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Juros simples Conceito Para chegarmos à fórmula de juros simples, vamos partir de um exemplo concreto. Suponha que você tenha aplicado o capital inicial 600 (vamos ignorar a unidade monetária para simplificar), à taxa de juros 5% a.m., durante o prazo de 1 ano. Quanto receberá de juro no resgate de aplicação? É fácil: se a taxa de juros é de 5% a.m. e o regime de capitalização é de juros simples, significa que por mês você receberá 5% do capital inicial a título de juros (lembre-se: o que caracteriza o regime de juros simples é fato de o juro ser sempre calculado sobre o capital inicial). Logo, em cada mês você receberá 5% de 600, que é igual a 5/100 vezes 600, que é igual a 3.000/100, que, por sua vez, é igual a 30. Se em um mês você ganha 30 de juro, quanto ganhará em um ano? Como um ano tem doze meses, você ganhará doze vezes mais, ou seja: 12 x 30 = 360. No restante da aplicação, você ficará com um montante de 960 (600 de capital inicial mais 360 de juro). Vamos fazer uma retrospectiva dos cálculos realizados. Como é que você fez para calcular os juros? Inicialmente você pegou a taxa de juros (i) e multiplicou pelo capital (C); em seguida, multiplicou esse resultado pelo número de períodos mensais contidos no prazo anual (n). Ora: essa é a formula de juros simples – para calcular juros simples basta multiplicar a taxa de juros i pelo capital C e pelo número de períodos n contidos no prazo de aplicação. Em linguagem algébrica, escrevemos que: J = C . i . n Esta fórmula é importantíssima. Trate de memórizá-la. Vejamos agora como é que calculamos o montante: pegamos o capital inicial e somamos com o juro, isto é: M = C + J Uma vez que J = C.i.n, podemos escrever que M = C + C.i.n Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula com o seguinte aspecto: M = C ( 1 + in) Eis outra fórmula importante que você terá que memorizar: ela ensina a calcular diretamente o montante no regime de juros simples. O fator (1 + in) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL para juros simples (também guarde isto). Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital C pelo fator de acumulação de capital (1 + in). A título de curiosidade, podemos adiantar que também existe o fator de acumulação de capital para juros compostos, com uma estrutura parecida com a do fator dos juros simples: (1 + i)n. A diferença, no caso, é que o n é um expoente. Mas para calcular o montante a juros compostos procedemos da mesma maneira: multiplicamos o capital pelo respectivo fator de acumulação. Assim, no caso de juros compostos, a fórmula do montante é M = C (1 + i)n. É comum colocarmos um índice “n” nos juros e no montante para indicarmos que aqueles juros e aquele montante estão sendo calculados até o enésimo período. Assim, podemos indicar as fórmulas anteriormente apresentadas com a seguinte notação: Jn = C.i.n Mn = C ( 1 + in) Gostaríamos de chamar sua atenção para outro ponto importante: você percebeu que na hora em que calcularmos o juro total que a aplicação rendeu precisamos converter o prazo de 1 ano em doze meses? Fizemos isto porque a periodicidade da taxa era mensal e o prazo era anual. Sempre que o prazo de aplicação for fornecido numa unidade de medida de tempo diferente da periodicidade da taxa de juros, você terá que convertê-lo para a mesma unidade , pois a letra n, nas fórmulas acima, representa o prazo de aplicação quando medido com a mesma unidade de medida de tempo da taxa de juros. Em outras palavras, n é o numero de períodos da taxa de juros contidos no prazo de aplicação. Mais uma observação importante: no regime de capitalização a juros simples, os juros são incorporados ao capital somente no final do prazo de aplicação e não no final de cada período. Exercícios resolvidos 1. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 6.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a, pelo prazo de 2 anos. Resolução: Temos que: M = ? C = 6.000 i = 8% a.a. = 0,08 a.a. t (prazo) = 2 anos No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a periocidade da taxa de juros já é igual à do prazo t. Então podemos escrever diretamente que n = 2. J = C i n J = 6.000 . 0,08 . 2 J = 960 M = C + J M = 6.000 + 960 M = 6.960 Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula: M = C (1 + in). O resultado é o mesmo: M = 6.000 (1 + 0,08 . 2) M = 6.000 . 1,16 M = 6.960 2. Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000 durante 3 anos, considerando o regime de juros simples a uma taxa de 5% a.t. Resolução: Verifique que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter o prazo, portanto, em trimestres. M = ? C = 10.000 t = 3 anos = 12 trimestres (pois cada ano tem 4 trimestres) = n = 12 i = 5% a.t. = 0,05 a.t. M = C (1 + in) M = 10.000 (1 + 0,05 . 12) = 10.000 (1 + 0,6) M = 16.000 Existe um outra possibilidade: poderíamos, também, converter a taxa trimestral em anual, e manteríamos o prazo em anos. Neste caso, n ficaria sendo igual a 3 e a taxa seria dada por: i = 5% a.t. = 20% a.a. (se em um trimestre a aplicação rende 5%, em um ano, que são quatro trimestres, renderá 4 vezes mais, ou seja: 20%). Poderíamos, então, escrever: M = C (1 + in) = 10.000 (1 + 0,20 . 3) = 10.000 (1,6) M = 16.000 Taxas Proporcionais Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t. para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples), raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20% em quatro. Observe que: 20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre Assim, duas taxas i1 e i2, com os respectivos períodos n1 e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação: i1/n1 = i2/n2 Outros exemplos: 12% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m 10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s 6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m 36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t Taxas Equivalentes Duas TAXAS são ditas EQUIVALENTES quando aplicadas sobre o mesmo prazo, produzem os mesmos juros. Quando duas taxas são equivalentes, portanto o efeito delas sobre o capital é o mesmo. No caso de juros simples as taxas equivalentes são sempre proporcionais. Por exemplo: vimos anteriormente que 1% a.m. é proporcional a 12% a.a. Essas mesmas taxas também são equivalentes, pois se aplicarmos um capital de 1.000 durante 1 ano, os juros produzidos pelas duas serão iguais: Para a taxa de 1% a.m.: J = C.i.n J = 1.000 x 0,01 x 12 = 120 Para a taxa de 12% a.a.: J = C.i.n J = 1.000 x 0,12 x 1 = 120 Cálculo de Juros Diários Imagine uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 10/01/96, e que só tenha sido paga em 11/07/96, tendo sido cobrados juros simples, a uma taxa de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos: Temos que: J = ? i = 36% a.a. t = número de dias entre 10/01/96 e 11/07/96 C = 1.000 Vamos adotar períodos diários. Assim, temos de tomar duas providências inicialmente: Transformar a taxa anual em diária; Contar o número de dias entre as datas dadas. Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário. Juro Exato Característica: a contagem do número de dias (n) se faz utilizando o ano civil (aquele que é representado no calendário). Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidospor um capital (C), durante n dias, serão dados por: J = C . ianual . n/365 n = número de dias contados no calendário do ano civil. OBS: 1. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto você deve saber o número exato de dias de cada mês do calendário; 2. Caso o ano seja bissexto , a divisão na expressão acima será feita por 366 e não por 365, já que oano bissexto tem um dia a mais. Aplicando juro exato ao nosso problema, os juros seriam: J = 100 . 0,36 . 183/366 = 180 No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque 1996 é ano bissexto. O número n de dias entre 10/01/96 e 11/07/96 contados segundo o calendário civil é 183, conforme pode ser verificado na tabela abaixo: Juro Comercial Característica: a contagem do número de dias se faz utilizando o ano comercial (1 ano = 360 e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro). Para o caso de juro comercial: J = C . ianual . n/360 n = no de dias contados no calendário do ano comercial. Aplicando ao nosso problema: J = 1000 . 0,36 . 181/360 = 181 Juro Bancário Característica: a contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil, mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial. Para o caso do juro bancário: J = C . ianual . n/360 n = no de dias contados no calendário do ano civil. Aplicando ao nosso problema ao nosso problema: J = 1.000 . 0,36 . 183/360 = 183
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