Aula 4 - Centroides e Momentos de Inércia

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO 
CIVIL
CENTROIDES E MOMENTOS DE INÉRCIA
Pedro Sanderson
pedrosanderson88@gmail.com
Fortaleza
2020
Centro de Gravidade
• Na Mecânica Geral, considera-se que 
a força gravitacional que atua sobre 
um corpo rígido pode ser representada 
por uma força única W.
• Entretanto, um corpo é composto de 
uma quantidade infinita de partículas 
com peso dW.
2
• Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente 
paralelas cuja resultante é o peso total W que pode, em alguns 
problemas, ser representada passando por um único ponto, 
chamado CENTRO DE GRAVIDADE G.
Centro de Gravidade
• Considerando a placa ao lado, podemos
dividi-la em n elementos de peso ΔWi
com coordenadas xi e yi em relação a um
ponto fixo O.
• O peso total da placa é dado por:
• Fazendo uma equivalência entre os
momentos em torno dos eixos:
3
 iWW




iiG
iiG
WyWy
WxWx
Centro de Gravidade
• Se fizermos ΔWi → 0, temos:
• Portanto, as coordenadas do centro de
gravidade são dadas por:
4






dWyWy
dWxWx
dWW
G
G



 
dW
dWy
y
dW
dWx
x GG
Centro de Gravidade
• As mesmas coordenadas são obtidas, caso se deseje 
determinar as coordenadas do centro de gravidade de uma 
linha homogênea de seção transversal constante.
5



 
dW
dWy
y
dW
dWx
x GG
Centro de Massa
• Para se realizar um estudo dinâmico de um corpo é
importante se conhecer o seu CENTRO DE MASSA M.
• Fazendo dW = g dm nas expressões anteriores e supondo
que a constante gravitacional g não varia, temos que:
• Para finalidades práticas em engenharia, o centro de massa
de um corpo coincide com o seu centro de gravidade.
6



 
dm
dmy
y
dm
dmx
x MM
Centroide de um Volume
• Se o corpo é feito de material homogêneo, sua massa 
específica ρ será constante e um elemento de volume 
diferencial dV possuirá massa dm = ρ dV. Com isto, o 
CENTROIDE DO VOLUME de um corpo é definido por:
7


dV
dVx
xV


dV
dVy
yV
Centroide de uma Área
• Se o corpo é prismático (espessura constante), de modo que
dV = t dA, podemos definir o CENTROIDE DE UMA
ÁREA C como:
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

dA
dAx
x


dA
dAy
y
Momento Estático
• As integrais nos numeradores das expressões anteriores são
conhecidas na literatura como MOMENTOS DE
PRIMEIRA ORDEM ou MOMENTOS ESTÁTICOS
DE UMA ÁREA:
• Se a posição de um eixo coincidir com o centroide de um
corpo, o momento estático em relação a este eixo será nulo.
9
AydAyQAxdAxQ xy  
• Para cada elemento de área dA e abscissa x em torno do eixo 
y, existe um outro equivalente de área dA’ de abscissa –x.
• O momento de primeira ordem em relação a um eixo de 
simetria é nulo e, portanto, o centroide da figura está 
localizado neste eixo.
Simetria
10
• Se uma área tiver dois eixos de simetria então o centroide C
da forma geométrica passa pela interseção destes eixos.
• Determinação imediata de centroides de triângulos
equiláteros, retângulos, círculos e elipses.
Simetria
11
12
Exemplo 1
Calcule os momentos de primeira ordem e determine a posição 
do centroide do triângulo compreendido entre x = 0 e x = b 
abaixo.
13
Exemplo 2
Calcule os momentos de primeira ordem e determine a posição
do centroide da figura abaixo. Expresse o resultado em termos
de a e h.
Centroide de uma Linha
• O CENTROIDE C de uma linha é
definido como:
• Aqui, o comprimento do elemento
diferencial é dado pelo teorema de
Pitágoras, dL² = dx² + dy², portanto:
14
15
Exemplo 3
Determine a posição do centroide do arame abaixo. Considere
que a = 2, b = 1.
16
Exemplo 4
Determine a posição do centroide do arame abaixo.
Centroide de Formas Usuais
17
Centroide de Formas Usuais
18
Centroide de Formas Usuais
19
Áreas Compostas
• Existem muitas situações em que a geometria analisada pode 
ser dividida em formas usuais.
20
Áreas e Linhas Compostas
• Uma vez que a posição do centroide das partes for de fácil
identificação, o centroide da geometria completa pode ser
determinado substituindo o operador integral por um
somatório finito:
• A mesma ideia se aplica para linhas:
21





 n
i
i
n
i
ii
A
Ay
A
Ax
dA
dAx
A
Q
x
1
1





 n
i
i
n
i
ii
A
Ax
A
Ay
dA
dAy
A
Q
y
1
1
Áreas Compostas
• É preciso ter cuidado para se atribuir o sinal correto ao 
momento de primeira ordem de cada área.
• Uma superfície cujo centroide estiver à esquerda do eixo y 
terá Qy negativo.
• Na presença de furos a área vazia é negativa, uma vez que 
a mesma é retirada da geometria.
22
23
Exemplo 5
Determine a posição do centroide das figuras planas abaixo.
24
Exemplo 6
Determine a posição do centroide das figuras planas abaixo.
Teoremas de Pappus Guldinus
• Se girarmos uma curva plana em torno de um eixo que não
intercepte a curva, a área da superfície de revolução será
gerada.
• 1º Teorema de Pappus e Guldinus:
• “A área da superfície de revolução é igual ao produto do
comprimento da curva de geração pela distância trafegada
pelo centroide da curva na geração da área da superfície”.
25
Teoremas de Pappus Guldinus
• A área da superfície da figura é formada girando-se a curva de 
comprimento L em torno do eixo horizontal x.
• A = área da superfície de revolução; θ = ângulo de revolução medido em 
radianos, θ ≤ 2π; ̅r = distância perpendicular do eixo de revolução ao 
centroide da curva de geração; L = comprimento da curva de geração. 26
Teoremas de Pappus Guldinus
• Um volume pode ser gerado pelo giro de uma área plana em 
tomo de um eixo que não intercepte a área.
• 2º Teorema de Pappus e Guldinus:
• “O volume de um corpo de revolução é igual ao 
produto da área de geração pela distância trafegada 
pelo centroide da área na geração do volume”.
27
Teoremas de Pappus Guldinus
• O volume do sólido de revolução da figura é formado girando-
se a área A em torno do eixo horizontal x.
• V = volume do sólido de revolução; θ = ângulo de revolução medido em 
radianos, θ ≤ 2π; ̅r = distância perpendicular do eixo de revolução ao 
centroide da área de geração; A = área de geração.
28
Teoremas de Pappus Guldinus
• FORMAS COMPOSTAS:
• Também podemos aplicar os dois teoremas a linhas ou 
áreas que são compostas de uma série de partes 
combinadas. Nesse caso, a área da superfície total ou 
volume gerado é a adição das áreas da superfície ou 
volumes gerados por cada uma das partes combinadas. Se a 
distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide 
de cada parte combinada for ̅r então:
29
30
Exemplo 7
Determine a área da superfície e o
volume do sólido de revolução
obtido a partir da seção transversal
a seguir. Considere 1 in = 25 mm.
31
Exemplo 8
O tanque de processamento é usado 
para armazenar líquidos durante a 
manufatura. Estime o volume do 
tanque e a área de sua superfície. O 
tanque tem um topo plano e uma 
parede fina. Considere 1 in = 25 mm.
Cargas Distribuídas em Vigas
• Consideremos uma viga que suporta um carregamento
distribuído w = w(x) ao longo de seu comprimento L.
• A intensidade da resultante deste carregamento em um
comprimento dx é dW = w dx. Assim, a força resultante,
equivalente à carga w é:
32






 
A
dAdxwW 
Cargas Distribuídas em Vigas
• A carga resultante W deve ser aplicada em um ponto P, tal
qual provoque as mesmas reações de apoio que w = w(x).
• O ponto de aplicação P da carga resultante W será obtido
igualando o momento gerado por W em relação ao ponto O
à soma dos momentos das cargas infinitesimais dW:
33






 
A
dAxdWxWx 















A
A
dA
dAx
dW
dWx
x 
O ponto de aplicação da força 
resultante está localizado no 
centroide da área que representa o 
carregamento distribuído w = w(x).
34
Exemplo 9
Determine as reações de apoio nas vigas abaixo.
35
Exemplo 10
Determine as componentes
horizontal e vertical da
reação nopino A e a força
no cabo BC. Despreze a
espessura dos membros.
36
Exemplo 11
Determine a distância a de modo que as reações de apoio sejam 
iguais. Qual o valor destas reações?
Carregamento Distribuído Geral
• Considere a placa plana mostrada
na figura, que está sujeita à carga
definida por p = p(x, y).
• Conhecendo essa função, podemos
determinar a força resultante FR
atuando sobre a placa e sua
localização.
37
A intensidade da força resultante é igual ao volume total sob o 
diagrama do carregamento distribuído.
Carregamento Distribuído Geral
• A localização de FR é determinada 
fazendo-se os momentos de FR 
iguais aos momentos de todas as 
forças diferenciais dF em relação 
aos respectivos eixos y e x.
38
A linha de ação da força resultante passa pelo centroide do 
volume sob o diagrama do carregamento distribuído.
Pressão de Fluidos
• De acordo com a lei de Pascal, um fluido em repouso cria
uma pressão p em um ponto que é a mesma em todas as
direções.
• A intensidade de p, medida como uma força por área unitária,
depende do peso específico γ (ou massa específica ρ) do
fluido e da profundidade z do ponto a partir da superfície do
fluido.
• Esta relação pode ser expressa matematicamente como:
• Essa equação é válida apenas para fluidos que são
considerados incompressíveis, como no caso da maioria dos
líquidos. 39
Pressão de Fluidos
40
• É possível determinar a força resultante causada por um
líquido e especificar sua localização na superfície de uma
placa submersa.
Placa Plana de Largura Constante
• A distribuição de pressão pela superfície da placa é 
representada por um volume trapezoidal de intensidade p1 = 
γz1 na profundidade z1 e p2 = γ z2 na profundidade z2. 
41
• A intensidade de FR é 
igual ao volume desse 
diagrama de carga e 
tem uma linha de ação 
que passa pelo ponto 
P, chamado Centro de 
Pressão.
Placa Plana de Largura Constante
• Como a placa tem uma espessura constante, a distribuição de 
carga também pode ser vista em duas dimensões. 
42
• A intensidade de carga é
medida como uma força por
unidade de comprimento e
varia linearmente de w1 =
bp1 até w2 = bp2. A
intensidade de FR nesse
caso é igual à área
trapezoidal tem uma linha
de ação que passa pelo
centroide da área C.
Placa Curva de Largura Constante
• A pressão atuando normal à placa muda continuamente de 
intensidade e direção.
43
• Determinar a intensidade 
de FR e sua localização P 
é mais difícil do que para 
uma placa plana.
• O método de cálculo 
requer a separação das 
componentes horizontal 
e vertical de FR.
Placa Curva de Largura Constante
44
O carregamento distribuído sobre 
a placa pode ser representada por 
uma carga equivalente.
Para determinar a posição do 
Centro de Pressão P, faz-se 
ΣM = 0 em relação a algum 
ponto conveniente.
FR = FAB + FAD + Wf
Wf = γbABDA
Placa Plana de Largura Variável
• Se considerarmos a força dF atuando sobre a faixa de área
diferencial dA, paralela ao eixo x, então sua intensidade é dF
= p∙dA. Como a profundidade de dA é z, a pressão no
elemento é p = γ∙z, dF = γ∙z∙dA e, portanto:
45
A força resultante atuando sobre 
qualquer placa plana é igual ao 
produto da área da placa pela 
pressão na profundidade do seu 
centroide C’ (≠ P).
46
Exemplo 12
A barragem de concreto por 
“gravidade” é mantida por 
seu peso próprio. Determine 
o fator de segurança contra 
o tombamento em torno do 
ponto A se x = 2 m. 
O fator de segurança é 
definido como a razão do 
momento de estabilização 
dividido pelo momento de 
tombamento. 
Considere ρconc = 2500 
kg/m³ e ρw = 1000 kg/m³.
47
Exemplo 13
A barragem de concreto por 
“gravidade” é mantida por 
seu peso próprio. Se a 
densidade do concreto é 
ρconc = 2500 kg/m3, e a água 
tem uma densidade de ρw = 
1000 kg/m3, determine a 
menor distância d em sua 
base que impedirá que a 
barragem tombe em torno 
de sua extremidade A. A 
barragem tem uma largura 
de 8 m.
48
Exemplo 14
Determine a massa do contrapeso
A se a comporta de 1 m de
largura está prestes a abrir
quando a água está no nível
mostrado. A comporta é
articulada em B e mantida pelo
anteparo liso em C. A densidade
da água é ρw = 1000 kg/m3.
Se a massa do contrapeso em A
for 6500 kg, determine a força
que a comporta exerce sobre o
anteparo liso em C.
Momento de Inércia
• Também chamado de momento de segunda ordem.
• Aplicações em problemas de flexão de barras.
49
 
 



 0 
 0 
2
2
dAxI
dAyI
y
x
• Os momentos de inércia de 
uma área são definidos pelas 
seguintes expressões:
Momento Polar de Inércia
• Outra propriedade geométrica de grande importância, em 
relação a problemas de torção de eixos e em problemas 
relativos à rotação de placas, é o momento polar de inércia, 
definido por:
50
yxO IIdArJ   2
Raio de Giração
• O raio de giração de uma área em relação a um eixo tem
unidades de comprimento e é uma quantidade normalmente
usada para projetos de colunas.
• Está associado à esbeltez deste tipo de elemento estrutural.
• Por definição:
51
ೣ ೤ ೀ
Cálculo por Integração
• Formas de cálculo dos momentos de inércia por integração:
• Para calcular Ix, é escolhida a faixa paralela ao eixo x, de tal 
modo que todos os pontos que formam a faixa estejam à 
mesma distância y do eixo x.
• A mesma ideia é usada para escolher a faixa para o cálculo 
de Iy. 52
Exemplo 15
Determine os momentos de inércia de um retângulo em relação
aos eixos x e y.
53
Exemplo 16
Determine o momento de inércia do triângulo abaixo em relação
ao eixo x.
54
Exemplo 17
Determine o momento polar de inércia do círculo abaixo e, em 
seguida, calcule os seus momentos de inércia.
55
Tabela de Momentos de Inércia
56
Tabela de Momentos de Inércia
57
Teorema dos Eixos Paralelos
• Consideremos o momento de inércia Ix de uma superfície de 
área A em relação a um eixo AA’. Seja y a distância de um 
elemento de área dA a AA’. Escrevemos:
58
 dAyI x 2
• Tracemos agora um eixo 
BB’, paralelo a AA’, que 
passa pelo centroide C 
da superfície.
Teorema dos Eixos Paralelos
• Sendo y’ a distância de dA a BB’, temos que y = y’ + dy, onde
dy é a distância de AA’ a BB’. Substituindo y na integral
representativa de Ix, temos que:
• A primeira integral representa o momento de inércia em
relação ao eixo que passa pelo centroide da superfície (BB’).
• A segunda integral representa o momento estático da
superfície em relação ao seu centroide e, portanto, é nula. 59
   dAdydAyI yx 22 '
      dAddAyddAydAdyI yyyx 222 '2''
AdII yxx
2' 
Teorema dos Eixos Paralelos
• De forma análoga, podemos escrever o Teorema dos Eixos 
Paralelos para o momento de inércia em relação ao eixo y e 
para o momento polar de inércia:
• Lembrando que:
• I’x, I’y e JC são os momentos de inércia em relação ao 
centroide da área.
• Ix, Iy e JO são os momentos de inércia em relação a um eixo 
qualquer.
60
AdJJAdIIAdII COxyyyxx
222 '' 
Superfícies Compostas
61
• Consideremos uma superfície composta A, formada por vários 
componentes A1, A2, ..., An.
• Matematicamente, podemos fazer:
• Pelo Teorema dos Eixos Paralelos:
 
nAAAA
x dAydAydAydAyI
2222 ...
21
iiy
A
i
A
AddAydAy
ii
2
,
22  
onde dy,i é a distância do centroide da 
área Ai para o centroide da área total 
A.
Superfícies Compostas
62



n
i
iiy
A
i
A
x AddAydAyI
ii
1
2
,
22
Momento de Inércia em relação ao 
eixo x.
Momento de Inércia em relação ao 
eixo x’ horizontal que passa pelo 
centroide de cada forma mais 
simples que compõe a área total
63
Exemplo 18
A utilização de perfis metálicos do tipo C é comum em vários
elementos estruturais. Determine os momento de inércia Ix e Iy
do perfil C abaixo em relação aos eixos x e y que passam pelo
centroide da seção.
Exemplo 19
Determine os momentos de inércia, Ix e Iy da figura abaixo em 
relação ao seu centroide.
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Exemplo 20
Determine os momentos de inércia, Ix e Iy da figura abaixo em 
relação aoseu centroide.
65
Exemplo 21
Determine os momentos de inércia, Ix e Iy da figura abaixo em
relação ao seu centroide.
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