matemática financeira

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CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 1 
 
JUROS SIMPLES 
Consideremos os seguintes fatos: 
• Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo 
de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 
000,00 de juros. 
• O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. 
Se eu comprar essa mesma televisão em 10 presta-
ções, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou 
pagar R$750,00 de juros. 
No 1.° fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em di-
nheiro que se recebe por emprestar uma quantia por de-
terminado tempo. 
No 2.° fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinhei-
ro que se paga quando se compra uma mercadoria a pra-
zo. 
Assim: 
 Quando depositamos ou emprestamos certa quantia 
por determinado tempo, recebemos uma compen-
sação em dinheiro. 
 Quando pedimos emprestada certa quantia por de-
terminado tempo, pagamos uma compensação em 
dinheiro. 
 Quando compramos uma mercadoria a prazo, pa-
gamos uma compensação em dinheiro. 
Pelas considerações feitas na introdução, podemos di-
zer que : 
Juro é uma compensação em dinheiro que se 
recebe ou que se paga. 
Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte 
nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomi-
na-se capital. 
O porcentual denomina-se taxa e representa o juro re-
cebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano. 
O período de depósito ou de empréstimo denomina-se 
tempo. 
A compensação em dinheiro denomina-se juro. 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES 
Vejamos alguns exemplos: 
1.° exemplo: Calcular os juros produzidos por um capi-
tal de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, duran-
te 5 anos. 
De acordo com os dados do problema, temos: 
25% em 1ano 

 125% (25 . 5) em 5 anos 
125% = 
100
125
= 1,25 
Nessas condições, devemos resolver o seguinte pro-
blema: 
Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai: 
x = 125% de 720 000 = 
1,25 . 720 000 = 900 000. 
Resposta: Os juros produzidos são de R$ 900.000,00 
2.° exemplo: Apliquei um capital de R$ lo 000,00 a 
uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto 
esse capital me renderá de juros? 
1,8% em 1 mês 

 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses 
10,8% = 
100
8,10
 = 0,108 
Dai: 
x = 0,108 . 10 000 = 1080 
Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00. 
3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 
6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 
3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? 
De acordo com os dados do problema: 
1,2% em 1 mês 

 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses 
7,2% = 
100
2,7
 = 0,072 
Nessas condições, devemos resolver o seguinte pro-
blema: 
3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. 
Dai: 
3600 = 0,072 . x 

0,072x = 3 600 

 
x = 
072,0
3600
 
x = 50 000 
Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00. 
4.° exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du-
rante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a 
taxa (em %) ao mês? 
De acordo com os dados do problema: 
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x% em 1 mês 

 (6x)% em 6 meses 
Devemos, então, resolver o seguinte problema: 
4 800 representam quantos % de 80 000? 
Dai: 
4 800 = 6x . 80 000 

 480 000 x = 4 800 
x = 
000 480
800 4
 

 x = 
800 4
48 
 x = 0,01 
0,01 = 
100
1
 = 1 % 
Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. 
Resolva os problemas: 
- Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês, 
durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? 
- Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à 
taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de ju-
ros. Qual foi a quantia aplicada? 
- Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 
ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final des-
se tempo, quanto receberei de juros e qual o capital 
acumulado (capital aplicado + juros)? 
- Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como 
vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará 
juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar 
por esse aparelho. 
- A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 
meses, rendeu juros de R$ 31 000,00. Qual foi a 
taxa (%) mensal da aplicação 
- Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou com-
pra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobra-
ra juros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei 
por essa geladeira e qual o valor de cada prestação 
mensal, se todas elas são iguais. 
- Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. 
O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os 
juros simples cobrados pela firma foram de R$ 
160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobra-
dos? 
Respostas 
R$ 4 400,00 
R$ 70 000,00 
R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 
R$ 5 220,00 
1,1% 
R$ 1 075,00 e R$ 215,00 
R$ 109 600,00 
2,5% 
JUROS COMPOSTOS 
1. Introdução 
O dinheiro e o tempo são dois fatores que se 
encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e 
dos negócios. Quando são gerados excedentes de fundos, 
as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar 
juros que aumentem o capital original disponível; em outras 
ocasiões, pelo contrário, tem-se a necessidade de recursos 
financeiros durante um período de tempo e deve-se pagar 
juros pelo seu uso. 
Em período de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como 
já se viu, os juros simples. Já em períodos de longo-prazo, 
utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos. 
2. Conceitos Básicos 
No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o 
qual calculam-se os juros, permanece sem variação 
alguma durante todo o tempo que dura a operação. No 
regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vão 
sendo gerados, vão sendo acrescentados ao capital inicial, 
em períodos determinados e, que por sua vez, irão gerar 
um novo juro adicional para o período seguinte. 
Diz-se, então, que os juros capitalizam-se e que se está 
na presença de uma operação de juros compostos. 
Nestas operações, o capital não é constante através do 
tempo; pois aumenta ao final de cada período pela adição 
dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada. 
Esta diferença pode ser observada através do seguinte 
exemplo: 
Exemplo 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 
aplicado à taxa de 30.0 % a.a. por um período de 3 anos a 
juros simples e compostos. Qual será o total de juros ao 
final dos 3 anos sob cada um dos rearmes de juros? 
Pelo regime de juros simples: 
J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00 
Pelo regime de juros compostos: 
 J C io
n
  



1 1
= 
   00,197.1$13,100,000.1$ 3 RRJ 
 
Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou 
com os cálculos, temos: 
Ano Juros simples Juros Compostos 
1 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 
2 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.300,00(0,3) = R$ 390,00 
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3 R$ 1.000,00(0,3) = R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3) = R$ 507,00 
 R$ 900,00 R$1.197,00 
Vamos dar outro exemplo de juros compostos: 
Suponhamos que você coloque na poupança R$ 
100,00 e os juros são de 10% ao mês. 
Decorridoo primeiro mês você terá em sua poupança: 
100,00 + 10,00 = 110,00 
No segundo mês você terá:110,00 + 11,00 =111,00 
No terceiro mês você terá: 111,00 + 11,10 = 111,10 
E assim por diante. 
Para se fazer o cálculo é fácil: basta calcular os juros 
de cada mês e adicionar ao montante do mês anterior. 
 
JUROS COMPOSTOS 
Conceito 
Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os 
que, no fim de cada período, são somados ao capital cons-
tituído no início, para produzirem novos juros no período 
seguinte. 
Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades mone-
tárias colocado a 20% a.a. durante 4 anos. 
No fim do primeiro ano o juro é igual a 200, que é capi-
talizado, isto é, é somado ao capital 1000 para, assim, o 
novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final 
deste, o juro será de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital 
a produzir juro no terceiro ano é de 1.440 (1.200 + 240). O 
juro será 288. No quarto ano o juro será de 20% sobre o 
capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, 
o montante no fim do quarto ano será de 2.073,60 unida-
des de capital. 
O gráfico abaixo mostra os juros calculados no fim de 
cada período e os respectivos montantes. 
 
Comparando os juros compostos com os juros simples, 
verifica-se que os primeiros crescem em progressão geo-
métrica, enquanto os juros simples são constantes em 
todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o 
capital inicial. 
No problema citado, os juros simples são iguais a 200 
unidades monetárias em todos os anos. Assim, o montante 
do capital de 1.000, a juros simples de 20% a.a., cresce 
numa progressão aritmética de razão 200, enquanto o 
montante a juros compostos cresce em progressão geomé-
trica de razão 1,2. O quadro abaixo apresenta a evolução 
dos montantes a juros simples e compostos. 
Anos 0 1 2 3 4 
Montante a 
Juros simples 
1000 1200 1400 1600 1800 
Montante a 
Juros compostos 
1000 1200 1440 1780 2073,6 
Representando graficamente, temos: 
 
Pode-se verificar, pelo gráfico acima, que, para n 1, os 
juros compostos e os juros simples são iguais; para n < 1, 
os juros simples são maiores que os juros compostos e, 
para n > 1, os juros compostos sempre excedem os juros 
simples. 
CÁLCULO DO MONTANTE (CN) 
No problema anterior, calculou-se o montante do capital 
de 1.000, em 4 anos, a 20% a.a., resolvendo quatro pro-
blemas de juros simples, ou seja, calculando os juros em 
cada ano a partir do montante constituído no ano anterior. 
Pode-se, entretanto, deduzir uma fórmula para o cálculo do 
montante em função do capital inicial, da taxa do juro e do 
tempo de aplicação. 
Os juros foram calculados, em cada ano, aplicando-se 
a fórmula j = Ci (n = 1) e os resultados obtidos estio resu-
midos no quadro abaixo: 
 Capital Juros Montante 
1° ano 1000 200 1200 
2° ano 1200 240 1440 
3° ano 1440 288 1728 
4° ano 1780 345,6 2073,6 
Representando literalmente os valores do quadro aci-
ma, temos: 
 Capital Juros Montante 
n =1 C j1 C1 
n =2 C1 J2 C2 
n =3 C2 j3 C3 
n =4 C3 j4 C4 
Seja CN, o montante do capital C, à taxa i, no fim de n 
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períodos. Resolvendo literalmente o problema anterior, 
temos: 
• para n =1 C1 = C+ j1 
como j1 = Ci 
C1 =C + Ci = C(1+i) 
• para n =2  C2 = Ci + j2 
C2 = C1 +C1i = C1 (1+i) = C (1+i) (1+i) =C (1 +i)
2
 
• para n = 3  C3 = C2+j3 
C3 = C2 + C2i = C2 (1+i) = C (1 +i)
2
 (1+ i) = C(1 +j)
3
 
• para n=4 C4 = C3+j4 
C4 = C3 +C3 i = C3 (1 +i) = C(1+i)
3
 (1 +i) = C (1+j)
4
 
Analogamente: 
C5 =C (1 + i)
5
 
C6 = C (1+i)
6
 
Finalmente, para n qualquer, 
Cn = C ( 1+i)
n
 
Obs.: Nessa fórmula, como em todas as demais da ma-
temática financeira, a taxa unitária i e o número de perío-
dos n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, 
se i é taxa anual, n deverá expressar número de anos; se 
lã taxa semestral. n será número de semestres etc. 
EXEMPLOS 
1. Calcular o montante do capital de 10.000 unidades 
monetárias, a 10% a.a., em 3 anos. 
C = C(1+i)
N 
C = 10.000 
C = 0,1 (10%a.a.) 
n = 3(anos) 
C3 = 10.000(1+0,1)
3
 
C3 = 10.000 x 1,1
3
 
C3 = 10.000 x 1,331 
C3= 13.310 
2. Determinar o montante de 3.000 unidades monetárias, 
a 2% ao mês, no fim de 2 anos. 
Cn = C (1 +i)
n
 
C = 3.000 
i = 0,02 (2% ao mês) 
n = 24 (meses) 
C24 = 3.000(1 +0,02)
24
 = 3.000x 1,02
24
 
O valor de 1,02
24
 é fornecido por tábua financeira (Tá-
bua 1) e é igual a 1,608437. 
C24 = 3.000 x 1,608437 
C24 = 4.825,31 
TÁBUAS FINANCEIRAS 
Na aplicação da fórmula do montante deve-se calcular 
o valor da potência (1 + j)
n
. Por isso, foi colocada no fim 
deste livro (apêndice) a Tábua financeira 1, que fornece os 
valores da expressão (1 + i)
n
 para vários valores de i e n. 
Para localizar, na Tábua 1, determinado valor, procura-
se na primeira linha a taxa centesimal correspondente a / 
e, na primeira coluna, o valor de n. É na intersecção da 
linha dos períodos com a coluna da taxa que ele se encon-
tra. Convém recordar aqui que se estiver tomando uma 
taxa anual, n estará representando o número de anos; se a 
taxa for trimestral, n será o número de trimestres etc. 
EXEMPLOS: 
1. Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um 
ano e 6 meses, então: 
(1 +i)
n
 =(1 + 0,02)
18
 
 
1,428246 
2. Para taxa trimestral de 5% em 2 anos, temos: 
(1 +i)
n
 =(1 + 0,05)
8
 
 
1,477455 
CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS 
Na constituição do montante, os juros podem ser calcu-
lados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou mês. 
Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente, se-
mestralmente, trimestralmente ou mensalmente. 
Geralmente, com referência ao período de capitaliza-
ção, a taxa de juros é anual. 
EXEMPLOS 
1. Juros de 18% á.a. capitalizados semestralmente. 
2. Juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. 
3. Juros de 12% a.a.‘capitalizados mensalmente. 
Nesses casos, ao calcular o valor da expressão (1 + i)
n
 
emprega-se a taxa proporcional, ou seja: no exemplo 1, a 
taxa semestral proporcional a 18% a.a. é de 9%; no exem-
plo 2 a taxa proporcional é de 5% ao trimestre; e, no e-
xemplo 3, a taxa a ser utilizada é de 1% ao mês. Entretan-
to, às vezes, usa-se a taxa equivalente, conforme se verá 
mais à frente. 
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EXEMPLOS 
1. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., no 
fim de 2 anos, com juros de 24% a.a. capitalizados tri-
mestralmente? 
Cn = C (1 +i)
n 
i = 0,06 (6% ao trimestre) 
n = 8 (trimestres) 
C8 = 500 (1 +0,06)
8 
(1 + 0,06)
8
 
 
1,593848 
C8 = 500 x 1,593848 
C8 = 796.92 u.m. 
2. O capital de 120 u.m. foi colocado a juros de 20% a.a 
capitalizados semestralmente. Qual o montante no fim 
de 2 anos e 6 meses? 
Cn = C (1 +i)
n 
i = 0,1 (10% ao semestre) 
n = 5 (semestres) 
C5 = 120 (1 +0,1)
5 
(1 + 0,1)
5
 
 
1,610510 
C5 = 120 x 1,610510
 
C5 = 193,26 u.m. 
 
Em meses: 
Cn = C (1 +i)
n 
i = 0,02 (2% ao mês) 
n = 20 (meses) 
C20 = 3.000 (1 +0,02)
20 
(1 + 0,02)
20
 
 
1,485947 
C20 = 3.000 x 1,485947
 
C20 = 4.457,84 u.m. 
CÁLCULO DO VALOR DE (1 + i)
n
 NÃO TABELADOQuando o valor da expressão (1 + i)
n
 não for fornecido 
diretamente pela tábua financeira, isto 6, a tábua não tiver 
a taxa do problema ou n for um número que não conste na 
tábua, pode-se achar o valor dessa expressão com auxílio 
de logaritmos ou fazendo interpolação dos valores tabela-
dos. Obviamente, se se dispuser de uma calculadora que 
faça potenciação, o cálculo será bem simplificado. 
Cálculo de (1 +i)
n
 com emprego de logaritmos 
Fazendo: 
 x = (1 +i)
n
 
 Log x = log (1 +i)
n
 
 Log x = n log(1 +i) 
 x = antilog [n log (1+i)] 
EXEMPLOS 
1. Se a taxa é de 5,5% ao trimestre e o prazo de aplicação 
é de 2 anos, entro: 
(1 +i)
n
 =(1 + 0,055)
8
 
Por hipótese, a tabela não fornece a taxa de 5,5%, po-
de-se calcular o valor de (1 + 0,055)
8
 com auxílio de lo-
garitmos. Assim: 
 x = (1 + 0,055)
8
 
log x = log(1 + 0,055)
8
 
log x = 8log 1,055 
log x = 8 x 0,0232525 
log x = 0,18602 
x = antilog 0,18602 
x = 1,534687 
Portanto, (1 + 0,055)
8
 = 1,534687 (veja Tábua 1) 
2. Admita-se que um capital é colocado por 2 anos e 2 
meses a juros de 20% a.a. capitalizados semestralmen-
te. Neste problema, a taxa é de 10% ao semestre e n é 
igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Então: 
 3
13
0,1)(10,1) (1 
n
i) (1 3
1
 4

 
 3
13
0,1)(1x 
 
 3
13
0,1)log(1 xlog 
 
 
log1,1
3
13
 xlog 
 
 
0,413927
3
13
 xlog 
 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 6 
 log x = 0,1793683 
 x = antilog 0,1793683 
 x = 1,511361 
portanto
511361,1 3
1
 4
0,1) (1 
 
INTERPOLAÇÃO DE VALORES TABELADOS 
Nos dois exemplos anteriores, os valores da expressão 
(1 + 1)” podem também ser calculados fazendo-se interpo-
lação linear dos valores aproximados, fornecidos pela tá-
bua financeira. 
Para o cálculo do valor de (1 + 0,055)
8
, procuram-se na 
tábua as taxas mais próximas de 5,5%, que são 5% e 6%. 
Na linha correspondente a 8 períodos, os valores da fun-
ção (1 + i)
n
, para estas taxas, são 1,477455 e 1,593848, 
respectivamente. Estabelecendo uma regra de três calcula-
se o valor da função para a taxa de 5,5%. 
 5% 6% 
8 1,477455 1,593848 
Para um acréscimo da taxa de 1% (6% — 5%), a fun-
ção tem um acréscimo de 0,116393 (1,593848 — 
1,477455); então, um acréscimo de 0,5% (5,5% — 5%) 
corresponde a um acréscimo de x no valor da função. Por-
tanto: 
 1% 0,116393 
 0,5% x 
 
x
0,116393
0,5
1

 
x = 0,5 x 0,116393 
x = 0,058196 
Somando-se esse valor ao da função correspondente à 
taxa de 5% e 8 períodos, tem-se o valor da expressão (1 + 
0,055)
8
. Dessa forma: 
(1+0,055)
8
 = 1,535651(1,477455+0,058196) 
Entretanto, deve-se observar que os valores de (1 + i)
n
 
obtidos por interpolação linear da taxa serão sempre um 
pouco maiores que os valores reais, pois estes crescem na 
forma exponencial e, pela interpolação linear considera-se 
um segmento de reta entre dois pontos da exponencial. 
Podemos observar melhor a superestimação de (1+ i)
n
, 
pela interpolação linear, através da representação gráfica 
abaixo. 
 
Neste exemplo, verifica-se que o valor calculado para 
(1 + 0,055)
8
 com auxílio de logaritmos, 1,534687 (valor 
real), é menor que 1,535651, calculado por interpolação 
linear. Assim, sempre que o cálculo exigir precisão deve-se 
evitar a interpolação linear. 
No segundo exemplo, onde 
3
1
4n
 e a taxa é de 10%, 
interpolando os valores tabelados, temos: 
Acréscimo no n Acréscimo da função 
1 
 
0,149510(1,610510 – 1,461000) 
 
3
1
 
 
 x 
 
x = 
3
1
 x 0,149510 
x = 0,049836 
Portanto: 
3
1
4
0,1)(1
 = 1,510836 
Comparando este valor com aquele obtido com auxílio 
de logaritmos (1,511361) verifica-se que a interpolação 
linear subestima o valor real de (1 +i)
n
 Isto ocorre pois, 
como foi visto anteriormente, em 
3
1
 de período os juros 
simples (interpolação linear) são maiores que os juros 
compostos (exponencial). Este tipo de interpolação não 
será empregado, pois, nesses casos, o cálculo do mon-
tante é feito através do sistema de capitalização mista. 
CAPITALIZAÇÃO MISTA 
Como vimos, quando n < 1 os juros simples são maio-
res que os compostos, por isso, sendo n um número misto, 
na prática, calcula-se o montante a juros compostos na 
parte inteira de n e, em seguida, calculam-se os juros sim-
ples desse montante na parte fracionária de n. Esse siste-
ma de cálculo denomina-se capitalização mista. 
EXEMPLO 
Determinar o montante de 900 unidades monetárias, a 
24% a.a. capitalizados semestralmente, em 2 anos e 2 
meses. 
 Ci = C(1+i)
n
 
 i = 0,12(12% ao mestre) 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 7 
 
3
1
4n
(semestre) 
Pela capitalização mista, calcula-se o montante a juros 
compostos em 4 penodose, em seguida, calcula-se os 
juros simples desse montante em 2 meses. 
C4= 900 (1+ 0,12)
4
 
(1+ 0,12)
4
 
 
1,573519 
C4= 900 . 1,573519 
C4= 1.416,17 
Aplicando agora a fórmula do montante a juros simples, 
Cn = C(l + i n), onde: 
 C= 1.416,17 
 i = 0,02(2% ao mês) 
 n = 2 (meses) 
C2 = 1.416,17(1+0,02x2) 
C2 = 1.472,81 
Portanto, o montante pela capitalização mista é de 
1.472,81 unidades monetárias. Esse mesmo resultado é 
obtido se resolvermos o problema fazendo a interpolação 
linear para o cálculo do valor de (1 + i)
n
. Vejamos: 
 Cn = C(1+i)
n
 
 C = 900 
i = 0,12(12% ao mestre) 
3
1
4n
(semestre) 
C
3
1
4
 = 900(1+0,12) 314 
n 12% 
4 1,573519 
5 1,762341 
 
1 
 
0,188822(1,762341 – 1,573519) 
 
3
1
 
 
 x 
 
x = 
3
1
 x 0,188822 
x = 0,062941 
C
3
1
4
 = 1.472,81 
SISTEMA PRICE 
Quando um capital é colocado a juros compostos capi-
talizados mensalmente a uma taxa anual, convencionou-se 
chamar esse sistema de capitalização de Price, e as tabu-
as financeiras, que fornecem taxas anuais de juros e o 
número de períodos de capitalização em meses, de tabelas 
Price. 
No apêndice, apresenta-se uma amostragem das tabe-
las Price (Tábuas VI a X). 
EXEMPLO 
1. Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo-
netárias, por 2 anos, a 12% a.a. capitalizados mensal-
mente. 
i = (1 + ik)
k
 – 1 
ik = 0,005 
 k = 12 
i = (1 + 0,005)
12
 – 1 
(1 + 0,005)
12
 
 
1,061678 
i = 1,061678 – 1 
i = 0,06167 ou 6,167% a.a. 
 
JUROS COMPOSTOS CONTÍNUOS 
Os juros compostos são denominados contínuos quan-
do o número de capitalizações tende para infinito. 
Considere-se o seguinte problema: calcular o montante 
de 1.000 unidades monetárias, por 3 anos, a 10% a.a. 
capitalizados: 
a) anualmente 
b) semestralmente 
c) trimestralmente, e 
d) mensalmente 
1.348,181,3481811000360,00833)1000(13d)C
1.344,891,3448891000120,025)1000(13c)C
1.340,101,340095100060,5)1000(13b)C
1,3311,331000100030,1)1000(13a)C




 
Verifica-se, através desse problema, que, à medida que 
aumenta o número de capitalizações.o montante também 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
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aumenta. Quando n tende para infinito, os juros compostos 
são contínuos. 
CÁLCULO DO MONTANTE 
O problema de juros compostos contínuos consiste em 
calcular o limite para o qual tende o montante quando o 
número de capitalizações tende para infinito. 
Pode-se verificar, no exemplo anterior, que o montante 
não cresce proporcionalmente ao número de capitaliza-
ções. Dessa forma, a curva correspondente aos montantes 
de um certo capital, a uma determinada taxa, em função do 
número de capitalizações, num tempo constante, tem con-
cavidade para baixo, conforme o gráfico seguinte: 
Cn é o limite para o qual tende o montante quando n 
tende para infinito 
 
Seja k   o número de capitalizações em 1 ano, e n o 
número de anos. 
Teremos a fórmula geral do montante: 
Cn = C (1+i)
n
 
Substituindo i por 
k
1
: 
kn
k
CnC )
1
1( 
 
Dividindo 2 termos da fração por i: 
kn
i
k
CCn )
1
1( 
 
Seja k’ =
i
k
;portanto, k = k’i 
ink
k
i
CCn
')
'
1( 
 
Calculando o limite quando k’ , 
nik
k
n ')
'
1
1( 
k'
C lim 
k'
C lim 



 
ni
k
n k
 '
)
'
1
1(
k'
 lim 
k'
C lim 
k'
C lim '











 
Sendo Cn e C constantes; 
nn C 
' k
C lim 

 
C 
' k
C lim 

 
A expressão lim(1+
i
k
)
k’
 é um dos limites fundamentais 
da álgebra e é igual a e = 2,718. Portanto: 
K’ 
Cn=C e
in 
Obs: O valor da expressão e
in
 terá de ser calculado 
com calculadora eletrônica ou com o auxílio de logaritmos. 
EXEMPLO 
Calcular o montante do capital de 1.000 unidades mo-
netárias, em 3 anos, com juros de 10% a.a. capitalizados 
continuamente. 
Cn = C .e 
in 
C = 1000 
e = 2,718 
i = 0,1 
n = 3 
C3 = 1000 x 2,718
0,1 x 3
 
C3 = 1000 x 2,718
0,3
 
Fazendo x = 2,718
0,3
 e calculando com auxílio de loga-
ritmos, 
logx = log2,718
0,3
 
logx = 0,3log2,718 
logx = 0,3 x 0,432495 
logx = 0,13027485 
x = antilog 0,13027485 
x = 1,34981 
C3 = 1,34981 
C3 = 1000 x 1,34981 
C3 = 1,349,81 
Taxa instantânea 
A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamen-
te é denominada taxa instantânea. 
Taxa anual equivalente à taxa instantânea 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 9 
Seja i a taxa anual e ii a taxa instantânea equivalente. 
Então, um capital C, em n anos, produzirá o mesmo mon-
tante à taxa i e à taxa ii. Os montantes são: 
 Cn = C (1 + i)
n
 (capitalização anual) 
Cn = C . e
iin
 (capitalização contínua) 
 C(1+i)
n
 = C x e
i
i 
 1+ i = e
i
i 
Dessa igualdade, pode-se deduzir i em função de ii e 
em função de i. No primeiro caso, temos: 
1 i
i
ei
 
Para deduzir a expressão do valor de ii em função de i 
aplicam-se logaritmos à igualdade. 
)1log(
4342495,0
1
)1log(
log
1
log)1log(
log)1log(
1
ii
i
e
i
eii
ei
ei
i
i
i
i
i
i
i





 
ii = 2,3028 log (1+i) 
 
EXEMPLO 
1. Qual a taxa anual equivalente á taxa instantânea de 
10%? 
a.a 10,51% ou 0,10551i
11,10551i
1,1051x
0,04342495logx
0,43424950,1logx
80,1log2,71logx
0,1
2,718x
1
0,1
2,718i
0,1ii
2,718e
1ieii











 
2. Qual a taxa de instantânea equivalente a 10% a.a? 
%53,90953,0
0413927,03028,2
)1,01log(3028,2
1,0
)1log(3028,2
oui
i
i
i
ii
i
i
i
i





 
PROBLEMAS RESOVIDOS 
1. Calcular os juros do capital de 1000 unidades 
monetárias, colocado por 4 anos, a 20% a.a. 
capitalizados semestralmente. 
J = Cn - C
 
Cn = C (1+i)
n 
J = C (1+i)
n
 – C 
J = C[(1+i)
n
 – 1] 
i = 0,1 (10% ao semestre) 
n = 8 (semestre) 
J = 1.000 [(1 + 0,1)
8
 – 1] 
(1 + 0,1)
8
 
 
2,143588 (Tábua I) 
J = 1.000 [2,143588– 1] 
J = 1.000 x 1,143588 
J = 1.143,59 
2. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., a 
10% a.a. capitalizados mensalmente, em 2 anos? 
Cn = C (1 + i)
n 
i = 0,00833... (0,833... % ao mês)
 
n = 24 (meses) 
C24 = 500 (1 + 0,00833...)
24 
(1 + 
0,00833...)
24
 
 
1,220390 (Tábua 
VI) 
C24 = 500 x 1,220390 
C24 = 610,20 
3. Um empréstimo de 2000 unidades monetárias deverá 
ser resgatado no fim de 3 anos com juros de 15% a.a. 
capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate? 
12
12
n
n
0,0375)2000(1C
s)(trimestre 12n
trimestre) ao (3,75% 0,0375i
i)C(1C




 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 10 
Interpolados os valores da Tábua I, correspondente a 
(1+i)
n
 para3,5% e 4%, temos: 
n 
3
,
5
% 
4
% 
12 1,511069 1,601032 
 
0,5% 
 
0,089963 
 
0,25% 
 
x 
 
 
5,0
 x0,0899630,25 
x 
 
Portanto: 
(1+0,0375)
12
 = 1,511069+0,044982 = 1,556051 
 C12 = 2000 x 1,556051 
 C12 = 3.122,10 
4. Calcular a taxa nominal e a efetiva anual 
correspondente a 2% ao mês. 
Taxa nominal = 2% x 12 = 24% a.a. 
Taxa efetiva: 
 i =(1 +ík)
k
 -1 
 ik = 0,02 
 k = 12 
 i = (1+0,02)
12
 -1 
 i = 1,268242-1 
 i = 0,268242 ou 26,824%a.a. 
5. Com relação ao ano-base de 1964,o índice de preços 
no ano de 1966 foi de 149, passando para 212 em 
1968. Considerando os Índices referidos ao mês de 
dezembro, calcular a taxa mensal média de inflação 
nesse período de 24 meses. 
Log(1+i) = log Pn- log P 
 n 
Pn = 212 
P =149 
n = 24 
log(1+i) = log212 – log149 
 24 
log(1+i) = 2,32633586 – 2,17318627 
 24 
6. O capital de 1.000 unidades monetárias produziu o 
montante de 1.70P unidades monetárias em 1 ano e 9 
meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros? 
Cn = C (1+i)
n
 
Cn = 1700 
C = 1000 
n = 7(trimestralmente) 
1700 = 1000 (1+i)
7
 
(1+i)
7
 = 1700 
 1000 
(1+i)
7
 =1,7 
Implementando: 
n 7% 8% 
7 1,605781 1,713824 
O valor de (1 + i)
7
 = 1,7 está na tábua entre as taxas de 
7% e 8%. 
0,108043 1% 
0,094219 x 
x = 0,094219 
 0,108043 
x = 0,87% 
x = 7,87% ao trimestre 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS 
Def.: Dois capitais são ditos diferidos se têm venci-
mentos em datas diferentes. 
Def.: Dois ou mais capitais são ditos equivalentes se, 
em certa época, seus valores atuais forem iguais. 
Problemas de equivalência de capitais diferidos têm 
uma importância muito grande pois permitem a substituição 
de títulos que vencem em datas diferentes. 
Mas, para resolver problemas assim, devemos: 
1º) Estabelecer uma data de comparação. No caso de 
juros simples, esta deve ser a data em que a dívida foi 
contraída (data zero). 
2º) Calcular o Valor Atual de todos os títulos envolvi-
dos no problema na data de comparação. 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 11 
3º) Comparar os valores calculados. Se o resultado for 
uma igualdade, esses capitais diferidos são equivalentes 
podendo, portanto, ser trocados. 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
01. Calcular o montante de 1.000 u.m. no fim de 3 anos, a 
16% a.a. capitalizados semestralmente. 
02. Qual o juro de 2.000 u.m. no fim de 2 anos e meio, a 
20% a.a. capitalizados trimestralmente? . 
03. O capital de 1.500 u.m. foi colocado a 12% a.a. durante 
4 anos. Qual o tante? 
04. O capital de 1.000 u.m. produziu o montante de 
1.695,881 u.m. em 3 anos. Qual a taxa trimestral do 
juro? 
05. Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 18% 
a.a. capitalizados trimestralmente? 
06. Determinar o montante de 1.200 u.m. no fim de 4 anos, 
a 12% a.a. capitalizados mensalmente. 
07. Qual a taxa anual de juros que, capitalizados 
semestralmente, faz com que o capital de 2.500 u.m. 
produza 2.000 u.m. de juros em 3 anos e 6 meses? 
08 Durante quanto tempo 2.500 u.m. produzem 1.484,621 
u.m. de juros, a 24% a.a. capitalizados trimestralmente? 
09 O capital de 4.000 u.m. é colocado a 20% a.a. 
capitalizados trimestralmente e o de 7.000 u.m. é 
colocado a 10% a.a. capitalizados semestralmente. No 
fim de quanto tempo os montantes serão iguais? 
10 Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. 
capitalizados trimestral-mente e o restante, a 20% a.a. 
capitalizados semestralmente. No fim de 2 anos e 6 
‗meses retirou o montante de 2.061,877 u.m. Qual foi o 
capital aplicado? 
11 Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. 
capitalizados trimestral-mente. Qual a taxa efetiva? 
12. Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a.a.? 
13. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa 
anual equivalente? 
14. Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a.a.? 
15. O capital de 1.000 u.m. foi aplicado durante 1 ano e 3 
meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse 
de 2% ao mês os juros seriam maiores em 69,58 7 u.m. 
Qual a taxa de aplicação? 
Respostas: 
01- 1.586,874 
u.m. 
02- 1.257,79 
u.m. 
03- 2.360,279 
u.m. 
09- 5 anos, 8 
meses e 23 
dias. 
10- 1.323,07 
u.m. 
11- 26,24%a.a. 
04- 4,5% ao 
trimestre. 
05- 3 anos, 11 
meses e 6 
dias. 
06- 1.934,671 
u.m. 
07- 17,52% a.a. 
08- 2 anos. 
12- 5,11% ao 
trimestre. 
13- 19,56% a.a. 
14- 1,532% ao 
mês. 
15- 5% ao 
trimestre. 
EXERCÍCIO RESOVIDOS – MATEMÁTICA 
01. Quanto é 13% de 200? 
Solução: 
Taxa = 13% = 
100
13,0
 
Principal = 200 
Porcentagem = taxa  principal 
Porcentagem = 0,13  200 = 26 
Resposta: 13% de 200 é 26. 
02. Calcular 250% de 32. 
Solução: 
Taxa = 250% =
100
250
 = 2,5 
Principal = 32 
Porcentagem = taxa  principal 
Porcentagem = 2,5  32 = 80 
Resposta: 250% de 32 é 80. 
03. Obter 3,5% de $4 500,00. 
Solução: 
Taxa = 3,5% = 
100
5,3
 = 0,035 
Principal 4 500 
Porcentagem = taxa  principal 
Porcentagem = 0,035  4 500 = 157,5 
Resposta: 3,5% de $4 500,00 é $ 157,50. 
04. Qual é o principal que à taxa de 20% resulta uma 
porcentagem de 36? 
Solução 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 12 
Taxa = 
100
20
 = 0,2 
Porcentagem = 36 
Porcentagem = taxa  principal 
36 = 0,2  principal 
Principal =
2,0
36
 = 180 
Resposta: O principal é 180. 
05. Qual é a taxa que, aplicada num capital de $720 
000,00, resulta uma porcentagem de $21 600,00? 
Solução 
Principal = 720 000 
Porcentagem = 21 600 
Porcentagem = taxa  principal 
21 600 = taxa  720 000 
Taxa =
720000
21600
 21600 = 0,3 = 
100
3
 = 3% 
Resposta: A taxa é de 3%. 
06. Por quanto devo vender um carro que comprei por 
$ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra? 
Solução 
Preço de venda = (1 + 0,05) • 40000 
Preço de venda = 1,05 • 40000 
Preço de venda = 42 000 
Resposta: Devo vender por $ 42 000,00. 
07. A quanto devo vender um objeto que comprei por $ 
1900,00 para lucrar 5% sobre a venda? 
Solução: 
Preço de venda: 
)05,01(
1900

 
Preço de venda = 
95,0
1900
 
Resposta: O preço de venda será de $ 2000,00. 
08. Uma fatura de $ 5000,00 sofrerá descontos suces-
sivos de 5% e mais 8%. Por quanto será liquidada? 
Solução: 
Valor líquido = 5000 • (1 - 0,05) • (1 - 0,08) 
Valor líquido 5 000 • 0,95 • 0,92 
Valor líquido 5 000 • 0,8740 
Valor Líquido 4 370 
Resposta: A fatura será liquidada por $ 4370,00. 
09. Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o pre-
ço de venda, ou seja, $200,00. Qual foi o preço de 
custo? 
 
Solução: 
Se foram ganhos 5% sobre a venda, podemos dizer 
que o custo corresponde a 95%, pois: 
95% + 5% = 100% 
 
 
 
 
custo lucro venda 
Numa regra de três, teremos: 
5% 
 
200 
 
95% 
 
x 
 
Então:x =
5
20095 
 =3 800 
Resposta: O objeto foi comprado por $3 800,00. 
10. Certo comerciante vendeu mercadorias compradas 
por $1800,00 com o lucro de 10% sobre a venda. 
Quanto ganhou? 
Solução: 
Já que o lucro foi de 10% sobre a venda, o preço de 
custo corresponde a 90%. pois 90% + 10% = 100%. 
Numa regra de três, teremos: 
90% 
 
1 800 
 
10% 
 
x 
 
 x = 
90
 1800 10
= 200 
Resposta: O comerciante ganhou $ 200,00 na transa-
ção. 
11. Qual é o juro simples que um capital de $ 30000,00 
produz, quando aplicado durante cinco meses, a 
uma taxa de 3,5% a.m. (lê-se ―ao mês‖)? 
Solução: 
 J = C • i • n  J = 30000 • 0,035 • 5 
 J = 5 • 250 
Resposta: O juro é de $ 5250,00. 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
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12. Qual é o juro simples que um capital de $ 2500,00 
rende quando aplicado durante um ano, à taxa 
mensal de 2%? 
 Solução: 
J = C • i • n • J = 2500 • 0,02 • 12 
J = 600 
Resposta: O juro é de $ 600,00. 
13. Um capital de $ 10000,00, investido a juros simples 
de 63% ao ano, foi sacado após três meses e dez 
dias, a contar da data do investimento. Qual foi o ju-
ro? 
Solução: 
Na resolução desse problema é importante tomar cui-
dado com as unidades de tempo. Assim: 
3 meses e 10 dias = 100 dias 
J = C • i • n • J = 10000 • 0,63 •
360
100
 
 Observe que o período n foi reduzido a anos, uma vez 
que dividimos o número de dias por 360, que é o ano 
comercial. 
 J = 10000 • 0,63 • 360 
J = 1750 
 Resposta: O juro é de $1750,00. 
O mesmo efeito seria obtido se fizéssemos: 
J = 10000 • 0,63 • 
12
3
1
3 
Veja que, nesse caso, utilizamos o tempo em meses, 
pois 3 meses e 10 dias = 
3
1
3
 meses. 
14. Qual é a taxa mensal de juros simples que deve 
incidir sobre um capital de $ 5000,00 para que este 
em quatro meses e meio, renda $ 720,00? 
Solução: 
J = C • i • n  720 = 5000 • i • 4,5 
5,4•5000
720
 = i 
Resposta: A taxa deverá ser de 3,2% ao mês. 
15. Que capital inicial, em cinqüenta dias, a uma taxa 
simples de 0,5% a.d. (lê-se ―ao dia‖) rende $ 
2000,00? 
Solução 
J = C • i • n  2000 = C • 0,005 • 50 
C
50•005,0
2000

 
C = 8000 
Resposta: O capital inicial é de $ 8 000,00. 
16. Qual taxamensal de juros simples deve incidir num 
capital para que ele duplique de valor em um ano? 
Solução: 
Neste caso, o juro é igual ao próprio capital. 
J = C • i • n  C = C • i • 12 
...0833,0
12
1
ii
12•C
C

 
A taxa, portanto, será de 8,33% ao mês. 
Esta mesma taxa, se calculada anualmente, se tornaria, 
evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portan-
to: 
8,33% a.m. 100% a.a. 
17. Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 
29800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses? 
Solução: 
Como o capital aplicado é de $ 29 800,00 precisamos 
saber os juros. 
J = C • i • n  29800 • 0,12 • 6 
J = 21 456 
Como os juros são de $ 21456,00, o montante é de: 
$29 800,00 + $21 456,00 = $51 256,00 
Poderíamos também resolver esse problema, usando a 
fórmula: 
M = C • (1+ i • n) 
Assim, temos: 
M = 29 800 (1 + 0,12 • 6) 
M = 29800 • 1,72 
Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse 
problema, o montante será de $ 51 256,00. 
18. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% 
a.a. e retirei, depois de 4 anos, $ 928000,00. Quanto 
recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à 
base de juros simples? 
Solução: 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
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Temos neste problema: 
M = 928000, i = 1,2 e n = 4 
Como J = C • i • n, então: 
J = C • 1,2 • 4 
J = 4,8C 
Mas, como M = C + J, então: 
928 000 C + 4,8C 
928 000 = 5,8C 
8,5
928000
C 
 
C = 160 000 
O capital investido foi, portanto, de $ 160 000,00. 
Para achar os juros, basta subtrair o montante do capi-
tal: 
M = C + J  J = M - C 
J = 928000 - 160000 
J = 768 000 
Poderíamos também resolver o problema usando as 
fórmulas M = C (1 + i • n) ou 
4•2,11
M
C


 
Nessas fórmulas, substituindo as letras pelos valores, 
temos: 
160000C
8,5
928000
C
4•2,11
928000
C




 
Resposta: De qualquer maneira, os juros serão de $768 
000,00, pois M = C + J  J = M - C = 928 000 - 160 
000. 
19. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 
750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimen-
to? 
Solução 
N = 750, n = 2 meses e 10 dias = 70dias 
i = 0,05 
D = N • 1 • n  D = 750 • 
50,8770•
30
05,0

 
Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87,50. 
20. Um título no valor de $ 1200, 00, pago 5 meses an-
tes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual 
foi a taxa mensal usada? 
Solução: 
N = 1200 n = 5 meses 
L = 900 
Vamos resolver este problema de dois modos. 
Primeiro modo: usando o cálculo de desconto 
D = N • j • n 
D = N - L = 1200 - 900 = 300 
300 = 1200 • 5. 
i = 
05,0
5•1200
300

 
A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês. 
Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido 
L = N (1 - in) 
900 000 = 1200000 • (1 – i • 5) 
5%a.m. ou 05,0
6000
300
i
1200
300
i5
1200
900
1i5i51
1200
900



 
Resposta: A taxa mensal foi de 5%. 
21. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo 
vencimento estava marcado para 10 de junho do 
mesmo ano. Obtive um desconto de $4400,00, cal-
culado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o va-
lor nominal da promissória? 
Solução 
D = 4400 i = 0,06 
Consultando a tabela 1, obtemos a informação: 
 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
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Resposta: O valor nominal da promissória era de 
$40000,00. 
 JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO 
Por definição, juro simples é aquele pago unicamente 
sobre o capital inicial, ou principal, sendo diretamente pro-
porcional a esse capital e ao tempo em que este é aplica-
do. Pelo regime de capitalização simples o fator de propor-
cionalidade é a taxa de juros por período, i. 
JURO SIMPLES ORDINÁRIO 
Como o período financeiro mais comum é o ano, e pelo 
costume vigente, as operações com prazos superiores a 
um ano são, na maior parte das vezes, avaliadas pelo 
regime de capitalização composta, resulta que a fórmula 
do juro simples: 
J = C . i . n (1) 
Onde C = capital inicial ou principal; 
i = taxa de juros do período e 
n = prazo de aplicação (é a mais utilizada para períodos n 
menores do que um ano) 
Nessa hipótese, deve-se observar duas normas 
financeiras comuns: 
O ANO CIVIL - considera-se o ano civil como base de 
cálculo, isto é, o ano com 365 dias ou 366 dias, conforme seja 
bissexto ou não. Desse modo, um dia eqüivale, conforme o 
caso, à fração 1/365 ou 1/366 do ano. 
O ANO COMERCIAL - considera-se o ano comercial 
como base de cálculo, isto é, o ano de 360 dias, subdividido 
em 12 meses de 30 dias cada. Assim, um dia equivale à 
fração 1/360 do ano e um mês equivale à fração 1/ 12 do ano. 
JURO SIMPLES EXATO 
Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, deve-
se contar o tempo em seu número exato de dias. 
Exemplo: O juro de um capital aplicado de 17.3.19XI a 
25.6.19XI, é calculado sobre 100 dias, número exato de dias 
decorridos entre as duas datas. 
Sendo n o número exato de dias durante os quais um ca-
pital C é colocado a juros simples, à taxa i, obtém-se o juro 
calculando n/365, na fórmula (1) : J = C . i . n/365 ou J = C . i . 
n/366. 
O juro assim calculado, é chamado de juro simples exato. 
JURO SIMPLES COMERCIAL 
Adotando-se a convenção do ano comercial, deve-se 
computar o prazo de acordo com a mesma convenção, isto e, 
considerando-se cada mês como tendo 30 dias. Assim, por 
exemplo, de 17.3.Xl a 25.6.Xl deve-se contar 98 dias, da 
seguinte maneira: 
De 17.3 a 17.6 ...... 90 dias (3 meses) 
De 17.6 a 25.6 ...... 8 dias 
98 dias 
Representando por n o número de dias de corridos 
entre as duas datas e, calculando pelo processo acima 
temos que, um capital C aplicado à taxa i durante esse 
prazo, é obtido calculando n/360 na fórmula (1), resultando 
em J = C . i . n/360 (2) 
Denominaremos o juro, assim calculado, de juro simples 
ordinário ou usual. 
Como há tabelas que fornecem diretamente o número e-
xato de dias decorridos entre duas datas, na prática bancária, 
onde as operações, raramente, são realiza das a prazo supe-
rior a 120 dias, usa-se, freqüentemente, a fórmula (2), toman-
do-se, contudo, para n, o número exato de dias. 
Fórmulas Derivadas 
Considerando a fórmula básica (1) para o cálculo do juro 
em regime simples de capitalização, podemos, por simples 
transformação algébrica, encontrar o quarto termo ou valor da 
fórmula, desde que sejam dados os outros três, assim: 
a) Para calcular o capital inicial: C = J / i . n 
b) Para calcular a taxa de juros: i = J/C . n 
c) Para calcular o prazo: n = J/C . i 
OBSERVAÇÕES: 
Supõe-se que o juro e o principal são devidos apenas no 
fim do prazo de aplicação, a não ser que haja mudança de 
convenção. 
O prazo de aplicação (n) deve estar expresso na mesma 
unidade de tempo, na fórmula, a que se refere a taxa (i) con-
siderada. 
Exemplo 1 - Caso uma aplicação seja por 2 anos mas, a 
taxa de juros seja expressa em semestre, devemos converter 
o prazo para semestres. 
2. Taxa Percentual e Taxa Unitária 
FORMA PERCENTUAL - Neste caso, a taxa diz-se 
aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após 
dividir-se o capital por 100. A fórmula (1) tomaria, então, as 
seguintes formas: 
J = C. i/100.n ou 
J = C/100 . i . n ou 
J = C . i . n/100 ou 
o que é o mesmo que: 
J = C . i . n/100 (3) 
a partir da qual chega-se à expressão do montante ou va-
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
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lor futuro, como soma do capital e juros: 
M = C + C . i . n/100 
Exemplo 1 - Calcular o juro que rende um capital de 
$10.000 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% a.a. 
Resolução: Utilizando a fórmula (3), temos: 
J
x x
 
10 000 10 1
100
000
.
$1.
 
b) FORMA UNITÀRIA 
Agora a taxa refere-se à unidade do capital, isto é, calcula-
se o que rende a aplicação de uma unidade de capital no 
intervalo de tempo a uma dada taxa. 
Exemplo 2 - Se tivermos uma taxa de 0,24% a.a., então a 
aplicação de $1,00 por ano, gera um juro de $0,24. 
Exemplo 3 - No exemplo 1, com a taxa na forma unitária 
(0,10% a.a.). 
Resolução: J = 10.000 x 0,10 x 1 = 
J = $1.000,00 
Pode-se observar que para transformar a forma percentual 
em unitária, basta dividir a taxa expressa na forma percentual 
por 100. E, o inverso, transformar a forma unitária em percen-
tual, basta apenas multiplicar a forma unitária por 100. 
OBSERVAÇÃO: 
A fim de diferenciar, simbolicamente, a taxa de juro per-
centual da taxa de juro decimal ou unitária, podemos conven-
cionar que: 
A notação r signifique a taxa de juros efetiva em cada pe-
ríodo de capitalização, dada em porcentagem, e sempre men-
cionando a unidade de tempo considerada. Exemplo: r = 15% 
ao ano. 
A notação i signifique a taxa de juros efetiva em cada perí-
odo, dada em fração decimal. Exemplo: 
i = r/100 = 0,15 a.a. 
A taxa i será usada no desenvolvimento de todas as 
fórmulas, enquanto, r será usada na fixação os juros. 
3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva 
Por definição, a taxa nominal é aquela cujo período de 
capitalização não coincide com aquele a que ela se refere, ou 
seja, é aquela em que a unidade de referência de seu tempo 
não coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. A taxa nominal, normalmente, é dada em 
termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser 
diários, mensais, trimestrais, ou semestrais. 
Exemplo 1 - São exemplos de taxas nominais: 
a) 6% a.a. capitalizados trimestralmente; 
b) 30% a.a. capitalizados mensalmente; 
c) 18% a.a. capitalizados semestralmente. 
No mercado financeiro, encontramos a taxa nominal sen-
do muito utilizada como referência, mas não sendo usada nos 
cálculos, por não representar uma taxa efetiva. Esta, por estar 
embutida na taxa nominal, é a taxa que realmente interessa, 
pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de 
capitalização. 
Exemplo 2 - Aproveitando os mesmos dados do Exemplo 
1 vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas 
decorrentes das taxas nominais: 
 6% a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma 
taxa efetiva de: 
 6% a.a./4 trimestres =1,5% a.t. 
 30% a.a., capitalizados mensalmente, significa uma 
taxa efetiva de: 
 30% a.a./12 meses = 2,5 a.m. 
 18% a.a., capitalizados semestralmente, significa uma 
taxa efetiva de: 18% a.a./2 semestres = 9% a.s. 
Uma vez encontradas as taxas efetivas, devemos aban-
donar as taxas nominais e efetuar todos os cálculos com as 
taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1,5% a.t., 2,5% a.m. 
e 9% a.s. 
Devemos ter em mente que a obtenção da taxa efetiva 
contida na taxa nominal é feita no regime de juros simples, e 
que, neste regime, as taxas nominais serão sempre taxas 
efetivas. Ainda, por convenção, a taxa efetiva, que é aquela a 
ser considerada na aplicação de fórmulas, correspondente a 
uma dada taxa nominal é a taxa que, relativa ao período de 
capitalização mencionado, lhe seja proporcional. 
Concluíndo, podemos definir taxa efetiva ou real como 
sendo aquela em que a unidade de referência de seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitaliza-
ção. Considerando o exemplo 2 , dizemos 1,5% a,t., simples-
mente, ao invés de dizermos, 1,5% a.t., capitalizados trimes-
traImente . 
4. Taxas Proporcionais 
Pelo regime de juros simples, duas ou mais taxas de juros 
são consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas a 
um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, 
produzirem um mesmo montante acumulado, ao final daquele 
período. Donde se conclui que, o conceito de taxas 
proporcionais, está estritamente vinculado ao regime de juros 
simples. 
Exemplo 1- Calcular o montante acumulado (VF), no final 
de três anos, considerando um capital inicial (VP) de 
$1.000,00, pelo regime de juros simples, para cada uma das 
seguintes taxas de juros: a) 36% ano ano; b) 18% ao 
semestre; c) 9% ao trimestre; d) 3% ao mês; e, e ) 0,1% ao 
dia. 
Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n) 
a) VP= $1.000,00; ia = 0,36; n= 3 anos; VF = ? 
 VF= 1.000 (1 + 0,36 x 3) = 1.000(1 + 1,08) = 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 17 
VF= 1.000 (2,08) = 2.080 
 
b) VP= $1.000; is= 0,18; n= 6 semestres; VF= 
VF= 1.000(1 + 0,18 x 6) = 1.000(1 + 1,08) = 
VF= 1.000(2,08) = 2.080 
 
c) VP= $1.000,00; it= 0,09; n= 12 trimestres; VF = ? 
VF= 1.000(1 + 0,09 x 12) = 1.000(1+1,08) = 
VF= 1.000(2,08) = 2.080 
 
d) VP= $1.000,00; im= 0,03; n= 36 meses; VF=? 
VF= 1.000(1 + 0,03 x 36) = 1.000(1+1,08) = 
VF= 1.000(2,08) = 2.080 
 
e) VP= $1.000,00;id= 0,001; n= 1.080 dias 
VF= 1.000(1 + 0,001 x 1.080) = 
VF= 1.000(1 + 1,08) - 1.000(2,08) = 2.080 
Podemos concluir que, as taxas 36% a.a.;18%a.s.; 9% 
a.t.; 3% a.m.; e, 0,1% a.d., são proporcionais, porque aplica-
das sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total, 
resultaram em um mesmo montante acumulado. 
Se considerarmos o ano comercial, ou seja, o ano com 
360 dias, as fórmulas, a seguir, conduzem ao cálculo dessas 
taxas proporcionais: 
i i i i ia s t m d       2 4 12 360
 
5. Taxas Equivalentes 
Pelo regime de juros simples, duas taxas são considera-
das equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo 
capital inicial, durante um mesmo prazo, ambas gerarem o 
mesmo montante acumulado no final daquele prazo. 
Exemplo 1 - Seja um capital inicial de $20.000,00 que 
pode ser aplicado, alternativamente, à taxa de 3% a.m. ou de 
36% a.a. 
Considerando um prazo de aplicação de 3 anos, certificar 
se as taxas são equivalentes. 
Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n), temos: 
a) VP= $ 20 .000; ia = 0,36 ao ano; n= 3 anos; 
VF = ? 
VF= 20.000(1 + 0,36 x 3) = 20.000(2,08) = 
VF= 41.600 
 
b) VP= $20.000,00; im= 0,03 ao mês; n= 36 meses; VF = 
? 
VF= 20.000(1 + 0,03 x 36) = 20.000(2,08) = 
VF= 41.600 
Através desse exemplo, certificamos que, o montante 
acumulado (VF) é igual nas duas hipóteses e, dessa maneira, 
constatamos que a taxa de 3% a.m. é equivalente à taxa de 
36% a.a. 
Podemos, então, concluir que, pelo regime de juros sim-
ples, as taxas proporcionais de juros são igualmente equiva-
lentes, e que tanto faz, falarmos que duas taxas de juros são 
proporcionais ou são equivalentes. 
6. Prazo, Taxa e Capital Médios 
Quando os prazos de diversos capitais não são os mes-
mos e as taxas de juros diferem entre si, recorremos ao expe-
diente de calcular a média para cada caso. Vamos utilizar 
exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de exporos 
conceitos: 
PRAZO MÉDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS 
CAPITAIS 
CASO 1 - TAXAS IGUAIS 
Pode-se determinar o prazo médio de vencimento de di-
versos capitais empregados a tempos diferentes. O critério é 
considerar os capitais como pesos. A fórmula será, pois, cha-
mando n1, n2, n3 :. os tempos dados, supostas as taxas iguais: 
Prazo médio (PMe) = 
C n C n C n
C C C
1 1 2 2 3 3
1 2 3
  
  
...
...
 
Exemplo: O Sr. Elesbão deve a um terceiro, os seguintes 
capitais a 10% a.a.; $2.000 a 45dias; $5.000 a 60 dias e 
$1.000 a 30 dias. Quando poderá pagar tudo de uma só vez, 
de modo que desta unificação de vencimentos não advenha 
prejuízo nem para o devedor nem para o credor? 
Resolução: 
Aplicando a fórmula acima, temos: 
     
PMe
x x x

 
 
2 000 45 5 000 60 1000 30
2 000 5 000 1000
. . .
. . .
 
 
PMe  
420 000
8 000
52 5
.
.
,
 dias 
Ao fim deste prazo, a contar da data da operação, pode 
ser feito o pagamento integral dos capitais devidos, disso não 
resultando, prejuízo algum, nem para o devedor nem para o 
credor. 
 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 18 
CASO 2 - TAXAS DIFERENTES 
Quando isto acontece, o critério a adotar-se é o mesmo do 
caso dos, tempos diferentes para a taxa média, escrevendo-
se 
PMe
C i n C i n C i n
C i C i C i

  
  
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 2 2 3 3
. . .
. . .
 
funcionando agora, como pesos, os produtos dos capitais 
pelas respectivas taxas. 
Exemplo: Calcular o prazo médio de vencimento, para 
pagamento de uma só vez dos seguintes capitais: $ 20.000 
por 6 meses a 6% a.a. e $ 50.000 por 4 meses a 12% a.a. 
Resolução: utilizando a fórmula acima, temos: 
     
     
PMe 





 







20 000 6
6
12
50 000 12
4
12
20 000 6 50 000 12
. .
. .
 
PMe  
260 000
720 000
0 36
.
.
,
 do ano ou 4 meses e 9 
dias. 
OBSERVAÇÃO: 
Quando os capitais forem iguais, deve-se tomar, como 
pesos, as taxas dadas, vindo pois: 
PMe
i n i n i n
i i i

  
  
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
 
b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS 
CASO 1 - TAXA ÚNICA 
Quando vários capitais são empregados em tempos dife-
rentes e todos a uma só taxa, o total dos juros produzidos é 
dado, a partir da fórmula: J = C . i . n, pela soma; 
Juros Totais = C1in1 + C2in2 + C3in3 + ... na qual i é a taxa 
única, C1 , C2, C3 . . . os capitais dados e n1, n2, n3 ... os 
tempos correspondentes. 
Exemplo: A Sra. Pancrácia da Silva deve os seguintes ca-
pitais, a 12% a.a.; $1.500 em 30 d; $5.000 em 90 d; $2.400 
em 60 d. Calcular o total dos juros devidos. 
Resolução: 
Exprimindo-se os tempos em frações do ano comercial, 
tem-se, de acordo com a fórmula acima: 
JT = 0,12[(1.500x30/360)+(5.000x90/360)+ 
(2.400x60/360)] 
JT = $ 213,00 
c) TAXA MÉDIA 
É a operação que tem por objetivo determinar uma taxa de 
juros capaz de substituir várias outras relativas a capitais 
empregados. É uma aplicação da média ponderada. 
CASO 1 - TEMPOS IGUAIS 
Para a dedução da fórmula, consideremos os capitais C1, 
C2, C3, ...colocados respectivamente, às taxas i1, i2, i3, 
...anuais e todos pelo mesmo prazo. Tomando-se os capitas 
como pesos, pode-se escrever: 
Taxa Média = 
TMe
C i C i C i
C C C

 
 
11 2 2 3 3
1 2 3
...
...
 
Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: 
$1.500 a 10% a.a.; e, $5.000 a 12% a.a. Calcular a taxa mé-
dia de juros anuais. 
Resolução: 
Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e 
dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais, obtém-
se: 
   
TMe
x x




1500 010 5 000 012
1500 5 000
0115
. , . ,
. .
,
 
ou seja, na base percentual, 11,5% 
OBSERVAÇÃO: Se os capitais fossem iguais, a solução 
do problema recairia sobre o princípio da média aritmética 
simples, bastando que se calculasse a média das taxas. 
CASO 2 - TEMPOS DIFERENTES 
O método a ser adotado é o da média ponderada, porém, 
funcionando como pesos, os produtos dos capitais pelos 
respectivos tempos. Temos assim: 
TMe
C i n C i n C i n
C n C n C n

 
 
11 1 2 2 2 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
 
Exemplo: Sinfrônio e sua noiva contraíram as seguintes 
dívidas para poderem realizar o casamento deles: $ 2.000 a 
12% a.a. por 2 meses; 
$ 5.000 a 8% a.a. por 3 meses; e, 
$10.000 a 10% a.a. por 1 mês. 
Calcular a taxa média anual. 
Resolução: 
Utilizando a fórmula anterior, temos: 
Tme
x x x x x x
x x x






 





 











 





 






2 000 012
2
12
5 000 0 08
3
12
10 000 01
1
12
2 000
2
12
5 000
3
12
10 000
1
12
. , . , . ,
. . .
 
TMe  
223 33
2 416 66
0 092
,
. ,
,
 ou 
9,2
 a.a. 
7. Equivalência de Capitais 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 19 
A necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas 
operações financeiras, é muito frequente. Às vezes, 
precisamos substituir um título por outro ou um título por 
vários. Podemos, também, ter vários títulos que precisamos 
substituir por um único. Tais situações dizem respeito, 
geralmente, à equivalência de valores distintos relacionadas 
com datas distintas. 
Dois capitais são equivalentes numa certa época, se, nes-
sa época seus valores presentes são iguais. O problema de 
equivalência de capitais diferidos aplica-se quando existe a 
substituição de um título por outro(s), com data(s) diferente ( s 
) . 
Seja VN o valor nominal de um título para n dias. O pro-
blema consiste em encontrar um valor VN' de um outro título, 
equivalente ao primeiro, com vencimento para n' dias. 
D
VN n



 Obs.: VN = VF = valor do Resgate do 
Título 
Seja VP o valor presente do 1.º título e VP' o do 2.º; 
temos: 
VP VF
VF n
 


 e 
VP VF
VF n
' '
' '
 


 
Como VP = VP', vem: 
VF
VF n
VF
VF n


 

 
'
' '
 
   nΔVFn'ΔVF'nVFΔVF
 
 
 
 
nΔ
nΔVF
VF'n'ΔVF'



 
Exemplo 1 - Um Comerciante deseja trocar um título de 
$10.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento de 
5 meses. Considerando a taxa de juros contratada de 3% a.m. 
para esta transação, calcular o valor nominal do novo titulo. 
Resolução: 
VF = 10.000; n = 90 dias; n'= 150 dias; 
  
36 000
36
1000
.
.
 
Utilizando a fórmula anterior, temos: 
 
VF'
. .
.
$10. ,



10 000 1000 90
1000 150
705 80
 
O valor nominal do 2.º título ($10.705,80) é equivalente ao 
valor nominal do 1.º ($10.000). 
8. Montante 
O montante composto é o resultado que se obtém ao 
incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. 
Se se dispõe de um capital C e aplica-se em um banco e 
deseja-se saber o montante M do qual se disporá ao final de 
um período n, basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. 
Assim: 
M = C + J, porém J = C . i . t, quando t = 1, 
J = C . i, assim M = C + C . i que fatorando: 
M = C (1 + i)Como pode-se ver, o montante de um capital ao final de 
um período se obtém multiplicando este pelo fator ( 1 + i ) . 
Desta maneira, ao final do segundo período, temos: 
M = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C ( 1 + i )
2
 
Ao final do terceiro período, temos: 
M = C ( 1 + i )
2
 ( 1 + i ) = C ( 1 + i )
3
 
e assim sucessivamente. Esta sucessão de montantes 
forma uma progressão geométrica cujo n-ésimo termo é igual 
a: 
M = C ( 1 + i ) n 
Esta equação é conhecida como a fórmula do montante 
pelo regime de juros compostos. 
Exemplo 1 - Um investidor aplica a prazo fixo, em um 
banco, a quantia de $500.000,00 à taxa de 48,0% a.a. 
capitalizável mensalmente. Qual será o montante acumulado 
em 2 anos? 
Resolução: M = C ( 1 + i ) 
n
 
Como já observamos, o período de cálculo deve ser o 
mesmo para i e para n. Assim, para calcular a taxa de juros 
mensal, divide-se a taxa anual entre a frequência de 
conversão: 
i = 
taxa de juros anual
frequencia de conversao
 = 
18
12
 = 0,04 ou i = 4,0 % a.m.
 
Para determinar n, multiplica-se o lapso em anos pela 
frequência de conversão: 
n = 2 (12) = 24 assim M = 500.000 ( 1 + 0,04 )
24
 ou M = 
500.000 ( FVFPU ) 
Fator de Valor Futuro de Pagamento Único (FVFPU ) 
FVFPU = (1 + 0,04)
24
 
Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem 
quatro alternativas : 
Utilizar papel e lápis e realizar a operação 24 vezes. 
Resolver a equação utilizando logaritmos. 
Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de 
finanças. 
Empregar calculadoras financeiras. Este é o meio mais 
prático. 
FVFPU = (1, 04)
24
 = 2,5633 
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Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 20 
M = 500.000 ( 2,5633 ) = 1.281.650 
Em dois anos, a aplicação de $500.000 transformar-se-á 
em um montante de $1.281.650,00 pela geração de um juro 
composto de $781.650,00. 
Exemplo 2 - Um indivíduo obtém um empréstimo bancário 
de $1.500.000 a ser pago dentro de um ano e com juros de 
52,0% conversível trimestralmente. Qual é o montante que 
deverá ser liquidado? 
Resolução: 
Primeiramente, determina-se a taxa de juros por período 
de conversão: 1 = .54/2 = .13 
n = 12 / 3 = 4 
M = C ( 1 + i )
n
 = 1.500.000 ( 1,13 )
4
 = 
M = 1.500.000 ( 1,6305 ) = 2.445.750 
A quantia a ser liquidada será de 52.445.750 
8. Valor Atual, Valor Presente ou Principal 
O valor atual, presente ou principal de um pagamento 
simples, ou único, é o valor de um mon tante a ser pago 
ou recebido daqui a n anos, descontado a uma taxa que 
determine o seu valor hoje, no momento zero. 
Para calcula-lo, vamos utilizar a fórmula do montante 
ou valor futuro: 
M = C ( 1 + i ) 
n
 
Como C indica o capital no momento zero, temos: 
 
  = ni + 1 M = n
 i + 1 
M
 = C

 
 
 
FVAPU) ( M = n
i + 1 
1
 M 





 
FVAPU = Fator de Valor Atual de Pagamento Único 
Generalizando, podemos dizer que conhecendo 3 das 4 
variáveis envolvidas: M, C, n, i, podemos calcular a quarta. 
Exemplo 1 – Quanto se deve depositar em um banco 
se desejar obter um montante de $ 5.000.00 dentro de 3 
anos a uma taxa de juros de 20,0% a.a., capitalizável 
semestralmente? 
Resolução: 
Pela fórmula: M = C ( 1 + i ) 
n 
, temos: M = 5.000.000; 
i = 10.0% a.s.; n = 6 semestres 
Calculando o FVAPU = 1/(1,10)
6
 = 1 / 1,7716 
C = 5.000.000 / (1,10)
6
 = 
5.000.000 / 1,7716 = C = 2.822.307,52 
Deve-se depositar $2.822,307,52 
Exemplo 2 - José Elesbão deseja adquirir uma casa 
pelo valor de $15.000.000,00. O vendedor pediu-lhe 50,0% 
de entrada e 50,0% em um ano e meio, quando do término 
da construção da casa e entrega do imóvel. Quanto 
Elesbão deve depositar num banco hoje para poder 
garantir a liquidação de sua dívida, se a taxa de juros 
vigente é de 7,0% a.m.? 
Resolução: 
José Elesbão paga neste momento $7.500.000,00 
(50.0% na operação e, deve pagar outro tanto daqui a 18 
meses). 
Para calcular a quantidade de dinheiro que deve 
depositar hoje, vamos a fórmula do valor atual : 
 M = C ( 1 + i ) 
n 
 
 
 = 
18
 1,07 
1
 7.500.000








 
 
372.218.979, = 
3,3799
1
 7.500.000 





 
A fim de garantir o pagamento de sua dívida, Elesbão 
deve depositar $2.218.979,37 já para ter os $7.500.000,00 
restantes daqui a um ano e meio. 
Como se pode ver nestes exemplos, C é o valor 
presente, atual ou principal de M. Isto é, pode-se 
considerar que o capital C e o montante M são dois valores 
equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um 
período determinado n. 
Exemplo 3 - A Cia de Modas Messeder, planeja 
realizar um investimento de $2.000.000,00 para produzir 
um artigo de moda do qual espera uma receita total de 
$5.000.000 dentro de dois anos. Considerando uma 
inflação média anual de 50,0%, e que os juros real i, seja 
igual a 5.0% a.a., convém à C.M.M, investir? 
Resolução: 
Comparam-se os $2.000.000,00 que se devem investir 
no momento zero com $5.000.000,00 que se espera 
receber em 2 anos. Para fazer essa comparação, é 
necessário que ambas as quantidades de dinheiro sejam 
equivalentes. 
Em primeiro lugar, devemos calcular a taxa nominal de 
juros: i = taxa nominal; r = taxa real de juros; d = taxa de 
inflação. 
i = ( 1 + r ) ( i + d ) - 1 
i = ( 1,05 ) ( 1,50 ) - 1 = 0,575 ou 57,5% a.a. 
 
C = M 
1
 1,575
 = 5.000.000 
1
2,4806
 = 
2














 
C = 2.015.641,38 
Conforme apuramos, $2.015.641,38 é maior que 
$2.000.000,00. Portanto, a C.M.M, deve investir, por que 
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além de descontar a inflação de 50,0% a.a., a empresa 
será remunerada à taxa de 5,0% a.a., que é a taxa de 
mercado e, ainda vão sobrar $ 15.641,38 
Exemplo 4 - Uma companhia de mineração descobriu 
uma jazida de manganês e deve decidir sobre a 
conveniência ou não de sua exploração. A fim de poder 
beneficiar o mineral, é necessário realizar uma inversão de 
$350.000.000,00 Seus analistas financeiros estimam que a 
jazida tem minério suficiente para 3 anos de exploração e, 
de acordo com os preços vigentes do metal, as entradas 
de caixa seriam os seguintes: 
Ano 1 = $100.000.000,00; 
Ano 2 = $200.000.000,00; 
Ano 3 = $300.000.000,00; 
Estimando que a taxa de inflação, em média, seja de 
30.0% a.a. e que a taxa de juros real desejada pela 
empresa seja de 10,0% a.a., deve a companhia aprovar o 
projeto? 
Resolução: 
C = $350.000.000,00 
Entradas de Caixa = Ecx1 = $100.000.000,00 
= Ecx2 = $200.000.000,00 
= Ecx3 = $300.000.000,00 
d = 30,0% a. a. ; r =10,0% a.a.; i = ? 
i = (1 + d) (1 + r) - 1 = (1,3) (1,1) - 1 = 
i = 1,43 - 1 = 0,43 = 43,0% a.a. 
 
Valor Presente das Entradas de Caixa = VPECx 
   
VPECx = 
ECx
 1 + i 
 = 
200.000.000
 1,43 
 = 97.804.294,*2
2
n 2 
   
VPECx = 
ECx
 1 + i 
 = 
100.000.000
 1,43 
 = 69.930.070,*1
1
n 1
 
   
VPECx
n3 3
 = 
ECx
 1 + i 
 = 
300.000.000
 1,43 
 = 102.591.916 *2
 
* (centavos arredondados) 

 VPECx = somatório das ECx descontadas =VPECx1 + VPECx2 + VPECx3 

VPECx = 69.930.070 + 97.804.294, + 102.591.916, = 
VPECx = 270.326.280, 
Observamos que, o total do valor presente das 
entradas de caixa ($270.326.280) é menor que o 
investimento inicial necessário para sua exploração 
($350.000.000,). Portanto, a companhia não deve explorar 
a jazida, a menos que o preço do metal se eleve e com ele, 
elevem-se as entradas de caixa. 
9. Desconto Racional Composto 
É o desconto obtido pela diferença entre o VALOR 
NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso 
que seja saldado n períodos antes do vencimento, 
calculando o valor presente à taxa de desconto. Sendo : 
 N = valor nominal ou montante do compromisso em 
sua data de vencimento. 
 n = número de períodos compreendido entre a data 
de desconto e a data de vencimento. 
 i = taxa de juros utilizada na operação. 
 Dr= desconto racional composto 
 Vr= valor descontado racional composto na data de 
desconto, calculado à taxa de desconto. 
A fórmula utilizada, é: 
 
Vr n
 = N 
1
 1 + i










 
Podemos reparar que, essa fórmula do valor 
descontado, é a mesma do valor presente calculado no 
regime de juros compostos, onde: 
Vr = C e N = M 
O desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal 
e o valor descontado: 
   
D = N - V N - 
N
 1 + i 
 = N 1 - 
1
 1 + i 
r r 










n n
 
Exemplo 2 - Um título no valor de $100.000,00 foi 
saldado seis meses antes do vencimento. O possuidor do 
título obteve uma taxa de desconto de 2,0% a.m. Calcular 
o desconto racional e a quantia recebida. 
Resolução: 
N = 100.000; i = 2,0% a.m.; n = 6 meses 
Utilizando a fórmula, temos: 
   
Dr n

















 N 1-
1
1+ i
 = 100.000 1 - 
1
 1,02 
6
 
 
 Dr = 100.000 0,1121 = 11.210
 
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E a quantia recebida: 
Vr = N – Dr = 100.000 - 11.210 = 88.790 
 
Observe que, se aplicarmos o valor descontado (Vr) por 
6 meses à taxa de juros compostos de 2,0% a.m., 
obteremos: 
N = C6; Vr = C0 

 C6 = C0 ( 1 + i )
6
 = 
N = 88.790 (1,02)
6
 = 88.790 ( 1,1262 ) 

 100.000 
E os juros devidos são dados por: 
J C6 0 = C = 100.000 - 88.790 = 11.210 J = D6 6 r 
 
Fica evidenciado que o desconto racional composto é 
igual ao juro devido no período de antecipação, desde que 
seja calculado à taxa de desconto. 
Exemplo 3 - Um título de valor nominal de $ 30.000,00 
foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 
5,0% a.m. Calcule o desconto racional concedido. 
Resolução: 
Para simplificar a notação, passaremos a indicar: 
 
1
 1 + i 
n
 por ( 1 + i )
-n
, assim a fórmula fica: 
Dr = N [ 1 - (1 + i)
-n 
] N = 30.000; 1 = 5.0% a.m.; n = 4 
meses; Dr =? 
Dr = 30.000 [1- (1,05)
4 
] =30.000 ( 1-0,8227 ) 
Dr = 30.000 (0,1773)  5.319 
Exemplo 4 - A Financeira Desconta Tudo informou, ao 
descontar uma Nota Promissória no valor de $10.000,00 
que, sua taxa de desconto racional era de 36,0% a.a.. Se o 
desconto fosse realizado 3 meses antes do vencimento, 
qual se ria o valor do resgate (valor líquido) a ser recebido 
pelo possuidor do título? 
Resolução: 
N = 10.000; i = 36.0% a.a.; n = 3 meses; Vr = ? 
Vr = N (1+ 1)
-n
 = 10.000 [ ( 1,36 )
1 / 12 
 ]
 -3 
 = 
Vr = 10.000 [ 1,0259 ]
-3 
 = 10.000 [ 0,9262 ] = 
Vr = $ 9.261,58 
Exemplo 4 - O Sr. Leôncio Armando, numa operação 
de desconto recebeu $ 10.000,00 como valor de resgate. 
Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o 
desconto de $ 1.401,75, calcule a taxa de juros anual 
utilizada na operação. 
 
Resolução: 
Vr = 10.000; Dr = 1.401,75; n = 6 meses; i = ? 
Vendo Vr = N - Dr deduzimos que, N = Vr + Dr 

 N = 10.000 + 1.401,75 = 11.401,75 
Utilizando a fórmula, vem: 
Vr = N ( i + 1 )
-n
 ou N = Vr ( i + 1 )
n
 
Substituindo os termos, temos: 
10.000 = 11.401,75 (1+i)
-6 / 12 
 (considerando-se i 
anual) 
    1 + i = 
11.401,75
10.000,00
 = i + 1 = 1,140175
6 12 1 2
 
      1,30 = i + 1 = 2 1,140175 = 221 i + 1 
 
i = 0,30 ou 30,0 % a. a.
 
Exemplo 5 - O Sr. Cristiano José descontou um título 
no valor nominal de $6.500,00 e o desconto concedido foi 
de $835,63. Considerando que a taxa de juros de mercado 
era de 3,5%a.m. Calcular o prazo de antecipação. 
 
Resolução: 
N = 6.500; Dr= 835,63; 
i = 3,5% a,m.; n = ? 
Utilizando a fórmula: Dr = N [ 1 - (1 + i)
-n 
] , temos: 
835,63 = 6.500 [ 1 - (1,035) ] 
-n
 
   
835 63
6 500
,
.
 = 1 - 1,035 0,128558 = 1 - 1,035 
 

n n
 
  = 0,871442 n 1,035 0,1285581 
 
 
 
 n1,035
0,871442
1
 = n
1,035 
1

 
 
 1,147524 = 1,035 n
 
As opções para encontrar n são três: 
1) utilizar uma máquina calculadora de boa qualidade; 
2) procurar em tabelas financeiras para i = 3,5%; e 
3) empregar logaritmos. 
CEF – MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 
 
 
 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Matemática A Opção Certa Para a Sua Realização 23 
 
Vamos utilizar a opção prática de demonstrar os 
cálculos, que é através de logaritmos: 
log 1,147524 = n log 1,035 
procurando na tabela de logaritmos, encontramos: 
 0 059762
0 01494
,
,
 = n 0,1494 n = 
0,059762
 = 4 meses
 
Exemplo 6 - Caso a antecipação seja de 8 meses, o 
valor de um compromisso é de 5 vezes o desconto 
racional. Qual é o seu valor nominal, sabendo-se que o 
valor líquido (valor de resgate) é de $1.740,00? 
Resolução: 
Vr = 1.740; n = 8; N = 5Dr 
Sendo N = 5 Dr , temos: N / Dr = 5 e 
Dr / N = 1/ 5 = 0,20 
Utilizando a fórmula Dr = N [ 1 - ( i + 1 )
-n 
], vem: 
   D Nr
n 
 = 1 - 1 + i 1 + i 
 
  0 20 1
8
,
 
   1 8 8 - 0,20 = 1 + i = 0,80 = 1 + i  
 
   1 0 80 8 8, = 1 + i = 1,25 = 1 + i 
 
i   0,028286 ou i 2,83 a.m.
 
substituindo a taxa encontrada na fórmula: 
N = Vr ( 1 + i )
n
, vem: N = 1.740 (1,028286)
8
 
N = 1.740 ( 1,25 ) 

 N = $ 2,175 
 
CAPITAIS EQUIVALENTES 
Como já foi visto neste trabalho, o dinheiro tem um 
valor diferente no tempo; não é a mesma coisa ter 
$1.000,00 neste momento e dentro de um ano depois, 
dependendo da taxa de inflação vigente, este verá 
reduzido seu valor em maior ou menor grau. 
Conceitualmente, dois ou mais valores nominais, 
referentes a datas de vencimentos determinadas, se 
dizem equivalentes quando seus valores, descontados 
para uma mesma data, à mesma taxa em condições 
idênticas, produzirem valores iguais. Isto pode ser 
demonstrado de forma simbólica, assim: 
Os capitais C1, C2, C3..., Cn‘ , com vencimentos nas 
datas t1, t2, t3,...,tn‘, respectivamente, considerados a partir 
da data de referência t0, são ditos equivalentes se os seus 
respectivos valores presentes na data focal t0, considerada 
a taxa de juros i, forem iguais; ou seja, esses capitais serão 
equivalentes se: 
       
C
 1 + i