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Universidade Estadual de Santa Cruz.
Depto. de Ciências Exatas e Tecnológicas.
Disciplina: Álgebra Linear.
Professor: Claudemir Mota.
E-mail: cmcruz@uesc.br.
Lista II
1. Seja V = R2. Se u = (x1, x2) ∈ V , então V ,
com as operações de adição
u+ v = (3x2 + 3y2,−x1 − y1)
e multiplicação por escalar
au = (3ax2,−ax1)
é um espaço vetorial sobre R?
2. Seja V = R2. Se u = (x1, x2) ∈ V , então V ,
com as operações de adição
u+ v = (x1 + y1, x2 + y2)
e multiplicação por escalar
au = (a2x1, a
2x2)
é um espaço vetorial sobre R?
3. Seja V = R3. Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços de V.
(a) W = {(x, y, z) ∈ V |x+ y + z = 0}
(b) W = {(x, y, z) ∈ V |x ≤ y ≤ z}
(c) W = {(x, y, z) ∈ V |x− 3z = 0}
(d) W = {(x, y, z) ∈ V |x ∈ Z}
(e) W = {(x, y, z) ∈ V |x2 + y2 + z2 ≤ 1}
(f) W = {(x, y, z) ∈ V |x ≥ 0}
(g) W = {(x, y, z) ∈ V |xy = 0}
(h) W = {(x, y, z) ∈ V |x = z2}
4. Seja V = Rn×n, n ≥ 2. Verifique quais dos
subconjuntos abaixo são subespaços de V
(a) W =
{[
a b
c d
]
∈ V : a = c, b+ d = 0
}
(b) W =
{[
a b
c d
]
∈ V : a+ d ≤ b+ c
}
(c) W =
{[
a b
c d
]
∈ V : ad− bc 6= 0
}
5. Seja V = Pn(R), n ≥ 2. Verifique quais dos
subconjuntos abaixo são subespaços de V .
(a) W = {p ∈ V ; p(0) = 0}
(b) W = {p ∈ V ; p(x) + p′(x) = 0}
6. Seja V = F(R,R) o espaço vetorial de todas as
funções reais. Verique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços de V
(a) W = {f ∈ V : f(0) = 1}
(b) W = {f ∈ V : f(5) = 0}
(c) w = {f ∈ V : f(3) = f(5)}
(d) w = {f ∈ V : f é derivável }
7. Sejam W1,W2 e W3 os seguintes subespaços de
R3:
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z}
W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0}
W3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}
É verdade queW1+W2 = W1+W3 = W2+W3 =
R3? Em algum dos casos a soma é direta?
8. Mostre que todo vetor em R2 pode ser escrito
como combinação linear dos vetores (1, 2) e
(5, 0).
9. Sejam V = P2(R) e f = 2 − 3x + 5x2, g =
−8+5x−2x 2 vetores em V . Quais dos vetores
p = −26 + 11x+ 7x2
e
q = 1 + x+ x2
são combinações Lineares dos vetores f e g?
10. Sejam V = R2×2 e
A1 =
[
1 1
−2 1
]
, A2 =
[
3 0
4 −1
]
, A3 =
[
−1 2
5 2
]
vetores em V . Quais dos vetores
A =
[
4 −5
9 −7
]
, B =
[
3 1
−4 4
]
, C =
[
−1 1
−2 1
]
são combinações lineares dos vetores A1, A2 e
A3?
11. Encontre os geradores para os seguintes su-
bespaços de R3:
(a) W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0}
(b) W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = x− 2y = 0}
(c) W3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y − 3z = 0}
(d) W1 ∩W2
1
(e) W2 +W3
12. Determine um sistema de geradores para os se-
guintes espaços vetoriais.
(a) U = {(x, y, z, t) ∈ R4| x − y + z + t =
0 e − x+ 2y − z + t = 0}.
(b) U =
{[
x y
z w
] ∣∣∣x− y − z = 0}.
13. Verifique, em cada um dos ı́tens abaixo, se o
conjunto S do espaço vetorial V é l.i. ou l.d.
(a) S = {(1, 2), (−3, 1))}, V = R2.
(b) S = {1 + t− t2, 2 + 5t− 9t2}, V = P2(R).
(c) S = {(1, 2, 2,−3), (−1, 4,−2, 0)}, V = R4.
(d) S = {1, senx, cosx}, V = C∞(R,R).
(e) S = {1, sen2x, cos2 x}, V = C∞(R,R).
(f) S = {ex, e−x}, V = C∞(R,R).
14. Seja S = {u, v, w} um conjunto l.i. em um
espaço vetorial V . Verifique se os conjuntos
abaixo são l.i. ou l.d.
(a) S1 = {u, u+ v, u+ v + w}
(b) S2 = {u− v, v − w,w − u}
(c) S3 = {u+ v, u+ v + w,w}
15. Mostre que β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}
é uma base de R3 e encontre as coordenadas do
vetor (1, 0, 0) nesta base.
16. Seja V = R2×2 o espaço das matrizes 2×2 sobre
R, e seja W o espaço gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
]
.
Encontre uma base e a dimensão de W .
17. Verifique que P2(R) é gerado por 1 +x, x+ 2x2
e 1− x2.
18. Sejam U = {p(x) ∈ P3(R)| p(0) = p(1) = 0}
e V = {p(x) ∈ P3(R)| p(−1) = 0}. Encontre
uma base para U , V e U ∩ V .
19. Determine as coordenadas do vetor u =
(−1, 8, 5) ∈ R3 em relação a cada uma das se-
guintes bases.
(a) base canônica.
(b) {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}.
(c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
20. Determine as coordenadas do vetor 10 + t2 +
2t3 ∈ P3(R) em relação a cada uma das seguin-
tes bases.
(a) base canônica.
(b) {1, 1 + t, 1 + t+ t2, 1 + t+ t2 + t3}.
(c) {4 + t, 2, 2− t2, t+ t3}.
Em breve adicionarei uma lista de exerćıcios com-
plementar
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