Lista de Exercicios GAAL
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Lista de Exercicios GAAL

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UFMG \u2013 GAAL MAT038
Lista de Exerc´\u131cios
1. Seja A uma matriz 6 × 6 com polino\u2c6mio caracter´\u131stico \u3bb2(\u3bb \u2212 1)(\u3bb \u2212 2)3. Quais sa\u2dco as poss´\u131veis
dimenso\u2dces dos auto-espac¸os de A.?
2. Seja A =
\uf8ee\uf8f0 4 0 12 3 2
1 0 4
\uf8f9\uf8fb .
a) Encontre os autovalores de A.
b) Para cada auto valor \u3bb encontre uma base para o auto-espac¸o.
c) A e´ diagonaliza´vel? Justifique sua conclusa\u2dco.
RTA. a) \u3bb = 3, \u3bb = 5
c) A e´ diagonaliza´vel pois os autoespac¸o da\u2dco um total de 3 vetores L.I
3. Encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P\u22121AP onde A =
\uf8ee\uf8f0 2 0 \u221220 3 0
0 0 3
\uf8f9\uf8fb .
RTA: P =
\uf8ee\uf8f0 \u22122 0 10 1 0
1 0 0
\uf8f9\uf8fb . P\u22121AP =
\uf8ee\uf8f0 3 0 00 3 0
0 0 2
\uf8f9\uf8fb .
4. Considere a matriz
A =
\uf8ee\uf8f0 1 1 01 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb .
(a) Ache o polino\u2c6mio caracter´\u131stico, os autovalores e os autoespac¸os de A.
(b) Obtenha uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP t.
(c) Chame de U1, U2, U3, respectivamente, aos vetores de R3 nas colunas de P , ou seja P =
[U1|U2|U3]. Explique por que estes vetores formam uma base ortonormal de R3.
(d) Escreva o vetor V = (1, 1, 1) como combinac¸a\u2dco linear de U1, U2 e U3.
5. Determine justificando sua resposta se as seguintes afirmac¸o\u2dces sa\u2dco verdadeiras ou falsas.
a) Toda matriz quadrada com vetores solunas L.I. e´ diagonaliza´vel (RTA. Falsa)
b) Se A e´ diagonaliza´vel enta\u2dco existe uma u´nica matriz P tal que P\u22121AP e´ uma matriz diagonal
(Falsa)
c) Se A e´ diagonaliza´vel e invert´\u131v el, enta\u2dco A\u22121 e´ diagonaliza´vel. (Verdadeira).
d) Se A Se A e´ uma matriz quadrada, enta\u2dco A e At te\u2c6m os mesmos autovalores. (verdadeira)
e) Se A e´ uma matriz 2× 2 com somente 1 autovalor, enta\u2dco A na\u2dco e´ diagonaliza´vel
6. Identifique a co\u2c6nica
a) 2x2 \u2212 4xy \u2212 y2 = \u221224 (hiperbole)
b) 4x2 \u2212 20xy + 25y2 \u2212 15x\u2212 6y = 0. (parabola)
c) 21x2 + 6xy + 13y2 \u2212 132 = 0 (elipse)
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