Exercícios resolvidos de medidas de dispersão

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Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de 
variabilidade ou dispersão em torno da média. 
Servem para medir a representatividade da média.
Dispersão
x
ix
JK
Estatística Descritiva
Sejam as séries:
a) 20, 20, 20
b) 15, 10, 20, 25, 30
A pesar das séries terem médias iguais, na série “a” não existe 
dispersão, enquanto na série “b” apresentam dispersões em torno 
da média 20.
Assim, a média é muito mais representativa para a série “a” do 
que a série “b”.
20ax 
20bx 
JK
Estatística Descritiva
Medidas de dispersão
- Amplitude total
- Desvio Médio
- Variâncias: Amostral e Populacional
- Desvio Padrão
- Coeficiente de Variação
JK
Estatística Descritiva
Amplitude Total
É o maior valor da série menos o menor valor da série.
R = xmáx – xmin
Exemplo: Para a série 10, 12, 20, 22, 25, 33, 38
R = 38 – 10 = 28
A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito 
limitada, pois, sendo uma medida que depende apenas dos valores 
externos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores 
internos.
JK
Estatística Descritiva
Desvio Médio
Define-se desvio médio como:
Os desvios são considerados em módulo, para evitar que a soma seja 
nula.
. .d F x x F
DM
n n

  
JK
Estatística Descritiva
Exemplo: Calcular desvio médio da distribuição a seguir:
X F XF .F
5 2 10
7 3 21
8 5 40
9 4 36
11 2 22
16 129
dx x d 
129 8,06
16
XF
x
n
  
JK
Estatística Descritiva
X F XF .F
5 2 10 6,12
7 3 21 3,18
8 5 40 0,30
9 4 36 3,76
11 2 22 5,88
16 129 19,24
d
5 8,06 3,06 
7 8,06 1,06 
8 8,06 0,06 
9 8,06 0,94 
11 8,06 2,94 
x x d 
. 19,24 1,20
16
d F
DM
n
  
JK
Estatística Descritiva
Variância
I – Variância Populacional
I I– Variância Amostral
JK
Estatística Descritiva
 22 21 . . XFX F
N N

 
  
 
 

I – Variância Populacional
: indica variância populacional e lê-se sigma ao quadrado.
N : indica o tamanho da população.
: indica o somatório da coluna . 
: indica o somatório da coluna XF ao quadrado.
2
 2XF
2.X F
 22 21 . . XFX F
N N

 
  
 
 

2X F
JK
Estatística Descritiva
X F XF X2F
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
16
Exemplo: Calcular a variância populacional da distribuição a 
seguir:
JK
Estatística Descritiva
X F XF X2F
5 2 10 50
7 3 21 147
8 5 40 320
9 4 36 324
11 2 22 242
16 129 1083
 2 22 21 1 129. . . 1083 2,68
16 16
XF
X F
N N

             

JK
Estatística Descritiva
II – Variância Amostral
: indica variância amostral e lê-se S ao quadrado.
n : indica o tamanho da amostra.
: indica o somatório da coluna .
: indica o somatório da coluna XF ao quadrado.
2S
 2XF
2.X F
 22 21 . .
1
XF
S X F
n n
 
  
  
 

2X F
JK
Estatística Descritiva
X F XF X2F
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
16
Exemplo: Calcular a variância amostral da distribuição a seguir:
JK
Estatística Descritiva
X F XF X2F
5 2 10 50
7 3 21 147
8 5 40 320
9 4 36 324
11 2 22 242
16 129 1083
 2 22 21 1 129. . . 1083 2,86
1 15 16
XF
S X F
n n
             

JK
Estatística Descritiva
Desvio Padrão
Para o cálculo do desvio padrão deve-se determinar o valor da variância 
e, em seguida, extrair a raiz quadrada desse resultado.
i) Desvio Padrão Populacional
ii) Desvio Padrão Amostral
JK
Estatística Descritiva
X F XF X2F
5 2 10 50
7 3 21 147
8 5 40 320
9 4 36 324
11 2 22 242
16 129 1083
 2 22 21 1 129. . . 1083 2,68
16 16
XF
X F
N N

             

2 2,68 1,64   
i) Desvio Padrão Populacional: 2 
JK
Estatística Descritiva
X F XF X2F
5 2 10 50
7 3 21 147
8 5 40 320
9 4 36 324
11 2 22 242
16 129 1083
 2 22 21 1 129. . . 1083 2,86
1 15 16
XF
S X F
n n
             

2 2,86 1,69S S  
ii) Desvio Padrão Amostral: 2S S
JK
Estatística Descritiva
Coeficiente de Variação
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para comparação em 
termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries 
distintas.
i) Coeficiente de Variação Populacional
ii) Coeficiente de Variação Amostral
JK
Estatística Descritiva
i) Coeficiente de Variação Populacional
é desvio padrão populacional.
é a média populacional.
CV é expresso em porcentagens.
.100CV
X



X
JK
Estatística Descritiva
ii) Coeficiente de Variação Amostral
é desvio padrão amostral.
é a média amostral.
CV é expresso em porcentagens.
.100SCV
x

S
x
JK
Estatística Descritiva
Exemplo: Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, 
com desvio padrão de R$ 1.500,00, e o das mulheres é em média de 
R$ 3.000,00, com desvio padrão de R$ 1.200,00. Então:
Para os homens 
Para as mulheres
Logo, podemos concluir que os salários das mulheres 
apresentam maior dispersão relativa que os dos homens.
1500.100 .100 37,50%
4000
CV
X

  
1200.100 .100 40%
3000
CV
X

  
JK
Exercícios de revisão
1) Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e 
para desvio padrão, respectivamente, 19 e 1,67, calcule o coeficiente 
de variação.
2) Na Unigranrio uma turma, de um curso a distância, de 150 alunos 
obteve em um exame final de Matemática, o grau médio de 8,8 e o 
desvio padrão, 0,90. Em estatística, entretanto, o grau médio final foi 
8,3 e o desvio padrão, 0,86. Calcule o coeficiente de variação dessas 
disciplinas.
Resposta: Estatística apresenta maior dispersão.
1,67.100 .100 8,79%
19
SCV
X
  
0,90.100 .100 10,23%
8,8
0,86.100 .100 10,36%
8,3
M
E
SCV
X
SCV
X
  
  
JK
3) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos estatura média 
igual a 165,4 cm e desvio padrão igual a 9,03 cm. A massa corporal 
média desses indivíduos é 62 kg, com desvio padrão de 3,4 kg. Esses 
indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou massa 
corporal?
Resposta: Massa corporal
4) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 170,5 cm, com um 
desvio padrão igual a 7,03 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma 
estatura média de 172,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 5,87. Qual 
é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo 
mais homogêneo?
Resposta: O grupo de 125 moças 
9,03.100 .100 5,46%
165,4
3,4.100 .100 5,48%
62
E
MC
SCV
X
SCV
X
  
  
85 125
7,03 5,87.100 .100 4,12% / CV = .100 .100 3,40%
170,5 172,9
S SCV
X X
    
5) Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 165,9 cm, 
com um coeficiente de variação de 4,3%. Qual o desvio padrão desse 
grupo?
6) Um distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,6 e CV = 
3,5%. Determine a média da distribuição.
4,3.165,9.100 4,3 .100 7,13
165,9 100
S SCV S
X
     
1,6 1,6.100 3,5 .100 .100 45,71
3,5
SCV X
X X
     