2ª Lista de Exercicios - Álgebra Linear 2019 2 (1)

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Universidade Federal de Campina Grande
Unidade Acadêmica de Matemática
Centro de Ciências e Tecnologia
Disciplina: Álgebra Linear I
Semestre: 2019.2
Lista de Exerćıcios - Espaços Vetoriais (2o estágio)
Q1. Determine dentre os conjuntos abaixo quais os que são subespaços vetoriais.
a. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ y ≤ z}.
b. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 3z = 0}.
c. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Z}.
d. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0}.
e. W =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2) : a = c e b+ d = 0
}
.
f. W =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2) : a+ d ≤ b+ c
}
.
g. W = {A ∈M(2, 2) : AT = TA, onde T é uma matriz fixa em M(2, 2)}.
h. W = {p(x) ∈ P2(R) : p(0) = 0}.
i. W = {p(x) ∈ P2(R) : p(0) = 2p(1)}.
j. W = {p(x) ∈ P2(R) : p(x) + p′(x) = 0}.
Q2. Seja V um espaço vetorial reais. Dados W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V Mostre que:
a. A interseção W = W1 ∩W2 é um subespaço vetorial de V .
b. A soma W = W1 +W2 é um subespaço vetorial de V
Q3. Suponhamos que um espaço V seja escrito como soma direta de dois subespaços W1 e W2.
Mostre que, para todo u ∈ V , existem vetores únicos u1 ∈W1 e u2 ∈W2 tais que u = u1 + u2.
Q4. Consideremos v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1) vetores em R3.
a. Escreva v = (−4,−18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2.
b. Mostre que = (4, 3,−6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2.
c. Determine uma condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos
vetores v1 e v2.
Q5. Quais dos seguinte vetores são combinações lineares de u = (0,−2, 2) e v = (1, 3,−1)?
a) (2, 2, 2) b) (3, 1, 5) c) (0, 4, 5) d) (0, 0, 0)
1
Q6. Expresse os vetores abaixo como combinação linear de p1 = 4x
2 + x+ 2, p2 = 3x
2 − x+ 1 e
p3 = 5x
2 + 2x+ 3.
a) −15x2 − 7x− 9 b) 6x2 + 11x+ 6 c) 9x2 + 8x+ 3 d) 0
Q7. Considere
W1 = {(x, y) ∈ R2 : x = y}.
Encontre um subespaço W2 de R2 tal que R2 = W1 ⊕W2.
Q8. Verifique que qualquer vetor de R2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores
(1, 2) e (5, 0). Que relação existe entre R2 e [(1, 2), (5, 0)]?
Q9. Determine o valor de k para que o vetor u = (−1, k,−7) seja combinação dos vetores
v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1).
Q10. Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0)
e w = (2,−3, 5).
Q11. Mostre que a matriz
[
4 −4
−6 16
]
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
[
1 2
3 4
]
,
[
−1 2
3 −4
]
e
[
1 −2
−3 4
]
Q.12 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), e justifique o porquê de sua resposta.
( ) O vetor v = (1,−1, 2) pertence ao subespaço gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
( ) Qualquer vetor em R3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores u = (−5, 3, 2)
e v = (3,−1, 3).
Q13. Seja V = R3. Determine o subespaço gerado pelos vetores v1 = (1,−2,−1) e v2 = (2, 1, 1).
Q14. Mostre que o conjunto {(3, 1), (5, 2)} gera o R2.
Q15. Sejam V = M(2, 2) e o subconjunto
A =
{[
−1 2
−2 3
]
,
[
3 −1
1 1
]}
Determine o subespaço gerado por A.
Q16. Encontre geradores para os seguintes subespaços de R3:
a. W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0}.
b. W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = x− 2y = 0}.
c. W3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y − 3z = 0}.
d. W1 ∩W2.
e. W2 + W3.
Q17. Sejam u, v e w vetores de um espaço V . Sabendo-se que {u,v,w} é um conjunto LI,
mostre que:
2
a. {u + v− 2w,u− v−w,u + w} é um conjunto LI.
b. {u + v− 3w,u + 3v−w,v + w} é um conjunto LD.
Q18. Sejam u = (a, b), v = (c, d) vetores de R2. Mostre que o conjunto {u,v} é LD se, e somente
se, ad = bc.
Q19. O conjunto {1, x, x2, 2 + x+ 2x2} é LI ou LD em P3? Retirando-se um elemento qualquer
desse conjunto, o conjunto restante é LI ou LD?
Q20. Para que valores reais de x,{
(1, 0, x), (1, 1, x), (1, 1, x2)
}
é uma base de R3?
Q21. Determine o valor de k para que o conjunto {(1, 0,−1), (1, 1, 0), (k, 1,−1)} seja LI.
Q22. Sejam os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2) e v3 = (0, 0, 1).
a. Mostre que o conjunto β = {v1, v2, v3} é uma base do R3.
b. Determine as coordenadas de v = (5, 4, 2) em relação à base β.
c. Determine o vetor v cuja coordenada em relação à base β é [v]β =
 2−3
4

Q23. Em R2,, considere o conjunto β = {(2, 1), (1,−1)}. Mostre que β é uma base de R2 e
calcule [(4,−1)]β e [(x, y)]β. .
Q24. Ache a matriz de mudança da base α = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} para a base canônica
de R3.
Q25. Sejam α e β bases de R3 tais que
[I]αβ =
1 1 00 1 0
1 0 1
 .
Se v ∈ R3 e
[v]β =
 2−3
5
 ,
encontre [v]α.
Q26. A matriz de mudança de uma base α de R2 para a base β = {(1, 1), (0, 2)} é
[I]αβ =
[
1 0
2 3
]
.
Determine a base α.
Q27. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)}, β = {(−1, 1), (1, 1)} e θ = {(2, 0), (0, 2)} bases de R2. Se
[v]β =
[
−1
3
]
, determine [v]α e [v]θ.
3