ECON MAT I RESUMO TEORICO 2013

Prévia do material em texto

1 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Sergipe 
Centro de Ciências Sociais Aplicadas 
Departamento de Economia 
Disciplina: Economia Matemática I 
Professor: Olinto Silveira Alves Filho (olinthos@ig.com.br e olinthos@yahoo.com) 
 
“Educar e educar-se, na prática da liberdade, não é 
estender algo desde a “sede do saber”, até a “sede da 
ignorância” para “salvar”, com este saber, os que 
habitam nesta. Ao contrário, educar e educar-se, na prática 
da liberdade é tarefa daqueles que sabem que pouco sabem - 
por isto sabem que sabem algo e podem assim chegar a saber 
mais – em diálogo com aqueles que, quase sempre, pensam 
que nada sabem, para que estes, transformando seu pensar 
que nada sabem em saber que pouco sabem, possam 
igualmente saber mais.” (FREIRE, 2006:25) 
 
Teoria dos conjuntos (uma breve revisão) 
 
Breve resumo da teoria dos conjuntos 
 
 
Conjunto. Elemento. Pertinência 
 
Na álgebra da teoria dos conjuntos as noções de CONJUNTO, ELEMENTO, PERTINÊNCIA 
entre ELEMENTOS e CONJUNTO são tomadas como noções primitivas, ou seja, são aceitas 
sem definição. 
2 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
Todavia, ainda na álgebra da teoria dos conjuntos, a noção de conjunto é a mesma da 
linguagem comum, ou seja: conjunto é um AGRUPAMENTO ou COLEÇÃO de coisas (ou 
objetos). 
 
Indicamos um conjunto por letras maiúscula do nosso alfabeto, A, B, C, ... e um elemento por 
letras minúscula a, b, c, d, e, f, g, ... 
 
Se A é um conjunto e x um elemento, então temos duas possibilidades: 
 x é elemento de A, ou seja, x pertence ao conjunto A e, simbolicamente, escrevemos 
Ax
 
 x não é elemento de A, ou seja, x não pertence ao conjunto A e, simbolicamente, 
escrevemos 
Ax
 
 
Observação: essa relação é chamada de relação de pertinência e só é possível de ser 
estabelecida entre um conjunto e seus elementos. 
 
Representação de um conjunto 
Um conjunto pode ser representado atraves de uma lista de elementos separados por vírgulas 
e delimitados por chaves. Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como 
}3,2,1{A
. 
Como a ordem (nem o número de vezes que determinado elemento aprarece) é importante na 
apresentação de um conjunto, então podemos escrever o conjunto A desta forma: 
}2,2,2,3,3,1,2,2,1{A
. 
Um conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se define 
uma regra que permita decidir se um objeto qualquer pertence ou não a A. Por exemplo, a 
frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que 
permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B. O mesmo conjunto A do 
parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra 
3 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
}31/{  xquetalnaturalnúmerouméxxA
 
Igualdade entre conjunto 
 
Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. 
Exemplos: 
 
Dados os conjuntos abaixo, 
 
i) 
}2,3,2,1,0{A
 
ii) 
}3,,3,2,2,2,1,0,3,2,3{B
 
iii) 
},5,10,2{ C
 
iv) 
},3,,1,0{ yxD 
 
Então, temos que 
 
ACeCBBA  ;
 
22;  yexDA
 
Conjunto Universo 
 
U é o conjunto que possui os elementos de todos os conjuntos considerados, ou seja, o 
conjunto universo é o conjunto de todos os conjuntos. 
 
Conjunto vazio 
 
4 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Todo conjunto que não possui elementos, ou seja, aquele conjunto cuja propriedade não existe 
ou não está definida para aquele conjunto universo de referência. O conjunto vazio é 
representado por { } ou Ø. 
}03/{Ø 2  xquetalnaturalnúmerouméxx
 
 
Subconjuntos 
 
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a outro conjunto B, diz-se, 
então, que A é um subconjunto de B, ou seja, 
BA
. 
 
Observações: 
 
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja, 
AA
; 
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, 
B}{
 
Exemplo: 
 
Dados A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5}. 
 
 
 
AB
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades: 
 
0. 
 2. 1. 
 
3. 
4. 5. 
A 
B 
 
5 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
i) Todo conjunto A é um subconjunto de U, ou seja, 
UA
; 
ii) Se 
BAABeBA 
; 
iii) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, 
AA
; 
iv) Se 
CAACeBA 
; 
v) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, 
A}{
. 
 
Partes de um conjunto 
 
Chama-se conjunto das partes de um conjunto ao conjunto formado de subconjuntos do 
conjunto que são combinações de seus elementos, incluindo o próprio conjunto e o conjunto 
vazio. 
 
Exemplos: 
 
 Se 
}{ aA 
, então: 
}},{{)( aAP 
. 
22)]([ 1 APn
 
 Se 
},{ baB 
, então: 
}},,}{{},{{)( babaBP 
.
42)]([ 2 BPn
 
 Se 
},,{ cbaC 
, então: 
}},,,{},,{},,{},,{},{},{},{{)( cbacbcabacbaCP  .
82)]([ 3 CPn
 
 
 
 
 
 
Exercício ilustrativo: dados os conjuntos abaixo, 
 
6 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
i) 
}9,8,7,6,5,4,3,2,1{A
 
ii) 
}3,2,2{ B
 
iii) 
}5,3,2{C
 
iv) 
}}}{{,3,2,2{ D
 
v) 
}}{,5,3,2{E
 
Quais dos itens abaixo são verdadeiros e quais são falsos: 
 
i) 
A2)(
; 
ii) 
AC )(
; 
iii) 
A}3,2,1{)(
; 
iv) 
A}3,2,1{)(
 
v) 
BØ)(
; 
vi) 
AØ)(
; 
vii) 
D}Ø{)(
; 
viii) 
D}Ø{)(
; 
ix) 
D}}Ø{{)(
; 
x) 
EØ)(
. 
 
Operação entre conjuntos 
 
7 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
União de Conjuntos 
 
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto 
representado por 
BA
, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B ou a ambos, 
de maneira que: 
 
}/{ BxouAxxBA 
 
 
 
 
Intersecção de Conjuntos 
 
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto 
representado por 
BA
, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, 
simultaneamente, de tal maneira que: 
 
}/{ BxeAxxBA 
 
 
 
 
 
 
 
Complementar 
8 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
Sabemos que todo conjunto é subconjunto de um conjunto universo, fixo, U. O complementa 
absoluto, ou simplesmente complementar de A, é o conjunto de todos os elementos que estão 
no conjunto U, masnão estão em A. 
Dado que 
UA
, temos que 
 
AUC AU 
 ou 
AUAc 
 ou 
AUA 
__ 
 
}/{ BxeAxxAUC AU 
 
Se B esta contido em A, ou seja, se 
AB
, então 
 
BACBA 
 
 
Diferença de Conjuntos 
 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto 
representado por A – B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não 
pertencem a B, de tal maneira que: 
 
}/{ BxeAxxBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leis da Álgebra de Conjuntos 
9 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
Leis idempotentes 
 
ABA 
 
ABA 
 
 
Leis associativas 
 
)()( CBACBA 
 
)()( CBACBA 
 
 
Leis comutativas 
 
ABBA 
 
ABBA 
 
 
Leis distributivas 
 
)()(( CABACBA 
 
)()()( CABACBA 
 
 
Leis de identidade 
 
AA Ø
 
ØØ A
 
 
UA U
 
ØUc 
 
 
 
UØc 
 
 
 
 
Leis dos complementos 
 
 
UA c A
 
ØA  cA
 
 
AA cc )(
 
UU A
 
 
 
 
 
Leis de De Morgan 
 
 
ccc BAA B)(
 
ccc BAA B)(
 
 
 
 
10 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos numéricos 
 
(i) Conjunto dos números naturais (N) 
 
 
 
 
Um subconjunto importante de N é o conjunto N* 
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto N. 
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra 
o gráfico abaixo: 
 
(ii) Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
 
 
 
O conjunto N é subconjunto de Z. 
Temos também outros subconjuntos de Z: 
Z* = Z – {0} 
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0, -1, -2, -3, -4, -5, ...} 
 
Observações: 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
11 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
O zero não pode ser definido como negativo, nem positivo. 
Deve-se perceber que Z+ = N. 
 
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o 
gráfico abaixo: 
 
(iii) Conjunto dos números racionais (Q) 
 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o 
numerador e denominador  Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do 
conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas. 
Assim, podemos escrever: 
 
 
 
 
É interessante considerar a representação decimal de um número racional, que se obtém 
dividindo a por b. 
 
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: 
 
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: 
 
}0b e Zb,Za com , 
b
a
x/x{Q 
 
75,3
20
75
 25,1
4
5
 5,0
2
1

...1666,1
6
7
 ...333,0
3
1

12 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iv) Conjunto de números irracionais (Q’) 
 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não 
podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números 
irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3: 
 
Exemplos: 
 
...1415926535,3
...7320508,13
...4142135,12



 
 
(v) Conjunto dos números reais (R) 
 
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (Q’), definimos o conjunto 
dos números reais como: 
 
 
 
 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
R = Q  Q’ = {x / x é racional ou x é irracional} 
R Q’ 
Q 
Z 
N 
13 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como 
subconjuntos importantes de R, temos: 
R* = R - {0} 
 R+ = conjunto dos números reais não negativos 
R_ = conjunto dos números reais não positivos 
 
Observação: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1. Dado o conjunto A = {3, 5, 7, 9, 11, 15}, na forma compacta, escreva na forma extensiva 
os seguintes conjuntos: 
 
a. {x  A / x é impar} 
b. {x  A / x é múltiplo de 5} 
c. {x  A / x é divisor de 60} 
d. {x  A / x é divisível por 2} 
 
Resolução: 
 
(a) O próprio conjunto A; 
(b) {5, 15}; 
(c) {3, 5, 15}; 
(d) { } o conjunto vazio. 
 
14 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
2. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas 
presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. 
Quantas pessoas não comeram nenhuma sobremesa? 
 
Resposta: n = 1. 
 
3. Numa indústria, 120 operários trabalham pela manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham 
à noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40 trabalham à 
tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Assim: 
 
a) 150 operários trabalham em 2 períodos; 
b) há 500 operários na indústria; 
c) 300 operários não trabalham à tarde; 
d) há 30 operários que trabalham apenas pela manhã; 
e) N.d.a. 
 
Resposta: (d). 
 
4. Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o 
jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos 
jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: 
 
Resposta: 40%. 
 
5. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 
estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos 
não estudam nenhuma das duas? 
 
Resposta: 332 e 83. 
 
15 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBAolinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
6. Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feitas uma pesquisa do 
mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: 
 
Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C 
Nenhuma 
das três 
Número de 
consumidores 
109 203 162 25 41 28 5 115 
 
a) Número de pessoas consultadas. 
Resposta: 
 
b) Número de pessoas que só consomem a marca A. 
Resposta: 
 
c) Número de pessoas que não consomem as marcas A ou C. 
Resposta: 
d) Número de pessoas que consomem ao menos duas marcas 
Resposta: 
 
7. Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas 
preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram 
que: 
 
210 compram o produto A. 
210 compram o produto B. 
250 compram o produto C. 
500115)(  CBAn
61)]()()([)(  CBAnCABAnAn
257115 BApenas
79)]()([)]()([)]()([  CBAnCBnCBAnCAnCBAnBAn
16 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
20 compram os três produtos. 
100 não compram nenhum dos três produtos. 
60 compram os produtos A e B. 
70 compram os produtos A e C. 
50 compram os produtos B e C. 
Quantas pessoas foram entrevistadas? 
 
Resposta: 610 
 
8. Os sócios dos clubes A e B formam um total de 2200 pessoas. Qual é o número de sócios 
do clube B se A tem 1600 e existem 600 que pertencem aos dois clubes? 
 
Resposta: 1200 
 
9. Uma escola tem 20 professores, dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 
Química e 4 ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. 
Quantos professores ensinam Química e Física e quantos ensinam somente Física? 
 
Resposta: Química e Física são 2 e somente Física são 3. 
 
10. Um colégio ofereceu cursos de Inglês e Francês, devendo os alunos se matricularem em, 
pelo menos, um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto Inglês 
quanto Francês; em Francês, matricularam-se 22 alunos e, em Inglês: 
 
Resposta: 36 
 
11. Em uma escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A 
e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: 
127106)2135()2156(  pp
17 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 158 
 
12. Numa pesquisa de mercado foram entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em 
relação a três jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi: 
 
44 pessoas lêem o jornal A; 
37 pessoas lêem o jornal B; 
32 pessoas lêem os jornais A e C; 
28 pessoas lêem os jornais A e B; 
26 pessoas lêem os jornais B e C; 
20 pessoas lêem os jornais A, B e C; 
7 pessoas não lêem jornal. 
 
Com base nesse resultado, quantas pessoas lêem o jornal C? 
 
Resposta: 39. 
 
13. Numa pesquisa sobre a posição de dois partidos políticos, A e B, foram ouvidas 200 
pessoas. Dessas, 150 aprovavam as reivindicações de A. 130, as de B; e 20 eram contra os 
dois. O número de pessoas que aprovavam ambos os partidos era. 
 
Resposta: 100. 
 
14. Dos 80 alunos de uma turma, 15 foram reprovados em Matemática, 11 em Física e 10 em 
Química. Adicionalmente, percebeu-se que oito alunos foram reprovados 
35)(21)(56  pBppBp
316635  kk
15831127  knTotal
18 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
simultaneamente em Matemática e Física, seis em Matemática e Química e quatro em 
Física e Química. Sabendo que 3 alunos foram reprovados nas três disciplinas, determine 
quantos alunos não foram reprovados em nenhuma dessas disciplinas. 
 
Resposta: 59 
 
15. Foi consultado certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente 
assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas ao canal A, 270 assistem ao canal 
B, dos quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de 
A e B. O número de pessoas consultadas é: 
 
Resposta: 500 
 
 
 
 
Intervalo, par ordenado e produto cartesiano 
 
Intervalos 
 
O intervalo aberto de 
a
 até 
b
, representado por 
),( ba
, é o conjunto de todos os números 
reais 
x
, tais que 
bxa 
, onde os pontos extremos não pertencem ao intervalo. 
 
Exemplos: no intervalo 
)3,1(
 significa que 
31  x
 ou no intervalo 
),( 
 significa que 
 x
. 
 
 
Intervalo fechado de 
a
 até 
b
, representado por 
],[ ba
 é o conjunto de números reais 
x
, tais 
que 
bxa 
. Onde os extremos 
a
 e 
b
 pertencem ao intervalo. 
 
Exemplo: 
]5,2[
 significa que 
52  x
. 
 
19 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Intervalo aberto à direita ou fechado à esquerda de 
a
 até 
b
, representado por 
),[ ba
 é o 
conjunto de números reais 
x
, tal que 
bxa 
, onde o extremo 
a
 pertence ao intervalo, mas 
o extremo 
b
 não pertence. 
 
Exemplos: 
 11,
 significa que 
11  x
 e 
 ,0
 significa que 
 x0
. 
 
Intervalo aberto à esquerda ou fechado à direita de 
a
 até 
b
, representado por
 ba,
 é o 
conjunto de números reais 
x
, tal que 
bxa 
, onde o extremo 
a
 não pertence ao intervalo, 
mas o extremo 
b
 pertence. 
 
Exemplos: 
 5,
 significa que 
5 x
 e 
 32,
 significa que 
32  x
. 
 
 
Par ordenado 
 
 
Sejam dois elementos, a e b, definimos par ordenado (a, b) de coordenadas a e b, sendo a 
primeira coordenada dada por a e a segunda dada por b, nesta ordem. Tem-se então que 
 
i) 
),(),( abba 
 
ii) O par ordenado 
qyepxqpyx  ),(),(
 
 
 
 
Produto cartesiano 
 
 
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, representado por
BA
, é dado pelo conjunto 
composto por todos os pares ordenados 
),( qp
 cuja primeira coordenada pertence ao 
conjunto A e a segunda coordenada pertence ao conjunto B, de tal maneira que podemos 
expressá-lo algebricamente da seguinte forma: 
 
});,{( BqeApqpBA 
 
 
Exemplo ilustrativo: sejam os conjuntos 
}4,3,2,1{A
 e 
}3,0{B
 
Então, 
 
20 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
)}3,4(),0,4(),3,3(),0,3(),3,2(),0,2(),3,1(),0,1{(BA
 
e 
)}4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),4,0(),3,0(),2,0(),1,0{( AB
 
 
Perceba, portanto, que 
 
ABBA 
 
 
Relações 
 
Uma relação é um subconjunto do produto cartesiano cujos elementos dos pares ordenados 
mantêm alguma relação ou lei de formação entre eles. Para ilustrar, no exemplo acima, temos 
a seguinte relação: 
 
}1/),{(  pqABqpR
 
Ou seja, 
 
)}4,3(),1,0{(R
 
 
 
Exercícios 
 
Represente graficamente as seguintes relações em 2RRR  , onde R é o conjunto dos 
números reais: 
 
i) 
2xy 
. 
 
ii) 
1 xy
. 
 
iii) 
yx 
. 
 
iv) 
922  xy
. 
 
Funções reais de uma variável 
 
21 
 
*ProfessorAssistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Definição 
 
Função é toda relação que pode ser definida pela seguinte propriedade: cada elemento do 
conjunto A está associado a um único elemento do conjunto B pertencente ao produto 
cartesiano 
BA
. 
 
 
 O conjunto A é chamado de domínio da função, 
)( fD
; 
 
 O conjunto B é chamado de contradomínio, 
)( fCD
; 
 
 O subconjunto do contradomínio é chamado de imagem 
)Im( f
. 
 
 
Portanto, função, que é expressa através de uma lei, pode-se identificar a variável dependente 
e as variáveis independentes com os seus respectivos parâmetros. 
 
Pode-se representar uma função 
f
 como: 
 
BAf :
 ou 
)(xfx
 ou simplesmente 
)(xfy 
 
 
O Domínio de uma função (ou campo de existência de uma função), 
 xfy 
, é o conjunto 
de valores da variável independente 
x
 para os quais a função é definida ou existe, isto é, 
possui valor finito e real, ou o conjunto de todas as abscissas, no gráfico, para os quais a 
função é definida. 
 
Imagem de uma função, 
 xfy 
, é o conjunto de valores que a variável dependente 
y
 
pode assumir, ou o conjunto de todas as ordenadas da função no gráfico. 
Gráfico de uma função de uma função, 
 xfy 
, é o conjunto de todos os pontos do 
conjunto
 yx,
 no plano 
XY
, onde 
x
 pertence ao domínio de 
 xf
 e 
y
 é a imagem de 
 xf
. 
 
 
Exemplo: Analisar a função 
4)(  xxf
 
 
 
Dada a função 
4 xy
 (Condição de existência 
04 x
) já que 
4x
é definido 
somente para 
404  xx
, então o domínio de 
 xf
 é 
  xxxfD 4/)]([
 e a sua imagem é 
  yyxfI 0/)]([
. Seu gráfico é 
dado pela figura abaixo: 
 
 
 
 
22 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operações com funções 
 
 
Sejam duas funções 
)(xf
 e 
)(xg
 cujos domínios e contradomínios são subconjuntos de R. 
adicionalmente, considere que a interseção entre o domínio de 
)(xf
 e o domínio de 
)(xg
seja diferente de vazio, então temos as seguintes operações: 
 
i) 
)()( xgxf 
 e seu domínio é dado por 
)()())(( xDgxDfxgfD 
 
 
ii) 
)().( xgxf
 e seu domínio é dado por 
)()())(.( xDgxDfxgfD 
 
 
iii) 
)(:)( xgxf
 e seu domínio é dado por 
0)();()())(:(  xgxDgxDfxgfD
 
 
 
Composição de funções 
 
 
Sejam 
)(xf
 e 
)(xg
 duas funções tais que a imagem de 
)(xf
esteja contida no domínio 
de
)(xg
, a função 
)]([ xfg
, com 
))(( xfDx
, denomina-se função composta de
)(xg
e 
)(xf
, 
cuja notação pode ser expressa por: 
 
)]([))(( xfgxgof 
 
 
Exemplo 1 
 
Seja 
xxf 3)( 
 e 
13)( 2  xxxg
, calcule: 
 
i. 
1991)3(3)3(]3[))(( 22  xxxxxgxgof
 
 
ii. 
393)13(3]13[))(( 222  xxxxxxfxfog
 
4)(  xxf
 
2 
O 4 
X
 
Y
 
x y 
4 0 
8 2 
13 3 
20 4 
29 
3
 = 1,73 
 
23 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Função injetora, sobrejetora e bijetora. 
 
 
Uma função é chamada de injetora (ou injetiva) se seguir as seguintes propriedades: 
 
Dado 
1x
 e 
2x
 quaisquer pertencentes ao domínio de 
))(( xfD
, então 
 
Se 
)()( 2121 xfxfxx 
 
 
Portanto, se 
)(xf
 é uma função crescente ou decrescente, então ela será necessariamente uma 
função injetora. 
 
Exemplo 
32)(  xxf
, se tomarmos 
11 x
 e 
22 x
, então 
5)1( f
e 
7)2( f
, portanto é 
uma função injetiva. 
 
Uma função é chamada de sobrejetora (ou sobrejetiva) se seguir as seguintes propriedades: o 
seu contradomínio é igual a sua imagem. 
 
Uma função é chamada de bijetora (ou bijetiva) se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo 
tempo 
 
Valor absoluto 
 
Se 
x
 é uma variável real, então o valor absoluto de 
x
, representado por 
x
, é definido por 
 









0,
0,
xsex
xsex
xf(x) 
 
Repare que a variável independente 
x
 pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o 
conjunto dos números reais 

. Seu gráfico pode ser visto na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xy 
 
Y
 
D:
   ,/x
 
 
I :
   ,0/y
 
X
 
24 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Tipos de função 
 
As funções mais usuais são: pares, ímpares, polinomiais, racionais, algébricas, exponenciais, 
logaritmos e trigonométricas. 
 
 
Funções Pares e Ímpares 
 
(a) Uma função 
 xf
 é par, para todo 
x
 de seu domínio se 
   xfxf 
. 
 
(b) Uma função 
 xf
 é ímpar, para todo 
x
 em seu domínio, se 
   xfxf 
. 
 
Exemplos: 
 
Pares 
 
  2xxg 
 e 
  3xxf 4 
 
 
Dado que 
     xgxxxg 22 
 e 
     xf3x3xxf 44 
 
 
Ímpares 
 
  3xxg 
 e 
  x5xf 
. 
 
Dado que 
     xgxxxg 33 
 e 
     xfx5x5xf 
 
Funções Polinomiais 
 
São funções da forma 
 
  nn xAxAxAAxf  
2
210
. 
 
Onde 
0n 
 e 
iA
 são os coeficientes (ou parâmetro) e são tomados como constantes 
quaisquer. 
 
Exemplo: 
 
  3x5x2xf 2 
, onde 
3a 0 
, 
5a1 
, 
2a 2 
 
 
Funções Racionais (razão) 
 
São funções definidas por 
 
25 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
)x(q
)x(p
)x(f 
 
 
Onde 
)x(p
 e 
)x(q
 são funções polinomiais e 
0)x(q 
. 
 
 
Exemplo: 
 
 
1xx4
1xx3
xf
35
2



, é uma função racional. 
 
Funções Algébricas 
 
 
São resultantes de operações algébricas comuns. 
 
 
(i) 
  1xxf 
; 
 
(ii) 
 
5x
x
xg
2

. 
 
Função potencia ou exponencial 
 
 
  xaxf 
 e 
  xexf 
 
 
 
 
f(x)=e^x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
 
 
 
 
26 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Função logarítmica 
 
 
Se 
yax 
, então 
y
 é chamado de logaritmo de 
x
 na “base 
a
” e escreve-se logaritmo de 
x
 
como 
 xoga
 ou 
 xga
. 
 
Quando a base é décimas, omitimos a base, então temos 
)(xogy 
 
 
Veja abaixo o gráfico do 
 xoga
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que 
100102 
, 
1000103 
, e 
823 
, 
1624 
, etc., mas e caso se tivesse um expoente 
fracionário como emn30103,010
, quanto valeria 
n
? Neste caso, 
30103,0y 
 é igual ao 
 nog10
. 
O logaritmo é utilizado para resolver equações exponenciais do tipo: 
37x 
 
 
 Determina-se 
x
, aplicando-se o operador logaritmo e utilizando-se da seguinte propriedade 
do logaritmo: 
 
   BognBog ana  .
, tem-se que: 
 
   7.7 33 ogxog x  
, portanto,  
 7
3
10
10
og
og
x



 e 
845098040,0
477121255,0
x
, ou seja, 
5645750344,0x
. 
 
 
Propriedades dos logaritmos 
   NogMogNMog aaa  ).()1
; 
 
   NogMog
N
M
og aaa  )()2
; 
 
 xogy a
 
Se 
 0y
 
10  ax
 
 
Y
 
1
 
a
 
27 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 NogpNog a
p
a  .)()3 
. 
 
Quando 
7182818,2 ea
, esta base é denominada natural ou neperiana e representa-se 
por 
 xny 
. Quando o logaritmo, 
   ""log xnxa 
 a base é sempre 
"e"
, isto é , 
   xlogxn e
 ou logaritmo de 
x
 na base 
"e"
. 
 
A inversa da função logarítmica é a função exponencial, ou vice versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A inversa de 
xey 
 é obtida aplicando o operador logaritmo, tem-se que 
   xlogxn e
, ou 
    xenyn x  
, e trocando 
x
 por 
y
, resultando
 xny 
. 
 
Trigonometria 
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática 
que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do 
triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). 
Círculo Trigonométrico 
 
 xny 
 
 xexpy 
 Direta: 
  xexy  exp
 
 
  xxxfD /)]([
 
 
  xyxfI 0/)]([
 
 
 Inversa: 
 xny 
 
 
 
  yyxfD 0/)]([
  xxxfI /)]([
 
 
 
Y
 
X
 
1
 
1
 
0
 
28 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
É uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos eixos de um plano 
cartesiano. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado 
de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo 
correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao 
anterior. 
Seno 
Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo 
trigonométrico e vai até a circunferência. 
O seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida da 
hipotenusa. 
Cosseno 
Cosseno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo 
trigonométrico e vai até a circunferência. 
Como o cosseno é uma projeção, e esta projeção está no interior do ciclo trigonométrico e 
este possui raio unitário, segue que
1cos1,  xRx
, ou seja, a imagem do cosseno está 
no intervalo fechado [ − 1,1]. 
O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da 
hipotenusa. 
Tangente 
Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta 
definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem. 
29 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
A tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do 
cateto adjacente. A Trigonometria é o estudo da matemática responsável pelo estudo das 
relações existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos 
(possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 
60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente. 
Algumas relações trigonometricas 
 
hipotenuaa
opostocateto
senA 
 
opostocateto
adjacentecateto
senA
A
A 
cos
cot
 
hipotenuaa
adjacentecateto
A cos
 
centecatetoadja
hipotenusa
A
A 
cos
1
sec
 
centecatetoadja
tocatetoopos
A
senA
A 
cos
tan
 
opostocateto
hipotenusa
senA
A 
1
seccos
 
Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e 
π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos 
positivos e negativos (veja função trigonométrica). 
Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sidos tabuladas (ou computadas por uma 
calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, 
usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os 
ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois 
ângulos e um lado ou três lados conhecidos. 
 
Graus, 

 30 45 60 90 180 270 360 
Radianos,

 
6

 
4

 
3

 
2

 

 
2
3
 
2
 
sen
 
2
1
 
2
2 
2
3 1 0 -1 0 
cos
 
2
3 
2
2 
2
1
 0 -1 0 1 
 
 
30 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras 
O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados 
que formam o ângulo de 90°, neste caso a e b) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa 
(lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: 
c ² = a ² + b ². 
Aplicações da trigonometria 
Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a 
técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar a distância das estrelas próximas; 
em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As 
funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais 
descrevem as ondas sonoras e luminosas. No nosso caso, economia, as relações 
trigonométricas aparecem muito nos modelos de crescimento economico, dentre outros. 
Identidades Trigonométricas 
Fórmula fundamental da trigonometria e seus corolários 
1cos22  xxsen
 
xx 22 seccoscot1 
 
xxtg 22 sec1 
 
Identidades de soma e subtração 
 coscos)( sensensen  
 sensen coscos)cos( 


tgtg
tgtg
tg
1
)(


 
Fórmulas da duplicação do ângulo 
 cos2)2( sensen 
 
 22cos)2cos( sen 
Identidades triangulares 
 
31 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos A, B e C e lados de 
comprimentos a, b e c, como na figura acima. Repare que o lado oposto ao ângulo A é o de 
comprimento a, o lado oposto ao ânguloB é o de comprimento b e o lado oposto ao ângulo C 
é o de comprimento c. 
Lei dos senos 
A lei dos senos para um triângulo arbitrário diz: 
c
senC
b
senB
a
Asen

)(
 
Lei dos cossenos 
A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do 
teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários: 
Cabbac cos2222 
 
Lista de exercícios (1) 
 
 
a) Estudar a função abaixo 
33  xy
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
b) Estudar a função 
43  xy
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
c) Estudar a função 
xy 42
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
d) Estudar a função 
84  xy
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
e) Estudar a função 
x
x
y 
2
2 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
32 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
f) Estudar a função 
xxy 32 2 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
g) Estudar a função 
2
12 

x
y
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico). 
 
h) Estudar a função 
xxy 34 2 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
i) Estudar a função 
2
1



x
x
y
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
j) Estudar a função 
2

x
x
y
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
k) Estudar a função 
42 

x
x
y
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
l) Estudar a função 
x
x
y


2
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
m) Estudar a função 
5
1



x
x
y
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
n) Estudar as funções abaixo (domínio, imagem e fazer o gráfico). 
 
 
 
xxfy 2)( 
 
 
xxfy
1
10)( 
 
 
 
)ln()( xxfy 
 
 
o) Estudar a função 
)cos(3 xy 
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico 
 
p) Estudar a função 
)
2
cos(

 xy
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
q) Estudar a função 
)3cos(  xy
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
r) Estudar a função 
)
2
sen(4 xy


 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
 
s) Estudar a função 
)
2
sen(

 xy
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
33 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Limites de funções 
 
 
Seja 
 xf
 uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
""a
, 
exceto possivelmente no próprio
""a
. Então, diz-se que o limite de 
 xf
 quando 
x
 tende a 
""a
 
 ax 
 é 
L
, e representa-se por 
  Lxf
ax


lim
. 
Suponha-se f : R → R definida sobre a reta real e p,L ∈ R então diz-se o limite de f de x 
tendendo a p é L e escreve-se 
  Lxf
px


lim
 
Se e somente se para cada ε > 0 real existe um real δ > 0 tal que 0 < | x - p | < δ implica | f(x) - 
L | < ε. Note-se que o valor do limite não depende do valor de f(p). 
Um definição mais geral aplica-se para funções definidas em subconjuntos da reta real. 
Fazendo-se (a, b) ser um intervalo aberto em R, e p um ponto de (a, b). Fazendo-se f ser uma 
função de valores reais definida em todo (a, b) exceto possivelmente em p. 
Então diz-se que o limite de f de x aproximando-se de p é L se e somente se, para qualquer 
real ε > 0 existe um real δ > 0 tal que 0 < | x - p | < δ e x ∈ (a,b) implica que | f(x) - L | < ε. 
Note-se que o limite não depende de f(p) ser bem definida. 
 
Exemplo ilustrativo (1) 
 
 
Considere a função 
1
1
)(
2



x
x
xf
, Dm f = IR – {1} . Fatorando o numerador da função 
f, temos 
 
 
1,1
1
)1)(1(
1
1
)(
2






 xx
x
xx
x
x
xf
 
 
 
A função f não está definida em 1 , mas está definida em todo x "próximo" de 1 . 
 
 Vamos, observar o que acontece com o valor de f ( x ) a medida que x se aproxima 
de 1: 
 
34 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos observar no gráfico da 
)(xf
. 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de 
)(xf
 parece aproximar-se de 2 quando x aproxima-se de 1 . Se isto , de 
fato , acontece , dizemos que o limite de 
)(xf
 quando x aproxima-se de 1 é 2, e 
denotamos por : 
 
  .12)(2lim
1


xquandoxfouxf
x
 
Exemplo ilustrativo (2) 
 
Obter o limite da função 
4
162



x
x
y
 quando 
x
 tende a 
4
, isto é, 
?quantoyx 4
 
 
 
35 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
4
16
lim
2
4 

 x
x
x
 a substituição direta anula o denominador 
 
 
 
48)4(lim
)4(
)4)(4(
lim
44




xyx
x
xx
xx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Limites 
 
 
1) 
         xvvexuuparavuvu
axaxax


limlimlim
 
 
2) 
      xuuparauCuC
axax


limlim
 e 
C
 é uma constante 
 
3) 
         xvvexuuparavuvu
axaxax


limlimlim
 
 
4)  
 
 
 
   xvvexuupara
v
u
v
u
ax
ax
ax








 lim
lim
lim
 
 
5) 
      xuuparauu m
ax
m
ax


limlim
 
 
 
  4 xxf
, o ponto 
(4,8) deve ser excluído do 
gráfico, pois 
4x
, pois o 
domínio de 
 xf
é: 
 
     ,44,: D
 
     ,88,: I
 
 
Y
 
 
X
 
 
4
 
 
4
 
 
4
 
 
8
 
 
36 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
6) 
   xuuparauu m
ax
m
ax


limlim
 
 
7) 
      xuuparauu
ax
aa
ax


limlogloglim
 
 
8) 
          xvvexuuparauu v
ax
v
ax
ax  

lim
limlim
 
 
Indeterminações de limites 
 



 1,0,,,
0
0
,0, 00
 
 
Continuidade de funções 
 
 
Uma função 
)(xf
é contínua no ponto q se ela for definida neste ponto e 
 
)()(lim qfxf
qx


. Se, entretanto, 
Lxf
qx


)(lim
 e 
)(xf
não for contínua em q, então L será o 
valor que 
)(xf
 deveria assumir em q para ser contínua nesse ponto. Em outras palavras, uma 
função é contínua em um ponto q se ocorrer às seguintes características: 
 
i. Existe
)(xf
no ponto q, ou seja, 
)(qf
está definida; 
 
ii. Existe o
)(lim xf
qx
; 
iii. 
)()(lim qfxf
qx


 
Exemplo, dada a função 
2
4
)(
2



x
x
xf
, analise se ela é continua em 
2x
: 
 
i. Não existe
)(xf
no ponto
2x
, ou seja, 
)2(f
não está definida; 
 
ii. Existe o
4)2(lim)(lim
22


xxfxx
; 
iii. 
)2()(lim
2
fxf
x


 
 
Portanto, 
2
4
)(
2



x
x
xf
não é contínua em 
2x
. 
 
 
 
 
 
37 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Os limites laterais 
 
 
Dado o gráfico abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
Qundo 
x
 se aproxima de 
0x
 pela direita o seu limite é P, ou seja, 
 
 
Pxf
xx



)(lim
0
 
 
Qundo 
x
se aproxima de 
0x
 pela esquerda o seu limite é Q, ou seja, 
 
Qxf
xx



)(lim
0
 
Neste caso dizemos que existe os limites laterais à direita e à esquerda. Sendo P e Q valores 
diferentes um do outro, o limite da função 
)(xf
não está definido e não existe. 
Todavia, quando 
Lxfxf
xxxx



)(lim)(lim
00
, dizemos que os limites laterais são iguais e 
portanto o limite de 
)(xf
 existe e é definido. 
 
Lista de exercícios (2) 
 
 
(i) Resolver o limite 
1
76
lim
2
1 

 x
xx
x
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
(ii) Resolver o limite 
1
45
lim
2
1 

 x
xx
x
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
38 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
(iii) Resolver o limite 
1
2
lim
2
1 

 x
xx
x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
(iv) Resolver o limite 
4
43
lim
2
4 

 x
xx
x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
(v) Resolver o limite 
5
54
lim
2
5 

 x
xx
x
 (achar: domínio, imagem e fazer o gráfico) 
(vi) Resolver o limite 
2
32
lim
2
2 

 x
xx
x
(achar: domínio, imagem e fazer o gráfico). 
 
 
Limites envolvendo infinito 
 
 
 
 
 
 
 
O limite desta função no infinito existe. 
Se a reta dos números reais R é considerada, i.e., R ∪ {-∞, ∞}, então é possível definir limites 
de uma função no infinito. 
Se f(x) é uma função real, então o limite de f em x aproximando-se do infinito é L, denotado 
Lxf
x


)(lim
 
se e somente se para todo ε > 0 existe S > 0 tal que | f(x) − L | < ε sempre x > S. 
Similarmente, o limite de f em x aproximando-se do infinito negativo é L, denotado 
Lxf
x


)(lim
 
39 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
se e somente se para todo ε > 0 existe S < 0 tal que | f(x) − L | < ε sempre x < S. 
Por exemplo 
0lim 

x
x
e
 
 
f(x)=e^x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
 
 
Limites também podem ter valores infinitos, por exemplo o limite de f em x aproximando-se 
de a é infinito, denotado 


)(lim xf
ax
 
se e somente se para todo S > 0 existe δ > 0 tal que f(x) > S sempre | x − a | < δ. 
Estas ideias podem ser combinadas em um meio óbvio para produzir definições para 
diferentes combinações, tais como 


)(lim,)(lim xfxf
axx
 
Por exemplo 


x
x
lnlim
0
 
Limites envolvendo infinito são conectados com o conceito de assímptotas. 
Essas noções de um limite tentam fornecer uma interpretação espacial métrica para limites no 
infinito. Entretanto, note-se que estas noções de um limite são consistentes com a definição de 
espaço topológico de limite se 
 uma vizinhança de -∞ é definida para conter um intervalo [-∞, c) onde c∈R 
40 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 uma vizinhança de ∞ é definida para conter um intervalo (c, ∞] onde c∈R 
 uma vizinhança de a∈R é definido da forma habitual de espaço métrico R 
Neste caso, R é um espaço topológico e qualquer função da forma f: X → Y com X, Y⊆ R é 
sujeito à definição topológica de um limite. Note-se que com esta definição topológica, é fácil 
de definir limites infinitos em pontos finitos, que não tenham sido definidos acima, no sentido 
métrico. 
Notação alternativa 
Muitos autores permitir a reta real projetiva a ser usada como um meio de inclui valores 
infinitos assim como a reta real estendida. Com esta notação, a reta real estendida é dada 
como R ∪ {-∞, +∞} e a reta real projetiva é R ∪ {∞} onde uma vizinhança de ∞ é o conjunto 
da forma {x: |x|>c}. Nesta notação, por exemplo, 
0
1
lim,
1
lim
0

 xx xx
 
Avaliando limites no infinito para funções racionais 
 
Existe, três regras básicas para a avaliação de limites no infinito para uma função racional f(x) 
= p(x)/q(x): 
 Se o grau de p é maior que o grau de q, então limite é infinito positivo ou negativo 
dependendo dos sinais dos coeficientes; 
 Se o grau de p e q são iguais, o limite é o coeficiente de p dividido pelo coeficiente de 
q; 
 Se o grau de p é menor que o grau de q, o limite é 0. 
Se o limite no infinito existe, representa um assímptota horizontal em y = L. Polinômios não 
possuem assímptotas horizontais; elas podem ocorrer com funções racionais. 
 
Limites especiais 
 
 
a) Limite do seno 
 
 
 
1
sen
lim
0

 


 
 
 
Exemplo: 
41 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
   
    3
2
31
21
3
3
3sen
2
2
2sen
lim
3sen
2sen
lim
00







 x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
 
 
ii) Limite que define o número “e” 
 
 
e
x
y
x
x








1
1lim
 
 
Exemplo: 
 
a
x
x
e
x
a








1lim
 
 
Põe-se 
azx
zx
a

1
 para 
 zx
 
 
a
a
z
z
az
z
x
x
e
zzx
a





























1
1lim
1
1lim1lim
 
 
iii) Limite 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0



 
 
Demonstração| 
 
xax ea ln
ou 
axx ea ln
 
 
Tomando 
ta x 1
, temos 
1 ta x
 ou 
)1ln(ln  ta x
ou ainda, 
a
t
x
ln
)1ln( 

 
 
Quando 
0x
, temos que 
t
 
 
Então, 
a
t
t
x
a
x
x
x
ln
)1ln(
lim
1
lim
00 



 ou 
t
t
a
x
a
x
x
x )1ln(
ln
lim
1
lim
00 



 ou ainda 
 
42 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
])1ln([lim
1
ln
)1ln(
ln
lim
1
lim
1
0
100
t
t
t
t
x
x
t
a
t
a
x
a







 
 
Como, 
et t
t


1
0
)1ln(lim
, temos finalmente que 
 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0



 
 
 
Exemplos: 
 
 
(i) Resolver o limite 
2ln
1)(
lim
1
lim 2
2
0
2
0





e
x
e
x
e x
x
x
x
 
(ii) Resolvero limite 
7ln
17
lim
0


 x
x
x
 
(iii) Resolver o limite 
5ln7ln
57
lim
0


 x
xx
x
 
 
 
Limites infinitos de funções racionais 
 
 
Se a função for do tipo 







 )(
)(
lim
xQ
xP
y
x
, isto é, 
 





























 





mn
m
n
xm
m
n
n
xm
m
m
m
n
n
n
n
x
x
b
a
xb
xa
bxbxbxbxb
axaxaxaxa
y lim
0
0
limlim
01
2
2
1
1
01
2
2
1
1

 
 




























 

mn
m
n
xm
m
n
n
xm
m
n
n
x
x
b
a
lim
xb
xa
lim
xb
xa
limy
00000
00000


. 
 
Assim, se 
 ymn
, se 
m
n
b
a
ymn 
 e se 
0 ynm
. 
 
Exemplo: 
 






 32
5
lim
2
2
x
x
x
, o resultado daria 


 (indeterminação) 
43 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
 
 
2
5
1lim
2
5
lim
2
5
2
5
lim
32
5
lim
2
2
2
2
2
2


















  xxxx x
x
x
x
x
x
 
 
 
Lista de exercícios (3) 
 
a) Resolver o limite 
16
23
lim
24
34


 xx
xxx
x
 
b) Resolver o limite 
13
43
lim
2
23


 xx
xxx
x
 
c) Resolver o limite 
34
13
lim
3
2


 xx
xx
x
 
d) Resolver o limite 
422
124
lim
3
23


 xx
xxx
x
 
e) Resolver o limite 
34
13
lim
3
2


 xx
xx
x
 
f) Resolver o limite 
23
3
lim
2
25


 xx
xx
x
 
 
DERIVADAS 
 
O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou 
deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". 
Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a 
partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função 
original. 
Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de 
apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática 
seria escrito assim: 
2)( xxf 
 
xxf 2)(' 
 
 
Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a função é 
alterada 
 
44 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
dx
xfd
xf
)]([
)(
.

 
 
Interpretação geométrica da derivada 
 
Reta Tangente e Reta Normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente Angular da Reta Secante ao gráfico de f é dado por: 
 
12
12 )()(
xx
xfxf
x
y
m






 
 
 
Equação da Reta Secante ao gráfico de f nos pontos ( x1 , f ( x1 ) ) e ( x2 , f ( x2 ) ) é 
 
 
)](
)()(
[)( 1
12
12
1 xx
xx
xfxf
xfy 



 
 
45 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I. Para cada a, a + h no intervalo 
I , tal que h > 0 , temos : 
 
Coeficiente Angular da Reta Secante ao gráfico de f nos pontos ( a , f ( a ) ) e ( a + h , 
f ( a + h ) ) : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode ser 
escrita como y = m x + b, onde: 
x
y
m



 
Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a 
variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para encontrar o 
valor exato em cada ponto da função. Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamado 
de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como: 
xhx
xfhxf
m



)(
)()(
 
 
Onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre os dois 
pontos. 
46 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites: 
xhx
xfhxf
h 

 )(
)()(
lim
0
 
 
Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no ponto em 
que a entrada é 3 e a saída é 9. 
 
Exemplo: 
2)( xxf 
, então 
9)3( f
. 
3)3(
)3()3(
lim)3('
0 


 h
fhf
f
h
 
3)3(
)3()3(
lim)3('
0 


 h
fhf
f
h
 
h
h
f
h
22
0
3)3(
lim)3('



 
h
hh
f
h
969
lim)3('
2
0



 
h
hh
f
h
2
0
6
lim)3('



 
h
hh
f
h
2
0
6
lim)3('



 
)6(lim)3('
0
hf
h


 
6)3(' f
 
 
O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezes mais 
rápido em y do que em x e está indo para a direita. 
 
Portanto, a derivada, por definição é: 
 
     
x
xfxxf
lim
dx
xdf
xf
x 


 0
. 
47 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Derivabilidade num ponto: propriedades 
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja x ∈ I e seja f uma função de I em R 
derivável em x. Então f é contínua em x. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela 
função módulo. 
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja x ∈ I e sejam f e g funções de I em 
R deriváveis em x. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(x) ≠ 0) f / g também são deriváveis, 
assim temos as seguintes operações com derivadas: 
 
)(')(')()'( xgxfxgf 
 
)(').()().(')()'.( xgxfxgxfxgf 
 
2)]([
)(').()().('
)()'(
xg
xgxfxgxf
x
g
f 

 
 
Derivada de função composta 
Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja x ∈ I, seja f uma função de I em J 
derivável em x e seja g uma função de J em R derivável em 
)(xf
. Então g o f é derivável 
em x e 
 
)(')].([')()'( xfxfgxgof 
 
 
Rregra da cadeia 
De acordo com notação de Leibniz, a regra da cadeia é 
 
dx
dt
dt
xdf
dx
xdf
.
)()(

 
Exemplos 
Considere 
3)( xxf 
e
3)(  xxg
e, então 
3)3())(()]([  xxfogxgf
 
48 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
dx
xdg
xdg
xdf
dx
xgdf )(
.
)(
)()]([

 
)2.()3(3
)]([ 2 xx
dx
xgdf
 
 
De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo: 
)52()( 3  xsenxf
 
dx
xdgxdg
xdf
dx
xgdf )(
.
)(
)()]([

 
)6).(52cos(
)]([ 23 xx
dx
xgdf
 
 
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja x ∈ I e seja f uma função contínua 
de I em R derivável em x com derivada não nula. Então a função inversa f 
− 1
 é derivável em 
)(xf
e 
)('
1
)]([)'( 1
xf
xff 
 
Dervadas de funções do tipo: 
i. 
xaxf )(
 
ii. 
)()( xgaxh 
 
iii. 
)()()( xgxfxk 
 
A derivada dessas funções é bastante simples se itilizarmos o operador logaritmo. Com efeito, 
i. 
)ln()](ln[ xaxf 
 
]ln[
)]([ln
ax
dx
d
dx
xfd

 
aaxfaxfa
xf
xf x ln)(.ln)('ln
)(
)('

 
49 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
ii. 
dx
xdg
a
xh
xh
axh xg
)(
.ln
)(
)('
ln)](ln[ )( 
 
)('.
)(
)(.ln)(' )( xga
dx
xdg
xhaxh xg
 
iii. 
])(ln[)](ln[ )(xgxfxk 
 
)](ln[).()](ln[ xfxgxk 
 
dx
xfd
xgxf
dx
xdg
xk
xk )]([ln
).()](ln[.
)(
)(
)('

 
)]'().[ln()](ln[)(')[()(' xfxgxfxgxkxk 
 
})]'().[ln()](ln[)('{)()(' )( xfxgxfxgxfxk xg 
 
 
Derivabilidade em todo o domínio 
Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio. 
 
 
 
 
 
Uma função diferenciável 
Uma função derivável f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a 0 em todos os 
pontos. Isto é uma consequência do teorema da média. 
Uma função derivável f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior que 0 em todos 
os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média. 
50 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Uma função cuja derivada seja sempre maior que 0 é estritamente crescente. Uma observação 
importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 0 
em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por 
3)( xxf 
. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes. 
Se f for uma função derivável de I em R, sendo I um intervalo de R com mais do que um 
ponto, então f'(I) também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se 
f for uma função derivável de [a,b] em R e se y for um número real situado entre f'(a) e f'(b) 
(isto é, f'(a) ≤ y ≤ f'(b) ou f'(a) ≥ y ≥ f'(b)), então existe algum c ∈ [a,b] tal que f'(c) = y. Este 
resultado é conhecido por teorema de Darboux. 
Funções continuamente deriváveis 
Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f uma função de I em R. Diz-se 
que f é continuamente derivável ou de classe C
1
 se f for derivável e, além disso, a sua 
derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente 
deriváveis. 
Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é dada pela 
construção abaixo: 
 
0;0)(
0;)
1
()(
:
2



xsexf
ou
xse
x
senxxf
RRf
 
Veja nessa construção que o limite 
)('lim
0
xf
h
não existe no ponto zero. Portanto, f' não é 
contínua em 0. 
 
Derivadas de ordem superior 
 
Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal 
também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda 
51 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de 
terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por: 
dx
df
 
)(
dx
df
dx
d
 
)]([
dx
df
dx
d
dx
d
 
e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é 
dx
df
 
2
2
dx
fd
 
3
3
dx
fd
 
ou alternativamente, 
)(' xf
 
)('' xf
 
)(''' xf
 
)()1( xf
 
)()2( xf
 
)()3( xf
 
Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-
se que f é de classe C
k
. 
Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou 
indefinidamente derivável ou ainda de classe C
∞
. 
Regra de L'Hôpital 
A regra de L'Hôpital foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo diferencial, 
publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de L'Hôpital, em 1696. Seu objetivo era 
calcular o limite de funções fracionarias nos casos em que existim indeterminações do 
tipo
0
0
ou 


 . 
Enunciado 
Sejam 
)(xf
e 
)(xg
 funções diferenciáveis, com
0)(' xg
para qualquer 
Rx
. Se 
 
0
0
)(lim
)(lim



px
px
xg
xf ou 





px
px
xg
xf
)(lim
)(lim 
 então, se existir 
px
px
xg
xf


)('lim
)('lim a regra de L'Hôpital garante que 
52 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
px
px
px
px
xg
xf
xg
xf





)('lim
)('lim
)(lim
)(lim 
 
Aplicações 
 
2
3
2lim
3lim
)
1
1
(lim
1
2
1
2
3
1





 x
x
x
x
x
x
x
 
 






x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
e
lim
1lim
lim
)
1
(lim
 
 
A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como 
 
x
xxh
x
1
lim)(


 
]limln[)](ln[
1
x
xxh
x

 
]
)ln(
[lim)](ln[)][ln(lim)](ln[
1
x
x
xhxxh
xx
x


 
0
1lim
1
lim
]
)ln(
[lim)](ln[ 



x
x
x
x
x
x
xh
 
1)( 0  exh
 
Podo-se tambem utiliza-lo para calcular o nosso limite fundamental, e. 
 
x
x x
k )
1
1(lim 

 
])
1
1(limln[)ln( x
x x
k 

 
])
1
1[ln(lim)ln( x
x x
k 

 
)]
1
1ln(.[lim)ln(
x
xk
x


 
53 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
]
1
)
1
1ln(
[lim)ln(
x
xk
x



 
x
xk
x
x
1
lim
)
1
1ln(lim
)ln(



 
 
Aplicando a regra de L’Hôspital no lado direito dessa última equação, temos 
 
]
1
[lim
]
1
.
)
1
1(
1
[lim
)ln(
2
2
x
x
xk
x
x






 
]
1
[lim
]
1
[lim].
)
1
1(
1
[lim
)ln(
2
2
x
x
xk
x
xx






 
11]
)
1
1(
1
[lim)ln( ek
x
k
x




 
 
 
 
No geral, temos as seguintes formulas de derivação 
 
 
Para 
)(xuu 
 função de 
x
 e 
A
 constante 
 
 
1
1
1
1
1
1
11
11





































nn
nn
nn
nn
nn
nn
nx
xd
yd
xy
xd
ud
nu
xd
yd
uy
xd
ud
nuA
xd
yd
Auyxd
xd
nx
xd
yd
xy
xd
ud
nu
xd
yd
uy
xd
ud
nuA
xd
yd
Auy
 
 
 
Para 
   xvvexuu 
 funções de 
x
 e 
A
 e 
B
 constantes 
 
 
54 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
   xvvpara
xd
vd
AvA
xd
d

 
  vu
xd
vd
xd
ud
vu
xd
d

 
 
  vBuA
xd
vd
B
xd
ud
AvBuA
xd
d

 
 
  vuvu
xd
vd
uv
xd
ud
vu
xd
d

 
 
   vuvuAB
xd
vd
uv
xd
ud
ABvBuA
xd
d







 
22
'.'.
..
)(
u
vuvu
u
u
dx
dv
v
dx
du
v
u
xd
d 



 
 
 
Máximos e Mínimos de funções de uma variável 
 
 
Em economia muitos problemas podem ser resolvidos através do processo de maximização, 
ou seja, obtendo soluções ótimas para os agentes. Por exemplo, máxima satisfação do 
consumidor, máximo lucro para os empresários, ou por outra via, custo mínimo no processo 
produtivo, etc. Portanto, o cálculo de derivadas permite-nos pontos de máximo e mínimo das 
funções algébricas que tem serventia em muitos problemas econômicos. 
 
A função
)(xf
 terá um valor máximo relativo em um ponto c se existir um intervalo aberto 
),( ba
contendo c, no qual 
)(xf
 esteja definida, de tal maneira que 
)()( xfcf 
, para todo 
).,( cax
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
A função
)(xf
 terá um valor mínimo relativo em um ponto c se existir um intervalo aberto 
),( ba
 contendo c, no qual 
)(xf
 esteja definida, de tal maneira que 
)()( xfcf 
, para todo 
).,( bax
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 
Se a função
)(xf
 tem um máximo relativo ou um mínimo relativo, então 
)(xf
 tem um 
extremo relativo. 
 
 
Teorema (condição de primeira ordem – condição necessária) 
 
 
Se a função
)(xf
 for definida para todos os valores de x, este pertencente ao intervalo aberto 
),( ba
 e se 
)(xf
 tiver um extremo relativo em 
cx 
, onde 
bca 
, ou seja, 
),( bac
, 
então se 
)(' cf
 existir, 
0)(' cf
. 
 
 
Exemplo (1): 
 
 
Seja 
42)( 2  xxxf
 uma função definida em 
1x
, este pertencente ao intervalo aberto 
)4,8(c
, tem-se que 
22)('  xxf
 

 
10)('  xxf
 e 
5)1(41.2)1()1( 2  ff
 
 
0)(',1  xfx
 
0)(',1  xfx
 
56 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
 
Ou seja, quando a derivada primeira muda de sinal (de crescente a decrescente), ao passar 
entre a esquerda e à direita da abscissa de extremo, tem-se um extremo relativo de máximo. 
 
Portanto, 
)5,1( P
 é um ponto de máximo. 
 
Exemplo (2): 
 
 
Seja 
1123)( 2  xxxf
 uma função definida em 
1x
, este pertencente ao intervalo aberto 
)4,8(c
, tem-se que 
 
126)('  xxf
 

 
20)('  xxf
 e 
 
13)2(1)2.(12)2(3)2( 2  ff
 
 
 
0)(',2  xfx
 
0)(',2  xfx
 
 
Ou seja, quando a derivada primeira muda de sinal (de decrescente a crescente), ao passar 
entre à esquerda e à direita da abscissa de extremo, tem-se um extremo relativo de mínimo. 
 
Portanto, 
)13,2(P
 é um ponto de mínimo. 
 
Contraexemplo: 
 
 
Seja 
3)2()(  xxf
 uma função definida em 
2x
, este pertencente ao intervalo aberto 
)6,0(c
, tem-se que 
2)2(3)('  xxf
 

 
20)('  xxf
 
 
 
0)(',2  xfx
 
0)(',2  xfx
 
 
57 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Vejam então que quando a derivada primeira não muda de sinal (crescente/decrescente a 
decrescente/crescente), ao passar entre à esquerda e à direita da abscissa de extremo, não 
existe extremo relativo nem de máximo, nem de mínimo. 
 
 
Assim, 
)(' xf
 pode ser igual a zero para um determinado valor de 
x
, sem que 
)(xf
 possua 
extremo relativo neste ponto. 
 
 
Portanto, a função
)(xf
 derivável no intervalo aberto 
),( ba
 e 
0)(' xf
 é condição 
necessária, mas não suficiente. 
 
 
No gráfico abaixo, os pontos 
1x
 e 
3x
 são de máximo e 
2x
 é de mínimo da função
)(xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Estudo da concavidade de uma função 
 
 
 
(1) Se 
0)('' xf
, em 
ax 
, diz-se que á curva é CÔNCAVA PARA CIMA, ou seja, é 
convexa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Se 
0)('' xf
, em 
ax 
, diz-se que á curva é CÔNCAVA PARA BAIXO, ou seja, é 
côncava. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição suficiente de Máximo e de Mínimo (ponto de Inflexão) 
 
 
Se 
)(xf
e
)(' xf
 são continuas em 
cx 
 e
0)(' cf
, o 
c
 será uma abscissa de ponto de 
máximo ou de mínimo ou de inflexão, nas seguintes condições: 
 
Ponto de MÍNIMO. 
 
Se 
0)(' cf
 e 
0)('' xf
, o 
c
 é abscissa de ponto de mínimo relativo. 
 
Ponto de MÁXIMO. 
 
Se 
0)(' cf
 e 
0)('' xf
, o 
c
 é abscissa de ponto de máximo relativo. 
 
59 
 
*Professor Assistente de Métodos Quantitativos da UFS 
Graduado em Economia pela UEFS 
Mestre em Economia do Trabalho pela UFBA 
olinthos@yahoo.com 
 
 
 
 
Ponto de INFLEXÃO. 
 
Se 
0)(' cf
 e 
0)('' xf
 (condição necessária) o 
c
 é abscissa ponto de inflexão. A condição 
suficiente para que o 
c
 seja um ponto de inflexão é quando a derivada segunda mantém o 
sinal (de crescente a crescente ou de decrescente a decrescente), ao passar entre à esquerda e à 
direita da abscissa de extremo. 
 
 
Lista de exercícios (5) 
 
 
a. Calcular a derivada da função 
3
1
x
y 
 
b. Calcular a derivada da função 
3
1
x
y 
 
c. Calcular a derivada da função 
3 23
1
x
y 
 
d. Calcular a derivada da função 
5
2
3
xy 
 
e. Calcular a derivada da função 
3
4
3
xy 
 
f. Calcular a derivada da função 
3 2
4
1
xy 
 
g. Calcular a derivada da função 
xxy 42 
 
h. Calcular a derivada da função 
 
2
2
x
xf 
 
i. Calcular a derivada da função 
2
3
2
3 xx
y 
 
j. Calcular a derivada da função 
3 xy 
 
k. Calcular a derivada da função 
   16
1
3 





 x
x
xxf
 
l. Calcular a derivada da função 
x
ba
x
ba
x
y 




25 
m. Calcular a derivada da função 
 
2
3
3
1
x
x
y


 
n. Calcular a derivada da função 
  2312  xxxy
 
 
o. 
x
x
x
0
lim
 
 
p. 
x
ex
x
1
lim
0


 
 
q. 
1cos
lim
0  x
senx
x
 
 
 
 
 
INTEGRAIS 
 
60 
 
*Professor