Sequências_e_series_-_aula_2

Prévia do material em texto

Alguns teoremas para convergências de 
sequências.
• Teorema 4: Toda sequência convergente é limitada
Pergunta:
• Toda sequência limitada é convergente?
Solução: Não!!! Considere a sequência 𝑎𝑛 = (−1)
𝑛 .
Evidentemente, a sequência é limitada, 𝑎𝑛 ≤ 1 ∀ 𝑛 ∈
𝑁. Entretanto, os valores desta sequência alternam de -1 para 1
indefinidamente, e portanto ela não é convergente.
• Teorema 5: Se lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 , então lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0
1
Ex. 1: Considere a sequência:
1,−
1
2
,
1
22
, −
1
23
, … −1 𝑛
1
2𝑛
, …
Se tomarmos o valor absoluto de cada termo, obtermos a
sequência
1,
1
2
,
1
22
,
1
23
, …
1
2𝑛
, …
que é converge para 0. Assim segundo o teorema 5, temos que :
lim
𝑛→∞
−1 𝑛
1
2𝑛
= 0
2
• Teorema 6: 
𝑎) lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = 0, 𝑠𝑒 𝑟 < 1
𝑏) lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = ∄, 𝑠𝑒 𝑟 > 1
Ex. 2: Considere as sequências, verifique se são 
convergentes 
1) 𝑎𝑛 = −
2
3
𝑛
2) 𝑎𝑛 = 1,01
𝑛
3
SEQUÊNCIAS MONÓTONAS
• Definição 3 : Uma sequência 𝑎𝑛 é denominada:
Estritamente crescente se 𝒂𝟏 < 𝒂𝟐 < 𝒂𝟑 < ⋯ < 𝒂𝒏 < ⋯
Crescente se 𝒂𝟏 ≤ 𝒂𝟐 ≤ 𝒂𝟑 ≤ ⋯ ≤ 𝒂𝒏 ≤ ⋯
Estritamente decrescente se 𝒂𝟏 > 𝒂𝟐 > 𝒂𝟑 > ⋯ > 𝒂𝒏 > ⋯
Decrescente se 𝒂𝟏 ≥ 𝒂𝟐 ≥ 𝒂𝟑 ≥ ⋯ ≥ 𝒂𝒏 ≥ ⋯
Uma sequência que é crescente ou decrescente é denominada
monótona e uma sequência que é estritamente crescente ou
estritamente decrescente é denominada estritamente monótona
4
• Ex. 3: 
1 𝑎𝑛 =
1
2
,
2
3
,
3
4
, …
𝑛
𝑛+1
é estritamente crescente
2 𝑎𝑛 = 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, …
1
𝑛
é estritamente decrescente
5
3 𝑎𝑛 = 1,1,2,2,3,3, … .
é crescente, mas não 
Estritamente crescente 
4 𝑎𝑛 = 1,1,
1
2
,
1
2
,
1
3
,
1
3
, …
é decrescente, mas não 
estritamente decrescente
6
5 𝑎𝑛 = 1,−
1
2
,
1
3
, −
1
4
, … , −1 𝑛+1
1
𝑛
, …
nem crescente, nem decrescente 
A primeira e a segunda sequência são estritamente
monótonas, a terceira e a quarta sequências são monótonas
mas não estritamente monótonas, e a quinta sequência não é
estritamente monótona nem monótona.
7
TESTE DE MONOTOCIDADE
• Frequentemente é possível adivinhar se uma
sequência dada é monótona ou estritamente
monótona escrevendo alguns de seus primeiros
termos.
• Contudo, para termos certeza que nosso palpite está
correto, devemos fornecer um argumento matemático
preciso.
• A tabela 1 fornece duas maneiras de fazer isso.
8
Diferença entre 
termos sucessivos
Razão entre termos
sucessivos
Classificação
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 > 0 𝑎𝑛+1/𝑎𝑛 > 1 Estritamente crescente
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 < 0 𝑎𝑛+1/𝑎𝑛 < 1 Estritamente decrescente
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 ≥ 0 𝑎𝑛+1/𝑎𝑛 ≥ 1 Crescente
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 ≤ 0 𝑎𝑛+1/𝑎𝑛 ≤ 1 Decrescente
Ex. 4: Use a diferença de termos sucessivos para mostrar que a 
sequência
𝑎𝑛 =
1
2
,
2
3
,
3
4
, … ,
𝑛
𝑛+1
É uma sequência estritamente crescente. 
9
• Ex. 5: Mostre que a sequência do exemplo 5 é estritamente
crescente, usando razões de termos sucessivos
• Ex. 6: Use a diferença de termos sucessivos para mostrar
que a sequência
𝑎𝑛 = 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, … ,
1
𝑛
É uma sequência estritamente decrescente.
• Ex. 7: Use razões de termos sucessivos para mostrar que a
sequência
𝑎𝑛 =
𝑛
2𝑛 + 1
É uma sequência estritamente crescente.
10
Propriedades válidas a partir de um 
certo termo
• Às vezes, uma sequência comporta-se
erraticamente a princípio e depois se estabiliza sem
um certo padrão. Por exemplo a sequência
9, -8, -17, 12, 1, 2, 3, 4, ...
é estritamente crescente a partir do quinto termo,
mas como um todo não pode ser classificada como
estritamente crescente, devido ao comportamento
errático dos seus quatros primeiros termos.
11
• Definição 4: Se ao descartar um número finito de
termos do começo de uma sequência for produzida
uma sequência com uma certa propriedade, então
dizemos que a sequência original tem essa
propriedade a partir de um certo termo.
• Ex. 8: Mostre que a sequência
10𝑛
𝑛!
é estritamente
decrescente a partir de um certo termo
Obs.: embora não possamos dizer que a sequência
9, -8, -17, 12, 1, 2, 3, 4, ... 
seja estritamente crescente, podemos afirmar que
ela é estritamente crescente a partir de um certo
termo
12