APOL2 Algebra Linear

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Questão 1 - Álgebra Linear
Abaixo estão apresentadas duas etapas do escalonamento da matriz A=[1−2110−1042]:[1−2110−1042] L2←L2−L1 [1−210x−2042] L3←L3−2L2 [1−210x−200y].
Assinale a alternativa que contém o valor de x e o valor de y:
	
	D
	x = 2 e y = 6.
Aplicando a operação elementar: L2←L2−L1, temos x=0−(−2)=2. 
Por fim, aplicando a operação: L3←L3−2L2, encontramos y=2−2(−2)=6.
Questão 2 - Álgebra Linear
Considere os vetores v1=(−1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1) em R2. 
De acordo com os vetores apresentados acima, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1 e v2 satisfazem a igualdade v2=−3v1.
II. O vetor v3 é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
III. Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Está correto o que se afirma em:
	
	D
	II, apenas.
Afirmativa I, temos que: −3v1=−3.(−1,3)=(3,−9)≠v2=(3,2). afirmativa I incorreta. 
Afirmativa II basta observar que v3=−v1+2v2. Isso mostra que a afirmativa II está correta. 
Afirmativa III, incorreta, pois a igualdade a(−1,3)+b(3,2)+c(7,1)=(0,0), deve ter solução única, mas {−a+3b+7c=0 3a+2b+c=0⇒{a−c=0 b+2c=0
sistema com infinitas soluções, então os vetores são LD.
Questão 3 - Álgebra Linear
Seja B = {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}base do R3.   
De acordo com a base verifique se a base do R3 dada é ortonormal.  Se não for, obtenha, a partir de B,uma base B' que seja ortonormal.
	
	B
	B´={(1/√3,1/√3,1/√3),(−2/√6,1/√6,1/√6),(0,−1/√2,1/√2)} 
O conjunto é uma base, pois (1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0. Porém não são ortonormais (base de vetores unitários). Ortonormalizando os vetores: u1=v1/|v1|= (1,1,1)√12+12+12=1√3.(1,1,1) u2=v2/|v2|=(−2,1,1)√(−2)2+12+12=1/√6.(−2,1,1) u3=v3/|v3|=(0,−1,1)√02+(−1)2+12=1√2.(0,−1,1)
Questão 4 - Álgebra Linear
Seja a transformação linear T:R2→R2, definida por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y).
De acordo com a transformação linear dada, encontre todos os autovalores e autovetores dessa transformação.
	
	E
	v1=(1,1),λ1=1 u2=(4,1),λ2=−2
A matriz que representa a transformação T é dada por:
[T]=[−34−12]
P(λ)=det(A−Iλ)=|−3−λ 4 −12−λ|  = λ2+λ−2=0.
Resolvendo a equação, temos λ1=1 e λ2=−2
Para o cálculo dos autovetores, devemos resolver o sistema:
Av=λ.v para λ1=1 [−3 4−12].[xy]  = 1.[xy] temos o sistema linear 
{−4x+4y=0 −x+y=0 resolvendo o sistema, temos que x=y    v1=(1,1).
Para λ2=−2 [−34−12][xy]=−2.[xy] temos o sistema linear {−x+4y=0 −x+4y=0
resolvendo o sistema, temos que x=y4   ou y=4x  e v2=(4,1)