Lista de Exercicios GAAL

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UFMG – GAAL MAT038
Lista de Exerc´ıcios
1. Seja A uma matriz 6 × 6 com polinoˆmio caracter´ıstico λ2(λ − 1)(λ − 2)3. Quais sa˜o as poss´ıveis
dimenso˜es dos auto-espac¸os de A.?
2. Seja A =
 4 0 12 3 2
1 0 4
 .
a) Encontre os autovalores de A.
b) Para cada auto valor λ encontre uma base para o auto-espac¸o.
c) A e´ diagonaliza´vel? Justifique sua conclusa˜o.
RTA. a) λ = 3, λ = 5
c) A e´ diagonaliza´vel pois os autoespac¸o da˜o um total de 3 vetores L.I
3. Encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P−1AP onde A =
 2 0 −20 3 0
0 0 3
 .
RTA: P =
 −2 0 10 1 0
1 0 0
 . P−1AP =
 3 0 00 3 0
0 0 2
 .
4. Considere a matriz
A =
 1 1 01 1 0
0 0 1
 .
(a) Ache o polinoˆmio caracter´ıstico, os autovalores e os autoespac¸os de A.
(b) Obtenha uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP t.
(c) Chame de U1, U2, U3, respectivamente, aos vetores de R3 nas colunas de P , ou seja P =
[U1|U2|U3]. Explique por que estes vetores formam uma base ortonormal de R3.
(d) Escreva o vetor V = (1, 1, 1) como combinac¸a˜o linear de U1, U2 e U3.
5. Determine justificando sua resposta se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas.
a) Toda matriz quadrada com vetores solunas L.I. e´ diagonaliza´vel (RTA. Falsa)
b) Se A e´ diagonaliza´vel enta˜o existe uma u´nica matriz P tal que P−1AP e´ uma matriz diagonal
(Falsa)
c) Se A e´ diagonaliza´vel e invert´ıv el, enta˜o A−1 e´ diagonaliza´vel. (Verdadeira).
d) Se A Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o A e At teˆm os mesmos autovalores. (verdadeira)
e) Se A e´ uma matriz 2× 2 com somente 1 autovalor, enta˜o A na˜o e´ diagonaliza´vel
6. Identifique a coˆnica
a) 2x2 − 4xy − y2 = −24 (hiperbole)
b) 4x2 − 20xy + 25y2 − 15x− 6y = 0. (parabola)
c) 21x2 + 6xy + 13y2 − 132 = 0 (elipse)
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