Sistemas mecânicos de grau de liberdade 1 e 2

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
Departamento de Ciências Exatas
Especialização em Matemática
Trabalho de conclusão de curso
SISTEMAS MECÂNICOS COM 1 E 2 GRAUS DE
LIBERDADE
Leandro Correia Araújo
Orientador: Prof. Dr. Jean Fernandes Barros
Feira de Santana
Março de 2018
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
Departamento de Ciências Exatas
Especialização em Matemática
SISTEMAS MECÂNICOS COM 1 E 2 GRAUS DE
LIBERDADE
Leandro Correia Araújo
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Curso
de Especialização em Matemática do Departamento de
Ciências Exatas, UEFS, como requisito parcial para a
obtenção do t́ıtulo de Especialista.
Orientador: Prof. Dr. Jean Fernandes Barros
Feira de Santana
03 de Março de 2018
Agradecimentos
Agradeço inicialmente à Deus, por todas as graças com as quais Ele nos têm dado.
A minha mãe e aos familiares.
A todos os professores do curso de Especialização e, em especial, aos professores Kisn-
ney e Jean, meu orientador, que nos acompanharam por um tempo maior durante o curso
com muita dedicação e nos inspirando enquanto profissionais.
i
Resumo
Esse trabalho é um breve estudo de Mecânica Newtoniana, a qual foi e ainda é uma área
muito rica para a Matemática e para a F́ısica. Abordamos os sistemas mecânicos com um
e dois graus de liberdade do ponto de vista da Matemática, tentando analisar com um
mı́nimo de rigor alguns dos principais conceitos e resultados pertinentes a tais sistemas.
Mostramos como a existência de uma integral primeira do sistema possibilita reduzir o
grau do mesmo. E, ao final, estabelecemos a equivalência entre as leis de Kepler e a lei de
Newton da gravitação.
Palavras-Chave: Lei da conservação de energia, Campo central, Lei de conservação
do Momento angular, Leis de Kepler.
ii
Abstract
This work is a brief study of Newtonian Mechanics, which was and still is a very rich
area for Mathematics and Physics. We approached mechanical systems with one and two
degrees of freedom from the point of view of Mathematics, analyzing with a minimum of
rigor some of the main concepts and pertinent results to such systems. We showed with
the existence of a first integral of a system makes us to reduce its degree of freedom. At
the final, we established the equivalence between Kepler’s law and Newton’s law of the
gravity.
Key-words: The law of conservation of energy, Central fields, The law of conservation
of angular momentum, Kepler’s laws.
iii
Sumário
Agradecimentos i
Resumo ii
Abstract iii
Sumário iv
Introdução 1
1 Sistemas com um grau de liberdade 3
2 Sistemas com dois graus de liberdade 10
2.1 Relação entre trabalho e energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Campos centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 A segunda lei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Investigação do movimento em um campo central 24
3.1 Redução a um problema unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Integração de uma equação de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Investigação das órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 As leis de Kepler e a lei de Newton da gravitação . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Conclusão 31
Referências Bibliográficas 32
iv
Introdução
O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um texto que possa servir de inspiração
ao estudo da Mecânica Clássica. Historicamente, é comum que aconteça o desenvolvimento
da f́ısica teórica e, após isso, o desenvolvimento de ferramentas matemáticas para dar su-
porte às teorias elaboradas. Sendo assim, partimos do pressuposto contrário, pretendemos
aqui, criar o ambiente matemático necessário para o estudo e compreensão da mecânica e
posteriormente observar algumas aplicações na F́ısica. Vale ressaltar que alguns resulta-
dos importantes na mecânica clássica foram obtidos nos anos 90 e 2000, mantendo-a como
importante área de pesquisa na matemática.
A Mecânica Clássica divide-se em três formulações principais: Newtoniana, Lagrangi-
ana e Hamiltoniana. Estamos interessados na formulação newtoniana da mecânica, sendo
o nosso pilar inicial a segunda lei de Newton. Analisaremos então sistemas com um e dois
graus de liberdade, realizando uma breve análise destes e chegando ao final às formulações
das leis de Kepler.
Para a leitura do presente texto, são necessários apenas conhecimentos de cálculo
e de equações diferenciais, observando que estamos, implicitamente, sempre admitindo
o teorema de existência e unicidade das soluções de equações diferenciais ordinárias, o
qual não é enunciado no texto. O leitor pode encontrar seu enunciado e demonstração
em [1, 8]. Consideraremos apenas exemplos de massa unitária constante, sabemos da
importância de sistemas com massa variável, porém para este trabalho tais sistemas não
serão considerados.
No caṕıtulo 1, definimos os sistemas mecânicos com um grau de liberdade. Observamos
que tais sistemas são completamente determinados por quadratura, exibindo uma famı́lia
de potenciais. E através da lei de conservação de energia, fazemos uma análise qualitativa
destes sistemas, estudando as curvas de nivéis de um potencial.
No caṕıtulo 2, definimos os sistemas mecânicos com dois graus de liberdade. Como
no caso de sistemas de um grau, mostramos que a energia total é conservada. A seguir,
exibimos uma classe importante de campos conservativos, que são os campos centrais.
Mostraremos que para campos centrais, o momento angular é preservado. Este é o teor
da segunda lei de Kepler.
No caṕıtulo 3, investigamos o movimento num campo central. E mostramos como a
1
conservação do momento angular, permite-nos reduzir o grau do sistema. Sendo assim,
podemos tratar o movimento num campo central como um movimento unidimensional. E
então, utilizamos esta redução para obter as leis de Kepler. E no final, demonstramos que
as leis de kepler equivalem a lei de Newton da gravitação.
O leitor notará ainda que grande parte deste trabalho baseia-se nos primeiros caṕıtulos
de [2], acrescida de informações adicionais advindas principalmente de [1, 4, 9]. As imagens
de autoria própria foram obtidas utilizando os softwares Winplot, Microsoft Paint e Adobe
Photoshop CS2, estes dois últimos também utilizados para edições das outras imagens
utilizadas no texto.
2
Caṕıtulo 1
Sistemas com um grau de
liberdade
Neste caṕıtulo, estudaremos sistemas mecânicos com um grau de liberdade. Veremos que
a observação do gráfico da energia potencial é suficiente para uma análise qualitativa da
equação do sistema. E mais, mostraremos que estes sistemas podem ser completamente
resolvidos por quadraturas. Para este caṕıtulo utilizamos os livros [1, 2, 9].
Definição 1.1. Um sistema com um grau de liberdade é uma equação diferencial do tipo
ẍ = F (x), (1.1)
onde F é uma função diferenciável definida no intervalo I ⊂ R no x-eixo. Aqui, a classe
de diferenciabilidade de F é de acordo com a necessidade. Podemos assumir que F está
definida em toda a reta real, como é o caso da maioria dos problemas em Mecânica.
A equação (1.1) é equivalente ao sistema:
ẋ = y (1.2)
ẏ = F (x)
Na mecânica, utilizamos a seguinte terminologia:
1. I é o espaço de configurações;
2. x é a coordenada;
3. y(= ẋ) é a velocidade;
4. ẏ é a aceleração;
5. I × R é o espaço fase. Neste caso, como este espaço é bidimensional, é comum
denominá-lo de plano fase, ou, mais precisamente, de (x, y)-plano fase;
3
6. (1.1) é a equação de Newton;
7. ~v(x, y) = (y, F (x)) é a definição do campovetorial velocidade fase;
8. F é o campo força;
9. F (x) é a força.
10. T (y) =
y2
2
, a energia cinética;
11. U(x(t)) = −
∫ x(t)
x0
F (α)dα, a energia potencial;
12. A energia total E = T + U , que é definida no (x, y)-plano fase.
O sinal na função U é tomado de modo que a energia potencial de uma pedra seja maior
se a pedra estiver acima do ńıvel do solo. Observamos que F (x) = −∂U
∂x
. Portanto, a
energia potencial determina F . Sendo assim, para especificar um sistema da forma (1.1) é
suficiente saber a energia potencial. Adicionando uma constante à energia potencial, não
mudamos a equação do movimento (1.1).
Definição 1.2. Uma solução do sistema 1.2 é um movimento ϕ : I −→ I×R de um ponto
fase no (x, y)-plano fase tal que
ϕ̇(t) = ~v(ϕ(t)).
A imagem de ϕ é denominada de curva fase ou órbita ou trajetória. Para o que se
segue, por simplicidade, assumiremos que ϕ é definido em toda a reta real. O teorema de
existência e unicidade de soluções de uma equação diferencial ordinária garante-nos que
por cada ponto fase passa uma, e somente uma, curva fase. Quando uma curva fase possui
apenas um ponto, este ponto é denominado de uma posição de equiĺıbrio. Sendo assim, o
vetor velocidade fase numa posição de equiĺıbrio é zero.
Exemplo 1.3. Considerando o pêndulo simples sob a ação da força da gravidade, ver
figura 1.1. Seja uma haste ŕıgida de tamanho l e de massa despreźıvel, com um extremo
fixo na origem e uma part́ıcula de massa m > 0, no outro extremo. As posições da part́ıcula
estão ao longo de uma circunferência centrada na origem e de raio l. Descrevendo a posição
da part́ıcula em coordenadas polares r e θ, temos então (x1, x2) = (r(t) cos(θ), r(t) sin(θ)) ∈
R2. Observamos que r(t) = l e, assim, temos um problema unidimensional na variável θ.
Levando em conta, além da ação da gravidade, também alguma força de atrito, propor-
cional à velocidade e em sentido contrário ao movimento, −klθ̇, a segunda lei de Newton
garante que o sistema mecânico dado por esse pêndulo é descrito pela equação
ml2θ̈ = −k l2 θ̇ −mg l sin θ.
Tomando l = m = 1, obtemos
θ̈ = −k θ̇ − g sin θ.
4
Desprezando o atrito, nós chegamos a equação
θ̈ = −g sin θ.
Reescalonando o tempo, x = θ
( t
√
g
)
, obtemos ẍ = − sin x. Fazendo ẋ = y, chegamos ao
sistema
ẋ = y
ẏ = − sin x
Figura 1.1: O pêndulo matemático.
Fonte: [10].
Logo, F (x) = − sinx e U(x) = cosx.
Figura 1.2: A energia potencial de um pêndulo.
Fonte: O autor.
Para oscilações infinitesimais, a equação do pêndulo torna-se ẍ = −x, pois o ângulo θ
é tão pequeno que sin(x) ≈ x. E dáı, chegamos a F (x) = −x e U(x) = x
2
2
, ver figura 1.3.
Para pequenas oscilações do pêndulo invertido, temos que ẍ = x. E dáı, F (x) = x e
U(x) = −x
2
2
, ver figura 1.4.
5
Figura 1.3: A energia potencial de um pêndulo próxima à posição de equiĺıbrio mı́nima.
Fonte: O autor.
Figura 1.4: A energia potencial de um pêndulo próxima à posição de equiĺıbrio máxima.
Fonte: O autor.
Teorema 1.4. (Lei da Convervação de Energia) A energia total dos pontos que se movem
de acordo com a equação (1.1) é conservada.
Demonstração.
d
dt
(T + U) = yẏ +
dU
dx
y = y(ẏ − F (x)) = 0.
Esse teorema mostra-nos que é posśıvel estudar e resolver equações do tipo 1.1 expli-
citamente, através de quadraturas, ou seja, por integração, como a equação do pêndulo,
por exemplo. É um dos poucos casos em que isto é posśıvel. A seguir, vamos estudar as
curvas fase do sistema 1.2. Novamente, pelo teorema da conservação de energia, vemos
que cada uma das curvas fases estão contidas em conjuntos de ńıvel de energia, que, no
caso de um grau de liberdade, são denominados linhas de ńıvel de energia.
Os pontos (x, y) tais que F (x) = 0 e y = 0, são denominados de pontos estacionários,
ou as posições de equiĺıbrio do sistema 1.2 ou os pontos singulares do campo vetorial
velocidade fase ~v(x, y) = (F (x), y) ou os pontos cŕıticos da energia total E. E mais, os
pontos x tais que F (x) = 0 são os pontos cŕıticos da energia potencial U .
6
Teorema 1.5. Dado h ∈ R, o conjunto de ńıvel de energia h, isto é,
E−1(h) =
{
(x, y) :
y2
2
+ U(x) = E
}
,
é uma curva suave (ou seja, uma função de classe C∞) numa vizinhança de cada um de
seus pontos, exceto em pontos de equiĺıbrio, ou seja, nos pontos (x, y) tais que F (x) = 0 e
y = 0.
Demonstração. Observemos que o gradiente de E tem por coordenadas
∂E
∂x
= −F (x) e ∂E
∂y
= y.
Se o gradiente de E não se anula em (a, b), com E(a, b) = h, digamos F (a) 6= 0, pelo teo-
rema das funções impĺıcitas, a equação E(x, y) = h é o gráfico de uma função diferenciável
x = x(y) numa vizinhança do ponto (a, x(a) = b), como queŕıamos demonstrar.
Fixe o valor da energia total E. Observamos que a energia cinética é não-negativa.
Sendo assim, pela lei de conservação de energia, a energia potencial não pode exceder o
valor da energia total, E. Portanto, uma linha de ńıvel de energia E projeta o espaço de
configurações, o x-eixo, no conjunto de valores da energia potencial, não excedendo o ńıvel
E, isto é, a bola não sobe acima do ńıvel E no poço de potencial.
Para desenhar as linhas de ńıvel de energia é útil imaginar uma bola rolando em um
“poço de potencial” de U .
Além disso, quanto menor a energia potencial, maior é a velocidade, |y| =
√
2(E − U(x)).
Quando a bola rola dentro do poço, na descida ela ganha velocidade, anula-se no ponto
em que U(x) = E, e na subida, perde velocidade.
Do fato de que a energia é uma função par de y, segue-se que a linha de ńıvel é simétrica
com respeito ao x-eixo, ou seja, a bola passa por cada ponto com a mesma velocidade nas
duas direções. Essas considerações são suficientes para esboçar as linhas de ńıvel de energia
de sistemas com vários potenciais U .
Esboço das linhas de ńıvel de energia
Começamos com o caso mais simples, em que o poço de potencial tem apenas um centro
de atração α, com F = F (x) monótona decrescente, F (α) = 0 e I = R, ver figura 1.5.
Se o valor da energia total E1 é menor que o mı́nimo do potencial, digamos E2, então
o conjunto de ńıvel E = E1 é vazio, isto é, o movimento da bola é fisicamente imposśıvel.
O conjunto de ńıvel E2 consiste de apenas um ponto (α, 0), isto é, a bola permanece no
fundo do poço. Se o valor E3 da energia total é maior que o valor cŕıtico E2 = U(α), então
o conjunto de ńıvel E3 é uma curva simétrica e fechada ao redor da posição de equiĺıbrio
(α, 0) no plano fase, isto é, ela parte do repouso, da altura E3, atinge a velocidade máxima
7
no ponto cŕıtico, sobe pelo outro lado até atingir a altura E3, e retorna, perfazendo o
caminho de volta, e assim por diante. Aqui, estamos supondo que não há resistência ao
movimento da bola.
Figura 1.5: A bola no poço de potencial e a curva fase.
Fonte: O autor.
No estudo de casos mais complicados, procedemos de forma similar, sucessicamente
aumentando o valor da energia total E, e parando em valores de E iguais aos valores
cŕıticos da energia potencial U(α), isto é, U ′(α) = 0, a cada momento examinando as
curvas com valores convenientemente maiores ou menores do que os valores cŕıticos.
Exemplo 1.6. Consideremos a figura 1.6, na qual a energia potencial U tem três pontos
cŕıticos α1, α2 e α3. Observemos que α1 é um ponto de mı́nimo, α2 um ponto de máximo
local e α3 um ponto de mı́nimo local.
Agora, consideremos o pêndulo ẍ = − sinx. As soluções de equiĺıbrio do pêndulo
são xk(t) = (kπ, 0), para cada k ∈ Z. De fato, se → v(x, y) = (0, 0), então y = 0 e
sinx = 0⇔ x = kπ, k ∈ Z.
A energia total é dada por E(x, y) =
y2
2
− cos(x). Na figura 1.7, esboçamos as curvas
referentes aos ńıveis E1 e E0.
Pelos teoremas de existência e unicidade de soluções e de dependência diferenciável
nas condições iniciais de um sistema tal como (1.2),obtemos uma famı́lia de difeomorfis-
mos, que são bijeções diferenciáveis com inversas diferenciáveis, a um parâmetro do plano
fase, cujos membros, para cada t ∈ R, são denotados por gt : R2 −→ R2, tal que esta
famı́lia com a operação de composição de aplicações, gt ◦ gs = gt+s, é um grupo (para a
definição de grupo o leitor pode consultar [5]). E mais, a aplicação g : R × R2 −→ R2 é
8
Figura 1.6: As linhas de ńıvel de energia.
Fonte: O autor.
Figura 1.7: Esboço das curvas integrais do pêndulo.
Fonte: [1].
diferenciável. Esse grupo é dito grupo a um parâmetro de difeomorfismos ou fluxo fase ou
sistema dinâmico.
Exemplo 1.7. O fluxo fase do sistema ẍ = −x é o grupo de rotações do plano fase de
ângulo t ao redor da origem. De fato, gt(a, b) = (a cos t+ b sin t,−a sin t+ b cos t).
Finalizando, devemos observar que todas as definições apresentadas podem ser esten-
dida naturalmente a várias dimensões. Isto será assumido adiante, sem necessidade de
menção expĺıcita.
9
Caṕıtulo 2
Sistemas com dois graus de
liberdade
Neste caṕıtulo, nós estudaremos campos centrais, que são sistemas mecânicos com dois
graus de liberdade que podem ser resolvidos explicitamente, conforme veremos no próximo
caṕıtulo. Mostraremos que tais campos vetoriais são exemplos de campos conservativos.
Estas notas baseiam-se nos livros [2, 4].
Definição 2.1. Um sistema com dois graus de liberdade é um sistema definido pela
equação diferencial
ẍ = F (x), x ∈ R2, (2.1)
onde F é um campo vetorial no plano (um campo vetorial é uma função F : X → Rn;X ⊂
Rm).
Definição 2.2. Um sistema é dito conservativo se, existe uma função U : R2 → R
diferenciável tal que F = −∂U
∂x
.
A classe de diferenciabilidade de F é tão ampla quanto seja necessário. Na definição
2.2, U é a energia potencial do sistema. É comum refere-se a U como um potencial de
F . Observemos que o potencial não é único, pois, dado um potencial de um campo,
somando-se a ele uma constante obtém-se um outro.
A equação de movimento de um sistema conservativo tem a forma
ẍ = −∂U
∂x
.
Em coordenadas no plano R2, temos ẍ = −∂U
∂x
e ÿ = −∂U
∂y
.
Observação 2.3. Para sistemas com um grau de liberdade, é sempre posśıvel introduzir
a energia potencial U(x) = −
∫ x
x0
f(α)dα, o que, em geral, não se observa para sistemas
com dois graus liberdade, ver seção 2.1.
10
Proposição 2.4. Uma condição necessária para que um campo vetorial F = (F1, F2) seja
conservativo é que seja válido o Teorema de Schwarz, ou seja,
∂F1
∂y
=
∂F2
∂x
.
Demonstração. Seja U : R2 → R diferenciável tal que F = −∂U
∂x
. Sendo assim,
∂F1
∂y
= − ∂
2U
∂y∂x
= − ∂
2U
∂x∂y
=
∂F2
∂x
.
Como veremos na página 19, a condição na proposição 2.4 é necessária, mas não é
suficiente para um campo ser conservativo. Segue-se da proposição 2.4 que o campo
vetorial F : R2 −→ R2 dado por F (x, y) = (y,−x) não é conservativo, já que
∂F1
∂y
= 1 6= −1 = ∂F2
∂x
,
ver figura 2.1.
Figura 2.1: Um campo não conservativo.
Fonte: [2]
Observemos que para sistemas conservativos com dois graus de liberdade a energia
total é conservada.
Teorema 2.5. (Lei da conservação de Energia) A energia total de um sistema conserva-
tivo é conservada, ou seja,
dE
dt
= 0, onde E =
ẋ2
2
+ U(x); ẋ2 = 〈ẋ, ẋ〉.
Demonstração. De fato,
dE
dt
= 〈ẋ, ẍ〉+ dU
dt
= 〈ẋ, ẍ〉+ 〈∂U
∂x
, ẋ〉
= 〈ẍ + ∂U
∂x
, ẋ〉
= 0.
11
Corolário 2.6. Se no momento inicial a energia total é igual a E, então todas as tra-
jetórias estão dentro da região dada por U(x) ≤ E, isto é, um ponto permanece dentro do
poço de potencial U(x, y) ≤ E em todo o tempo.
A equação do movimento (2.1) pode ser escrita como um sistema
ẋ1 = y1
ẋ2 = y2
ẏ1 = −
∂U
∂x1
ẏ2 = −
∂U
∂x2
Sendo assim, o espaço fase de um sistema com dois graus de liberdade é um espaço
quadridimensional, nas coordenadas x1, x2, y1 e y2. O campo vetorial velocidade fase do
sistema acima é definido por
~v(x1, x2, y1, y2) =
(
y1, y2,−
∂U
∂x1
,− ∂U
∂x2
)
.
As curvas fase do sistema são subconjuntos do espaço fase quadridimensional, e todo o
espaço é particionado em curvas fase. Projetando as curvas fases do quadriespaço para o
(x1, x2)-plano, obtemos as trajetórias do ponto móvel no (x1, x2)-plano. Estas trajetórias
são, também, chamadas de órbitas. As órbitas podem intersecionar-se, mesmo que as
curvas fase não se intersectam.
Desta forma, para cada valor regular E0 de E, a equação da lei de conservação de
energia
E(x,y) =
y2
2
+ U(x) =
y21 + y
2
2
2
+ U(x1, x2)
define uma hiperf́ıcie tridimensional no quadriespaço: E(x1, x2, y1, y2) = E0. Esta su-
perf́ıcie, ΠE0 , mantêm-se invariante sob o fluxo fase, isto é, gπE0 = πE0 . Nós podemos
dizer que o fluxo fase flui ao longo das hiperf́ıcies de ńıvel de energia. Como o gradiente
de E é ortogonal ao campo vetorial velocidade fase, conclúımos que o campo vetorial ve-
locidade fase é tangente a todo ponto de ΠE0 . Consequentemente, ΠE0 é inteiramente
composto de curvas fase.
12
Figura 2.2: O quadriespaço particionado em curvas fase
Fonte: O autor.
Exemplo 2.7. (O Pêndulo Esférico) Seja U(x1, x2) =
x1
2 + x2
2
2
, figura 2.3. Então, os
conjuntos de ńıvel da energia potencial no (x1, x2)-plano são ćırculos concêntricos, figura
2.4.
Figura 2.3: O Pêndulo esférico.
Fonte: [11].
Figura 2.4: Curvas de ńıvel de energia potencial do Pêndulo Esférico.
Fonte: [2]
13
A equação de movimento ẍ = −x é equivalente ao sistema
ẋ1 = y1 ẋ2 = y2
ẏ1 = −x1 ẏ2 = −x2
Esse sistema decompõe-se em dois sistemas independentes, isto é, cada uma das coorde-
nadas x1 e x2 varia com o tempo da mesma maneira que um sistema com um grau de
liberdade. Uma solução é da forma
x1 = c1 cos t+ c2 sin t
y1 = −c1 sin t+ c2 cos t
x2 = c3 cos t+ c4 sin t
y2 = −c3 sin t+ c4 cos t,
onde c1, c2, c3 e c4 são constantes reais.
Da lei de conservação de energia, segue-se que
E =
y21 + y
2
2
2
+
x21 + x
2
2
2
= E0.
Ou seja, para cada E0 > 0, a superf́ıcie de ńıvel πE0 é uma esfera no quadriespaço.
Exemplo 2.8. (Figuras de Lissajous) Observemos mais um exemplo de movimento planar,
agora com
ẍ1 = −x1 ẍ2 = −ω2x2.
Sendo assim, a energia potencial é dada por
U(x1, x2) =
x22 + ω
2x22
2
.
Da Lei de Conservação de Energia, seque-se que: se num determinado instante a energia
total é
x′1
2 + x′2
2
2
+ U(x1, x2) = E,
então todos os movimentos estarão dentro da elipse U(x1, x2) ≤ E.
Como antes, este sistema consiste de dois sistemas unidimensionais independentes.
Consequentemente, a lei de conservação de energia é satisfeita para cada uma separada-
mente, isto é, as seguintes quantidades são preservadas:
E1 =
ẋ21 + x
2
1
2
E2 =
ẋ22 + ω
2x22
2
(E = E1 + E2).
Sendo assim, a variável x1 está limitada pela região |x1| ≤ A1, onde A1 =
√
2E1(0),
e x2 varia dentro da região |x2| ≤ A2, onde A2 =
√
2E2(0)
ω
. A interseção destas duas
regiões define um retângulo que contém as órbitas, conforme a figura 2.5.
14
Figura 2.5: As regiões U ≤ E, U1 ≤ E e U2 ≤ E.
Fonte: [2]
A solução geral das nossas equações é
x1 = A1 sin(t+ ϕ1) x2 = A2 sin(ωt+ ϕ2).
Desta forma, um ponto móvel, independentemente, executa uma oscilação com frequência
1 e amplitude A1 ao longo da horizontal e uma oscilação com frequência ω e amplitude A2
ao longo da vertical.
Considere o seguinte método para descrever uma órbita ao longo do (x1, x2)-plano:
olhamos para um cilindro de base 2A1 e uma faixa de largura 2A2. Nós desenhamos
sobre a faixa uma onda senoidal de peŕıodo
2πA1
ω
e amplitude A2 e enrolamos a faixa no
cilindro.
A projeção ortogonal da senóide ao redor do cilindro no (x1, x2)-plano, conforme a
figura 2.6, dá-nos a órbita desejada, denominada uma figura de Lissajous. Figuras de
Lissajous podem ser vistas num osciloscópio que exibe oscilações harmônicas indepenentesnos eixos horizontal e vertical.
Figura 2.6: A construção de uma figura de Lissajous.
Fonte: [2]
A forma da figura de Lissajous depende fortemente da frequência ω. Por exemplo,
para ω = 1, que é o caso do pêndulo esférico, a curva no cilindro é uma elipse. A projeção
15
dessa elipse no (x1, x2)-plano depende da diferença ϕ2 − ϕ1 entre as fases. Considerando
o parâmetro θ = ϕ2 − ϕ1, temos que
x2 =
A2
A1
cos θ x1 +A2 sin θ cos(t+ ϕ1).
Para θ = 0, temos que
x1
A1
=
x2
A2
, que contém a diagonal do retângulo. Para θ pequeno,
obtemos uma elipse próxima à diagonal e inscrita no retângulo. Para θ =
π
2
, obtemos
uma elipse com eixos x1 e x2. Para
π
2
< θ → π, a elipse degenera-se na segunda diagonal.
Para θ =
3π
2
, reobtemos a elipse do caso θ =
π
2
. Para
3π
2
< θ → 2π, a elipse degenera-se
na diagonal. E continuando θ a crescer, o processo repete-se, ver figura 2.7.
Figura 2.7: Série de Figuras de Lissajous com ω = 1.
Fonte: [2]
Agora, digamos que a frequência é aproximadamente 1, ou seja, ω ≈ 1. Sendo assim, o
segmento da curva correspondente a 0 ≤ t ≤ 2π é bem próximo a uma elipse. A próxima
volta também lembra uma elipse, mas aqui a mudança de fase ϕ2 − ϕ1 é maior que na
original por 2π(ω − 1). Logo, a curva de Lissajous com ω ≈ 1 é uma elipse distorcida,
que lentamente passa da que se degenera numa diagonal para a outra que se degenera na
outra diagonal, conforme a figura 2.8.
Figura 2.8: Figura de Lissajous com ω ≈ 1.
Fonte: [2]
16
Se uma frequência é o dobro da outra (ω = 2), então para alguma mudança de fase a
figura de Lissajous torna-se um arco duplamente percorrido.
Em geral, se uma frequência é n vezes maior que a outra (ω = n), então dentre os
gráficos das figuras de Lissajous correspondentes existe o gráfico de um polinômio de grau
n, chamado polinômio de Chebyshev.
2.1 Relação entre trabalho e energia potencial
Nesta seção, estudaremos a relação entre trabalho e energia potencial. Os detalhes omi-
tidos nas demonstrações podem ser encontrados em [7], no caṕıtulo sobre integrais cur-
viĺıneas. Para tanto, definimos
Definição 2.9. O trabalho realizado por uma força F ao longo de um caminho λ :
[a, b] −→ R2, denotado por
∫
λ
F · dS, é dado por
∫
λ
F · dS =
∫ b
a
〈F (λ(t)), λ̇(t)〉 dt.
Observação 2.10. A motivação para a definição 2.9, vem do fato de que, dado um campo
vetorial F e uma curva λ de comprimento finito, aproximamos a curva λ por uma poligonal
com componentes ∆Si, e denotamos por Fi o valor da força em algum ponto particular de
∆Si, figura 2.9, então o trabalho do campo vetorial F ao longo do caminho λ é definido
por
A = lim
|∆Si|→0
∑
〈Fi,∆Si〉.
Prova-se que se o campo é cont́ınuo e o caminho é retificável, então o limite existe. São
sob estas hipóteses que estamos trabalhando.
Figura 2.9: O Trabalho de um campo força F ao longo do caminho l.
Fonte: [2]
17
No próximo teorema, exibiremos uma condição necessária e suficiente para um campo
ser conservativo.
Teorema 2.11. Um campo vetorial F é conservativo se, e somente se, seu trabalho ao
longo de qualquer caminho λ depende somente dos extremos do caminho, não dependendo
da forma do caminho.
Demonstração. Inicialmente, suponhamos que o trabalho de um campo não depende do
caminho. Dados os pontos M0 e M em R2, considere um caminho λ : [a, b] −→ R2 que
liga o ponto M0 ao ponto M . Então, a função
U(M) = −
∫ M
M0
F · dS
está bem definida. E verifica-se que F = −∂U
∂x
, isto é, U é um potencial de F . Recipro-
camente, suponhamos que o campo F é conservativo e que U é um dos seus potenciais.
Então, ∫ M
M0
〈F, dS〉 =
∫ b
a
〈F (λ(t)), λ̇(t)〉dt
= −
∫ b
a
〈∂U
∂x
, λ̇(t)
〉
dt
= −
∫ b
a
d
dt
[U(λ(t))]dt
= −U(M) + U(M0),
onde λ : [a, b] −→ R2 é um caminho tal que λ(a) = M0 e λ(b) = M . Logo, o trabalho não
depende da forma do caminho que liga M0 a M .
Corolário 2.12. Um campo é conservativo se, e somente se, seu trabalho ao longo de
qualquer curva fechada é nulo.
Demonstração. Suponhamos que F é conservativo. Sendo assim, pelo teorema 2.11, dado
um caminho qualquer ligando os pontos M0 e M , temos que∫ M
M0
F · dS = −U(M) + U(M0).
Se um tal caminho é fechado, isto é, M = M0, tem-se que∫ M
M0
F · dS = −U(M) + U(M0) = 0.
Reciprocamente, dados dois caminhos λ e γ ligando os pontos M0 e M , podemos obter
um caminho fechado σ tal que∫
σ
F · dS =
∫
λ
F · dS −
∫
γ
F · dS.
Logo, pelo teorema 2.11, F é conservativo.
18
O próximo exemplo, mostra-nos que a condição na proposição 2.4 não é suficiente para
um campo ser conservativo.
Exemplo 2.13. Seja o campo definido por F (x, y) =
(
− y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
. Para este
campo vale a condição na proposição 2.4. Agora, considerando o caminho fechado
λ : [0, 2π] −→ R2
definido por λ(t) = (cos t, sin t), temos que∫
λ
F · dS =
∫ 2π
0
〈F (λ(t)), λ̇(t)〉dt
=
∫ 2π
0
〈(− sin t, cos t), (− sin t, cos t)〉dt
= 2π 6= 0.
Logo, F não é conservativo.
2.2 Campos centrais
Nesta seção, daremos um exemplo importante de campos conservativos.
Definição 2.14. Um campo vertorial em R2 é dito um campo central com centro em 0
se, ele é invariante com relação ao grupo de movimentos, que fixa 0, que são rotações e
reflexões.
Na definição, o ponto 0 é dito o centro do movimento. Observemos que o campo não
precisa estar definido no centro do movimento. Isto pode ser visto nas aplicações.
A definição mostra-nos que se todo vetor de um campo vetorial está sobre uma reta que
passa pelo centro do movimento, então este campo é central. Sendo assim, a intensidade
em cada ponto depende somente da distância do ponto ao centro do movimento. A próxima
proposição mostra-nos que a rećıproca é verdadeira.
Proposição 2.15. Todos os vetores de um campo central estão sobre uma reta que passa
pelo centro do movimento, e a intensidade do campo vetorial em cada ponto, em que está
definido, depende somente da distância entre o ponto e o centro do movimento.
Demonstração. Seja F um campo central em R2. Sendo assim, dado um ponto X no
domı́nio de F , como F é invariante por rotações, temos que F (X) e r =
−→
0X são colineares.
Além disso, pela invariância por reflexões, podemos supor que F (X) aponta para o centro
do movimento. Desta forma, existe um escalar real φ = φ(|X|) tal que F (X) = φ er, onde
er é o versor da reta que passa pelos pontos X e 0. Logo, a intensidade de F (X) depende
somente da distância de X ao centro do movimento.
19
Das considerações acima, segue-se que um campo vetorial F é central se, existe uma
função real de variável real φ : R\{0} −→ R de mesma classe de diferenciabilidade de F ,
tal que F (r) = φ(r)er.
Exemplo 2.16. É imediato que o campo newtoniano F (r) = −k r
r3
é central, onde r = |r|.
Mas, o campo dado por F (x, y) = (−y, x) não é central, pois se fosse, teŕıamos
y = −φ(
√
x2 + y2)x
x = φ(
√
x2 + y2)y.
Logo,
y {1 + [φ(
√
x2 + y2)]2} = 0.
E assim, y = 0. Portanto, x = y = 0.
A seguir, temos um critério indireto para mostrar que um determinado campo não é
central, basta que não seja conservativo.
Teorema 2.17. Todo campo central é conservativo, e sua energia potencial depende so-
mente da distância ao centro do campo, isto é, U = U(r).
Demonstração. Seja F um campo central em R2. Sendo assim, existe φ tal que F (r) =
φ(r)er. Agora, dados M0 e M1 pontos no domı́nio de F , considere λ : [a, b] −→ R2 caminho
ligando M0 a M1. Sendo assim,∫ M1
M0
F · dS =
∫ b
a
〈F (r), ṙ〉dt
=
∫ b
a
φ(r)〈r
r
, ṙ〉dt
=
∫ b
a
φ(r)
dr
dt
dt
=
∫ r(M1)
r(M0)
φ(r)dr.
Como a última integral independe do caminho, pelo teorema 2.11, segue-se que F é con-
servativo. Além disso, definindo U(r) = −Φ(r), onde Φ é uma primitiva de rφ(r), temos
que U é um potencial de F . De fato,
∂U
∂x
= −r φ(r) ∂r
∂x
= −r φ(r) x
r
= −φ(r)x.
Analogamente,
∂U
∂y
= −φ(r)y. Logo, F = −∂U
∂r
.
Exemplo 2.18. O teorema 2.17 mostra-nos que U(r)= −r k
r2
= −k
r
é um potencial do
campo newtoniano.
20
Observação 2.19. As definições e resultados desta seção podem ser naturalmente esten-
didas a um espaço euclidiano n-dimensional, para n > 2. Por exemplo, um campo vetorial
F em R3 é central se, existe uma função real de variável real φ : R\{0} −→ R de mesma
classe de diferenciabilidade de F , tal que F (r) = φ(r)er, onde er =
r
r
.
2.3 Momento angular
Nesta seção, mostraremos que a invariância de uma equação de um problema mecânico
com respeito a algum grupo de transformações implica uma lei de conservação. Um campo
central é invariante com respeito ao grupo de rotações. A primeira integral correspondente
é chamada de momento angular.
Definição 2.20. O movimento de um ponto material de massa unitária num campo
central no plano é definido pela equação
r̈ = Φ(r) er.
Assumamos que o nosso plano está contido num espaço euclidiano tridimensional ori-
entado. A definição abaixo, de momento angular, pode ser considerada diretamente no
espaço tridimensional.
Definição 2.21. O momento angular de um ponto material de massa unitária em relação
ao ponto 0 é o produto vetorial M = r× ṙ.
Primeiramente, observamos que a definição faz sentido, pois assumimos que o plano
do movimento é um subespaço bidimensional em R3. Considerando e1 e e2 um sistema
referencial orientado no plano, por definição temos que M é perpendicular ao plano do
movimento, e é dado por um número M tal que M = M (e1 × e2), conforme a figura
abaixo.
Figura 2.10: Momento angular.
Fonte: [2]
21
Observação 2.22. Em geral, o momento de um vetor aplicado a aplicado num ponto r
relativo a 0 é dado por r× a. Em particular, temos que o momento angular é o momento
do vetor velocidade de um ponto material de massa unitária aplicado ao vetor posição.
Um outro exemplo é o momento de uma força.
A seguir, mostraremos que o momento angular relativo ao centro de movimento de um
campo central é conservado.
Teorema 2.23. (A lei de conservação do momento angular) Num campo central, o mo-
mento angular M relativo ao centro do movimento não varia com o tempo.
Demonstração. Por definição, M = r × ṙ. Sendo o produto vetorial uma forma bilinear,
temos que
Ṁ = ṙ× ṙ + ṙ× r̈.
Agora, como o produto vetorial é uma forma alternada e o vetor aceleração é colinear
com o vetor posição, já que o campo é central, temos que Ṁ = 0, como queŕıamos
demonstrar.
Utilizando a observação 2.19, obtemos o seguinte
Corolário 2.24. Para movimento num campo central tridimensional, toda órbita é planar.
Demonstração. Observando que 〈M, r × ṙ〉 = 0, temos que r(t) é ortogonal a M. Desde
que M é constante, todas as órbitas estão no plano perpendicular a M.
Devido ao corolário 2.24, o estudo de órbitas em campo central no espaço tridimensional
reduz-se ao caso planar. Sendo assim, escrevendo o vetor posição de um ponto como
r(t) = x(t)e1 + y(t)e2, temos que M = xẏ− ẋy. Desta forma, considerando M constante,
temos que
Ṁ = ẋẏ + xÿ − ẍy − ẋẏ = xÿ − ẍy = 0.
Isto significa que no sistema r̈ = F (r) o campo F é colinear ao vetor posição r. Logo, F
é central. Portanto, obtemos o seguinte resultado
Proposição 2.25. Seja um ponto material de massa unitária que se move sob a ação de
um campo de forças. Se o momento angular M é constante, o campo é central.
2.4 A segunda lei de Kepler
O primeiro a descobrir a lei de conservação do momento angular foi Kepler, observando o
movimento de Marte. Kepler formulou a lei de uma forma ligeiramente diferente da que
encontramos no teorema 2.23.
22
Consideremos no plano de movimento as coordenadas polares r e ϕ de um ponto r,
cujo polo está no centro do movimento. Isto significa que r = (r cosϕ, r sinϕ). Sendo
assim,
ṙ = (ṙ cosϕ− rϕ̇ sinϕ, ṙ sinϕ+ rϕ̇ cosϕ)
= ṙ(cosϕ, sinϕ) + rϕ̇(− sinϕ, cosϕ)
= ṙ er + rϕ̇ eϕ,
onde er =
r
r
= (cosϕ, sinϕ) e eϕ = ėr. Observemos que er e eϕ são vetores unitários
ortogonais, e assim, constituem uma base do plano de movimento, conforme a figura 2.11.
E mais, o vetor eϕ é perpendicular ao vetor er na direção de crescimento de ϕ.
Figura 2.11: Decomposição do vetor ṙ em termos da base er, eφ
Fonte: [2]
Consequentemente, o momento angular é
M = r× ṙ = r× ṙ er + r× r ϕ̇eϕ = rϕ̇(r× eϕ) = r2ϕ̇(er × eϕ).
E assim, a quantidade M = r2ϕ̇ é preservada.
Do ponto de vista geométrico, a quantidade M = r2ϕ̇ tem uma intepretação interes-
sante. Observemos que se M = 0, temos que ϕ é constante. E então, o ponto descreve uma
reta que passa pelo centro do movimento. Se M 6= 0, temos que ϕ̇ 6= 0. Pela continuidade
de ϕ̇, segue-se ϕ̇ = ϕ̇(t) tem um sinal bem definido, digamos ϕ̇ > 0. Logo, ϕ = ϕ(t) é uma
função estritamente crescente ao longo da trajetória. Desde que a área varrida pelo raio
vetor r = r(t) entre os instantes t0 e t é dada por
S(t) =
∫ ϕ(t)
ϕ(t0)
1
2
r2dϕ =
∫ t
t0
1
2
r2ϕ̇(t) dt,
temos que a taxa de variação de S(t), denominada por Kepler de velocidade sectorial, e
denotada por C, é
C =
dS
dt
= r2ϕ̇,
que é constante. Estes argumentos mostram que
Proposição 2.26. (Segunda Lei de Kepler) Se o campo é central, então o raio vetor varre
áreas iguais em tempos iguais, isto é, a velocidade sectorial é constante.
23
Caṕıtulo 3
Investigação do movimento em um
campo central
A lei de conservação do momento angular permite-nos reduzir problemas sobre movimen-
tos num campo central a problemas com um grau de liberdade. É devido a isso que o
movimento num campo central pode ser completamente determinado.
3.1 Redução a um problema unidimensional
Pelo teorema 2.17, sabemos que o movimento de um ponto material de massa unitária
num campo central sobre o plano pode ser descrito pelo sistema
r̈ = −∂U
∂r
,
onde U = U(r).
Pela lei de conservação do momento angular, já sabemos que a quantidade M =
r2(t)ϕ̇(t) é constante, independente de t.
Teorema 3.1. Para o movimento de um ponto material de massa unitária num campo
central, a distância do ponto ao centro do movimento varia da mesma maneira como r
varia no problema unidimensional com energia potencial
V (r) = U(r) +
M2
2 r2
.
Demonstração. Diferenciando a relação ṙ = ṙer + rϕ̇eϕ, obtemos
r̈ = (r̈ − rϕ̇2)er + (2 ṙϕ̇+ rϕ̈)eϕ.
Como o campo é central e U é um potencial do campo, o teorema 2.17, mostra-nos que
∂U
∂r
= (−φ(r)r cosϕ,−φ(r)r sinϕ)
= −rφ(r)er
=
∂U
∂r
er.
24
Sendo assim, a equação de movimento em coordenadas polares é da forma
r̈ − rϕ̇2 = −∂U
∂r
2ṙϕ̇+ rϕ̈ = 0.
Observando que
1
r
d
dt
(r2ϕ̇) = 2ṙϕ̇+ rϕ̈ = 0,
conclúımos que a segunda equação acima é equivalente ao fato de que r2ϕ̇ é constante. Já
sabemos que tal constante é M . Segue-se que ϕ̇ =
M
r2
. Logo,
r̈ = −∂U
∂r
+ r
M2
r4
ou r̈ = −∂V
∂r
,
onde V = U +
M2
2r2
, que é a energia potencial efetiva.
Observemos que a energia total no problema unidimensional derivado
E1 =
ṙ2
2
+ V (r)
é a mesma que a energia total no problema original
E =
ṙ2
2
+ U(r),
pois
ṙ
2
=
1
2
〈ṙ, ṙ〉
=
1
2
〈ṙer + rϕ̇eϕ, ṙer + rϕ̇eϕ〉
=
ṙ2
2
+
r2ϕ̇2
2
=
ṙ2
2
+
M2
2r2
.
3.2 Integração de uma equação de movimento
A energia total no problema derivado unidimensional é conservada, já que
dE1
dt
= ṙr̈ +
∂V
∂r
ṙ = ṙ
(
r̈ +
∂V
∂r
)
= 0.
Suponhamos que M 6= 0. Sendo assim, como já vimos, ϕ é um difeomorfismo crescente
sobre a imagem. Consideremos t = t(ϕ) sua inversa.
Como ṙ =
√
2(E − V (r)), temos que
dϕ
dr
= ϕ̇
dt
dr
=
M
r2
√
2(E − V (r))
.
Desta forma, a equação da órbita em coordenadas polares é encontrada pela quadratura
ϕ =
∫
M
r2
√
2(E − V (r))
dr.
25
3.3 Investigação das órbitas
Fixemos o valor do momento angular em M . A variação de r com o tempo é fácil de
visualizar, basta desenhar o gráfico da energia potencial efetiva V (r), figura 3.1.
Figura 3.1: A energia potencial efetiva.
Fonte: [2]
Seja E o valorda energia total. Todas as órbitas correspondentes a E e M estão na
região V (r) ≤ E. Sobre a fronteira da região, isto é, V = E, temos que ṙ = 0. Observemos
que a velocidade do ponto móvel, em geral, não é igual a 0, desde que ϕ̇ 6= 0, para M 6= 0.
A desigualdade V (r) ≤ E dá-nos uma ou várias regiões anulares no plano:
0 ≤ rmin ≤ r ≤ rmax ≤ ∞.
Como estamos interessados em movimentos cujas órbitas são limitadas, passamos a con-
siderar o caso em que 0 ≤ rmin ≤ rmax < ∞. Sendo assim, o movimento acontece dentro
da região compreendida entre os ćırculos de raios rmin e rmax. Observemos que as órbitas
tangenciam estes ćırculos e a forma da órbita é vista na figura 3.2.
Figura 3.2: A órbita de um ponto em um campo central
Fonte: [2]
O ângulo ϕ varia monoticamente, enquanto r oscila periodicamente entre rmin e rmax.
Os pontos onde r = rmin são chamados de pericentros, e aqueles em que r = rmax,
26
apocentros. Particularmente, se o centro do movimento é o centro da terra, chamamos de
perigeu e apogeu. Se for o sol, periélio e afélio. No caso da lua, perilua e afelua.
Cada raio que parte do centro ao pericentro ou apocentro é um eixo de simetria da
órbita. Em geral, a órbita não é fechada: o ângulo entre um pericentro e um apocentro
consecutivos é dado pela integral
Φ =
∫ rmax
rmin
M
r2
√
2(E − V (r))
dr.
Observemos que o ângulo entre dois pericentros sucessivos é duas vezes maior.
A órbita é fechada se o ângulo Φ é comensurável com 2π, isto é, se Φ = 2π
m
n
, onde
m,n ∈ Z. É posśıvel mostrar que se Φ é incomensurável com 2π, então a órbita é densa
no anel, conforme a figura 3.3.
Figura 3.3: Órbita densa em um anel
Fonte: [2]
Se rmin = rmax, isto é, E = V no ponto mı́nimo, isto significa que ṙ = 0, então o anel
degenera-se num ćırculo, que é uma órbita.
Para valores de E um pouco maiores que o mı́nimo de V o anel rmin ≤ r ≤ rmax
torna-se muito estreito, e a órbita será aproximadamente circular. Em correspondência a
um problema unidimensional, r terá pequenas oscilações próximo ao ponto mı́nimo de V .
3.4 O problema de Kepler
Este problema consiste no movimento num campo central com potencial U = −k
r
, deno-
minado de potencial newtoniano. Sendo assim, a energia potencial efetiva é
V (r) = −k
r
+
M2
2r2
.
27
Figura 3.4: Potencial efetivo do problema de Kepler
Fonte: [2]
Calculando a órbita obtemos
ϕ =
∫
M
r2
√
2(E + kr −
M2
2 r2
)
dr
=
∫
1√
1− (
M
r
− k
M
)2
2E+ k
2
M2
M
r2
√
2E + k
2
M2
dr
= arccos
M
r −
k
M√
2E + k
2
M2
+ constante
Assumiremos que a constante é nula. Isto equivale a escolher uma origem de referência
para o ângulo ϕ no pericentro. Considerando
M2
k
= p e
√
1 +
2EM2
k2
= e,
obtemos
ϕ = arccos
p
r − 1
e
, isto é, r =
p
1 + e cosϕ
.
Esta é a equação focal de uma cônica. Observemos que se E < 0, o movimento é limitado.
Sendo assim, e < 1 , isto é, a cônica é uma elipse. O número p é chamado o parâmetro da
elipse, e e é a excentricidade. A primeira lei de Kepler, que foi descoberta observando o
movimento de Marte, consiste do fato de que os planetas descrevem elipses, com o sol num
dos focos. Originalmente, devido ao fato das excentricidades dos planetas serem muito
pequenas, Kepler enunciou sua primeira lei como segue: os planetas movem-se ao redor
do sol em ćırculos, mas o sol não está no centro.
O afélio e o periélio são obtidos tomando ϕ = π e ϕ = 0, respectivamente. Sendo
assim, as distâncias do sol ao afélio e ao periélio são, respectivamente,
p
1− e
e
p
1 + e
.
Desta forma, o parâmetro e a excentricidade são relacionam-se com o semi-eixo maior a
pela fórmula
a =
1
2
( p
1− e
+
p
1 + e
)
=
1
2
2p
1− e2
=
p
1− e2
.
28
Figura 3.5: Elipse Kepleriana
Fonte: [2]
E também, e =
c
a
=
√
a2 − b2
a
, onde c = ae é a distância do centro ao foco, conforme a
figura 3.5. No caso do semi-eixo menor, b, temos que
b2 = a2 − c2 = a2(1− e2) = a p.
A terceira lei de Kepler diz-nos que a razão entre o quadrado do peŕıodo de revolução
de um planeta e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita é a mesma para todos os planetas.
De fato, denotemos por T o peŕıodo de revolução e por S a área varrida pelo raio vetor
no tempo T . Sendo assim, 2S = M T , já que a velocidade sectorial é M2 . Como a área da
elipse, S, é igual a πab, então T =
2πab
M
. Observando que
a =
p
1− e2
=
M2
k
2|E|M2
k2
=
k
2|E|
e que
b =
√
a p =
√
k
2 |E|
· M
2
k
=
M√
2|E|
,
temos que
T = 2π · k
(
√
2|E|)3
= 2πa
3
2k−
1
2 .
Logo,
T 2
a3
=
4π
k
.
Notamos que a energia total E depende somente do semi-eixo maior, a, da órbita, e é
o mesmo para todo conjunto de órbitas eĺıpticas, do ćırculo de raio a até o segmento de
reta de comprimento 2a.
Acima, nós mostramos que a lei de Newton da gravitação implica as leis de Kepler. Na
próxima seção, mostraremos que as leis de Kepler implicam a lei de Newton da gravitaçao.
3.5 As leis de Kepler e a lei de Newton da gravitação
Pela segunda lei de Kepler, o momento angular é conservado. Sendo assim, pela proposição
2.25 e pela primeira lei de Kepler, o campo é central, e o seu centro do movimento, o sol,
29
está num dos focos da elipse
r =
p
1 + e cosϕ
.
Desta forma, r̈ = −∂V
∂r
, que equivale a
r̈ = −∂U
∂r
er = −k
r
r3
,
onde k = 4π
a3
T 2
é a mesma para todos os planetas, de acordo com a terceira lei de Kepler,
como queŕıamos demonstrar.
30
Caṕıtulo 4
Conclusão
Neste trabalho, vimos o comportamento geral de sistemas com um e dois graus de Li-
berdade através de exemplos simples, como o pêndulo. Analisamos os movimentos em
campos centrais. Para tais movimentos, mostramos que o momento angular é preservado.
Isto possibilita-nos reduzir o grau do sistema, tratando o problema como unidimensional,
devido ao fato de que movimentos em campos centrais são planares. Infelizmente, esta
técnica não pode ser empregada para sistemas gerais. Por exemplo, demonstra-se que
não se pode obter um número suficiente de integrais primeiras que possibilite resolver
completamente o problema dos n-corpos, para maiores detalhes consultem [3, 12, 6].
Ao final, chegamos à formulação das Leis de Kepler. E mostramos, a equivalência entre
as leis de Kepler e a lei de Newton da gravitação.
Nossa intenção era escrever um texto de fácil acesso e que mostrasse a importância da
Mecânica Clássica Newtoniana como ponto de partida para o estudo da Mecânica Clássica
em geral. Ressaltamos que a Mecânica Newtoniana trabalha muito bem na escala com
a qual convivemos diariamente, porém em escala infinitesimal ou já em proximidades da
velocidade da luz, suas formulações não são suficientes para uma adequada abordagem
da realidade. E, portanto, são substitúıdas pelas formulações da Mecânica Quântica e
da Teoria da Relatividade de Einstein. Ainda assim, seu estudo foi fundamental para
o desenvolvimento da F́ısica e da Matemática. O estabelecimento das leis de Newton e
Kepler tornaram-se pontos cruciais para uma melhor compreensão do universo, mesmo
com as suas limitações naturais.
31
Referências Bibliográficas
[1] ARNOLD, Vladimir.I.. Ordinary Differential Equations. Third Edition. Springer-
Verlag, New York, 1992.
[2] ARNOLD, Vladimir.I.. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-
Verlag, New York, 1989.
[3] BURNS, H., Uber die integrale des vielkorper-problems, Acta Mathematica 11 (1887)
25-96.
[4] FIGUEREDO, Djairo G. e NEVES, Aloisio F.. Equações Diferenciais Aplicadas.
CMU. IMPA, Rio de Janeiro, 2001.
[5] GONÇALVES, Adilson. Introdução a álgebra. Impa, Rio de Janeiro, 2008.
[6] HAGIHARA, Y.. Celestial Mechanics I. MIT Press, Cambridge, MA, 1970.
[7] LIMA, Elon L.. Curso de Análise. Volume 2. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro,
2014.
[8] LOPES, Artur; DOERING, Claus Ivo. Equações Diferenciais Ordinárias. IMPA, Rio
de Janeiro, 2016.
[9] LOPES,Artur. Introdução a Mecanica Clássica. IMPA, Rio de Janeiro, 1998.
[10] Pendulum’s motion is simple harmonic motion. Dispońıvel
em: <https://physics.stackexchange.com/questions/212583/
pendulums-motion-is-simple-harmonic-motion>. Acesso em: 02 fev. 2018.
[11] Péndulo esférico. Dispońıvel em: <https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%
A9ndulo_esf%C3%A9rico>. Acesso em: 30 jan. 2018.
[12] WINTNER, A.. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics. Princeton Math.
Series 5, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1941).
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<https://physics.stackexchange.com/questions/212583/pendulums-motion-is-simple-harmonic-motion>
<https://physics.stackexchange.com/questions/212583/pendulums-motion-is-simple-harmonic-motion>
<https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_esf%C3%A9rico>
<https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_esf%C3%A9rico>
	Agradecimentos
	Resumo
	Abstract
	Sumário
	Introdução
	Sistemas com um grau de liberdade
	Sistemas com dois graus de liberdade
	Relação entre trabalho e energia potencial
	Campos centrais
	Momento angular
	A segunda lei de Kepler
	Investigação do movimento em um campo central
	Redução a um problema unidimensional
	Integração de uma equação de movimento
	Investigação das órbitas
	O problema de Kepler
	As leis de Kepler e a lei de Newton da gravitação
	Conclusão
	Referências Bibliográficas