FT2_Unidade V

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Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
1 
 
UNIDADE 5 
 
ESCOAMENTO LAMINAR INTERNO E 
EXTERNO 
(ESCOAMENTO EM UM TUBO) 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
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ESCOAMENTO EM UM TUBO 
Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
Forma Diferencial da Equação da Quantidade de Movimento em 
coordenadas cilíndricas: 
 
Direção radial: 

















































z
V
V
r
VV
r
V
r
V
V
t
V
z
VV
r
2V
r
1
r
V
r
V
r
1
r
V
r
P
g
r
z
2
rr
r
r
2
r
2
22
r
2
22
rr
2
r
2
r
Direção tangencial: 
















































z
V
V
r
VVV
r
V
r
V
V
t
V
z
VV
r
2V
r
1
r
V
r
V
r
1
r
VP
r
1
g
z
r
r
2
2
r
22
2
222
2
3 
Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
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Direção axial: 








































 
z
V
V
V
r
V
r
V
V
t
V
z
VV
r
1
r
V
r
1
r
V
z
P
g zz
zz
r
z
2
z
2
2
z
2
2
z
2
z
2
z
Equação da Continuidade em coordenadas cilíndricas: 
     
0
z
VV
r
1
r
Vr
r
1
t
zr 










 
4 
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Comprimento de entrada em tubos 
Comprimento de entrada para escoamento laminar completamente 
desenvolvido num tubo circular é dado pela expressão: 
DRe06,0Le 
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Para um escoamento laminar, permanente, incompressível, 
completamente desenvolvido num tubo circular, a simetria 
axial e a ausência de rotação significa não existir 
componente radial nem tangencial da velocidade, ou seja: 
0VV r 
6 
Escoamento laminar, permanente, incompressível, completamente desenvolvido num tubo 
circular 
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Desprezando as forças volumétricas para o escoamento num 
tubo, as equações podem ser reduzidas da seguinte forma: 

















































z
V
V
r
VV
r
V
r
V
V
t
V
z
VV
r
2V
r
1
r
V
r
V
r
1
r
V
r
P
g
r
z
2
rr
r
r
2
r
2
22
r
2
22
rr
2
r
2
r
Direção radial: 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 
0
r
P



Assim, 0
r
P



7 
ou, 
Fenômenos de Transporte II 
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















































z
V
V
r
VVV
r
V
r
V
V
t
V
z
VV
r
2V
r
1
r
V
r
V
r
1
r
VP
r
1
g
z
r
r
2
2
r
22
2
222
2
Direção tangencial: 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 Assim, 0
P
r
1




0
P



8 
ou, 
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Direção axial: 








































 
z
V
V
V
r
V
r
V
V
t
V
z
VV
r
1
r
V
r
1
r
V
z
P
g zz
zz
r
z
2
z
2
2
z
2
2
z
2
z
2
z
As equações na direção radial e tangencial mostram que: ),r(PP 
Portanto, a Equação de Navier-Stokes, em coordenadas cilíndricas e na 
direção axial, se reduz a uma única equação: 









dr
dV
r
1
dr
Vd
dz
dP z
2
z
2
Ou na forma conservativa: 












dr
dV
r
dr
d
dz
dP
r z
(Equação 1) 
0 0 0 0 0 0 0 
9 
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As condições de contorno para a Equação 1 são: 
0rpara0
dr
dV
Rrpara0V
z
z


Assim, integrando a Equação 1, temos: 







 dr
dV
r
dr
d
dz
dP1
r z  






 dr
dV
rdrdr
dz
dP1 z
10 
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dr
dV
rC
dz
dP1
2
r z
1
2


dr
dV
r
C
dz
dP
2
1
r z1 

 







z
1 dVdr
r
C
dz
dP
2
1
r
21
2
z CrlnC
dz
dP
4
1
rV 


11 
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Substituindo as condições de contorno, determinamos 
que 
 
 C1 = 0 e 
2
2 R
dz
dP
4
1
C


A expressão para o perfil de velocidades é: 
 22z rR
dz
dP
4
1
V 


Esta é a equação de uma parábola 
12 
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Verifica-se facilmente que o valor máximo da velocidade 
ocorre para r = 0: 
2
max R
dz
dP
4
1
V


O sinal menos da equação é fisicamente correto, uma vez 
que a pressão num escoamento viscoso decresce com a 
distância, isto é, é negativa. 
dz
dP
13 
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A velocidade média pode ser obtida pela integração do 
fluxo da velocidade sobre a área da seção reta e dividindo-
se o resultado pelo valor da área desta seção, ou seja: 
 

R
0
z2m
rdr2V
R
1
V
  



R
0
22
2m
rdr2rR
dz
dp
4
1
R
1
V
2
m R
dz
dp
8
1
V


maxm V
2
1
V 
14 
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Na prática da engenharia é comum exprimir o gradiente de 
pressão em termos de um fator de atrito, f, definido por: 
2
V
D
f
dz
dp 2

Integrando a expressão acima de P1 até P2, num 
comprimento L1 até L2, temos: 
2
V
D
f
L
p 2


(Equação de Darcy-Weisbach) 
15 
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Substituindo-se a equação: 
2
V
D
f
dz
dp 2

na equação da velocidade média, 
2
m R
dz
dp
8
1
V


resulta: 
22
2
D
2
V
D
f
8
1
V 







A qual, depois de ser resolvida para f, fornece: 
Re
64
f 
16 
Fator de atrito de Darcy 
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Este resultado foi verificado experimentalmente, tanto para 
tubos lisos quanto para tubos rugosos, para ReD até cerca 
de 2000 (número de Reynolds laminar em tubos). 
 
Onde: ou, 



VL
Re


VL
Re
L é o comprimento característico do escoamento, que para 
um tubo é dado pelo diâmetro, D. 
17 
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Dutos não circulares: para dutos não circulares o 
comprimento característico utilizado no número de 
Reynolds, , é dado pelo diâmetro hidráulico. 
 
 
onde P é o perímetro do duto molhado pelo líquido. 


VL
Re
P
A4
Dh 
18 
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É útil se escrever as equações operativas em termos da vazão 
volumétrica Q. Assim, ou, 
Multiplicando a equação da velocidade médiade ambos os lados pela 
área do tubo, obtemos: 
 
Integrando sobre um comprimento finito L, obtemos a seguinte perda 
de pressão devida ao escoamento de um fluido viscoso: 
VAQ 
4
D
VQ
2

4D
Q128
dz
dp



421 D
LQ128
PPp



19 
4
D
R
dz
dp
8
1
4
D
VQ
2
2
2
m





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Ou dividindo-se toda a expressão pela massa 
específica, , temos a perda de carga do sistema: 
 
 
Ou ainda em termos do fator de atrito: 
4L D
LQ128
h
p





20 
L
2
V
D
f
h
p 2
L 


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EXERCÍCIOS 
DE 
ESCOAMENTO EM TUBOS 
21 
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EXEMPLO 1: Calcular a queda de pressão e a perda de carga numa extensão linear de 
100ft para o escoamento da água com velocidade de 0,5ft/s a 70oF num tubo de 
diâmetro igual a ½in. Supor escoamento completamente desenvolvido. 
SOLUÇÃO: 
A viscosidade cinemática da água a 70oF é 1,06x10-5ft2/s e massa específica de 1,94 
slug/ft3. 
O número de Reynolds para este escoamento é: 
22 
962.1
s/ft1006,1
in12
ft1
in
2
1
s
ft
5,0
VD
Re
25






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Uma vez que Re < 2000, o escoamento é laminar e o fator de atrito é 
dado por: 
A queda de pressão em 100ft de tubo é dada por: 
 
 
A perda de carga é dada por: 
21026,3
962.1
64
Re
64
f 
2
2
322
ft
lbf
9,18
2
)s/ft5,0(
ft
slug
94,1
ft100
in12
ft1
in
2
1
1026,3
2
V
L
D
f
p 





23 
slug
ftlbf
7,9
ft/slug94,1
ft/lbf9,18p
h
3
2
L





Fenômenos de Transporte II 
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Exemplo 2: Repetir o exemplo anterior para o fluido 
hidráulico Univis J-43 a 100oF, com viscosidade cinemática 
igual a 1,75x10-4ft2/s e massa específica de 1,63 slug/ft3. 
 
R.: , 2ft
lbf
89,262p 
24 
slug
ftlbf
3,161
p
hL





Fenômenos de Transporte II 
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Exemplo 3: Determine uma expressão para o número de 
Reynolds em função da vazão volumétrica em dutos 
circulares. 
 
R.: ou 
25 


D
Q4
Re



D
Q4
Re
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Exemplo 4: Ar padrão entra em um duto de 0,25m de diâmetro. 
Determine a vazão em volume na qual o escoamento ainda pode ser 
laminar (Re = 2300). Para esta vazão, estime o comprimento de entrada 
necessário para estabelecer escoamento completamente desenvolvido. 
Utilize a viscosidade cinemática do ar igual a 1,46x10-5m2/s. 
R.: Q = 0,0066m3/s; Le = 34,5m 
26 
Fenômenos de Transporte II 
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Exemplo 5: Um escoamento ocorre em um canal 
horizontal de 1,27cm x 50,8cm, com Re = 2000. Calcule a 
vazão, se o fluido é: 
(a)Água a 15oC ( = 1,14x10-6m2/s) R.: Q = 0,0006m3/s 
(b)Ar atmosférico a 15oC ( = 1,46x10-5m2/s) 
 R.: Q = 0,0075m3/s 
27 


Fenômenos de Transporte II 
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Exemplo 6: Ocorre uma queda de pressão de 482Pa sobre 
uma seção de um tubo de diâmetro de 2cm transportando 
água à 20oC. Determine o comprimento da seção horizontal se 
o número de Reynolds é 1600. Encontre também o fator de 
atrito. 
Dados: 
 
 
R.: L = 73,8m e f = 0,04 
28 
3C20
26
C20
m
kg
998
s/m10x01,1
o
o

 
Fenômenos de Transporte II 
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Exemplo 7: Um fluido escoa em regime permanente entre duas placas 
paralelas. O escoamento é completamente desenvolvido e laminar. A 
distância entre as placas é 2h. 
(a)Deduza uma expressão para a tensão de cisalhamento em função de y, 
para a equação do perfil de velocidades dada por:R.: 
 
 
 
Sabendo que a Lei da viscosidade de Newton é dada pela expressão: 
 
 
(b)Para µ = 2,4x10-5lbf s/ft2, e h = 0,025, calcule a máxima 
 
tensão de cisalhamento em lbf/ft2, que ocorre em ±h . 
 
R.: e 
29 
 22 yh
dx
dP
2
1
u 


dy
du
yx 
3ft
lbf
4
dx
dP

dx
dP
yyx 
2hy ft
lbf
1,0
 2hy ft
lbf
1,0

Fenômenos de Transporte II 
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Exemplo 8: Uma agulha hipodérmica, de diâmetro interno d = 0,1mm e 
comprimento L = 25mm, é utilizada para injetar uma solução salina com 
viscosidade absoluta cinco vezes a da água. O diâmetro do êmbolo é D = 
10mm; a força máxima que pode ser exercida pelo polegar sobre o 
êmbolo é F = 45N. Estime a vazão volumétrica de solução salina que a 
seringa pode produzir. O escoamento de solução salina é laminar (cheque 
o Re considerando a massa específica da solução salina igual a da água)? 
A viscosidade absoluta da água a 20oC é 1,01x10-3Ns/m e a massa 
específica 999kg/m3. 
R.: ΔP = 573kPa; Q = 11,3x10-9m3/s; Re = 28,5 
30 
Fenômenos de Transporte II 
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31 
LISTA DE EXERCÍCIOS 7 
Fenômenos de Transporte II 
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32 
1- Calcule o comprimento de entrada em um tubo com 4 cm de diâmetro, se 
2x10-4m3/s de água estão escoando a: 
(a) 10oC R.: 12m 
(b) 20oC R.: 15,2m 
(c) 40oC R.: 23.3m 
(d) 80oC R.: 42,43m 
Explique o que acontece com o comprimento de entrada em função do aumento 
da temperatura do fluido. Obs.: foi utilizada a expressão 
Le = 0,06.ReD.D 
Fluido: água 
3
C10
m/kg1000o  s/m10x3,1
26
C10o

3
C20
m/kg998o  s/m10x01,1
26
C20o

3
C40
m/kg992o  s/m10x59,6
27
C40o

3
C80
m/kg972o  s/m10x62,3
27
C80o

Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
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33 
2- Óleo a 20oC (ρ = 888kg/m3 e μ = 0,800kg/ms) escoa 
estacionariamente através de um tubo de 5cm de diâmetro e 40m de 
comprimento.A pressão na entrada e saída do tubo é medida como 
745kPa e 97kPa, respectivamente. Determine a vazão de óleo através 
do tubo. 
R.: Q = 0,00311m3/s 
Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
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3- Um líquido é bombeado através de um tubo de 8cm de diâmetro a 
uma vazão de 0,0002m3/s. Calcule a queda de pressão numa seção 
horizontal de 10m, se o líquido é: 
(a) Água a 20oC R.: 1,996Pa 
(b) Glicerina a 40oC R.: 2.973,6Pa 
DADOS: 
Fluido: água 
 
Fluido: glicerina 
3
C20
m/kg998o  s/m10x01,1
26
C20o

3
C40
m/kg1260o  s/m10x18,1
23
C40o

Fenômenos de Transporte II 
Unidade 5 – Escoamento Laminar Interno e Externo 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
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4- Considere uma pessoa caminhando primeiro no ar e depois na água 
à mesma velocidade. Para qual movimento o número de Reynolds será 
mais alto? Dados: e . 
 
5- Água a 15oC (ρ = 999,1kg/m3 e μ = 1,138x10-3kg/ms) escoa em 
regime permanente em um tubo horizontal com 0,30cm de diâmetro e 
4cm de comprimento, feito de aço inoxidável a uma taxa de 0,008m3/s. 
Determine o valor do Número de Reynolds. O escoamento é laminar ou 
turbulento? Porque? 
s/m10x562,1 25
)C25(ar o
 s/m10x9,8 27
)C25(agua o
