Aula 1 - Máximo Divisor Comu e Mínimo Múltiplo Comum ( 13 a 19 Fevereiro-2012)

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MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO12
UNIMES VIRTUAL
Aula: 01
Temática: Máximo Divisor Comum e 
 Mínimo Múltiplo Comum
 
Em nossa primeira unidade, teremos a oportunidade de re-
ver alguns Conceitos Matemáticos Fundamentais. O nosso 
primeiro assunto é Máximo Divisor Comum e Mínimo Múlti-
plo Comum entre dois números. Vamos lá?
 
1. Máximo Divisor Comum
Pergunta: Por que estudarmos Máximo Divisor Comum (MDC)? 
Porque o MDC é importante para simplificarmos frações?
Chamamos de Máximo Divisor Comum (abreviadamente mdc) - entre dois 
ou mais números naturais diferentes do zero - ao número que seja o maior 
divisor natural. 
Para determinarmos o MDC entre dois números, devemos efetuar a de-
composição em fatores primos e escolhermos os fatores comuns com os 
menores expoentes. 
a) Determine o máximo divisor comum entre 12 e 18. 
Quais são os divisores de 12? 
O conjunto D12 = {1,2,3,4,6,12} apresenta os divisores de 12. 
Quais são os divisores de 18? 
O conjunto D18 = {1,2,3,6,9,18} apresenta os divisores de 18. 
Por inspeção dos dois conjuntos determinamos que mdc (12,18) = 6. 
b) Determine o máximo divisor comum entre 28 e 30. Quais são os divi-
sores de 28? 
O conjunto D28 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} apresenta os divisores de 28. 
Quais são os divisores de 30? 
O conjunto D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} apresenta os divisores de 30. 
Por inspeção dos dois conjuntos determinamos que mdc (28,30) = 2.
 
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Mas você pode se perguntar: será que não existe um jeito 
mais simples de se determinar o mdc entre dois números? E 
se os números fossem 32 e 92? 
Resolução: Fazemos a decomposição em fatores primos dos números 32 
e 92: 
32 2
(do lado direito da decompo-
sição vemos apenas números 
primos) Do lado direito apare-
cerão os números 2, 3, 5, 7, 11, 
etc.
92 2
16 2 46 2
8 2 23 23
4 2
2 2
1
Neste caso mdc (32,92) = 4.
 
Exemplo: Determine o mdc (45,36).
36 2 45 3
18 2 15 3
9 3 5 5
3 3 1
1
36 = 22.32 e 45 = 32.5 e tomamos para o mdc aqueles divisores comuns 
entre os dois números – 36 e 45 no nosso exemplo – mas com menor 
expoente. 
No nosso caso (36 e 45) temos como divisor comum apenas o número 3 
(com expoente 2). Assim, mdc (36,45) = 32 = 9. 
 
Vejamos um outro exemplo: Determine o mdc (60,168). 
60 2 168 2
30 2 84 2
15 5 42 2
3 3 21 3
1 7 7
1
Números primos: nú-
meros que são divisí-
veis apenas por 1 e por 
eles mesmos (2, 3, 5, 
7, 11, 13, 17, 19, etc).
O número 8 não é pri-
mo pois é divisível por 
números que não ele 
mesmo e o 1. 
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Assim, 
60 = 22 .3.5  O expoente do fator primo 2 é 2; 
184 = 23.3.7  Aqui o expoente do fator primo 2 é 3. 
O m.d.c será dado pelo produto dos fatores comuns com menor expoen-
te.
Neste exemplo, os fatores comuns são 2 e 3. 
Portanto: mdc(60,184) = 22.3 = 4.3 = 12
 
2. Mínimo Múltiplo Comum
Justificativa para estudarmos o MMC: o MMC é importante para somar-
mos frações com denominadores distintos. 
Denomina-se mínimo múltiplo comum (abreviadamente m.m.c) – entre 
dois números naturais não-nulos - ao menor número não-nulo que seja 
múltiplo dos dois.
Para determinarmos o mmc entre dois números podemos efetuar a decom-
posição em fatores primos dos dois números e selecionarmos os fatores 
comuns e não comuns, com os maiores expoentes. O mmc dentre os dois 
números será dado pela multiplicação de todos esses fatores. 
a) Determine o mmc(15, 25): 
15 = 3.5 25 = 52
Fatores comuns entre 15 e 25: apenas o número 5. 
Fatores comuns entre 15 e 25: para o número 15, o fator 5 comparece com 
expoente igual a 1. Para o número 25, o fator 5 comparece com expoente 
igual a 2. O maior dentre esses dois expoentes é 2. 
Fatores não-comuns entre 15 e 25: temos apenas o número 3 como fator 
não-comum. 
O mmc(15,25) = produto dos fatores comuns (com maior expoente) e não 
comuns. 
Assim: mmc(15,25) = 3.52 = 3.25 = 75. 
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b) Determine o mmc(4,7). 
Neste caso, 4 = 22. 
Já o número 7 está decomposto em fatores primos (o próprio 7 é um fator 
primo). Assim, mmc(4,7) = 22.7 = 4.7 = 28. 
Vamos Revisar ? 
1. Conceitos desta aula que você deve fixar: 
a) MDC(a,b): dentre todos os divisores comuns entre os números a e 
b, o MDC é o maior desses divisores. 
b) MMC(a,b): dentre todos os múltiplos comuns entre os números a e 
b, o MMC é o menor desses múltiplos. 
2. Regras Práticas (queremos que você memorize para o futuro, pois 
elas são importantes!): 
Cálculo do MDC: I) efetue a decomposição em fatores primos dos dois 
números; II) faça o produto dos fatores primos comuns com menor 
expoente.
Cálculo do MMC: I) efetue a decomposição em fatores primos dos 
dois números; II) faça o produto dos fatores primos comuns e não-
comuns com os maiores expoentes. 
Tarefa Mínima 
1. Determine o mdc entre: a) 12 e 24 b) 6 e 9 c) 15 e 60
2. Determine o mmc entre: a) 12 e 24 b) 6 e 9 c) 15 e 60
Então, como você se saiu em nossa primeira aula? Toda 
dúvida é importante, não deixe de interagir para esclarecê-
las. Até breve!