Exercícios(2)

Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian CURSOS DE ENGENH ARIA DISCI PLINA: ÁLGEBRA LINEAR Semestre 2011 .2 PROFES SORA: Rosely Bervia n DATA: _____ / _ ____ / __ ___ ALUNO(A):_ ___________ ____________ ___ _____ ____________ ___________ EXERCÍCIOS RESOLV IDOS – TRANS FORMAÇÕES LINEARES Sejam U e V espaços vetoriais. U ma transformação line ar de U em V é um a aplicação T: U  V , tal que: i) T(u + v) = T(u) + T(v) (a imagem da soma de doi s vetores é igual à soma das imagens desses vetores) ii) T(  u) =  T(u) (a imagem da multiplicação de um escalar por um vetor é igual à multiplicação desse escalar pela imagem do vetor) OBSERVAÇÃO: Se T: U  V é uma transformação li near, então T( 0 U ) = 0 V , isto é, a imagem do vet or nulo de U é o ve tor nulo de V. Assim, se a imagem do v etor nulo de U por um a aplicação T nã o é o vetor nu lo de V, então pode mos afirmar q ue T não é uma transformação linear. Por outro lado, se a imagem do vetor nu lo de U é igua l ao vetor n ulo de V, então n ão podemos afirmar que T é uma transformação linear. Neste caso, devemos verificar as condições (i) e (ii). Exemplos: a) T: R 3  R 2 , T (x,y,z) = (x+y,y+z) Observe que T transforma um vetor de R 3 em um vetor de R 2 da s eguinte forma: a primeira co ordenada do vetor de R 2 é obtida s omando a primeira coordenada c om a segunda coorden ada do vet or de R 3 e a segunda coor denada do vetor d e R 2 é obtid a somando a segunda coordenada com a ter ceira coordenada do veto r de R 3 . Para ilustrar, vej amos al guns exemplo s. A imagem do v etor (1,2,3 ) pela apl icação T é T( 1,2,3) = (1+2, 2+3) = (3,5). A imagem do vetor ( -1,0 ,4) pela aplicação T é T( -1,0,4) = (-1+0,0+4) = (-1,4). i) V am os verif icar se a imagem do vetor nulo de R 3 é o vetor nulo de R 2 : T(0,0,0) = (0+0,0+0) = (0,0). OK! ii) Sejam doi s v etores u = (a,b ,c) e v = (d,e,f) v etores de R 3 . Vamos verific ar se a imagem da soma des ses vetores é igual à soma das imagens dos vetores. Se u + v = (a + d,b + e,c + f), então T(u + v) = T(a + d,b + e,c + f) = ((a + d) + (b + e),(b + e) + (c + f)) , ou seja, a imagem do vetor u + v = ( a + d , b + e , c + f ) é o vetor de R 2 , tal q ue s ua primeira coordenad a é a soma da primei ra coordenada de u + v, (a + d) , com a segunda coordenada de u + v, (b + e) , e sua segunda c oordenada é a soma da segunda co ord enada do vetor u + v, (b + e), com a terceira coordenada de u + v, (c + f) . Reescrevendo o vetor T(u + v), obtemos: T(u + v) = T(a + d,b + e,c + f) = ((a + d) + (b + e),(b + e) + (c + f)) = = ((a + b ) + (d + e),(b + c) + (e + f)). Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian Por outro lado, o v etor ((a + b) + (d + e ),(b + c) + (e + f)) pode ser es crito como s oma de dois v etores, isto é: ( (a + b) + (d + e) , (b + c) + (e + f) ) = ( a + b , b + c ) + ( d + e , e + f ). Observe que o vetor ( a + b,b + c) é a imagem do vetor (a, b,c) pela ap lic açã o T , as sim como o vetor (d + e, e + f) é a i magem do vet or ( d,e,f) pela aplicação T. Portanto, (a + b,b + c) + (d + e,e + f) = T(a,b,c) + T(d,e,f) = T(u) + T (v) Assim, T(u + v) = T(u) + T(v). iii) Seja u = (a,b,c) um vetor de R 3 e  um nú mero real. V amos ver ifi car se a imagem da multiplicação de um escal ar por um vetor é igual à multiplicação desse es calar pela imagem do vetor . Se  u = (  a,  b,  c), então T(  u) = T(  a,  b,  c) = (  a +  b,  b +  c), ou seja, a imagem do vetor  u = (  a,  b,  c) é o vetor de R 2 , tal que a pr imeira coordenada é a soma da pri me ira coordenada de  u,  a, co m a segunda coo rdenada de  u,  b, e a s egunda coor denada é a soma da segunda coordenad a do vetor  u,  b, com a te rceir a coordenada de  u,  c. Coloc ando  em evidênc ia em cada coordenada do v etor (  a +  b,  b +  c) , o btemos: T(  u) = T (  a,  b ,  c) = (  a +  b,  b +  c) = (  (a + b),  (b + c)) Como  é um fator comum das coordenadas do vetor (  (a+b),  (b+c)), podemos escrever (  (a+b),  (b+c))=  (a+b,b +c). Por outro lado, o v etor (a + b,b + c) é a imagem do vetor (a,b,c ) pela apli cação T, ou seja, (a + b,b + c) = T(a,b,c). Logo, T(  u) = T (  a,  b,  c) = (  a +  b,  b +  c) = (  (a + b),  (b + c )) = =  (a + b,b + c ) =  T(a,b,c) =  T(u) Assim, T(  u) =  T(u). Portanto, T é uma transformação linear. b) T : M 2 (R)  R 3 ,   ab T a,b, c d cd     Observe que a imagem de um vet or ab cd    de M 2 (R) pela aplicação T é o v etor de R 3 , tal que: a pri meira coordenada do vetor de R 3 é igual ao elemento situado na pr imeir a linha e na pri meira coluna do vet or ab cd    , a s egunda co ordenada d o vetor de R 3 é o elemento s ituado na p rimeira l inha e na segunda col una do vet or ab cd    e a tercei ra coordenad a do v etor de R 3 é igual à soma dos el ementos Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian da seg unda linha do vet or ab cd    . Pa ra ilustrar, vejamos alguns exem plo s. A imagem do v etor 01 23     pela aplicação T é     01 T 0, 1,2 3 0, 1, 5 23          . A imagem do vetor 32 45      pela a plic ação T é     32 T 3, 2 , 4 5 3 , 2 , 1 45          . i) V am os verif icar se a imagem do vetor nulo de M 2 (R) é o vetor nulo de R 3 :     00 T 0, 0 , 0 0 0, 0 , 0 00       . OK! ii) Sejam dois vet ores u = ab cd    e v = ef gh    vet ores de M 2 (R). Vamos veri ficar se a imagem da soma desses vetor es é igual à soma das imagens dos vetores. Se u + v = a e b f c g d h      , então   a e b f T u v T c g d h           a e,b f ,( c g ) ( d h )      , ou seja, a imagem do v etor u + v = a e b f c g d h      é o v etor de R 3 , ta l que sua pri meira coordenada é o e l emento situado na prime ira linha e na p rimeira coluna d o vetor a e b f c g d h      , ou seja, a + e, a s ua s egunda coordenada é o elemento situado na primeira linha e na s egunda colu na do vetor a e b f c g d h      , ou seja, b + f, e a sua te rceir a co ordenada é igual à soma dos elemen tos da se gunda l inh a do v etor a e b f c g d h      , o u sej a, (c + g ) + (d + h) . Reescrevendo o vetor T(u + v), obtemos:     a e b f T a e,b f , ( c g ) ( d h ) a e,b f , ( c d ) (g h ) c g d h                  Por outro lado, o vetor (a + e,b + f,(c + d) + (g + h)) pode ser escrito como soma de dois vetores, isto é: (a + e,b + f ,(c + d) + (g + h)) = (a,b,c + d) + (e,f,g + h) Observe que o vetor (a,b ,c + d) é a imagem do v etor ab cd    pela apl icação T e o vetor (e,f, g + h) é a imagem do vetor ef gh    pela a plicação T. Por tanto, Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian         a e b f T a e , b f , ( c g) ( d h ) a e, b f , ( c d ) ( g h ) a,b , c d e, f , g h c g d h a b e f TT c d g h                                    Assim, T(u + v) = T(u) + T(v). iii) Seja u = ab cd    um v etor de M 2 (R) e  um número real. Vamos verificar se a imagem da multipli cação de um escalar por um vetor é igual à multiplicação desse escalar pel a imagem do vetor. Se  u = ab cd      , então T(  u) =     a b a b T a, b, c d a,b, c d T c d c d                             T ( u ) a , b, ( c d )        Assim, T(  u) =  T(u). Portanto, T é uma transformação linear. c) T: P 2 (R)  M 2 (R), T(at 2 + bt + c) = 2 b 3 a cc     Note que a imagem de um vetor at 2 + bt + c de P 2 (R) pela aplicação T é o vet or de M 2 (R), tal que: o elemento situado na primeir a linha e na primeira coluna é igual ao dobro do coeficiente do termo de pri meiro grau do v etor at 2 + bt + c, o elemento s it uado na primeira l inha e na seg unda coluna é igu al ao triplo d o coeficiente do termo de seg undo grau do vetor at 2 + bt + c , o e lemento situado na segunda lin ha e na primeir a coluna é igual ao termo independente do vet or at 2 + bt + c e o e lemento situado na segunda linha e na seg unda c oluna é igual a o o p os to do termo i ndepend e nte do v etor at 2 + bt + c. Para ilu strar, v ejamos alguns exemplos. A imagem do v etor 3t 2 - 5t - 1 pela aplicação T é   2 2. ( 5 ) 3 .3 10 9 T 3t 5t 1 1 ( 1 ) 1 1                      . A imagem do v etor - 4t 2 + 2 pela ap licação T é   2 2. 0 3 .( 4 ) 0 12 T 4 t 2 2 2 2 2                   . i) V am os verificar se a imagem do vetor nulo de P 2 (R) é o vetor n ulo de M 2 (R):   2 2. 0 3.0 0 0 T 0t 0t 0 0 0 0 0                  . OK! ii) Sejam u = at 2 + bt + c e v = dt 2 + et + f vetores de P 2 (R). V amos v erificar se a imagem da s oma d esses vetores é igual à soma das imagens dos vetores . Se u + v = (a + d)t 2 + (b + e)t + (c + f), então T(u + v) = T((a + d)t 2 + (b + e)t + (c + f)) = 2 ( b e) 3 ( a d ) c f ( c f )        , Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian ou seja, a imagem do vetor u + v = (a + d)t 2 + (b + e)t + (c + f) é o vetor de M 2 (R), ta l que o elemento situado na pri me ira linha e na primeira coluna é igual ao do bro do coeficiente d o termo de p rimeiro grau do vet or (a + d)t 2 + (b + e)t + (c + f) , ou sej a, 2(b + e) , o elemento situado na primeira linha e na segunda coluna é igual a o tr iplo do coeficiente do termo de seg undo grau d o vet or (a + d) t 2 + (b + e)t + (c + f), ou seja, 3 (a + d), o e lemento s ituado na s egunda lin ha e na primei ra co luna é igual ao te rmo indep endente do vet or (a + d)t 2 + (b + e)t + (c + f), ou s eja, c + f, e o elemento s ituado na segunda linha e na segunda colu na é igual ao oposto do t ermo independ ente do vetor (a + d)t 2 + (b + e)t + (c + f), ou seja, -(c + f). iii) Seja u = at 2 + bt + c um vet or de P 2 (R) e  um número real . Vam os v erificar se a imagem da multipli cação de um escalar por um vetor é igual à multiplicação desse escalar pel a imagem do vetor. Se  u =  (at 2 + bt + c) = (  a)t 2 + (  b)t +  c, então T(  u) = T((  a)t 2 + (  b)t +  c) = 2 ( b) 3 ( b) ( 2 b ) ( 3 b ) c ( c) c ( c )                          2 2 b 3 b T at bt c T( u ) cc            Assim, T(  u) =  T(u). Portanto, T é uma transformação linear. d) T : R 2  R 2 ; T (x,y) = (x + 1,y + 2) i) V am os verif icar se a imagem do vetor nulo de R 2 é o vetor nulo de R 2 : T(0,0) = (0 + 1,0 + 2) = (1,2)  (0, 0) Portanto, T não é uma transfor mação linear. e) T: R 2  R 3 , T(x,y) = (xy,x,0) i) V am os verif icar se a imagem do vetor nulo de R 2 é o vetor nulo de R 3 : T(0,0) = (0.0,0,0) = (0,0,0) OK! ii) Sejam u = (a,b) e v = (c,d) vetores de R 2 . Vamos verifi car s e a imagem da s oma desses vetores é igu al à soma das imagens dos vetores. Se u + v = (a + c,b + d), então T(u + v) = T(a + c,b + d) = ((a + c)(b + d),a + c, 0) = (ab + ad + cb + cd,a + c, 0). Por outro lado, T(u) + T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (ab,a,0) + (cd,c,0) = (ab + cd,a + c,0). Assim, T(u + v) = (ab + ad + cb + cd,a + c, 0)  (ab + cd,a + c,0) = T(u) + T(v), poi s não podemo s afirmar q ue ab + ad + cb + cd = ab + cd,  a, b, c, d  R. Portanto, T não é uma transfor mação linear. Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian Abaixo apresentamos um resultado fundamental para os exercícios resol vidos que virão a seguir . Considere  = {u 1 ,u 2 ,...,u n } uma base de um espaço v etorial U e suponha que se conheça a s imagens dos vetores desta base T( u 1 ), T(u 2 ), ..., T(u n ). Se v é um vetor qualquer de U, então: v = α 1 u 1 + α 2 u 2 + ... + α n u n (v é uma combinação linear dos vetores da base  ) e, daí, T(v) = T( α 1 u 1 + α 2 u 2 + .. . + α n u n ) = T( α 1 u 1 ) + T( α 2 u 2 ) + . .. + T( α n u n ) = = α 1 T(u 1 ) + α 2 T(u 2 ) + ... + α n T(u n ) (T(v) é uma combinação linear das imagens dos vet ores da base  ) Isto m ostra que um a tran sformação l inear T : U  V fica completamente defini da quan do se conhece as imagens dos vetores de uma base de U. Por exemplo, se v = 2 u 1 - 3 u 2 + 5 u 3 , então T(v) = 2 T(u 1 ) - 3 T(u 2 ) + 5 T(u n ), i sto é, se v é uma combinação linear dos vetores u 1 , u 2 e u 3 , então a i magem d e v, isto é, T (v), é u ma co mbinação linear das ima gens dos vetores u 1 , u 2 e u 3 , i sto é, T(u 1 ), T(u 2 ) e T(u 3 ), com os mesmos escalares usa dos na p rimeira combinação linear. Agora, vejamos alguns exemplos nos qu ais ap licamos o resultado supracitado. O enunciad o do exercício é o seguinte: Determine a transformação linear T sabendo que : a) T: R 2  R 3 tal que T(1,2) = (3,1,4) e T(0, – 1) = ( – 1,0, – 2). Observe que os vetores, cujas imagens foram dadas, (1,2) e (0 , – 1), for mam uma bas e de R 2 . As sim, qualq uer vetor de R 2 po de ser escrito como uma co mbinação linear deles. Logo, se (x,y) de R 2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,2) e (0, – 1) , então exi stem es calares a e b, ta is qu e: (x,y) = a(1 ,2) + b(0, – 1)  (x,y) = (a, 2a) + (0, – b)  (x,y) = (a, 2a - b)  ax 2 a b y      Substituin do o valor de a, obtido na primeira equação, na segunda equa ção, obtemos b = 2x – y. Assim, se (x,y) = x (1, 2) + (2x - y) (0, – 1), e ntão : T(x,y) = x T (1,2) + (2x – y) T(0, – 1) Na qu estão foram dados T(1,2) = (3,1,4) e T(0, – 1) = ( – 1,0, – 2) . Logo, T(x,y) = x T (1,2) + (2x – y) T(0, – 1) T(x,y) = x (3,1 ,4) + (2x – y) ( – 1,0 , – 2) T(x,y) = (3x ,x, 4x ) + ( – 2x + y,0, – 4x + 2y) T(x,y) = (x + y,x, 2y ) Portanto, a transformação linear T: R 2  R 3 , tal que T(1,2) = (3,1,4) e T(0, – 1) = ( – 1,0, – 2), é dada p or T(x,y) = (x + y,x,2y). Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian Para confirmarmos que a resposta en contrada es tá correta, verifiquemos s e T(1,2) = (3,1,4) e T(0, – 1) = ( – 1,0, – 2 ) pela transformação linear determinada. T(1,2) = (1 + 2,1,2.2) = (3,1,4) e T( 0,-1) = (0 + (-1),0,2(-1)) = (-1,0,-2). b) T : R 3  R 2 tal que T(1,1,0) = (0,4), T(1,0,1) = (5,11) e T(0, – 1 ,0) = (1 , – 1). Observe que os vetores, cujas ima gens for am da das, (1, 1,0), (1, 0,1) e (0, – 1,0), fo rmam uma base de R 3 . Assim, qualquer v etor de R 3 po de s er escrito como uma combin açã o linear deles. Log o, se (x,y,z) de R 3 pode ser escrito como uma c ombinação linear dos vetores (1,1, 0), (1,0,1) e (0, – 1,0), ent ão exis tem escalares a, b e c, tais que: (x,y,z) = a(1,1,0 ) + b(1,0,1) + c(0, – 1,0)  (x,y ,z ) = (a + b ,a – c,b )   a b x a c y bz         Substituin do o v alor de b , o btido na terc e ira equação, na primeira eq uação, obtemos a = x – z. Substituin do o valor de a, obtido anteriormente, na seg unda eq uação, temos c = x – y – z. Assim, se (x,y ,z ) = (x – z) (1,1,0) + z ( 1, 0,1) + (x – y – z) (0 , – 1,0), então : T(x,y ,z ) = (x – z) T(1,1,0) + z T(1,0,1) + (x – y – z) T(0, – 1,0) T(x,y,z) = (x – z) (0,4) + z (5,11) + (x – y – z) (1, – 1) T(x,y,z) = (0,4 x – 4z ) + (5z,11z) + (x – y – z, – x + y + z) T(x,y,z) = (x – y + 4z, 3x + y + 8z) Portanto, a tr ansf ormação linear T: R 3  R 2 , tal que T(1,1,0) = (0,4), T(1, 0,1) = (5,11) e T(0, – 1 ,0 ) = ( 1, – 1), é dada por T(x, y,z) = (x – y + 4z, 3x + y + 8z). Para confirmarmos q ue a resposta es tá correta, verifiquemos se T (1,1,0) = (0,4), T( 1, 0 ,1) = (5,1 1) e T(0,-1,0) = (1,- 1) pela transformação linear determinada. T(1,1, 0) = (1 – 1 + 4.0, 3.1 + 1 + 8.0) = (0 ,4) T(1, 0,1) = ( 1 – 0 + 4.1,3.1 + 0 + 8.1) = (5,11) T(0, -1 ,0 ) = ( 0 – (-1) + 4.0, 3. 0 + (-1) + 8.0) = (1,- 1) . c) T: P 1 (R)  R 3 tal que T(t + 1) = (1,2,0) e T(2t – 3) = (2,4,5). Observe que os v etores, cujas i magens foram dadas, t + 1 e 2t - 3, formam uma bas e de P 1 (R). A ssim, qualq uer vet or de P 1 (R) pode ser es crito como uma combi nação linear deles. Logo, se xt + y de P 1 (R) pode s er escri to como uma co m binação linear dos v etores t + 1 e 2t - 3, então existem escalares a e b, tais que: xt + y = a(t + 1) + b(2t - 3 )  xt + y = at + a + 2b t – 3b  xt + y = (a + 2 b)t + (a – 3b)  a 2 b x a 3 b y      Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian Subtrai ndo as equações (a primeira menos a seg unda), obtemos 5b = x – y, ou seja, xy b 5   . Substituin do o valor encontrado para b na primeira equa ção, obtemos: x y 2x 2 y 2x 2 y 3 x 2y a 2 x a x a x a 5 5 5 5                  . Assim, se xt + y = 3 x 2y 5     (t + 1 ) + xy 5     (2t – 3) , então : T(xt + y) = 3 x 2y 5     T(t + 1 ) + xy 5     T(2t – 3) T(xt + y) = 3 x 2y 5     (1,2,0) + xy 5     (2,4,5) T(xt + y) = 3 x 2y 6x 4 y , , 0 55     + 2x 2y 4 x 4 y , , x y 55      T(xt + y) = (x, 2x,x - y) Portanto, a transformação linear T: P 1 (R)  R 3 , t al que T( t + 1) = ( 1,2, 0) e T( 2t – 3) = (2,4, 5) , é dada por T(x,y,z) = (x,2x,x – y). Para confir ma rmos que a resp osta es tá correta, verifi quemos s e T(t + 1) = (1,2,0) e T(2t – 3) = (2,4,5 ) pela tr ansformação linear determinada. T( t + 1) = (1,2.1,1 – 1) = (1,2, 0) e T( 2t – 3) = (2,2.2,2 – (-3) = (2,4, 5) d) T : M 2 (R)  R 2 tal que   11 T 0, 2 11     ,   01 T 1 ,1 10     ,   00 T 0, 0 11      e   00 T 0, 1 01     . Observe que os vetores, cujas imagens foram dadas, 11 11    , 01 10    , 00 11     e 00 01    for mam uma base de M 2 (R). Assim, qualquer vetor de M 2 (R) pode ser escrito como uma c ombinação l inear deles. Logo, s e xy zw    de M 2 (R) p ode ser es cri to como uma co mbinação linear d os vetores 11 11    , 01 10    , 00 11     e 00 01    , então existem escalares a, b, c e d, tais que: xy zw    = a 11 11    + b 01 10    + c 00 11     + d 00 01     xy zw    = aa aa    + 0b b0    + 00 cc     + 00 0d     Exercícios resolvidos pela professora Rosely B er vian xy zw    = a a b a b c a c d          ax a b y a b c z a c d w                Resolvendo o sistema, obtemos b = y – x, c = z – y e d = w – x + z – y. Assim, se xy zw    = x 11 11    + (y - x) 01 10    + (z - y) 00 11     + (w – x + z – y) 00 01    , então : T xy zw    = x T 11 11    + (y - x) T 01 10    + (z - y) T 00 11     + (w – x + z – y) T 00 01    T xy zw    = x ( 0,2 ) + (y - x) (1,1) + (z - y) (0,0 ) + (w – x + z – y) ( 0,1) T xy zw    = (0,2x) + ( y - x, y - x) + (0,0) + ( 0, w – x + z - y) T xy zw    = ( y - x,z + w) Portanto, a transformação linear T: M 2 (R)  R 2 , t al que   11 T 0, 2 11     ,   01 T 1 ,1 10     ,   00 T 0, 0 11      e   00 T 0, 1 01     , é dada por T xy zw    = (y - x, z + w). Para c onfirmarmos qu e a resposta está cor reta, verifiq uemos se   11 T 0, 2 11     ,   01 T 1 ,1 10     ,   00 T 0, 0 11      e   00 T 0, 1 01     pela transformação li nea r d eterm inada.   11 T 1 1 ,1 1 (0, 2 ) 11        ,   01 T 1 0 , 1 0 ( 1,1 ) 10        ,   00 T 0 0, 1 ( 1 ) (0, 0 ) 11          e   00 T 0 0 , 0 1 (0,1 ) 01       

Exercícios(2)

ÁREA1

Álgebra

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