipicamente viscosa – atrito interno do fluído. 
A força resistente é determinada pela Lei de Stokes; 
F = 6..r.Vo - Eq. 04 
Onde, 
 = viscosidade dinâmica 
r = comprimento característico qualquer, raio, diâmetro, etc. 
V = Velocidade 
 151 
 Situação b; 
Quando a velocidade do objeto for: 
10 m/s  Vo  200 m/s no AR e 0,05 m/s  Vo  2,0 m/s na ÁGUA 
A resistência tipicamente inercial – massa do objeto predomina sobre a viscosidade 
do fluido. 
E, a força resistente é determinada pela Lei de Newton: 
F = CD..A.(V
2/2) 
Onde, 
CD = coeficiente de resistência de forma. Ver tabela 7.1 
V = velocidade do fluído ou do objeto 
 = massa específica do fluído 
 = viscosidade absoluta do fluído 
r = comprimento característico qualquer 
 152 
Análise do coeficiente de resistência de forma (CD) 
Esse coeficiente depende da velocidade do escoamento e da geometria do 
objeto. Para baixa velocidade, depende do Número de Reynolds e para alta 
velocidade do número de Mach, existem livros especializados que trazem diagramas 
para determiná-lo, como por exemplo, o do autor: GILES, R.V. Problemas de 
Mecânica dos Fluidos – SP Schaum. Editora Santuário – 1983. Ou pela tabela 7.1, 
a seguir. 
 
CORPO CD 
Placa b 1 
Retangular 2 
 a a/b 4 
 10 
 18 
  
1,10 
1,15 
1,19 
1,29 
1,40 
2,01 
Placa 
Circular 
 
1,11 
Cilindro 
 1 
 2 
 4 
 10 
 L/d 18 
 L 
 
0,91 
0,85 
0,84 
0,99 
 
Cilindro 2 
 10 
 L L/d (fio)  
 
 
0,63 
0,68 
0,82 
1,30 
 
 153 
Prisma 
 1/5 
 b 
 a/b 
1/ 
 a 
 
 
0,91 
 
1,53 
Cone 
 Sem  
30o 
 Fundo 
60o 
 
 
0,34 
 
0,51 
Esfera 
 Re  (1,5 
4)x105 
 
 
 Re  
 
 0,09 
0,18 
 
0,47 
misférica(calota) 
 Sem fundo 
 Com fundo 
 
0,34 
0,40 
misférica(calota) 
 Sem fundo 
 Com fundo 
 
1,33 
1,17 
Tabela – Coeficientes de resistência de forma 
 
 154 
Força de sustentação FL - Componente vertical da força 
 
F = CL..A.(V
2/2) - Eq. 5/A 
Onde, 
CL = coeficiente de sustentação, determinado pela fórmula de Kutta, abaixo 
  = angulo de ataque. 
 
Kutta fornece-nos os valores máximos teóricos deste coeficiente para placas 
finas e planas que não sejam normais á velocidade relativa do fluido. Com   25º. 
 
CL = 2..sen. 
 155 
Ex. 3) Uma placa chata de 1 m X 1 m move-se a 7 m/s normalmente ao seu plano. À 
pressão padrão e a 20 oC de temperatura do ar, determinar a resistência da placa: a) 
movendo-se através do ar e b) movendo-se através da água a 16 oC. 
Solução: 
a) O coeficiente de arrasto CD =1,10 (Ver tab. 1, anterior) para relação 
comprimento/largura = 1 
Da eq. 5, tem-se; força resistente = 
  kgfX
g
AVCD 49,32
49
11
81,9
2,1
16.1
2
.
2







 
b) Da eq. 5/A: Força resistente = 
  kgfX
g
AVCD 29002
49
11
81,9
10.10
16.1
2
.
32






 
 
Ex. 4) Um longo arame de cobre de 12 mm de diâmetro é esticado e exposto a um 
vento de 30 m/s normalmente ao arame. Determinar a força resistente por metro de 
comprimento. 
Solução: 
Para o ar a 20 oC, têm-se;  = 1,2 kg/m3 e  = 1,44.10-5 m2/s 
 
Velocidade inicial do vento, Vi 
 L 
 
 
Figura – velocidade do vento normal ao comprimento de um fio delgado 
Onde,D = Diâmetro do fio 
L/D   (para L  D) 
Logo, de acordo com a tabela anterior, tem-se o valor do coeficiente de forma, 
CD = 1,30 
 156 
Ou, pelo Diagrama A1, é necessário determinar o número de Reynolds, ou seja; 
E, verifica-se o coeficiente no diagrama A1 
 
2500010.
44,1
012,030
Re 5 
XVD

 
Daí, CD =1,30 
Dados: 
A = área projetada da seção longitudinal do cilindro = Diâmetro x comprimento do 
cilindro ( = 1,0 metro) 
Resposta: 
Força resistente = 
  kgfX
g
AVCD 4,82
30
012,01
2,1
30.1
2
.
2






 /por metro 
 
Ação do vento – Forma simplificada da equação 
A pressão unitária que um fluído exerce sobre uma superfície plana perpendicular, é 
dada por: 
p = F/A - Eq. 07 
Igualando à eq. 5 com a eq. 7, tem-se: 
g
g
A
F
p V
2
..
2

 
2
.
2
Vp 
 - Eq. 8 (pressão do fluído sobre uma superfície) 
Como, 
AR = 1,225 kg/m
3  MKS e AR = 0,1225 utm/m
3  Téc. 
 
Unidades utilizadas na equação da pressão do fluido; 
No sistema Internacional; 
MKS  
6,1
2
Vp 
 em N/m2 (Pa) 
No sistema técnico; 
 157 
 Téc.  
16
2
Vp 
 em kgf/m2 
Dados: A velocidade do vento no Brasil dificilmente supera 20 m/s (70 Km/h). Às 
vezes, apenas para alguns instantes, verifica-se V = 50 m/s (180 Km/h) 
 
Figura - Imagem do experimento da balança, para medir a forca do jato de água. 
 158 
Forças do Vento nas Edificações 
Fonte: NBR - 6123/80 
Há vários campos de aplicação da força do vento em construção civil; podemos 
verificar em pontes, edifícios, galpões, chaminés, torres, etc. Esta é a aplicação da 
aerodinâmica que mais interessa ao engenheiro civil. 
Optaremos em descrever a influência dos ventos nas construções verticais de 
acordo com a norma citada, na ausência de um túnel de vento para simulação das 
correntes sobre modelos em escalas reduzidas. 
 
Cálculo da Força do Vento 
Legenda das grandezas utilizadas: 
Vo = velocidade básica (rajada de 3 segundos, excedida na média uma vez 
em 50 anos, a 10 m do terreno num campo aberto e plano). 
Vk = velocidade característica (= VºS1.S2.S3) 
S1 = fator topográfico, (Tabela 01 da NBR 6123/80) 
S2 = influência da rugosidade do terreno, das dimensões das edificações e 
sua altura sobre o terreno, (tabela 02 desta norma). 
S3 = conceitos probabilísticos em função do tempo de retorno e vida útil. 
q = pressão dinâmica 
..
6,1
2
ISq
V k 
 ou 
..
16
2
TSq
V k 
 
Como, p = Forca/Área. Logo, a força do vento será; 
 
AqcfF ..
. cf = cx e cy 
Dados: 
Isopletas: curvas de velocidade básica para o Brasil. 
Por exemplo: Para Minas Gerais Vo = 30 m/s e R.G.Sul Vo = 45 m/s. 
 
 
 159 
Efeitos de interação das edificações no vento; 
Há certas situações em que é necessário considerar a influência de edificações 
situadas nas vizinhanças. Essas edificações podem causar aumento das forças do 
vento: 
(1) Por efeito Venturi: Edificações vizinhas podem causar um “afunilamento” do 
vento, acelerando o fluxo do ar, com uma conseqüente alteração nas pressões. 
(2) Por deflexão do vento na direção vertical: edificações altas defletem para baixo 
parte do vento que incide em sua fachada aumentando a velocidade em zonas 
próximas ao solo. Edificações mais baixas, situadas nestas zonas, poderão ter 
as cargas do vento aumentadas por este efeito. 
(3) Pela turbulência da esteira: Edificações situadas após a outra em relação ao 
sentido do vento pode ser afetada pela turbulência gerada na esteira da outra. 
Determinação dos efeitos de interação deverá ser feitos em túnel de vento. Estes 
efeitos são um agravante a mais na vida útil das edificações. 
 
Efeitos dinâmicos em edificações esbeltas e flexíveis; 
Torna-se necessário estudar sua estabilidade, por via matemática e/ou 
experimental, em uma gama bastante extensa de velocidade do vento. A resposta 
dinâmica da edificação à excitação do vento depende não só de sua forma externa, 
mas também dos materiais empregados, do amortecimento e da rigidez estrutural. 
NBR – 6123/80 
(1) Desprendimento cadenciado de vórtices: Movimentos transversais à direção do 
vento podem ser produzidos por estes vórtices se a freqüência natural da 
estrutura ou de um elemento estrutural for igual à freqüência de desprendimento 
de um para destes vórtices dentro da faixa de velocidade esperadas para o 
vento. Nocivos em chaminés e torres cilíndricas metálicas. 
(2) Efeito de Golpe: Efeitos dinâmicos causados pela turbulência da esteira de outra 
edificação. 
(3) Galope: O galope aparece ao ser excedido certa velocidade do vento, produzindo 
oscilações transversais à direção do vento. Edificações esbeltas, leves e flexíveis 
tais como pilares vazados de viadutos de grande altura. 
 160 
(4) Drapejamento: É um fenômeno típico de estruturas esbeltas com proporções 
semelhantes às de asa de avião, tal como um edifício muito alto e esbelto, 
causando Vibrações. 
(5) Espectro de Energia das Rajadas: Oscilações originadas da energia das rajadas 
do vento. 
 161 
Problemas propostos 
Ex. (01). Um jato de óleo, de 2” de diâmetro, atinge uma placa chata presa 
normalmente à direção do fluxo. Para uma velocidade no jato de 80 ft/s, calcular a 
força exercida na placa pelo óleo, cuja densidade é 0,85. 
Resp.: F = 230 lbf. 
 
Ex. (02). Um jato de água de 2” de diâmetro exerce uma força de 600 lbf sobre uma 
placa plana mantida normalmente à direção do jato. Qual será a descarga? 
Resp.: 2,60 ft/s. 
 
Resolução de problemas sobre Empuxo da água sobre curvas e/ou reduções 
Ex. (03). Um tubo de 24” é reduzido para 12” de diâmetro. Para um fluxo de 31,4 
ft3/s de óleo e à pressão de 40 psi no tubo de 24”, qual o Empuxo, desprezando-se 
qualquer perda de carga? 
Resp.: 13000 lb p/esquerda na redução. 
 
Ex. (04). Uma tubulação de 24” de diâmetro transportando 31,4 ft3/s (densidade 
0,85) apresenta uma curva de 90o em um plano horizontal. A perda de carga na 
curva é de 3,5 ft de óleo e a pressão na entrada é de 42,5 psi. Determinar o 
Empuxo. 
Resp.: 27 450 lb e 44,2o com ox. 
 
Ex. 05) Uma curva redutora de 45o , tendo a montante 24” de diâmetro (610 mm), e 
a jusante 12”(305 mm) de diâmetro conduz água à razão de 0,400 m3/s sob a 
pressão de 1,5 kgf/cm2. Desprezando as perdas na curva horizontal, calcular o 
Empuxo. 
Resp.: 3 780 Kgf e 13,6o com ox. 
 
 162 
Ex. (06). Um tubo horizontal de 12” de diâmetro reduz-se para 6” de diâmetro. Se a 
vazão é de 4,5 ft3/s de óleo, cuja densidade é 0,88 e a pressão no tubo menor é de 
38,5 psi, qual será o Empuxo. 
Resp.: 3 470 lb. 
 
Ex. (07). Uma curva de redução vertical de 90o, transporta 12,6 ft3/s de óleo de 
densidade 0,85 entrando na curva em A à pressão de 20,5 psi. O diâmetro em A é 
de 16”e em B é de 12” e o volume entre A e B ë de 3,75 ft3. Determinar o Empuxo. 
Resp.: 5 180 lb e 76,1o com ox. 
 
Ex. (08). Calcule o volume de concreto que deve ter o bloco de ancoragem para 
equilíbrio da curva a seguir. Uma curva de 45o com x (no quarto quadrante) de 
diâmetro de 600 mm; a água tem uma vazão de 400 l / s e a pressão interna à 
tubulação naquele local é de 45 mca. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e 
o solo vale 0,7 e o peso especifico do concreto é 2400 kgf/m3. Despreze a 
possibilidade de tombamento do bloco e despreze também os pesos do volume de 
água e do tubo. 
Resp.: Vconc.= 3,93 m
3. 
 
Resolução de problemas sobre Força de Arrasto do vento. 
Ex. (09). Um vento atinge a superfície de uma tabuleta de 2m x 2,5m a 80 km/h. 
Para a pressãobarométrica padrão, que força atuará contra a tabuleta? (massa 
especifica do ar = 1,2 kg/m3). 
Resp.: 1808 N 
Considere o CD = 1,2 
 
Ex. (10). Uma placa chata de 1 m x 1 m move-se a 7 m/s normalmente ao seu 
plano. À pressão padrão e a 20 oC de temperatura do ar, determinar a resistência da 
placa: a) movendo-se através do ar e b) movendo-se através da água a 16oC. 
Considere o CD = 1,16. 
Resp.: a) 34,9 N, b) 29 000N. 
 163 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 164 
 
 
 
 
 
 
TEORIA SUPLEMENTAR 
 165 
INTRODUÇÃO 
Na análise e nos projetos de: 
 Bombas de recalque, 
 Turbinas hidráulicas, 
 Ventos em edificações (Forças devidas ao vento em Edificações – NBR 6123 de 
Nov/1980) 
 
E, de muitos outros dispositivos hidráulicos, o conhecimento das forças exercidas 
pelos fluidos em movimento são de grande importância na Eng. Hidráulica e 
Aerodinâmica. 
 
Equação do equilíbrio 
Aplicação do Principio da Conservação da Quantidade de Movimento 
De acordo com o Capítulo 01 - Equação do Equilíbrio têm-se; 
A força F é a soma de todas as forças externas que atuam sobre o fluido - forças 
de superfície, tais como pressão, que atuam na superfície de controle e forças 
volumétricas, tais como o peso, que atuam sobre a massa distribuída no interior do 
volume de controle. Esta equação afirma que a soma destas forças é igual à taxa de 
variação do momento linear no interior do V.C. mais a taxa de saída do momento 
linear através da superfície de controle. 
 
Figura 28 – Volume de controle para equilíbrio de forças 
 
 166 
Da Lei de Newton, temos; 
 
Dt
DV
volmaF ..
 
Fazendo, 



Vol
F
f
 
Finalmente, teremos a equação do equilíbrio Newtoniano para uma função 
composta, do tipo; 
V = f(x,y,z,t) na qual a solução é dada pela derivada substantiva utilizando a 
regra da cadeia de derivação. 
 
Dt
DV
f  
 167 
Estática dos fluídos 
São para fenômenos nos quais o fluído permanece em repouso, ou seja; aceleração 
nula. 
 f = 0 ou 0. 

gp  
 
Dinâmica dos fluídos: 
São para fenômenos nos quais o fluído se movimenta, a teoria da causa e efeito 
 
Dt
DV
f  
 
EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES 
É deduzida, em coordenadas retangulares, a partir das Leis de Newton ou do 
equilíbrio Newtoniano, para uma função composta, do tipo; V = f(x,y,z,t) na qual a 
solução é dada pela derivada substantiva utilizando a regra da cadeia de derivação. 
Além das forças externas (causas do movimento) que aparecem na Lei de Stevin no 
item anterior; têm-se, também a força viscosa, quando considera-se o fluído real 
com atrito. O efeito é a inércia (= m.a). 
Dt
DV
gp V  
2
. 
ou, 
  








t
V
vVgp ijkV  2. 
ou, 
 
Dt
DV
f 
 
Onde, 
 168 
DV/Dt = aceleração substantiva, aplica-se a regra da cadeia da derivação. 
 f = Força/volume 
 
Forma diferencial da quantidade de movimento; 
  









t
V
vV
dxdydz
F
ijk  
 
Forma integral da quantidade de movimento; 
 
  d volCS ijkCS ijk vdt
d
dAnVvF   ....  
 
Onde, 
 cs = controle de superfície 
 cv = controle de volume 
  = densidade absoluta do fluido 
 dvol = volume infinitesimal 
 dA = área infinitesimal 
 v = velocidade do fluido 
Nota: . 
 (*) V.n = produto escalar(o sinal dependerá do volume de controle 
v = fora dos parênteses no 1o membro da eq.; o seu sinal, depende da 
orientação dos sistema de eixo. 
 (V.n.dA) = considerado como uma entidade própria na equação. 
*produto escalar = /v.n/ = /v/./n/.cos. 
Ex. (1). A água que sai de um bocal estacionário atinge uma placa plana, conforme 
mostrado. A velocidade da água ao deixar o bocal é de 15 m/s; a área deste é de 
 169 
0,01 m2. Supondo que a água é dirigida normalmente à placa, e que flui ao longo 
desta, determine a força horizontal sobre o suporte. 
 
Figura – Problema resolvido, suporte para cálculo da força do jato. 
 
Dados: 
A água de um bocal estacionário é dirigida normalmente contra uma placa; o 
escoamento subseqüente é paralelo à placa. 
 Velocidade do jato, V=15[i] m/s 
 Área do bocal, An= 0,01 m
2 
Determinar: 
 A força horizontal sobre o suporte. 
Solução: 
 Escolha do volume de controle. 
 
Figura – Problema proposto, suporte com volume de controle para cálculo de força 
do jato. 
Fonte – secundaria 
 
 
 170 
Conclusão: 
A água proveniente do bocal cruza a superfície de controle através da área A1 
(admitida como igual à área do bocal), e admite-se que ela deixa o volume de 
controle tangencialmente à superfície da placa no sentido +y ou -y. 
A equação básica é, 
F = cs(V.ndA).v + ( d/dt) cv Vdvol. 
Hipóteses: 
 (1) Escoamento permanente 
 (2) Escoamento incompressível 
 (3) Escoamento uniforme em cada seção onde o fluido cruza as fronteiras do 
VC. (...velocidade não varia na seção transversal.) 
A equação básica ficará: 
F = cs  (V.ndA).vijk 
Como estamos buscando a força horizontal, escrevemos a componente x da 
equação da quantidade de Movimento p/ esc. permanente. 
Fx = cs  (V.ndA).vx 
Lembrando que F representa as forças de superfície (pressão) e as forças de 
massa, teremos: 
Fx= Fsx + Fmx = patm.A - patm.A + Rx 
= cs  (V.ndA).vx 
 
Onde, 
+ patm.A = força de pressão atmosférica; atua para a direita (direção positiva) 
sobre a superfície esquerda. 
 - patm.A = força de pressão atmosférica; atua para a esquerda(direção 
negativa)sobre a superfície direita. 
Rx = força do suporte sobre o volume de controle (admitida como positiva) 
para direita em x. 
Dai, considerando o vc na forma de um disco (jato de água), teremos 
 171 
Rx = 1 vx(.Vi .1. cos 180
o)dA1 + 2 vx(.Vi.1. cos 0
o) dA2 + 3 .vx(.Vi.1.cos 
90o)dA3 
 
Hipóteses; 
 Vi = vx = 15,0 m/s p/ direita em x, somente. 
 N = perpendicular e saindo da superfície considerada 
 vx final (na superfície 2) = 0 
 cos 90o = 0 
 cos 180o = -1 
  =  / g 
 
Teremos: 
Rx= vx.(-vx)A1 + (0).vx.A2 = - vx .(/g) (vx.A1) = ( /g) .Q.v 
Rx= - 15 m/s [ (10
3kgf/m3 / 10 m/s2 ) ] . (15m/s) . (0,01 m2) 
Rx= - 225 kgf ou - 2,25kN 
 
Conclusão: A força do suporte havia sido considerada para direita; logo, o sentido 
correto é o contrário do adotado, devido ao sinal negativo da resposta. 
 
 172 
Ex. (2). De acordo com a figura abaixo, pede-se a velocidade V1 na entrada, na 
Hipótese do escoamento ser permanente. 
 
Figura – Uma bifurcação para cálculo da força do jato 
Solução: 
Q = cs v.n.dA 
Q = 1 v1 .1. cos 180
odA1 + 2 v2.1. cos 0
o dA2 + 3 .v.1.cos 0
odA3 
Q = - v1.A1 + v2.A2 + v3.A3 
Mas, 
Q1 = Q2 = Q3 = ½ .2 + 2.1 = 3,0 ft
3/s 
Daí, 
Q = - v1 . A1 
v1 = Q/A1 = 3/3 = 1,0 ft/s 
v1 = 1,0 ft/s 
Problemas semelhantes poderão utilizar a seguinte equação simplificada. 
F = ( /g) .Q. (vf - vi) 
Onde, 
 F = Forças externas atuantes, (vetor) 
  = Peso específico do Fluido, 
 g = aceleração da gravidade, 
 Q= vazão volumétrica, 
 v = velocidade de escoamento. 
 173 
Ex. (03). Determinar a força que atua numa pá fixa quando um jato de água, cuja 
vazão é 56,6 l/s e cuja velocidade é V = 45,7 m/s, é desviado 45o. Admitir água 10
3 
kg/m3.Desprezar o peso de água do jato e também forças de superfície nas seções 
de entrada e saída decorrentes de pressão.Figura – Pá fixa e o jato de água 
 
Desprezando-se o peso de água no volume de controle, sobre este age a força de 
pressão do ar atmosférico, age também a força de reação (Rx e Ry) da calha sobre o 
volume de controle. 
A aplicação da equação da quantidade de movimento ao volume de controle para 
um sistema xOy, tal como apresentado no desenho ilustrativo deste problema, é 
feita em separado para o eixo dos x e para o eixo dos y, como se segue: 
 
Figura - Diagrama de forças 
Fx= /g . Q( V2 - V1)x  Equação simplificada 
 
 174 
Hipóteses: 
 (1) Escoamento permanente 
 (2) Fluido Incompressível 
 (3) velocidade Uniforme nas seções (1) e (2) do VC. 
 
As forças externas atuam no centro de gravidade da peça. 
Para o eixo - ox 
Rx = (/g). V. A (V2 - V1)x  Rx = (1 000 / 10) . ( 56,6.10
-3 m3/s) . (V2.cos45
o - V1)x 
 
Rx = 5,6 (45,7 . 0,707 - 45,7)  Rx = 74,98 Kgf 
 
Para o eixo- oy: 
Ry= (/g) .Q . (V2 - V1)y  Ry = (1 000 / 10) .( 56,6.10
-3 ) . (45,7 . sen 45o - 0)y 
 
Ry= 5,6 (45,7 . 0,707)  Ry = 180,93 Kgf 
 
Cálculo da Resultante R: 
 
Figura – Diagrama da resultante 
 
Módulo: 
R2 = R2x + R
2
y  R
2 = (74,98)2 + (180,93)2  R = 195,8511304537Kgf 
 
 175 
Direção: 
arc tag x= Ry / Rx  x = 67,49017802711
o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 176 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Geral Vol. I e II. 1985. 
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal. 
 
BRUNETTI, FRANCO. Curso Mecânica dos Fluidos. 2a ed. 1985. Apostila. São 
Paulo. SP. 
 
GILES, R.V. Problemas de Mecânica dos Fluidos - S.P. Schaum Editora Santuário 
 
NBR – 6123/80 – Vento em edificações. 1980 
 
SCHIOZER, DAYR. Mecânica dos Fluidos. 2a ed.1996. Editora LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ. 
 
SHAMES, IRVING HERMAN, Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blucher, 1973. 
São Paulo. Ed. Universidade de São Paulo. 
 
SMITH, ª J. Ward. Internal Fluid Flow. 1980. 
 
VIANA, MARCOS ROCHA. Mecânica dos Fluidos para Engenheiros, 3a ed. 1998 – 
UFMG 
 
 
 
 
 
 177 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 178 
CAPÍTULO VII 
 
 
 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
E SEMELHANÇA 
 
 
 
 
ESTUDO DE MODELOS E PROTÓTIPOS 
 
 
 
 
 
Formulação de equações para um fenômeno físico qualquer. 
Aplicação dos parâmetros da Semelhança Hidráulica. 
 179 
 
 
 
 
 
 
 
 180 
MODELAGEM DO FENÔMENO 
A modelagem de uma situação ou problema real pode ser simplificadamente 
visualizada no seguinte esquema: 
 
PROBLEMA NÃO MATEMÁTICO 
 
EXPERIMENTAÇÃO 
 
ABSTRAÇÃO 
 
RESOLUÇÃO: ESTUDO ANÁLITICO E NUMÉRICO 
(MODELO MATEMÁTICO) 
 
MODIFICAÇÃO 
 
VALIDAÇÃO 
 
APLICAÇÃO 
 181 
O que se espera que seja? 
 
EXPERIMENTAÇÃO: Obtenção de dados experimentais ou empíricos que ajudam 
na compreensão do problema, na modificação do modelo e na decisão de sua 
validade. É um processo essencialmente laboratorial e/ou estatístico. 
 
ABSTRAÇÃO: Processo de seleção das variáveis essenciais e formulação em 
linguagem “natural” do problema ou da situação real. 
 
RESOLUÇÃO: O modelo matemático é montado quando se substitui a linguagem 
natural por uma linguagem matemática. O estudo do modelo depende da sua 
complexidade e pode ser um processo numérico. 
 
VALIDAÇÃO: Comparação entre a solução obtida via resolução do modelo 
matemático e os dados reais. É um processo de decisão e de aceitação ou não do 
modelo inicial. O grau de aproximação desejado será o fator preponderante na 
decisão. 
 
MODIFICAÇÃO: Caso o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do 
modelo não seja aceito, deve-se modificar as variáveis, ou a lei de formação, e com 
isso, o próprio modelo original é modificado e o processo se inicia novamente. 
 
APLICAÇÃO: A modelagem eficiente permite fazer previsões, tomar decisões, 
explicar e entender; enfim, participar do mundo real com capacidade de influenciar 
em suas mudanças. A linguagem oferecida pelas Equações Diferenciais é 
fundamental na transferência e entendimento da linguagem “natural”, uma vez que a 
palavra-chave variação aparece quase sempre nas situações reais. 
 
Ferramentas utilizadas 
Na busca de explicar um fenômeno, podemos aplicar, entre outras, as seguintes 
ferramentas: 
 182 
 Conceito Físico 
 Modelagem Matemática 
 Análise Dimensional 
 Similaridade 
 Laboratório Experimental 
 
ANÁLISE DIMENSIONAL 
Temas a serem estudados: 
 Objetivos da análise dimensional 
 Grandezas Fundamentais 
 Grandezas Derivadas 
 Desenvolvimento de Fórmulas: Principio da Homogeneidade. 
 
OBJETIVOS DA ANÁLISE DIMENSIONAL 
A análise dimensional é uma ferramenta muito útil à moderna Mecânica dos Fluídos. 
Em uma equação, exprimindo uma relação física entre quantidades, uma igualdade 
numérica e dimensionalmente absoluta, deve existir. Todas essas relações físicas 
podem ser reduzidas a grandezas fundamentais: 
Força (F), Comprimento(L) e Tempo(T), 
Ou 
Massa(M), Comprimento(L) e Tempo(T). 
 
ALGUMAS APLICAÇÕES 
a) Desenvolvimento de equação, quando as variáveis envolvidas em um 
fenômeno físico são conhecidas, enquanto a relação entre as variáveis não o é; 
b) Redução do número de variáveis necessárias em um programa experimental; 
c) Relações notáveis entre, modelos e protótipo (Semelhança Dinâmica ou 
Hidráulica). 
 183 
Quando a via analítica não fornece a solução, a técnica da análise dimensional 
permite, muitas vezes, um tratamento racional de um problema, apesar das 
limitações do método. 
Para ilustrar, considere o problema de determinação de Perda de Carga, HL (por 
atrito) do escoamento incompressível de um fluido de massa específica , e 
viscosidade absoluta , no interior de uma tubulação de diâmetro  e rugosidade . A 
perda de carga pode ser expressa como uma função desconhecida das variáveis 
envolvidas, isto é, 
HL =  (v, , , , ) 
Para determinar experimentalmente esta relação, necessitaríamos de considerável 
trabalho porque apenas uma variável nos parênteses pode variar por vez, resultando 
num acúmulo de gráficos. É que essa investigação seria extremamente demorada. 
Como será mostrado, esse problema pode ser formulado como uma relação 
funcional entre um coeficiente de atrito “f” e do parâmetro adimensional “Reynolds” 
na solução da fórmula de Darcy. (Ver Exercício proposto.). 
 
Grandezas físicas 
Fundamentais e derivadas 
É o nome que se dá à relação que explica um fenômeno em um campo qualquer da 
Física. 
Por exemplo: Vazão Volumétrica, Q = (Fo. L3.T-1) 
 
Sistema de unidades 
É o conjunto de unidades necessárias para medir todas as grandezas. 
Por exemplo: Q  m3 / s, litros/seg., etc. 
 
Grandezas físicas fundamentais 
Quais são elas? 
São em número de três, a saber, Força(F), Comprimento (L) e Tempo(T), no 
Sistema Técnico de Unidades. 
 184 
E, Massa(M), Comprimento (L) e Tempo(T), no Sistema Internacional de Unidades. 
 
Grandezas físicas derivadas; 
São grandezas que existem a partir de combinações das fundamentais, por 
exemplo: Q = (Fo L3 T-1); pressão =p = (F L-2 To), etc. 
 185 
Tabela de grandezas física 
 
GRANDEZAS SÍMBOLO FLT MLT 
Área A L2 L2 
Volume Vol. L3 L3 
Velocidade v Fo L T-1 Fo L T-1 
Aceleraçãoa Fo L T-2 Fo L T-2 
Velocidade angular  F
o Lo T-1 Fo Lo T-1 
Força F F Lo To M L T-2 
Massa m F L-1 T2 M Lo To 
Peso específico  F L
-3 To M L-2 T-2 
Massa específica  F L
-4 T2 M L-3 To 
Pressão p F L-2 To M L-1 T2 
Viscosidade absoluta  F L
-2 To M L-1 T-1 
Viscosidade 
cinemática 
 F
o L2 T-1 Fo L2 T-1 
Potência NB F L T
-1 M L-2 T3 
Torque  F L T
o M L-2 T2 
Vazão em volume Q Fo L3 T-1 Fo L3 T-1 
Tensão superficial  F L
-1 To M Lo T-2 
Peso P F Lo To M L T-2 
Vazão em peso G F L T-1 M L T-3 
 
Tabela - Grandezas físicas derivadas e sua representação dimensional 
 186 
DESENVOLVIMENTO DE FÓRMULAS 
Na formulação de equação para um fenômeno físico temos: 
n = variáveis envolvidas 
r = grandezas físicas fundamentais (Na Mec. dos Fluidos, considerar r = 03) 
 
Se, 
b) n  r aplica-se o principio da homogeneidade física. “Numa equação, 
exprimindo uma relação física entre quantidades, uma igualdade numérica e 
dimensional absoluta, deve existir”. 
c) n  r aplica-se o teorema dos  de Buckingham. 
 
Ex. 01) Considerando-se a potência fornecida pôr uma bomba como função do peso 
específico do fluido, do fluxo em m3/s e da altura de carga H fornecida, estabelecer 
uma equação pela análise dimensional. 
 
Solução: 
 NB = f(, Q, H) 
 NB = K (
a.Qb.Hc)  Função desconhecida ( ou equação 01) 
 
Repetir a equação acima, com sua representação dimensional, ou seja; 
 (F.L.T-1) = K (F.L-3.To)a . (Fo.L3.T-1)b . (Fo.L.To)c 
 
Determinando o valor de a,b e c: 
P/ F  1 = a + 0 + 0, logo; a = 1 
 L  1 = -3a + 3b + c, logo; c = 1 
 T -1 = 0 - b + 0 , logo; b = 1 
 
Substituindo em (1), virá; 
 187 
 NB = K . 
1. Q1 . H1  Equação p/ determinar potência de Bomba de 
Recalque da Hidráulica. 
 
Ex. 02) Mostrar que a energia cinética de um corpo é igual a K.m.v2, usando os 
métodos da análise dimensional. 
Solução: 
 Ek = f(m,v) 
 Ek = K (m
a.vb)  Função desconhecida, eq.02. 
 
Repetir a equação, acima, com sua representação dimensional, ou seja; 
(F.L.To) = K (F.L-1.T2)a. (Fo.L.T-1)b 
 
Determinando o valor para a e b: 
P/ F  1 = a + 0, logo; a = 1 
 L  1 = - 1a + b , logo; b = 2 
 
Substituindo na equação (02) acima, teremos; 
 Ek = K . m
1. v2  Que é a equação da Física, onde o K = ½ 
 
 188 
Ex. 03) Determinar a pressão dinâmica exercida pelo escoamento de um fluido 
incompressível sobre um objeto imerso, considerando-se que a pressão é uma 
função da massa específica e da velocidade do fluido escoante. 
Solução: 
 p = f(,v) 
 p = K (a. vb)  Função desconhecida, equação 03. 
 
Repetir a equação, acima, pôr sua representação dimensional, ou seja; 
 (F.L-2. Lo) = K (F.L-4.T2)a . (Fo.L.T-1)b 
 
Determinando o valor para a e b: 
P/ F  1 = a + 0, logo; a = 1 
 L -2 = - 4a + b, logo; b = 2 
 
Substituindo na equação 03, acima, teremos: 
p = K 1.v2  Equação p/ a pressão dinâmica, da mecânica dos fluidos. 
 
 189 
SIMILARIDADE: SEMELHANÇA DINÂMICA 
Importantes estruturas hidráulicas são agora, projetadas e construídas somente 
depois de extensos estudos de modelos terem sido efetuados. A semelhança 
dinâmica junto com a Análise Dimensional permite ao engenheiro organizar e 
simplificar as experiências e analisar o resultado dos mesmos. 
Modelos Hidráulicos reais possuem todas as características importantes do protótipo 
reduzidas à escala geometricamente semelhantes e satisfazem ao projeto quanto à 
semelhança cinemática e dinâmica. 
Um modelo é tanto mais real quando mais se aproxima do protótipo, de acordo com 
a semelhança dinâmica. 
Na modelagem geométrica (ou SIMILARIDADE), estudaremos posteriormente, os 
parâmetros notáveis, bem como: 
 Número de REYNOLDS – Quando num escoamento predomina a viscosidade 
 FROUDE – A gravidade predomina escoamento em canais abertos. 
 MACH – Escoamento a alta velocidade, supersônica. 
 WEBER, CAUCHY, . Etc. 
 
 
PARÂMETROS DE TRANSPORTE DO MOMENTO NA MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
São relações importantes entre modelos e protótipos para se conseguir as 
semelhanças dinâmicas, visando atender à força externa predominante no protótipo. 
As condições necessárias para uma completa semelhança, forem desenvolvidas a 
partir da 2a Lei de Newton (F = m.a). As forças atuantes podem ser umas 
combinações de muitas das seguintes forças: de viscosidade, de pressão, de 
gravidade, de tensão superficial e de elasticidade. 
Desenvolve-se a seguinte relação entre modelo e protótipo: 
 
 
 
 190 
aM
aM
F
F
pp
mm
p
m 

 
T
L
L
T
L
T
L
L
L
F
r
r
rr
p
p
m
m
pp
mm
r 2
2
2
2
3
3
).( 


 
VAF rrr
2
 
Equação da Força Inercial de Newton 
 
Onde, 
Fr = relação de forças externas 
r = relação de densidades 
Ar = relação de área 
vr = relação de velocidades 
 
Esta equação expressa a Lei geral de Semelhança Dinâmica entre modelos e 
protótipo e é conhecida como a equação de Newton. 
 191 
PARÂMETROS NOTÁVEIS 
No de Euler: Quando predomina a força de pressão 
 F = m.a 
 Fp = m.a 
 p.A = m.a 
 Eu = n
o de Euler (Razão entre a força inercial e a força externa). 
 Eu = (m.a) / (p.A) 
 Eu = (.L
2.v2) / (p.L2) = (.v2) / p 
p
Eu V
2


 Equação de Euler 
 
No de Reynolds: Quando predomina a viscosidade () 
 F = m.a 
 F = m.a 
 .A = m.a 
 RE = N
o de Reynolds (Razão entre a inércia coma a viscosa). 
 RE = (m.a) / (.A) 
 RE = (.L
2.v2) / (.v.L) = (.v.L) /  
 

VL
RE 
 Eq. de Reynolds 
 192 
No de Froude: Quando predomina a gravidade(g) 
 F = m.a 
 m.g = m.a 
 FR = N
o de Froude (Razão entre a inércia e a gravidade) 
 FR = (m.a) / (m.g) 
 FR = (.L
2.v2) / (.L3.g) = v2 / (L.g) 
 
A raiz quadrada desta relação é conhecida como número de Froude. 
 
Lg
V
F R 
  Equação de Froude 
Obs.: Aplicação em Canais 
 
No de Cauchy: Quando predomina a elasticidade. 
 F = m.a 
 F = m.a 
 .A = m.a 
 Ca = N
o de Cauchy (Razão entre a Inércia e a Elasticidade). 
 Ca = (m.a) / (.A) 
 Ca = (.L
2.v2) / (.L2) = (.v2) /  

VCa
2

  Equação de Cauchy 
 
Ma = N
o de Mach - A raiz quadrada desta relação é conhecida como de Mach. 
 


V
Ma  
 193 
No de Weber: Quando predomina a tensão superficial () 
 F = m.a 
 .L = m.a 
 Wb = N
o de Weber (Razão entre a inércia e tensão superficial) 
 Wb = (m.a) / (.L) 
 Wb = (.L
2.v2) / (.L) = (.L.v2) /  
 

 VLWb
2

  Equação de Weber 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 194 
Ex. 04). Para um modelo e protótipo, mostrar que, quando a gravidade e a inércia 
são as únicas grandezas influentes, a relação das vazões Q é igual à relação de 
comprimento elevada a cinco meios.( Qr = Lr
5/2 ). 
 
Hipótese: gravidade predomina 
Solução: 
 F = m.a 
 m.g = m.a 
 g = a 
 g = L/T2 
 Tr
2 = Lr / gr  Eq. p/ relação de tempo, q
do. predomina a gravidade. 
 
Relação das vazões (Qr): 
 Qr = (m
3/s) = Lr
3 / Tr 
 Qr = Lr
3 / ( Lr
1/2/gr
1/2) = (Lr
3.gr
1/2) / Lr
1/2 
 
Considerando, gr = 1 (relação das gravidades). 
 Qr = Lr
3 . Lr
-1/2 = Lr
5/2 
 
Conclusão: 
 
LrQr
2/5

  Relação pedida 
 195 
Ex. 05). Água a 16 oC escoa a 10,0 m/s em um tubo de 200 mm. A que velocidade 
deverá escoarum óleo médio a 32 oC em um tubo de 100 mm para que os 
escoamentos sejam dinamicamente semelhantes? Uma vez que o número de 
Reynolds predomina. 
 
Hipótese: - Força viscosa predomina 
Dados: - H2O 
 TH = 16 
oC 
 vH = 10,0 m/s 
 H = 200 mm (=0,200m) 
 - Óleo 
 To = 32 
oC 
 o = 100 mm ( =0,100m ) 
 
Determinar: 
 vo = (velocidade do óleo)= ? 
 
Solução; 
Para uma completa semelhança dinâmica, quando predomina a força viscosa, basta 
igualar o no de Reynolds. 
RE(H) = RE(o) 




o
oo
H
HH VV 
 
Dados: Viscosidade cinemática da água e do óleo. 
H = 0,110 . 10
-5 m2/s 
o = 0,297 . 10
-5 m2/s 
 
Substituindo na equação de Reynolds, acima, teremos; 
 196 
 (10,0 . 0,200) / (0,110.10-5) = (vo . 0,100) / (0,297.10
-5) 
 
Resposta; 
 vo = 53,99 m/s (É a velocidade do óleo para obter a semelhança hidráulica) 
 
Caso fosse a mesma substância nos dois tubos, a equação da vazão determinaria a 
velocidade do óleo, ou seja; 
VAVAQ 2211 
 
V
A
A
V 1
2
1
2

 
ou 
V
D
D
V 1
2
2
1
2 








 
smV /0,4010
1,0
2,0
2
2







 
 197 
Ex. 06). Um modelo 1:10 de um barco deve ser testado em um tanque de provas 
contendo a mesma água para o protótipo. Se o barco (protótipo) se move a 10,0 m/s 
a que velocidade deverá o modelo ser arrastado para que ocorra semelhança 
dinâmica? Uma vez que o número de Reynolds predomina. 
Hipótese: 
- Viscosidade predomina 
- O ambiente é o mesmo tanto para o modelo quanto para o protótipo 
 (água salgada), logo a viscosidade é a mesma. 
Dados: 
- Escala: 1:10 ( Lr = razão dos comprimentos ) 
- Vp = 10,0 m/s 
Determinar: 
 Vm = (velocidade do modelo) = ? 
Solução; 
Para uma completa semelhança dinâmica, quando a viscosidade predomina, deve-
se igualar o número de Reynolds, ou seja; 
RE(m) = RE(p) 
 p
pp
m
mm LVLV 
 
Se, 
 Lm = 1  Lp = 10 
E, 
 m = p (pois o ambiente é idêntico, água salgada.) 
Logo, 
 vm.(1) = 10,0 . (10) = 100 m/s 
 
 
 
 
 198 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Princípio da homogeneidade 
Ex. (01). Desenvolver a fórmula para a velocidade da onda sonora 

E
V s 
; 
sabendo-se que ela é função do módulo de Elasticidade volumétrico e da densidade 
absoluta do meio. 
 
Ex. (02). Considerando o Torque (T) como função da Força aplicada e do braço de 
alavanca (d). Mostrar a fórmula para o Torque, utilizando o método de análise 
dimensional. 
 
Ex. (03). Considerando a força Magnética como função da carga elétrica(q), da 
velocidade e do Campo Magnético(B). Mostrar a fórmula para a força Magnética, 
utilizando o método de análise dimensional. 
Resp.: Fc= K.q.v.B 
 
Ex. (04). Mostrar a equação de Torriceli (Vf
2 = Vi
2 + 2gh), sabendo-se que o corpo é 
solto a partir do repouso e é função da altura h e da aceleração da gravidade. 
Semelhança dinâmica 
 
Ex. (05). Mostrar as relações de tempos e de velocidades quando a tensão 
superficial é a força dominante. 
Resp.: 2/13











r
rr
r
L
T
 e 21











rr
r
r
L
V
; respectivamente. 
Ex. (06). Um modelo de vertedor é construído na escala 1:36. Se a velocidade e a 
descarga do modelo são 1,25 ft/s e 2,50 ft3/s respectivamente, quais serão os 
valores correspondentes para o protótipo? 
Resp.: 7,50 ft/s e 19440 ft/s. 
 
 199 
Ex. (07). Um óleo ( = 6,09.10-5 ft2/s) escoa a 12,0 ft/s em um tubo de 6“. A que 
velocidade deve a água a 60 oF correr em um tubo de 12 a fim de que os números 
de Reynolds sejam iguais. 
Resp.: 1,20 ft/s. 
 200 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
LOBO. Análise Dimensional e teoria da semelhança e dos modelos físicos, 2 ed. 
1996. Ed. UFRJ – Rio de Janeiro 
 
GILES, R.V., Problemas de Mecânica dos Fluidos - S.P. Schaum Editora Santuário, 
1983. 
 
SISSOM, LEIGHTON E. e PITTS, DONALD R. Fenômenos de Transporte. Ed. 
Guanabara Dois S/A Rio de Janeiro, RJ. 1979. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 201 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 202 
 
 
 
 
CAPÍTULO VIII 
 
 
 
 
PARTE I - TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
PARTE II – TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
 
 
 
 203 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 204 
 
 
 
 
 
PARTE I – TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR 
 
 
Equação da continuidade para um fluxo permanente na dedução da Lei de Fourier 
da condução de calor. 
Modos de transferência de calor. 
Calcular o fluxo térmico pela Lei de Fourier em geometrias de configurações simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 205 
 
 206 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
A abordagem neste texto será somente para a aplicação da Equação da 
continuidade de particularidade com fluxo permanente. 
 
CONCEITUANDO CALOR 
O calor é um tipo de energia presente em todas as substâncias na forma de 
vibrações atômicas. Ela define o comportamento de todos os materiais existentes, 
quer sejam sólido, líquidos ou gasosos. Esta parte de Fenômenos de Transporte 
trata da Transferência de Calor. 
O calor é uma forma de calor bastante estudada na Termodinâmica, contudo ela não 
é capaz de prever a quantidade de calor que atravessa uma alvenaria. 
Este fenômeno tem efeitos macroscópicos bastante sensíveis. Um aumento do calor 
é um aumento da energia de vibrações nas moléculas. Isto significa que a amplitude 
e a freqüência médias de vibrações aumentam, resultando em um aumento das 
dimensões físicas do material, denominado dilatação térmica. 
Um sólido é uma estrutura regular de grande alcance, enquanto um líquido de curto 
alcance e um gás de curtíssimo alcance. Com essa visão fica fácil de perceber os 
efeitos da transferência de energia para um material. Seja um sólido, por exemplo; 
ao receber calor ele se dilata pelo aumento da amplitude média das vibrações 
atômicas. Este aumento continua até que torne instável esta estrutura de longo 
alcance. Começa a ocorrer a sua ruptura, tornando-a apenas de curto alcance, isto é 
transformando o sólido um líquido. Continuando o processo de transferência de 
calor, após a fusão, começa de novo o aumento das amplitudes médias de 
vibrações. Este aumento continua até que a estrutura de curto alcance se torne, 
também, instável. Começa o processo de transformação em estruturas de 
curtíssimo alcance, isto é , a gaseificação. Daí para frente ocorre apenas o aumento 
médio das amplitudes. Pode-se perceber, por este mecanismo, porque a densidade 
diminui com o aumento da quantidade de calor recebida. 
Na grande maioria dos Fenômenos da natureza, de uma forma ou de outra, existe a 
participação do CALOR. No corpo humano: temperatura basal, no trabalho 
realizado, em estado alterado da mente (emoções, etc.); Na fadiga dos materiais 
 207 
mecânicos, ponto de maior concentração de calor; No conforto Térmico da 
Arquitetura; No clima da Terra etc. 
A existência de uma diferença de temperatura no interior de um sistema, ou que dois 
sistemas as diferentes temperaturas forem colocados em contato, haverá 
transferência de energia. O processo pelo qual a energia é transportada chama-se 
transmissão de calor. Os efeitos do calor poderão ser quantizados por Medidores de 
temperatura. 
Transmissão de calor na engenharia. A determinação da quantidadede calor 
transmitida na unidade de tempo para uma diferença de temperatura especificada é 
problema-chave. Para estimar o custo, a viabilidade, o tamanho do equipamento 
necessário para transmitir uma quantidade específica de calor em um dado intervalo 
de tempo. 
É importante manter presente as hipóteses, idealizações e aproximações feitas no 
decorrer de uma análise global do fenômeno e interagir com outras ferramentas 
como a Mecânica dos fluidos, física e a matemática. 
 
MÉTODOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 
Existem essencialmente duas formas de transferência de calor: uma exigindo um 
contato entre os corpos e outra não. 
A transmissão de calor entre uma região e outra ocorre devido a diferença de 
temperatura entre elas. Na literatura científica é reconhecida de três modos distintos: 
Condução, radiação e convecção. 
Estes processos de transmissão de calor serão analisados separadamente, apesar 
na natureza ocorrerem quase sempre juntos; contudo o importante é descobrir qual 
predomina naquele fenômeno. 
a) Condução. O calor flui de uma região de temperatura mais alta para outra de 
temperatura mais baixa (maior potencial para menor potencial térmico.) com 
contato físico direto. Na condução a energia é transmitida por meio de 
comunicação molecular direta, vibração da estrutura do sólido. E, sob o ponto 
vista microscópico, intervêm os elétrons livres, únicos capazes de efetuar o 
transporte de energia em consideração. 
 208 
 
Figura – Fluxo térmico 
b) Radiação. O calor é transmitido de um corpo a alta temperatura para um de 
mais baixa quando tais corpos estão separados no espaço. O termo radiação 
provém do estudo das ondas eletromagnéticas, mas na transmissão de calor 
são de interesse apenas os fenômenos que resultam da diferença de 
temperatura. A energia radiante é governada pela equação da velocidade da 
luz c = .f. 
Onde,  = comprimento de onda da onda, c = 300 000 km/s e f = freqüência 
ondulatória. 
c) Convecção. A energia por convecção ocorre primeiro quando o calor fluirá por 
condução da superfície para as partículas adjacentes de fluído. A energia assim 
transferida servirá para aumentar a temperatura e a energia interna dessas 
partículas fluídas Então as partículas fluídas se moverão para uma região de 
menor temperatura no fluído. O processo por convecção é classificado por 
convecção natural e convecção forçada. 
 
Figura – superfície para radiação 
 209 
Quando o movimento de misturas tem lugar meramente como resultado das 
diferenças de densidade causadas pelos gradientes de temperatura, fala-se de 
natural. Quando o movimento de mistura é induzido por algum agente externo, tal 
como uma bomba ou um ventilador, o processo é chamado de convecção forçada. 
É necessário, também, determinar quando um processo é permanente (estacionário) 
ou não. Quando o calor transmitido por unidade de tempo em um sistema não 
depende do tempo, isto é, quando ele é constante, a temperatura em cada ponto 
não varia. 
A de calor trocada na unidade de tempo q (kcal/h), em qualquer um dos processos 
de transmissão de calor citados, recebe o nome de fluxo térmico. 
O fluxo de calor em um sistema é transitório, ou não permanente, quando a 
temperatura em vários pontos do sistema varia com o tempo. 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE SOB CONDIÇÃO PERMANENTE E FLUXO 
TÉRMICO POR CONDUÇÃO – LEI DE FOURIER 
É interessante transcrever aqui trechos da obra de Fernando Lobo Carneiro, onde 
descreve a obra de Fourier sobre calor. 
“Os problemas de condução de calor forma tratados de modo luminoso por Fourier, 
em sua obra Teoria Analítica do calor (Théorie Analytique de la Chaleur) publicada 
em 1822. Fourier, além de tratar desses problemas, lançou as séries e integrais que 
levam seu nome, por ele utilizadas para exprimir condições iniciais e condições de 
contorno com maior generalidade possìvel”. Carneiro (19). Pág. 139. 
Para analisar problemas de transmissão de calor na engenharia é necessário 
investigar as leis que governam os fenômenos, ou a sua modelagem matemática. 
Nesta seção faremos um exame preliminar das equações básicas que governam 
cada um dos três modos de transmissão de calor. Iremos considerar apenas casos 
simples e deixar os problemas mais complexos para cursos mais especializados. 
 210 
 
Figura – Volume de controle 
 
 
Aplicando a equação da densidade de fluxo 
ds
dP
ACq . 
Equação da continuidade para fluxo permanente 
Sendo, 
 P = Intensidade do campo ou Força Motriz (Temperatura, Velocidade, etc.) 
 J = q/A = Fluxo por unidade de área ou densidade de fluxo. 
 C = Coeficiente de proporcionalidade que depende do meio. Desempenha o 
papel análogo da viscosidade do fluido, da condutividade térmica do material da 
difusividade mássica na mistura binária por difusão ou da permeabilidade do solo no 
escoamento em meios porosos. 
 q = fluxo qualquer (fluxo térmico, fluxo mássico, fluxo hidráulico) 
 
A Equação de Fourier é um caso particular da equação anterior. 
Para o estudo da transferência de calor por condução, deve-se particular a equação 
da continuidade (ou densidade de fluxo); para isto, deve-se fazer; 
C = k = condutividade térmica do material. 
P = T = Temperatura 
 211 
O sinal negativo indica que o calor é transferido no sentido decrescente da 
Temperatura. 
A solução de Fourier ficará, 
dx
dT
kAq  
Solução de Fourier para Fluxo Térmico por condução 
 
UNIDADES, CONDUTIVIDADE TÉRMICA, RESISTÊNCIA TÉRMICA 
 
Unidades para o fluxo térmico 
 
Sistemas de unidades: 
 Técnico: Kcal 
 h 
 Inglês: Btu 
 h 
 MKS: Watt 
 h 
 
Fatores de conversão das grandezas envolvidas: 
1 cal = 4,19 J 
1 Kcal = 4 190 J 
1 Watt = 1 J/s 
1 Kcal = 4 190 J / 3 600s = 1,164 Wh 
 
 
 
 212 
CONDUTIVIDADE TÉRMICA 
Tipos de materiais e intervalos de sua condutividade térmica 
 
Material kcal/h.m.oC 
 
Gases à pressão atmosférica 0,006 – 0,15 
Materiais isolantes 0,03 – 0,18 
Sólidos não metálicos (tijolo, pedra, cimento) 0,03 – 2,20 
Metais puros 45,0 – 360,00 
 
Quadro – Condutividade térmica de alguns materiais 
 
Geralmente seu valor diminui na ordem sólido-líquido-gasoso, sendo seus valores-
limites: 360 kcal/m.h.oC para a prata e 0,02 kcal/m.h.oC para o ar puro. Além disso, o 
valor de k varia, com a natureza do corpo, composição, pureza, temperatura, 
densidade aparente, conteúdo de umidade, homogeneidade, etc. 
 
Condutividade térmica dos materiais mais comum da engenharia 
 
Material 
Temperatura 
(oC) 
k (kcal/m.h.oC) 
Asfalto 20 0,64 
Areia seca 20 0,28 
Areia c/10%de água 20 1,00 
Argamassa (2:1) 20 0,65 
Borracha 20 0,12 a 0,14 
Concreto 20 0,7 a 1,21 
Concreto 0 0,049 
 213 
celular(300kgf/m3) 
Cortiça (150 a 
250kgf/m3) 
30 0,031 a 0,037 
Eucatex isolante (300 
kgf/m3) 
0 0,043 
Feltro de lã 20 0,045 
Gelo 0 1,9 
Gesso 20 0,40 
Granito 20 1,5 a 3,30 
Lã de rocha 20 0,031 
Lã de vidro 20 0,034 
Mármore 20 2,38 
Papelão laminado 20 0,07 
Pinho 20 
0,091 a 0,14 (normal as 
fibras) 
Pinho 20 
0,30 (paralelo as 
fibras.) 
Sílica 20 0,21 
Terra argilosa seca 20 0,45 
Terra argilosa úmida 0 2,00 
Tijolo de cimento 30 1,00 
Tijolo de argila seco á 
mão 
25 0,34 
Tijolo de argila seco a 
máquina 
0 -100 0,42 
Vidro (placa) 200,66 
Quadro – condutividade térmica de materiais da Engenharia Civil 
 
 214 
TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONDUÇÃO: CONFIGURAÇÕES SIMPLES 
Parede Plana 
Considere um sólido homogêneo com faces paralelas (semelhante ao perfil de uma 
alvenaria), inicialmente à uma temperatura uniforme Te. Enquanto a face interna é 
mantida à uma temperatura constante Ti. A face externa é repentinamente 
submetida à uma temperatura Te < Ti. A quantidade de calor transferido através de 
uma superfície de área na direção de x perpendicularmente às faces da parede, é 
diretamente proporcional ao gradiente de temperatura. 
 
Figura – Seção transversal de parede 
 
Integrando desde x1 até x2 e T1 até T2 e para um material isotrópico (k= constante), 
têm-se; 
x
T
kAq


 
Solução de Fourier para parede plana 
 
Onde, 
q = fluxo térmico, 
k = condutividade térmica do material, é uma propriedade dos sólidos. 
A = Superfície através da qual se dá a passagem de calor; área, 
x = espessura da parede, 
 215 
T = temperatura, entre as faces externas da parede. 
 
Ex. (1). A temperatura no interior de uma casa deve ser mantida de tal forma que a 
temperatura na parte interna das janelas seja igual a 70 F. Determine a quantidade 
de calor transferida pôr condução através de uma janela de 4 pôr 8 ft se a 
temperatura na parte externa do vidro da janela for igual a: (a) 92 F; (b) 32 F. 
Suponha que a espessura do vidro seja de 0,12 in. 
 
Figura– Perfil de vidro de uma janela 
Solução: 
Da solução de Fourier; 
x
T
kAq



 
 
a) qt= (1,22 x 2,44)m
2 x 0,65 kcal/m.C.h 
 x (32,22 - 21,11) / 3.10-3 
Resposta: 
qt= - 7.165,65 kcal/h 
 (devido o sinal da resposta ser negativo, o sentido do fluxo é ao contrário do 
adotado) 
 
Solução via HP – 48 G 
[verde] [3] 
 216 
[Heat Transfer] [ENTER] 
[Conduction] [ENTER] 
[Pic] Ver figura 
[EQN] Ver equação 
[VARS] Ver variáveis 
Para resolver? 
[SOLV] Starting Solver 
[32,22] [TH] 
[21.11][TC] 
[2.9768] [A] 
[0,003] [L] 
[0,65] [K] [NXT] 
Para obter a resposta: [Roxa] [Q] no MENU 
 
Resp. : q = 7 165,653 kcal/h 
 
Ex. (2). 
Faça o exercício anterior substituindo somente as temperaturas: temperatura na 
parte externa for igual 32 oF. Resposta: q = 13 392 Kcal/h. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 217 
Ex. (3). As superfícies internas das paredes de um grande edifício são mantidas a 
20 oC, enquanto a temperatura da superfície externa é - 20 oC. As paredes medem 
25 cm de espessura, e foram construídas de tijolos com condutividade térmica de 
0,6 kcal/h.m.oC. Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfície 
de parede por hora. 
Solução: 
Se desprezarmos o efeito dos cantos onde as paredes se encontram e o efeito da 
junção dos tijolos com argamassa, aplica-se a Eq. de Fourier Simplificada. 
Substituindo a condutividade térmica e as dimensões, em suas unidades próprias 
(p.ex. L= 0,25 m), 
obtemos 
q/A = 0,6[20 - (-20)]  0,25 = 95,4 kcal/h.m2. 
Resp.: 95,4 kcal/h.m2 
Conclusão: 
Portanto 95,4 kcal serão perdidas do edifício por hora através de cada metro 
quadrado de superfície da parede. 
 
Ex. (4). Determine a espessura do isolamento de fibra de lã necessária para garantir 
que a temperatura externa de um forno de cozinha não exceda 120 oF. A 
temperatura máxima do forno, mantida por controle termostático, é igual a 500 oF, a 
energia elétrica máxima fornecida no estado estacionário é igual a 4 400 W, e o 
forno é de 2ft x 2 ft x 2 ft. 
Dados: 
Considere k para a fibra de lã = 0,1017 Btu/h.ft.oF (tabelado). 
1,0 Btu/h = 0,293 Watt. 
A = 2ft x 2ft 
Potência = 4 400 W = 15 017,06 Btu/h 
Fórmula da condução de calor para parede plana: 
x
T
kAq


 
 218 
Substituindo na equação anterior, 
 15 017,06 = 0,1017. 4 (500 – 120)/L 
 L = 0,017 ft 
 
 
 219 
Geometria Cilíndrica 
Na prática encontramos problemas com transferência de calor radial através de 
cilindros ocos. 
A solução de Fourier do fluxo térmico por condução, para x1 até x2 e T1 até T2 e 
para um material isotrópico ( k= constante), será: 
)ln(
)(.2
1
2
21
r
r
TTkL
q



  Fluxo térmico através de cilindros 
Onde, na figura abaixo; 
Ri = raio interno 
Re = raio externo 
 
Figura– Fluxo térmico radial através de um cilindro 
Fazendo, 
Ri = r1 e 
Re = R2 
 
Ex. (5). Determine a transferência de calor q em regime permanente (ou 
estacionário) de um cilindro com 20 ft de comprimento possuindo raio interno igual a 
9 ft e raio externo igual a 10 ft. a condutividade térmica é de 1,0 Btu/h.ft.oF, sendo a 
temperatura interna igual a 400 oF e, a externa, 100 oF. 
Dados: 
 L = 20 ft 
 220 
 R1= 9 ft 
 R2=10 ft 
 K =1,0 Btu/h.ft.oF 
 T1 =400 
oF 
 T2 =100 
oF 
Solução para o fluxo térmico por condução numa geometria cilíndrica: 
)ln(
)(.2
1
2
21
r
r
TTkL
q


 
Substituindo os valores, tem-se: 
q = 357629,23 Btu/h ou q = 90121 kcal/h 
 
 221 
Geometria Esférica 
Neste caso a área é dada por A= 4r2 
Solução para o fluxo térmico; 
rr
TTk
q
21
21
11
)(.4




 
Fluxo térmico através de uma esfera. 
 
Figura – Fluxo térmico radial na casca esférica 
 
Ex. (6). A superfície interna de uma camada de aço esférica tem raio interno de 5 in 
e raio externo de 6 in, possuindo uma temperatura uniforme de 100 oF. A esfera 
inteira é submersa em água em ebulição a 212 o F. Supondo-se que a superfície 
externa esteja na mesma temperatura da água, qual é a transferência de calor? 
Dados: 
 R1 = 5 in 
 R2 = 6 in 
 T1 = 100 
oF 
 T2 = 212 
oF 
 Kaço = 26 Btu/h.ft.
oF (tabelado) 
Fórmula da condução de calor para uma geometria esférica: 
 222 
rr
TTk
q
21
21
11
)(.4



 
Resposta: 
q = 91436,8 Btu/h 
 223 
Resistência térmica 
Para otimizar a resolução dos problemas de transmissão de calor mais complexos, é 
preferível introduzir na equação de Fourier o conceito de resistência térmica (R). 
Assim, à semelhança do que acontece em eletricidade, chamando a diferença de 
temperatura T de diferença de potencial térmico e o fluxo térmico q de intensidade 
de corrente térmica, podemos estabelecer, analogamente à lei de Ohm (R = V/I), a 
expressão da resistência térmica, Rt: 
q
T
Rt


 
ou, 
 Para esferas 
Rt = (1/r1 - 1/r2) e q =  
 4k Rt 
 
 Para cilindro 
Rt = ln (r2/r1) e q = T 
 2kL Rt 
 
 Para parede plana 
Ak
x
Rt .


 
O conceito de resistência térmica nos permite simplificar os cálculos referentes à 
transmissão de calor que se verifica em paredes compostas de várias camadas. 
Basta, para isso, aplicar o mesmo conceito de resistência em série ou em paralelo 
da eletricidade. 
 
RESISTÊNCIA: Analogia da Transferência de calor com a eletricidade: 
 
 Resistência em Série: 
 224 
Rt = R1 + R2 
 
 Resistência em Paralelo: 
RRR t 2
1
1
11

 
 
RADIAÇÃO TÉRMICA 
Lei de Stefan-Boltzmann da radiação 
 
Radiação 
O calor é transmitido de um corpo a alta temperatura para um de mais baixa quando 
tais corpos estão separados no espaço. O termo radiação provém do estudo das 
ondas eletromagnéticas, mas na transmissão de calor são de interesse apenas os 
fenômenos que resultam da diferença de temperatura. A energia radiante é 
governadapela equação da velocidade da luz c = .f. 
Onde,  = comprimento de onda da onda, c = 300 000 km/s e f = freqüência 
ondulatória. 
Fluxo térmico radiante 
O calor transmitido por radiação pode ser calculado pela seguinte expressão: 
TAq
4
..  Fluxo térmico radiante 
O emissor ideal, ou corpo negro, é aquele que transmite energia radiante de acordo 
com a equação anterior. Todas as demais superfícies emitem menos e a emissão 
térmica de muitas superfícies (corpos cinzentos) pode ser bem representa por: 
TAq
4
...  Fluxo térmico radiante 
Onde, 
 = Coeficiente de emissividade, varia de 0 a 1(corpo negro é 1,0) 
 225 
 = Constante de Boltsmann, seu valor é independente da superfície e da 
Temperatura; seu valor é 5,6697. 10-8 W/m2.K4 
A = Área (...superfície), 
T = Temperatura absoluta, 
i= Coeficiente de transmissão de calor por radiação, 
c= Coeficiente de transmissão de calor ou condutividade externa 
 
Figura – radiação térmica sobre uma superfície plana 
O coeficiente de transmissão de calor por radiação depende de vários fatores, entre 
os quais podemos citar: temperatura, dimensões e natureza (coeficiente de 
absorção) das superfícies radiante e irradiada; forma e disposição das superfícies 
entre si. Tais dependências tornam a sua determinação prática bastante trabalhosa. 
 
Ex. (7). Após o crepúsculo, a energia radiante pode ser sentida por uma pessoa 
situada próxima a um muro de tijolos. Estes muros têm freqüentemente 
temperaturas ao redor de 43 Co, e valores típicos de emissividade do tijolo estão na 
ordem de 0,92. Qual seria o fluxo de calor radiante emitido por metro quadrado de 
um muro de tijolos a esta temperatura? 
A equação da Radiação pode ser utilizada 
TAq
4
...  Fluxo térmico radiante 
Substituindo na equação anterior, tem-se; 
 
q/A = (0,92) (5,669.10-8W/m2.K4)[(316,15)4.K4] 
Resposta; 
= 521 W/m2 
 226 
Notar que, em todos os cálculos de energia radiante, deve ser usado a temperatura 
absoluta. 
 
 
 
 
 
 227 
CONVECÇÃO TÉRMICA 
Lei de Newton da convecção 
Convecção 
A energia por convecção ocorre primeiro quando o calor fluirá por condução da 
superfície para as partículas adjacentes de fluido. A energia assim transferida servirá 
para aumentar a temperatura e a energia interna dessas partículas fluidas. Então as 
partículas fluidas se moverão para uma região de menor temperatura no fluido. O 
processo por convecção é classificado por convecção natural e convecção forçada. 
Quando o movimento de misturas tem lugar meramente como resultado das 
diferenças de densidade causadas pelos gradientes de temperatura, fala-se de 
natural. Quando o movimento de mistura é induzido por algum agente externo, tal 
como uma bomba ou um ventilador, o processo é chamado de convecção forçada. 
Fluxo térmico por convecção. 
Se a temperatura a montante do fluido é T e a temperatura da superfície do sólido é 
Ts , a transferência de calor por unidade de tempo é dada por 
TAhq  .
.
  Fluxo térmico por convecção 
Expressão conhecida como Lei de Newton da Convecção. 
E, a Resistência Térmica, será; 
Rt = 1 e q = T 
 i.A Rt 
Onde, 
h = coeficiente de transmissão de calor por convecção, a unidade é W/m2.K 
 A = Superfície de Área, A 
 T = Temperatura 
 q = fluxo térmico 
 
Na prática, o cálculo do coeficiente por convecção é feito a partir de equações 
teórico-empíricas de aplicação bastante restrita. 
 228 
Em nosso estudo, vamos nos limitar à citação dos coeficientes práticos 
indispensáveis à resolução dos problemas de transmissão de calor que mais 
ocorrem nas construções. Deixaremos para nomear esses coeficientes juntos com 
os da radiação, pelo fato de que na construção o coeficiente de convecção sempre 
ocorre junto com o da radiação. 
 
Ex. (8). O coeficiente de transferência de calor por convecção forçada para um fluido 
escoando sobre uma superfície fria é 226,0 W/m2.K num problema particular. A 
temperatura do fluido a montante da superfície fria é 120 oC e a superfície é mantida 
a 10 oC. Determinar a transferência de calor por unidade de área do fluido para a 
superfície. 
Solução; 
A equação para a convecção pode ser utilizada 
TAhq  .
.
  Fluxo térmico por convecção 
Daí, 
Substituindo teremos; 
q/A = (226 W/m2K)(393,15 – 283,15)K 
Resposta; 
= 2,49.104 W/m2 
 
 229 
DILATAÇÃO TÉRMICA NOS SÓLIDOS 
Temperatura baixa 
O grau de vibração das moléculas é pequeno. Isso faz com que o sólido tenha certa 
dimensão. 
dm = distância média. 
 
Figura – dilatação linear para temperatura baixa 
Temperatura alta 
O grau de vibração das moléculas é alto. Isso faz com que o sólido tenha dimensões 
maiores. 
 
 
Figura – dilatação linear para temperatura alta 
 
A elevação da temperatura, num sólido, acarreta um aumento na distância média 
entre os átomos desse sólido. Por isso, ele se dilata. A diminuição da temperatura 
de um sólido, acarreta uma diminuição na distância média entre os átomos. Por isso 
o sólido se contrai. 
 230 
Dilatação linear 
 = coeficiente de dilatação linear. 
A dilatação de um sólido depende do material que constitui o sólido, do comprimento 
inicial (Lo), e da variação de temperatura (t) 
L = Lo t 
 
Figura – dilatação linear - barra aquecida 
 
Exemplos: 
a) Trilho de estrada de ferro 
b) Lâmina bimetálica. 
 
Dilatação superficial 
A = Ao t 
Sendo, 
 = coeficiente de dilatação superficial 
 = 2. 
 
Figura – dilatação superficial 
 231 
Dilatação volumétrica 
V = Vo t 
Sendo, 
 V = Volume final 
 Vo = volume inicial 
  = coeficiente de dilatação volumétrico 
  = 3. 
 
 
 
 
Figura– Dilatação volumétrica 
 232 
Tensões térmicas 
 
Tensões de compressão; 
A dilatação térmica causa tensões de compressão por aumento de volume. 
 
Tensões de tração; 
O resfriamento produz tensões de tração por redução de volume. 
 
Tensões térmicas e suas fórmulas; 
EL
L 

 
Onde, 
 L = variação dimensional da peça 
 L = dimensão da peça em metros 
  = danos (compressão ou tração) 
 E = módulo de elasticidade do material, tabelado. 
 
Tensões térmicas causadas pelos gases; 
Da mesma forma como ocorre nos sólidos, os gases aumentam de volume quando 
aquecidos e diminuem se forme resfriados. 
Para as coberturas planas, o único gás interessante é, em geral, o ar que, a miúdo, 
fica aprisionado sob a cobertura ou no isolante, ou em suas juntas. O volume deste 
ar aprisionado pode crescer fortemente com o calor e exercer uma pressão que 
levante a cobertura (papelão impermeabilizante, etc.) causando inchamentos e 
dobras que resultem quebradiços. Para compreender melhor estes fenômenos é 
conveniente recordar certas leis físicas da termodinâmica. 
 
 
 
 233 
Tensões de incisão e de flexão; 
A diferença de aquecimento das duas faces de uma laje de concreto (inclusive as 
pré-fabricadas) pode ocasionar, além disso, tensões de incisão superiores ao limite 
admissível e suscetível de causar danos. O cálculo dessas tensões, sem dúvida, é 
necessário assinalar que existem e que convém tê-las em conta. 
Se a face exterior de uma laje de concreto recebe diferenças de temperatura 
maiores enquanto a face interior estas diferenças são menores. Podem–se produzir, 
portanto, fortes movimentos térmicos pelo lado exterior e menores movimentações 
para a face interior.Causando tensões de incisão e deformações das lajes. 
Podem-se reduzir as tensões de incisão e de flexão isolando o lado exterior. 
Deduz-se das considerações anteriores que as coberturas planas maciças devem 
ser protegidas exteriormente contra as tensões térmicas perigosas. A espessura da 
placa de isolante depende do vão, ou da separação entre as juntas. PIRONDI 
(1992). 
 
 
 234 
APLICAÇÕES NA ENGENHARIA 
1. Envelhecimento do pavimento asfáltico - fissuras 
2. Fissuras nas edificações por movimentação térmica 
3. Fogo em estruturas de concreto armado 
 
ENVELHECIMENTO DO PAVIMENTO ASFÁLTICO - FISSURAS 
Fonte: PETRUCCI (1975) – Materiais de Construção. 
Materiais betuminosos são classificados em asfaltos e alcatrões. Os materiais 
betuminosos principalmente o asfalto, que pode ocorrer na natureza sob a forma de 
asfalto natural ou impregnando as rochas asfálticas, são conhecidos e empregados 
pelo homem desde a Antiguidade (3 000 A. C.) Eram usados pelas civilizações da 
Ásia Menor como material cimentante em alvenarias, para colar objetos e na 
impermeabilização de pisos sagrados. Com as mesmas finalidades foram usados 
na Índia e Egito, onde também serviram para conservar cadáveres. Foram 
empregados ainda, pelos romanos para impermeabilização de piscinas e 
pavimentação de pisos. 
Em 1800 começaram a ser empregados, ainda sob a forma de asfaltos naturais, 
para a pavimentação rodoviária. 
São materiais que têm grande sensibilidade à temperatura; amolecem devido à 
diminuição da viscosidade e endurecem com a diminuição da mesma em função da 
variação da temperatura. Vantagem: facilidade de emprego, pois possibilitam a 
mistura com simples aquecimento. Apresenta vantagens devido a sua utilização nos 
possibilitarem a mistura com simples aquecimento. Desvantagem: escorrem e se 
deformam facilmente no verão e tornam-se duros e quebradiços, podendo fendilhar, 
no inverno. Esta característica, definida como suscetibilidade à temperatura, deve 
ser levada em consideração e muitas vezes corrigida na sua utilização. Ao contrário 
dos aglomerantes hidráulicos, são praticamente insensíveis às variações 
higrométricas. 
São materiais de boa qualidade, conservando suas propriedades físicas durante 
anos. A causa principal (física) do envelhecimento é sem dúvida a evaporação dos 
constituintes que lhe conferem plasticidade: óleos mais ou menos voláteis. Outra 
 235 
causa (química) é a oxigenação de seus constituintes principais, pela ação do 
oxigênio do ar, com a formação de CO2 e H2O, que se desprendem. Formam-se 
também outros produtos oxigenados, álcoois e acetonas, que são dissolvidos pelas 
águas da chuva. O processo todo conduz à desidrogenação e polimerização do 
material e consequentemente ao endurecimento das camadas superiores. O 
processo de envelhecimento não é acelerado, pois estas camadas superiores 
endurecidas protegem o material. Podem, no entanto, fendilhar pela diferença da 
dilatação, mas as fendas observadas serão sempre menores que as das 
argamassas hidráulicas. 
No curso da evaporação, o material betuminoso perde seus constituintes voláteis. 
Embora a evaporação seja um fenômeno superficial, produz-se geralmente uma 
perda de componentes voláteis em toda a massa por um efeito natural de difusão, 
tendência natural de equilíbrio em todo o conjunto. Naturalmente, esta circulação 
dos óleos será mais lenta quanto maior seja a viscosidade da massa. Cria-se, 
portanto, um gradiente de viscosidade na espessura do material considerado e, se 
este gradiente é muito pronunciado, forma-se uma crosta superficial dura que freia 
totalmente a evaporação posterior. Petrucci (1975) (p. 52 à 54). 
 
Figura 23 - Imagem de um pavimento asfáltico fissurado 
Fonte: Bairro Dona Clara - Jaraguá, Belo Horizonte, MG. 
 236 
FISSURAS NAS EDIFICAÇÕES POR MOVIMENTAÇÃO TÉRMICA 
Fonte: Ercio Thomaz (1999) – Trincas em Edificações. 
Causas das fissuras ou trincas em edifícios. 
1. Fissuras por movimentações térmicas ou Dilatação diferenciada 
Tipos de Fissuras que não serão abordadas neste trabalho. 
2. Fissuras causadas por alterações químicas dos materiais de construção, 
3. Fissuras por sobrecargas, 
4. Fissuras causadas por recalque da Fundação. 
De acordo com Ercio Thomaz (1999), são de grande importância os problemas de 
trincas e fissuras nas obras de engenharia civil, edifícios, pavimentos, pontes, 
barragens e etc. O comprometimento da obra, estanqueidade à água, durabilidade, 
isolação térmica e acústica e o fator psicológico que a fissuração exerce sobre os 
usuários. 
A obra de engenharia está sujeita as variações de temperaturas que causam 
variação dimensional da peça em serviço. Essa dilatação quando restringida por 
diversos vínculos, desenvolve tensões térmicas que poderão provocar o 
aparecimento de fissuras. 
As dilatações diferenciadas provocam movimentações diferenciadas em função de: 
 Junção de materiais com diferente coeficiente de dilatação térmica, por 
exemplo, entre a laje de piso e a cerâmica. 
 Exposição de elementos a diferentes solicitações térmicas, por exemplo, vidro 
de janela com parte sombreado. 
 Gradiente de temperatura em relação a espessura de uma alvenaria com uma 
face mais exposta que a outra. 
Para quantificarem-se as movimentações térmicas de um componente, deve-se 
conhecer suas propriedades físicas e alguns fatores, como por exemplo: 
 Intensidade da radiação solar 
 Absorção da superfície à radiação solar e depende da cor da mesma, 
superfícies de cores escuras atingem temperaturas mais elevadas. 
 237 
 Emitância da superfície do componente, principalmente nas coberturas em que 
reirradiam grande parte da radiação solar. 
 Condutância térmica superficial, rugosidade da superfície, velocidade do ar, 
posição geográfica, orientação da superfície, etc. 
 Condutividade térmica dos materiais constituintes do componente. 
 Calor específico do material 
 
Figura 24 - Imagem de fissuras por movimentação térmica 
Fonte: Passeio de rua no Bairro Santa Rosa - Belo Horizonte, MG 
Solução para este tipo de fissuras: construir juntas de dilatação, ver figura abaixo. 
 
Figura - Imagem de junta de dilatação de pisos 
 
 238 
FOGO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
Fonte: ABNT – NBR – 5627 – Resistência do concreto ao fogo. 
Informações iniciais: 
O concreto armado quando submetido ao fogo. Contudo, é possível contrair 
problemas, na medida em que fica exposto ao fogo prolongado. Depois de 
controlado, dever-se-á promover um plano de investigação e recuperação, de modo 
a conhecer o estado das peças estruturais. Serão em função da intensidade em que 
o fogo atuou, assim como a idade da estrutura e da importância estrutural da área 
afetada. A norma ACI 216R-89 (1996) “Guia para determinação da resistência de 
elementos de concreto submetidos ao fogo” poderá fornecer mais informações sobre 
os efeitos do fogo. 
 
A influência do fogo na estrutura: 
Tipos de patologias; 
a) Desplacamento explosivo, caracterizado pelo desprendimento de lascas e ocorre 
nos primeiros 30 minutos de exposição ao fogo. 
 
b) Descamação do concreto acontece de forma gradual (não violenta) a partir da 
superfície, particularmente em lajes e vigas. À medida que ocorrem os dois tipos 
de desplacamentos, as camadas mais profundas do concreto ficam expostas à 
situação de máxima temperatura, acelerando a transmissão de calor para as 
armaduras. 
 
 
c) Desplacamento com choque térmico, ocorre quando do lançamento da água 
sobre a superfície aquecida, ocasionando choque térmico e o conseqüente 
desprendimento de finas camadas de concreto. 
 
d) Perda da aderência, ocorre a medidaque a temperatura interna das peças 
estruturais aumentam, o aço das armaduras, por Ter coeficiente de dilatação 
térmica maior que o concreto, expande ocasionando desintegração daquilo que 
 239 
denominamos concreto armado, já que toda aderência da superfície das 
armaduras com a massa (do concreto) estará comprometida. Milhares de 
pequenas fissuras aparecerão devido a movimentações térmicas diferenciadas, 
que com a continuidade do sinistro, se aprofundarão. 
 
 
e) Resistência a compressão, para temperaturas em torno dos 300 oC, não haverá 
perdas significativas na resistência residual do concreto. A tolerância deixará de 
existir para temperaturas acima dos 500 oC , pois poderão ocorrer reduções 
significativas em sua resistência a compressão, inviabilizando sua recuperação. 
O agregado muda de cor a medida que é aquecido até altas temperaturas. Em 
bibliografias especializadas, encontra-se gráficos que relacionam a resistência a 
compressão com a cor adquirida pelo agregado graúdos silícicos. Esta prática é 
regulamentada pela norma ASTM C856 “Prática padrão para exame petrográfico 
do concreto endurecido.” Geralmente correlaciona-se estes dados com a 
resistência obtida com o penetrômetro ou de, forma mais completa, com o eco-
impacto ou ultra-som. 
 
f) Resistência dos aços, Os aços estirados a frio e sujeitos a temperaturas 
inferiores a 450 oC, recuperam totalmente sua resistência após o resfriamento. 
Os aços laminados a quente, por sua vez, podem ficar expostos a temperaturas 
superiores a 600 oC sem comprometimento de sua resistência. Sempre que 
possível, dever-se-á correlacionar o teste de dureza com a resistência a 
ductibilidade verdadeiras obtidas através da extração e teste em laboratório. 
Sendo que nos aços protendidos o efeito do fogo é bem mais crítico. Para 
temperaturas em torno de 400 oC, provavelmente haverá perdas superiores a 50 
% na resistência a tração do aço protendido. 
 
 
g) Corrosão é interessante observar que, quando ocorre fogo em estruturas que 
contenham PVC (cloreto de polivinila), há liberação de íons cloretos para o 
interior do concreto, tanto durante quanto após o fogo, contaminando-o de forma 
irreversível, estabelecendo-se após algum tempo milhares de células de corrosão 
 240 
ao longo das armaduras. Os fios e cabos elétricos, além de diversos produtos de 
uso rotineiro, em sua maioria são feitos de PVC. Torna-se, portanto, necessário 
checar o grau de contaminação do concreto por cloretos em laboratórios 
especializados. 
 
 
 241 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
Ex. (01). Determinar o fluxo térmico através de um 1,0 m2 de parede, cuja 
condutividade térmica do material k = 0,19 kcal/m.h.C, com temperatura na face 
interna de 38 oC e externa 25 oC. Considere as seguintes espessuras de parede: (a) 
38 mm, (b) 15 cm. 
Resp.: (a) 65 kcal/h, b) 16,5 kcal/h 
 
Ex. (02). Determine o fluxo térmico por m2, através de um vidro de espessura igual a 
3,0 mm cuja condutividade térmica k = 0,25 kcal/m.h.oC. Sendo uma temperatura 
igual 80 oF e a outra 40 oF. 
 
Ex. (03). Determinar a transferência de calor em regime permanente através de uma 
placa homogênea de 38,0mm de espessura, com as duas faces mantidas nas 
temperaturas constantes de 38 oC e 25 oC/ A condutividade do material é 0,19 Kcal./ 
m.h.oC. 
Resp.: 65 Kcal/h 
 
Ex. (04). Uma fornalha industrial tem a parede construída de tijolo refratário de 20 
cm de espessura com kr= 1,0 kcal/m.h.
oC. Esta parede é revestida externamente por 
uma camada de isolante de 3 cm de espessura com ki= 0,07 kcal/m.h.
oC. A 
superfície interna está a 980 oC e a externa a 38 oC. Calcular o calor transferido. 
Resp.: 1 500 kcal/h. 
 
Ex. (05). Determine a resistência térmica de uma parede que permite a transferência 
de calor de 280 Btu/h.ft2 com uma diferença de temperatura de 100 oF. 
 
Ex. (06). (a) Qual a resistência térmica de uma parede de alvenaria constituída de: 2 
cm de reboco (kr= 0,064 kcal/m.h.
oC), 25 cm de tijolo comum (kt= 0,84 kcal/m.h.
oC), 
2 cm de reboco (kr= 0,064 kcal/m.h.
oC). 
 242 
(b) Qual a resistência térmica dessa parede, quando revestida com chapa de 
Eucatex isolante de ½ in . (ki= 0,03 kcal/m.h.
oC) em uma das faces ? 
 
Ex. (07). Uma câmara frigorífica que deve funcionar a -25 oC em zona onde a 
temperatura ambiente atinge a 35 oC tem seu isolamento caracterizado pela perda 
térmica máxima de 10 kcal/h.m2. Considerando-se apenas a resistência do 
isolamento, calcular a espessura do material isolante (ki= 0,027 kcal/m.h.
oC) 
 
Ex. (08). A parede de um forno industrial compõe-se de: tijolo refratário de 9 in (na 
parte interna), tijolo isolante de caulino, com 4 in, e 8 in de tijolo isolante de alvenaria 
(na parte externa). A temperatura interna é T1 = 400 
oF e, a externa, T4 = 70 
oF. 
Desprezando a resistência das juntas de argamassa, determine as temperaturas T2 
e T3 das superfícies intermediárias. Considere: k do tijolo refratário = 0,05 Btu/h.ft.
oF, 
k do tijolo isolante = 0,15 Btu/h/ft.oF e k do tijolo de alvenaria = 0,38 Btu/h.ft.oF. 
 
Ex. (09). Determine a resistência térmica de uma parede que permite a transferência 
de calor de 280 Btu/h.ft2 com uma diferença de temperatura de 100 oF. (sugestão: q 
= T/R) 
 
Ex. (10). Pavimentos de asfalto apresentam, em dias quentes no verão, 
temperaturas de aproximadamente 48,89 oC. Considerando que uma superfície 
destas emite como um corpo negro, calcular a energia radiante emitida por unidade 
de área. 
Resp.: 610,19 W/m2 
 
Ex. (11). Ar forçado escoa sobre o trocador de calor de um aquecedor doméstico, 
resultando num coeficiente de transferência de calor por convecção h = 1134,0 
W/m2.K,. A temperatura da superfície do aquecedor pode ser considerada constante 
a 65,56 oC, e o ar está a 18,33 oC. Determinar a superfície do trocador de calor 
necessária para um aquecimento de 8786,3 W. 
Resp.: 0,164 m2 
 
 243 
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA 
ABNT-NBR 9575 – Projeto de Impermeabilização 
 
ASKELL, DAVID R. An Introduction to Transport Phenomena in Materiais 
Engineering, School of Materiais Engineering Purdue University. 
 
BAUER, L.A. FALCÃO. Materiais de Construção, vol. I 2a ed. Ed. Livros Técnicos 
científicos. -1985. 
 
BENNETT, C.O. e MUERS, J.E. – Fenômenos de Transporte, Ed. Mc.Graw-Hill Ltda. 
– São Paulo, SP – 1978. 
 
INCROPERA, FRANK P. e WITT, DAVID P. Fundamentos de Transferência de Calor 
e de Massa. 3a ed. Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S/A Rio de Janeiro, 
R.J. 1992. 
 
NBR – 5627: Fixa normas para o concreto armado e protendido quanto a resistência 
ao fogo. 
 
KREITH, FRANK. Princípios da Transmissão de Calor. 3a ed., Editora Edgard 
Blucher Ltda. São Paulo, SP. -1977. 
 
PIRONDI, ZENO. Manual Prático de Impermeabilização e de Isolação térmica. 2a 
edição. Editora PINI – São Paulo, S.P. -1992. 
 
PITTS, DONALD R. e SISSOM, LEIGHTON E.. Fenômenos de Transporte, Editora 
McGraw-Hill do Brasil , São Paulo. 1981. 
 
Revista Impermeabilizar. Truques & Macetes. Palanca Editora Técnica Ltda. 1999. 
www.palanca.com.br 
 244 
SEBE, JAMIL. Estudo da permeabilidade à água do concreto de alto desempenho. 
Tese de Mestrado. Departamento de Engenharia de Estruturas – UFMG, Belo 
Horizonte, MG. 1999 p.19. 
 
SISSOM, LEIGHTON E. e PITTS, DONALD R. Fenômenos de Transporte. Ed. 
Guanabara Dois S/A Rio de Janeiro, RJ. 1979. 
 
THOMAZ, ERCIO. Fissuras e Trincas em Edificações. São Paulo, SP. 1999. 
 245 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 246 
PARTE IITRANSFERÊNCIA DE MASSA 
LEI DE FICK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modos da transferência de massa 
Deduzir a Lei de Fick a partir da equação geral da continuidade 
 
 
 
 247 
 
 
 
 
 
 
 
 
 248 
MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR DIFUSÃO 
Nos capítulos precedentes, estudamos meios com apenas um componente cujos 
comportamentos eram caracterizados por gradientes de temperatura. Neste capítulo 
introduzimos uma nova força motriz originada pelo gradiente de concentração. 
Esta força motriz produz o transporte de um componente de mistura de uma região 
de alta concentração para uma região de baixa concentração. Este processo de 
transporte é denominado transferência de massa. 
Existem diversos mecanismos de transferências de massas. A classificação dada 
por sete tipos: 
1. Difusão molecular (ordinária), resultante de um gradiente de concentração. 
2. Difusão térmica, resultante de um gradiente de temperatura. 
3. Difusão devida à pressão, que ocorre em virtude de um gradiente de pressão. 
4. Difusão forçada, que resulta de outras forças externas além das gravitacionais. 
5. Transferência de massa por convenção natural. 
6. Transferência de massa turbulenta, resultante das correntes de remoinho 
existentes num fluido. 
7. Transferências de massas entre as fases, que ocorre em virtude do não 
equilíbrio através da interface. 
Esses tipos se agrupam naturalmente em dois modos distintos de transporte. Os 
quatro primeiros tipos ocorrem com transferência de massa molecular; os três 
últimos ocorrem com transferência de massa por convecção. 
 
OS MODOS DE DIFUSÃO 
Na difusão térmica numa mistura binária, as moléculas de um componente se 
dirigem para a região quente, ao passo que as moléculas do outro componente 
tendem a se mover no sentido da região fria; isto é conhecido pelo nome de efeito 
Soret. 
O efeito inverso é dado pela tendência de criar um gradiente térmico quando existe 
um gradiente de concentração; este é o efeito Dufour. A difusão térmica foi aplicada 
com êxito no processo de separação dos isótopos. 
 249 
 A difusão sob pressão ocorre quando existe um gradiente de pressão numa mistura 
fluida, por exemplo , num poço fechado profundo ou num tubo fechado que gira em 
torno do eixo perpendicular ao eixo do tubo (centrifugação). Os componentes mais 
leves tendem a se mover para as regiões de mais baixas pressões. 
 A difusão forçada resulta da ação de uma força externa não gravitacional que atua 
de maneira diferente sobre os diversos componentes da mistura. A difusão de íons 
num eletrólito num campo elétrico é um exemplo clássico da difusão forçada. 
Quando ocorre difusão térmica, difusão sob pressão e ou difusão ordinária no 
sentido oposto. Ao se atingir o estado estacionário, os fluxos dos dois (ou mais) tipos 
de difusão algumas vezes se anulam uns aos outros, produzindo num dado ponto 
propriedades independentes do tempo. 
 A transferência de massa por difusão é um processo análogo ao da transferência de 
calor por condução. A massa é transportada pelo movimento de uma dada espécie 
no sentido da sua diminuição de concentração, analogamente à troca de energia 
entre as moléculas no sentido do decréscimo da temperatura no problema da 
condução. 
A difusão ordinária pode ocorrer em gases, líquidos ou sólidos. Devido ao 
espaçamento entre as moléculas, a taxa de difusão é muito mais elevada em gases 
do que em líquidos; ela é mais elevada nos líquidos do que nos sólidos. 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PERMANENTE APLICADA PARA A 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
ds
dP
ACq .
 
Equação da continuidade para fluxo permanente 
Sendo, 
P = Intensidade do campo ou Força Motriz (Temperatura, Concentração 
mássica, Velocidade, Umidade, etc.) 
 J = q/A = Fluxo por unidade de área ou densidade de fluxo. 
 C = Coeficiente de proporcionalidade que depende do meio. 
 250 
Desempenha o papel análogo da viscosidade do fluido, da condutividade térmica 
do material da difusividade mássica na mistura binária por difusão ou da 
permeabilidade do solo no escoamento em meios porosos. 
 q = fluxo qualquer (fluxo térmico, fluxo mássico, fluxo hidráulico). 
 
SOLUÇÃO DE FICK 
Na difusão mássica, considere duas regiões distintas A e B e com substâncias 
fluídas e concentrações diferentes. O de maior concentração se difunde para o de 
menor concentração, produzindo um gradiente de concentração, que varia 
linearmente com a distância dos recipientes sob condições permanentes. 
Portanto, fazendo; 
P = CA 
c = DA 
J = MA/A 
xA
J
CD.M A
A
A


 
 
Lei de Fick - para um campo de mistura binária. 
Onde, 
 MA = fluxo de massa (Kg/s) do fluido “A” ou lbm/h 
DA = difusividade mássica binária, semelhante à viscosidade e a 
condutividade térmica (m2/s ou ft2/s). Dependerá da pressão e temperatura. 
CA = concentração em massa pôr unidade de volume do componente A, na 
unidade de kg/m3. 
O fluxo de massa de um componente é proporcional ao gradiente de concentração. 
Deve-se notar a semelhança formal entre a Lei de Fourier para condução de Calor e 
a Lei de Fick para Transporte de Massa por difusão binária. 
Ou, 
A solução de Fick desde x1 até x2 e de CA(1) até CA(2) e considerando a difusividade 
DA como constante, será; 
 251 
x
..A CDM
A
AA 


 
Lei de Fick simplificada. 
Unidade no MKS: kg/s 
 
COEFICIENTE DE DIFUSÃO 
O fator de proporcionalidade D na lei de Fick , conhecido como difusividade mássica 
ou coeficiente de difusão , é uma propriedade específica do sistema. Seu valor 
depende da pressão do sistema, da temperatura e da composição. 
Na ausência de dados experimentais, algumas fórmulas são discutidas e podem 
algumas vezes ser usadas para substituir os dados experimentais, tendo em vista as 
dificuldades encontradas em medir este coeficiente. 
Considere o tanque com dois compartimentos ilustrados na figura acima, 
sendo que um dos compartimentos contém um gás A e, o outro, um gás B. Ambos 
os compartimentos estão inicialmente a uma pressão uniforme e possuem a mesma 
temperatura. Quando a partição entre os compartimentos é removida, o gás A se 
move para a direita, uma vez que sua concentração no compartimento do lado 
direito era inicialmente nula; o gás B move-se para o compartimento da esquerda. 
Este processo continuará até que desapareça o gradiente de concentração através 
do recipiente; isto é, as moléculas do gás A estarão formando com as moléculas do 
gás B uma sucessão com as moléculas do gás A estarão formando com as 
moléculas intercaladas uniformemente em todo o espaço do recipiente. 
 
Figura – difusão mássica numa mistura binária – solução de Fick. 
 
 252 
Exemplo 1: Vapor de água se difunde de uma área de 100 ft2 com uma taxa igual a 
4,0 lbm/h para o ar seco. Qual deve ser a diminuição de concentração mássica numa 
distancia vertical de 10 in a partir da superfície livre? 
Solução; 
Aplicando a Lei de Fick, tem-se; 
x
A
C
DM
A
AA 

 .
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura – Superfície de controle para estudo da difusão 
Onde: 
 A= 100 ft2 
 MA= 4,0 lbm/h (Fluxo de Massa no sistema inglês de unidades) 
 y= 10 in (=10/12 ft) 
 v= 7,44.10
-2 lbm/ft
3 (Densidade do vapor) 
 DA= 0,853 ft
2/h (Difusividade do vapor em relação ao ar – tabelada) 
logo: 
CA= 3,333/6,3464 (Concentração mássica, análogo à temperatura na Lei de 
Fourier) 
= 0,52 ou 52% (diminuição da concentração mássica) 
 
 253 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES NA ENGENHARIA 
 
 
 
1. Águas subterrâneas:Processo de escoamento de um soluto na contaminação 
da água – Hidrogeologia. 
2. Evaporação da água-ar: Hidrologia. 
3. Fissuras em edificações: 
3.1 Fissuras por retração Hidráulica - Secagem rápida ou Evaporação. 
3.2 Fissuras por retração devido a produtos à base de cimento. 
3.3 Fissuras por movimentações higroscópicas ou umidade diferenciada 
4. Permeabilidade na vida útil do concreto – Lei de Darcy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 254 
ÁGUAS SUBTERRÂNEAS - PROCESSO DE ESCOAMENTO DE UM SOLUTO NA 
CONTAMINAÇÃO DE ÁGUAS - HIDROGEOLOGIA 
Quando a água se infiltra no solo, avança verticalmente pela força de gravidade, 
através dos poros (espaços vazios) existentes entre os grãos até chegar ao 
reservatório subterrâneo. O reservatório subterrâneo é constituído por espaços ou 
poros de rocha, que são conectados entre si. Onde a água se armazena e circula 
muito lentamente, esses reservatórios subterrâneos se chama aqüífero (do latim, 
aqui = água e fer = suporte) ou seja região que suporta água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura – Esquema de um Aqüífero – Reservatório subterrâneo 
De acordo com a linguagem dos profissionais nas áreas de Recursos Hídricos e 
pesquisadores em geral, água subterrânea é uma solução diluída de inúmeros 
elementos e compostos sólidos, líquidos ou gasosos em proporções diversas, 
provenientes do ar (durante o processo de condensação e precipitação), dos solos e 
das rochas (nas quais circula ou é armazenada) e do contato com as atividades 
humanas. 
O conceito de poluente, de água poluída, das origens de contaminação (atividades 
industriais, etc), das fontes de contaminação (acidentes com caminhões, pesticidas, 
etc.) é de grande importância nas questões de poluição ambiental. 
 
 
 
 255 
Modos de Contaminação da Água Subterrânea; 
Nos aqüíferos, devido à lenta circulação das águas subterrâneas, capacidade de 
adsorção dos terrenos e pequeno tamanho dos canículos, uma contaminação pode 
levar muito tempo até manifestar-se claramente. Os aqüíferos são muito menos 
vulneráveis à poluição do que as águas superficiais. Mas, uma vez produzida a 
contaminação, a recuperação, dependendo do tipo de contaminante, pode levar 
muitos anos e até mesmo tornar-se economicamente inviável. 
 
Formas mais usual de contaminação da água subterrânea; 
 Deposição de resíduos sólidos na superfície do solo: Chorume produzido 
nos aterros sanitários pela percolação da água de chuva. O TDS (Total de 
Sólidos Dissolvidos) do chorume além de ser bastante alto, pode ainda conter 
muitos contaminantes inorgânicos e orgânicos. E, vários tipos de gases (CO2, 
CH4 e N2, etc.) são produzidos por decomposição bioquímica de matéria 
orgânica. 
 Lançamentos de esgotos: Os esgotos são lançados sobre ou abaixo da 
superfície do solo de várias maneiras. O uso generalizado de fossas sépticas e 
drenos, não somente contribui para que o esgoto filtrado alcance a superfície 
do terreno, como se constitui provavelmente numa das principais causas de 
contaminação da água subterrânea no mundo. Um dos problemas associados 
com o lançamento de esgotos, tratados ou não, na superfície do terreno ou a 
pequena profundidade, é o de saber a que distância e a que velocidade 
bactérias patogênicas e vírus (partículas orgânicas muito pequenas, 0,07 a 0,7 
m) podem se mover em sistemas de fluxo subterrâneo. 
 Atividades agrícolas: O uso de fertilizantes e pesticidas nas atividades 
agrícolas é responsável pela degradação da qualidade da água subterrânea 
em muitas áreas de cultivo intenso. Como os fertilizantes são usados todos os 
anos, são de se esperar que em muitas áreas os excessos se infiltrem e 
alcancem o nível freático contaminando os aqüíferos. (o nitrogênio na forma de 
nitrato NO3) Que se move com a água subterrânea e pode atingir extensas 
áreas. 
 256 
 Derramamento e vazamento de petróleo: Existem centenas de tanques de 
aço enterrados, armazenando derivados de hidrocarbonetos em postos de 
gasolina. Produtos de petróleo são transportados ao longo de milhares de 
quilômetros. Vazamentos provocam contaminação das águas subterrâneas 
quando os níveis freáticos são muito altos e as infiltrações de água de chuva 
são muito freqüentes. 
 Lançamento de resíduos radioativos: A geração nuclear de eletricidade deu 
lugar ao chamado ciclo do combustível nuclear envolvendo, a mineração, 
trituração, refinamento e enriquecimento de urânio, fabricação de combustível, 
consumo de combustível em reatores, reprocessamento de combustível, 
solidificação de resíduos e armazenagem de resíduos ou rejeitos (Contém 
isótopos de urânio, tório e rádio, no caso com meia-vida de 1620 anos e 
apresenta grande perigo ambiental). 
 
Teoria básica e Equações para transporte de massa; 
É o transporte de um soluto (ou traçador), isto é, da massa de uma substância que 
se move com a água nos interstícios do meio poroso. Os mecanismos que atuam no 
transporte de um poluente em um meio poroso são: 
 Os fluxos advectivo, dispersivo e difusivo; 
 Interações sólido-soluto; 
 Reações químicas; 
 Fenômenos de decaimento. 
São todos fenômenos sumidouros para o soluto que pode ser caracterizado por sua 
densidade , concentração C ou qualquer outra propriedade, como cor ou 
condutividade elétrica. 
 
 Fluxo Advectivo ou convectivo – É o movimento do traçador com velocidade 
média no meio poroso, devido ao gradiente hidráulico e governado pela Lei de 
Darcy. 
 257 
s
H
k
A
q


 
Como, 
q = V.A 
Logo, 
V = q/A 
Daí, a velocidade de escoamento, será: 
V
x
H
k
A
q
C 


 
 
 Fluxo dispersivo – é o fluxo resultante das variações (ou desvios) da 
velocidade nas vizinhanças do ponto considerado dentro do volume de controle 
e que produz o espalhamento da substância. Como resultado do trabalho de 
muitos pesquisadores, admite-se que o fluxo dispersivo pode ser expresso em 
função do gradiente de concentração, na forma de uma Lei de Fick, ou seja: 
x
A CDq
A
AD 

 .
 
 
 Fluxo difusivo – a difusão em soluções é o processo pelo qual constituintes 
iônicos ou moleculares se movem na direção dos seus gradientes de 
concentração. Ela ocorre em um sistema binário (constituído de um soluto e um 
solvente) a nível microscópico e é também chamada de difusão molecular. A 
difusão de uma substância pode ocorrer na ausência de qualquer movimento 
hidráulico e só deixa de existir quando se anulam os seus gradientes de 
concentração. A massa de substância difusivo que atravessa uma seção 
transversal na unidade de tempo é proporcional ao gradiente de concentração. 
Este é o enunciado da chamada Lei de Fick, expressa por: 
x
A
C
DM
A
AA 

 .
 
 258 
 
Fluxo Total de um Poluente 
O fluxo total de um poluente (soluto) é a soma dos fluxos advectivo, dispersivo e 
difusivo. Em meio não saturado, com teor de umidade. 
 
O fluxo total é dado por; 
Mqqq ADCT 
 
 
EVAPORAÇÃO DA ÁGUA-AR 
Fonte: VILLELA (1975) – Hidrologia aplicada 
Teoria básica conceitual 
A hidrologia é a ciência que trata da ocorrência, circulação e distribuição da água na 
terra. A primeira constatação de que o escoamento superficial não representa toda a 
chuva que cai em uma bacia foi feita no século XVII por Pierre Percoult. Ele mediu o 
escoamento em um rio e concluiu que somente parte da chuva se transformava em 
vazão, o restante se perdia por transpiração, evaporação e infiltração. Vieira (1999). 
O conhecimento da perda d`água de uma superfície natural é de suma importância 
nos diferentes campos do conhecimento científico, especialmente nasaplicações da 
Meteorologia e da Hidrologia as diversas atividades humanas. 
Neste estudo o destaque é para a EVAPORAÇÃO água/ar, como ilustração da 
aplicação de Fenômenos de Transporte na Engenharia Civil. 
O processo pelo qual a água líquida passa para o estado de vapor em condições 
naturais é chamado evaporação, podendo ser expresso matematicamente por: 
dt
dm
E 
 , unidade no MKS em kg/s. 
Onde, 
E é a taxa de evaporação por unidade de área, dm a massa que passa para o 
estado de vapor num intervalo de tempo dt. 
 259 
A transferência natural de água no estado de vapor da superfície do globo para a 
atmosfera interpreta-se facilmente pela teoria cinética da matéria. 
Nos sólidos e líquidos predominam as forças de atração entre as partículas do 
corpo. Nos sólidos, cada partícula tem oscilações de muito pequena amplitude em 
volta de uma posição média quase permanente. Nos líquidos, a energia cinética 
média das partículas é maior do que nos sólidos, mas uma partícula que se liberta 
da atração daquelas que a rodeiam é logo captada por um grupo de partículas 
vizinhas. Nos gases, a energia cinética média das partículas é ainda maior e 
suficiente para libertá-las umas das outras. 
A mudança do estado sólido ou líquido para o estado gasoso corresponde a um 
aumento da energia cinética das partículas da substância, exigindo por isso, para se 
fazer com temperatura constante, o consumo de uma quantidade de energia que, 
por unidade de massa da substância , é o calor de vaporização, incluindo a 
sublimação. Á mudança de estado no sentido contrário corresponde a libertação de 
uma quantidade de energia igual à que é consumida na transformação, inversa nas 
mesmas condições. 
Simultaneamente com o escape das partículas de água para a atmosfera dá-se o 
fenômeno inverso; partículas de água na fase gasosa, que existem na atmosfera, 
chocam a superfície de separação e são captadas pelo corpo evaporante. A 
evaporação mantém-se até atingir o estado de equilíbrio, que corresponde à 
saturação do ar em vapor d'água; o número de partículas de água que escapam do 
corpo evaporante sendo igual ao número de partículas de água na fase gasosa que 
são capturadas pelo corpo no mesmo intervalo de tempo. 
 
As condições básicas para a ocorrência do mecanismo são: 
a) Existência de uma fonte de energia que pode ser a radiação solar, calor 
sensível da atmosfera ou da superfície evaporante. 
b) Existência de um gradiente de concentração de vapor. Por esta razão pode-se 
exprimir a taxa de evaporação por unidade de área por: 
z
e
kE
A
qv



 
 260 
Onde k é o coeficiente de transporte do vapor e de/dz o gradiente de concentração 
do vapor (ou força motriz). 
100
.esUr
e  
Onde, 
e = pressão de vapor do ar em mm de Hg, 
es = pressão de saturação de vapor à temperatura do ar, retirados em tabelas 
de hidrologia 
UR = umidade relativa. 
 
FISSURAS NAS EDIFICAÇÕES 
Fonte: Ercio Thomaz (1999) 
Dentre os inúmeros problemas que afetam os edifícios, particularmente importante é 
o problema das trincas, devido a três aspectos fundamentais: o aviso de um 
eventual estado perigoso para a estrutura, o comprometimento do desempenho da 
obra em serviço (estanqueidade à água, durabilidade, isolação, etc.) e o 
constrangimento psicológico que a fissuração do edifício exerce sobre os usuários. 
 
Classificação das fissuras de acordo com a causa: 
 Por retração hidráulica da secagem rápida ou evaporação. 
 Por retração de produtos à base de cimento. 
 Por movimentação higroscópica. 
 Por movimentação térmica (visto no capítulo anterior). 
 
 
 
 
 
 261 
Por Retração Hidráulica da Secagem Rápida ou Evaporação 
Em função do fácil preparo, o concreto e argamassas normalmente são virados com 
água em excesso, o que vem agravar o fenômeno da RETRAÇÃO HIDRÁULICA. 
Retração de secagem da água excedente evaporando-se em seguida provoca 
redução do volume. 
 
Outras causas da fissura; 
 
Por Retração de Produtos à Base de Cimento 
A hidratação do cimento consiste na transformação de compostos mais solúveis em 
compostos hidratados menos solúveis, para que ocorra a reação química completa 
(estequiométrica) entre a água e os compostos é necessário cerca de 30 a 40% de 
água em relação a massa do cimento. Em média, uma relação água/cimento de 
aproximadamente 0,40 é suficiente para que o cimento se hidrate completamente. 
 
Tipos de Retração; 
Retração química entre o cimento e a água com contração 25% do volume. 
Retração por Carbonatação a cal hidratada liberada nas reações de hidratação do 
cimento reage com o gás carbônico presente no ar, formando carbonato de cálcio; 
esta reação é acompanhada de uma redução de volume, RETRAÇÃO POR 
 
CARBONATAÇÃO. 
Por Movimentações Higroscópicas ou Umidade Diferenciada 
A umidade diferenciada provoca variações dimensionais nos materiais porosos que 
integram os elementos e componentes da construção, o aumento e a diminuição do 
teor de umidade provocam uma expansão e uma redução do material. A peça 
estando impedida de movimentar aparecerá a FISSURA. 
Vias de acesso da umidade; Umidade da produção dos componentes, Umidade 
proveniente da execução da obra, Umidade do ar ou proveniente de fenômenos 
meteorológicos, Umidade do solo. 
 262 
A umidade nos materiais de construção depende da porosidade e capilaridade. 
O sentido da percolação da água através dos mesmos é determinado pela diferença 
do teor de umidade. Se um material poroso é exposto por tempo suficiente a 
condições constantes de umidade e temperatura, graças ao fenômeno da difusão, 
seu teor de umidade acabará estabilizando-se. 
Retração de secagem da água excedente evaporando-se em seguida provoca 
redução do volume. 
 
 
Figura - Imagem de fissuras devida a umidade diferenciada - pé de galinha 
 Fonte: Prédio residencial 
 
Permeabilidade na Vida Útil do Concreto – Lei de Darcy 
Fonte: Silva (1995) - Durabilidade das estruturas de concreto aparente em 
atmosfera urbana. 
Definição de Durabilidade (ou vida útil) – tempo em que a umidade levará para 
atingir a ferragem gerando corrosão. 
Exemplo numérico; 
Tempo de percolação. 
Para um concreto ensaiado pela NBR 10786 de consumo de cimento de 500 kg/m3 
com idade de 60 dias o coeficiente de permeabilidade k = 8,0 .10-11 m/s (semelhante 
ao mármore). Cuja espessura da camada de cobertura vale 10 cm. Determinar o 
tempo de percolação da umidade até a ferragem. 
 
 263 
Solução: 
Para escoamento permanente (velocidade constante), tem-se; 
V
x
t

 
Para uma velocidade de v = 8.10-11 m/s constante e espessura de 10 cm (0,10m), 
Teremos um tempo de: 
anos,.,
.
,
t 406139251
8
100
10
10
9
11


 
O fluxo da umidade percolada é dado pela Lei de Darcy, a saber; 
L
U
AkQ
t
q




..
 
Onde, 
U = gradiente de umidade relativa 
L = espessura do corpo de prova a ser atravessado (m) 
A = área da seção do corpo de prova (m2) 
K = coeficiente de permeabilidade ou condutividade hidráulica (m/s) 
Por ex.: 
fazendo q/(A.U) = C = constante 
 
E, substituindo na Lei Geral, tem-se; 
C
k
x
UA
q
k
x
t .
.





  
C
k
x
t .


 
ou, 
tkx  . 
Semelhante à, 
x = v.t  da cinemática 
 264 
A permeabilidade regula a velocidade de penetração de água contendo agentes 
agressivos para o interior do concreto. E, para medir esta velocidade ou 
permeabilidade pode-se usar os permeâmetros em corpos de prova. 
Fatores que influenciam navida útil do concreto (no tempo de percolação); 
 Espessura do concreto, cobrimento da ferragem. 
 Cura do concreto: menos fissuras por hidrocarbonatação. Manter neste 
período o concreto saturado para que o espaço ocupado pela água possa ser 
ocupado pelo resultado da hidrocarbonatação do concreto. CO2 do ar com a 
portlandita. 
 Da porosidade do concreto 
 Fator água/cimento 
 Tipo de cimento e tipo do agregado 
 Aditivos 
 
PROBLEMA PROPOSTO 
Ex. (01). Determine a taxa de difusão mássica (MA), fluxo de massa do dióxido de 
carbono a 100 F de uma superfície com 50 ft2 para o ar. Se a concentração mássica 
CA for de 3,52.10
-2 e desprezível à uma distancia de 2,0 in da superfície. 
Considerar para este exercício: DA=0,535 ft
2/h (difusividade mássica do dióxido de 
carbono) e A= 0,108 lbm/ft
3 sua densidade absoluta. 
Resp.: MA= 0,610 lbm/h 
 
 
 265 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
ASKELL, DAVID R. An Introduction to Transport Phenomena in Materiais 
Engineering, School of Materiais Engineering Purdue University. 
 
BENNETT, C.O. e MUERS, J.E. – Fenômenos de Transporte, Ed. Mc.Graw-Hill Ltda. 
– São Paulo, SP – 1978. 
 
INCROPERA, FRANK P. e WITT, DAVID P. Fundamentos de Transferência de 
Calor e de Massa. 3a ed. Ed. Livros Técnicos e Científicos Editora S/A Rio de 
Janeiro, R.J. 1992. 
 
PITTS, DONALD R. e SISSOM, LEIGHTON E.. Fenômenos de Transporte, Editora 
McGraw-Hill do Brasil São Paulo. 1981. 
 
SEBE, JAMIL. Estudo da permeabilidade à água do concreto de alto desempenho. 
Tese de Mestrado. Departamento de Engenharia de Estruturas – UFMG, Belo 
Horizonte, MG. 1999 p.19. 
 
SISSOM, LEIGHTON E. e PITTS, DONALD R. Fenômenos de Transporte. Ed. 
Guanabara Dois S/A Rio de Janeiro, RJ. 1979. 
 
VIEIRA, CRISTINA PEIXOTO. Medida e Modelagem da Intercepção da chuva em 
uma área florestada na região metropolitana de Belo Horizonte. Tese de Mestrado. 
UFMG – DESA. Belo Horizonte, MG. 1999. 
 
VILLELA, SWAMI MARCONDES e MATTOS, ARTHUR. Hidrologia Aplicada. Editora 
McGraw-Hill do Brasil, Ltda. São Paulo. SP. 1975