Formas Canônicas em Sistemas Digitais

As notas de aul a servem como roteiro de aula para o professor, contendo os principais tópicos que serão explorados durantes as aulas. Podem também serv ir como roteiro de estudo, mas não substituem o livro texto da disciplina: VAHID, F. – Sistemas Digitais – projeto, otimiz ação e HDLs. 1 NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 1 Formas Canônicas  Expr essões Booleanas  Definição 1 : Expressões Booleanas geradas sobre sí mbolos x 1 , x 2 , ... x n são definidas recursivamente: a) 0, 1, x 1 , x 2 , ... x n são expressões Booleanas; b) Se X 1 e X2 s ão expressõe s Booleanas então, tam bém são expressões Booleanas: ( X 1 ), ( X 1 ) ’ , ( X 1 . X 2 ), ( X 1 + X 2 ); c) Se X é um a expressão Booleana gerad a sobre os sím bolos x 1 , x 2 , ... x n então, podem os escrever: X = X (x 1 , x 2 , ... x n ) onde cada sím bolo x i (ou x i ’) é chamado de um literal.  Definição 2 : Produto Canônico (ou mintermo ) é toda Express ão Booleana (ou de Chaveam ento) composta pelo Produto de todas as variáveis , com plementadas ou não :                   onde   é um li teral que pode valer x i ou x i ’ NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 2 Formas Canônicas  Definição 3 : Primeira F orma Ca nônica é toda Ex pressão Booleana (ou de Chaveamento) composta pela Som a de produtos canônicos, ou de minterm os, diferentes entre si . Exemplo: Mintermos para três variáveis: Uma express ão na Primeira Form a Canônica poderia ser : S= m 0 + m 1 + m 7 ou S = x 3 ’ .x 2 ’ .x 1 ’ + x 3 ’ .x 2 ’ .x 1 + x 3 .x 2 .x 1 x 3 x 2 x 1 Minterm os 0 0 0 m 0 = x 3 ’.x 2 ’.x 1 ’ 0 0 1 m 1 = x 3 ’.x 2 ’.x 1 0 1 0 m 2 = x 3 ’.x 2 .x 1 ’ 0 1 1 m 3 = x 3 ’.x 2 .x 1 1 0 0 m 4 = x 3 .x 2 ’.x 1 ’ 1 0 1 m 5 = x 3 .x 2 ’.x 1 1 1 0 m 6 = x 3 .x 2 .x 1 ’ 1 1 1 m 7 = x 3 .x 2 .x 1 Observações : 1. Como em um produto canôn ico intervém todas as variáveis, sua interpretação será sempre “ 0 ” a menos de um determinado: aquele que associe “ 1 ” a todas v ariáveis (x i ) e “ 0 ” a todas (x i ’) ; 2. Cada um dos 2 n produtos c anônicos serve para representar um a, e apenas uma, d as possíveis combin ações das variáveis de entrada. Observar que o ter mo: ( x 3 ’ .x 2 ’ ) é um produto, mas não é um mintermo , pois não é composto por todas as variáveis de entrada. As notas de aul a servem como roteiro de aula para o professor, contendo os principais tópicos que serão explorados durantes as aulas. Podem também serv ir como roteiro de estudo, mas não substituem o livro texto da disciplina: VAHID, F. – Sistemas Digitais – projeto, otimiz ação e HDLs. 2 NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 3 Formas Canônicas  Definição 4 : Soma Canôni ca (ou M axtermo ) é toda Expressão Boo leana (ou de Chaveam ento) com posta pela Soma de todas as variáveis , com plementadas ou não :                       onde   é um li teral que pode valer x i ou x i ’  Definição 5 : S egunda Fo rma Canônica é tod a Expres são Boole ana (ou de Chaveam ento) com posta pelo Produ to de s omas canônicas, ou de Maxterm os, diferentes entre si . NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 4 Formas Canônicas Exemplo: Maxterm os para três variáveis: Uma express ão na Segunda Form a Canôni ca poderia ser: S= M 0 . M 1 . M 7 ou S = ( x 3 +x 2 +x 1 ) . (x 3 +x 2 +x 1 ’) . (x 3 ’+x 2 ’+x 1 ’) x 3 x 2 x 1 Maxtermos 0 0 0 M 0 = x 3 +x 2 +x 1 0 0 1 M 1 = x 3 +x 2 +x 1 ’ 0 1 0 M 2 = x 3 +x 2 ’ +x 1 0 1 1 M 3 = x 3 +x 2 ’ +x 1 ’ 1 0 0 M 4 = x 3 ’+x 2 +x 1 1 0 1 M 5 = x 3 ’+x 2 +x 1 ’ 1 1 0 M 6 = x 3 ’+x 2 ’+x 1 1 1 1 M 7 = x 3 ’+x 2 ’+x 1 ’ Observações : 1. Como em uma soma canônica intervém todas as variáveis, sua interpretação será sempre “ 1 ” a menos de uma determinada: aquela que associe “ 0 ” a todas variáveis (x i ) e “ 1 ” a todas (x i ’) ; 2. Cada uma das 2 n soma s canônicas s erve para representar uma, e apenas uma, das possíveis combinações das variáveis de entrada. Observar que o termo: ( x 3 + x 2 ) é uma soma, mas não é um Maxtermo , pois não é composto por todas as variáveis de entrada. As notas de aul a servem como roteiro de aula par a o professor, contendo os principais tópicos que serão explorados durantes as aulas. Podem também serv ir como roteiro de estudo, mas não substituem o livro texto da disciplina: VAHID, F. – Sistemas Digitais – projeto, otimiz ação e HDLs. 3 NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 5 Formas Canônicas Exemplo: Dualidade entre Minterm os e Maxtermos para três variáveis: x 3 x 2 x 1 Minterm os Maxtermos 0 0 0 m 0 = x 3 ’.x 2 ’.x 1 ’ = M 0 ’ M 0 = x 3 +x 2 +x 1 = m 0 ’ 0 0 1 m 1 = x 3 ’.x 2 ’.x 1 = M 1 ’ M 1 = x 3 +x 2 +x 1 ’ = m 1 ’ 0 1 0 m 2 = x 3 ’.x 2 .x 1 ’ = M 2 ’ M 2 = x 3 +x 2 ’ +x 1 = m 2 ’ 0 1 1 m 3 = x 3 ’.x 2 .x 1 = M 3 ’ M 3 = x 3 +x 2 ’ +x 1 ’ = m 3 ’ 1 0 0 m 4 = x 3 .x 2 ’.x 1 ’ = M 4 ’ M 4 = x 3 ’+x 2 +x 1 = m 4 ’ 1 0 1 m 5 = x 3 .x 2 ’.x 1 = M 5 ’ M 5 = x 3 ’+x 2 +x 1 ’ = m 5 ’ 1 1 0 m 6 = x 3 .x 2 .x 1 ’ = M 6 ’ M 6 = x 3 ’+x 2 ’+x 1 = m 6 ’ 1 1 1 m 7 = x 3 .x 2 .x 1 = M 7 ’ M 7 = x 3 ’+x 2 ’+x 1 ’ = m 7 ’ Analogamente, uma expressão na Prim eira Forma Canôn ica é dual a um a expressão na Segunda Fo rma Canônica (uma pode ser c onvertida na outr a utiliz ando- se o T eorema de DeMorgan): Por exemplo: S= m 0 + m 1 + m 7 = m 0 + m 1 + m 7 = m’ 0 . m' 1 . m' 7 = M 0 . M 1 . M 7 ou S = x 3 ’ .x 2 ’ .x 1 ’ + x 3 ’ .x 2 ’ .x 1 + x 3 .x 2 .x 1 = ( x 3 +x 2 +x 1 ) . ( x 3 +x 2 +x 1 ’ ) . ( x 3 ’+ x 2 ’+x 1 ’ ) NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 6 Simplificação de Lógica por T eor emas  Utilização de T eorem as B ooleanos para Simplificação de Circuitos Lógicos  Conceito : Um Circuito Comb inacional (circuito sem m emória) pode ser compreendido como um d ispositivo lógico cujo resultado de saída depende apenas das entradas no instante atual .  Simplificação de Expres sões Boolea nas : A saída de um circ uito lógico combinacional pode ser representada como uma expressão booleana, a qual pode assum ir inf initas f ormas equivalentes (vide as duas f ormas canônicas es tudadas). Deve- se sempre buscar a forma de representação mínima (m enor número de operações lóg icas básicas possível) para reduzir a c omplexidade da representação lógica e, consequentem ente, o número de portas lógicas ut ilizadas na implem entação física do circuito lógico (tanto por questões de custo com o de desempenho).  Uso de T eoremas Booleanos : Uma das formas de simplificar a síntese de circuito lógicos é aplicar as propriedades dos T eoremas da Álgebra de Boole ( também aplicáve is à álgebra de c haveamento) para reduzir a complexidade das expressões lógi cas dos circuitos a serem implementados. As notas de aul a servem como roteiro de aula par a o professor, contendo os principais tópicos que serão explorados durantes as aulas. Podem também serv ir como roteiro de estudo, mas não substituem o livro texto da disciplina: VAHID, F. – Sistemas Digitais – projeto, otimiz ação e HDLs. 4 NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 7 Simplificação de Lógica por T eor emas  Resum o das identidades básica s de T eor em as Booleanos (vistos na aula 2): Prop riedad e Exemplo 1: Exemplo 2: T1 - Comutativa a+b = b+a a.b = b.a T2 - Distributiva a+( b.c ) = (a+b).(a+c ) a.( b+c ) = (a.b)+(a.c) T3 - Identidade a+0 = a a.1 = a T4 - Complemento 1 a+a ’ = 1 a.a ’ = 0 T5 - Dualidade (+) intercam biável (.) (0) intercambiável (1) T6 - Único Complemento (a) tem complemento (a’) (a’) tem complemento (a) T7 - Dominação a+1 = 1 a.0 = 0 T8 - Complemento 2 0’ = 1 1’ = 0 T9 - Idempotência a +a = a a.a = a T10 - Involução (a’)’ = a ((a’)’)’ = a’ T1 1 - A bsorção 1 a+a.b = a a.(a+b) = a T12 - A bsorção 2 a+a ’.b = a+b a.( a’+b ) = a.b T13 - A ssociativa a+( b+c ) = (a+b)+c a.( b.c ) = (a.b).c T14 - DeMorgan (a+b )’ = a’.b ’ (a.b )’ = a’+b’ NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 8 Otimização de Funções Lógicos  Exer cício 1 Reduza as expressões seguintes a um Pr oduto Canônico: a) a.b.a’.c b) a.b’.c’.a.b’.a c) (a + b’.c’ + c.a ’)’ As notas de aul a servem como roteiro de aula par a o professor, contendo os principais tópicos que serão explorados durantes as aulas. Podem também serv ir como roteiro de estudo, mas não substituem o livro texto da disciplina: VAHID, F. – Sistemas Digitais – projeto, otimiz ação e HDLs. 5 NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 9 Otimização de Funções Lógicos  Exer cício 2 Utilizando as prop riedades dos teorem as booleano s s implif icar a expr essão: (x + y + z).(x.y ’ + y .z + x.z ’) NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 10  Exer cício 3 Construir um circuito lógico a partir da seguinte equação booleana: Y = A.C + B.C + A.B.C a) Proj etar o circuito utilizando exatam ente a expressão lógica fornecida; b) Proj etar o circuito utilizando a expressão simplif icada p elos teorem as da álgebr a de chaveam ento. Otimização de Funções Lógicos As notas de aul a servem como roteiro de aula par a o professor, contendo os principais tópicos que serão explorados durantes as aulas. Podem também serv ir como roteiro de estudo, mas não substituem o livro texto da disciplina: VAHID, F. – Sistemas Digitais – projeto, otimiz ação e HDLs. 6 NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 11 Análise de Ci r cuitos Combinacionais  Análise de Circuitos Combinacionais  A A nálise de um Circuito Combinacional (circuito sem memória) é realiz ada, tipicamente, na seguinte sequência: Diagrama Esquemático- L ógico (Portas Lógicas) Expressão d e Chaveamento (Função Booleana) T abela V erdade  Identificação das operações lógicas;  Interpretação da lógica executada pelo circuito NE6710 - Sistemas Digitais I - Prof. Dr. Valter F. Avelino ( 2019) A ula 5 12 S S2 S1 A B C D S1 S2 S2 S (0) 0 0 0 0 (1) 0 0 0 1 (2) 0 0 1 0 (3) 0 0 1 1 (4) 0 1 0 0 (5) 0 1 0 1 (6) 0 1 1 0 (7) 0 1 1 1 (8) 1 0 0 0 (9) 1 0 0 1 (10) 1 0 1 0 (11) 1 0 1 1 (12) 1 1 0 0 (13) 1 1 0 1 (14) 1 1 1 0 (15) 1 1 1 1 S1 = ___________ ______ ______ _____ S2 = ___________ ______ ______ _____ S2 = ___________ ______ ______ _____ S = _________________ ______ ______ Interpretação do funcionamento do circuito: _________________ ______ ______ ______ ______ _________________ ______ ______ ______ ______  Exer cício 4 Para o circuito combinacional ab aixo determinar: a) A equação de saída; b) A tabela da verdade do circuito; c) A interpretação da form a de o peração do sistema. Análise de Ci r cuitos Combinacionais

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