lista7-2011

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS PONTA GROSSA 
DISCIPLINA- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
7ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
1. Verifique se as funções são diferenciáveis na origem. 
a) 22),( yxyxf  
b) 





)00()( ,0
)0,0(),( ,
),(
22
2
,x,y 
yx
yx
x
yxf 
2. Determine o gradiente de yxyxf 23),(  no ponto (1,2) e use-o para calcular a derivada direcional de f 
em (1,2) na direção do vetor .43 jia
  
3. Encontre as direções nas quais )2/()2/(),( 22 yxyxf  
a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1); 
b) Decresce mais rapidamente em (1,1); 
c) Quais são as direções de variação zero de f em (1,1)? 
4. (a) Calcule a derivada direcional de zyyxU 23 32  em P(1,2,-1) em uma direção de P a Q(3,-1,5). (b) 
Em qual direção a partir de P a derivada direcional é máxima? (c) Qual a magnitude da derivada direcional 
máxima? 
5. Suponhamos um sistema coordenado retangular no espaço, tal que a temperatura T no ponto (x,y,z) seja 
dada por )./(100 222 zyxT  
(a) Determine a taxa de variação de T no ponto P(1,3,-2) na direção do vetor .kjia
  
(b) Em que direção, a partir de P, T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de T em P? 
6. Encontre a derivada de )cos(),( xyxeyxf y  no ponto (2,0) na direção de .43 jiv   
7. Calcular a derivada direcional da função xyzzyxfw  ),,( , no ponto P0=(1, 2, 3) e na direção do 
vetor kjiv
  . 
8. Seja 
1
),,( 22  yx
xzzyxf , determine: 
a) A direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto P=(1, 0, -1) 
b) A taxa de variação de f no ponto P=(1, 0, -1) na direção do vetor ),(' tu  onde 
t)1- 2t,1 ,()(  ttu  . 
9. Se yxef(x,y)  , determine a taxa de variação de f no ponto P(2,0) na direção de P a Q=(1/2, 2). 
Em que direção f tem a máxima variação? Qual a máxima taxa de variação? 
10. Encontre a derivada de )cos(),( xyxeyxf y  no ponto (2,0) na direção do vetor jiv  43  . 
11. A temperatura de uma chapa plana é dada por 22),( yxyxT  (T em °C, x e y em cm). 
(a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (3, 4). (b) Determine, a partir do ponto (3, 4), a 
direção em que a temperatura cresce o mais rapidamente possível e qual a taxa de crescimento. 
(c) Determine, a partir do ponto (3, 4), a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente 
possível e qual a taxa de crescimento. (d) Determine, a partir do ponto (3, 4), em que direção 
devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante. (e) Calcule T30°(3, 4). 
 
Respostas: 7ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) 
a)não é diferenciável na origem. 
b)não é diferenciável na origem. 
2) 
5
48 312)2,1(  fDjif u

 
3)a) . a ortogonais direções c) ,
2
1
2
1 decresce b),)1,1( fjiujif   
4)a)derivada direcional 
7
90 
b) A derivada direcional máxima na direção do gradiente 
c)22 
5)a). 18 ,1 b) . 8,3 
6) 1)0,2( fDu 
7) 
3
311wDv 
8)a direção de maior variação é a do vetor gradiente )
2
1,0,0(u e a taxa de maior variação de f é 
2
1)(  Pf . 
b) 
12
6 
9) 1)0,2( fDu A máxima taxa de variação é o módulo do vetor gradiente, ou seja, 
5)0,2( f . 
10) 
5
11fDv 
11) 
C/cm9.2 e) gradiente) ao ormal(t vetor n 6,08,0 t
ou 6,08,0d)t 10-c) /10) ,86)4,3()
2
1


ji
jicmCbjiTa

