239655616-Mecanica-Dos-Fluidos-FORMATADO

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 
Dt
DV
f  
 
  








t
V
vVgp ijkV  2. 
Autor: Milton César Toledo de Sá 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
NA 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
5a Edição Revista 
Belo Horizonte 
2011 
 
 2 
Milton César Toledo de Sá 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS NA ENGENHARIA CIVIL 
TÓPICOS DE MECÂNICA DOS FLUÍDOS, CALOR E MASSA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Direitos Reservado em 2005 por Milton César Toledo de Sá. Minas Gerais, Brasil. 
 
Dados de Catalogação na Publicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte, Minas Gerais. 
E-mail: bioterraengenharia@hotmail.com 
Brasil. 
Sá, Milton César Toledo de. 
 Mecânica dos Fluidos, Calor e Massa. Milton César 
Toledo de Sá (Org.) – Belo Horizonte: Produção 
Independente. 2010. 
1. Engenharia – Fenômenos de Transporte 2. Fluidos 
 3 
 
 
 
 
 4 
SUMÁRIO 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
INDICE 
SÍMBOLOS, ABREVIATURAS E FATORES DE CONVERSÃO. 
 
CAPÍTULO 1 
 Introdução à Mecânica dos fluidos e suas principais propriedades. .......................15 
CAPÍTULO 2 
 Estática dos fluidos: Pressão e Manometria............................................................33 
CAPÍTULO 3 
 Dinâmica dos fluidos: Equação da continuidade - vazão.........................................65 
CAPÍTULO 4 
 Medidores de vazão.................................................................................................89 
CAPÍTULO 5 
 Dinâmica dos fluidos: Teorema de Bernoulli..........................................................103 
CAPÍTULO 6 
 Forças Desenvolvidas por Fluídos em Movimento.................................................141 
CAPÍTULO 7 
 Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica.......................................................179 
CAPÍTULO 8 
 Transferência de Calor e Massa............................................................................203 
 
 
 5 
 
 6 
APRESENTAÇÃO 
Nesta edição substituímos alguns exercícios, efetuamos algumas correções 
gramaticais e fizemos algumas atualizações no texto. 
Alteramos o texto original para que possa ser utilizado como texto de apoio didático 
ao ensino de Mecânica dos fluidos para a Engenharia Civil, contudo poderá ser 
utilizado nas demais modalidades. 
Sendo fruto da experiência do autor em sala de aula, ao longo de duas décadas, do 
diálogo permanente com os alunos e professores. 
O seu principal objetivo é gerar um texto para ser ministrado numa só disciplina, 
enfatizando a Mecânica dos Fluidos visando fornecer pré-requisitos as disciplinas de 
Hidráulica, Saneamento, Estradas, Hidrologia e os Recursos Hídricos. 
Parâmetros condicionantes para aplicabilidade do texto: 
 Fluxos permanente (ou estacionário), unidimensional, irrotacional, fluido 
incompressível, materiais isotrópicos e sujeitos à temperatura menores de 100oC. 
A organização básica do texto apresenta-se dividida em três partes: 
Primeira parte: aborda a mecânica dos fluidos, em especial a Hidrodinâmica, a 
partir dos princípios de Fenômenos de Transporte, ou seja: o da conservação da 
massa - Equação da Continuidade e o da Conservação da Energia – Equação do 
Equilíbrio (e Navier-Stokes), com destaque para a equação da Vazão e o teorema 
de Bernoulli. E, o princípio da quantidade de movimento - Forças desenvolvidas 
enfocando o Empuxo em curvas e reduções hidráulicas. 
Segunda parte: trata da transmissão de calor e massa sob o ponto de vista da 
Equação da continuidade para fluxo permanente. 
O texto está subdividido em capítulos a fim de permitir melhor compreensão e 
assimilação do conteúdo. Em quase todos eles, encontram-se as seguintes seções: 
 Teoria – São teorias sobre o conteúdo dos tópicos 
 Aplicações na Engenharia – sugere algumas praticas que aplicam 
imediatamente a teoria exposta. 
 Problemas propostos – são elaborados para atividades em grupos para 
serem resolvidos pelos estudantes. Objetivando um melhor entendimento das 
equações matemáticas e possibilitar a apropriação da teoria. 
 7 
 Bibliografia específica – algumas sugestões de leituras sobre o assunto do 
capítulo. 
Este trabalho foi estruturado para adequar-se ao planejamento de uma disciplina de 
60 a 80 horas aula. O capítulo 1 é sobre a introdução e trata das aplicações na 
Engenharia e os Fundamentos da Mecânica dos fluidos. Devem ser estudados na 
ordem que se apresentam. Mas, é possível reunir capítulos de partes diferentes do 
livro /sob um mesmo eixo. 
Tem-se consciência que o livro didático é instrumento básico na mediação entre o 
professor e o aluno. Eles interagem através do livro. A responsabilidade é grande e 
procurou-se cumprir a tarefa de dar qualidade a essa relação. 
Motivação, inovação, qualidade são alguns princípios que guiaram a elaboração 
desse texto, esperando e desejando a todos – professor, alunos e profissionais da 
área – um bom trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Sugestão de programa para Fenômenos de Transporte 
Capítulos recomendados 
Numero 
de aulas 
Cap. 1 – Introdução. Principais propriedades físicas dos 
fluidos 
12 h/a 
Cap. 2 – Estática dos fluidos - Pressão e Manometria 08 h/a 
Cap. 3 – Equação da Continuidade – Vazão 10 h/a 
Cap. 4 – Medidores de Vazão 8 h/a 
Cap. 5 – Teorema de Bernoulli 10 h/a 
Cap. 6 – Forças Desenvolvidas por fluidos em 
movimento 
12 h/a 
Cap. 7 – Análise dimensional e semelhança dinâmica 6 h/a 
Cap. 8 – Transferência de calor e massa 14 h/a 
TOTAL DE AULAS 80 h/a 
 
Autor: Milton César Toledo de Sá 
 
BIOGRAFIA 
MILTON CÉSAR TOLÊDO DE SÁ,Esp. Graduado em Engenharia Civil em 1979. 
Atuou em execução de obras de saneamento e edificações. Sócio da empresa 
Bioterra Engenharia do ramo de Avaliação de imóveis, projeto para outorga de uso 
de água e projeto de drenagem pluvial. Professor de Hidrologia e Mecânica dos 
Fluidos. Pós-Graduado em Metodologia do Ensino Superior e em Engenharia dos 
Materiais. 
Diretor Administrativo do CREA-MG na Gestão 2004 e Conselheiro por diversos 
mandatos. 
Belo Horizonte, MG – Brasil – E-mail: bioterraengenharia@hotmail.com 
 
 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
INDICE 
 
Capítulos Página 
Cap. 1 – Introdução. Principais propriedades dos fluidos 15 
Cap. 2 – Estática dos fluidos - Pressão e Manometria 33 
Cap. 3 – Dinâmica dos fluidos - Equação da 
Continuidade – Vazão 
65 
Cap. 4 – Medidores de Vazão 89 
Cap. 5 – Dinâmica dos fluidos - Teorema de Bernoulli 103 
Cap. 6 – Forças Desenvolvidas por fluidos em 
movimento 
141 
Cap. 7 – Análise dimensional e semelhança dinâmica 179 
Cap. 8 – Transferência de calor e massa 203 
 
 
 11 
LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIATURAS 
A lista abaixo apresenta os símbolos usados neste livro. Não se pode evitar de usar 
algumas vezes a mesma letra representando mais de um conceito, em virtude da 
limitação do alfabeto. Cada símbolo é definido quando de sua utilização, não 
ocasionando, portanto, possíveis confusões. As unidades serão fornecidas no 
sistema inglês e no sistema métrico, uma vez que encontraremos exemplos e 
problemas propostos, ora num sistema, ora noutro, a fim de familiarizar o aluno com 
ambos. Nota Importante: 
Em muitos problemas as conversões para o sistema métrico não correspondem aos 
fatores de conversão exatos. Foram usados,muitas vezes, valores arredondados ou 
seu próximo, dos valores reais, a fim de se facilitarem as explicações e resoluções. 
a aceleração m/s² (ft/s²), área em m2 (ft²). 
A área em m², (ft²). 
cc coeficiente de contração. 
cv coeficiente de velocidade. 
C coeficiente (Chézy), constante de integração. 
CD coeficiente de resistência ao avanço (de forma). 
CL coeficiente de sustentação. 
d, D diâmetro em metros ou ft. 
E módulo de elasticidade volumétrica em kg/m2 ou kg/cm2 (lb/ft² ou lb/in²), 
energia específica em mkg/kg (ft lb/lb). 
f coeficiente de atrito (Darcy) para escoamento tubular. 
ft³/s f t cúbico por segundo 
F força em kg (lb). 
g aceleração da gravidade: 9,81 m/s² (32,2 ft/²). 
Pm galões por minuto. 
h altura ou profundidade, pressão ou altura de carga em metros ou ft. 
H altura total (energia) em metros ou mkg/kg (ft ou ft 1b/1b). 
HL,he perda de carga em m (ft). Algumas vezes aparecerá como LH ou h/ 
hp Horas Power = wQH/550 = 0,746 kw. 
M massa em kg (slugs ou lb s²/ft), peso molecular, 
n coeficiente de rugosidade, expoente, coeficiente de atrito nas fórmulas de 
Kutter e Manning. 
 12 
NF número de Froude. 
NM número de Mach. 
N.W. número de Weber. 
p' pressão em lb/in² ou kg/cm² 
psf. lb/ft2 
psia lb/in2, absoluta. 
psig lb/in2, manométrica. 
q fluxo unitário em m3/s/unidade de largura (ft³/s/unidade de largura) 
Q vazão em volume em m³/s (ft³/s). vazão unitária em m³/s (ft³/s). 
r qualquer ralo em m (ft). 
R constante de gases, raio hidráulico em m (ft). 
RE número de Reynolds 
 (mu) viscosidade absoluta em poises ou kg s/m² (lb s/ft²) (poises). 
 (nu) viscosidade cinemática em stokes ou m²/s (ft²/s) = g/p. 
 (rô) massa específica em kg/m³ (slugs/ft³ ou lb. S²/ft4) = W/g. 
 (sigma)tensão superficial em kg,/m (lh/ft), tensão normal em kg!m² (psi). 
 (tau) tensão cisalhante em kg/m² lbift², lb/in² (psi) ou kg/cm² 
 
LISTA DE FATORES DE CONVERSÃO 
 
1 polegada (in) = 25,4 mm. . 
1 pé (ft) = 0,305 m = 12 in. 
1 polegada³ (in)³ = 16,4 X 10-6 m³. 
1 pé³ (ft)³ = 28,3 X 10-³ m³ = 7,48 U.S. Gallon. 
1 U.S. Gallon = 37,8 X 10-4 m³ = 8,338 lb de água a 60°F 
1 ft³/s = 0,646 mgd = 448,8 gpm = 28,3 1/s. 
1 lb s/f t² (1c) = 478,7 poises. 
1 ft²/s () = 929 cm²/s. 
1 hp = 550 lb ft/s = 0,746 kw. 
1 lb = 0,454 kgf 
1 lb/ft³ = 16 kg/m³. 
 13 
1 polegada² = 6,45 X 10-4 m². 
1 ft² = 9, 3 X 10-² m². 
1 libra por pé quadrado (lb/ft²) (psf) = 4,88 kgf/m² 
1 libra por polegada quadrada (lb/in2) 
1 milha = 1.604 m 
1 mph = 1,46 ft/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
CAPÍTULO I 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO e 
PRINCIPAIS PROPRIEDADES FÍSICAS DOS 
FLUIDOS. 
 
 
 
 
Neste capítulo são abordadas algumas definições básicas 
da mecânica dos fluidos, objetivando uma melhor compreensão 
da teoria e sua relação com os conteúdos necessários à prática da Engenharia. 
 
 
 
 
Sumário 
Introdução. 
Multidisciplinaridade. 
Sistemas de Unidades. 
Principais propriedades dos fluidos. 
Classificação do escoamento. 
Problemas propostos.
 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
INTRODUÇÃO 
Sob o ponto de vista macroscópico, costumamos classificar a matéria em sólidos e 
fluidos. Fluidos, são substâncias que podem escoar. Assim, o termo fluido abrange 
os líquidos e os gases. Neste texto definiremos fluido da maneira como ele é 
comumente conhecido. Assim, as mesmas leis básicas controlam os 
comportamentos estático e dinâmico tanto de líquidos como de gases, apesar das 
diferenças que, a pressões ordinárias, observamos entre eles. 
Para sólidos, que tem volume e forma definidos, formulamos a mecânica dos corpos 
rígidos. Como os fluidos mudam de forma facilmente e, no caso dos gases, tem seu 
volume igual ao do recipiente que os contem, devemos desenvolver técnicas para 
resolver os problemas da mecânica dos fluidos. Desenvolveu-se uma formulação 
especial para essas leis básicas. 
 
Desenvolvimento histórico da mecânica dos fluídos 
O entendimento dos fenômenos da natureza que envolve os fluídos é de grande 
importância ao avanço tecnológico, propiciando ao homem melhores condições de 
sobrevivência. Algumas áreas de aplicação desses conhecimentos: Medicina, 
Habitação, Máquinas, Meteorologia, Transporte, Agricultura e muitos outros setores 
onde a mecânica dos fluídos é importante. 
Apesar da mecânica dos fluídos ter sido iniciada antes de Cristo (285 – 213 AC com 
Arquimedes), somente a partir do século XVI que acontecerá o seu desenvolvimento 
devido a Hidráulica Experimental. Pouco a pouco, estudos matemáticos começaram 
a confirmar algumas teorias propostas, e no final do século XIX, firmada como uma 
ciência. 
Muitos pesquisadores se dedicaram a esta ciência e são lembrados através de 
princípios, leis, coeficientes e unidades de medida. 
Na primeira metade do século XVII, Newton enunciou as suas famosas leis do 
movimento. Pouco depois (1755), Euler estabeleceu equações diferenciais básicas 
do movimento dos fluídos. 
Importantes equações básicas sobre energia foram estabelecidas por Bernoulli. 
 17 
Após o conhecimento das proposições de Euler, distinguem-se dois grupos de 
estudiosos. Os teóricos com suas análises abstratas, e os práticos estabelecendo 
formulações com base em experimentação. A falta de comunicação entre os dois 
grupos explica a lentidão no desenvolvimento da mecânica dos fluídos como ciência 
até fins do século XIX. 
Navier (1827) e Stokes (1845), em trabalhos independentes, generalizaram as 
equações de movimento, com a inclusão do conceito da viscosidade para fluidos 
newtonianos. Tais equações são de tratamento matemático difícil. Experiências de 
Reynolds, no fim do século, começaram a elucidar possibilidades de aplicação das 
equações de Navier-Stokes, pelo estabelecimento de dois diferentes tipos de 
escoamento: laminar e turbulento. 
Foi somente no início do século XX que Prandt estabeleceu conceitos da existência 
de duas regiões nos campos de escoamento. Introduziu assim a teoria da camada 
mais próxima das fronteiras sólidas: a camada limite. Firmou a importância da 
viscosidade na camada limite a possibilidade de tratar o fluido da outra região como 
um fluido ideal. 
Hoje novas áreas estão sendo investigadas, envolvendo transferência de energia 
sob forma de calor e influências de campos magnéticos nos escoamentos. 
 
SUA MULTIDISCIPLINARIDADE 
Algumas aplicações, dos conteúdos de Mecânica dos fluidos nas áreas da 
engenharia podem ser visto na tabela 1, abaixo; 
 
Tabela 1 – A multidisciplinaridade de Mecânica dos fluidos. 
Áreas profissionais Tópicos: fluídos, calor e massa 
Construção Civil 
Fissuras por movimentações higroscópicas 
Fissuras por movimentações térmicas 
Fissuras por retração hidráulica – secagem 
rápida 
Mangueira de nível na construção civil 
 18 
Umidade em alvenaria por capilaridade 
Estruturas 
Força do vento em edificações 
Percolação no concreto – vida útil 
Geotecnia e 
Hidrologia 
Balanço hídrico 
Descarga de um rio 
Evaporação água-ar 
Percolação da água no solo 
Umidade relativa do ar 
Hidráulica e 
Saneamento 
Bloco de Ancoragem em adutoras 
Bombas de recalque (Potência e Perda de 
Carga) 
Determinação da vazão em condutos 
forçados 
Medidores (Vertedouro, Pitot, Venturi, Canal, 
etc). 
Transporte 
Drenagem superficial: Sarjeta - Fórmula de 
ManningEnvelhecimento de pavimento asfáltico. 
Fonte: Livros texto de áreas profissionais. 
 Ver referências bibliográficas. 
 
As suas implicações com a prática profissional servirão como alerta à necessidade 
em avançar no estudo das teorias específicas de cada prática. 
 
OS PROCESSOS DE ANÁLISE EM MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
 
A mecânica dos fluídos estuda fluídos em equilíbrio e fluídos em movimento e 
divide-se em: 
 Estática dos Fluídos e 
 19 
 Dinâmica dos Fluídos. 
 
Aspecto dinâmico tem-se: 
 Fluído incompressível – Hidrodinâmica e 
 Fluído compressível – Aerodinâmica. 
 
Sob a hipótese do contínuo, o comportamento dos fluídos é analisado e estabelecido 
pelos princípios: 
 Lei de Stevin – Equação da fluidostática 
 Conservação da massa - Equação da Continuidade - Vazão 
 Conservação da energia – Equação de Bernoulli 
 Quantidade de Movimento - Equação de Forças Desenvolvidas por fluidos. 
 
MÉTODOS DE ANÁLISE DE UM FENÔMENO 
Para se resolver um problema é definir o sistema que está sendo analisado. Na 
Física clássica, é bastante difundido o diagrama do corpo livre. Neste texto 
empregamos os termos superfície de controle e volume de controle. É importante 
definir o sistema de volume de controle antes de aplicar as equações de variações e 
as equações básicas. 
 
Sistema e Volume de Controle 
Um sistema físico é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável, as 
fronteiras do sistema separam-no do ambiente à volta. As fronteiras do sistema 
podem ser fixas ou móveis, contudo, não há transferência de massa através das 
mesmas. 
Num cilindro termodinâmico, o gás no cilindro é o sistema. E o cilindro „‟e o volume 
de controle. Calor poderá cruzar as fronteiras do sistema, mas a quantidade de 
matéria dentro delas permanecera‟ constante. Não há transferência de massa 
através das fronteiras do sistema. 
 20 
Enfoque Diferencial e Enfoque Integral 
As leis básicas que aplicamos ao nosso estudo dos fenômenos de transporte podem 
ser formuladas em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais ou 
finitos. Ambos os enfoques são importantes no estudo de fenômenos de transporte. 
No primeiro caso, as equações resultantes são equações diferenciais. A solução das 
equações diferenciais do movimento oferece um meio de determinar o 
comportamento de ponto a ponto do fluido. 
Freqüentemente, nos problemas em estudo, a informação buscada não requer 
conhecimento detalhado do escoamento. Nestes casos, é mais apropriado empregar 
a formulação integral das leis básicas. Usam-se volumes de controle finitos, que 
geralmente é de tratamento analítico mais fácil. 
 
UNIDADES E DIMENSÕES 
A dimensão de uma grandeza é um conjunto de variáveis básicas que influenciam 
esta grandeza e expressam o fenômeno observado. Por exemplo: 
1,0 ft (pé) = 12 in (polegada) 
Pés, polegadas, centímetros, metros são unidades, porém todas elas representam 
uma medida de comprimento - dimensão física. No estudo da análise dimensional 
as dimensões básicas são a força F, o comprimento L, o tempo T, a temperatura t e 
a massa M. 
São três os principais sistemas de unidade: (Monte uma tabela para as principais 
variáveis em Mecflu). 
 Sistema Internacional ou MKS, 
 Sistema Inglês, 
 Sistema Técnico. 
 
PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
Termos que definem o estado físico do fluído: 
Para descrevermos o movimento de fluidos, serão necessários alguns termos que 
permitam definir o seu estado físico. Esses termos descrevem suas propriedades. E, 
 21 
uma propriedade é uma característica de uma substância que tem um valor 
constante para um dado estado; como por exemplo: 
 massa específica 
 peso específico 
 viscosidade, etc. 
 
Massa específica ou densidade absoluta 
Caracteriza a quantidade de matéria que preenche o espaço. Sendo medida pela 
massa por unidade de volume. Dada pela relação abaixo: 
 = Massa / Volume 
Onde, 
Massa = kg 
Volume = m3 
  = massa especifica = kg/m3 (no sistema MKS). 
Ou, também pela relação entre o peso especifico () e a gravidade (g), ou seja: 
 = /g 
A massa especifica ou densidade absoluta é uma função escalar e contínua das 
coordenadas dos pontos do meio e, ainda, da temperatura e do tempo que não 
deixa de ser uma das definições de fluído compressível. 
 
Peso específico:  = .G 
O peso específico de uma substância é o peso da unidade de volume da substância. 
O peso específico da água para oscilações normais de temperatura (CNTP) é de 
1000 kgf/m3 (sistema técnico de unidades). 
 = Peso / volume 
Onde, 
peso = Newton (N) 
volume = m3 
 = peso especifico = N/m3 (no sistema MKS) 
 22 
Equação geral dos gases 
As propriedades de um fluído fazem parte dos domínios da Termodinâmica. No 
processo de conversão de energia no interior do fluído ou entre o fluído e suas 
vizinhanças, o estado e o movimento do fluído são afetados. Uma equação de 
estado relaciona as propriedades em qualquer etapa em que o sistema sofre 
variações. Felizmente, para o maior número das substâncias de interesse da 
Engenharia, a equação de estado possui uma forma matemática simples, por 
exemplo, 
 = f1(p,T) 
p = f2(,T) 
T = f3(p,) 
 
Estas relações funcionais são sempre verdadeiras para substâncias puras, simples e 
compressíveis, embora as equações que descrevam estas relações possam ser 
bastante simples, quando as pressões e temperaturas não forem muito elevadas. 
Para o gás perfeito; (designará o gás com o calor específico constante – gás ideal). 
Calor específico (= Joule/Kg.oC no sistema MKS) e uma característica de cada 
substância. E definido como sendo a razão entre a capacidade térmica e a massa da 
substância. (capacidade térmica e a razão entre o calor absorvido ou liberado e a 
variação da temperatura = Joule / oC no MKS e cal/oC no técnico). 
Para um gás cujas moléculas colidam de modo perfeitamente elástico, a equação de 
estado é: 
  = p/R.T 
Onde, 
  = peso específico 
 p = pressão absoluta 
 T = Temperatura absoluta (em K ou R) 
 R = Constante Universal dos gases 
Onde R é uma constante que depende somente do peso molecular do gás, T é a 
temperatura absoluta e p é a pressão absoluta. 
 23 
Valor de R para alguns gases: 
Ar, 53,36 ft/oR 
Amônia, 90,77 ft/oR 
Dióxido de Carbono, CO2, 35,12 ft/
oR 
Monóxido de carbono, CO, 55,19 ft/oR 
Hélio, H, 386,33 ft/oR 
Metano, CH4, 96,04 ft/
oR 
Oxigênio, O2, 48,29 fr/
oR 
Vapor de água, H2O, 85,80 ft/
oR 
valor de R para alguns gases 
 
A densidade relativa dos fluidos 
A densidade relativa de um corpo é um número absoluto que representa a relação 
do peso de um corpo para o peso de igual volume de uma substância tomada como 
padrão. De um modo geral é água nas CNTP, ou seja, 
1000 kg/m3 (massa específica no sistema MKS) 
10 000 N/m3 (peso específico no sistema MKS) 
62,4 lb/ft3 (peso específico no sistema Inglês) 
Se a densidade relativa de uma substancia líquida e igual a 0,750 isto significa que a 
sua massa especifica vale: 0,750 x 1000 kg/m3 = 750 kg/m3. 
 
 24 
Exemplo 
 
Ex. (01) Calcular o peso específico, o volume específico e a massa específica do 
metano a 27 oC e 9 kgf/cm2 absoluta. Considere R = 53 m/oK constante Universal 
para o metano. (Volume especìfico = e‟ o inverso do peso especifico, ou seja; Vs = 
1/). 
Solução: 
Peso específico = 
3
4
/66,5
)27273(53
10.0,9
mkgf
RT
p



 
 
Volume específico = 
kgfmVs /177,0
66,5
11 3 
 
 
Massa específica = 
3/
81,9
66,5
mutm
g


 ou = 5,66 kg/m3 (MKS) 
Sendo,utm = unidade técnica de massa. 1.0 utm = gravidade x kg 
 
CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO 
É a classificação do movimento dos fluidos, de acordo com características próprias, 
possibilitando facilitar o entendimento do estudo dos Fenômenos de Transporte. 
 
Quanto à variação no tempo: 
Escoamento permanente (ou estacionário) e não permanente. 
Se a aceleração local, v/t = 0, diz-se que o escoamento é permanente. A 
velocidade não varia com o tempo, embora ela possa variar de ponto a ponto no 
espaço. 
Por outro lado, caso haja dependência com o tempo, diz-se que o escoamento é não 
permanente. 
 25 
Esta afirmativa implica, para escoamento permanente, em que outras variáveis 
também deverão ser constantes em relação ao tempo: 
dp/dt=0; dr/dt=0; dQ/dt=0. 
Esta condição de escoamento é encontrada em problemas de engenharia hidráulica, 
onde a altura de carga permanece constante. 
 
Quanto à variação na direção 
O escoamento pode ser Uniforme e Não Uniforme. 
Uniforme: Quando a velocidade não varia em direção e intensidade de ponto a 
ponto; isto é, com o espaço.(dv/dr=0) (r = vetor espacial.), ou aceleração convectiva 
é nula. 
Esta condição implica em que outras variáveis do escoamento sejam constantes em 
relação à distância, ou dr/dt = 0, etc. 
Exemplo: Escoamento sob pressão no interior de tubulações com diâmetro 
constante. 
Não Uniforme: Permite variação com as coordenadas espaciais. Por exemplo, 
escoamento no interior de tubulações com diâmetro variado, (pontos de mudança de 
diâmetro). 
 
Quanto à variação da direção 
O escoamento pode ser laminar ou turbulento. 
Laminar: Escoamento à baixa velocidade, onde as linhas de corrente são paralelas 
entre si. 
Turbulento: Escoamento onde não ocorre paralelismo das linhas de corrente, ou 
escoamento à alta velocidade. Os escoamentos, em sua maioria, são turbulentos. 
Em sua experiência, REYNOLDS descobriu que a existência de dois tipos de 
escoamento depende da velocidade, de um comprimento característico (no caso de 
tubulações, é o diâmetro) e da viscosidade do fluido; ou seja, o parâmetro 
adimensional REYNOLDS: 
 
 26 
Escoamento uni, bi ou tridimensional 
O escoamento Unidimensional de um fluido incompressível ocorre quando a direção 
e a intensidade da velocidade é a mesma para todos os pontos. 
Entretanto, aceita-se a análise de escoamento Unidimensional quando as 
velocidades e acelerações normais ao escoamento são desprezíveis. 
Em tais casos os valores médios da velocidade, da pressão são considerados como 
representantes do escoamento como um todo e, pequenas variações podem ser 
desprezadas. 
Exemplo: o escoamento em tubulações é analisado pôr meio de princípios de 
escoamento Unidimensional, apesar do fato de que a estrutura ser tridimensional e a 
velocidade variar através das seções normais ao escoamento. 
 
Rotacional e Irrotacional 
Para um fluído ideal, no qual não existe tensão cisalhante, e, portanto não há 
torques, o movimento de partículas fluídas em torno de seus próprios centros de 
massa não pode existir. 
Tal escoamento ideal é chamado de Irrotacional. 
Caso existam considerações a respeito da velocidade angular, o escoamento é dito 
ROTACIONAL. 
 
1.1.1 Quanto a variação da densidade com o espaço 
a) Compressível: Quando a densidade é variável, 
b) Incompressível: Quando a densidade é constante. 
 
1.1.2 Escoamento aberto e fechado 
a) Escoamento aberto: O fluido escoa aberto para atmosfera. Por exemplo: 
Escoamento em canais, Escoamento envolvendo um objeto, etc. 
b) Escoamento fechado: O fluido escoa confinado no interior do volume de 
controle. Por exemplo: escoamento forçado no interior de tubulação da 
hidráulica. 
 27 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Sistemas de Unidades 
Ex. 01) Escreva as unidades das grandezas abaixo nos seguintes sistemas de 
unidades: MKS, INGLES E TÉCNICO. 
a) velocidade linear 
b) comprimento 
c) temperatura 
d) aceleração 
e) massa 
f) força 
g) massa específica 
h) peso específico 
i) vazão 
j) pressão 
k) densidade relativa 
 
Ex. 02) Determine o volume máximo da água no oceano atlântico, em km3. 
Considere a sua área como sendo 179.000.000 km2. E, profundidade máxima de 
11.000 m. 
 
Ex. 03) Determine a área do espelho d‟água do lago da pampulha (BH) em m2, 
sendo a sua área de 2,7 km2. 
 
Ex. 04) Se a profundidade média da lagoa da pampulha vale 15 m. Qual o seu 
volume médio de água em litros. 
 
Ex. 05) Para uma aeronave a 11 km de altitude a temperatura externa vale 273 ok. 
Obter em oC e em oF. 
 
Ex. 06) Converter 70 oF e 92 oF para oC. 
 
 28 
Propriedades dos fluidos 
Ex. 07) Na densidade relativa, o líquido tomado geralmente como referência é: 
a) óleo lubrificante c) o mercúrio 
b) o álcool d) a água 4ºC 
 
Ex. 08) Um recipiente em forma de paralelepípedo, com as arestas a = 80 cm, b = 
50 cm e c = 60 cm, está cheio com 216g de óleo. Calcular a massa específica (), 
peso específico (), densidade relativa (d) e volume específico (VS). 
 
Ex. 09) Calcule a densidade de uma substância liquida para um volume de 2,0 litros 
e massa de 500 g. 
 
Ex. 10) Calcule o peso especifico do liquido do exercício anterior. 
 
Ex. 11) E, a densidade relativa do liquido anterior. 
 
Ex. 12) Calcule a massa de um liquido de volume de 3 litros, para uma densidade ou 
massa especifica igual a 750 kg/m3. 
 
Ex. 13) Determine o peso especifico do liquido do exercício anterior. 
 
Ex. 14) E, a densidade relativa do liquido anterior. 
 
Ex. 15) A densidade relativa de uma substância vale 13,6. Calcule sua densidade 
absoluta ou massa especifica. 
 
Ex. 16) Calcule o peso especifico da substancia do exercício anterior. 
 
Ex. 17) Calcule o peso especifico de um gás a 27 oC e 0,8 mPa absoluta. Considere 
a constante universal dos gases, R = 53 m/ok. 
 29 
Ex. 18) A massa especifica do gás do exercício anterior. 
 
Ex. 19) A densidade relativa do gás do exercício anterior. 
 
Classificação do escoamento 
Ex. 20) Um escoamento unidimensional é 
(a) um escoamento uniforme permanente 
(b) um escoamento uniforme 
(c) um escoamento com variações desprezíveis na direção transversal 
(d) obrigado a escoar segundo uma linha reta 
(e) nenhuma das respostas anterior 
 
Ex. 21) No escoamento turbulento 
(a) as partículas do fluido movem-se de maneira ordenada 
(b) as linhas de correntes se cruzam 
(c) As linhas de corrente são paralelas entre si 
(d) uma lâmina de fluido desliza suavemente sobre outra. 
 
Ex. 22) Um escoamento turbulento geralmente ocorre em casos que envolvem 
(a) fluido muito viscosos 
(b) passagens muito estreitas ou tubos capilares 
(c) movimentos muito lentos 
(d) nenhuma das respostas anteriores 
 
Ex. 23) Um escoamento permanente ocorre quando 
a) as condições não variam com o tempo 
b) as condições são as mesmas em pontos adjacentes em qualquer instante 
c) as condições variam permanentemente com o tempo 
d) v/t é constante 
 30 
 
Ex. 24) Um escoamento uniforme ocorre 
a) sempre que o escoamento for permanente 
b) quando v/t é nulo em qualquer ponto 
c) somente quando o vetor da velocidade permanece constante em qualquer ponto 
d) quando v/s = 0 
 
Ex. 25) Uma linha de corrente 
a) é uma linha que liga os pontos médios das seções transversais do escoamento 
b) é definida somente para um escoamento uniforme 
c) coincide sempre com a trajetória da partícula 
d) é fixa no espaço, num escoamentopermanente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
CAPÍTULO II 
 
ESTÁTICA DOS FLUÍDOS: 
PRESSÃO E MANOMETRIA 
 
 
Neste capítulo serão abordados temas relacionados à hidrostática. 
Cálculo da pressão estática, o estudo da manometria como medidores de pressão e 
outros temas importantes para melhor compreensão da engenharia. 
 
SUMÁRIO 
Aspectos Teóricos 
Conservação do Momentum ou Equação do Equilíbrio. 
Lei de Stevin. 
Biografia dos principais pesquisadores da área. 
Manometria. 
Experiências em Laboratório 
Pressão atmosférica ou Barômetro de Torricelli 
Mangueira de nível na Engenharia 
Aplicações na Engenharia 
Capilaridade da água: Mecânica dos Solos 
Intrusão salina no litoral: Hidrologia 
Mangueira de nível na construção civil 
Problemas propostos 
Referência bibliográfica 
 33 
CONSERVAÇÃO DO MOMENTUM OU EQUAÇÃO DO EQUILÍBRIO 
A equação geral da Fluidostática é deduzida a partir da condição de equilíbrio para o 
fluido em repouso, ou seja; 
Da Lei de Newton, têm-se; 
 
Dt
DV
volmaF ..
 
Fazendo, 



Vol
F
f
 
Finalmente, teremos a equação do equilíbrio para uma função composta, do tipo; 
V = f(x,y,z,t) na qual a solução é dada pela derivada substantiva utilizando a regra da 
cadeia de derivação. 
 
Dt
DV
f 
 
Equação geral de Newton 
 
Estática dos fluídos – Primeira lei de Newton 
São para fenômenos nos quais o fluido permanece em repouso, ou seja, aceleração 
nula. 
 f = 0 
LEI DE STEVIN 
São para fenômenos os quais o fluido permanece em repouso, ou seja, com 
aceleração nula. Vale afirmar que as forças externas estão em equilíbrio. 
Podemos escrever que para uma massa fluida, as forças por unidade de volume 
serão: força de pressão (F = p.A) 
força peso (P = .vol) 
Logo, podemos escrever a lei de Newton do equilíbrio na forma abaixo: 
 34 
0. 

gp  
Lembrando que é necessário conhecermos a natureza de  e de g. Integrando a lei 
acima para o eixo dos y, tem-se: 
p = - .g 
 dp/dy = - .gy 
 dp = - .g.dy 
A lei acima terá a seguinte expressão, conhecida como Lei de Stevin para a pressão 
estática. 
dygdp .. 
 
 35 
BIOGRAFIA: 
Simon Stevin 
(1548 - 1620) 
Matemático, mecânico e engenheiro militar, flamengo nascido em Bruges, a quem 
se deve a popularização do uso do sistema decimal de frações, o que viabilizou o 
uso divisionário das moedas, pesos e medidas em geral. . Filho ilegítimo de ricos 
cidadãos, pouco se sabe do início de sua vida. Sabe-se que depois dos vinte anos 
de idade viajou pela Noruega, Polônia e Prússia e, na volta, estabeleceu-se na atual 
Holanda. Passou a estudar em Leiden (1581) e dois anos depois entrou para a 
universidade local na qual, após formar-se, passou a ensinar matemática. Publicou 
De thiende (1585), de grande influência na engenharia, na prática comercial e na 
notação matemática e de grande popularidade na época. Foi nomeado para um 
poderoso posto no exército holandês (1593), por ordem do príncipe De Nassau, o 
que contribuiu para se tornar um grande engenheiro militar e assumir outros postos 
importantes no governo até sua morte, em Haia. Sua matemática foi sem dúvida 
valiosa para o desenvolvimento do algebrismo. Sua contribuição científica ao 
desenvolvimento da mecânica também foi notável. Na sua obra destacam-se três 
importantes publicações, todas editadas em Leiden e em holandês (1586): Princípios 
de estática, uma espécie de continuação dos trabalhos de Arquimedes (teoria da 
alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados), 
Aplicações de estática e Princípios de hidrostática, uma notável contribuição ao 
estudo da hidrostática, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de 
corpos mergulhados em água e a explicação do paradoxo da hidrostática - pressão 
independente da forma do recipiente. Influenciado pelas teorias de Da Vinte, 
pesquisou o comportamento hidrostático das pressões, divulgando o princípio do 
paralelogramo das forças. Enunciou o princípio dos trabalhos virtuais (1608). Sua 
genialidade abrangia os mais variados campos do conhecimento, pois também 
escreveu pequenos tratados estabelecendo aplicações práticas de alguns princípios 
mecânicos, sobre acampamentos e fortificações militares, eclusas e barragens, a 
força dos ventos e moinhos de vento, astronomia copernicana, direitos civis e 
escalas musicais. 
Quadro 10 – Biografia Simon Stevin 
Fonte – www.sobiografia.hpg.com.br 
 36 
Exemplo 
Exercício: Determinar o gradiente de pressão em relação ao eixo vertical y, para 
uma altura de 10 m; considerar o fluido compressível para uma densidade variando 
de acordo com a função: (y)=3y
2 +4y [kg/m3]. 
Supor gy= 9,81 m/s
2. Resp.:1,1772.104 N/m2 
Solução: 
Aplicando a equação: dp = - gdy 
dyydp y 


 
10
0
2
4381,9
 
Resposta 
p = 1,1772 N/m2 
 
Condição de fluído incompreensível 
Incompressível é o fluído cuja densidade permanece constante, aplicando esta 
condição na equação anterior, teremos a equação para fluído incompressível; ou 
seja, 
dygdp .. 
Onde, 
  = constante em relação a y 
 g = constante (aceleração da gravidade) 
Integrando de y1 a y2 (diferenca de alturas), tem-se; 
 
y
y
dyg
p
p
dp
2
1
2
1
.. 
p = g.y 
p2 - p1 = g(y2 - y1) 
 
 37 
Quando, 
p1 = 0 
p2 = p 
y2 - y1 = h 
teremos, 
p = .g.h 
 ou, equação para a pressão efetiva (manométrica, medida, gage) 
ygp  .. 
Onde, 
 p = pressão 
  = massa específica do líquido 
 g = gravidade 
 
Pressão absoluta: 
É a soma da pressão efetiva com a pressão atmosférica local. 
Equação para a pressão absoluta: pabs. = pef. + patm. 
 
Considerando fluído compressível 
Compressível é o fluído cuja densidade pode variar com temperatura e/ou pressão. 
 
Hipótese A: condição isotérmica -Temperatura constante 
A pressão será calculada pela seguinte expressão: 
p = po . e
(- h / RT) 
Onde, 
 R = constante Universal dos gases 
 T = Temperatura absoluta 
 p = pressão final 
 38 
 po= pressão inicial 
 h = altura entre os pontos de pressão final e pressão inicial. 
 
Hipótese B: condição adiabática - Temperatura variável 
A pressão será calculada pela seguinte expressão: 
 
p[( 1-k) / k] = po 
[( 1 - k ) / k ] - [( 1 - k) / k ] [(o. h) / po
1 / k] 
Onde, 
k = coeficiente adiabático, relacionado ao calor específico. (Tabelado) 
  = peso específico dos gases. 
 
Exemplo 02 
Traçar o diagrama de pressão devido à água (h=2,0 m) e a lama (h=0,5 m) no fundo 
e nas laterais, de acordo com a figura abaixo. 
Figura– problema resolvido sobre Lei de Stevin – perfil transversal de um rio 
 
Solução: 
 p1 = 0 
p2 = H20 . h 
= 1 000 . 2 
= 2 000 Kgf/m2 
 39 
p3 = p1 + p2 + L . hL 
= 0 + 2 000kgf/m2 
+ (1,5 . 1 000kgf/m3). 0,5 m 
 p3= 2 750 Kgf/m
2  pressão no fundo, efetiva. 
Figura - diagrama de pressão – Lei de Stevin 
 
MANOMETRIA 
Um dos métodos convenientes para medir pressão consiste em determinar o 
deslocamento produzido pelo fluido no interior de uma coluna de um tubo 
transparente em forma de U - manômetro. 
Para medir pressões elevadas, normalmente, usa-se Mercúrio como fluído 
manométrico. 
A mangueira de “Nìvel de Pedreiro” é um Manômetro diferencial contendo água. 
Veremos no final deste capítulo. 
A figura abaixo mostra um esquema de um medidor manômetro.São dois tipos de manômetros: 
 Manômetro Analógico ou Metálico 
 40 
 Manômetros diferenciais ou de Mercúrio 
Figura- Manometria - manômetro diferencial 
 
Roteiro de cálculo da pressão em manômetros diferenciais: 
No ponto “A” no interior da tubulação. 
Aplicando a equação (anterior) do Fluído Incompressível, teremos: 
 No nível BC as pressões são iguais, 
 pB - pC = ( yB - yC)  yB = yC 
Logo, 
 pB = pC  No mesmo Nível. 
 pB = pA + e . h1 e pC = patm. + m.h2 
Igualando as equações, 
 pA + e . h1 = patm. + m . h2 
Logo, 
pA = patm. + m . h2 - e . h1 
Equação da pressão absoluta 
ou, 
pA = m .h2 - e . h1 
Equação da pressão efetiva. 
 41 
Onde 
 m = peso específico do fluído manométrico 
 e = peso específico do fluído em escoamento 
 42 
Exemplo 03 
Calcule a pressão em A, no interior da tubulação, se a pressão em B vale 2,0 psi. 
Considere os dados da figura abaixo. (densidade relativa = 1,2) 
Figura 12 - Manometria -Tubulação com manômetro diferencial instalado 
Aplicando a equação para fluído Incompressível: 
 pC = pD  
pC = pA + o . (10/12) 
 pD=pB + Hg .(10/12) 
Igualando as equações; teremos, 
 pA + o(10/12) = pB + Hg(10/12) 
 pA = pB + (Hg - o) . 10/12 
 pA = pB + (dRHg - dRo) . 10/12 . água 
 pA = 2,0 . 144 + (13,6 - 1,2) . 10/12 . 62,4 
= 932,77 lb./ft2(ou psf) 
 pA = 932,77 : 144 = 6,477 lb./in
2 
 (ou psi); 
 pA = 6,477 . 0,07 Kgf/cm
2 
 = 0,4534 kgf/cm2 
 43 
EXPERIENCIAS EM LABORATÓRIO 
1. Pressão atmosférica pelo Barômetro de Torricelli 
2. Nivelamento na construção civil pela mangueira de nível 
 
 
1ª Experiência: 
Pressão Atmosférica Através do Barômetro de Torricelli 
 
Princípio 
A clássica experiência de Torricelli é reproduzida. A pressão atmosférica é expressa 
em altura (h= 760 mm a nível do mar) de coluna de mercúrio (13600 kg.m-3) em 
equilíbrio em uma cuba e um tubo transparente. 
Quando este experimento é realizado em Belo Horizonte, a altura da coluna de 
mercúrio será menor. A determinação desta altura é o objeto deste experimento. 
Aparato experimental: 
 Cuba de vidro; 
 Tubo cilíndrico de vidro transparente de 1,0 metros de comprimento fechado em 
uma das extremidades; 
 Mercúrio; 
 Escala graduada em milímetros e mesa de apoio para o experimento. 
Procedimento experimental 
1. Preencher completamente com mercúrio o tubo de vidro. 
2. Colocar mercúrio na cuba até uma altura para que seja possível mergulhar a 
ponta do tubo de vidro junto com um dedo. 
3. Com um dado fechando completamente a extremidade aberta do tubo de vidro, 
emborcá-lo na cuba. 
4. Uma vez mergulhado e completamente na vertical, liberar a extremidade imersa 
no mercúrio. 
 44 
5. Utilizando a escala graduada em milímetro e com o tubo de vidro encostado em 
seu apoio, medir a distância entre a superfície livre do mercúrio na cuba e a parte 
superior do menisco de mercúrio no tubo de vidro. 
Experimentação 
Ler a altura do mercúrio no barômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - Imagem do experimento do Barômetro de Torricelli 
Fonte: secundária 
 45 
2ª EXPERIÊNCIA: 
Mangueira de Nível na Engenharia 
Princípio 
O principio físico empregado é o da Lei de Stevinl. 
Aparato experimental 
 Mangueira de nível, transparente. 
 Água pura. 
 Trena. 
 Giz. 
Procedimento experimental 
1. Encher completamente a mangueira com água. 
2. Antes de usá-la manter as extremidades tapadas. 
3. Dois alunos um em cada extremidade, sendo que um marcará um ponto fixo e 
outro receberá este ponto através do nível da água na mangueira, o qual será 
marcado com giz. 
4. Elaborar um croqui com medidas de comprimentos e alturas. 
5. Demonstrar pela Lei de Stevin o princípio físico utilizado no nivelamento 
topográfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES NA ENGENHARIA 
Capilaridade da água: Mecânica dos Solos 
Intrusão salina no litoral: Hidrologia 
Mangueira de nível na construção civil 
 47 
 48 
O FENÔMENO DA CAPILARIDADE 
Fonte: BAUER (1985) – Materiais de Construção 
 
A importância dos Fenômenos Capilares; 
 Estradas: Na construção de pavimentos rodoviários. Assim, por exemplo, se o 
terreno de fundação de um pavimento é constituído por um solo siltoso e o nível 
freático está pouco profundo, a fim de evitar que a água capilar venha a 
prejudicar a estabilidade do pavimento a ser construído, tornam-se necessárias 
certas precauções, quer substituindo o material siltoso por outro de menor grau 
de capilaridade, quer construindo sub-bases adequadas. 
 A Contração: dos solos é também explicada pelos fenômenos capilares. À 
medida que a água vai sendo evaporada, irão surgindo forças capilares, que 
aproximam as partículas. Essa pressão capilar, que cresce à medida que se 
evapora a água, explica desse modo, a contração dos solos durante o seu 
processo de perda de umidade. 
O efeito CAPILAR produz movimento da água em solos estreitamente compactados. 
É uma conseqüência da tensão superficial. Mergulhando tubos de pequenos 
diâmetros em um líquido com contato com o ar, a superfície do líquido junto à 
parede deixa de ser plana, para torna-se côncava e elevada se o líquido molha as 
paredes (água e vidro), e convexa e deprimida se o líquido não os molha (mercúrio e 
vidro). 
Ascensão ou depressão num tubo capilar é dada por: 
A força de tensão superficial na vertical deve suportar o peso da coluna de fluído. 
Aplica-se a condição de equilíbrio Newtoneano.  F = 0 
Tensão superficial (ascendente) – peso do volume (descendente) + força devida à 
pressão (ascendente) – força devida à pressão (descendente) = 0 
d
h
.
sen.4



 
Onde, 
 49 
 = tensão superficial da água, por unidade de linha de contato entre a água e 
o tubo. 
 = ângulo de contato. Considera-se 90o para um tubo limpo. 
d = diâmetro, 
 = peso específico do líquido 
Ou, para fins práticos: 
 = 0,0764 g/cm 
 = 0o 
Daí, a expressão para o cálculo da altura capilar máxima. 
Lei de Jurin: 
d
h
306,0
max 
 
Com d em cm. 
A elevação (h) é inversamente proporcional ao diâmetro do capilar. Assim, nos solos 
finos (siltosos e argilosos), os quais têm vazios de diâmetro reduzido, a altura capilar 
será maior do que nos solos grossos (pedregulhos e arenosos); para os primeiros, h 
pode atingir valores da ordem de 30 m ou mais. Para estudos mais completo, o 
estudante deverá pesquisar em livros especializados sobre Mecânica dos solos. 
 50 
INTRUSÃO SALINA NO LITORAL 
Fonte: CROSTA, Álvaro P. (2000) – Recursos Hídricos, 
No litoral, a água subterrânea e descarregada no mar sob condições normais, uma 
vez que o lençol freático mergulha em direção ao nível do mar (figura abaixo). As 
rochas submersas no mar geralmente possuem em seu interior água subterrânea 
salgada, derivada da água do mar. O limite entre a água subterrânea doce e água 
subterrânea salgada geralmente mergulha em direção ao continente a partir da 
costa, existindo uma cunha de água subterrânea salgada, de maior densidade, 
situada debaixo da água subterrânea doce, menos densa, situada debaixo do 
continente. Este fenômeno é chamado de intruso salina. A profundidade abaixo do 
nível do mar dessa interface entre a água subterrânea doce e salgada em qualquer 
local, h2, na figura, depende da altura do lençol freático acima do nível do mar, h1. 
Ao longo dessa interface, as pressões devidas à carga da água do mar mais densa 
e a água docemenos densa estão em equilíbrio. Em qualquer ponto da interface ou 
lente (por exemplo, no ponto de h2, na figura) a pressão devida a água salgada 
devera ser igual à pressão devida a água doce (Lei de Stevin). 
Figura 2 - perfil de uma intrusão salina ao longo do litoral. A escala vertical 
encontra-se exagerada. Fonte: Desenho – Prof. Milton. 
h2 = 40h1 
Pressão da água doce = pressão da água salgada 
d.g.(h1+h2) = s.g.h2 
Onde, 
 d = densidade da água doce 
 51 
 s = densidade da água salgada 
 g = aceleração da gravidade 
 h1 = profundidade do lençol freático ao nível do mar 
 h2 = profundidade da lente 
rearranjando a equação, para h2, 
h2 = [d/(s - d)].h1 
Como d = 1000 kg/m
3 e s e tipicamente igual a 1025 kg/m
3, 
h2 = 40h1 
Isso significa que se o lençol freático próximo ao litoral e , digamos, de 5 metros 
acima do nível do mar (h1 = 5 metros), 
então 
h1 + h2 = 5 + (40x5) = 205 metros 
e, portanto, a água subterrânea salgada deve ser encontrada a uma profundidade de 
205 metros abaixo do lençol freático. 
Se as densidades da água doce e salgada variar, da mesma forma irá variar a razão 
de 40 para 1 de h2 para h1. Isso pode ocorrer nos locais onde a água salobra forma 
a interface com a água doce. A interface entre água subterrânea doce e salgada não 
e, geralmente uma zona, com pelo menos alguns metros de espessura, em que as 
águas doce e salgada se misturam. A água nessa zona é menos salgada do que na 
água do mar, isto e, trata-se de uma água salobra. O nível do mar sobe e desce com 
as marés, e ocorre uma variação na taxa de descarga da água subterrânea doce no 
mar. Esses fatores acarretam mudanças na posição dessa interface e podem causar 
a mistura de água doce e salgada. 
Intrusões salinas podem se tornar um problema nos locais em que grandes 
quantidades de água doce são extraídas dos terrenos próximos ao litoral. Sob 
condições normais, a água subterrânea doce e descarregada no mar, mas se a água 
subterrânea for abstraída em excesso em regiões próximas a costa, a água 
subterrânea doce e impedida de descarregar no mar e água subterrânea salgada 
penetra por baixo do continente. Se o nível do lençol freático for rebaixado devido as 
altas taxas de abstração (se h1 for reduzido), de modo que os poços podem 
eventualmente vir a ser preenchidos por água salgada, tornando-se imprestáveis 
 52 
para o abastecimento de água doce. Esse tipo de problema pode se tornar grave em 
ilhas de pequenas dimensões, conde existem normalmente corpos de água 
subterrânea, formato de lentes, devido às intrusões salinas ao redor da ilha (ver 
figura a seguir). 
 
Figura 3 - Intrusões salinas ao redor do litoral de uma ilha, produzindo um 
corpo de água doce em formato de lente embaixo da ilha. 
Fonte: Desenho – Prof. Milton 
 
 53 
MANGUEIRA DE NÍVEL NA ENGENHARIA 
Fonte: secundaria 
Se você quiser saber se o piso da sua cozinha está em nível, faça o seguinte: 
arranje uma mangueira de plástico transparente e encha-a de água. Coloque as 
suas extremidades em dois cantos da cozinha e marque, com um lápis, o nível da 
água. Meça, com um metro ou uma fita métrica, a altura de cada nível da água. Se 
as duas alturas forem iguais, é porque o piso está no nível certo. 
 
Figura - Uso da mangueira de nível na construção civil - Fonte: secundaria 
 
Princípio físico utilizado na mangueira de nível; 
Pode-se classificar o fluído quanto a sua variação de densidade em compressível: o 
fluído que pode variar sua densidade com a temperatura e/ou pressão exemplo, os 
gases. E, incompressível os fluídos líquidos, como por exemplo, a água. 
Como sabemos na mangueira de nível usa-se água no seu interior, para esse fim. 
Quando as duas pessoas estão segurando em cada extremidade, é importante 
mantê-las abertas ao ar atmosférico; pois, com isso, está assegurado que a pressão 
numa extremidade é igual na outra. Logo, a água das extremidades está nivelada; 
pois, num mesmo nível as pressões são iguais, de acordo com a Lei de Stevin. 
ygp  .. 
Lei de Stevin, 
Onde, 
 p = variação de pressão 
 54 
  = massa específica do líquido 
 g = gravidade 
 y = altura da coluna do líquido 
O fenômeno da mangueira de nível e explicado pelo equilíbrio de pressões num 
determinado ponto, ou seja, a pressão em (A) será igual a pressão em (B) 
pA = pB 
(a mangueira devera estar aberta ao ar atmosférico) 
Aplicando na Lei de Stevin 
yg  ..0 
 
y0
 
Logo  yA = yB 
Conclusão 
Os pontos A e B estão no mesmo nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Pressão barométrica 
Ex. 01) Calcule a pressão barométrica em psi a uma altitude de 4 000 ft se a 
pressão ao nível do mar é de 14,7 psi. Considere isotérmica a 70 oF. Resp.: 12,7 psi. 
 
Ex.02) Um barômetro acusa 30 in de Hg. 
a) Qual é a pressão atmosférica? 
b) Qual é a pressão efetiva no fundo de uma piscina de 10 ft de profundidade? 
c) Qual é a pressão absoluta neste local? 
d) Traçar o diagrama de pressão efetiva no fundo e nas laterais. 
 
Gradiente de pressão 
Ex. 03) Calcular o Gradiente de pressão em relação ao eixo vertical y, para uma 
altura de 10 m; considerar o fluido compressível para uma densidade variando de 
acordo com a função: (y)=3y
2 + 2y + 8 [kg/m3]. 
Supor gy=10 m/s
2.Resp: 1,18.104 N/m2 
 
Ex. 04) Determine a pressão absoluta a uma profundidade de 6,0 m abaixo da 
superfície livre de um volume de água. Se um barômetro indica 760 mm de Hg. 
Resp.: 1,6 . 104 kgf/m2. 
 
Manometria 
Ex. 05) Determine a pressão manométrica em A devida à deflexão do mercúrio, no 
manômetro U mostrado na figura abaixo. Resp: 25 200 N/m2. 
 56 
 
Figura – Manometria – problema proposto, manômetro diferencial em U. 
 
Ex. 06) Um óleo de densidade 0,750 escoa através de um bocal indicado na fig. 
abaixo e causa a deflexão do mercúrio no manômetro U. Determine o valor de h se 
a pressão em A é de 1,5 kgf/cm2. Resp.: 1,21m 
Figura – Manometria – problema proposto, manômetro diferencial em U, instalado. 
Fonte: secundaria 
 
Ex. 07) Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A e B em um tubo 
horizontal, no qual escoa água. A deflexão do mercúrio no manômetro é 576 mm, o 
nível mais próximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferença de pressão 
entre as seções A e B em kgf/m2. 
Resp.: 7250 kgf/m2. 
 
 57 
Lei de Stevin (pressão estática) 
Ex. 08) Um reservatório está cheio de água, cujo nível encontra-se na Elevação 750 
m. Em seu fundo há uma válvula para seu esvaziamento, cujo eixo encontra-se na 
Elevação 745 m. Nestas condições, e sabendo-se que o datum é o nível do mar 
(Elevação 0,00m), pode-se afirmar que a carga de pressão efetiva (piezométrica) de 
um ponto localizado na superfície líquida do reservatório é igual a: 
a) 0,00 m c) 745 m 
b) 5,00m d) 750m 
 
Ex. 09) Determinar o esforço resultante que atua sobre uma válvula borboleta de 
diâmetro igual a 800 mm, situada na cota 360,00m em relação à profundidade, num 
reservatório de água cuja superfície livre está na cota de Elevação 400,00m. Resp.: 
197 141,8 N 
 
Ex. 10) (Determine a pressão em uma profundidade de a) 6,0 m de água; b) h = 1,0 
m; c)h = 1,0 m de óleo de d = 0,8. 
 
Ex. 11) Que profundidade de óleo, densidade 0,750, produzirá uma pressão de 28 
N/cm2. Resp. 38,06 m. b) Qual a profundidade em água? Resp.: 28,5 m. 
 
Ex. 12) Determinar a pressão atmosférica a nível do mar onde hHg = 760 mm. Resp.: 
101321,604 N/m2. 
 
Outros: 
Ex. 13) Considerando o tanque da Figura com óleo (d=0,8)e água. Determine as 
pressões efetiva e absoluta nos pontos 1, 2 e 3. Considere a pressão atmosférica 
1,0kgf/cm2. 
 
 58 
 
 
Ex. 14) Se um manômetro de uma caldeira indica 4,12atm e se a pressão 
atmosférica local é dada por um barômetro que marca 700 mm de mercúrio, calcular 
(em atm) a pressão absoluta na referida caldeira. 
 
Ex. 15) Realizando-se a experiência de Torricelli em Belo Horizonte, obteve-se a 
medida de 690 mm para coluna de mercúrio. Calcular a pressão atmosférica local 
em kgf/cm2. 
 
Ex. 16) No alto de um prédio há um reservatório que fornece água a diversas peças, 
inclusive a uma torneira. Esta se encontra a 18m abaixo da superfície livre do 
reservatório. Calcular a pressão da água ao nível da torneira (suposta fechada). Dar 
a solução em atm, em kgf/m2 e em kgf/cm2. 
 
Ex. 17) No esquema da Figura ao lado, determinar: (a) a carga total efetiva do 
sistema, quando o nível do mar é tomado como datum (plano de referência); (b) a 
carga total absoluta do sistema, admitindo que a pressão atmosférica absoluta seja 
igual a 1 kg/cm2 em relação ao mesmo datum; (c) as cargas de posição e 
piezométricas dos pontos A e B; (d) as leituras, kgf/cm2, que seriam fornecidas por 
manômetros que fossem instalados em A e B. 
 59 
 
Ex. 18) A água que abastece uma indústria é inicialmente encaminhada até um 
reservatório principal cujo nível máximo encontra-se na elevação 450m. Daí ela é 
encaminhada até um reservatório intermediário, cujo nível d‟água encontra-se 5,00m 
abaixo do nível máximo do primeiro. Esse último reservatório abastece um hidrante, 
instalado na elevação 430,0m. Qual pressão d‟água nesse hidrante? 
 
Ex. 19) Para se conhecer a altitude do ponto mais baixo de uma adutora que 
abastece, por gravidade, uma cidade, fechou-se o registro existente em sua 
extremidade de jusante e instalou-se em manômetro naquele local. O manômetro 
indicou a pressão de 5,0 Kgf/cm2. Sabendo-se que o nìvel d‟água na extremidade de 
montante da adutora encontrava-se, naquele momento, na altitude 385m. Calcule a 
altitude do ponto mais baixo da adutora. 
 
Ex. 20) Um tubulão a ar comprimido está sendo escavado no interior do leito de um 
rio. Sabendo-se que o fundo do tubulão encontra-se a 20 metros de profundidade e 
que, desse total, os 5 últimos metros são constituído de uma camada de lodo, cuja 
densidade relativa é igual a 1,3. Qual pressão que deve ser introduzida no interior do 
tubulão para mantê-lo seco? 
 
Ex. 21) No esquema da Figura ao lado, o peso do êmbolo (A) é 3000kgf e o do 
êmbolo (B) é 200kgf. O Líquido contido entre os êmbolos é óleo de peso específico 
850 kgf/m3. Pergunta-se: Há equilíbrio nesta instalação? Se não houver, em que 
êmbolo deve ser aplicado uma força vertical para baixo de modo a restabelecer o 
equilíbrio e qual deve ser o valor desta força? 
 60 
 
 
 
 
Ex. 22) Em certo instante, o manômetro metálico, instalado na entrada de uma 
bomba, registra o vácuo (ou sucção) de 262 mm de mercúrio. Obter: 
I) a pressão efetiva (em mca e em kgf/cm2); 
II) a pressão absoluta (em kgf/cm2). Considerar a pressão atmosférica 1,0kgf/cm2. 
 
 
 
 
 
Ex. 23) Um manômetro de mercúrio é instalado na entrada de uma bomba, figura ao 
lado. Mede-se a deflexão do mercúrio, encontrando-se (hm=0,4m). Determinar as 
pressões efetiva e absoluta no eixo da tubulação de sucção sendo (Hg=13600 
kgf/m3) e o líquido succionado a água (água=1000kgf/m
3). Considere (Patm
abs=1,0 
kgf/cm2). 
 61 
Ex. 24) Um manômetro de tubo em U está conectado, através de orifícios, à placa 
indicada na figura abaixo. Considerar o peso específico do ar desprezível. 
a) Para p1 = 45 psi e p2 = 32psi, determine densidade relativa do fluido do 
manômetro. 
b) Se o fluido do manômetro for o mercúrio e se p1 = 60 psi. Determine a pressão 
manométrica p2. 
 
 
Ex. 25) Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado 
a um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio da Figura, ficando sua 
superfície livre em nível com eixo do encanamento. Sendo h = 74 mm a deflexão do 
Hg, calcular a pressão efetiva em B (em kgf/m2, kgf/cm2 e mca) 
 
Ex. 26) Em um tubo vertical há óleo (d = 0,92) em situação estática, isto é, sem 
escoar, Figura abaixo. Determinar a pressão (em Kgf/cm2) que se lê no manômetro 
metálico instalado em C. 
 
 
 
 62 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 63 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Geral Vol. I e II. 1985. 
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal. 
BRUNETTI, FRANCO. Curso Mecânica dos Fluidos. 2a ed. 1985. Apostila. São 
Paulo. SP. 
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introdução a Mecânica dos Fluidos – 
Purdue University 1 998, 4a edição revista , LTC Rio de Janeiro Brasil. 
GILES, R.V. Problemas de Mecânica dos Fluidos - S.P. Schaum Editora Santuário 
SCHIOZER, DAYR. Mecânica dos Fluidos. 2a ed.1996. Editora LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ. 
SMITH, ª J. WARD. Internal Fluid Flow. 1980. 
IANA, MARCOS ROCHA. Mecânica dos Fluidos para Engenheiros. 3a ed. 1998 –
UFMG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 64 
CAPÍTULO III 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE – VAZÃO 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da Continuidade na sua forma diferencial e integral. 
 
 
 65 
 
 
 
 
 
 
 66 
INTRODUÇÃO 
Na análise e nos projetos de bombas, turbinas e muitos outros dispositivos 
hidráulicos, o conhecimento das forças exercidas, bem como os princípios da 
conservação da física são de grande importância no estudo do movimento dos 
fluidos. 
São eles: 
 Principio da Conservação da Massa: Equação da Continuidade gerando a 
Equação da Vazão. 
 Principio da Conservação da Energia: Equação de Euler gerando o Teorema 
de Bernoulli. 
 Principio da Conservação da Quantidade de Movimento: 2a Lei de Newton: 
Na aerodinâmica: Força de Arrasto, Força de Sustentação. 
Na hidrodinâmica: Força do Jato, Empuxo em curva e reduções. 
 
DESCRIÇÃO DE UM CAMPO DE ESCOAMENTO 
No estudo de fluxos seja ele de calor, elétrico ou de massa é comum idealizar um 
volume de controle do espaço, objetivando determinar quantidades que 
atravessaram o mesmo. 
Em transferência de calor 1,0 m2 de alvenaria com espessura “x” pode ser um 
volume de controle, para aplicar a Lei de Fourier. 
Na física moderna uma superfície fechada (Gaussiana) é utilizada para calcular o 
fluxo elétrico pela Lei de Gauss. 
Na descrição de um campo de escoamento são utilizadas linhas imaginárias - Linhas 
de corrente - no estudo dos Fenômenos de Transporte. Um feixe de linhas 
caracteriza o tubo de corrente que define o volume de controle. 
Aplicando-se o princìpio da conservação da densidade “J” de fluxo de temperatura, 
concentração mássica, velocidade, para uma simulação matemática, tem-se a 
equação diferencial, que governa o fenômeno da Transferência de Calor, Massa e 
da Quantidade de Movimento. 
Equação geral da continuidade, apresentada nos capítulos anteriores; 
 67 
0
'




t
P
EJ q
 
A Variação da densidade “J” de um fluxo através do volume de controle + Grandeza 
“q” representando um ganho ou uma perda, no interior do volume de controle + 
Variação da Energia no tempo = terá que ser igual a zero. 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE; 
Considerando fluxo permanente. 
 
Ou seja, para uma condição permanente e conservativa(sem variação de energia) 
do sistema têm-se: 
000 J 
A equação geral, na sua forma reduzida (ou simplificada), ficará; ·. 
J = 0 
Aplicando a equação da continuidade para um campo de velocidade, tem-se; 
A Lei geral da conservação do campo de velocidade ficará; 
(.V) = 0 
Ou, 
(.V)A = 0 
E, fazendo, 
  = operador matemático 
 J = q/A (fluxo por unidade de área) 
q = .V (campo de velocidade) 
 = densidade absoluta 
V = velocidade de escoamento 
 
 68 
Equação da Continuidade na forma diferencial para fluido incompressível ( = 
constante); 
Da equação anterior e considerando a densidade absoluta como uma constante, 
tem-se; 
0








k
z
w
j
y
v
i
x
u 
Ou, em função da área transversal, tem-se; 
0... 








Ak
z
w
Aj
y
v
Ai
x
u 
 
5.3.2 Equação da Continuidade na forma integral; 
Aplicando a mesma equação anterior em apresentação na forma integral, tem-se; 
 
CS
dAnV 0...
 
Onde, 
 = densidade absoluta ou massa específica 
V = velocidade 
n = vetor normal ou versor 
A = área A da superfície de controle 
CS = Superfície de controle. 
 
 
 
 V 
 
 
 
Figura de uma SC 
 69 
Exemplo 
 
Ex. (1). Calcular o fluxo hidráulico no interior de uma tubulação, se a V= 16 r2 [i], 
[m/s]. O raio do tubo vale 20 cm. 
 
Solução esperada: 
Equação da continuidade, 
 
CS
dAnV 0...
 
 Sendo, 
 dA = r.dr.ds  em coordenadas cilíndricas 
 Área (A) v = 16r 
 
r r 
 
eixo X 
 
 Figura 15 – Seção longitudinal de uma tubulação - variação da velocidade 
 
Resolvendo a equação da continuidade, tem-se; 
 dQ =  |V|.|1|.cos 0.dA 
 Q = 16r2|i.|1|i.1.r.dr.ds 
 Q = 16r2.r.dr.ds = 16r3.dr.ds 
Q = C.ds 
Onde, C = 16r3.dr 
 C = 16[r4/4]0,2 
 C = 4[0,2]4 = 0,0064 
 
 70 
Integrando ds, tem-se; 
Q = 0,0064ds, 
ds  variando de 0 a 2 rad 
Resposta: 
Q = 0,04 m3/s 
 
RESOLVENDO PELA HP-48 
 
Fazendo, dA = rdr.ds 
dQ = 16r3.dr.ds Nos intervalos: 0  s  6,28 e 0 r  0,2 
 
[Roxa] [ENTER] 
[] [Q] 
[Roxa] [0] (sinal de =) 
[Verde] [cos] 
[0] [] [6,28] [] 
[Verde] [cos] 
[0] [] [0,2] [] 
[16] [x] (vezes) [] [Roxa] [r] 
[yx] [3] [] [] 
[] [Roxa] [R] 
[] [] 
[] [s] [] 
 
Para obter a resposta: 
[EVAL] [EVAL] [EVAL] 
Q = 0,04 m3/s 
 
 71 
Exemplo 
 
Ex. (2). Resolver o exercício anterior, considerando a V= 4r [i][m/s] - Resp.: Q = 0,05 
m3/s 
 
Espaço para a solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 72 
VAZÃO EM CONDUTOS FORÇADOS 
 
Fazendo a equação igual à vazão mássica, tem-se; 
.V.n.dA = M (= vazão mássica) 
E, sua apresentação na forma integral, será; 
 
CS
M 0
 
Aplicando-a desde A até B, no interior da tubulação, onde o fluido escoa, tem-se; 
M2 - M1 = 0 
Ou, 
M1 = M2 = Constante 
Conclusão.: Para um sistema conservativo, a vazão não varia; contudo, a velocidade 
poderá variar, em função da área da seção transversal do tubo. 
 
 
Figura 16 – Seção longitudinal de um tubo - equação da vazão 
 73 
RESUMO DAS FÓRMULAS PARA DETERMINAÇÃO DA VAZÃO; 
 
 Equação da Vazão Mássica em Kg/s 
M = 1.A1.v1 =2. A2.v2 
 Equação da Vazão em Volume em m3/s 
Q = A1.V1 = A2.V2 
 Equação da Vazão em Peso em N/s 
G= .Q 
Onde, 
 G =vazão em peso, em Kgf/s ou N/s 
  = peso específico do fluido, em kgf/m3 ou N/m3 
 Q = vazão em volume, em m3/s 
A = área transversal do tubo 
 = densidade absoluta ou massa específica 
 
 74 
Exemplo 
 
Ex. (03) Determinar a vazão em volume, quando a água escoa no interior de um 
tubo de diâmetro igual 100 mm com uma velocidade de 10 m/s. 
Solução; 
Q = A.v 
Q = [3,14.(0,1)2 /4].10 = 0,0785 m3/s = 78,5 litros/s 
 
 
Ex. (04) Qual a vazão em peso do ar, quando ele escoa no interior de um tubo de 
diâmetro igual a 100 mm, com uma velocidade de 10 m/s. Considere o peso 
específico do ar igual 1,2 kgf/m3. 
Solução; 
G = .Q 
G = 1,2 . 0,07 = 0,09 kgf/m3 
 
 
 
 
 
 
 75 
APLICACOES NA ENGENHARIA 
 
1. Coeficiente de permeabilidade do solo: Hidrologia, Mecânica dos Solos e Estradas 
2. Taxa de infiltração no solo: Hidrologia e Mecânica dos Solos 
3. Vazão do rio: Hidrologia 
4. Vazão em condutos forçados: Hidráulica 
 
 
COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE (k) DO SOLO – LEI DE DARCY - ENSAIO 
DE LABORATÓRIO 
Fonte: Garcez e Acosta – (1988) - Hidrologia 
Permeabilidade é a propriedade dos solos que indica a maior ou menor facilidade 
que os mesmos oferecem à passagem da água através de seus vazios. E, é 
numericamente expressa pelo “coeficiente de permeabilidade, k” cujo conhecimento 
é importante para o movimento da água no solo. 
 Solo impermeável é quando k  10-8 cm/s  Argila 
 Concreto de alto resistência ou mármore, k  10-12 cm/s 
A determinação experimental do coeficiente de permeabilidade, k foi obtida em 
1856pelo Eng. Francês Henry Darcy, por meio da seguinte experiência: 
Ele observou que numa determinada amostra de solo submetida a um fluxo laminar 
a vazão (Q) era proporcional ao produto da área A da seção da amostra, medida 
perpendicularmente ao fluxo, pela relação H/L, denominada gradiente hidráulico (i). 
Ou seja; 
Q  A.(H/L) 
Chamando, 
 = coeficiente de proporcionalidade 
E, fazendo 
 = k = coeficiente de permeabilidade do solo 
Tem-se; 
 76 
Q = k. A.(H/L)  Lei de Darcy para percolação laminar 
Ou, 
Q = k.A.i 
E, 
V = k.i 
 
 
Figura - Imagem do permeâmetro de coluna variável - Fonte: secundária 
 
 77 
Exemplo: 
Numa sondagem de solo a percussão concomitantemente foi efetuada um ensaio de 
percolação para determinar o coeficiente de percolação, k do solo (utilizado tanto em 
Hidrologia quanto em Mecânica dos Solos). Deve-se manter o furo do solo 
permanente cheio com água durante um intervalo de tempo. Pois, a vazão que entra 
(água adicionada pelo laboratorista) deverá ser igual à vazão que irá percolar no 
solo. Foi iniciado após a saturação do solo. Considere o diâmetro do furo no solo 
igual 6,35 cm. 
De acordo com o quadro abaixo, pede-se para determinar o coeficiente de 
permeabilidade k do solo. 
No de 
Ord. 
Hora Tempo (min) 
Volume 
(litro) 
1 11h05min 0 - 
2 11h06min 1 0,370 
3 11h07min 1 0,370 
4 11h08min 1 O,320 
5 11h09min 1 0,320 
6 11h10min 1 0,280 
7 11h11min 1 0,290 
8 11h12min 1 0,280 
9 11h13min 1 0,260 
10 11h14min 1 0,250 
11 11h15min 1 0,290 
 - 10 3,030 
Quadro – Ensaio a percussão para percolação da água no solo 
 Fonte: secundaria 
Nota: Considere: y1 = 50 cm; y2 = 2,0 m e L = 3,0 m.
 78 
Figura da Sondagem à percussão; 
 
 
 Y1 
 
 Tubo 
 
 Y2 
 h 
 
 
 
 Solo 
 L 
 
Figura – sondagem para percolação da água 
 Fonte: secundaria 
 
Solução; Da Lei deDarcy 
Q = k. A.(H/L) = (3,03.10-3 m3/10.60 seg) = k. [3,14 (6,35.10-2)2 / 4].2,5/3,0 
Resposta; 
k = 1,91.10-3 m/s = 1,91.10-5 cm/s 
 
 
 
 
 
Q (vazão 
adicionada) 
Q (vazão que sai 
por percolação) 
 79 
TAXA DE INFILTRAÇÃO DO SOLO – INFILTRÔMETRO, ENSAIO DE CAMPO. 
Fonte: Garcez e Acosta – (1988) - Hidrologia 
O infiltrômetro consiste basicamente de dois cilindros concêntricos e um dispositivo 
de medir volumes da água aduzida ao cilindro interno. Tubos curtos de 200 mm a 
1,0 metros de diâmetro cravados verticalmente no solo, de modo que fique uma 
pequena parte livre (altura). 
A água infiltrada no solo deverá ser reabastecida pelo laboratorista; ou seja, a 
VAZÃO que sai deverá ser igual à VAZÃO que entra. 
O estudo da infiltração do solo é de grande utilidade em Hidrologia, Mecânica dos 
Solos e Meio Ambiente. 
 
 
 
 
Solo 
 
 
 D 
Figura - infiltrômetro no solo 
 Fonte: secundaria 
 
Determinação da taxa de infiltração (f); 
Da equação da vazão, tem-se; 
Q = A.V  V = Q/A 
Fazendo 
 V = f (taxa de infiltração, em m/s), tem-se, portanto, a equação da taxa: 
 f = Q/A 
Exemplo; 
Q(entra) 
Q(sai por 
infiltração) 
 80 
Quadro do volume de água consumida 
Hora Tempo (min) Volume (litros) 
10h00min 0 - 
10h01min 1 0.22 
10h02min 1 0.22 
10h03min 1 0,19 
10h04min 1 0,19 
10h05min 1 0,18 
TOTAL 5 1,00 
Quadro – volume de água consumida no solo – infiltrômetro 
 Fonte: secundaria 
Pede-se: Calcular a taxa de infiltração (f) do solo em cm/s; 
 
Solução: 
De, 
Q = Volume/Tempo 
Tem-se; 
Q = 1,0 litro / 5 min = 0,200 litros/seg. = 0,2.10-3 m3/s 
A = 3,14(0,2)2 / 4 = 0,0314 m2 
f = Q/A = 0,2.10-3 / 0,0314 m2 = 6,36.10-3 m/s = 6,36.10-5 cm/s 
 81 
VAZÃO DO RIO – HIDROLOGIA 
Fonte: Garcez e Acosta – (1988) – Hidrologia 
 
 L1 L2 L3 L4 L5 
 
 
 V20% Sendo: 
 Pa Pp L= largura 
 V80% P= profundidade 
 
 
Figura – Seção transversal do rio – descarga. 
 
 Fórmula da descarga (vazão) 
iiVAQ 
 
Teoria básica para descarga em rio; 
Fórmula da descarga (vazão) 
iiVAQ 
 
2
0
080
0
020 VV
V


 
2
pp
p
pa
m


 
LpA imi i.
 
 
 
 
 
Seção Trans-
versal do Rio 
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PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE SIMPLIFICADA - VAZÃO 
Ex. (01) Quando 30 litros/seg. escoam através de um tubo de 200 mm de diâmetro, 
que depois é reduzido para 100 mm, quais serão as velocidades em cada tubo? 
Resp.: 0,955 m/s e 3,82 m/s respectivamente. 
 
Ex. (02) Em um tubo de 0,150 m escoa ar sob uma pressão manométrica de 0,2 
MPa e uma temperatura de 27 oC. Se a pressão barométrica for de 0,1 MPa e a 
velocidade for de 3,0 m/s, quantos quilos de ar pôr segundo estarão escoando? 
Resp.: 0,181 kg/s. 
 
Ex. (03) Qual o menor diâmetro de um tubo necessário para transportar 0,101 kg/s 
de ar com uma velocidade máxima de 6,0 m/s? O ar está a 27 oC e sob uma pressão 
de 0,2 MPa absoluta. 
Resp.: 0,153 m ou 153 mm. 
 
Ex. (04) Qual a vazão em litros/s, quando um tubo enche de água um tanque cúbico 
de 1,5 m de altura, em 10 minutos? 
 
Ex. (05) Verificar se a equação da continuidade para fluido incompressível em 
escoamento permanente é satisfeita quando as componentes da velocidade são 
expressas pôr: 
 u = 2x2 - xy + z2 
 v = x2 - 4xy + y2 
 w = -2xy - yz + y2 
Resp.: Satisfaz. 
 
Ex. (06) Para encher uma garrafa plástica de um litro com a água de um bebedouro, 
consumiram-se 20 segundos. Calcular a vazão desse aparelho em L/s, m3/s e ft3/s. 
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Resp.: 0,05L/s; 5 . 10-5 m3/s; 1,76 . 10-3 ft3/s 
 
Ex. (07) Debaixo de um chuveiro coloca-se um balde com 6 litros de capacidade. 
Aberto o registro do chuveiro, na posição normal para um banho, mede-se o tempo 
de 30 segundos para se encher o balde. Obter a vazão desse chuveiro em L/s, m3/s 
e ft3/s 
Resp.: 0,2 L/s; 2 . 10-4m-3/s; 7,06 . 10-3ft3/s 
 
Ex. (08) Uma tubulação conduz 2400 litros de água por segundo. Determinar seu 
diâmetro para que a velocidade do líquido não ultrapasse 2m/s. 
Resp.: D >= 1,236m 
 
Ex. (09) Em um determinado projeto industrial estabelece-se que U deve ser maior 
ou igual (>=) a 1,2 m/s, a fim de evitar a deposição de algumas partículas sólidas em 
suspensão (o que ocorreria sob velocidade muita baixas). Fixada a vazão em 0,06 
m3/s, calcular o diâmetro máximo da tubulação. 
Resp.: D <= 0,252m 
 
Ex. (10) Mantendo a vazão Q e substituindo a tubulação de diâmetro D1 por outra de 
diâmetro D1/2, mostrar que a velocidade U fica quadruplicada. 
 
Ex. (11) Em um certo projeto estabelece-se, como velocidade média do líquido, o 
valor máximo de 4m/s. Escolhendo tubos com diâmetro D = 600mm, obter a vazão 
máxima (em m3/s). 
Resp.: Q = 1,13m3/s 
 
Ex. (12) A água escoa através de um conduto de raio r = 0,3m figura abaixo. Em 
cada ponto da seção transversal do conduto, a velocidade é definida por v = 1,8 – 
20x2, sendo x a distância do referido ponto ao centre O da seção. Calcular Q. 
Resp.: Q = 0,254m3/s 
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Ex. (13) Com o raio do tubo e vazão em volume do problema anterior e com

 = 
1000 kg/m3, e g = 9,81m/s2 calcular: 
a) a vazão em peso 
Resp.:QP = 2491,74 N/s 
b) a vazão em massa 
Resp.: QM = 254Kg/s 
c) velocidade média do escoamento. 
Resp.: V = 0,9m/s 
 
Ex. (14) Água que escoa através da bifurcação mostrada na figura ao lado. Qual a 
velocidade na seção 3 para escoamento unidimensional (isto é, escoamento onde as 
propriedades do fluído podem ser espessas em termos de uma coordenada de 
espaço e tempo). 
Resp.: V3 = 0,93 m/s 
 
Figura do problema 
 
Figura do problema 12 
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Ex. (15) Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável devida ao uso 
de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 60 mm de diâmetro, é de 
7,5L/s. Determinar a velocidade de escoamento. 
Resp.: V = 2,65m/s 
 
Ex. (16) Um tubo de 6" transporta 2,87 ft3/s de água. O tubo ramifica-se em 2 tubos, 
um de 2" de diâmetro e o outro de 4" de diâmetro. Se a velocidade no tubo dê 2" é 
40 ft/s, qual é a velocidade no tubo de 4"? 
Resp.: 22,9ft/s 
 
Ex. (17) Quando 1800 l/min escoam através de um tubo de 200 mm de diâmetro, 
que mais tarde é reduzido para 100 mm, quais serão as velocidades médias nos 
dois tubos? 
Resp.: 12,5m/s 
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REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
BARBOSA, J.NOVAIS. Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Geral. Vol. I e II. 1985. 
Porto Editora Ltda. Lisboa, Portugal. 
 
FOX, ROBERT W. E MCDONALD, ALAN T. Introdução a Mecânica dos Fluidos – 
Purdue University 1 998, 4a edição revista, LTC Rio de Janeiro Brasil. 
 
GILES, R.V. Problemas de Mecânica dos Fluidos – S.P. Schaum Editora Santuário. 
 
SCHIOZER, DAYR. Mecânica dos Fluidos. 2a d.1996. Editora LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, RJ. 
 
SHAMES, IRVING HERMAN, Mecânica dos Fluidos. Editora Edgard Blucher, 1973. 
São Paulo. Ed. Universidade de São Paulo. 
 
VIANA, MARCOS ROCHA. Mecânica dos Fluidos para Engenheiros. 3a d. 1998 – 
UFMG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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