aula2_oscilacoes_parte2

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Física Geral IV 
1º Sem. 2018 
 
 
Prof. Oscar Cavichia 
Universidade Federal de Itajubá 
Revisão: molas em série e paralelo 
Aula-2 
 Oscilações – parte 2 
θ
d 
Mg 
z-axis 
R 
x CM 
Física Geral IV - FIS503 
1º semestre, 2018 
Resumo: MHS 
•  Solução: x(t) = A cos(ωt + φ) 
 onde: A = amplitude 
 ω = frequência angular 
 φ = fase 
 
 T = período 
 
•  Para uma massa em uma mola: 
Ø  A frequência não depende da amplitude! 
 ( Isso é geral para qualquer MHS ! ) 
 
Ø  A oscilação ocorre ao redor do ponto de equilíbrio, 
onde a força resultante é nula! 
k
m
ω =
T
π2
=
k
mT π2=
Força elástica e energia potencial 
Configuração de referência: x0 = 0 
∫ −−=−
x
xdxkxU
0
)(0)( 2
2
1)( kxxU =Ou: 
xkF −= k 
x 
m 
0 F = − dUdx
e 
Energia no pto. de equilibrio é cinética! 
Energia Mecânica de um OHS é 
Proporcional ao quadrado de sua Amplitude! 
Energia no MHS 
2 21 1
2 2
E mv kx= +
Energia 
Cinética 
Energia 
Potencial 
Elástica 
Quando x = A ou x = -A (extremos): 
2 2 21 1 1(0) ( )
2 2 2
E m k A kA= + =
x = -A 
x = A 
x = 0 
F=-kx 
Quando x = 0 (ponto de equilibrio): 
2 2 2
0 0
1 1 1(0)
2 2 2
E mv k mv= + =
•  Energia Mecânica Total: 
 UKE +=
Conservação de energia mecânica 
Ekxmv =+ 22
2
1
2
1
MHS e potenciais quadráticos 
•  Mas geralmente isso não ocorre na 
natureza: 
–  Por exemplo, o potencial entre 
átomos de H em uma molécula de 
H2 tem uma forma do tipo: 
U 
x 
Potencial de 
Lennard-Jones 
-A A 0 x 
U 
U 
K 
E 
E = K + U 
•  O MHS vai ocorrer sempre 
que o potencial for quadrático. 
Potencial de 
Sistemas reais: 
Expansão de Taylor em torno do 
mínimo 
 
 
 
U 
x 
x0 
U 
 x 
2
0
2
00
2
1)(
)(;0)(;0)(;0
...)()(
2
1))(()()(
xkxU
ctekxUxUxUx
xxxUxxxUxUxU
ooo
ooo
≅
==ʹʹ=ʹ==
+−ʹʹ+−ʹ+=
MHS e potenciais quadráticos 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ε=
612
2
r
a
r
arU
f(x) =
1X
n=0
an(x� a)n sendo an = f
(n)(a)
n!
Potencial APROXIMADAMENTE 
quadrático. 
L 
m 
mg 
z 
O Pêndulo Simples 
✓
O Pêndulo Simples 
•  O torque devido à gravidade ao redor do eixo de 
rotação (eixo z) é: 
•  Mas: 
 senθ ∼ θ ; para pequenos valores de θ. 
 
 
 
L 
x m 
mg 
z 
FT 
⌧ = �mg sin(✓)L
mg sin(✓)
✓
mg cos(✓)
senθ e cosθ 
para pequenos valores de θ 
•  A expansão de Taylor para senθ e 
cosθ em torno de θ = 0 : 
3 5
sin ...
3! 5!
θ θ
θ θ= − + −
2 4
cos 1 ...
2! 4!
θ θ
θ = − + −
Então, para θ << 1 : e θθ ≈sin 1cos ≈θ
O Pêndulo Simples 
•  O torque devido à gravidade ao redor do eixo de 
rotação (eixo z) é: 
•  Mas: senθ ∼ θ ; para pequenos valores de θ. 
 
L 
m 
mg 
z 
2
2
2
dmgL mL
dt
θ
θ− =
2
2
2
d
dt
θ
ω θ= − L
g
=ω ; onde: 
Que é idêntica à Equação diferencial do MHS ! 
Daí: )cos()( 0 φωθθ += tt
✓
⌧ = �mg sin(✓)L
⌧ ⇠ �mg✓L
⌧ = I↵; I = mL2
Portanto: 
 
Mas: 
sinF mg mgθ θ= − ≈ −
Usando: , temos: 
.mgF x cte x
L
≈ − ≈ −
mgcte
L
=
(Igual ao caso da massa-mola!) 
2 2 2m m LT
k mg L g
π π π= = =
1 1
2
gf
T Lπ
= = (válido para θ pequeno!) 
O Pêndulo Simples: Período 
L 
x m 
mg 
z 
FT 
mg sin(✓)
✓
mg cos(✓)
x ⇠ L✓
0pE =
L 
d=Lsenθ 
m 
z 
cosL θ
L− Lcosθ =
L(1− cosθ )
2
2k p
mvE E E mgh= + = +
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/Pendulum/Pendulum.html 
 
O Pêndulo Simples: Energia 
http://www.cabrillo.edu/~jmccullough/Applets/oscillations.html 
✓
Mais Exemplos … 
•  Consiste de uma vareta de 
comprimento L e massa m, 
pendurada por uma de suas 
extremidades. 
 
•  Vamos encontrar a freqüência de 
oscilação, para pequenos 
deslocamentos. 
L 
mg 
z 
x CM 
O Pêndulo Físico 
✓
O Pêndulo Físico 
•  O torque em relação ao eixo de rotação (z) é: 
 
 
 
 
 Portanto: 
 
L 
mg 
z 
L /2 
x CM 
2
3
1mLI z =
d
dt
2
2
2θ ω θ= − 3
2
g
L
ω =onde: 
!
2
2
2
dt
dmL
3
1
2
Lmg θθ
"#$
=−
d I ✓
⌧ = �mg(L/2) sin(✓) ⇠ �mg(L/2)✓; (✓ << 1)
⌧ = I↵
Exemplo 
•  Que comprimento deve ter um pêndulo simples 
para ter o mesmo período de um pêndulo físico? 
LR 
LS 
 ωS = ωR , se: RS L3
2L =
S
S L
g
=ω
R
R L2
g3
=ω
Pêndulo Físico Geral 
•  Consideremos um sólido de forma arbitrária de 
massa M, pendurado em um eixo fixo. Sabemos 
onde o CM está localizado e qual é o momento 
de inércia I em torno desse eixo. 
•  O torque em torno do eixo de rotação (z) para θ 
pequenos é (senθ ∼ θ ) : 
τ = -MgRsenθ -MgRθ ; 
•  A frequência de oscilação será: 
 
θ
Mg 
z 
R 
x CM 
≈ 2
2
dt
θdθMgR I=−
τ α
d
dt
2
2
2θ ω θ= − ω =
MgR
Ionde: 
θ = θ0 cos(ωt + φ) 
Exemplo: Pêndulo Físico 
●  Um pêndulo é construído ao pendurar um bambolê de 
diâmetro D em um pequeno prego. Qual é a freqüência 
angular de oscilação do bambolê para deslocamentos 
pequenos? (ICM = mR2 para um aro) 
pivô (prego) 
R 
CM 
x 
 m 
Exemplo: Pêndulo Físico 
●  Um pêndulo é construído ao pendurar um bambolê de 
diâmetro D em um pequeno prego. Qual é a freqüência 
angular de oscilação do bambolê para deslocamentos 
pequenos? (ICM = mR2 para um aro) 
Teorema dos eixos paralelos: I = ICM + mR2 
I = mR2 + mR2 = 2mR2 
I
mgRω =Para pequenos deslocamentos: 
ω = = =
mgR
mR
g
R
g
D2 22
Daí: 
pivô (prego) 
R 
CM 
x 
 m 
•  Consideremos um objeto suspenso por um 
fio, preso ao seu CM. O fio define o eixo de 
rotação, e o momento de inércia I em torno 
desse eixo é conhecido. 
 
•  O fio atua como uma “mola rotacional.” 
–  Quando o objeto é rodado, o fio é torcido. 
Isso provoca um torque que se opõe à 
rotação. 
–  Em analogia com uma mola, o torque 
produzido é proporcional ao deslocamento: 
 
τ = -kθ 
 
 k = constante de torção 
I 
fio 
θ
ω
Pêndulo de Torção 
Pêndulo de Torção 
•  Como: τ = -kθ e τ = Iα teremos: 
2
2
dt
θdθk I=−
d
dt
2
2
2θ ω θ= − ω =
k
I
onde: 
•  Que é similar ao caso “massa-mola”; exceto que I 
tomou o lugar de m. 
I 
fio 
θ
ω