Conteúdo Programático AlfaCon Concursos

Prévia do material em texto

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
1
ÍNDICE
Intervalo de Confiança ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Estimação ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Estimativas Pontuais e Intervalares����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Intervalo de Confiança �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3
Intervalo de Confiança da Média��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3
Tabelas Estatísticas �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������10
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
2
Intervalo de Confiança
Estimação
Façamos a suposição de que desejamos conhecer algum fato sobre determinada população, por 
exemplo, a média de idade, o percentual de intenções de voto para um determinado candidato, e 
essa população é composta por milhares (às vezes, milhões) de elementos (nesse caso, pessoas, mas 
poderia ser qualquer coisa), de tal modo que seria muito difícil pesquisar o valor correto, pois seria 
inviável pesquisar todos os elementos� Nesse caso, temos de recorrer aos valores encontrados em 
uma amostra�
A informação que se deseja conhecer da população é chamada de parâmetro populacional� O 
valor que é obtido a partir da amostra, que supostamente nos dá uma ideia do valor correto do parâ-
metro populacional, é chamado de estimativa (estatística)�
Por exemplo, queremos saber a média de idade dos estudantes universitários na cidade de São 
Paulo� Com há muitos estudantes, recorremos a uma amostra de, por exemplo, 100 estudantes� Su-
ponhamos que a média dos valores dessa amostra foi de 25 anos, então, essa é a estimativa para a 
média de idade de todos os estudantes universitários�
Mas a média de idade dos universitários é realmente 25 anos? Não é possível saber, a não ser que 
todos os estudantes universitários fossem pesquisados� Portanto, são coisas diferentes o parâmetro 
populacional e a estimativa, então devem ser representados de maneira diferente, por exemplo:
 » µ = média populacional (parâmetro populacional)
 » X = média amostral (estimativa)
Também representaremos de maneira diferente o desvio padrão:
 » σ = desvio padrão populacional (parâmetro populacional)
 » S = desvio padrão amostral (estimativa)
E a variância:
 » 2σ = variância populacional (parâmetro populacional)
 » X = variância amostral (estimativa)
Para finalizar esta introdução sobre a Estimação, apresentamos a sua definição formal:
A Estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar parâmetros 
populacionais.
Estimativas Pontuais e Intervalares
As estimativas pontuais são aquelas que originam uma única estimativa do parâmetro�
Seguem abaixo as estimativas pontuais de algumas medidas estatísticas de interesse:
1) Estimativa pontual da Média Populacional (µ)
A estimativa da média populacional µ é a média amostral X � E para um conjunto de valores ela é 
calculada por meio da fórmula:
Em que: Os ix são os elementos da amostra e n é o tamanho da amostra�
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
3
2) Estimativa pontual do desvio padrão populacional (σ)
A estimativa pontual do desvio padrão σ é o desvio padrão amostral S� E para um conjunto de 
valores, ele é calculado por meio da fórmula:
A fórmula do desvio padrão com o (n-1) no denominador da fração torna a estimativa do desvio 
padrão em uma estimativa não tendenciosa (não viesada), pois a média de todos os desvios padrões, 
obtidos pela fórmula acima, possíveis para uma amostra de tamanho n de uma população é igual ao 
desvio padrão populacional�
3) Estimativa pontual da variância populacional (σ2)
A estimativa pontual da variância populacional σ2 é a variância amostral S2� E, para um conjunto 
de valores, ela é calculada por meio da fórmula:
Também essa estimativa é não tendenciosa (não viesada)�
A variância amostral é exatamente o quadrado do desvio padrão amostral�
Mas já sabemos que a média amostral, por exemplo, pode apresentar valores diferentes da média 
da população, embora os dois valores em geral estejam próximos� Em virtude dessa variabilidade 
amostral (pois a estimativa depende da amostra utilizada), é usual incluir uma estimativa interva-
lar para acompanhar a estimativa pontual� Essa nova estimativa proporciona um intervalo de possí-
veis valores do parâmetro populacional� Por exemplo:
 ˃ Uma estimativa pontual diria que a média das alturas dos adolescentes cariocas é de 1,70 metros� 
Já uma estimativa intervalar diria que a média das alturas dos adolescentes cariocas está entre 
1,64 e 1,76 metros�
 ˃ Uma estimativa pontual diria que o desvio padrão da temperatura na cidade de Natal, no mês 
de julho do corrente ano, é da ordem de 25 C� Já uma estimativa intervalar diria que está entre 
23° C e 27° C�
 ˃ Uma estimativa pontual diria que um determinado candidato tem 37% das intenções de voto� Já 
uma estimativa intervalar diria que o candidato tem entre 34% e 40% das intenções de voto (ou 
37% com uma margem de erro de 3% para cima ou para baixo)�
A construção da estimativa intervalar é feita por meio do Intervalo de Confiança�
Intervalo de Confiança
O Intervalo de Confiança dá um intervalo de valores, centrado na estimativa pontual, no qual 
julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro populacional�
Aprenderemos a calcular o intervalo de confiança para a média e para a proporção�
Intervalo de Confiança da Média
O processo de construção do intervalo de confiança da média de uma população depende de dois 
fatores: 1º) se o desvio padrão da população (σ) é conhecido; e 2º) se o tamanho da amostra é grande 
(n≥30)�
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
4
Caso o desvio padrão populacional seja desconhecido, será utilizado o desvio padrão amostral 
(S), o qual poderá ser fornecido ou então deverá ser calculado com base nos dados apresentados na 
questão�
Mostramos a seguir o intervalo de confiança de acordo com o tamanho da amostra e do conheci-
mento do desvio padrão da população:
Para facilitar a compreensão e a memorização das fórmulas acima, segue um diagrama com as 
perguntas a serem feitas no processo de definição do intervalo de confiança adequado�
Em que:
 ˃ X é a média da amostra�
 ˃ σ é o desvio padrão da população�
 ˃ S é o desvio padrão da amostra�
 ˃ n é o tamanho da amostra�
 ˃ z é a variável reduzida obtida a partir da Tabela da Distribuição Normal Padrão�
 ˃ t é a variável t obtida a partir da Tabela da Distribuição t de Student�
Comoalternativa, para simplificar, pode-se memorizar o fluxograma a seguir, em vez do 
anterior:
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
5
Na fórmula que aparece o σ, caso não seja fornecido esse desvio padrão populacional, então se 
deve usar o desvio padrão amostral (S)�
Convém observar que a variável t será utilizada somente se o desvio padrão populacional for des-
conhecido e o tamanho da amostra for inferior a 30�
Para podermos definir o nosso intervalo de confiança, a questão fornecerá um nível de confian-
ça (ou grau de confiança)� O valor de z (ou de t) é definido a partir desse nível de confiança�
O grau de confiança que mais aparece nas questões de concursos, e um dos mais usados na 
prática Estatística, é o de 95%� O z correspondente a este grau é o z=1,96� Convém memorizar esse 
valor, pois já ocorreu, embora isso não seja usual, de a questão não fornecer meios de o candidato 
chegar ao z correspondente à confiança de 95%�
Faremos uma ilustração do intervalo de confiança para a média populacional, no caso do desvio 
padrão populacional conhecido, que é dada pela seguinte fórmula:
Teremos o seguinte desenho:
O centro deste intervalo é o X , o limite inferior é X –
n
z σ. e o limite superior é X +
n
z σ. �
A amplitude do intervalo de confiança é igual a �
E o desenho do intervalo de confiança dentro da curva normal para um determinado nível de 
confiança é:
O desenho acima é visto para a variável X, e o desenho equivalente para a variável padronizada Z 
é mostrado a seguir�
Observa-se nos desenhos acima, que há duas regiões fora do intervalo de confiança, uma à direita 
e outra à esquerda, com área igual a 2/α � Somando essas duas áreas, o resultado é α �
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
6
O α é chamado de nível de significância (ou grau de significância), e como veremos na aula de 
Teste de Hipóteses, ele está associado a uma probabilidade de erro�
A soma das áreas das regiões abaixo da curva normal deve totalizar 100%� Assim:
2/α + 2/α + confiança = 100%
Simplificando, temos: α + confiança = 100%
Ou ainda: α = 100% – confiança
Resolveremos alguns exemplos de cálculo do intervalo de confiança�
 → Exemplo 01. Com o objetivo de se estimar a média mensal salarial, que denotaremos por μ, de certa 
categoria de trabalhadores, tomou-se uma amostra aleatória de 400 desses trabalhadores� Os resulta-
dos estão apresentados na tabela de distribuição de frequências abaixo, onde a primeira coluna apre-
senta as faixas salariais mensais, em número de salários mínimos (SM), de tais trabalhadores:
Considere:
I. Que a população de onde a amostra foi retirada é infinita e tem distribuição normal com 
desvio padrão igual a 2 SM�
II. Para a estimativa pontual de μ a média aritmética dos 400 salários apresentados, calculada 
considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o 
ponto médio do intervalo�
Nessas condições, o intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança igual a 98,4%, 
baseado nessa amostra, é dado por:
(Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z<1,64)=0,950; P(Z<2,05)=0,980; P(Z<2,40)=0,992�)
a) (6,96; 7,44)�
b) (7,00; 7,40)�
c) (7,04; 7,36)�
d) (6,80;7,60)�
e) (6,92; 7,48)�
 → Solução:
A questão requer o intervalo de confiança da média populacional (μ) para um coeficiente de 
confiança de 98,4%, considerando uma amostra de n=400 elementos, cuja média ( X ) teremos que 
calcular a partir da tabela fornecida, e desvio padrão populacional (σ) igual a 2 salários mínimos�
Quando o desvio padrão populacional é conhecido ou n for maior do que 30, devemos usar o 
coeficiente z da distribuição normal no cálculo do intervalo de confiança� Portanto, a expressão do 
intervalo de confiança será a seguinte:
n
zX σ.±
Passemos ao cálculo da média da variável X, utilizando a fórmula baseada na frequência relativa (Fi):
∑ ⋅= xiFiX
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
7
Vamos construir a coluna dos pontos médios das classes e a coluna do produto Fi�xi:
Portanto, a média é: �
Falta ainda obter o coeficiente z da distribuição normal corresponde ao coeficiente de confiança 
de 98,4%� Vamos desenhar a curva normal, indicando nela a região de confiança e escrevendo as 
porcentagens de cada região sob a curva�
A região de confiança é a região central da distribuição, e ela tem, nesta questão, um nível de 
98,4%� Assim, sobra 0,8% para cada extremidade lateral da curva�
Como a questão forneceu algumas probabilidades do tipo P(Z < z), então vamos somar as por-
centagens que ficam à esquerda de +z no desenho: 0,8% + 49,2% + 49,2% = 99,2% = 0,992, ou seja, 
P(Z<z)=0,992� Foi fornecida a probabilidade: P(Z<2,40)=0,992, consequentemente z=2,40�
Lançaremos os dados na fórmula do intervalo de confiança:
Desse modo, temos:
 ˃ Limite inferior: 7,20 – 0,24 = 6,96
 ˃ Limite superior: 7,20 +0,24 = 7,44
Concluindo, o intervalo de confiança é: [6,96; 7,44]�
 → Resposta: Alternativa A�
 → Exemplo 02. Se t tem distribuição de Student com g graus de liberdade, a tabela fornece os valores 
de tc tais que P(t > tc) = c
Um pesquisador deseja estimar o tempo médio μ em horas, para a realização de determinada 
tarefa pelos funcionários de determinada empresa� Uma amostra aleatória de 9 funcionários que 
realizam a tarefa revelou os seguintes tempos de realização: x1, x2, ���, x9� Considerando que essa 
amostra provém de uma população infinita e que
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
8
um intervalo de confiança para μ com coeficiente de confiança de 95%, em horas, é dado por
a) (3,74; 8,26)
b) (4,17; 7,83)
c) (3,80; 6,60)
d) (4,14; 7,86)
e) (3,69; 8,31)
 → Solução:
A questão demanda o intervalo de confiança da média populacional (μ) para um coeficiente de 
confiança de 95%, considerando uma amostra de n=9 elementos, cuja média amostral ( X ) e desvio 
padrão amostral (S) teremos que calcular a partir dos dois somatórios fornecidos�
Como o desvio padrão populacional é desconhecido e, além disso, o n é menor do que 30, então 
devemos usar a distribuição t de Student no cálculo do intervalo de confiança� Portanto, a expressão 
do intervalo de confiança será a seguinte:
n
StX .±
Passemos ao cálculo da média e, em seguida, ao do desvio padrão�
Aplicação da fórmula da média:
Aplicação da fórmula da variância amostral:
Logo, o desvio padrão amostral é: horasS 39 == �
O valor de t será obtido por meio da Tabela t de Student fornecida no enunciado�
Para calcular o t , temos antes que determinar o número de graus de liberdade (GL)� O número 
de graus de liberdade (GL) é igual a n-1, em que n é o tamanho da amostra� Assim: GL = 9-1 = 8� Esta 
questão definiu a letra g como graus de liberdade, assim: GL = g = 8� Então, observaremos apenas a 
coluna da tabela fornecida em que g=8�
A tabela fornece os valores de tc tais que P(t > tc) = c� Podemos, então, escrever as seguintes proba-
bilidades correspondentes à coluna g=8:
P(t > 2,31) = 0,025 e P(t > 1,86) = 0,05
Para encontrar o coeficiente t do intervalo de confiança é interessante desenhara curva t de 
Student (que é semelhante à curva normal), indicando nela a região de confiança que se pede e escre-
vendo as porcentagens de cada região sob a curva�
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
9
A região de confiança é a região central da distribuição, e ela tem, nesta questão, um nível de 
95%� Assim, sobram 2,5% para cada extremidade lateral da curva�
A questão forneceu probabilidades do tipo P(t > tc), assim devemos somar as porcentagens que 
ficam à direita de +tc no desenho� Só há a porcentagem de 2,5% (=0,025)� Logo: P(t > tc) = 0,025� An-
teriormente, havíamos escrito que P(t > 2,31) = 0,025� Fazendo a comparação entre essas duas proba-
bilidades, conclui-se que: tc = 2,31�
Lançaremos os dados na fórmula do intervalo de confiança:
Desse modo, temos:
 ˃ Limite inferior: 6 – 2,31 = 3,69�
 ˃ Limite superior: 6 + 2,31 = 8,31�
Portanto, o intervalo de confiança de 95% é: [3,69; 8,31]�
 → Resposta: Alternativa E�
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
10
Tabelas Estatísticas 
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
11
	Intervalo de Confiança
	Estimação
	Estimativas Pontuais e Intervalares
	Intervalo de Confiança
	Intervalo de Confiança da Média
	Tabelas Estatísticas