APOL DE ALGEBRA LINEAR

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Questão 1/5 - Álgebra Linear 
Leia com atenção as informações abaixo: 
 
Considere os vetores do R3R3,u=(−1,2,3), v=(3,−4,5) e w=(8,1,2),u=(−1,2,3), v=(3,−4,5) e w=(8,1,2). 
 
Dado que dois vetores são ortogonais se o seu produto interno é zero. 
 
 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa correta. 
 
Nota: 20.0 
 
A Apenas os vetores u e vu e v são ortogonais. 
 
B Os três vetores são ortogonais. 
 
C Apenas os vetores u e wu e w são ortogonais. 
Você acertou! 
Efetuando o produto interno entre os vetores, apenas u e wu e w tem produto interno igual a zero. Logo, apenas u e wu e w são ortogonais. 
u.v=(−1,2,3).(3,−4,5)=−3−8+15=4v.w=(3,−4,5).(8,1,2)=24−4+10=30u.w=(−1,2,3).(8,1,2)=−8+2+6=0u.v=(−1,2,3).(3,−4,5)=−3−8+15=4v.
w=(3,−4,5).(8,1,2)=24−4+10=30u.w=(−1,2,3).(8,1,2)=−8+2+6=0 
(livro-base p. 146). 
 
D Os vetores u, v, e wu, v, e w não são ortogonais entre si. 
 
E Não existe produto interno entre esses vetores. 
 
Questão 2/5 - Álgebra Linear 
Seja a transformação linear T:R2→R2T:R2→R2, definida por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y)T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y). 
 
 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, encontre todos os autovalores e autovetores dessa 
transformação. 
Nota: 0.0 
 
A v1=(−1,25),λ1=2u2=(2,−1),λ=−2v1=(−1,25),λ1=2u2=(2,−1),λ=−2 
 
B v1=(−1,2),λ1=1u2=(1,1),λ2=3v1=(−1,2),λ1=1u2=(1,1),λ2=3 
 
C v1=(2,14),λ1=2u2=(−2,−1),λ2=3v1=(2,14),λ1=2u2=(−2,−1),λ2=3 
 
D v1=(5,1),λ1=0u2=(3,−1),λ2=−4v1=(5,1),λ1=0u2=(3,−1),λ2=−4 
 
E v1=(1,1),λ1=1u2=(4,1),λ2=−2v1=(1,1),λ1=1u2=(4,1),λ2=−2 
A matriz que representa a transformação T é dada por: 
 
[T]=[−34−12][T]=[−34−12] 
Determinamos o polininômio característico: 
 
P(λ)=det(A−Iλ)=∣∣∣−3−λ4−12−λ∣∣∣P(λ)=det(A−Iλ)=|−3−λ4−12−λ| = λ2+λ−2=0λ2+λ−2=0. 
 
Resolvendo a equação, temos λ1=1 e λ2=−2λ1=1 e λ2=−2 
 
Para o cálculo dos autovetores, devemos resolver o sistema: 
 
Av=λ.vAv=λ.v 
 
para λ1=1λ1=1 
 
[−34−12][−34−12].[xy][xy] = 1.[xy]1.[xy] 
temos o sistema linear 
 
{−4x+4y=0−x+y=0{−4x+4y=0−x+y=0 
resolvendo o sistema, temos que x=yx=y v1=(1,1).v1=(1,1). 
 
Para λ2=−2λ2=−2 
[−34−12][−34−12][xy][xy]=−2.[xy]−2.[xy] 
 
temos o sistema linear 
 
{−x+4y=0−x+4y=0{−x+4y=0−x+4y=0 
resolvendo o sistema, temos que x=y4x=y4 ou y=4xy=4x e v2=(4,1)v2=(4,1) 
(livro-base p. 161-167). 
 
Questão 3/5 - Álgebra Linear 
Leia o enunciado abaixo: 
 
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Se W forma um espaço vetorial em relação às operações de V, dizemos que W é 
um subespaço vetorial de V. 
 
 
De acordo com o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas: 
 
I. O subconjunto W={(x1,0); x1∈R}W={(x1,0); x1∈R} é um subespaço vetorial de V=R2.V=R2. 
 
II. Considere V={f:R→R; f é função}.V={f:R→R; f é função}. O subconjunto W={f:R→R;f é contínua}W={f:R→R;f é contínua} é um subespaço vetorial 
de V.V. 
 
III. Seja V=M2(R)V=M2(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. O subconjunto W={A∈V;detA≠0}W={A∈V;detA≠0} é subespaço 
vetorial de V.V. 
Está correto o que se afirma em: 
Nota: 20.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
Você acertou! 
A afirmativa I é verdadeira. De fato, considere x,y∈W.x,y∈W. Logo, existem x1,y1∈Rx1,y1∈R tais 
que x=(x1,0) e y=(y1,0).x=(x1,0) e y=(y1,0). Para qualquer c∈R,c∈R, temos cx+y=(cx1+y1,0)∈W,cx+y=(cx1+y1,0)∈W, o que mostra que WW é 
um subespaço vetorial de R2.R2. A afirmativa II também é verdadeira, pois se f e gf e g são funções contínuas e c∈Rc∈R, então a 
função (cf+g)(cf+g) é contínua. Já a afirmativa III é falsa, pois A=[1001] e B=[−100−1]A=[1001] e B=[−100−1] pertencem a WW, 
mas A+B∉WA+B∉W 
 
(livro-base p. 82-87). 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 4/5 - Álgebra Linear 
Abaixo estão apresentadas duas etapas do escalonamento da matriz A=⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦:A=[1−2110−1042]: 
 
⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦ L2←L2−L1 ⎡⎢⎣1−210x−2042⎤⎥⎦ L3←L3−2L2 ⎡⎢⎣1−210x−200y⎤⎥⎦.[1−2110−1042] L2←L2−L1 [1−210x−2042] L3←L3−2L2 [1−210x−2
00y]. 
 
 
Assinale a alternativa que contém o valor de xx e o valor de yy: 
Nota: 20.0 
 
A x = -2 e y = 4. 
 
B x = -2 e y = -6. 
 
C x = 2 e y = -6. 
 
D x = 2 e y = 6. 
Você acertou! 
Aplicando a operação elementar: L2←L2−L1,L2←L2−L1, temos x=0−(−2)=2.x=0−(−2)=2. Por fim, aplicando a 
operação: L3←L3−2L2,L3←L3−2L2, encontramos y=2−2(−2)=6y=2−2(−2)=6 
 
(livro-base p. 56-61). 
 
E x = 2 e y = 4. 
 
Questão 5/5 - Álgebra Linear 
Seja B = {(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)}{(1,1,1),(−2,1,1),(0,−1,1)} base do R3R3. 
 
 
De acordo com a base do R3R3 dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, verifique se a base do R3R3 dada é ortonormal. Se 
não for, obtenha, a partir de B, uma base B' que seja ortonormal. 
Nota: 20.0 
 
A B é base ortonormal. 
 
B B´={(1√3,1√3,1√3),(−2√6,1√6,1√6),(0,−1√2,1√2)}B´={(13,13,13),(−26,16,16),(0,−12,12)} 
 
Você acertou! 
O conjunto é uma base, pois (1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0.(1,1,1).(−2,1,1)=0,(1,1,1).(0,−1,1)=0 e (−2,1,1).(0,−1,1)=0. Porém não são ortonormais (base de vetores unitários). Ortonormalizando os 
vetores: u1=v1|v1|=(1,1,1)√ 12+12+12 =1√ 3 .(1,1,1)u2=v2|v2|=(−2,1,1)√ (−2)2+12+12 =1√ 6 .(−2,1,1)u3=v3|v3|=(0,−1,1)√ 02+(−1)2+12 =1√ 2 .(0,−1,1)u1=v1|v1|=(1,1,1)12+12+12=13.(1,1,1)u2=v2|v2|=(−2,1,1)(−2)2+12+12=16.(−2,1,1)u3=v3|v3|=(0,−1,1)02+(−1)2+12=12.(0,−1,1) 
(livro-base p. 150-152 
 
C B´={(1√4,2√4,−3√4),(3√20,0,1√20),(1√5,−5√5,−3√5)}B´={(14,24,−34),(320,0,120),(15,−55,−35)} 
 
D B´={(1√5,2√5,−3√5),(3√10,0,1√10),(1√3,−5√3,−3√3)}B´={(15,25,−35),(310,0,110),(13,−53,−33)} 
 
E B´={(−1√14,−2√14,3√14),(3√10,0,1√10),(1√35,−5√35,−3√35)}B´={(−114,−214,314),(310,0,110),(135,−535,−335)}