APS - Cálculo II - Eloisa Arena Piovesan

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ELOISA ARENA PIOVESAN 
RA: 20202745 
 
 
 
 
 
 
 
 
APS – Cálculo II 
Estudo e Representações Gráficas de Funções 
Polares utilizando o Aplicativo Matemático 
GeoGebra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2019 
1. GEOGEBRA 
 
Trata-se de um software matemático gratuito que combina geometria e álgebra, 
ofertando aos usuários tabelas, gráficos, estatísticas e diversos cálculos. 
 
Foi desenvolvido em 2001 como tese de Markus Hohenwarter e, atualmente é 
usado em 190 países como um aplicativo educacional. 
 
 
2. TUTORIAL SOBRE O APLICATIVO GEOGEBRA 
 
Ao iniciar o aplicativo, sua interface é composta pelos seguintes itens abaixo: 
 
• Barra de Menu Principal: Contendo opções de configuração e comandos; 
• Barra de Ferramentas: Contendo opções de ferramentas; 
• Janela de Visualização: Para exibição dos eixos cartesianos e malha; 
• Janela de Álgebra: Registro dos comandos aplicados na Janela de 
Visualização; 
• Campo de Entrada: Para inserção de objetos matemáticos, como 
coordenadas cartesianas, fórmulas, entre outros. 
 
Imagem 1 – Interface do Aplicativo Matemático GeoGebra 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Geogebra (2019) 
 
 
 
 
 
 
3. EQUAÇÕES POLARES 
 
3.1. ESPIRAL DE ARQUIMEDES 
 
A Espiral de Arquimedes (ou espiral aritmética) é definida como o lugar 
geométrico de um ponto movendo-se a velocidade constante, sobre uma reta 
que gira sobre um ponto de origem fixo a velocidade angular constante. Em 
coordenadas polares (𝑟, 𝜃), a Espiral é descrita pela seguinte equação: 
 
𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝜃, onde a e b são números reais. 
 
 
3.1.1. PLOTAGEM DA FUNÇÃO DA ESPIRAL DE ARQUIMEDES 
 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
3.2. ESPIRAL HIPERBÓLICA 
 
A Espiral Hiperbólica (ou espiral recíproca) é uma curva plana transcendental, 
definida pela equação polar 𝑟𝜃 = 𝑎, sendo a inversa da Espiral de Arquimedes. 
No sistema de coordenadas polares, temos: 
 
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 e 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃. 
 
Seu início se dá a uma distância infinita do ponto central (para 𝜃 começando 
desde o valor zero e 𝑟(𝜃) =
𝑎
𝜃
 começando desde o infinito), e se enrola cada vez 
mais rápido a medida que se aproxima do ponto, a distância de qualquer ponto 
ao centro, seguindo a curva é infinito. 
 
 
3.2.1. PLOTAGEM DA FUNÇÃO DA ESPIRAL HIPERBÓLICA 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
3.3. ESPIRAL LOGARÍTMICA 
 
A Espiral Logarítmica também nomeada de Spira mirabilis (em latim, espiral 
maravilhosa) trata-se de uma curva cuja expressão analítica nas coordenadas 
polares 𝑟 e 𝜃 se dá por: 
 
𝑟(𝜃) = 𝑅𝑒1
𝜃 𝑐𝑡𝑔𝛼
, onde 𝑟 é o raio associado a 𝜃 = 0. 
 
 
 
 
3.3.1. PLOTAGEM DA FUNÇÃO DA ESPIRAL LOGARÍTMICA 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
3.4. ESPIRAL PARABÓLICA 
 
As Espirais Parabólicas (ou Espirais de Fermat) são um conjunto de curvas que 
pode ser gerado a partir da equação polar: 𝑟2 = 𝑎2𝜃. 
Em um sistema de coordenadas polares (𝑟,𝜃) as espirais se dão pela seguinte 
equação geral: 
 
𝑟 = ±𝜃1/2 
 
 
 
3.4.1. PLOTAGEM DA FUNÇÃO DA ESPIRAL PARABÓLICA 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. PLOTAGEM DE EQUAÇÕES 
 
4.1. EQUAÇÃO 𝑓(𝑥) = 2cos(3𝑥) 
 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
4.2. EQUAÇÃO 𝑔(𝑥) = 2cos(3𝑥) 
 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
 
 
4.3. EQUAÇÃO ℎ(𝑥) = 2cos(5𝑥) 
 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019) 
 
 
5. PERGUNTAS 
 
5.1. O QUE REPRESENTAM OS COEFICIENTES DE 𝒙? 
 
São valores que podem ser substituídos nas equações, os mesmos influenciam 
diretamente nas concavidades das parábolas representadas. 
 
 
5.2. O QUE REPRESENTA O NÚMERO 2 QUE MULTIPLICA A 
FUNÇÃO COSSENO? 
 
O mesmo “alonga” os gráficos das funções na direção vertical, ou seja, na 
direção do eixo x. 
 
 
5.3. O QUE ACONTECE SE TROCARMOS O NÚMERO 2 QUE 
MULTIPLICA A FUNÇÃO COSSENO POR UM OUTRO 
NÚMERO? 
 
Ao multiplicar a função cosseno ou qualquer outra função trigonométrica por uma 
constante, há uma influência direta na amplitude da função e, consequentemente 
na(s) concavidade(s) da parábola a ser formada. 
Assim, quando se substitui o número 2 por 8 por exemplo nas três funções 
supracitadas, as concavidades das parábolas se “alongam”, como ilustra a 
imagem abaixo. 
 
 
 
 
Imagem 2 – Plotagem das equações 𝑓(𝑥) = 8cos(3𝑥), 𝑔(𝑥) = 8cos(3𝑥) e 
ℎ(𝑥) = 8cos(5𝑥) 
 
 
 
Fonte: Adaptado de GeoGebra (2019)