LISTA 02

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Cálculo Vetorial
2ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra 
Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): 
”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e 
aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se 
trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Em cada caso, calcule X ' (t) e X ' ' (t)
a) X ( t)=(t 2 , t) c) X ( t)=(3t2 , e−t , ln (t 2+ 1)) 
b) X ( t)=(sen5t) i⃗+ (cos 4t) j⃗−(e−2t) k⃗ d) X ( t)=(−
t 4
4
, t 2) 
2) Calcule as integrais indefinidas
a) ∫(3 i⃗ + 4t j⃗)dt c) ∫(e−t i⃗+ e t j⃗+ t k⃗ )dt
 
b) ∫(t 2 i⃗−2t j⃗+
1
t
k⃗ )dt d) ∫(6t2 i⃗−4t j⃗+ 3 k⃗ )dt 
3) Calcule as integrais definidas
a) ∫
0
π
3
(cos3t ,−sen3t )dt c) ∫
1
9
(√ t i⃗+
1
√t
j⃗)
 
b) ∫
1
2
(3 i⃗ + 2 j⃗+ k⃗ )dt d) ∫
1
2
(√ t+ 1 , e t)dt 
4) Em cada caso, determine a única função X ( t) que satisfaz as condições 
estabelecidas.
a) X ' (t)=(cos t , sent) , X (0)=(1,−2) 
b) X ' (t)=t 2 i⃗−3t j⃗+ 4t k⃗ , X (1)=5 i⃗+ 4 j⃗−3 k⃗ 
c) X ' (t)=(t 2 , 6 t+1, 8 t 3) X (0)=(2,−3, 1)
d) X ' ' (t)=6t i⃗ + 3 j⃗−2 k⃗ , X ' (0)=(4,−1, 1) e X (0)=5 j⃗ 
5) Para cada função abaixo, encontre o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor 
aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal, a velocidade escalar, a 
aceleração escalar, a curvatura e o centro de curvatura no tempo t dado. 
 Represente no plano os vetores encontrados.
a) X ( t)=(cos t , sent) , em t=π
4
 
b) X ( t)=e2t i⃗+ e−4t j⃗ , em t=0 
c) X ( t)=(5, t 3) , em 2t 
d) X ( t)=(2t−1) i⃗+ (4−t) j⃗ , em t=3
 
e) X ( t)=(1+cos t , 2+2 sen t) em t=π
6) Mostre que se uma função vetorial X ( t) tem norma constante, então X ( t) é 
perpendicular a X ' (t)
7) O comprimento do arco de uma curva C no plano, representada pelo vetor posição
X ( t) , é dado por ∫
a
b
∥X ' t∥dt . Calcule o comprimento do arco das curvas
abaixo, nos intervalos dados
a) X ( t)=
1
2
t 2 i⃗+
1
3
t 3 j⃗ , t∈[0, 2]
b) X ( t)=t 3 i⃗ + t 2 j⃗ ; do ponto A(0,0) ao ponto B(1, 2) 
c) X ( t)=(cos t , sen t) , t∈[0, π
2
]
d) X ( t)=(cos 2t , sen2t ) , t∈[0, π
2
]
8) Uma estrada tem a configuração da parábola 120y=x2 . Um caminhão está
carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal de sua aceleração
exceder 30. Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo
vértice da parábola? 
9) Um caminhão de 9t faz uma curva de 100m de raio com uma velocidade de
15km /h . Determine a força centrípeta. 
10) Uma partícula de massa de dois quilos gira num círculo horizontal de dois metros
de raio. A partícula faz quatro revoluções por segundo. Ache a força centrípeta da
partícula. 
11) Uma pedra de 2kg de massa está presa na ponta de um arame que está fixo num
ponto a 2m da pedra. Gira-se essa pedra em torno do ponto onde o arame está
preso de modo que o arame permanece esticado e a pedra dá 5 revoluções por
segundo. Determine a força centrípeta que está atuando nessa pedra