Estruturas Algébricas (MAD17) Avaliação II - Individual FLEX

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Acadêmico: Alexandre Freitas (964154)
Disciplina: Estruturas Algébricas (MAD17)
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:443720) ( peso.:1,50)
Prova: 11265591
Nota da Prova: 5,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os grupos abelianos são
assim chamados em honra ao matemático noruego Niels Henrik Abel que trouxe grandes contribuições à Álgebra no
início do século XIX. Analise as sentenças a seguir sobre a caracterização de um grupo (G, *) como abeliano:
I- Se, além das propriedades que o caracterizam como grupo, é verificada em (G, *) a propriedade comutativa.
II- Se (G, *) apresentar a propriedade de fechamento.
III- Se (G, *) possuir ao menos um subgrupo no qual se verifique a comutatividade.
IV- Se a propriedade associativa for verificada para todas as possíveis combinações dos elementos de (G, *).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença II está correta.
 b) Somente a sentença III está correta.
 c) Somente a sentença I está correta.
 d) Somente a sentença IV está correta.
2. A teoria do resto é uma proposição matemática que generaliza o resto, ou a quantia restante depois de um processo de
divisão, apresentando uma relação entre os valores do divisor e do dividendo. Considerando o Teorema do Resto,
quanto aos possíveis restos da divisão de P(x) = -3x³ + 2x + 1 por Q(x) = x - 5, analise as sentenças a seguir:
I- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 225.
II- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -364.
III- O resto da divisão de P(x) por D(x) é 214.
IV- O resto da divisão de P(x) por D(x) é -312.
Assinale a alternativa CORRETA:
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 a) Somente a sentença III está correta.
 b) Somente a sentença II está correta.
 c) Somente a sentença I está correta.
 d) Somente a sentença IV está correta.
3. Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma das formas de
resolvê-los é diminuindo o seu grau, fatorando-o por meio de divisões de polinômios. Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² +
7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x - 1 e resto R(x) = 2x - 1. Quanto ao valor do polinômio
D(x), analise as opções a seguir:
I) 2x² - 3x + 2
II) x² - 3x + 2
III) x² - x + 1
IV) 3x² - 4x + 1
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção II está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção IV está correta.
4. Dizemos que um conjunto A munido de duas operações binárias distintas + e * possui estrutura de anel quando (A, +) é
grupo abeliano e (A, +, *) satisfaz certas propriedades. Sobre a condição necessária e suficiente para que (A, +, *) seja
um anel com unidade, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Possuir elemento neutro em relação à operação *.
( ) Possuir elemento neutro em relação à operação +.
( ) Admitir fechamento para ambas as operações em questão.
( ) Verificar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) F - V - F - F.
 c) F - F - V - V.
 d) V - V - F - F.
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5. De acordo com Nathan C. Carter (matemático inglês), a Teoria dos Grupos é o ramo da matemática que responde à
questão "O que é simetria?". Em especial, existe um famoso tipo de grupo chamado de "grupo abeliano". Os grupos
abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel, grande matemático do século XIX. Sobre as propriedades
que são condição para que um grupo seja abeliano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Fechamento.
( ) Comutatividade.
( ) Elemento oposto.
( ) Elemento inverso.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - V - V - F.
 b) F - F - V - V.
 c) V - V - F - V.
 d) V - F - V - V.
6. O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um produto de polinômios de
grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque. O polinômio P(x) = 2x³ - 6x² + 8x - 24, possui -2i, 2i e 3 como
raízes. Então, pelo Teorema da Decomposição, podemos escrever P(x) como:
 a) 2·(x² - 4)·(x + 3).
 b) 2·(x² + 4)·(x - 3).
 c) 2·(x² + 4)·(x + 3).
 d) 2·(x² - 4)·(x - 3).
7. A determinação de todas, ou de algumas raízes de um polinômio é um problema importante, o qual tem sido estudado
nos últimos quatro séculos. Além disso, podemos recair no uso de aritmética complexa, pois mesmo um polinômio com
coeficientes reais, por exemplo, z² + 1 , pode ter apenas raízes complexas. Assinale a alternativa CORRETA que
apresenta uma das raízes do polinômio complexo P(x) = - i·x³ + 2·x² - 2 + i ?
 a) O número inteiro 1.
 b) O número complexo 2·i.
 c) O número complexo i.
 d) O número inteiro -1.
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8. Polinômio é uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios. Na divisão de polinômios, utilizamos duas
regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma
base (conservar a base e subtrair os expoentes). Desta forma, assim como com os números reais, podemos dividir dois
polinômios quaisquer, encontrando um quociente Q(x) e um resto R(x), nulo ou não. Neste contexto, assinale a
alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de:
P(x) = x³ - 6x² - 5x + 7
por
D(x) = x + 2
 a) R(x) = 15.
 b) R(x) = - 15.
 c) R(x) = - 14.
 d) R(x) = 14.
9. O conhecimento que hoje utilizamos para resolver problemas contendo valores desconhecidos não é exclusividade da
nossa época. Conta-se que no Egito, desde 1800 a. C. já se utilizava métodos de resolução desses problemas. No
entanto, nos dias atuais, a prática destas resoluções é muito mais dinâmica do que em outras épocas. Portanto, se 2 é
raiz da equação x³ + 2x² - 5x + k = 0, então analise as opções a seguir:
I) k = -3.
II) k = 6.
III) k = -2.
IV) k = -6.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o valor de k:
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
10. Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da Álgebra Clássica. As primeiras contribuições
vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com importantes conclusões sobre a resolução de
equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontra
totalmente dentro do conjunto dos números reais. Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + x = 0 é:
 a) S = {0, -i, i}.
 b) S = {1, -1, i}.
 c) S = {-i, i, 1}.
 d) S = {0, 1, i}.
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Prova finalizada com 5 acertos e 5 questões erradas.