AL_cap_09

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66 
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
 CAPÍTULO 9 
OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS 
 
No capítulo 8, vimos que é possível determinar a matriz de uma transformação linear ou 
de um operador linear em relação a qualquer base dos espaços onde elas estão definidas. O objetivo 
deste capítulo é: dado um operador linear VV:T → , determinar uma base de V, em relação a 
qual, a matriz de T seja a mais simples possível. Na verdade esta matriz será uma matriz diagonal. 
 
1 AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 
 
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K (complexos ou reais). Seja VV:T → um 
operador linear. Um vetor Vv ∈ , 0v ≠ , é um auto-vetor de T, se existir um escalar 
K∈λ tal que v)v(T λ= . Neste caso, λ é chamado de auto-valor de T associado ao 
auto-vetor v. 
 
OBS: São sinônimos: auto-valor, valor próprio ou valor característico. 
São sinônimos: auto-vetor, vetor próprio ou vetor característico. 
 
Proposição (1): Seja VV:T → um operador linear. O auto-valor λ é univocamente determinado 
pelo auto-vetor v de T. 
 
OBS: A proposição (1) nos diz que cada auto-vetor está associado a apenas um auto-valor. Mas 
cada auto-valor pode gerar até infinitos auto-vetores, com veremos a seguir. 
 
Seja VV:T → um operador linear. Seja λ um auto-valor. Note que, o conjunto 
}v)v(T/v{ λ= é um subespaço vetorial de V, pois: v)v(T λ= ⇒ 0v)v(T =λ− ⇒ 
0)v(Id)v(T =λ− ⇒ 0)v)(IdT( =λ− ⇒ )IdT(Kerv λ−∈ . O que acabamos de demostrar é que 
}v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− . 
 
Definição: Seja VV:T → um operador linear. O subespaço }v)v(T/Vv{)IdT(Ker λ=∈∀=λ− é 
chamado de subespaço próprio e será denotado por V(λλλλ). 
 67 
 
Exemplo (1): Seja 22:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T = , que é a reflexão em 
torno da bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Determine os subespaços próprios, se 
existirem. 
Solução: Vamos verificar se existem auto-valores. Sejam 2)y,x(v ℜ∈= , 0v ≠ e ℜ∈λ tal que 
v)v(T λ= . Então )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ= ⇒ 



λ=
λ=
yx
xy
 ⇒ 1±=λ . Logo, 
existem auto-valores 1±=λ . Determinando os auto-vetores associados a cada auto-valor, 
teremos: 
Para 11 =λ ⇒ 



⋅=
⋅=
y1x
x1y
 , ou seja, 11 =λ gera todo vetor da forma )x,x(v1 = . Mais 
precisamente, 11 =λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V
2
=ℜ∈= que a reta 
bissetriz do 1º e 3º quadrantes, onde 11 v)v(T = 
Para 12 −=λ ⇒ 



⋅−=
⋅−=
y1x
x1y
 , ou seja, 12 −=λ gera todo vetor da forma )x,x(v2 −= . 
Mais precisamente, 12 −=λ gera o subespaço próprio }xy/)y,x{()1(V
2
−=ℜ∈=− 
que a reta bissetriz do 2º e 4º quadrantes, onde 22 v)v(T −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V(1) V(-1) 
T(v1) = v1 T(v2) = -v2 
v2 
T(w) 
w 
y 
x 
 68 
Note que, w não é auto-vetor, pois não existe um escalar λ tal que w)w(T λ= . 
Exemplo (2): Seja 22:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )x,y()y,x(T −= , que é a rotação de 
90o em torno da origem. Determine os subespaços próprios, se existirem. 
Solução: Não existem escalares ℜ∈λ tais que )y,x()y,x(T λ= , ou seja, não existem auto-valores 
nem auto-vetores, pois: )y,x()y,x(T λ= ⇒ )y,x()x,y( λ=− ⇒ 



λ=
λ=−
yx
xy
 ⇒ 
ℜ∉−±=λ⇒−=λ⇒λ−λ= 11)x(x 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (3): Seja 33:T ℜ→ℜ o operador linear dado por )0,y,x()z,y,x(T = , que é a projeção 
ortogonal sobre o plano xy. Determine os subespaços próprios, se existirem. 
Solução: Seja ℜ∈λ e 0v,)z,y,x(v 3 ≠ℜ∈= tal que )z,y,x()z,y,x(T λ= ⇒ )z,y,x()0,y,x( λ= 
⇒ 





λ=
λ=
λ=
z0
yy
xx
 ⇒ 



=λ
=λ
0
1
2
1 
Para 11 =λ ⇒ )0,y,x(v1 = , ou seja, }0z/)z,y,x{()1(V
3
=ℜ∈= é o subespaço 
próprio gerado por 11 =λ que é o plano xy. 
Para 02 =λ ⇒ )z,0,0(v2 = , ou seja, }0yx/)z,y,x{()0(V
3
==ℜ∈= é o subespaço 
próprio gerado por 02 =λ que é o eixo Oz.. 
 
y 
x 
T(v) v 
 69 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chama-se polinômio característico da matriz 
A, denotado por )(PC λ , ao seguinte determinante: )IdAdet( λ− , ou seja, se 














=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A , então: 
λ−
λ−
λ−
=λ
nn2n1n
n22221
n11211
C
a...aa
............
a...aa
a...aa
)(P . Onde Id é o 
operador linear identidade. 
 
 
Proposição (2): Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico. 
 
Exemplo (4): Mostre que as matrizes 





=
12
31
A e 






−−
−
=
2
1
2
3
2
5
2
5
B são semelhantes. 
Solução: Usando a proposição (2), vamos determinar os polinômios característicos das matrizes A e 
B. Então: 
λ−
λ−
=λ−=λ
12
31
)IdAdet()(P AC ⇒ 52)(P
2
AC −λ−λ=λ 
x V(1) 
V(0) 
T(v2) 
v1 
T(v1) 
y 
z 
v2 
 70 
λ−−−
−λ−
=λ−=λ
2
1
2
3
2
5
2
5
BC )IdBdet()(P ⇒ 52)(P
2
BC −λ−λ=λ 
Como BCAC )(P)(P λ=λ , pela proposição (2) A e B são semelhantes. 
Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. Chama-se 
polinômio característico do operador T, cuja notação é )(PT λ , ao polinômio 
característico da matriz de T em relação a qualquer base. 
 
Exemplo (5): Seja 33:T ℜ→ℜ o operador linear definido por )zx,yx,x()z,y,x(T ++= . 
Determine o polinômio característico de T em relação a: 
 a) base canônica do ℜ3. 
b) )}2,1,1(),0,3,2(),1,0,1{(B −= . 
Solução: a) 





=
=
=
)1,0,0()1,0,0(T
)0,1,0()0,1,0(T
)1,1,1()0,0,1(T
 ⇒ 










=
101
011
001
]T[ C ⇒ 
λ−
λ−
λ−
=λ
101
011
001
)(PT ⇒ 
133)1()(P 233T +λ−λ+λ−=λ−=λ 
b) 





=−
=
=
)3,0,1()2,1,1(T
)2,5,2()0,3,2(T
)2,1,1()1,0,1(T
 ⇒ 









 −−−
=
2105
252
9188
]T[ C ⇒ 
λ−
λ−
−−λ−−
=λ
2105
252
9188
)(PT 
⇒ 133)1()(P 233T +λ−λ+λ−=λ−=λ 
Portanto, independente da base o polinômio característico de um operador linear T é 
sempre o mesmo. 
 
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → um operador linear. As 
raízes do polinômio característico do operador T são os auto-valores. 
 
 
2 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES 
 
Teorema (1): Auto-vetores associados a Auto-valores distintos são LI. 
 
Corolário (1): Se V é um espaço vetorial de dimensão n e VV:T → é um operador linear que 
admite n auto-valores distintos, então V possui uma base cujos elementos são auto-
vetores de T. 
 71 
OBS: Se VV:T → é um operador linear e }v,...,v,v{B n21= é uma base de auto-vetores de T, 
então 














λ
λ
λ
=
n
2
1
B
...00
............
0...0
0...0
]T[ . Onde os λi são os auto-valores, não necessariamente 
distintos. Reciprocamente, se }u,...,u,u{'B 321= é uma base de V e 














=
n
2
1
B
a...00
............
0...a0
0...0a
]T[ , então os ui são auto-vetores de T associados aos auto-valores ai. 
Portanto, esta observação nos diz que: A matriz B]T[ de um operador linear VV:T → , em 
relação a base B, é uma matriz diagonal se, e somente se, essa base B é formada por auto-
vetores de T. 
 
Definição: Seja VV:T → um operador linear. Dizemos que T é um Operador Diagonalizável se 
existir uma base de V formada por auto-vetores de T. 
 
OBS: Quando um operador é diagonalizável, sua matriz, em relação a base B de auto-vetores, é 
uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-valores, ou seja, então 














λ
λ
λ
=
n
2
1
B
...00
............
0...0
0...0
]T[ , onde os λi são os auto-valores. Na verdade, quem determina a 
posição dos auto-valores na diagonal é a posição dos auto-vetores dentro da base B. A 
matriz B]T[ é formada por blocos de ordem n, respectivamente igual a multiplicidade das 
raízes do polinômio característico, ou seja, respectivamente igual a multiplicidade dos auto-
valores. Por exemplo: se o polinômio característico de um operador linear está na forma 
fatorada 2C )3()4()(P +λ⋅−λ=λ , isso significa que a raiz 41 =λ tem multiplicidade igual a 
1, então elaaparece na diagonal um vez, formando um bloco de ordem 1; a raiz 32 −=λ 
tem multiplicidade igual a 2, então ela aparece na diagonal duas vezes, formando um bloco 
de ordem 2. Portanto, a matriz B]T[ pode apresentar as seguintes formas: 
 
 72 










−
−
300
030
004
 ou 










−
−
400
030
003
 
 
Exemplo (6): Verificar quais dos operadores abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a 
matriz de T em relação a base de auto-vetores. 
a) )y3x2,y4x()y,x(T ++= 
b) )z4y6x3,z2y4x,z6y6x5()z,y,x(T −−++−−−= 
Solução: a) Vamos determinar os auto-valores determinando o polinômio característico de T e 
calculando a suas raízes. Como o polinômio característico é o mesmo em relação a 
qualquer base, vamos usar sempre a base canônica para construir a matriz de T. Então: 



=
=
)3,4()1,0(T
)2,1()0,1(T
 ⇒ 





=
32
41
]T[ ⇒ 
λ−
λ−
=λ
32
41
)(PC ⇒ 54)(P
2
C −λ−λ=λ , 
cujas raízes são os auto-valores 1e5 21 −=λ=λ . Para determinar os auto-vetores 
sabemos que v)v(T λ= ⇒ 0)v](IdT[ =λ− . Essa expressão podemos escrevê-la na 
forma matricial. Então, seja )0,0(0e)y,x(v == . 
• Para 51 =λ , temos: 





=





⋅





−
−
0
0
y
x
532
451
⇒ 



=−
=+
0y2x2
0y4x4
 ⇒ yx = . Logo, 
serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,1(x)x,x(v == . Seja )1,1(v1 = um 
representante destes auto-vetores. 
• Para 12 −=λ , temos: 





=





⋅





−−
−−
0
0
y
x
)1(32
4)1(1
⇒ 



=+
=+
0y4x2
0y4x2
 ⇒ y2x −= . 
Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )1,2(y)y,y2(v −=−= . Seja 
)1,2(v2 −= um representante destes auto-vetores. 
• Como )}1,2(),1,1{(B −= é uma base de auto-vetores do ℜ2, então T é um operador 
diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de auto-
vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-
valores, ou seja: 




−
=





−
=
50
01
]T[ou
10
05
]T[ BB . A ordem dos auto-valores 
na diagonal da matriz depende da posição dos auto-vetores dentro da base B. 
 
 73 
b) Determinando o polinômio característico de T: 





−−=
−−=
−=
)4,2,6()1,0,0(T
)6,4,6()0,1,0(T
)3,1,5()0,0,1(T
 ⇒ 










−−
−
−−
=
463
241
665
]T[ ⇒ 485
463
241
665
)(P 23C +λ−λ+λ−=
λ−−−
λ−−
−−λ−
=λ . Então 
2
C )2()1()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 11 =λ com multiplicidade 1 e 
um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2. 
• Para 11 =λ , temos: 










=










⋅










−−
−
−−
0
0
0
z
y
x
563
231
664
⇒





=−−
=++−
=−−
0z5y6x3
0z2y3x
0z6y6x4
 ⇒ 



−=
−=
y3z
y3x
. 
Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo )3,1,3(y)y3,y,y3(v −−=−−= . 
Seja )3,1,3(v1 −−= um representante destes auto-vetores. 
• Para 22 =λ , temos: 










=










⋅










−−
−
−−
0
0
0
z
y
x
663
221
663
⇒





=−−
=++−
=−−
0z6y6x3
0z2y2x
0z6y6x3
 ⇒ 
z2y2x += . Logo, serão gerados todos os auto-vetores do tipo 
)1,0,2(z)0,1,2(y)z,y,z2y2(v +=+= . Sejam )0,1,2(v2 = e )1,0,2(v3 = os 
representantes destes auto-vetores. 
• Como )}1,0,2(),0,1,2(),3,1,3{(B −−= é uma base de auto-vetores do ℜ3, então T é um 
operador diagonalizável. Isso significa que a matriz de T em relação a base B de 
auto-vetores é uma matriz diagonal, cuja diagonal principal é formada pelos auto-
valores, ou seja: 










=










=
100
020
002
]T[ou
200
020
001
]T[ BB . 
 
Exemplo (7): Mostre que o operador linear )z4y2,zy,yx2()y,x(T +−+= não é diagonalizável. 
Solução: Determinando o polinômio característico de T: 





−=
=
=
)4,1,0()1,0,0(T
)2,1,1()0,1,0(T
)0,0,2()0,0,1(T
 ⇒ 
 74 










−=
420
110
012
]T[ ⇒ 12167
420
110
012
)(P 23C +λ−λ+λ−=
λ−
−λ−
λ−
=λ . Então 
2
C )2()3()(P −λ⋅−λ=λ . Logo, temos um auto-valor 31 =λ com multiplicidade 1 e 
um auto-valor 22 =λ com multiplicidade 2. 
• Para 31 =λ , temos: 










=










⋅










−−
−
0
0
0
z
y
x
120
120
011
⇒





=+
=−−
=+−
0zy2
0zy2
0yx
 ⇒ 



−=
=
y2z
yx
. Logo, 
serão gerados todos os auto-vetores do tipo )2,1,1(y)y2,y,y(v −=−= . Seja 
)2,1,1(v1 −= um representante destes auto-vetores. 
• Para 22 =λ , temos: 










=










⋅










−−
0
0
0
z
y
x
220
110
010
⇒





=+
=−−
=
0z2y2
0zy
0y
 ⇒



=−=
=
0yz
0y
. Logo, 
serão gerados todos os auto-vetores do tipo )0,0,1(x)0,0,x(v == . Seja )0,0,1(v2 = 
o representante destes auto-vetores. 
• Como )}0,0,1(),2,1,1{(B −= não é uma base de auto-vetores do ℜ3, então T não é um 
operador diagonalizável. Isso significa que T não possui uma matriz diagonal em 
relação a base qualquer base do ℜ3. 
 
Exercícios Propostos 
1) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a 
matriz do operador em relação a base de auto-vetores. 
a) )z3x2,zy2x,zx2()z,y,x(T +−++= 
b) t)a7a9()a6a8()taa(T 1o1o1o −+−=+ 
Resp: a) É diagonalizável e ...
400
010
002
ou
200
040
001
ou
400
020
001
]T[ B






























= 
b) É diagonalizável e 




−






−
=
20
01
ou
10
02
]T[ B 
2) Seja )TS(M)TS(M:T 22 → , onde )TS(M 2 é o espaço vetorial das matrizes triangulares 
superiores, cuja base canônica é 
























=
10
00
00
10
,
00
01
C . Mostre que o operador linear 
 75 






++−
=





cb3a0
b3a3
c0
ba
T é um operador diagonalizável e exibir sua matriz em relação a 
base de auto-vetores. 
Resp: É diagonalizável e 




















=
300
030
001
ou
100
030
003
]T[ B 
3) Verificar quais dos operadores lineares abaixo é diagonalizável. Em caso afirmativo, exibir a 
matriz do operador em relação a base de auto-vetores. 
a) )zyx,zyx,zyx()z,y,x(T −−−+++= 
b) 




 +−
=
4
y3x2
,
4
yx6
)y,x(T 
c) )z2,zy,x()z,y,x(T += 
d) )zy3x3,z2yx2,z3y2x()x,y,x(T ++++++= 
Resp: a) É diagonalizável e ...
200
010
002
ou
200
020
001
ou
200
020
001
]T[ B










−









−










−
= 
b) É diagonalizável e 











=
4
5
4
5
B 0
01
ou
10
0
]T[ 
c) Não é diagonalizável. 
d) É diagonalizável e ...
600
010
002
ou
100
020
006
ou
200
010
006
]T[ B










−
−










−
−










−
−=