Regressão Linear e Equação de uma Reta

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
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ÍNDICE
Regressão Linear ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Introdução ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Equação de uma Reta ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3
Método de Mínimos Quadrados �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5
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Regressão Linear
Introdução
Imaginemos duas variáveis, que chamaremos genericamente de Y e X – mas que poderiam ser 
consumo e renda; salários e anos de estudo; lucro e investimento; preço de revenda de um carro e 
seu ano de fabricação; enfim, quaisquer duas variáveis que, supostamente, tenham relação entre si� 
Suponhamos, ainda, que X é a variável independente e Y é a variável dependente, isto é, Y é afetado 
por X, e não o contrário�
Por exemplo, considere a relação entre as variáveis X e Y (pontos) mostrada no diagrama de dis-
persão abaixo�
No gráfico acima, verificamos que existe, sim, uma dependência entre Y e X, pois se percebe que 
y aumenta à medida que x aumenta� O processo de encontrar a relação entre Y e X é chamado de re-
gressão� Se esse processo é uma reta (como parece ser o caso), é uma regressão linear� E, se houver 
apenas uma variável independente (só tem uma, a variável X), é uma regressão linear simples�
Como a relação expressa pelo gráfico acima é, aparentemente, dada por uma reta, vamos passar 
uma reta que esteja ajustada aos pontos�
Com o conhecimento da equação dessa reta, podem-se estimar valores futuros de uma variável 
com base em valores conhecidos da outra variável�
A variável y é a variável que deve ser predita, e x é o preditor�
A variável x também é chamada: variável independente ou variável explicativa�
A variável y também é chamada: variável dependente ou variável explicada�
Faremos uma pausa no assunto de Regressão Linear e relembraremos alguns conceitos sobre a 
equação de uma reta�
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Equação de uma Reta
A equação de uma reta tem o seguinte modelo: y = a + bx� (Muitos livros de Matemática trazem 
a equação da reta com “a” e “b” em posições trocadas: y = ax + b, mas a primeira forma é a preferida 
dos estatísticos, portanto ficaremos com ela)�
O valor “a” é chamado de coeficiente linear ou intercepto y (porque a reta intercepta o eixo y em y=a)�
O valor “b” é chamado de coeficiente angular e está associado ao grau de inclinação da reta em 
relação ao eixo horizontal:
b = ∆y/∆x
Demonstração:
Se escolhermos dois pontos: (x1, y1) e (x2, y2), ao substituirmos esses pontos na equação da reta, 
teremos:
y2 = a + bx2 e y1 = a + bx1
Subtraindo essas duas equações membro a membro, temos:
(y2 – y1) = (a + bx2) – (a + bx1)
(y2 – y1) = bx2 – bx1
(y2 – y1) = b�(x2 –x1)
b = (y2 – y1) / (x2 –x1)
Assim: 
b = ∆y/∆x
Por meio do sinal de “b”, podemos saber se a reta é crescente, decrescente ou constante�
 ˃ Se b>0 a reta será crescente�
 ˃ Se b<0 a reta será decrescente�
 ˃ Se b=0 a reta será paralela ao eixo horizontal�
Quanto maior o módulo (valor absoluto) de “b”, maior será a inclinação da reta, tendendo à 
vertical; e quando “b” se aproxima de zero, a reta diminui a inclinação, tendendo à horizontal�
Como exemplo, vamos determinar a reta que passa pelos pontos: (0, 1) e (1, 3)�
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O modelo da equação da reta é: y = a + bx
Vamos substituir os pontos (0, 1) e (1, 3) na equação acima:
(0, 1)  1 = a + b�0  a = 1 (coef� linear)
(1, 3)  3 = 1 + b�1  b = 2 (coef� angular)
Daí: y = 1 + 2x (Resposta!)
Como b>0, a reta é crescente�
O coeficiente angular da reta, b, indica a variação de y por unidade de variação de x� Por 
exemplo:
Neste exemplo, qual é o ∆y correspondente a ∆x = 1?
Temos que: b = ∆y/∆x
Substituindo os valores, temos:
2 = ∆y/1  ∆y = 2
Significa que a cada unidade de variação de x, correspondem 2 unidades de variação de y� 
Podemos observar a relação entre as variações de x e de y no gráfico abaixo� Verifica-se que enquanto 
x varia de 1 para 2 (∆x=1), o y varia de 3 para 5 (∆y=2)�
A tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal é igual ao coeficiente angular�
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Método de Mínimos Quadrados
No diagrama de dispersão abaixo, é mostrada a reta que relaciona as variáveis X e Y� Observe que 
a reta não passa por cima de todos os pontos� Desse modo, haverá um erro denotado por εi�
O modelo da regressão linear é dado por:
yi = α + βxi + εi
Sendo α+βx a equação da reta, e ε é o erro (ou desvio)�
O erro εi observado no gráfico acima é dado pela diferença (vertical) entre o valor observado yi 
(referente ao ponto) e o valor estimado (que fica em cima da reta), ou seja:
O próximo passo é estimar a reta de regressão� Uma vez que normalmente estaremos trabalhan-
do com uma amostra, não teremos os valores de α e β, mas sim de seus estimadores�
Se “a” e “b” são estimadores de α e β, respectivamente, a reta de regressão estimada é:
Para encontrar as estimativas “a” e “b” da reta de regressão, utilizaremos o Método de Mínimos 
Quadrados� Ele é o mais utilizado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos� Por esse 
método, a reta resultante tem duas características importantes:
1) a soma dos desvios verticais dos pontos em relação à reta é zero: �
2) a soma dos quadrados dos desvios é mínima: deve ser mínima�
Após a aplicação do Método de Mínimos Quadrados, chegaremos às seguintes expressões para a 
obtenção das estimativas “a” e “b” da reta de regressão:
1) Para obtenção de “b” podemos utilizar uma das três possibilidades abaixo:
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2) Para obtenção de “a”, podemos usar uma das duas expressões a seguir:
ou
Podemos encontrar uma relação importante entre o coeficiente angular da reta de regressão (b) e 
o coeficiente de correlação linear (r)� Sabemos que:
Dessas duas expressões, é fácil chegar à seguinte expressão:
Em que SX e SY são os desvios padrões das variáveis X e Y, respectivamente� Como SX e SY são 
sempre positivos, então o sinal de “b” é o mesmo de “r”� Isso concorda com o quejá aprendemos, pois 
uma correlação negativa indica uma reta decrescente entre X e Y e, portanto, o coeficiente angular é 
negativo� E o contrário, uma correlação positiva indica uma reta crescente entre X e Y e, portanto, o 
coeficiente angular é positivo�
 → Exemplo 01. Uma empresa presta serviços de manutenção de eletrodomésticos em domicílio� 
Para cada um de 18 atendimentos coletou o tempo gasto em minutos (y) com a manutenção e o 
número de máquinas servidas (x)� Postula-se que o modelo linear yi = α + βxi + εi seja adequado, 
onde α e β são parâmetros desconhecidos e os εi são componentes de erro não diretamente ob-
serváveis, não correlacionados, com média nula e variância σ2 desconhecida� As estimativas de 
mínimos quadrados dos parâmetros do modelo linear são dadas por a=10, b=2 e σ2=4� A estima-
tiva do aumento esperado de tempo por máquina adicional servida por chamada é de
a) 2 minutos�
b) 10 minutos�
c) 12 minutos�
d) 5 minutos�
e) 6 minutos�
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 → Solução:
O enunciado forneceu os valores de “a” e “b” da reta de regressão� Podemos, então, montar a reta 
de regressão:
Mas não é necessário montar a reta de regressão para resolver esta questão� A questão pede a es-
timativa do aumento esperado de tempo (∆y=?) por máquina adicional servida por chamada (∆x=1)�
Precisamos da relação entre as variações de X e de Y, que é dada por:
b = ∆y/∆x
Isolando ∆y, temos:
∆y = b�∆x
Substituindo b por 2 e ∆x por 1, temos:
∆y = 2�1 = 2
Portanto, para cada máquina adicional servida por chamada, teremos um acréscimo de 2 
minutos no tempo gasto com a manutenção�
 → Resposta: Alternativa A�
 → Exemplo 02. Na análise de regressão linear simples, as estimativas e dos parâmetros α e β da 
reta de regressão podem ser obtidas pelo método de Mínimos Quadrados� Nesse caso, os valores 
dessas estimativas são obtidos através de uma amostra de n pares de valores (Xi ,Yi ) com (i =1, 2, 
����,n), obtendo-se: , onde é a estimativa de Yi = α + βXi � Para cada par de valores 
(Xi Yi) com (i =1, 2, ���,n) pode-se estabelecer o desvio ou resíduo − aqui denotado por ei − entre a 
reta de regressão Yi e sua estimativa � Sabe-se que o Método de Mínimos Quadrados consiste 
em adotar como estimativas dos parâmetros α e β os valores que minimizam a soma dos qua-
drados dos desvios ei� Desse modo, o Método de Mínimos Quadrados consiste em minimizar a 
expressão dada por:
 → Solução:
Segundo o enunciado, o desvio ou resíduo − denotado por ei – é dado entre a reta de regressão Yi 
e sua estimativa � Ou seja:
Ainda segundo o enunciado, o Método de Mínimos Quadrados consiste em adotar como esti-
mativas dos parâmetros α e β os valores que minimizam a soma dos quadrados dos desvios ei� Essa 
soma é dada por:
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Temos que ; substituindo, vem:
Observe nas alternativas da questão que o somatório acima não aparece entre as opções de 
resposta�
Também uma possível resposta poderia ser:
Esse somatório aparece na alternativa B, porém nessa alternativa aparece um parêntese sobrando 
dentro do somatório�
O gabarito preliminar apontava a alternativa C como resposta, mas a questão foi anulada�
 → Resposta: Anulada�
 → Exemplo 03. Determine a reta de regressão de Y em X, considerando que uma amostra aleatória 
simples (X1,Y1), (X2,Y2),���, (X22,Y22) forneceu as seguintes estatísticas: médias amostrais = 4,8 e 
= 15,3, variâncias amostrais Sx
2 = 8 e Sy
2 = 40 e covariância amostral Sxy = 12�
a) Ŷi = 8,1 + 0,3 Xi
b) Ŷi = 8,1 + 1,5 Xi
c) Ŷi = 15,3 + 1,5 Xi
d) Ŷi = 15,3 + 0,3 Xi
e) Ŷi = 15,3 + 2,25 Xi
 → Solução:
A reta de regressão de Y em X é dada por:
Temos, primeiramente, que encontrar o valor de “b”, depois o valor de “a”�
De acordo com os dados fornecidos no enunciado, é melhor utilizarmos a relação que existe 
entre o coeficiente angular “b” e a covariância:
Vamos lançar os dados fornecidos no enunciado na expressão acima:
Agora precisamos encontrar o valor do coeficiente linear “a” para montar a reta de regressão�
Vamos lançar o valor de “b” e dos dados fornecidos no enunciado na expressão acima:
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Resolvendo, temos:
Portanto, a reta de regressão é:
 → Resposta: Alternativa B�