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EQUAÇÃO DE LAPLACE
• Uma das equações diferenciais parciais mais importantes que
ocorrem em matemática aplicada é a Equação de Laplace.
• Em duas dimensões, esta equação é da forma
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
= 0 (1)
• e em três dimensões
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑦²
+
𝜕²𝑢
𝜕𝑧²
= 0 (2)
• Por exemplo, em um problema de calor a duas dimensões
espaciais, a temperatura 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) tem que satisfazer a
equação diferencial
𝛼2 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝑡 (3)
• Em que 𝛼2 é a difusividade térmica. Se existir um estado 
estacionário, u só depende de x e y, e a derivada em relação a t
desaparece, neste caso a equação (3) se reduz a 
𝛼2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 (4)
• A equação de Laplace pode ser usada para descrever a
temperatura u = u(x, y) em uma região plana como por
exemplo, uma placa metálica.
• Embora inicialmente a temperatura varie em função da fonte
de calor, após um determinado “tempo” a temperatura se
estabiliza, quando ocorre um processo estacionário.
• Resolver uma equação de Laplace, depende fortemente da
topologia (forma geométrica) da região sobre a qual a função
u = u(x, y) está definida e nem sempre é um processo fácil,
razão pela qual às vezes são utilizados métodos numéricos.
• Como não existe dependência no tempo nas equações
mencionadas, logo não existem condições
iniciais a serem satisfeitas pelas soluções.
• No entanto, elas satisfazem certas condições de
contorno em uma curva ou superfície que marca a
fronteira da região na qual a equação diferencial vai
ser resolvida.
• Como a equação de Laplace é de segunda ordem,
parece razoável esperar que sejam necessárias duas
condições de contorno para determinar,
completamente, a solução.
• Isso não ocorre, como veremos a seguir.
CONDIÇÕES DE CONTORNO
• Lembrando da condução de calor em uma barra:
𝑘
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
𝑢 0, 𝑡 = 𝑇1, 𝑢 𝐿, 𝑡 = 𝑇2
𝑢 𝑥, 0 = 𝑓(𝑥)
• Note que foi necessário prescrever uma condição, em
cada extremo da barra, isto é, uma condição para cada
ponto do contorno.
• Generalizando essa observação para problemas
multidimensional, é natural prescrever uma condição
para u em cada ponto da fronteira de uma região na
qual a solução é procurada.
• A condição de contorno mais comum ocorre quando é
especificado o valor de u em cada ponto na fronteira.
• Em termos do problema de condução de calor, isso
corresponde a descrever a temperatura na fronteira.
• Em alguns problemas, é dado o valor da derivada, ou taxa de
variação de una direção normal à fronteira.
• Por exemplo, a condição sobre um corpo termicamente
isolado, é desse tipo.
• É possível a ocorrência de condições de contorno mais
complicadas, por exemplo, u pode ser especificado em parte da
fronteira e sua derivada normal especificada na outra parte.
CONDIÇÕES DE DIRICHLET E NEUMANN
• Existem dois tipos básicos de condições de fronteira que 
normalmente estão associados à equação de Laplace:
• 1º - Problema de Dirichlet: o problema é encontrar
uma solução da equação de Laplace com valores de u,
dados na fronteira.
• 2º - Problema de Neumann: o problema é encontrar
uma solução da equação de Laplace se os valores da
derivada normal de u, são dados na fronteira.
• Os problemas de Dirichlet e Neumann também são
conhecidos como o primeiros e segundo problemas de
valores de contorno da teoria do potencial,
respectivamente.
• Dizemos que as condições de fronteira são mistas se a
solução tiver que satisfazer tanto condições de Dirichlet e
Neumann.
• Existência e unicidade da solução da equação de Laplace
sob estas condições de contorno podem ser mostrados,
desde que a forma do contorno e as funções que
aparecem nas condições de contorno satisfazer certas
condições bem fracas.
• Embora os problemas escolhidos como exemplos tenham
interpretações físicas interessantes, nosso objetivo
principal é mostrar algumas das coisas que podem
ocorrer durante a solução matemática. Vale a pena
observar que problemas mais complicados podem,
algumas vezes ser resolvidos expressando-se a solução
como uma soma de diversos problemas mais simples
Problema Dirichlet para um Retângulo
• Considere o seguinte problema de Dirichlet em um 
retângulo:
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 0 < 𝑥 < 𝑎, 0 < 𝑦 < 𝑏
𝑢 𝑥, 0 = 0, 𝑢 𝑥, 𝑏 = 0, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝑢 0, 𝑦 = 0, 𝑢 𝑎, 𝑦 = 𝑓 𝑦 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏
• onde 𝑓 𝑦 é uma função dada 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
• A solução do problema de Dirichlet
𝑢 𝑥, 𝑦 = 
𝑛=1
∞
𝑐𝑛𝑠𝑖𝑛ℎ
𝑛𝜋𝑥
𝑏
𝑠𝑖𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
Onde
𝑐𝑛 =
2
𝑏
𝑠𝑖𝑛ℎ
𝑛𝜋𝑎
𝑏
−1
 
0
𝑏
𝑓 𝑦 𝑠𝑖𝑛
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑑𝑦
Exemplo 1: Considere o seguinte problema na forma
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0, 0 < 𝑥 < 3, 0 < 𝑦 < 2
𝑢 𝑥, 0 = 0, 𝑢 𝑥, 2 = 0, 0 < 𝑥 < 3
𝑢 0, 𝑦 = 0, 𝑢 3, 𝑦 = 𝑓 𝑦 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
𝑓 𝑦 = 
𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
2 − 𝑦, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
• O gráfico de u(x,y) é dado abaixo á direita, e o
gráfico contendo curvas de nível de u(x,y) está à
esquerda.