Aula 20

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Coordenadas esfe´ricas
E´ um sistema de coordenadas para o R3. Um ponto do espac¸o sera´
descrito por coordenadas P = (ρ, θ, φ), onde
Escrever P = (ρ, θ, φ) em esfe´ricas significa: a) ρ e´ a distaˆncia da
origem ate´ o ponto. b) θ e´ o aˆngulo polar, ou seja, projetamos P
no plano xy e medimos o aˆngulo polar usual. c) φ e´ o aˆngulo que
a reta ligando a origem a P faz com o eixo z positivo.
O que sa˜o as seguintes regio˜es os espac¸o?
1 ρ =constante =⇒ esfera.
2 θ =constante =⇒ semiplano vertical.
3 z =constante =⇒ cone.
Relacionando sistemas de coordenadas
Agora temos 3 sistemas de coordenadas para o R3. Converter
coordenadas de um sistema para o outro e´ um exerc´ıcio simples.
Retangulares =⇒ esfe´ricas:
ρ =
√
x2 + y2 + z2, tg(θ) =
y
x
, cos(φ) =
z√
x2 + y2 + z2
Esfe´ricas =⇒ retangulares: lembre que x = r cos(θ), e que
r = ρ sin(φ). Logo, x = ρ sin(φ) cos(θ).
Esfe´ricas =⇒ retangulares: lembre que y = r sin(θ), e que
r = ρ sin(φ). Logo, y = ρ sin(φ) sin(θ).
Esfe´ricas =⇒ retangulares: da figura, vemos que z = ρ cos(φ).
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ)
Exerc´ıcio. Confira as fo´rmulas abaixo.
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ)
Exerc´ıcio. Confira as fo´rmulas abaixo.
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ)
Exerc´ıcio. Deduza as converso˜es de esfe´ricas para cil´ındricas e vice-versa.
Integrais triplas em esfe´ricas
Procedemos de maneira ana´loga ao que foi feito para as integrais
triplas vistas nas aulas anteriores.
Chamamos de ∆Vk o volume de uma cunha esfe´rica infinitesimal,
e escreveremos∫∫∫
G
f (ρ, θ, φ)dV = lim
n→∞
n∑
k=1
f (ρ∗k , θ
∗
k , φ
∗
k)∆Vk
Exerc´ıcio. Deduza que ∆Vk , o elemento de volume em
coordenadas esfe´ricas e´
∆V = ρ∗2 sin(φ∗)∆ρ∆φ∆θ
Dica: consulte o livro na sec¸a˜o correspondente.
∫∫∫
G
f (ρ, θ, φ)dV = lim
n→∞
n∑
k=1
f (ρ∗k , θ
∗
k , φ
∗
k)∆Vk
∆V = ρ∗2 sin(φ∗)∆ρ∆φ∆θ
Motivado pelo exerc´ıcio, escreveremos
dV = ρ2 sin(φ) dρ dφ dθ
∫∫∫
G
f (ρ, θ, φ)dV = lim
n→∞
n∑
k=1
f (ρ∗k , θ
∗
k , φ
∗
k)∆Vk
dV = ρ2 sin(φ) dρ dφ dθ
E a integral tripla em coordenadas esfe´ricas sera´ escrita como∫∫∫
G
f (ρ, θ, φ)dV =
∫∫∫
limites
f (ρ, θ, φ)ρ2 sin(φ) dρ dφ dθ
Exemplo. Calcule o volume do so´lido G limitado acima pela esfera
x2 + y2 + z2 = 16 e abaixo pelo cone z =
√
x2 + y2. Lembre que
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ)
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ)
Mostremos com detalhe a deduc¸a˜o da equac¸a˜o do cone.
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ)
Temos
z =
√
x2 + y2 ⇐⇒ ρ cos(φ) =
√
ρ2 sin2(φ) cos2(θ) + ρ2 sin2(φ) sin2(θ)
⇐⇒ ρ cos(φ) = ρ sin(φ) =⇒ tan(φ) = 1 =⇒ φ = pi
4
Logo,
V =
∫∫∫
G
dV =
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
∫ 4
0
ρ2 sin(φ)dρ dφ dθ
V =
∫∫∫
G
dV =
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
∫ 4
0
ρ2 sin(φ)dρ dφ dθ
=
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
[ρ3
3
sin(φ)
]4
ρ=0
dφ dθ =
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
64
3
sin(φ)dφ dθ
64
3
∫ 2pi
0
[− cos(φ)]pi/4φ=0dθ =
64
3
∫ 2pi
0
(
1−
√
2
2
)
dθ =
64pi
3
(2−
√
2)
Exemplo. Calcule∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ √4−x2−y2
0
z2
√
x2 + y2 + z2dz dy dx
Ideia: converter para esfe´ricas, tentando identificar a regia˜o de
integrac¸a˜o.
Logo, ∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ √4−x2−y2
0
z2
√
x2 + y2 + z2dz dy dx
=
∫∫∫
G
∫ √4−x2−y2
0
z2
√
x2 + y2 + z2dV
=
∫ 2pi
0
∫ pi/2
0
∫ 2
0
ρ5 cos2(φ) sin(φ)dρ dφ dθ
Exerc´ıcio. Calcule. Resposta: 64pi9 .
Exerc´ıcio. Calcule∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
∫ 1
0
ρ3 sin(φ) cos(φ)dρ dφ dθ
Ainda, esboce a regia˜o G e identifique a func¸a˜o f tal que∫∫∫
G
f (ρ, θ, φ)dV
corresponde a` integral calculada.
Exerc´ıcio. Use coordenadas esfe´ricas para calcular o volume do
so´lido delimitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 4a2 e os planos z = 0
e z = a.