2-Lei_de_Gauss
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2-Lei_de_Gauss


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Universidade Federal do Rio de Janeiro | Instituto de Física
Física III | 2014/2
Cap. 2 - Lei de Gauss
Prof. Elvis Soares
Nesse capítulo, descreveremos a Lei de Gauss e um procedimento alternativo para cálculo de
campos elétricos a partir dessa lei.
1 Fluxo Elétrico
O fluxo do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo que passam por uma
dada superfície.
Consideremos uma superfície qualquer divida em um número muito grande de elementos de
área que são suficientemente pequenos, de área dA, onde o campo elétrico é uniforme uma
vez que o elemento de superfície é suficientemente pequeno. Desta forma, o fluxo elétrico d\u3a6E
através desse elemento de área é
d\u3a6E = EdA
Se a superfície em consideração não é perpendicular ao campo, o fluxo através dela pode mudar.
É fácil entender pela figura a seguir, onde a normal à superfície dA2 faz um ângulo \u3b8 com o
campo elétrico, enquanto a normal à superfície dA1 é paralela a ele.
Porém, o número de linhas de campo que atravessam a superfície dA1 é o mesmo que atravessam
a superfície dA2, uma vez que dA1 = dA2 cos \u3b8 é a projeção da superfície dA2, nesse caso. Então,
o fluxo elétrico sobre as duas superfícies é igual nesse caso a
Prof. Elvis Soares 1 Fluxo Elétrico
d\u3a6E = ~E · n\u2c61dA1 = ~E · n\u2c62dA2 \u2261 ~E · d ~A
Se quisermos calcular o fluxo elétrico sobre uma superfície, devemos calcular a soma do fluxo
de cada elemento de superfície infinitesimal, conforme a figura. Sendo assim, o fluxo elétrico se
reduz a integral
\u3a6E =
\u222b
~E · d ~A (1)
que é uma integral feita sobre a superfície desejada, ou seja, ela depende do campo elétrico e
da forma da superfície em questão.
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1 Fluxo Elétrico Prof. Elvis Soares
Exemplo: Fluxo através do Cubo
Consideremos um campo elétrico uniforme ~E orientado ao longo da direção x positivo. Vamos
calcular o fluxo elétrico total através da superfície de um cubo de arestas l, como mostra a
figura.
O fluxo total é a soma dos fluxos através de
todas superfícies do cubo. Primeiramente, no-
tamos que o fluxo através das faces 3©, 4© e
daquelas não numeradas é zero pois ~E é per-
pendicular a d ~A nessas faces.
O fluxo através das faces 1© e 2© é
\u3a6E =
\u222b
1
~E · d ~A+
\u222b
2
~E · d ~A
Na face 1©, ~E é constante e tem a direção oposta ao vetor d ~A1, de modo que o fluxo sobre essa
face é \u222b
1
~E · d ~A =
\u222b
1
(Ex\u2c6) · (\u2212x\u2c6dA1) = \u2212E
\u222b
1
dA1 = \u2212El2
Na face 2©, ~E é constante e tem a mesma direção do vetor d ~A2, de modo que o fluxo sobre
essa face é \u222b
2
~E · d ~A =
\u222b
2
(Ex\u2c6) · (x\u2c6dA2) = E
\u222b
2
dA2 = El
2
Portanto, o fluxo total sobre a superfície do cubo é
\u3a6E = \u2212El2 + El2 + 0 + 0 + 0 + 0
\u3a6E = 0
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Prof. Elvis Soares 2 Lei de Gauss
Exemplo: Fluxo através da Esfera devido a uma Carga
Consideremos uma carga puntiforme positiva q localizada no centro de uma esfera de raio R,
como mostra a figura.
+
O fluxo total através da superfície da esfera deve
ser calculado como
\u3a6E =
\u222e
~E · d ~A
onde o elemento de área da esfera é d ~A = r\u2c6dA,
de modo que o fluxo através da esfera é
\u3a6E =
\u222e (
k
q
R2
r\u2c6
)
· (r\u2c6dA) = k q
R2
(4piR2)
Lembrando que k = 1/4pi\ufffd0, podemos escrever o fluxo através da esfera como
\u3a6E =
q
\ufffd0
Notamos que o fluxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga interna. O
fluxo é independente do raio R porque a área da superfície da esfera é proporcional a R2 e, o
campo elétrico é proporcional a 1/R2. Então, o produto da área pelo campo elétrico independe
do raio R.
2 Lei de Gauss
Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma carga q, conforme a figura. A
superfície A1 é esférica, mas as superfícies A2 e A3 não são.
Pelo exemplo anterior, o fluxo que passa através da superfície A1 é q/\ufffd0. Como discutido
anteriormente, o fluxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que passam através
da superfície. E da figura vemos que o número de linhas que passam através de A1 é igual ao
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2 Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
número de linhas que passam pelas superfícies não-esféricas A2 e A3. Portanto, concluímos que
o fluxo total através de qualquer superfície fechada envolta de uma carga q é dado por q/\ufffd0 e é
independente da forma dessa superfície.
Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma arbitrária,
conforme a figura.
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma por outro
ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao número deixando a
superfície. Portanto, concluímos que o fluxo total através de uma superfície fechada que não
engloba nenhuma carga é zero.
Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a figura a seguir.
A superfície S engloba somente uma carga, q1; assim, o fluxo total através de S é q1/\ufffd0. O
fluxo através de S devido às cargas q2, q3, e q4 fora dela é zero pois cadas linha de campo que
entra em S num ponto sai da superfície por outro ponto. A superfície S \u2032 engloba as cargas q2
e q3; assim, o fluxo total através dela é (q2 + q3)/\ufffd0. E finalmente, o fluxo total através de S \u2032\u2032
é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície. Isso é, todas as linhas de campo
que entram em S \u2032\u2032 por um ponto saem dela em outros pontos. Notemos que a carga q4 não
contribui para o fluxo em nenhuma superfície porque ela está fora de todas as superfícies.
Assim, a Lei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece que o fluxo
total sobre qualquer superfície fechada é
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Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss
\u3a6E =
\u222e
~E · d ~A = Qint
\ufffd0
(2)
onde Qint representa a carga total no interior da superfície e ~E representa o campo elétrico em
qualquer ponto na superfície.
3 Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas com alto grau
de simetria.
A idéia é escolher uma superfície gaussiana que satisfaz uma ou mais condições a seguir:
1. O valor do campo elétrico pode ser constante sobre a superfície devido à simetria.
2. O produto escalar ~E · d ~A é zero porque ~E e d ~A são perpencilares, enquanto ~E · d ~A é
±EdA pois ~E e d ~A são paralelos.
3. O campo pode ser zero sobre a superfície.
Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.
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3 Aplicações da Lei de Gauss Prof. Elvis Soares
Exemplo: Campo Elétrico de uma Carga Puntiforme
Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiforme q a partir da Lei de Gauss.
+
Como o espaço em volta da carga tem sime-
tria esférica, essa simetria nos diz que o campo
elétrico deve ser radial apenas, de forma que
escrevemos
~E = E(r)r\u2c6
Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades listadas acima,
e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na carga
puntiforme, conforme figura. Com isso, podemos escrever o fluxo do campo elétrico como
\u3a6E =
\u222e
~E · d ~A =
\u222e
E(r)dA =
q
\ufffd0
onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso, o campo
elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica, devido à distância
ser a mesma em todos os pontos, de modo que\u222e
E(r)dA = E(r)
\u222e
dA = E(r)(4pir2) =
q
\ufffd0
e assim
E(r) =
q
4pi\ufffd0r2
= k
q
r2
Obs: Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida, mas
não haveria simetria suficiente para determinar o campo elétrico, pois a intensidade do campo
elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.
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Prof. Elvis Soares 3 Aplicações da Lei de Gauss
Exemplo: Campo Elétrico de uma Esfera Carregada Uniformemente
Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raio a e carregada uniformemnte
com uma carga Q.
Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o
Igor
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