Apostila_Estatistica_-_V3

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Silvio Alves de Souza 
 
 2
ÍNDICE 
 
Introdução ................................................................................................................... 4 
Software R .................................................................................................................. 5 
Conceitos Básicos de Estatística ................................................................................ 6 
População ................................................................................................................ 6 
Amostra ................................................................................................................... 7 
Arredondamento de números .................................................................................. 9 
Proporção .............................................................................................................. 11 
Porcentagem ......................................................................................................... 12 
Fases do Método Estatístico ..................................................................................... 16 
Definição do Problema .......................................................................................... 16 
Planejamento ......................................................................................................... 16 
Coleta dos Dados .................................................................................................. 17 
Apuração dos Dados ............................................................................................. 18 
Apresentação dos Dados....................................................................................... 18 
Análise e Interpretação dos Dados ........................................................................ 19 
Questionários ............................................................................................................ 20 
Ordem das Questões ............................................................................................. 21 
Tipo de Abordagem ............................................................................................... 21 
Clareza nas Perguntas .......................................................................................... 21 
Não Sugerir Respostas .......................................................................................... 22 
A Necessidade do Pré-Teste ................................................................................. 22 
A Prática de Pesquisas por Amostragem .............................................................. 22 
Amostragem .............................................................................................................. 23 
Amostragem Aleatória Simples .............................................................................. 24 
Amostragem Estratificada ...................................................................................... 25 
Amostragem Sistemática ....................................................................................... 28 
Exercícios .............................................................................................................. 29 
Distribuição de Freqüência ........................................................................................ 34 
Dados Brutos ......................................................................................................... 34 
Rol ......................................................................................................................... 34 
Tabela de freqüência ............................................................................................. 35 
Distribuição de Freqüências de Dados Tabulados Não-Agrupados em Classes35 
Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes ......................... 39 
Manual para Normalização de Publicações Técnico – cientificas .......................... 43 
Exercícios .............................................................................................................. 44 
Medidas de Tendência Central. ................................................................................ 49 
Dados brutos ......................................................................................................... 49 
Dados apresentados em tabela de distribuição de freqüência .............................. 53 
Exercícios .............................................................................................................. 59 
Separatrizes .............................................................................................................. 61 
Separatrizes de dados brutos ou em tabela de distribuição simples ..................... 61 
Separatrizes de dados agrupados em classes ...................................................... 65 
Exercícios: ............................................................................................................. 66 
Medidas de Variabilidade .......................................................................................... 69 
 3
Desvio padrão ........................................................................................................ 69 
Coeficiente de variação: ........................................................................................ 71 
Exercícios .............................................................................................................. 74 
Representação Gráfica ............................................................................................. 79 
Probabilidade ............................................................................................................ 88 
Técnicas de contagem e Agrupamentos ............................................................... 88 
Nocões Básicas de Probabilidade ......................................................................... 92 
Exercícios: ........................................................................................................... 103 
Distribuições de Probabilidade ................................................................................ 108 
Variável Aleatória ................................................................................................. 108 
Distribuições discretas de probabilidade.............................................................. 114 
I) Distribuição Binomial..................................................................................... 114 
II) Distribuição geométrica ................................................................................ 116 
III) Distribuição de Poisson ............................................................................... 117 
Distribuições contínuas de probabilidade ............................................................ 119 
Distribuição Amostral .............................................................................................. 131 
Teste de Hipótese Paramétrico ............................................................................... 152 
Teste de uma afirmação sobre uma média populacional: σ conhecido ............. 156 
Teste de uma afirmação sobre uma média populacional: σ desconhecido ........ 158 
Teste de uma afirmação sobre variância ............................................................. 160 
Teste de hipótese para proporção ....................................................................... 164 
Teste de hipótese não-paramétrico ......................................................................... 167 
Teste de Correlação por postos ........................................................................... 168 
Correlação ............................................................................................................... 173 
Regressão Linear ....................................................................................................178 
Regressão Múltipla .................................................................................................. 184 
Bibliografia .............................................................................................................. 195 
Anexo 1 ................................................................................................................... 196 
Anexo 2 ................................................................................................................... 198 
 4
 
Introdução 
 
 Esta apostila é uma tentativa de compor todo o conteúdo da disciplina 
Estatística do CEFET – MG. Esta disciplina é ministrada no cursos de Engenharia. 
 Seu conteúdo é de acordo com o plano de ensino do curso citado 
anteriormente. Na verdade é um material complementar para os alunos. Ele não os 
isenta da necessidade de consultar outras bibliografias. 
 A disciplina de Estatística é abordada com o auxílio do software R para 
tratamento de dados. 
 Os exemplos e exercícios foram montados com o objetivo de contextualizar o 
conteúdo dentro dos vários cursos. Não buscamos priorizar nenhum cursos para que 
o aluno possa perceber a utilização da Estatística em cada área do conhecimento. 
 A construção do conhecimento foi elaborada de acordo com os passos de 
uma pesquisa, salvo casos em que o conteúdo requer outros elementos essenciais 
para seu entendimento. 
 
 5
Software R 
 
 O software R é um software livre utilizado para análise de dados, cálculo e 
construção de gráficos. 
 Sua construção foi feita utilizando vários colaboradores. 
 Para sua utilização é necessário conhecimento de sua linguagem própria, ou 
seja, seus comandos. Algumas tarefas podem facilmente serem realizadas apenas 
utilizando seus comandos e outras são necessárias a construção de algoritmos. 
 O R tem um help que os ajuda na execução das tarefas. 
 No decorrer do curso iremos utilizá-lo para análise de vários dados e para a 
construção de alguns gráficos específicos. Os comandos necessários bem como a 
utilização do software serão apresentados no decorrer das aulas. 
 A utilização deste software é uma tentativa de demonstrar como utilizar a 
tecnologia computacional na análise de dados. 
No anexo 2 encontra-se alguns comandos úteis. 
 
 6
Conceitos Básicos de Estatística 
 
Estatísticas 
Uma coleção de dados numéricos ou qualitativos. 
 
Estatística 
Ramo da ciência que se dedica a desenvolver metodologias para a coleta, 
classificação, apresentação, análise e interpretação de dados quantitativos e 
qualitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões. 
 
A Estatística pode ser dividida em três grandes áreas: 
� Estatística Descritiva 
� Probabilidade 
� Inferência Estatística 
 
Estatística Descritiva 
Utiliza técnicas com o objetivo de descrever, analisar e interpretar o conjunto 
de dados. 
É utilizada na etapa inicial da análise. 
 
Probabilidade 
 Trabalha com a idéia de incerteza. 
 Desenvolve e utiliza técnicas capazes de calcular as chances de que algum 
fenômeno aconteça. 
 
Inferência Estatística 
Desenvolve e utiliza técnicas capazes de fazer uma extrapolação dos 
resultados, estimação de quantidades desconhecidas e testar hipóteses a partir de 
uma amostra. 
Baseando-se na amostra podemos assim chegar a conclusões sobre a 
população. 
 
 População 
Conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual de faz uma inferência. 
 
Em linguagem mais formal, a população é o conjunto constituído por todos os 
indivíduos que apresentem pelo menos uma característica em comum, cujo 
comportamento interessa analisar (inferir). 
Essas características da população são comumente chamadas de 
parâmetros, os quais são valores fixos e ordinariamente desconhecidos. 
 
Exemplo: 
Suponha que estamos interessados em realizar um estudo sobre a qualidade 
das peças produzidas por uma empresa em determinado dia. Neste caso existe uma 
observação para cada peça fabricada naquele dia. Podemos limitar a população a 
cada turno de trabalho da empresa, como por exemplo o 2º turno. 
 7
Observação: 
É importante ficar bem claro que uma população é estudada em termos das 
características a serem estudadas. Assim, por exemplo, o diâmetro de uma peça 
constituem uma população. Poderia haver uma população correspondente ao 
comprimento dessas mesmas peças. 
 
 Amostra 
Um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações 
abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as 
características da população. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Avaliação da qualidade das peças produzidas por uma determinada empresa. 
Seleciona-se, dentre as peças produzidas em determinado dia, uma porcentagem 
destas peças. Avalia-se as peças selecionadas. 
 
A partir da amostra estabelecemos o que é conveniente para a população, ou 
seja, fazemos uma inferência sobre a população. 
A figura a seguir nos dá uma noção de como podemos trabalhar com os 
dados: 
 
 
Natureza dos dados 
• Dados Nominais: Trata-se de dados qualitativos ou descritivos, ou seja, que 
descrevem uma qualidade ou uma descrição. Exemplos: solteiro ou casado, 
certo ou errado, peça boa ou peça defeituosa, etc. Podem ser transformados 
em dados numéricos, como por exemplo: 1 – solteiro e 2 – casado. 
 
• Dados ordinais: Trata-se de dados numéricos os quais podemos estabelecer 
desigualdades. Como exemplo considere 1- alumínio e 2 – diamante. Temos 
que 2>1 (significa que o diamante é mais resistente do que o alumínio). 
 8
 
• Dados intervalares: Trata-se de dados numéricos os quais podemos 
estabelecer desigualdades e formar diferenças. No entanto não existe um 
ponto nulo e uma unidade natural. Exemplo: Temperaturas (Celsius e 
Fahrenheit. Não podemos dizer que a temperatura de 600 Celsius seja o 
dobro da temperatura de 30 Fahrenheit). A temperatura em Kelvin é de razão. 
 
• Dados de razão: trata-se de dados numéricos que podemos estabelecer 
desigualdades, diferenças, formar multiplicação e divisão. Exemplos: peso, 
altura, dinheiro, volume, diâmetro, etc. 
Objetivo do Estudo da Estatística 
 
A utilização da Estatística é cada vez mais acentuada em qualquer atividade 
profissional da vida moderna. Nos seus mais diversificados ramos de atuação, as 
pessoas estão freqüentemente expostas à Estatística, utilizando-a com maior ou 
menor intensidade. Isto se deve às múltiplas aplicações que o método estatístico 
proporciona àqueles que dele necessitam. 
 9
 Arredondamento de números 
 
1) Arredondamento por falta 
Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão 
ser eliminados, for igual ou menor que quatro, não deverá ser alterado o dígito 
anterior. 
 
Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
12,489 Inteiros 12 
20,733 Décimos 20,7 
35,992 Centésimos 35,99 
 
2) Arredondamento por excesso 
Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão 
ser eliminados, for maior ou igual a cinco seguido por dígitos maiores que zero, o 
dígito anterior será acrescido de uma unidade. 
 
Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
15,504 Inteiros 16 
16,561 Décimos 16,6 
17,578 Centésimos 17,58 
 
3) Arredondamento centrais 
Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda dos que serão 
eliminados for um cinco ou um cinco seguido somente de zeros, o último dígito 
anterior, se for par, não se altera, e se for ímpar será aumentado uma unidade. 
 
Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
15,500 Inteiros 16 
17,750 Décimos 17,8 
17,705 Centésimos 17,70 
 
 10 
4) Arredondamento de Soma 
Quando se trata de soma, deve-se arredondar primeiro o total, e 
posteriormente as parcelas. Há aqui dois casos a considerar: 
 
a) Se a soma das parcelas da série arredondada for superior ao total, deve-se 
retornar à série original, arredondando-se, por falta, tantas parcelas quantas 
forem as unidades excedentes. Serão escolhidas as parcelas anteriormente 
arredondadaspor excesso e cujas frações desprezadas representem o menor 
erro relativo. 
 
Erro relativo 
Dados dois números diferentes de zero x e y com yx >>>> , o erro relativo 
entre eles será calculado pela expressão 
x
yx
ER
−−−−
==== 
 
O arredondamento do erro é feito de modo a poder identificar a ordem das 
parcelas. 
 
b) Se a soma das parcelas da série arredondada for inferior ao total, deve-se 
retornar à série original, arredondando-se, por excesso, tantas parcelas 
quantas forem as unidades em falta. Serão escolhidas as parcelas 
anteriormente arredondadas por falta e cujas frações desprezadas 
representem o menor erro relativo. 
Exemplo: Considere o número 11/21. Temos, em decimal 11/21= 0,5238. Ao 
arredondar para duas casas decimais temos 11/21=0,52. O erro cometido é dado 
por E=(0,5238-0,52)/0,5238=0,0073. Podemos também fazer 
E=0,0038/0,5238=0,0073. 
 
 
 
 
 11 
Proporção 
 
Um certo número de pessoas foi classificado em quatro categorias. Essas 
categorias são, naturalmente, mutuamente exclusivas e exaustivas. Em outras 
palavras: uma pessoa só poderá estar incluída em uma única categoria, e todas elas 
deverão estar classificadas. 
 Em termos simbólicos, pode-se escrever: 
 
1N = número de pessoas incluídas na categoria 1. 
2N = número de pessoas incluídas na categoria 2. 
3N = número de pessoas incluídas na categoria 3. 
4N = número de pessoas incluídas na categoria 4. 
4321 NNNNN +++= = número total de pessoas consideradas. 
 
Neste caso, a proporção de pessoas pertencentes à primeira categoria é 
determinada mediante o cálculo do seguinte quociente 
N
N1 
 
A proporção de pessoas pertencentes à segunda categoria é determinada 
mediante o cálculo do seguinte quociente 
N
N2 
Sucessivamente temos 
 
N
N3 e 
N
N4 
o cálculo da proporção das pessoas pertencentes à terceira e quarta categoria. 
 
Observe que 
 
1
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N 4321 ==+++ . 
 
Exemplo: A tabela a seguir apresenta o número de sócios praticantes e não-
praticantes de futebol em um clube hipotético. 
 
Tabela 1: Número de sócios praticantes e não-praticantes 
de futebol em um clube hipotético 
Sócios Praticante (exclusivamente) de: Clube 1 Proporção 
Futebol de salão 580 0,100 
Futebol de campo 430 0,074 
Não-Praticantes 4810 0,826 
Total 5820 1,000 
 Fonte: Referência bibliográfica 1 
 
 12 
Exercício: A tabela a seguir apresenta o levantamento da quantidade de clientes que 
tiveram seus talões de cheques roubados. 
 
Tabela 2: Número de clientes que tiveram seus talões 
de cheques roubados 
Meses Clientes 
Janeiro 35 
Fevereiro 25 
Março 16 
Total 76 
Fonte: Dados professor 
Calcule a proporção de clientes roubados em cada mês. 
 
 Porcentagem 
 
As porcentagens são obtidas a partir do cálculo das proporções, 
simplesmente multiplicando-se o quociente obtido por 100. Para representá-las 
usamos o símbolo %. 
 
Voltando ao exemplo anterior temos: 
Tabela 3: Número de sócios praticantes e não-praticantes 
de futebol em um clube hipotético 
Sócios Praticante (exclusivamente) de: Clube 1 Porcentagem (%) 
Futebol de salão 580 10 
Futebol de campo 430 7,4 
Não-Praticantes 4810 82,6 
Total 5820 100 
Fonte: Referência bibliográfica 1 
 
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Exercícios 
 
1) Considere as situações a seguir e identifique a população e a amostra em cada 
caso. 
 
a. Para a análise de desempenho dos alunos da 8.ª série de uma determinada 
escola municipal foram escolhidas as notas de português de 35 alunos. 
b. Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de alto 
colesterol. 
c. Uma maternidade entrevista 20 mães de recém nascidos dos 218 partos, no 
mês de janeiro, para avaliar a satisfação na prestação de serviço. 
d. A fim de avaliar a intenção de voto dos eleitores para deputado estadual, um 
candidato entrevista 2.120 eleitores em Minas Gerais. 
 
2) Use os critérios de arredondamento para arredondar cada valor a seguir para 
décimos. 
a) 21,24 d) 0,75 g) 3,521 
b) 1,088 e) 5,819 h) 9,275 
c) 125,5555 f) 0,3333 i) 235,25 
 
3) Aplique os critérios de arredondamento para completar o quadro abaixo: 
 
Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
25,458 Centésimo 
123,99 Décimo 
205,7056 Milésimo 
17,561 Inteiro 
 
4) Aplique os critérios de arredondamento para completar o quadro abaixo: 
 
Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
1,23 Décimo 
5,488 Centésimo 
0,126 Centésimo 
35,4 Inteiro 
13,99 Décimo 
25,7056 Milésimo 
7,561 Inteiro 
690,1555 Centésimo 
0,115588 Milésimo 
 
 14 
5) Considere a tabela a seguir 
 
Tabela 4: Produção, em unidades, da fábrica X de determinada peça no 
segundo semestre de 2005. 
 
Mês Produção 
Julho 35.500 
Agosto 34.750 
Setembro 36.800 
Outubro 35.150 
Novembro 32.300 
Dezembro 31.250 
 
Calcule: (Use arredondamento para centésimos) 
a) a proporção de peças produzidas no mês de outubro. 
b) a proporção de peças produzidas até setembro. 
c) a porcentagem de peças produzidas em dezembro. 
6) Uma escola ia contratar um grupo de 8 professores para dar um curso sobre 
computadores em 48 horas, pagando um total de R$ 9 216,00. No entanto, como 
medida de economia, ela resolveu contratar somente 6 professores e dar o curso em 
36 horas. Quanto a escola economizará? 
7) João comprou uma mercadoria em uma loja de utilidades. Quando foi pagar a 
conta, o vendedor informou-lhe que devido a uma promoção relâmpago, ele teria 8 
% de desconto na compra à vista pagando, pelo produto, R$ 276,00. João optou por 
não pagar à vista. Quanto ele pagará pela mercadoria se compra-la a prazo? 
8) Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra 
correspondente. Discuta a validade do processo de inferência estatística, ou seja, se 
as amostras foram coletadas corretamente, para cada um dos casos. Não esqueça 
de apontar o erro de cada caso. 
 
a) Uma amostra de sangue foi retirada de um paciente com suspeita de 
anemia. 
b) Para verificar a audiência de um programa de TV, 563 indivíduos foram 
entrevistados por telefone com relação ao canal em que estavam 
sintonizados. 
c) A fim de avaliar a intenção de voto para presidente dos brasileiros, 122 
pessoas foram entrevistadas em Brasília. 
 
9) Para encher um reservatório em 15 dias, são necessárias 3 torneiras. Em quanto 
tempo 5 torneiras, idênticas às anteriores, encherão o mesmo reservatório? 
10) Um navio dispõe de reservas suficientes para alimentar 14 homens durante 45 
dias, mas recebe 4 sobreviventes de um naufrágio. Durante quantos dias durarão as 
reservas de alimento? 
11) Calcule: 
a) 15 % de R$ 2 800,00 ? 
b) 42 % de R$ 18 300,00 ? 
 15 
12) Resolva os problemas abaixo: 
a) Numa classe foram reprovados 15 % dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos 
alunos haviam nesta classe? 
b) Em uma cidade haviam 5600 eleitores do candidato A e 7800 eleitores do 
candidato B. 
1) Qual a proporção dos eleitores do candidato A? 
2) Qual a proporção dos eleitores do candidato B? 
13) Em um colégio existem 1 200 alunos, dos quais 720 são meninos. Determine: 
a) Qual a proporção do número de meninos? 
b) Qual a proporção do número de meninas? 
14) Num livro de 200 páginas, há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas, 
quantas páginas teria o livro? 
 
 16 
Fases do Método Estatístico 
 
Quando se pretende realizar um estudo estatístico completo existem diversas 
fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados finais 
do estudo. 
 
Definição do Problema 
 
A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou 
formulação correta do problema a ser estudado. 
O problema deve ser preciso, bem determinado e específico. 
Além de considerar detidamente o problema objeto do estudo, o analista 
deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e análogos, 
uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas vezes, ser 
encontrada nesses últimos. 
Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisaré o mesmo que definir 
corretamente o problema. 
 
Planejamento 
 
Consiste em se determinar o procedimento necessário para resolver o 
problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto do 
estudo. 
Mais especialmente, na fase do planejamento a preocupação maior reside na 
escolha das perguntas. 
É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Sob 
esse aspecto, pode haver dois tipos de levantamento: 
a) Levantamento censitário, quando a contagem abranger todo o 
universo. 
b) Levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial. 
 
Nesta fase temos outros elementos importantes que devem ser tratados. 
 
a) cronograma das atividades, através do qual são fixados os prazos 
para as varias fases; 
b) Os custos envolvidos; 
c) O exame das informações disponíveis; 
d) O delineamento da amostra; 
e) A forma como serão escolhidos os dados, etc. 
 
Obs: Os livros mais específicos sobre pesquisa de mercado poderão ser 
consultados. 
 
 17 
Coleta dos Dados 
 
O terceiro passo é essencialmente operacional. 
A coleta de dados se refere à obtenção, reunião e registro sistemático de 
dados, com um objetivo determinado. 
 
Espécies de dados: 
 
I) Dados Primários: quando são publicados ou comunicados pela 
própria pessoa ou organização que os haja recolhido. 
II) Dados Secundários: Quando são publicados ou comunicados por 
outra organização. 
 
Um conjunto de dados é, pois, primário ou secundário em relação a 
alguém. 
É mais seguro trabalhar com fontes primárias, pois: 
 
a) Uma fonte primária oferece, em geral, informações mais detalhadas 
do que uma secundária. 
b) É mais provável que as definições de termos e de unidades figurem 
somente nas fontes primárias. 
c) O uso da fonte secundária traz o risco adicional de erros de 
transcrição. 
d) Uma fonte primária poderá vir acompanhada de cópias dos 
impressos utilizados para coletar as informações, juntamente com o 
procedimento adotado na pesquisa, a metodologia seguida e o tipo 
de tamanho da amostra. 
 
Essas informações proporcionam ao usuário uma idéia do grau de garantia 
que os dados oferecem. 
A coleta de dados pode ser realizada de duas maneiras: direta ou 
indiretamente. 
 
Coleta Direta 
 
 A coleta é direta quando é obtida diretamente da fonte. 
 
Ex.: Uma empresa pesquisa seus consumidores. 
 
Há três tipos de coleta direta: 
 
a) Coleta direta contínua: quando estes são obtidos ininterruptamente, 
automaticamente e na vigência de um determinado período. 
Ex.: Registros de nascimento, de casamento, de óbito, etc. 
 
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b) Coleta direta periódica: quando é realizada em períodos curtos, 
determinados, de tempo em tempo. 
Ex: Recenseamento demográfico. O censo industrial. 
 
c) Coleta direta ocasional: Quando os dados forem colhidos 
esporadicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma 
emergência. 
Ex.: Casos fatais em surto epidêmico. 
 
Coleta Indireta 
 
 A coleta dos dados é indireta quando é inferida a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta, ou através do conhecimento de outros fenômenos 
que, de algum modo, estejam relacionados com o fenômeno em questão. 
 É feita, portando, por deduções e conjunturas, podendo ser realizada: 
a) Por analogia: quando o conhecimento de um fenômeno é induzido a 
partir de outro que com ele guarda relações de casualidade. 
b) Por proporcionalização: Quando o conhecimento de um fato se induz 
das condições quantitativas de uma parte dele. 
c) Por indícios: quando são escolhidos fenômenos sintomáticos para 
discutir um aspecto geral da vida social. 
d) Por avaliação: quando através de informações fidedignas ou 
estimativas cadastrais, se presume o estado quantitativo de um 
fenômeno. 
 
Apuração dos Dados 
 
 Consiste em resumir os dados, através de sua contagem e agrupamento. 
 Ela pode ser manual, mecânica, eletromecânica ou eletrônica. 
 Através da apuração tem-se a oportunidade de condensar os dados, de modo 
a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir melhor o 
comportamento do fenômeno na sua totalidade. 
 Entretanto, a contrapartida da melhor apreciação dos dados em seu conjunto 
é a perda correspondentes de detalhes, uma vez que se trata de um processo de 
sintetização. 
 
Apresentação dos Dados 
 
 Há duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente. 
 
a) Apresentação Tabular: É uma apresentação numérica dos dados. 
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de 
modo ordenado. 
b) Apresentação Gráfica: Constitui uma Apresentação Geométrica. 
Embora a apresentação tabular seja de extrema importância, no 
 19 
sentido de facilitar a análise numérica dos dados, não permite ao 
analista obter uma visão tão rápida, fácil e clara do fenômeno e sua 
variação como a conseguida através de um gráfico. 
 
Análise e Interpretação dos Dados 
 
É a última fase e a mais importante e também a mais delicada. 
O interesse maior, nesta etapa, reside em tirar conclusões que auxiliem o 
pesquisador a resolver seu problema. 
A análise está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade 
principal é descrever o fenômeno. 
 
Obs: As fases do método Estatístico foram tiradas da referência bibliográfica 1. 
 
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Questionários 
 
Questionários são o meio mais comum de coleta de informações. 
 Dois tipos de questões são usualmente empregados na redação de 
questionários: 
� Questões de múltipla escolha 
 
� Questões de resposta aberta 
 
As alternativas em uma questão de múltipla escolha devem ser claras, 
mutuamente excludentes e, quando pedirem opiniões, fornecer opções dos dois 
lados do assunto. Idealmente, as opções devem cobrir todas as respostas prováveis. 
Se, entretanto, muitas alternativas são apresentadas, elas podem não ser 
suficientemente claras e confundir o respondente no momento de sua decisão. A 
grande desvantagem de questões de múltipla escolha é que tendem a sugerir uma 
resposta, já que limita as respostas possíveis, impedindo o respondente de dizer 
exatamente o que pensa. 
 Este tipo de limitação não ocorre nas questões de resposta aberta, em que o 
entrevistado usa suas próprias palavras para responder à pergunta. Uma pergunta 
deste tipo produz uma grande gama de respostas que devem ser classificadas em 
grupos homogêneos antes que se possa fazer uma análise estatística. Esta 
classificação é uma tarefa difícil quando o número de respostas a serem analisadas 
é muito grande. Por isso, questões de respostas abertas são mais freqüentemente 
empregadas em estudos pilotos ou nos estágios exploratórios, quando se procura 
determinar quais tipos de respostas aparecerão. Essas informações são então 
usadas na construção do questionário a ser utilizado na obtenção dos dados de um 
grupo maior. Às vezes é inevitável misturar os dois tipos de pergunta, quando, por 
exemplo, colocamos a opção “outros” e pedimos especificação. Se os dados forem 
analisados por computador, deve-se pensar na etapa da codificação ao redigir as 
perguntas. 
 
 
 21 
Ordem das Questões 
 
 Um questionário consistente em uma bateria de questões arranjadas em certa 
ordem. As primeiras questões são para estabelecer contato com o respondente e 
devem ser bem simples. Quando vários tópicos estão envolvidos, deve-se completar 
um tópico antes de passar a outro. A ordem das questões freqüentemente afeta as 
respostas dadas pelo respondente, já que as perguntas chamam a atenção do 
entrevistado para um conjunto de pensamentos e sentimentos, em cujo contexto as 
outras perguntas serão respondidas. Em pesquisa de mercado, por exemplo, 
questões que mencionam um produto específico tendem a viciar as perguntas que 
se seguem; conseqüentemente, estas questões identificando produtos ou firmas 
devem ser colocadas no final, sempre que possível. 
 
Tipo de Abordagem 
 
 Muitas pessoas tendem a racionalizar ou exagerar suas respostas quando 
são questionadas diretamente sobre seus motivos, realizaçõesou outros assuntos 
que envolvam seu prestígio ou auto-estima. Para se evitar a introdução de 
tendenciosidade nessas respostas, usa-se freqüentemente uma abordagem indireta 
na elaboração de questões que envolvem prestígio. Por exemplo, ao invés de 
perguntas: “Você terminou o curso secundário?”, pode-se perguntar: “Em que ano 
você estava quando deixou de estudar?”. Na segunda pergunta tenta-se evitar 
constrangimento aos respondentes que não terminaram o curso secundário. 
 
Clareza nas Perguntas 
 
 Uma pergunta deve ter aproximadamente o mesmo sentido para todos os 
entrevistados; caso contrário, os dados obtidos não terão grande utilidade. Termos 
com sentido dúbio devem ser evitados. As perguntas devem ser simples. Nem todos 
os entrevistados entenderão questões com enunciado complexo, originando, assim, 
resultados ruins. 
 
 
 22 
Não Sugerir Respostas 
 
 Na formulação das perguntas deve-se evitar um tipo de redação como esta: 
“Você concorda em que esta bebida, sendo a melhor, deva custar mais caro?” 
 Esta pergunta sugere tão obviamente uma resposta que é praticamente inútil. 
Algumas vezes, entretanto, é difícil perceber que a redação de uma pergunta possa 
sugerir determinada resposta. 
 
A Necessidade do Pré-Teste 
 
 Assim que um questionário tenha sido redigido, deve ser testado em um 
estudo piloto. Esta fase é fundamental para detectar dificuldades não observadas, 
como o lay out do questionário, ordem e redação das perguntas, necessidade de 
instruções mais claras para os entrevistadores, etc. Naturalmente, a correção dessas 
imprecisões melhorará a qualidade do levantamento. 
 
A Prática de Pesquisas por Amostragem 
 
 O leitor deve convencer-se de que é fundamental conhecer as características 
específicas da área onde pretende participar de pesquisas por amostragem. O 
significado especial de algumas palavras, os melhores locais e horários para se 
fazer coleta de dados, o tipo de entrevistador são, entre outros, fatores importantes 
para o bom andamento do levantamento. Só lendo literatura na área específica é 
que se pode, entretanto, conhecer estes detalhes. 
 
 
 23 
Amostragem 
 
Conceitos Fundamentais 
 
 Assim que decidimos obter informações através de um levantamento 
amostral, temos imediatamente dois problemas: 
 
� selecionar a característica que iremos pesquisar. 
� definir cuidadosamente a população de interesse e 
 
A população-alvo é a população sobre a qual vamos fazer inferências 
baseadas na amostra. 
 Caracterizada a população-alvo, o próximo passo é escolher as 
características que iremos medir. Aqui o erro freqüente é querer incluir muitas 
características. A qualidade da mensuração cai com o aumento do número de 
perguntas. Devemos, portanto, fixar-nos apenas em perguntas que contribuam para 
a quantificação adequada da característica populacional de real interesse para o 
estudo. 
 Para que possamos fazer inferências válidas sobre a população a partir de 
uma amostra, é preciso que esta seja representativa. Uma das formas de se 
conseguir representatividade é fazer com que o processo de escolha da amostra 
seja, de alguma forma, aleatório. Além disso, a aleatoriedade permite o cálculo de 
estimativas dos erros envolvidos no processo de inferência. 
 
Amostragem ou Censo? 
 Quando definimos fazer um estudo censorial, todos os elementos da 
população são estudados. 
 Porém existem algumas situações em que o censo não é aconselhável: 
a) Populações infinitas: Neste caso o levantamento de dados não teria final. 
(Exemplo: ) 
b) Testes destrutivos: Neste caso os elementos da população utilizados para 
estudo seriam destruídos. (Exemplo: teste de tração em uma peça, teste de 
peso suportado por uma cadeia) 
c) Tempo para execução do estudo: No caso em que o estudo deva ser 
realizado em um tempo mínimo, o tamanho da população poderia gastar 
tempo a mais do que o esperado. (Exempo: epidemias graves) 
d) População grande: Neste caso o custo seria um fator determinante, visto que 
a população pode ter um número grande de elementos. 
Em um processo de amostragem, as amostras podem ser extraídas de duas 
formas distintas: 
I) Sem reposição: quando cada elemento da população só pode ser selecionado 
apenas uma única vez; 
II) Com reposição: quando cada elemento da população pode ser selecionado 
mais de uma única vez. 
 24 
 
Amostragem Aleatória Simples 
 
 A amostragem é dita aleatória quando todos os elementos da população têm 
a mesma chance de serem estudados. 
 Neste caso cada elemento da amostra é escolhida elemento a elemento. 
A população é numerada de 1 a N. 
Escolhem-se, em seguida, na tábua de números aleatórios, n números 
compreendidos entre 1 e N. 
Obs.: A tabela de números aleatórios foi retirada do Bruni[4]. 
Esse processo é equivalente a um sorteio no qual se colocam todos os 
números misturados dentro de uma urna. Os elementos correspondentes aos 
números escolhidos formarão a amostra. 
 
Exemplo: A tabela a seguir refere-se a renda, em salários mínimos, de 15 
empregados fictícios. 
 
1,05 2,07 1,96 2,13 1,51 1,14 1,84 1,77 2,39 1,59 
1,29 1,69 2,46 1,77 2,30 
 
Extrair, sem reposição, uma amostra aleatória de tamanho n = 5. 
 
Solução: Primeiramente deveremos numerar a população. 
 
Item 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 
salário 1,05 2,07 1,96 2,13 1,51 1,14 1,84 1,77 2,39 1,59 1,29 1,69 2,46 1,77 2,30 
 
 Escolhe-se uma coluna na TNA. 
 Procuramos os 5 primeiros números não superiores a 15, lendo os dois 
últimos algarismos ou os dois primeiros. 
Obtemos: 
4.ª coluna – dois primeiros algarísmos 
Leitura na TNA (2 
primeiros) 
14 08 05 10 15 
salário 1,77 1,77 1,51 1,59 2,30 
 
 25 
Amostragem Estratificada 
 
 Quando os elementos da população estão divididos em grupos não 
superpostos, é mais fácil e mais eficiente escolher, independentemente, uma 
amostra aleatória simples dentro de cada um destes grupos, os quais são chamados 
estratos. 
 Esta forma de amostragem é uma das mais utilizadas, já que a maioria das 
populações tem estratos bem definidos: os homens e as mulheres; os alunos das 
escolas X, Y, Z; os estados brasileiros; ect. 
 O mais comum é utilizar-se a Amostragem Estratificada Proporcional, que 
consiste em selecionar os elementos da amostra entre os vários estratos, em 
número proporcional ao tamanho de cada um dos estratos. Em outras palavras, 
sejam: 
 
 N o número de elementos da população 
 L o número de estratos 
 iN o número de elementos do estrato i 
n o tamanho da amostra a ser selecionada 
in tamanho de amostra no estrato i 
 
 
Note que 
N = N1 + N2 + ... + NL 
 
Calcula-se a fração de amostragem dada por: 
f = 
N
n
 
Obs: A fração de amostragem calcula o tamanho de amostra por unidade da 
população. 
 
O número de elementos a serem sorteados em cada estrato será: 
.fNn 11 = 
.fNn 22 = 
.fNn LL =
M
 
Obs.: Neste caso devemos ter 
n=+++ L21 nnn K 
Caso não aconteça devemos aumentar o valor de in para o qual a parte 
decimal de n⋅
N
N i é máxima. (Este resultado foi retirado do livro estatística Aplicada 
a Economia, Administração e Contabilidade. Freund & Simon) 
Um exemplo o qual a soma das amostras de cada estrato não é igual a n é 
dada no exemplo 2. 
 
 26 
Exemplo 1: Na execução de uma rede elétrica, uma firma especializada utiliza 
eletrodutos de dois tipos: E e F. em uma análise do custo do material 
foram considerados 30 faturas, representadas abaixo pelo preço de 10m 
de eletroduto. 
 
Eletroduto (estrato) E 
 
Fatura 01 02 03 04 05 06 
Preço (R$) 710 710 715 715 755 760 
 
Eletroduto (estrato) F 
 
Fatura Preço 
(R$) 
Fatura Preço 
(R$) 
Fatura Preço 
(R$) 
Fatura Preço 
(R$) 
01 750 07 760 13 770 19 790 
02 750 08 765 14 770 20 795 
03 750 09 765 15 770 21 795 
04 750 10 765 16 785 22 800 
05 755 11 765 17 785 23 810 
06 760 12 765 18 790 24 820 
 
 
 Extrair, sem reposição, uma amostra estratificada proporcional de tamanho 
n = 8. 
 
Solução: 
 
f = 
30
8= 0,27 
 
De cada estrato serão sorteadas respectivamente nE e nF unidades: 
 
nE = (0,27) . 6 = 1,62 ≅ 2 
 
nF = (0,27) . 24 = 6,48 ≅6 
 
Para encontrar a amostra referente ao eletroduto E utilizamos TNA (8.ª coluna 
– primeiro algarismo) e para encontrar a amostra referente ao eletroduto F utilizamos 
TNA (4.ª coluna – últimos algarismos). Assim obtemos: 
 
Estrato E F 
Leitura na 
TNA 
5 4 20 23 12 21 17 15 
Fatura (R$) 755 715 795 810 765 795 785 770 
 
Entre as vantagens da amostragem estratificada destacam-se: 
a) os dados são geralmente mais homogêneos dentro de cada estrato do que na 
população como um todo; 
 27 
b) o custo da coleta e análise dos dados é freqüentemente menor nesse tipo de 
amostragem do que na aleatória simples, devido a conveniências 
administrativas; 
c) podem-se obter estimativas separadas dos parâmetros populacionais para 
cada estrato sem selecionar outra amostra e, portanto, sem custo adicional. 
Exemplo 2: Suponha que uma população com 3k = estratos tenha os tamanhos 
1820,62N 321 === NeN 
e que queiramos extrair uma amostra estratificada de tamanho 12. 
a) Aplique a fórmula de extração estratificada proporcional arredondando para 
inteiro; 
b) Revise os resultados da parte (a) fazendo com que a soma total das amostras 
seja 12. 
 
 28 
Amostragem Sistemática 
 
 Uma amostragem sistemática de tamanho n é constituída dos elementos de 
ordem K, K+r, K+2r, ... , onde K é um inteiro escolhido aleatoriamente entre 1 e n . E 
r é o inteiro mais próximo da fração 
 
n
N
r ≈ 
 
 Por exemplo, se a população tem 100 elementos e vamos escolher uma 
amostra de tamanho 6, K é um inteiro escolhido aleatoriamente entre 1 e 6, e r = 
100/6 = 16,6 = 17. 
 Pela TNA (1ª coluna – primeiro algarísmo) K = 3. Assim a amostra será 
composta pelos elementos de posição: 
 
3, 20, 37, 54, 71, 88 
 
 Se o tamanho da população é desconhecido, não podemos determinar 
exatamente o valor de r. Escolheremos intuitivamente um valor razoável para r. 
 Às vezes a amostragem sistemática é preferida à amostragem aleatória 
simples, porque é mais fácil de executar, estando portando menos sujeita a erros, e 
proporciona mais informações com menor custo. 
 
Exemplo: Escolha a técnica adequada para extrair uma amostra de 50 
compradores de uma loja. 
 
Solução: A amostragem aleatória simples não pode ser empregada neste caso, 
pois o entrevistador não pode determinar quais compradores serão incluídos na 
amostra, uma vez que não se conhece o tamanho N da população, até que todos os 
compradores tenham ido à loja. Assim, ele pode usar a amostragem sistemática 
(digamos 1 em cada 20 compradores) até obter a amostra do tamanho desejado. 
 
 29 
Exercícios 
 
1) Com relação a amostragem aleatória simples é CORRETO afirmar que: 
 
a) ( ) Utilizamos a tabela de números aleatórios para encontrar o valor do k. 
b) ( ) É utilizada quando conhecemos parte da população 
c) ( ) Pode ser utilizada quando não conhecemos a população 
d) ( ) É um método aleatório em que não há possibilidade do pesquisador 
interferir na escolha da amostra; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
2) Com relação a amostragem sistemática é CORRETO afirmar que: 
 
a) ( ) Permite encontrar amostras de população cujo número total de 
elementos é desconhecido; 
b) ( ) A amostra é encontrada utilizando uma progressão geométrica cujo 
primeiro termo é o primeiro elemento da população ; 
c) ( ) A amostra é encontrada utilizando uma progressão aritmética cujo 
primeiro termo é o primeiro elemento da população ; 
d) ( ) A amostra é encontrada utilizando uma progressão aritmética cuja razão 
é encontrada na tabela de números aleatórios; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
3) Com relação a amostragem estratificada é CORRETO afirmar que: 
 
a) ( ) Permite encontrar amostras de estratos que não possuem nenhuma 
característica em comum; 
b) ( ) Os estratos devem ser disjuntos; 
c) ( ) A amostra é sempre dividida em partes iguais para cada estrato; 
d) ( ) Utilizamos uma amostragem aleatória simples considerando todos os 
estratos juntos; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
4) O gerente de um determinado banco com o intuito de fazer uma pesquisa junto a 
seus clientes utiliza o seguinte processo: Pega o primeiro cliente que compareceu à 
agência naquele dia e o entrevista. O segundo a ser entrevistado é o 6.º cliente. O 
 30 
terceiro a ser entrevistado é o 11.º cliente e assim sucessivamente até que a 
agência feche. É CORRETO afirmar que: 
 
a) ( ) O gerente utilizou uma amostragem estratificada proporcional; 
b) ( ) O gerente utilizou uma amostragem aleatória simples; 
c) ( ) O gerente utilizou uma amostragem sistemática; 
d) ( ) O gerente não utilizou nenhum método de amostragem; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
5) Considere o seguinte problema: Deve-se extrair uma amostra estratificada 
proporcional de tamanho 60 de uma população de tamanho 4.000, que consiste de 
três estratos de tamanhos N1=2.000, N2=1.200 e N3= 800. É CORRETO afirmar que: 
 
a) ( ) Do primeiro estrato deverá ser extraída 18 amostras; 
b) ( ) Do segundo estrato deverá ser extraída 30 amostras; 
c) ( ) Do terceiro estrato deverá ser extraída 12 amostras; 
d) ( ) Deverá extrair 20 amostras de cada estrato; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
6) A única opção que traz dois métodos de amostragem em que é preciso conhecer 
todos os elementos da população é: 
 
a) ( ) Aleatória simples e por conglomerado; 
b) ( ) Por conglomerado e sistemática; 
c) ( ) Aleatória simples e sistemática; 
d) ( ) Estratificada e por conglomerado; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
 31 
7) Os dados abaixo se referem a taxa de hemoglobina no sangue (em gramas/cm3) 
de 12 professores de uma determinada escola. 
 
Professor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Taxa de 
hemoglobina 11,1 12,2 15,2 11,3 14,4 12,7 13,5 15,8 11,7 16,3 14,1 12,5 
 
Extrair uma amostra sistemática de 3 taxas de hemoglobina. (Usar 7.ª coluna da 
TNA, último algarismo). 
 
8) Os dados abaixo referem-se ao salário (em salários mínimos) de 20 funcionários 
administrativos em uma indústria. 
 
10.1 7.3 8.5 5 4.2 3.1 2.2 9 9.4 6.1 
3.3 10.7 1.5 8.2 10 4.7 3.5 6.5 8.9 6.1 
 
a) Extraia uma amostra de 6 elementos usando a amostra aleatória simples. 
(Usar 2.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
b) Extraia uma amostra de 5 elementos usando a amostra sistemática. (Usar 
2.ª coluna na TNA, último algarismo). 
 
 9) Uma pesquisa com usuários de transporte coletivo na cidade de São Paulo 
indagou sobre os diferentes tipos usados nas suas locomoções diárias. Dentre 
ônibus, metrô e trem, o número de diferentes meios de transporte utilizado foi o 
seguinte: 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2 e 
3. 
 
a) Extraia uma amostra de 10 elementos usando a amostra aleatória simples. 
(Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
b) Extraia uma amostra de 10 elementos usando a amostra sistemática. (Usar 
3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
10) A idade dos 20 ingressantes num certo ano no curso de pós-graduação em 
jornalismo de uma universidade foi o seguinte: 22, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 
25, 25, 26, 26, 26, 26, 27, 28, 35 e 40. 
 
a) Extraia uma amostra, com reposição, de 8 elementos usando a amostra 
aleatória simples. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
b) Extraia uma amostra, sem reposição, de 8 elementos usando a amostra 
sistemática. (Usar 3.ª coluna na TNA, último algrarismo); 
 
11) Um novo medicamento para cicatrização está sendo testado e um experimento é 
feito para estudar o tempo (em dias) de completo fechamento em cortes 
provenientes de cirurgia. As 30 cobaias tiveram os seguintes tempos: 15, 17, 16, 15, 
17, 14, 17, 16, 16, 17, 15, 18, 14, 17, 15, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 17, 15, 16, 14, 18, 
18, 16, 15 e 14. 
 32 
 
a) Extraia uma amostra, sem reposição, de 10 elementosusando a amostra 
aleatória simples. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
b) Extraia uma amostra, sem reposição, de 10 elementos usando a amostra 
sistemática. (Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
12) Um exame vestibular para uma faculdade tem 80 questões, sendo 40 de 
português e 40 de matemática. Para os 20 melhores classificados, apresentamos o 
número de acertos em cada disciplina, em ordem decrescente de pontos: 
 
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Português 35 35 34 32 31 30 26 26 24 23 
Matemática 31 29 27 28 28 26 30 28 25 23 
 
Aluno 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Português 23 12 11 20 17 12 14 20 8 10 
Matemática 21 32 31 20 21 25 20 13 23 20 
a) Extraia uma amostra de 5 alunos usando a amostra aleatória simples. 
(Usar 3.ª coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
b) Extraia uma amostra de 5 alunos usando a amostra sistemática. (Usar 3.ª 
coluna na TNA, dois últimos algarismos); 
 
14) O Departamento de Ensino de uma Escola Particular, de um bairro de classe 
média, deseja realizar uma pesquisa para saber se seria conveniente criar o 2.º grau 
em seu quadro de turmas. Isso porque ela ministra apenas da 1.ª série à 8.ª série do 
ensino básico e fundamental. 
Para isso ela contrata uma firma de consultoria para realizar esta pesquisa. 
Suponhamos que você faça parte dessa firma e seja indicado(a) para formular 
um questionário a fim de coletar dados que irão ajudar na solução deste problema. 
Então você deverá criar um questionário com esse objetivo. Bom trabalho.!!! 
 
15) Os dados a seguir referem-se ao consumo de energia elétrica, em mil MWh. Os 
dados são da CEMIG,FURNAS, ELETROBRÁS. 
Setor 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 
Refinaria 
de petróleo 301 286 262 248 246 253 238 259 242 236 251 
Química 3471 3465 3189 3089 2929 2770 2591 2747 2033 
Residencial 7301 7118 7047 6965 6963 6785 6899 
 
Extrair uma amostra estratificada proporcional de tamanho 9, sem repetição. 
Usar: Refinaria: 2ª coluna, Química: 4ª coluna e Residência: 7ª coluna. Ambos 
utilizar primeiros lgarísmos. 
 
 33 
16) Os dados a seguir referem-se ao número de acidentes de tráfego durante 50 
horas de pico em certa rodovia. 
 
1 0 3 2 3 5 3 0 2 7 
0 4 3 1 3 1 5 3 4 4 
2 1 3 1 2 2 1 0 2 0 
0 1 1 2 4 5 3 4 3 4 
3 3 5 2 1 6 1 2 4 6 
 
17) Os dados a seguir referem-se ao número de alarmes falsos (acionados 
acidentalmente ou por mau funcionamento do equipamento) recebidos em 30 dias 
por um serviço de monitoramento da segurança. 
 
3 6 2 4 5 8 2 5 6 3 
4 7 4 6 5 5 5 4 3 7 
4 4 6 3 9 5 7 4 4 6 
 
18) Um artigo em Technometrics (Vol. 19, 1977, pg. 425) apresenta dados sobre 
taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina. 40 
destes resultados são apresentados a seguir: 
 
88,5 94,7 84,3 90,1 89 89,8 91,6 90,3 90 91,5 
89,9 98,8 88,3 90,4 91,2 90,6 92,2 87,7 91,1 86,7 
93,4 96,1 89,6 90,4 91,6 90,7 88,6 88,3 94,2 85,3 
90,1 89,3 91,1 92,2 83,4 91 88,2 88,5 93,3 87,4 
 
Extrair uma amostra sistemática de tamanho n = 6. 
Utilize a tabela de números aleatórios: 1ª coluna, primeiro algarismo. 
OBS.: A numeração deverá ser feita por linha. 
 
 
 
 
 34 
Distribuição de Freqüência 
 
Dados Brutos 
 
 Após a coleta de dados é comum encontrá-los desordenados, ou seja, fora de 
alguma ordem. Por essa razão, costuma-se chamá-los de dados brutos. 
 
Exemplo: Os dados a seguir representam a temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
43 45 49 47 52 
45 51 46 44 48 
51 50 52 44 48 
50 49 50 46 46 
49 49 51 50 49 
 
Rol 
 
Quando tomamos os dados brutos e colocamos seus elementos em uma 
determinada ordem, crescente ou decrescente, obtemos um conjunto organizado 
denominado Rol. 
 
43 44 44 45 45 
46 46 46 47 48 
48 49 49 49 49 
49 50 50 50 50 
51 51 51 52 52 
 
 
 35 
Tabela de freqüência 
 
 As tabelas de freqüências são representações nas quais os valores se 
apresentam em correspondência com suas repetições. 
 Uma das vantagens da tabela de freqüência é proporcionar uma rápida 
visualização dos dados. Também é possível calcular medidas com um menor 
número de cálculos. 
 A seguir apresentamos as tabelas de freqüências simples (não agrupadas em 
classes). 
 
Distribuição de Freqüências de Dados Tabulados Não-Agrupados em 
Classes 
 
 É uma tabela onde cada valor da variável aparece individualmente com sua 
respectiva freqüência, repetição. Esse tipo de apresentação é utilizado para 
representar uma variável discreta ou descontinua. 
 
Exemplo 1: A tabela abaixo representa a temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 36 
Tabela 5: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
 
Temperatura 
Freqüência 
fj 
43 1 
44 2 
45 2 
46 3 
47 1 
48 2 
49 5 
50 4 
51 3 
52 2 
 25 
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros [2] 
 
Tipos de freqüência 
 
� Frequência simples ( fj): é a freqüência de cada valor individual ou de cada 
classe; 
� Frequênca acumulada simples ( Fj): é a soma de todas as frequências simples 
anteriores; 
� Frequência relativa simples (frj): é o valor de cada freqüência simples dividido 
pela soma das freqüências; 
� Frequênca acumulada relativa (Frj): é a soma de todas as frequências 
relativas simples anteriores; 
 
 
Exemplo 2: Uma auditoria em 60 faturas de venda revelou os seguintes números de 
erros na fixação de preços: 
 
0 0 2 1 4 1 0 1 3 2 
2 0 1 1 1 4 0 3 1 5 
1 1 0 2 0 0 1 1 4 3 
0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 
5 1 2 0 3 0 2 1 1 3 
1 4 3 0 2 0 1 1 0 1 
 
 37 
Tabela 6: Número de erros na fixação de preços em faturas de vendas 
 
 
Número de 
erros 
 
fj 
 
Fj 
 
frj (%) 
0 17 17 28 
1 21 38 35 
2 8 46 13 
3 7 53 12 
4 5 58 8 
5 2 60 3 
 60 99 
Fonte: Estatística aplicada à gestão empresarial [4] 
 
 Como a soma das porcentagens foi de 99% então temos que fazer uma 
correção para que a soma seja 100%. 
 Utilizaremos o erro relativo considerando apenas os arredondamentos por 
falta. 
 
01176,0
3333,28
283333,28
=
−
=RE 
02499,0
3333,13
133333,13
=
−
=RE 
04000,0
3333,8
83333,8
=
−
=RE 
09999,0
3333,3
33333,3
=
−
=RE 
 O menor erro é 0,01176. Assim arredondamos por excesso o valor 
28,3333=29. 
 
 38 
Tabela 7: Número de erros na fixação de preços em faturas de vendas 
 
 
Número de 
erros 
 
fj 
 
Fj 
 
frj (%) 
 
Frj 
0 17 17 29* 29 
1 21 38 35 64 
2 8 46 13 77 
3 7 53 12 89 
4 5 58 8 97 
5 2 60 3 100 
 60 100 
Fonte: Estatística aplicada à gestão empresarial [4] 
 
 
 
 
 
 39 
Distribuição de Freqüências de Dados Agrupados em Classes 
 
 Muitas vezes, mesmo com o risco de se sacrificar algum detalhe manifestado 
na ordenação de valores individuais, há vantagem em resumir os dados originais em 
uma distribuição, onde os valores observados não mais aparecerão individualmente, 
mas agrupados em classes. 
 Para variáveis contínuas sempre usamos agrupar. Para variáveis discretas e 
número de valores representativos dessa variável muito grande também agrupamos. 
 
Elementos de uma Distribuição de Freqüências 
 
1) Freqüência Simples Absoluta: fj 
 
É o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor. 
A freqüência simples absoluta, ou simplesmente freqüência, é simbolizada por fj . 
 
2) Amplitude Total: At 
 
É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo. 
 
3) Número de Classes 
 
É cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do 
conjunto de valores observados da variável. 
Uma classe pode ser identificada por seus extremos ou pela ordem em que 
ela se encontra na tabela (valor do índice j) 
O número de classes pode ser calculado usando a fórmula de Sturges: 
 
k = 1 + 3,3 log10 N 
Onde 
 k = número de classes 
N = número total de observações 
 
O arredondamento de k é feito para o inteiro imediatamente superior. 
 
4) Limites de classesOs limites de classe são seus valores extremos. 
 
a) Limite Inferior: É o valor mínimo de uma classe. 
b) Limite Superior: É o valor máximo de uma classe. Este pode não 
pertencer à classe atual. 
 40 
5) Amplitude do Intervalo de classe 
 
Amplitude do intervalo de classe ou simplesmente intervalo de classe é o 
comprimento da classe, sendo geralmente definida como a diferença entre seus 
limites superior e inferior. 
 
 
6) Ponto médio de classe 
 
O ponto médio ou valor médio é o valor que representa os dados, para 
efeito de cálculos de certas medidas. 
Na distribuição de freqüências com valores agrupados em classes, 
considera-se que os resultados incluídos em cada classe distribuem-se 
uniformemente por seu intervalo. 
 
Exemplo 1: Os dados a seguir representam a temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
43 44 44 45 45 
46 46 46 47 48 
48 49 49 49 49 
49 50 50 50 50 
51 51 51 52 52 
 
Amplitude total = 52 – 43 = 9 
Número de classes: 
k = 1 + 3,3 x log 25 
k = 1 + 3,3 x 1,3979 
k = 5,61 
k ≅ 6 
 
Amplitude do intervalo de classe: 
 Ac = At / k = 9 / 6 = 1,5 
 
Obs: Devemos inicialmente testar se o limite superior da última classe é maior ou 
igual ao valor máximo. Para isto utilizamos a fórmula 
 
Limite superior da última classe = mínimo + k. Ac 
 
Caso o limite superior não seja maior ou igual ao valor máximo então devemos, 
como alternativa, fazer um arredondamento por excesso na amplitude de classe. 
Limite superior da última classe = 43 + 6. 1,5 = 52 
 
 41 
Tabela 8: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros [2] 
 
Exemplo: Considere a tabela a seguir 
 
Tabela 9: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
temperatura 
 
fj 
Frequência 
acumulada 
simples 
 Fj 
Frequência 
relativa 
Simples 
frj 
Frequência 
relativa 
Acumulada 
Frj 
43,0 |--- 44,5 3 3 0,12 0,12 
44,5 |--- 46,0 2 5 0,08 0,20 
46,0 |--- 47,5 4 9 0,16 0,36 
47,5 |--- 49,0 2 11 0,08 0,44 
49,0 |--- 50,5 9 20 0,36 0,80 
50,5 |---| 52,0 5 25 0,20 1,00 
Total 25 1,00 
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros [2] 
 
Observação: A soma total da freqüência relativa simples deve ser igual a 1. 
Temperatura fj 
43,0 |--- 44,5 3 
44,5 |--- 46,0 2 
46,0 |--- 47,5 4 
47,5 |--- 49,0 2 
49,0 |--- 50,5 9 
50,5 |---| 52,0 5 
Total 25 
 42 
ROTEIRO PARA A ELABORAÇÃO DE UMA TABELA DE FREQÜÊNCIAS COM 
DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 
 
Para a construção de uma tabela de freqüências, é conveniente adotar-se um 
roteiro que, embora baseado em critérios relativamente arbitrários, facilita e torna 
operacional o trabalho de quem irá montar a tabela. O roteiro proposto consta dos 
seguintes passos: 
 
a) Lista de dados brutos que pode ou não ser transformada em rol; 
b) Encontrar a amplitude total do conjunto de valores observados: 
 
 
 
c) Calcular o número de classes (k) usando a fórmula de Sturges: 
 
d) Determinar a amplitude do intervalo de classe. 
 
Muitas vezes convém arredondar o número correspondente à amplitude 
do intervalo de classe a que se chegou para um número mais adequado, que 
facilite os cálculos. 
 
e) Determinar os limites das classes, escolhendo-se preferencialmente, 
números inteiros. 
f) Construir a tabela de freqüências. 
 
 
Menor valor do conjunto Maior valor do conjunto - At = 
 43 
Manual para Normalização de Publicações Técnico – cientificas 
 
Tabelas de distribuição de freqüência 
 
1) As tabelas devem ser dotadas de um título claro e conciso localizado acima 
delas. São numeradas seqüencialmente em todo o trabalho, com algarismos 
arábicos (1, 2, 3, ...), segundo normas do IBGE. 
2) No cabeçalho de cada coluna indica-se o seu conteúdo. Os títulos das 
colunas podem ser datilografados verticalmente, se necessário, para 
economizar espaço. 
3) Não se deve deixar nenhuma “casa” vazia no corpo da tabela, usando-se os 
símbolos, conforme convenção internacional: 
 
- quando, pela natureza do fenômeno, o dado não existir 
Z quando o dado for rigorosamente zero 
... quando não se dispuser do cálculo 
 
4) Na construção de tabelas usam-se os seguintes traços: 
 
a) traço duplo horizontal, limitando o quadro; 
b) traço simples vertical, separando a coluna indicadora das demais e 
estas entre si; no corpo da tabela pode ser eliminado desde que o número de 
colunas seja pequeno e não haja prejuízo na leitura dos dados; 
5) a tabela não deve ser fechada lateralmente, tampouco se colocam traços 
horizontais separando os dados numéricos. 
 
 
 44 
Exercícios 
 
Para os exercícios 1 a 5 construa uma tabela de distribuição de freqüência 
simples. 
1) As cifras abaixo representam os ganhos de 15 vendedores: 
 
425 440 610 518 324 
482 624 390 468 457 
509 561 482 480 520 
 
2) Dão-se a seguir os pesos, em libras, de 20 candidatos a empregos no corpo de 
bombeiros de uma cidade: 
 
225 182 194 210 205 172 181 198 164 176 
180 193 178 193 208 186 183 170 186 188 
 
3) Os seguintes números de unidades de um produto foram completados em 
determinados dia por 20 operários de uma fábrica de artigos de artesanato: 
 
61 58 59 72 47 55 40 73 66 60 
71 69 63 58 51 42 67 80 62 53 
 
4) Uma auditoria em 60 faturas de venda revelou os seguintes números de erros na 
fixação de preços: 
 
0 0 2 1 4 1 0 1 3 2 
2 0 1 1 1 4 0 3 1 5 
1 1 0 2 0 0 1 1 4 3 
0 1 0 2 1 4 3 1 0 0 
5 1 2 0 3 0 2 1 1 3 
1 4 3 0 2 0 1 1 0 1 
 
 
5) Dão-se, a seguir, os números de alarmes falsos(acionados acidentalmente ou por 
mau funcionamento do equipamento) recebidos em 30 dias por um serviço de 
monitoramento da segurança: 
 
3 6 2 4 5 8 2 5 6 3 
4 7 4 6 5 5 5 4 3 7 
4 4 6 3 9 5 7 4 4 6 
 
 45 
As questões de 6 a 11 são referentes à tabela a seguir.. 
 
Tabela 10: Notas de alunos, em uma prova de 30 pontos, de uma determinada 
escola 
 
 
6) O valor do limite superior da 4.ª classe é de: 
 
a) ( ) 17; 
b) ( ) 18; 
c) ( ) 19; 
d) ( ) 20; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
7) O valor do limite inferior da 3.ª classe é de: 
 
a) ( ) 13; 
b) ( ) 14; 
c) ( ) 15; 
d) ( ) 16; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
8) O valor da freqüência acumulada simples da 5.ª classe é de: 
 
a) ( ) 8; 
b) ( ) 10; 
c) ( ) 20; 
d) ( ) 26; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
Notas fj 
 11 I----- 6 
 I----- 2 
 I----- 2 
 I----- 10 
 I----- 6 
 21 I----- 4 
Total 30 
 46 
9) O valor da freqüência relativa acumulada 4.ª classe é de: 
 
a) ( ) 0,2000; 
b) ( ) 0,2667; 
c) ( ) 0,3333; 
d) ( ) 0,6667; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
10) Porcentagem dos alunos que tiraram abaixo de 50% da nota da prova é de: 
a) ( ) 20%; 
b) ( ) 27%; 
c) ( ) 34%; 
d) ( ) 67%; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
11) A nota em que 66% dos alunos estão acima dela é de: 
 
a) ( ) 15; 
b) ( ) 16; 
c) ( ) 17; 
d) ( ) 18; 
e) ( ) Nenhuma das alternativas acima. 
 
 47 
As questões de 12 a 15 são referentes à tabela a seguir. 
 
Tabela 11: Idade de pacientes internados no hospital X, localidade Y, no ano Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) O valor do limite superior da 4.ª classe é de: 
 
13) O valor do limite inferior da 3.ª classe é de: 
 
14) O valor da freqüência acumulada simples da 5.ª classe é de: 
 
15) O valor da freqüência relativa simples da 4.ª classe é de: 
 
16) Os dados se referem aos pesos dos alunos de uma determinada escola: 
 
60.5 60 70 47.4 60 57 52 47 55 50 
55 58 54 66 58.5 63 73 95 39 54.5 
72.8 47 58 85.2 49.2 52 56 84 75 50 
80.9 57.8 68.5 54.5 48 4958 60 55 71 
55 58 63.5 52.5 51.6 59 87 73 49 86 
 
Após construir uma tabela de distribuição de freqüência agrupada em classes, 
a freqüência simples da terceira classe é de: 
 
17) Os dados abaixo se referem aos pesos dos alunos de uma determinada escola: 
 
60.5 60 70 47.4 60 57 52 47 55 50 
55 58 54 66 58.5 63 73 95 44 54.5 
72.8 47 58 85.2 49.2 52 56 84 75 50 
80.9 57.8 68.5 54.5 48 49 58 60 55 71 
55 58 63.5 52.5 51.6 59 87 73 49 86 
 
Siga os passos para a construção de uma tabela de distribuição de freqüência 
com dados agrupados: 
 
a) Determine a amplitude total 
 
b) Determine a amplitude de classe 
Grupo etários (em anos) fj 
 20 |--- 1 
 |--- 3 
 |--- 5 
 |--- 6 
 |--- 4 
 70 |--- 1 
Total 20 
 48 
 
c) Construa a tabela usando 7 classes 
 
d) Inclua na tabela as freqüências relativas simples 
 
e) Inclua na tabela as freqüências acumuladas (abaixo de) simples 
 
f) Inclua na tabela as freqüências acumuladas (abaixo de) relativas 
 
 
18) Com relação à tabela de distribuição de freqüência agrupada acima responda: 
 
a) Quantos alunos pesam até 69 kg? 
 
b) Quantos alunos pesam mais de 76 kg? 
 
c) Qual a porcentagem de alunos que pesam menos de 62 kg? 
 
19) Uma importante característica de qualidade da água é a concentração de 
material sólido suspenso. Em seguida, são apresentadas 60 medidas de sólidos 
suspensos de um certo lago. Os dados são do livro Estatística Aplicada e 
Probabilidade para Engenheiros. 
 
42,4 54,3 56,3 65,7 54 43,3 29,8 73,1 57,4 58,7 
81,3 45,3 52,1 59,9 80,1 55,8 56,9 49,7 57 62,2 
42,8 68,7 69,9 42,4 67,3 66,9 59,6 67,3 59 65,8 
61,4 42,6 61,4 64 77,4 73,1 64,2 54,7 77,3 72,6 
57,1 48,5 72,5 77,3 89,8 46,1 39,3 50,7 53,1 76,4 
52 56,1 59,3 59,6 67,2 51,1 66,1 70,7 73,8 31,6 
 
Com o objetivo de construir uma tabela de distribuição de frequência agrupada em 
classes calcule: 
a) Valor mínimo e máximo; 
b) Amplitude total; 
c) Número de classes; 
d) Amplitude de classes; 
e) Construa a tabela apresentando as frequência simples e relativa simples. 
Considere log 60 = 1,7782 
 
 
 
 49 
Medidas de Tendência Central. 
 
As medidas de tendência central têm por objetivo localizar o centro dos 
dados. Estas medidas são: média, mediana e moda. 
 
Em muitos casos estas medidas são diferentes, mas elas também podem ser 
iguais. 
Nesta apostila adotamos, didaticamente, dois casos para o cálculo destas 
medidas: quando os dados são brutos ou estão em tabela de distribuição simples e 
quando os dados estão em tabela de distribuição agrupada em classes. 
 
Dados brutos 
 
1) Média Aritmética Simples 
 
 A média aritmética simples, amostral, de um conjunto de n observações 
},,,{ 21 nxxx L é definida por 
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1
 
 
A média aritmética simples, populacional, de um conjunto de N observações 
},,,{ 21 Nxxx L é definida por 
N
x
N
i
i∑
=
=
1
µ 
 
Exemplo: Os dados a seguir representam as temperaturas (em ºF) em que ocorrem 
uma deflexão, devido à carga, em uma amostra de 10 tubos plásticos idênticos. 
 
206 188 205 187 194 193 207 185 189 213 
 
Qual a média aritmética? 
Solução: A média será 
 50 
7,196
10
967.1
10
213189185207193194187205188206
1
=
=
+++++++++
=
=
∑
=
x
x
x
n
x
x
n
i
i
 
 
2) Mediana: Md 
 
Para evitar a possibilidade de sermos enganados por valores muito pequenos 
ou muito grandes, ocasionalmente descrevemos o “meio” ou “centro”de um 
conjunto de dados com outras medidas estatísticas que não a média. Uma 
dessas medidas, a MEDIANA de n valores, exige que os ordenemos, e se define 
como: 
 
O valor do elemento do meio se n é ímpar, ou a média aritmética dos dois 
valores do meio se n é par. 
Assim dizemos que a mediana é o valor do 
2
1n ++++
 elemento. 
 
 51 
Exemplo: Os dados a seguir representam as temperaturas (em ºF) em que ocorrem 
uma deflexão, devido à carga, em uma amostra de 10 tubos plásticos idênticos. 
 
206 188 205 187 194 193 207 185 189 213 
 
Qual a mediana? 
 
Solução: Ordenando os elementos temos: 
 
185 187 188 189 193 194 205 206 207 213 
 
Como temos 10 elementos, número par, a mediana será a média aritmética dos dois 
elementos centrais. Logo a mediana é 5,193
2
194193
=
+
=Md . 
 
Exemplo 2: Em algumas áreas, as pessoas autuadas por certas infrações leves de 
tráfego podem freqüentar um curso de direção defensiva em lugar de pagar uma 
multa. Se 11 desses cursos foram freqüentados por 
 
 40 32 37 30 24 40 38 35 40 28 32 
 
Cidadãos. Qual a mediana? 
 
Solução: Ordenando os elementos temos: 
 
 24 28 30 32 32 35 37 38 40 40 40 
 
Como temos 11 elementos, número ímpar, a mediana será o valor do elemento 
central. A posição central é o 6º elemento, 6
2
111
=
+
=Posição . Logo a mediana será 
35. 
 
 52 
3) Moda: Mo 
 
É o valor que ocorre com maior freqüência e mais de uma vez. 
 
Exemplo: Vinte reuniões de um clube de dança tiveram as seguintes freqüências de 
seus membros 
 
 26 25 28 23 25 24 24 21 23 26 
 28 26 24 32 25 27 24 23 24 22 
 
Qual a moda? 
Solução: A moda vale 24, pois ocorre 5 vezes. 
 
Observação: A moda é raramente utilizada em inferência estatística pelo fato de 
nem sempre existir (o que ocorre quando não há dois valores iguais) ou de, 
eventualmente, não ser única. 
 
Exemplo: Os dados a seguir referem-se a quantidade de pessoas que assistiram a 6 
sessões de um filme no cinema: 
 
121 133 121 133 114 141 
 
Qual o número modal de pessoas que assistiram ao filme? 
 
Solução: Temos que os números 121 e 133 repetem, ambos, duas vezes. Portanto a 
moda não é única. Logo as modas são 121 e 133. 
 
 
 
 53 
Dados apresentados em tabela de distribuição de freqüência 
 
Considere: 
xi o ponto médio da classe i , 
fi a freqüência da classe i, 
k a quantidade de classe. 
1) Média aritmética 
A média aritmética é definida por: 
∑
∑
=
=
=
k
i
i
k
i
ii
f
fx
x
1
1
.
 
OBS.: 
� Observe que o tamanho da amostra é dado por ∑
=
=
k
i
ifn
1
. 
� Caso tenhamos uma tabela de distribuição agrupada em classes, o valor de 
xi será o ponto médio da classe. 
� O arredondamento será sempre uma casa decimal a mais que os dados. 
 54 
Exemplo: A tabela abaixo representa o número de defeitos por peça. 
 
Tabela 12: Número de defeitos por peça 
 
Número de defeitos (xi) 
Freqüência 
fj 
 
0 5 
1 10 
2 18 
3 12 
4 5 
 50 
Fonte: Referência bibliográfica [1] 
 
Calcule número médio de defeitos. 
Solução: Preenchemos a tabela com os valores necessários 
 
 
Número de defeitos (xi) 
Freqüência 
fi 
 
 
Xifi 
0 5 0 
1 10 10 
2 18 36 
3 12 36 
4 5 20 
 50 102 
 
A média será 
0,2
50
102
.
1
1
===
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
ii
f
fx
x 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa as temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto. 
 
Tabela 13: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
temperatura fj 
43,0 |--- 44,5 3 
44,5 |--- 46,0 2 
46,0 |--- 47,5 4 
47,5 |--- 49,0 2 
49,0 |--- 50,5 9 
50,5 |---| 52,0 5 
Total 25 
 55 
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros [2] 
 
Calcule a temperatura média. 
Solução: Preenchemos a tabela com os valores necessários 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A temperatura média será 
37,48
25
25,209.1
.
1
1
===
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
ii
f
fx
x 
 
2) Mediana 
 
 Se tivermos uma tabela de distribuição de freqüência simples, então podemos 
proceder como no caso dos dados estarem na forma bruta. 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa o número de defeitos por peça. 
 
Tabela 14: Número de defeitos por peça 
 
 
Número de defeitos (xi) 
Freqüência 
fi 
 
0 5 
1 10 
2 18 
3 12 
4 5 
 50 
Fonte:Referência bibliográfica [1] 
 
Qual o número mediano de defeito? 
 
Solução: Como temos 50 elementos, o valor mediano deverá ser a média dos dois 
elementos centrais. Neste caso os dois elementos centrais são os elementos de 
posição 25º e 26º, 2
2
22
=
+
. Assim o número mediano de defeito é 2,0. 
temperatura fj xj xjfj 
43,0 |--- 44,5 3 43,75 131,25 
44,5 |--- 46,0 2 45,25 90,50 
46,0 |--- 47,5 4 46,75 187,00 
47,5 |--- 49,0 2 48,25 96,50 
49,0 |--- 50,5 9 49,75 447,75 
50,5 |---| 52,0 5 51,25 256,25 
Total 25 1.209,25 
 56 
Para uma distribuição de freqüência agrupada em classes, a mediana é tal 
que metade da área total dos retângulos do histograma da distribuição está à sua 
esquerda, e a outra metade está à sua direita. 
De modo geral podemos calcular a mediana por: 
 
h
F
f
2
n
Lx~Md ⋅






−
+==
∑
 
 
onde 
 
L: é o limite inferior da classe em que a mediana deve estar. 
F: é a freqüência da classe mediana 
h: o intervalo de classe 
n: é o número de elementos ou tamanho da amostra 
∑ f : soma das frequência anteriores à classe da mediana 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa as temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto. 
Calcule a temperatura média. 
 
Tabela 15: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros [2] 
 
Qual o valor da temperatura mediana? 
 Solução: Como temos 25 elementos, o valor mediano deverá estar no 
º5,12
2
25
= elemento. 
Assim 3 + 2 + 4 + 2 = 11 e 3 + 2 + 4 + 2 + 9 = 20. A mediana estará na 5.ª classe. 
Usando a fórmula temos: 
 
L = 49,0, F = 9, h = 1,5 e ∑ f = 11 . Logo 
temperatura fi 
43,0 |--- 44,5 3 
44,5 |--- 46,0 2 
46,0 |--- 47,5 4 
47,5 |--- 49,0 2 
49,0 |--- 50,5 9 
50,5 |---| 52,0 5 
Total 25 
 57 
( )
25,49
5,1
9
115,12
0,49
2
=
⋅
−
+=
⋅






−
+=
∑
Md
Md
h
F
f
n
LMd
 
 
Portanto a mediana é 49,25. 
 
3) Moda 
 
Se tivermos uma tabela de distribuição de freqüência simples, então podemos 
proceder como no caso dos dados brutos. 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa o número de defeitos por peça. 
 
Tabela 16: Número de defeitos por peça 
 
 
Número de defeitos (xi) 
Freqüência 
fi 
 
0 5 
1 10 
2 18 
3 12 
4 5 
 50 
Fonte: Referência bibliográfica [1] 
 
Qual o número de defeito modal? 
Solução: 0 número de defeito que mais ocorre é 2, pois ocorre 18 vezes. Logo o 
número de defeito modal é Mo = 2. 
 
Quando temos uma tabela de distribuição de freqüência agrupada em 
classes, o cálculo da moda é feito utilizando a fórmula de Czuber. 
 
1.º passo: Identificamos a classe modal ( aquela que possui maior frequência) 
2.º passo: Aplica-se a fórmula 
 
hLMo ⋅
∆+∆
∆
+=
21
1
 
 
 58 
onde 
L: É o limite inferior da classe modal. 
1∆∆∆∆ : Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe imediatamente anterior. 
2∆∆∆∆ : Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe imediatamente 
posterior. 
h: Amplitude da classe modal 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa as temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto. 
 
Tabela 17: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros [2] 
 
Calcule a temperatura modal 
 Solução: 
1.º passo: A classe modal é a 5.ª, pois ela possui a maior freqüência. 
2.º passo: Temos 
0,49=L , 7291 =−=∆ , 4592 =−=∆ e 5,1=h 
95,49
5,1
47
7
0,49
=
⋅
+
+=
Mo
Mo
 
 
Logo a temperatura modal é Mo = 49,95. 
 
Obs: Caso a moda seja a primeira ou a última classe a fórmula acima para a moda 
não se aplica. Neste caso podemos calcular o valor aproximado da moda utilizando 
a fórmula de Pearson: 
x2Md3Mo −= 
 
temperatura fi 
43,0 |--- 44,5 3 
44,5 |--- 46,0 2 
46,0 |--- 47,5 4 
47,5 |--- 49,0 2 
49,0 |--- 50,5 9 
50,5 |---| 52,0 5 
Total 25 
 59 
Exercícios 
 
I) Considere a tabela 
Tabela 18: Quantidade de óxido de enxofre (em toneladas) 
emitidas por uma indústria em 70 dias 
Quantidade de 
Óxido de enxofre 
f 
 6,2 |--- 9,4 4 
 9,4 |--- 12,6 8 
12,6 |--- 15,8 9 
15,8 |--- 19,0 14 
19,0 |--- 22,2 14 
22,2 |--- 25,4 11 
25,4 |--- 28,6 8 
28,6 |--- 31,8 2 
 70 
Fonte: referência bibliográfica [2] 
Calcule: 
1) Média aritmética 
2) Mediana 
3) Moda 
4) Compare as medidas calculadas. 
 
 
II) Considere a tabela 
 
Tabela 19: Tempo de percurso, para o trabalho, de 100 empregados 
de um grande escritório localizado no centro da cidade 
 
Tempo f 
 11,4 |--- 25,65 20 
 25,65 |--- 39,90 36 
 39,90 |--- 54,15 29 
 54,15 |--- 68,40 5 
 68,40 |--- 82,65 1 
 82,65 |--- 96,90 4 
 96,90 |--- 111,15 3 
111,15 |--- 125,40 2 
 100 
Fonte: 
 
Calcule: 
1) Média aritmética 
2) Mediana 
3) Moda 
 60 
4) Compare as mediadas calculadas. 
 
 61 
Separatrizes 
 
 As separatrizes são medidas de posição, ou seja, são medidas que dividem o 
conjunto de dados em partes iguais. 
 
 
 As medidas de posição estudadas nesta apostila são: 
� Quartil 
� Decil 
� Percentil. 
A seguir destacamos os métodos de cálculo destas medidas. 
 
Separatrizes de dados brutos ou em tabela de distribuição simples 
 
Para o cálculo das medidas separatrizes é necessário, primeiramente, 
ordenar os dados. 
 
Quartis 
Os quartis dividem um conjunto de dados em 4 (quatro) partes iguais 
Assim, 
 
quartilº1Q1 = 
quartilº2Q2 = 
quartilº3Q3 = 
 
O cálculo dos quartis é feito utilizando a fórmula: 
Posição do quartil: )1(
4
PQ i += N
i
 
Valor do quartil: ( ) ( ) ( )( )j1jji XX
4
i
XQ −+= + , onde j é a parte inteira do 
resultado de iPQ . 
 62 
Observações: 
1) O cálculo do valor do quartil utilizando a fórmula acima só é feito caso a 
posição seja um valor decimal. Caso a posição seja um inteiro exato então o 
valor do quartl é dado pelo valor respectivo ao da sua posição. 
2) As formulas anteriores dão uma estimativa dos quartis. Em vários livros 
didáticos não são apresentadas relações para estimar as separatrizes no 
caso discreto. Várias fórmulas são encontradas, todas servem como 
estimativas e não apresentam resultados iguais. 
 
Exemplo: Durante um período de uma hora uma sorveteria recebeu 20 fregueses, e 
os valores das compras em reais foram 
 
2,1 4,3 2,1 9,5 5,3 6,4 4,7 10,6 6,8 4,3 
2,1 2,1 6,4 10,2 7,6 5,5 2,1 7,6 4,3 3,7 
 
Calcule: 
1) 2º quartil 
Solução: Ordenando os dados. 
 
2,1 2,1 2,1 2,1 2,1 3,7 4,3 4,3 4,3 4,7 
5,3 5,5 6,4 6,4 6,8 7,6 7,6 9,5 10,2 10,6 
 
Posição: ( ) 5,10120
4
2
PQ 2 =+= 
Valor: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 00,57,43,55,07,4
4
2
Q 1011102 =−+=−+= XXX 
2) 3º quartil 
Posição: 75,15)120(
4
3
PQ 3 =+= 
Valor: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 40,78,66,775,08,6
4
3
Q 1516153 =−+=−+= XXX 
 
Decis 
Os decis dividem um conjuto de dados em 10 (dez) partes iguais 
Assim, 
decilº1D1 = 
decilº2D2 = 
decilº9D9 =
M
 
 O cálculo dos decis é semelhante ao cálculo dos quartis. 
 Calcula-se a posição utilizando: )1(
10
PD i += N
i
 
Calcula-se o valor de cada decil utilizando a fórmula: 
 63 
( ) ( ) ( )( )j1jji XX
10
i
XD −+= + , 
onde j é a parte inteira do resultado de iPD . 
 
Obs.: O cálculo do valor do quartil utilizando a fórmula acima só é feito caso a 
posição seja um valor decimal. Caso a posição seja um inteiro exato então o valor do 
quartl é dado pelo valor respectivo ao da sua posição. 
 
 
Percentis 
Os percentis dividem um conjuto de dados em cem partes iguais 
Assim, 
percentilº1P1 = 
percentilº2P2 = 
percentilº99P99 =
M
 
 
O cálculo dos percentis é semelhante ao cálculo dos quartis. 
 Calcula-se a posição utilizando: )1(
100
PPi += N
i
 
 Calcula-seo valor de cada percentil utilizando a fórmula: 
( ) ( ) ( )( )j1jji XX
100
i
XP −+= + , 
onde j é a parte inteira do resultado de iPP . 
 
Obs.: O cálculo do valor do quartil utilizando a fórmula acima só é feito caso a 
posição seja um valor decimal. Caso a posição seja um inteiro exato então o valor do 
quartl é dado pelo valor respectivo ao da sua posição. 
 
 64 
Exercícios 
 
I) Os dados a seguir referem-se a pressão sanguínea sistólica de 20 pacientes de 
um hospital. 
 
124 130 135 141 146 149 151 152 153 155 
156 158 159 162 162 165 173 177 182 204 
 
Calcule: 
1) 3º decil; 
2) 9º decil; 
3) 75º percentil; 
4) 95º percentil. 
 
II) Os dados a seguir representam a temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
43 44 44 45 45 
46 46 46 47 48 
48 49 49 49 49 
49 50 50 50 50 
51 51 51 52 52 
 
Calcule: 
1) 3º decil; 
2) 7º decil; 
3) 85º percentil; 
 
III) Doze falhas de energia elétrica duraram, em minutos 
 
18 125 44 96 31 26 
80 49 125 63 45 33 
 
Calcule: 
1) 1º quartil; 
2) 4º decil; 
3) 90º percentil; 
 
 
 
 65 
Separatrizes de dados agrupados em classes 
 
Quando os dados estão apresentados em uma tabela de distribuição de 
freqüência agrupada em classes o cálculo dos quartis é feito utilizando a fórmula: 
 
i
i
Q
Qi
F
hf
4
in
LQ
⋅





−
⋅
+=
∑
 
Onde: 
i
QL : é o limite inferior da classe em que o quartil deve estar. 
i
QF : é a freqüência da classe do quartil 
h: o intervalo de classe 
n: é o número de elementos ou tamanho da amostra 
∑ f : soma das frequência anteriores à classe do quartil 
 
Quando os dados estão apresentados em uma tabela de distribuição de 
freqüência agrupada em classes o cálculo dos decis é feito utilizando a fórmula: 
 
i
i
D
Di
F
hf
10
in
LD
⋅





−
⋅
+=
∑
 
Onde: 
i
DL : é o limite inferior da classe em que o decil deve estar. 
i
DF : é a freqüência da classe do decil 
h: o intervalo de classe 
n: é o número de elementos ou tamanho da amostra 
∑ f : soma das frequência anteriores à classe do decil 
 
Quando os dados estão apresentados em uma tabela de distribuição de 
freqüência agrupada em classes o cálculo dos percentiis é feito utilizando a fórmula: 
 
i
i
P
Pi
F
hf
100
in
LP
⋅





−
⋅
+=
∑
 
Onde: 
i
PL : é o limite inferior da classe em que o percentil deve estar. 
i
PF : é a freqüência da classe do percentil 
h: o intervalo de classe 
n: é o número de elementos ou tamanho da amostra 
∑ f : soma das frequência anteriores à classe do percentil 
 
 66 
Exercícios: 
 
1) Considere a tabela 
Tabela 20: Quantidade de óxido de enxofre (em toneladas) 
emitidas por uma indústria em 70 dias 
Quantidade f 
 6,2 |--- 9,4 4 
 9,4 |--- 12,6 8 
12,6 |--- 15,8 9 
15,8 |--- 19,0 14 
19,0 |--- 22,2 14 
22,2 |--- 25,4 11 
25,4 |--- 28,6 8 
28,6 |--- 31,8 2 
 70 
Fonte: Referência bibliográfica [2] 
Calcule: 
a) 3º quartil 
b) 6º decil 
c) 90º percentil 
 
2) Considere a tabela 
 
Tabela 21: Tempo de percurso, para o trabalho, de 100 empregados 
de um grande escritório localizado no centro da cidade 
 
Tempo f 
 11,4 |--- 25,65 20 
 25,65 |--- 39,90 36 
 39,90 |--- 54,15 29 
 54,15 |--- 68,40 5 
 68,40 |--- 82,65 1 
 82,65 |--- 96,90 4 
 96,90 |--- 111,15 3 
111,15 |--- 125,40 2 
 100 
Fonte: 
 
Calcule: 
a) 2º quartil 
b) 4º decil 
c) 95º percentil 
 
 67 
3) Em uma fábrica ou um escritório, o tempo, no horário de trabalho, durante o qual 
uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha é chamado tempo 
parado. A tabela a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de 
certa máquina. 
 
Tabela 22: o tempo, no horário de trabalho, durante o qual 
uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha 
 
Tempo parado 
(minutos) 
 
 
Frequência 
f 
0 |---- 9 2 
 9 |---- 18 15 
18 |---- 27 17 
27 |---- 36 12 
36 |---- 45 3 
45 |---- 54 1 
Total 50 
Calcule: 
a) Tempo 70º percentil. 
b) Tempo 3º quartil. 
 
4) O gráfico, ramo e folhas, a seguir representa o número de clientes que almoçaram 
em um restaurante. Ele foi gerado pelo software SPSS. 
 
Gráfico 1: Número de clientes que almoçaram em um restaurante 
 
Frequency Stem & Leaf 
 
1,00 4 . 1 
3,00 4 . 233 
1,00 4 . 5 
4,00 4 . 6677 
4,00 4 . 8899 
5,00 5 . 00111 
10,00 5 . 2222233333 
9,00 5 . 444555555 
12,00 5 . 666666777777 
15,00 5 . 888888899999999 
16,00 6 . 0000000011111111 
15,00 6 . 222222233333333 
11,00 6 . 44444445555 
7,00 6 . 6666777 
2,00 6 . 89 
1,00 7 . 1 
1,00 7 . 3 
1,00 7 . 4 
1,00 7 . 6 
 
Stem width: 10 
 68 
Each leaf: 1 case(s) 
 
Baseando no gráfico responda: 
a) Qual o 6º decil? 
 
 69 
Medidas de Variabilidade 
 
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou 
dispersão, dos valores em torno da média. 
 Considere os dois conjuntos de dados a seguir: 
 
Conjunto 1 20 20 20 20 20 20 20 
Conjunto 2 30 15 15 20 20 20 20 
 
Gráfico: comparação entre a média e conjunto de dados 2 
 
 
 Ambos os conjuntos têm média 20. 
 O desvio-padrão ou a variância são medidas que expressão o grau de 
dispersão dos em torno da média. Quanto maior a dispersão maior o desvio-padrão. 
 A seguir apresentamos as fórmulas utilizadas para o cálculo do devio-padrão, 
S . A variância é dada como o quuadrado do desvio-padrão, 2S . 
 Em situações práticas é usado o cálculo do desvio-padrão devido ao fato de 
que ele tem a mesma unidade de medida que os dados. 
 
Desvio padrão 
 
Símbolo: S 
Dados não agrupados 
 
Amostral Populacional 
 
























−
−
=
∑
∑ =
=
n
x
x
n
S
n
i
in
i
i
2
1
1
2
1
1
 
 




















−=
∑
∑ =
= N
x
x
N
N
i
iN
i
i
2
1
1
21σ 
 
 70 
Cálculo do desvio padrão de dados em tabela de distribuição de freqüência 
 
Sejam : 
� xi o ponto médio da classe i , 
� fi a freqüência da classe i, 
� k a quantidade de classe. 
 
Amostral Populacional 
 




















−
−
=
∑
∑ =
= n
fx
fx
n
S
i
k
i
ik
i
ii
2
1
1
2
.
.
1
1
 
 
 
























−=
∑
∑ =
=
N
fx
fx
N
i
k
i
i
k
i
ii
2
1
1
2
.
.
1
σ 
 
Exemplo: 
1) Voltando aos dois conjuntos iniciais 
 
Conjunto 1 20 20 20 20 20 20 20 
Conjunto 2 30 15 15 20 20 20 20 
 
Temos que o desvio-padrão do conjunto 1 é 0 (zero); 
Já o desvio-padrão do conjunto 2 é 5 (cinco); 
 
2) Em uma fábrica ou um escritório, o tempo, no horário de trabalho, durante o qual 
uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha é chamado tempo 
parado. 
A tabela a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de certa 
máquina. 
Tabela 23: Tempo, no horário de trabalho, 
durante o qual uma máquina não está 
funcionando em virtude de quebra ou falha 
 
Tempo parado 
(minutos) 
 
Frequência 
f 
0 |---- 9 2 
 9 |---- 18 15 
18 |---- 27 17 
27 |---- 36 12 
36 |---- 45 3 
45 |---- 54 1 
Total 50 
 
Calcule o desvio-padrão do tempo parado. 
 71 
Solução: Para o cálculo do desvio-padrão é necessário alguns resultados. Podemos 
obtê-los completando a tabela, veja a seguir: 
 
Tempo parado 
(minutos) 
Frequência 
f 
Tempo 
Médio: xi 
 
ifix 
 
if
2
ix 
0 |---- 9 2 4,5 9 40,5 
 9 |---- 18 15 13,5 202,5 2733,75 
18 |---- 27 17 22,5 382,5 8606,25 
27 |---- 36 12 31,5 378 11907 
36 |---- 45 3 40,5 121,5 4920,75 
45 |---- 54 1 49,5 49,5 2450,25 
Total 50 1143 30658,5 
 
O desvio-padrão será: 
( )
[ ]
6,9
4392,92
98,128.265,30658
49
1
50
1143
5,30658
150
1
.
.
1
1
2
2
1
1
2
=
=
−=






−
−
=




















−
−
=
∑
∑ =
=
S
S
S
S
n
fx
fxn
S
i
k
i
ik
i
ii
 
 
Coeficiente de variação: 
 
Quando calculamos a variância ou o desvio-padrão de um conjunto de dados 
obtemos valores absolutos. No entanto, muitas das vezes, é fundamental comparar 
o valor do desvio-padrão em termos da média. Esta medida relativa é denominada 
coeficiente de variação. 
Assim, o coeficiente de variação é uma medida relativa entre a média e o 
desvio-padrão. 
 
x
s
CV = 
 Podemos expressar o valor do coeficiente de variação em porcentagem 
multiplicando por 100 o resultado. 
 
 72 
Exemplo: considere a tabela a segir 
Tabela: Notas obtidas por 500 alunos em um teste de geografia. 
 
 
 
 
 
 
Temos que 
( )
( )
( )
6,20
9975,424
75,073.212
499
1
25,651.621.1725.833.1
499
1
500
475.28
725.833.1
1500
1
2
=
=
=
−=








−
−
=
s
s
s
s
s
 
Logo o desvio-padrão é de 20,6. 
 A média é 57,0. 
 
O coeficiente de variação é dado por: 
%14,363614,0
0,57
6,20
====
x
s
CV 
 
Neste caso o desvio-padrão corresponde a 33,68 % da média. 
 Em um conjunto de dados, seja ele amostral ou populacional, o ideal seria 
encontrar desvio-padrão igual a zero. No entanto isso é difícil. Então quanto mais 
próximo de zero estiver o coeficiente de variação melhor. 
 Uma pergunta interessante seria a seguinte: se dois conjuntos de dados tem 
o mesmo desvio-padrão então eles seriam igualmente bons? A resposta é não. 
 Para ilustrar a finalidade do coeficiente de variação considere os conjuntos: 
 
Conjunto 1: 
 
10 11 12 13 14 15 16 
 
Conjunto 2: 
 
500 501 502 503 504 505 506 
 
 Para estes dois conjuntos temos o mesmo desvio-padrão de 2,16. No entanto 
o coeficiente de variação do conjunto 1 é 0,166 e do conjunto 2 é 0,004. Assim 
vemos que o desvio-padrão do conjunto 1 representa 16,6% da média enquanto que 
Notas fj xi xi.f xi
2. f 
10 |--- 25 44 17,5 770 13.475 
25 |--- 40 70 32,5 2.275 73.937,5 
40 |--- 55 92 47,5 4.370 207.575 
55 |--- 70 147 62,5 9.187,5 574.218,75 
70 |--- 85 115 77,5 8.912,5 690.718,75 
 85 |--- 100 32 92,5 2.960 273.800 
Total 500 28.475 1.833.725 
 73 
no conjunto 2 representa 0,4%. Logo concluímos que o conjunto 2 é melhor que o 
conjunto 1. Podemos perceber que variar 2,16 em 503 (média do conjunto 2) é 
melhor que variar 2,16 em 13 (média do conjunto 1) . 
 
 
 
 74 
Exercícios 
 
1) A tabela abaixo se refere ao peso, em kg, de 50 alunos de uma determinada 
escola. 
Peso = xi fi 
45 8 
55 22 
65 8 
75 6 
85 5 
95 1 
Total 50 
 
a) Calcule a média dos pesos. 
 
b) Calcule a variância. 
 
2) A média aritmética é a razão entre: 
 
a) ( ) O número de valores e o somatório; 
b) ( ) O somatório dos valores e a quantidade de valores; 
c) ( ) Os valores extremos; 
d) ( ) Os dois valores centrais. 
 
3) Numa distribuição de valores todos iguais, o desvio-padrão é: 
 
a) ( ) negativo; 
b) ( ) positivo; 
c) ( ) a unidade; 
d) ( ) zero. 
 
4) A média de um conjunto de valores iguais a uma constante é: 
 
a) ( ) zero; 
b) ( ) o valor da constante; 
c) ( ) a unidade; 
d) ( ) a quantidade de valores que temos 
 
5) O desvio-padrão de um conjunto de dados é 4. A variância será: 
 
 75 
a) ( ) 3; 
b) ( ) 4; 
c) ( ) 16; 
d) ( ) 81. 
 
6) Uma empresa possui dois serventes recebendo salários de R$ 250,00 cada um, 
quatro escriturários recebendo R$ 600,00 cada um, um chefe de escritório com 
salário de R$ 1.000,00 e três técnicos. A média de salários da empresa é de R$ 
1.050,00. Quanto cada técnico recebe? 
 
7) A média do conjunto de valores 
 
46,1 57,5 21,6 16,8 4,2 
é igual a? 
 
8) O desvio-padrão do conjunto de valores 
 
46 57 21 16 4 
É igual a? 
 
9) Os 20 dados abaixo se referem aos índices pluviométricos em determinado 
Estado: 
 
144 152 159 160 160 151 157 146 154 145 
141 150 142 146 142 141 141 150 143 158 
 
Determine: 
a) O índice médio. 
b) O índice mediano. 
 
10) Os dados abaixo se referem a pesos (em gramas) de 50 ratos usados em um 
estudo de deficiência de vitaminas. 
 
136 125 135 137 126 129 124 118 120 126 
119 92 115 115 127 95 100 113 95 113 
146 103 101 118 121 129 110 126 106 148 
137 87 126 119 125 132 108 118 119 117 
120 110 82 105 102 104 133 104 132 146 
 
a) Construa uma tabela de distribuição de freqüência agrupada em classes. 
b) Qual o peso modal? 
c) Qual o desvio-padrão? 
 76 
d) Um rato é considerado magro se seu peso é menor que sx 2− e gordo se seu 
peso é maior que sx 2+ . Quais os pesos máximo e mínimo para que um rato seja 
considerado magro ou gordo? 
e) Baseado na letra e, um rato cujo peso é de 135 gramas é considerado magro ou 
gordo? Justifique sua resposta. 
 
11) Dê um exemplo numérico, com no máximo 4 amostras, em que a média e a 
mediana sejam iguais e o desvio-padrão seja nulo. 
 
12) Dê um exemplo numérico, com no máximo 4 amostras, em que a média é menor 
que a mediana. 
 
13) Um artigo de jornal fez menção a determinada pesquisa citando que o conjunto 
amostral acusa Σx = 5, Σx2 = 7 e s = 0,5. Por erro esqueceram de citar o tamanho da 
amostra utilizado. Considerando as informações anteriores o que podemos dizer 
sobre os possíveis tamanho da amostra? 
 
14) Uma lista de números acusa Σx =202, Σx2 = 3.452 e n = 15. Qual o desvio-
padrão? 
 
15) Em quatro paradas no box, o mecânico dos pneus dianteiros trocou o pneu 
dianteiro direito dos carros de corrida em 
 
10,8 12,0 10,5 10,7 
 segundos. Calcule: 
 
a) o tempo médio de troca de pneus 
b) o desvio-padrão. 
16) A tabela a seguir apresenta o tempo que 80 estudantes dedicam a atividade de 
lazer durante uma semana escolar típica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
a) o tempo médio 
b) o tempo mediano 
c) Qual a porcentagem dos alunos que dedicam mais de 25 horas de lazer ? 
 
17) Uma lista de números acusa Σx =40 e Σx2 = 156. Quantos valores figuram na 
lista, se seu desvio-padrão é 2,0? 
Horas fj 
 10 |--- 15 9 
 15 |--- 20 28 
 20 |--- 25 27 
 25 |--- 30 12 
 30 |--- 35 4 
Total 80 
 77 
18) Um inspetor de controle de qualidade examinou 15 engradados de telhas de 
cerâmica, contendo cada um 144 telhas. Os números de telhas trincadas nessas 
caixas foram 
 
2 5 3 4 2 0 1 5 7 3 0 2 2 4 3 
 
Calcule: 
a) o número médio de telhas trincadas e 
b) o desvio-padrão. 
 
19) A tabela de distribuição a seguir apresenta o número de peças defeituosas em 
uma produção de determinado produto 
 
N.º de defeitos N.º de peças 
0 5 
1 10 
2 18 
3 12 
4 5 
Total 50 
 
Calcule: 
a) a média 
b) a mediana 
c) a moda 
 
20) A tabela a seguir apresenta os salários pagos a 100 operários de uma empresa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule: 
a) o salário médio 
b) o salário mediano 
c) Qual a porcentagem dos empregados que ganham acima de 4 
salários? 
d) O dono da empresa afirmou, em entrevista, que seus funcionários 
ganham, em média, R$ 1440,00. Considerando o salário mínimo no 
valor de R$ 330,00, a afirmação do dono da empresa é verdadeira? 
 
N.º de salários 
mínimos 
 
fj 
 0 |--- 2 40 
 2 |--- 4 30 
 4 |--- 6 10 
 6 |--- 8 15 
 8 |--- 10 5 
Total 100 
 78 
21) Os dados a seguir referem-se ao consumo de eletricidade (mil MWh) pelo 
setor ferroviário entre os anos de 1978 e 2007. Os dados são do IBGE. 
 
6 5 5 4 3 6 14 8 9 
11 8 10 11 12 14 17 19 21 
 
Calcule a variância e o coeficiente de variação. 
 
22) Em uma fábrica ou um escritório, o tempo, no horário de trabalho, durante o qual 
uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha é chamado tempo 
parado. A tabela a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de 
certa máquina. 
Tabela: o tempo, no horário de trabalho, durante o qual 
uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha 
 
Tempo parado 
(minutos) 
 
 
Frequênciaf 
0 |---- 9 2 
 9 |---- 18 15 
18 |---- 27 17 
27 |---- 36 12 
36 |---- 45 3 
45 |---- 54 1 
Total 50 
Calcule: 
a) Desvio-padrão. 
 
 
 
 79 
Representação Gráfica 
 
Os gráficos são usados para apresentar visualmente um conjunto de 
dados, proporcionando maior facilidade e rapidez de compreensão dos mesmos, 
ou, então, para apresentar conclusões ou resultados de uma análise. 
 Há, portanto, dois tipos de gráficos, conforme o objetivo ou uso a que se 
destinam: gráficos de informação e gráficos de análise. 
 
a) Gráficos de Informação 
 
São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando 
proporcionar uma visualização rápida e clara da intensidade das modalidades e 
dos valores relativos ao fenômeno observado. 
São gráficos tipicamente expositivos, devendo, por conseguinte, ser o mais 
completo possível, dispensando comentários explicativos adicionais. 
 
b) Gráficos de Análise 
 
Os gráficos de análise prestam-se melhor ao trabalho estatístico, 
fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser 
também informativos. 
Quando se usam gráficos para apresentar os resultados de uma análise, 
esses freqüentemente vêm acompanhados de uma tabela. Inclui-se, muitas vezes, 
um texto dissertativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais 
revelados pelo gráfico ou pela tabela. 
 
1) Histograma 
 
O histograma é um gráfico de barras verticais. 
Cada barra é proporcional à freqüência (simples ou relativa) da classe que ele 
representa. Assim, a soma dos valores correspondentes às áreas dos retângulos 
será sempre igual à freqüência total. 
Para a construção do histograma utiliza-se dois eixos coordenados. No eixo 
horizontal são anotados os valores individuais da variável em estudo, ou os limites 
das classes. No eixo vertical temos as freqüências. 
Exemplo: Os dados a seguir representam a temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
43 45 49 47 52 
45 51 46 44 48 
51 50 52 44 48 
50 49 50 46 46 
49 49 51 50 49 
 
Solução: No R temos: 
a) Crie um arquivo, y, com os dados; 
b) Use o comando: 
 80 
hist(y,freq=F,ylab="Probabilidade",xlab="Temperatura",main="Temperatura de 
efluentes",ylim = c(0, 0.2)) 
O resultado é o gráfico 1. 
 
Gráfico 1: temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
Exemplo: Um artigo em Technometrics (Vol. 19, 1977, pg. 425) apresenta dados 
sobre taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de 
gasolina. 20 destes resultados são apresentados a seguir: 
 
88,5 94,7 84,3 90,1 89 89,8 91,6 90,3 90 91,5 
89,9 98,8 88,3 90,4 91,2 90,6 92,2 87,7 91,1 86,7 
 
Construa o histograma. 
Solução: No R temos: 
a) Crie um arquivo, y, com os dados; 
b) Use o comando: 
hist(y,freq=T,ylab="Frequência",xlab="Taxas",main="Taxa de octanagem",ylim = c(0, 
10)) 
O resultado é o gráfico 2. 
 81 
Gráfico 2: taxas de octanagem de combustível para motor, 
de várias misturas de gasolina 
 
 
 No R temos a opção de escolher, através do comando nclass= argumento, o 
número de retângulos no histograma. Pode ocorrer que o número escolhido não seja 
viável. Neste caso o R faz uma aproximação viável do número de retângulos. 
 
2) Box-plot 
 
É um gráfico em forma de caixa. 
Nele encontramos valores numéricos do tipo: o ponto de mínimo, 1º quartil, 
mediana, 3º quartil e o ponto de máximo. 
Dependendo da natureza dos dados estes valores podem ser iguais ou 
diferentes. 
Para que possamos construir o box-plot é necessário que se conheça os 
dados na forma bruta ou rol. 
Na construção dos gráficos foi utilizado o software R. 
 
Exemplo 1: Os dados a seguir representam a temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
43 45 49 47 52 
45 51 46 44 48 
51 50 52 44 48 
50 49 50 46 46 
49 49 51 50 49 
 
 Construa o box-plot. 
 
 82 
Solução: Utilizando o R temos: 
a) construa o vetor y com os dados; 
b) utilize o comando: boxplot(y,ylab="Temperatura", ylim=c(42,52)) 
 
O resultado é o gráfico 3. 
 
Gráfico 3: temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
 
Exemplo 2: Um artigo em Technometrics (Vol. 19, 1977, pg. 425) apresenta dados 
sobre taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de 
gasolina. 20 destes resultados são apresentados a seguir: 
 
88,5 94,7 84,3 90,1 89 89,8 91,6 90,3 90 91,5 
89,9 98,8 88,3 90,4 91,2 90,6 92,2 87,7 91,1 86,7 
 
Construa o box-plot. 
Solução: Utilizando o R temos: 
a) construa o vetor y com os dados; 
b) utilize o comando: boxplot(t,ylab="Taxa",ylim=c(80,100)) 
 83 
O resultado é o gráfico 4. 
 
Gráfico 4: Taxas de octanagem de combustível para motor, 
de várias misturas de gasolina 
 
Exemplo 3: O gráfico 5 refere-se ao número de pedidos que um restaurante recebeu, 
de frango e bife, em dezesseis dias. 
 
Gráfico 5: Número de pedidos, de frango e bife, em um restaurante 
Durante 16 dias 
 
Fonte: Estatística Aplicada [4] 
 
3) Ramo-e-folhas 
 
É uma forma de visualização dos dados originais o qual nos permite ver a 
distribuição dos dados sem a perda de informações. 
Permite visualizar a ordenação dos dados. 
 84 
Para a construção de um gráfico ramo-e-folhas tomamos como ramo os 
algarismos mais a esquerda e a folha o algarismo mais a direita. Por exemplo, no 
número 352, o ramo é 35 e a folha é o 2. 
Exemplo: Os dados a seguir representam a temperatura de efluentes em dias 
consecutivos na descarga de uma estação de tratamento de esgoto: 
 
43 45 49 47 52 
45 51 46 44 48 
51 50 52 44 48 
50 49 50 46 46 
49 49 51 50 49 
 
Construa o gráfiico ramo-e-folhas. 
 
Solução: Utilizando o R temos: 
a) construa o vetor y com os dados; 
b) utilize o comando: stem(y,scale=2) 
 O resultado é o gráfico 6. 
 
Gráfico 6: Temperatura de efluentes em dias consecutivos 
na descarga de uma estação de tratamento de esgoto 
 
The decimal point is at the | 
 
 43 | 0 
 44 | 00 
 45 | 00 
 46 | 000 
 47 | 0 
 48 | 00 
 49 | 00000 
 50 | 0000 
 51 | 000 
 52 | 00 
 
 85 
Exemplo: Os valores a seguir são referentes a salários, em reais, pagos em 
determinada empresa. A fonte é o livro Estatística Aplicada á Gestão Empresarial. 
 
381 389 389 418 429 430 472 486 568 1209 
669 682 699 728 821 821 856 822 904 866 
 
Construa o gráfico ramo e folhas. 
 
Solução: Utilizando o R temos: 
a) construa o vetor y com os dados; 
b) Utilizando o comando: stem(y,scale=9) o resultado é o gráfico 7. 
 
Gráfico 7: Salários, em reais, pagos em determinada empresa 
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 
38 | 199 
40 | 8 
42 | 90 
46 | 2 
48 | 6 
56 | 8 
66 | 9 
68 | 29 
72 | 8 
82 | 112 
84 | 6 
86 | 6 
90 | 4 
120 | 9 
 
 
c) Considere o conjunto de dados a seguir. Eles são referentes ao número de telhas 
estragadas em 21 lotes de um milheiro cada. 
 
100 110 121 124 145 135 122 100 146 151 162 121 123 134 122 118 145 151 100 
144 125 
 
Construa o gráfiico ramo-e-folhas. 
 
 86 
Solução: Utilizando o R temos: 
a) construa o vetor y com os dados; 
b) utilize o comando: stem(y,scale=2) 
O resultado é o gráfico 8 
 
Gráfico 8: número de telhas estragadas em 21 lotes de um milheiro cada 
The decimal point is 1 digit(s) to the right of the | 
 
 10 | 000 
 11 | 08 
 12 | 1122345 
 13 | 45 
 14 | 4556 
 15 | 11 
 16 | 2 
 
 
 87 
Exercícios 
 
1) Observe o histograma abaixo. 
 
Número de defeitos em instrumentos 
óticos
40
120
340
290
160
30
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5
Número de defeitos
F
re
q
u
ên
ci
a
 
 
Complete a tabela de distribuição abaixo. 
 
Número de defeitos fi 
0 
1 120 
2 
3 
4 
5 
Total 
 
 
 
 
 
 88 
Probabilidade 
 
Técnicas de contagem e Agrupamentos 
 
Fatorial 
 
 O fatorial de um número inteiro positivo n é representado por !n (Lê-se: n 
fatorial). 
O fatorialdo número n é obtido pela multiplicação de n por todos os inteiros 
inferiores até o número 1. 
( ) ( ) 12n1nn!n ⋅⋅−⋅−⋅= K 
 
Exemplos: 
1) 241.2.3.4!4 == 
2) 7201.2.3.4.5.6!6 == 
 
Por definição: 
1!0 = 
1!1 = 
Observação: 
!5.6!4.5.6!6 == 
Exemplo: 
 
Qual o valor de 
!3!10
!12
⋅
? 
Solução: 22
6
11.12
1.2.3.!10
!10.11.12
!3!10
!12
===
⋅
 
 
Exercício: 
Muitas calculadoras ou computadores não podem calcular diretamente valores de 
!70 ou superiores. Para n muito grande, !n pode ser aproximado por k10!n = , 
onde o valor de k é dado por ( ) nnnk 43429448,039908993,0log5,0 −++= . 
Calcule !50 utilizando a tecla fatorial da calculadora e utilizando a aproximação. 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
Se um primeiro acontecimento pode ocorrer de 
1
m maneiras distintas, um segundo 
pode ocorrer de 
2
m maneira distintas e, sucessivamente, um ésimon − 
acontecimento pode ocorrer de 
n
m maneiras distintas, sendo todos eventos 
independentes, então o número de maneiras distintas em que os n acontecimentos 
ocorrem conjuntamente é 
n21
m..m.m K . 
 
 89 
Exemplos: 
1) Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 
letras e 4 algarismos? ( Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma 
restrição) 
 
2) Existem 5 ruas ligando os supermercados X e Y e 3 ruas ligando os 
supermercados Y e W. Quantos trajetos diferentes podem ser utilizados para irmos 
de X a W, passando por Y? 
 
3) Uma prova de múltipla escolha é composta por 10 questões. Cada questão possui 
4 opções de resposta. Qual o número total de resposta nesta prova? 
 
Arranjo Simples 
 
Corresponde ao estudo da quantidade de maneiras em que se pode agrupar 
os objetos de uma amostra em que a ordem dos objetos seja relevante. 
 
O número de arranjos simples (sem repetição) de r elementos escolhidos dentre 
n elementos é 
( )!rn
!n
A
r,n
−
= 
 
Exemplos: 
 
1) Uma montadora de veículos selecionou 6 projetos diferentes de carros novos. 
Destes serão selecionados 4 projetos diferentes para serem executados, sendo que 
cada um irá ser montado em um país diferente, segundo a ordem de escolha. De 
quantas maneiras estes 4 projetos poderão ser escolhidos 
Solução: A ordem com que os projetos são escolhidos é relevante, logo temos um 
problema de arranjo. Assim 
( )
360
!2
!6
!46
!6
4,6 ==
−
=A 
2) Um almoxarifado necessita organizar uma estante, destinada a armazenar 
suprimentos diversos. Sabendo que existem 3 itens diferentes da área industrial 
(departamento de produção), 6 itens diferentes da área de transporte e 3 itens 
diferentes do departamento de recursos humanos. Calcule: 
 
a) de quantas maneiras os itens poderiam ser organizados? 
b) se os itens da produção precisassem necessariamente ficar juntos, quantas 
maneiras de organizar todos os itens possíveis? 
Solução: 
a) Temos 12 itens diferentes. Ao organizá-los a ordem é relevante. Assim 
( )
600.001.479
!1212
!12
A
12,12
=
−
= 
 
b) Temos 3 itens diferentes da área industrial. Os outros 9 não precisam ficar juntos. 
Podemos então considerar os 3 itens da produção como um único bloco. Assim 
teremos 
 90 
( ) ( )
!3.!10
!33
!3
!1010
!10
A.A
3,310,10
=
−
⋅
−
= 
Exercícios 
 
1) (Brasil escola - Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) – Minas Gerais) 
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia 
esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra 
que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o 
algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de 
tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o 
saque? 
2) Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos 
aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes 
estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio, considerando a ordem de 
escolha para cada cargo? 
Combinação Simples 
 
Corresponde ao estudo da quantidade de maneiras em que se pode agrupar 
os objetos de uma amostra em que a ordem dos objetos seja irrelevante. 
 
O número de combinações simples (sem repetição) de r elementos escolhidos 
dentre n elementos é 
( ) !r.!rn
!n
C
r,n
−
= 
 
Exemplos: 
1) A área comercial de uma indústria de queijo é composta por 4 departamentos de 
vendas que atendem às regiões Norte, Sul, Leste e Oeste. Todos os departamentos 
são formados por profissionais de ambos os sexos, conforme tabela a seguir. 
 
Sexo/Depto Norte Sul Leste Oeste 
Mulheres 3 4 2 4 
Homens 5 7 8 3 
 
Calcule a quantidade de comissões distíntas formadas por 5 pessoas, onde: 
 
a) todas sejam mulheres? 
b) tenham 3 homens do departamento Norte e 2 mulheres do Oeste? 
 
Solução: 
a) 
( )
287.1
1.2.3.4.5
9.10.11.12.13
!5.!513
!13
5,13 ==
−
=C 
b) 
( ) ( )
60610
!2!24
!4
!3!35
!5
2,43,5 =⋅=
⋅−
⋅
⋅−
=⋅CC 
 91 
2) Supondo que existem 6 candidatos a uma promoção, na existência de 2 vagas: 
uma no departamento de finanças e uma na área comercial. 
Calcule: 
a) de quantas maneiras possíveis os candidatos poderiam ser escolhidos? 
b) se as vagas fossem iguais a 2 e no mesmo departamento, de quantas maneiras 
os candidatos poderiam ser escolhidos? 
 
Solução: 
a) Trata-se de um problerma de arranjo. 
( )
30
!26
!6
2,6 =
−
=A 
b) Trata-se de um problema de combinação 
( )
15
!2.!26
!6
2,6 =
−
=C 
 
Exercícios 
 
1) (Brasil escola - Universidade Estadual do Rio de Janeiro (EU-RJ)) 
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: 
• Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; 
• Um entre os tamanhos: pequeno e grande; 
• De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e 
salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. 
Calcule: 
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados, considerando apenas um tipo 
de recheio? 
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta 
de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada 
sanduíche? 
2) (Brasil escola - Universidade Federal de Juiz de Fora – Minas Gerais) 
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao 
chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o 
número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se 
cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”. 
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram 
presentes na reunião? 
 
 
 92 
Nocões Básicas de Probabilidade 
 
Definições: 
Experimento Aleatório: 
É qualquer processo que permite ao pesquisador fazer observações cujos 
resultados não podem ser previstos com certeza. 
 
Exemplos: 
1
E : Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. 
2
E :Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras obtidas. 
3
E : Em uma linha de produção, fabricam-se peças em série e conta-se o 
número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. 
4
E : Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é testada e verifica-se o tempo 
de vida. 
5
E : Retira-se uma bola de uma urna que contém bolas pretas, vermelhas e 
amarelas e observa sua cor. 
 
Espaço Amostral: 
Para cada experimento E, define-se espaço amostral S o conjunto de todos 
os possíveis resultados desse experimento. 
 
Exemplos: 
 
Considerando os experimentos aleatórios anteriores, o espaço amostral para 
cada um deles pode ser descrito como: 
 
1
S : {ouro, copa, paus, espada} 
 
2
S : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 
3
S : {0, 1, 2, 3, ..., N}, onde N é o máximo de peças produzidas em 24 horas. 
 
4
S : {t | t ≥ 0} 
 
5
S : {preta, vermelha, amarela} 
 O espaço amostral pode ser: 
1. Finito: formado por um número limitado de resultados possíveis. 
2. Infinito enumerável: formado por um número infinito de resultados, os quais 
podem ser listadosou enumerados. 
 
Exemplo: número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia 
em uma rede de computadores. 
 
3. Infinito: formado por intervalo de números reais. 
 93 
 
Evento: 
É qualquer subconjunto do espaço amostral. 
A é um evento ↔ A ⊆ S 
 
Pela figura temos o evento A 
 
Em particular S é o evento certo e φφφφ é o evento impossível. 
Exemplo: 
Considere o experimento 
E = jogar uma moeda três vezes e observar os resultados. 
Então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }k,k,k,c,k,k,k,c,k,k,k,c,c,k,c,c,c,k,k,c,c,c,c,cS = 
Seja o evento: A = ocorrer pelo menos duas caras. 
Então ( ) ( ) ( ) ( ){ }c,k,c,c,c,k,k,c,c,c,c,cA = 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos: 
Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos, se eles não 
puderem ocorrer simultaneamente, isto é φ=∩ BA . 
 
Pela figura temos que A e B são mutuamente exclusivos 
 
Exemplo: 
� Considere o experimento 
E = jogar um dado e observar o número da parte de cima. 
Então {{{{ }}}}654321 ,,,,,S ==== 
 Sejam os eventos: A = ocorrer um número par, e B = ocorrer um número 
ímpar. 
 Então { }6,4,2A = , { }5,3,1B = e φ=∩ BA . 
 
 94 
 
Definição clássica de probabilidade 
Dado um experimento aleatório E, S o espaço amostral e A um evento. A 
probabilidade do evento A, ( )AP , é uma função definida em S que associa a cada 
evento um número real calculada pela relação: 
 
( ) ( )
( )Sn
An
AP = 
Onde: ( )An : é o número de vezes em que o evento A pode ocorrer 
 ( )Sn : é o número de vezes em que o espaço amostral S pode ocorrer 
 
Obs: Ao expressar a probabilidade devemos fazê-la utilizando as frações ordinárias 
ou com 4 casas decimais. 
Exemplos: 
1. Em uma escola de idiomas com 150 alunos matriculados, 60 fazem o curso 
de inglês, 35 fazem o curso de espanhol e 25 fazem o curso de francês. 
Escolhido aleatoriamente 1(um) aluno, qual a probabilidade dele fazer o curso 
de inglês? 
Solução: Considerando o evento A = o aluno faz o curso de inglês, temos 
( )
5
2
150
60
==AP 
 
2. Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? 
Solução: Evento A = retirar duas peças defeituosas. 
Número de maneiras do evento A ocorrer = 
( )
6
!2.!24
!4
2
4
=
−
=





. 
Número de maneiras do espaço S ocorrer = 
( )
66
!2.!212
!12
2
12
=
−
=





. 
Logo ( )
11
1
66
6
AP == . 
3. A MasterCard International efetuou um estudo de fraude em cartões de 
crédito. Os resultados estão apresentados na tabela a seguir. 
 
Tabela: Tipos de fraude em cartões de crédito 
Tipo de fraude Número de ocorrência 
Cartão roubado 243 
Cartão falsificado 85 
Pedido por correio/ telefone 52 
Outros 46 
 
Selecionando aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de: 
 95 
a) a fraude resultar de um cartão roubado? 
b) A fraude não ser de cartão falsificado? 
Solução: 
a) Considere o evento A = cartão roubado. Logo 
( ) 5704,0
426
243
AP == . 
b) Considere o evento B = cartão não falsificado. Então 
( ) 8005,0
426
341
BP == 
 
Propriedades da probabilidade 
Para cada evento A é associado um número real (((( ))))AP com as seguintes 
propriedades: 
1) (((( )))) 10 ≤≤≤≤≤≤≤≤ AP 
2) (((( )))) 1====SP 
3) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos então 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))BPAPBAP ++++====∪∪∪∪ 
 
Eventos complementares: 
Dois eventos A e B são complementares quando 
A U B = S. 
Neste caso vale a propriedade ( ) ( ) 1BPAP =+ . 
Simbolicamente cAB = 
 
Exemplo: O evento A = chuva e o evento B = não chuva são complementares. 
 
Evento Composto: 
É qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples. 
 
Exemplo: No lançamento de um dado considere o evento A = {2,5}. 
 
Regra da Adição: 
Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
Observações: 
� ( )BAP ∪ denota a probabilidade do evento A, ou do evento B, ou de 
ambos. 
� ( )BAP ∩ denota a probabilidade do evento A e do evento B 
simultaneamente em um mesmo experimento. 
 96 
Exemplos: 
1) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em uma 
locadora de vídeos, estão apresentados na tabela a seguir: 
Tabela: Preferência de homens e mulheres por filmes 
Sexo / Filme Comédia Romance Policial 
Homens 136 92 248 
Mulheres 102 195 62 
 
Sorteando-se ao acaso uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade 
de: 
a) Uma mulher ter alugado um filme ou o filme é do gênero policial; 
b) Um homem ter alugado um filme ou o filme é do gênero romance. 
Solução: 
a) Considere os eventos 
A = mulher aluga o filme e 
B = Filme é do gênero policial 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
( ) 7269,0
835
607
835
62
835
310
835
359
BAP ==−+=∪ 
b) Considere os eventos 
A = homem aluga o filme e 
B = Filme é do gênero romance 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
( ) 8036,0
835
671
835
92
835
287
835
476
BAP ==−+=∪ 
 
2) Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, 
das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda, das 12 conexões 4 são 
defeituosas. Uma conexão é retirada aleatoriamente. Qual a probabilidade de a 
conexão ser defeituosa ou ter sido retirada da segunda caixa? 
Solução: 
a) Considere os eventos 
A = conexão defeituosa. 
B = conexão retirada da segunda caixa. 
 ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
( ) 5476,0
42
23
42
4
42
12
42
15
BAP ==−+=∪ 
Obs: Este exemplo pode ser melhor visualizado utilizando a árvore de probabilidade. 
Ou seja: 
 97 
 
Regra da Multiplicação: 
 Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
 
� ( ) ( ) ( )A|BP.APBAP =∩ 
 
Notação: ( )A|BP representa a probabilidade de ocorrência do evento B dado que o 
evento A ocorreu. É chamado de probabilidade condicional. 
 
Eventos Independentes 
 Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles 
não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário eles são 
dependentes. 
 
Obs. Se dois eventos A e B são independentes, então ( ) ( )BPABP =| . 
 
Exemplos: 
1) Uma determinada companhia produz um lote de 50 filtros de combustíveis, dos 
quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. 
Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados: 
a) com reposição; 
b) sem reposição. 
 
Solução: Considere os eventos 
A = 1º filtro bom. 
B = 2º filtro bom. 
a) Como processo de escolha é com reposição, então a escolha do primeiro filtro 
não afeta a escolha do segundo filtro. Assim 
 
 98 
( ) 7744,0
2500
1936
50
44
50
44
BAP ==⋅=∩ 
b) Como processo de escolha é sem reposição, então a escolha do primeiro filtro 
afeta a escolha do segundo filtro. Logo são dependentes. Assim 
( ) ( ) ( )A|BP.APBAP =∩ 
( ) 7722,0
2450
1892
49
43
50
44
BAP ==⋅=∩ 
 
2) Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, 
das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda, das 12 conexões 4 são 
defeituosas. Uma conexão é retirada aleatoriamente de cada caixa. Calcule a 
probabilidade de: 
 
a) Apenas uma ser defeituosa. 
b) Ambas serem defeituosas. 
c) Ambas não serem defeituosas. 
Solução: 
a) Podemos ter os seguintes casos: DB ou BD. Assim 
Caso 1: 
A = defeituosa na primeira 
B = boa na segunda. 
( ) ( ) ( )A|BP.APBAP =∩ 
( ) 2444,0
360
88
12
8
30
11
BAP ==⋅=∩ 
Caso 2: 
A = defeituosa na segunda 
B = boa na primeira. 
( ) ( ) ( )A|BP.APBAP =∩ 
( ) 2111,0
360
76
30
19
12
4
BAP ==⋅=∩ 
Portanto a probabilidade de apenas uma ser defeituosa é de 
( ) 4555,02111,02444,0defeituosaumaapenasP =+= 
b) 12,22%. 
c) 42,22%. 
 99 
 
Teorema da probabilidade total 
 Considere o espaço amostral particionado em k eventos, 
k21
A,,A,A K , satisfazendo às seguintes condições: 
a) φ=∩
ji
AA para todo ji ≠ . 
b) SAAA
k21
=∪∪∪ K . 
c) ( ) 0AP
i
≥ para ki ,,2,1 K= . 
Seja um evento F qualquer, referente ao espaço amostral S . Então:( ) ( ) ( )∑
=
=
k
1i
ii
A|FPAPFP 
 
Demonstração: Considere F um evento qualquer em S. Então 
( ) ( ) ( )
k21
AFAFAFF ∩∪∪∩∪∩= K 
Usando a regra do produto teremos 
( ) ( ) ( ) ( )
k21
AFPAFPAFPFP ∩++∩+∩= K 
Usando a regra do produto teremos o teorema da probabilidade total 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kk2211
A|FPAPA|FPAPA|FPAPFP +++= K 
( ) ( ) ( )∑
=
=
k
1i
ii
A|FPAPFP 
Cqd. 
 
 
Figura 1: Representação teorema probabilidade total 
 
Exemplo: 
 
Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, denominadas X, Y e Z. 
Sabe-se que X produz o dobro de peças que Y, e Y e Z produzem o mesmo 
número de peças. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por X e Y são 
defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por Z são defeituosas. Todas as 
peças são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída 
aleatoriamente. Qual a probabilidade de que a peça escolhida seja defeituosa? 
 100
Solução:Considere os seguintes eventos 
F = a peça é defeituosa 
1
A = a peça provém da fábrica X. 
2
A = a peça provém da fábrica Y. 
3
A = a peça provém da fábrica Z. 
Empregando o teorema da probabilidade total temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
332211
A|FPAPA|FPAPA|FPAPFP ++= 
Sabe-se que: 
( )
2
1
AP
1
= 
( )
4
1
AP
2
= 
( )
4
1
AP
3
= 
( ) ( ) 02,0A|FPA|FP
21
== 
( ) 04,0A|FP
3
= 
Logo 
( ) 0250,004,0
4
1
02,0
4
1
02,0
2
1
FP =⋅+⋅+⋅= 
Assim, a probabilidade da peça ser defeituosa é de 0,0250 ou 2,50%. 
 
 
Teorema de Bayes (Thomas Bayes 1702 - 1761) 
 Considere o espaço amostral particionado em k eventos, 
k21
A,,A,A K , satisfazendo às seguintes condições: 
a) φ=∩
ji
AA para todo ji ≠ . 
b) SAAA
k21
=∪∪∪ K . 
c) ( ) 0AP
i
≥ para k,,2,1i K= . 
Seja um evento F qualquer, referente ao espaço amostral S . Então: 
( )
( ) ( )
( )FP
A|FPAP
F|AP ii
i
= 
 
Exemplo: 
1) (voltando ao exemplo anterior) Uma determinada peça é manufaturada por três 
fábricas, denominadas X, Y e Z. Sabe-se que X produz o dobro de peças que Y, e Y 
e Z produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das peças 
produzidas por X e Y são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por Z são 
defeituosas. Todas as peças são colocadas em um depósito, e depois uma peça é 
extraída aleatoriamente. 
 
 101
Qual a probabilidade de que a peça escolhida seja produzida pela fábrica Y dado 
que ela era defeituosa? 
 
Solução:Considere os seguintes eventos 
F = a peça é defeituosa 
1
A = a peça provém da fábrica X. 
2
A = a peça provém da fábrica Y. 
3
A = a peça provém da fábrica Z. 
Sabe-se que: 
( ) 0250,0FP = (pelo exemplo anterior) 
( )
4
1
AP
2
= 
( ) ( ) 02,0A|FPA|FP
21
== 
Logo 
( )
( ) ( )
( )FP
A|FPAP
F|AP 22
2
= 
( )
0250,0
02,0
4
1
F|AP
2
⋅
= 
( )
0250,0
005,0
F|AP
2
= 
( ) 2000,0F|AP
2
= 
 
2) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, 
B, C, D e E). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de 
processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 
15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Se o pedido não for feito de forma 
adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes 
percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do 
cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E. 
a) Qual é a probabilidade de o sistema apresentar erro? 
b) Qual é a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E, 
sabendo-se que apresentou erro? 
 
3) Um novo método analítico de detectar poluentes em água é testado. Esse novo 
método de análise química é importante porque, se adotado, poderia ser usado para 
detectar três diferentes contaminantes: poluentes orgânicos, solventes voláteis e 
compostos clorados, em vez de ter de usar um único teste para cada poluente. 
 
As pessoas que elaboraram o teste afirmam que ele pode detectar altos níveis de 
poluentes orgânicos com 99,7% de acurácia, solventes voláteis com 99,95% de 
acurácia e composto clorados com 89,7% de acurácia. 
 
 102
Amostras são preparadas para calibração do teste e 60% delas são contaminadas 
com poluentes orgânicos, 27% com solventes voláteis e 13% com traços de 
compostos clorados. 
 
Se um poluente não estiver presente, o teste não sinaliza. 
 
Uma amostra teste é selecionada aleatoriamente. 
 
a) Qual a probabilidade de o teste sinalizar? 
b) Se o teste sinalizar, qual é a probabilidade de os compostos clorados estarem 
presentes? 
 
4) Suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão e 3% dos rolos de tecido de 
naylon contenham falhas. Dos rolos usados por um fabricante, 70% são de algodão 
e 30% são de naylon. 
 
Um rolo é selecionado aleatoriamente. 
 
a) Qual será a probabilidade do rolo conter falhas? 
b) Sabendo que o rolo selecionado tem falhas, qual a probabilidade dele ter sido 
fabricado com algodão? 
 
 103
Exercícios: 
 
1) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filme alugado em 
uma locadora de vídeos, estão apresentados na tabela a seguir: 
 
Sexo / Filme Comédia Romance Policial 
Homens 136 92 248 
Mulheres 102 195 62 
 
Sorteando-se ao acaso uma dessas locações de vídeo, pergunta-se a probabilidade 
de: 
a) Uma mulher ter alugado um filme e o filme ser de comédia; 
b) Um homem ter alugado um filme e o filme ser de romance. 
 
2) Uma determinada companhia produz um lote de 50 filtros de combustíveis, dos 
quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. 
Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados: 
a) com reposição; 
b) sem reposição. 
 
3) Joga-se dois dados equilibrados e soma-se os dois resultados. Qual a 
probabilidade de se obter o total 5 ? 
 
4) Se 226 dentre 300 assinantes de um jornal, selecionado aleatoriamente, 
afirmaram que lêem a seção cômica diariamente. Qual a probabilidade de um 
assinante escolhido aleatoriamente não ler a seção cômica? 
 
5) Diga se cada afirmação é verdadeira ou se ela é falsa. 
 
a. Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento. 
b. Se dois eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo eles são chamados de 
mutuamente excludentes. 
c. A regra da adição é usada para encontrar a probabilidade de dois eventos 
ocorrerem simultaneamente. 
d. A amostra é um subconjunto da população. Em todo experimento a amostra pode 
ser igual à população. 
e. Dado x um evento, então (((( )))) 1xP0 <<<<<<<< . 
 
6) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de o primeiro 
resultado ser maior do que o segundo? 
 
7) Um grupo de 100 alunos de dois cursos de uma faculdade foram escolhidos para 
responderem a uma pesquisa. A tabela a seguir apresenta a composição destes 
alunos: 
 104
 
 Matemática Pedagogia 
Homens 31 10 
Mulheres 23 36 
 
Selecionando aleatoriamente um aluno: 
a) qual a probabilidade dele ser homem ou ser do curso de Pedagogia? 
b) qual a probabilidade dela ser mulher dado que é do curso de Matemática? 
 
8) Uma livraria acaba de receber 40 novos livros, entre eles 12 romances históricos. 
Se quatro desses livros são escolhidos aleatoriamente, e sem reposição, qual a 
probabilidade de nenhum deles ser romance histórico? (Expressar o resultado em 
fração) 
 
9) A tabela a seguir apresenta o número de pacientes internados no hospital X, por 
Alas. 
 
 
Alas 
Sexo e Número 
Total Masculino Feminino 
A 415 220 635 
B 250 375 625 
C 105 220 325 
Total 770 815 1585 
 
A probabilidade de um paciente selecionado aleatoriamente ser do sexo feminino ou 
estar internado na ala A é de: 
 
10) Complete com V se a afirmação for verdadeira e com F se for falsa. 
 
a. ( ) Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento. 
 
b. ( ) Se dois eventos podem ocorrer ao mesmo tempo eles são chamados de 
mutuamente excludentes. 
 
c. ( ) A regra da multiplicação é usada para encontrar a probabilidade de dois 
eventos ocorrerem simultaneamente. 
 
d. ( ) A amostra é umsubconjunto da população. Em todo experimento a amostra 
nunca será igual à população. 
 
e. ( ) Dado x um evento, então ( ) 10 ≤< xP . 
 
11) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de o primeiro 
resultado ser menor do que o segundo? 
 
 105
12) Um grupo de 100 alunos de dois cursos de uma faculdade foram escolhidos para 
responderem a uma pesquisa. A tabela a seguir apresenta a composição destes 
alunos: 
 
 Matemática Pedagogia 
Homens 31 10 
Mulheres 23 36 
 
Selecionando aleatoriamente um aluno(a): 
a) qual a probabilidade dele ser homem e ser do curso de Pedagogia? 
 
b) qual a probabilidade dela ser mulher ou ser do curso de Matemática? 
 
13) Uma livraria acaba de receber 40 novos livros, entre eles 12 romances 
históricos. Se um desses livros é escolhido aleatoriamente, e sem reposição, qual a 
probabilidade dele ser romance histórico? (Expressar o resultado em fração) 
 
14) Quais dos valores abaixo não podem ser probabilidade? 
 
0 ; 0,0001; -0,2 ; 3/2 ; 2/3 ; 2 ; 2,0 
 
15) Quanto é P(A), se A é o evento “Fevereiro tem 30 dias este ano”? 
16) Quanto é P(A), se A é o evento “Novembro tem 30 dias este ano”? 
17) Qual a probabilidade do resultado “cara” ao jogar uma moeda? 
18) A MasterCard International efetuou um estudo de fraude em cartões de crédito. 
Os resultados estão na tabela a seguir 
 
Tipo de fraude Número 
Cartão roubado 243 
Cartão falsificado 85 
Pedido por correio/ telefone 52 
Outros 46 
 
Selecionado aleatoriamente um caso de fraude, qual a probabilidade de a fraude 
resultar de um cartão falsificado? 
19) Um casal planeja ter 2 filhos. 
a) Relacione os diferentes resultados, de acordo com o sexo de cada criança. 
b) Determine a probabilidade de o casal ter 2 meninas 
c) Determine a probabilidade de exatamente uma criança de cada sexo. 
 
20) Em um teste com 3 questões do tipo verdadeiro/falso, um estudante que não 
está preparado deve responder cada uma aleatoriamente. 
a) Relacione os diferentes resultados possíveis. 
b) Qual é a probabilidade de responder corretamente todas as três questões? 
c) Qual a probabilidade de “palpitar” incorretamente todas as três questões? 
 106
d) Qual a probabilidade de acertar duas questões? 
 
21) Diga se os dois eventos são mutuamente excludentes: 
a. Escolha de um espectador de televisão do sexo masculino; 
b. Escolha de alguém que raramente utiliza o controle remoto. 
 
22) Diga se os dois eventos são mutuamente excludentes: 
c. Girar uma roleta e obter o número 7; 
d. Girar uma roleta e obter um número par. 
 
23) De um conjunto de cinco empresas, deseja-se selecionar, aleatoriamente, uma 
empresa, mas com probabilidade proporcional ao número de funcionários. O número 
de funcionários da Empresa A é 20; de B é 15; de C é 7; de D é 5 e de E é 3. 
a) Qual a probabilidade de cada uma das empresas ser selecionada? 
b) Qual é a probabilidade de a Empresa A não ser Selecionada? 
24) Se 4,0)( =AP e 5,0)( =BP , o que se pode dizer quanto a )( BAP ∪ se A e B são 
eventos mutuamente exclusivos? 
 
25) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; três peças são retiradas 
aleatoriamente, com reposição. Calcule: 
a. A probabilidade de todas serem defeituosas. 
b. A probabilidade de todas não serem defeituosas. 
c. A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa. 
26) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos leves e 2 com defeitos 
graves. Uma peça é escolhida aleatoriamente. Calcule a probabilidade de: 
a. Ela não tenha defeitos graves. 
b. Ela não tenha defeito. 
c. Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 
27) Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total 
de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nass respectivas 
máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça é selecionada aleatoriamente e verifica-se 
que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B? 
 
28) A probabilidade de o aluno X resolver um problema é de 3/5 e a do aluno Y 
resolver o mesmo problema é de 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja 
resolvido? 
 107
29) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: 
 
 Homem Mulher 
Menores 5 3 
Adultos 5 2 
 
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se: 
a. Qual a probabilidade de ser homem? 
b. Qual a probabilidade de ser adulto? 
c. Qual a probabilidade de ser mulher e menor? 
d. Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser 
homem? 
e. Dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor/ 
 
30) Suponha que um fabricante de sorvete recebe 20% de todo o leite que utiliza de 
uma fazenda 1F , 30% de uma outra fazenda 2F e 50% de 3F . Um órgão de 
fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa, e observou que 20% do leite 
produzido por 1F estava adulterado por adição de água, enquanto que para 2F e 3F , 
essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de sorvetes os 
galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das 
fazendas. Para um galão escolhido ao acaso, dado que ele foi adulterado, calcule: 
a) a probabilidade de que o leite tenha sido produzida pela fazenda 1F 
b) a probabilidade de que o leite tenha sido produzida pela fazenda 2F 
c) a probabilidade de que o leite tenha sido produzida pela fazenda 3F 
31) Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo 
aleatoriamente o ponto de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro 
local e, caso também não tenha sucesso, faz uma terceira e última tentativa. Admita 
probabilidade de 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa região. Calcule a 
probabilidade de: 
a) encontrar água na segunda tentativa. 
b) encontrar água em até duas tentativas 
c) encontrar água. 
 
32) Pastilhas utilizadas na fabricação de semicondutores podem estar 
contaminadas. A tabela a seguir apresenta um histórico de pastilhas produzidas por 
uma indústria. 
 
 Localização na ferramenta de recolhimento 
Contaminação Centro Borda Total 
Baixa 514 68 582 
Alta 112 246 358 
Total 626 314 
Selecionando-se aleatoriamente uma pastilha qual a probabilidade dela ter alta 
contaminação ou a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de recolhimento? 
 
 108
Distribuições de Probabilidade 
 
Variável Aleatória 
 
Definição 
 Sejam E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. 
Uma função X, que associe a cada elemento Ss ∈∈∈∈ um número real (((( ))))sX é 
denominada variável aleatória. 
 
Veja a ilustração 
 
 
Exemplo: 
E: Lançamento de duas moedas; 
X: Número de caras obtidas nas duas moedas; 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}k,k,c,k,k,c,c,cS ==== , onde c= cara e k= coroa; 
A variável aleatória X pode assumir os valores 0, 1 e 2. 
 
Outros exemplos de variáveis aleatórias: 
2. X: número de acidentes com aviões de uma determinada companhia; 
3. X: número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos; 
4. X: número de peças produzidas por uma empresa em determinado dia; 
5. X: altura de um adulto do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 
 
 109
 
Definições: 
Uma variável aleatória discreta admite um número finito de valores ou um 
número infinito enumerável de valores. 
 
Exemplo: 
a. O número de espectadores que vêem um filme. 
b. Número de peças produzidas em um dia. 
 
Uma variável aleatória contínua admite um número infinito de valores, e 
esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. 
 
Exemplo: 
a) A voltagem em uma pilha. 
b) Quantidade de leite em um copo. 
 
Distribuição de Probabilidade 
 
Dada uma variável aleatória discreta, podemos identificar: 
1) Quais os possíveis resultados podem ocorrer; 
2) Qual a probabilidade de cada resultado ocorrer. 
Por exemplo: No lançamento de duas moedas não viciadas, o número de caras 
possíveis e suas probabilidades é dada por: 
Tabela: Distribuição de probabilidade do nº 
de caras no lançamento de duas moedasNº de caras 
x 
Probabilidade 
0 1/4 
1 2/4 
2 1/4 
Total 1 
 
Assim, definimos: 
A Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é a descrição do 
conjunto de probabilidades associadas aos possíveis resultados de X. Podemos 
também chamá-la de função de probabilidade. 
Simbolicamente temos: ...,2,1)()( === icomxXPxp ii 
 
No caso do exemplo anterior temos: 
 110
4
1
)2X(P)2(p
4
2
)1X(P)1(p
4
1
)0X(P)0(p
===
===
===
 
O gráfico da distribuição de probabilidade é dada por: 
 
Gráfico: Distribuição de probabilidade do número 
de caras no lançamento de duas moedas 
 
A função de probabilidade deve satisfazer às seguintes propriedades: 
1) 0)( ≥ixp ; 
2) 1)( =∑
i
ixp . 
Função de distribuição acumulada 
 Podemos também representar uma distribuição de probabilidade por sua 
função de distribuição acumulada definida por: 
ℜ∈∀≤= xxXPxF ),()( 
onde ℜ é o conjunto dos números naturais. 
 
Obs.: A distribuição acumulada descreve a probabilidade de ocorrer um valor até x. 
Exemplo: No lançamento de duas moedas não viciadas, a distribuição acumulada do 
número de caras possíveis é dada por: 
( )









≤
≤
≤
=
21
1
4
3
0
4
1
xse
xse
xse
xF
 
 111
Tabela: Distribuição de probabilidade acumulada do nº 
de caras no lançamento de duas moedas 
Valores possíveis 
x 
Distribuição acumulada 
0 1/4 
1 3/4 
2 4/4 
 
Na tabela acima temos: 
( )
4
1
0)0()0( ===≤= XPXPF 
( ) ( )
4
3
10)1()1( ==+==≤= XPXPXPF 
( ) ( ) ( )
4
4
210)2()2( ==+=+==≤= XPXPXPXPF 
 
 O gráfico da distribuição acumulada da variável X = número de caras em dois 
lançamentos é: 
 
Gráfico: Distribuição acumulada de probabilidade do número 
de caras no lançamento de duas moedas 
 
 
Valor esperado 
A média ou valor esperado de uma variável aleatória X é dado por: 
∑
=
==
k
i
ii xpxXE
1
)(.)(µ 
 
Variância 
A variância de uma variável aleatória X é dada por: 
( ) 2222 )()( µµ −=−= ∑ ii xpxXEXVar 
 
 112
Exemplo: No lançamento de duas moedas não viciadas, a média e a variância são 
dadas por: 
Valores possíveis 
x 
Probabilidade 
p(x) 
( )ii xpx ⋅ 
 
( )i
2
i xpx ⋅
 
0 1/4 0 0 
1 2/4 2/4 2/4 
2 1/4 2/4 1 
Total 1 1 1,5 
 
Assim 
∑
=
==
k
1i
ii 1)x(p.xµ
 
5,015,1)X(E)X(Var
22 =−=−= µ
 
Exercícios 
1) Num lote de 8 celulares, 3 são defeituosas. Três celulares são retirados 
aleatoriamente com reposição para tese. Resolva: 
 
a) Encontre a distribuição de probabilidade associada a variável aleatória 
X = número de celulares defeituosos. 
b) Faça o gráfico do resultado obtido na letra a. 
c) Encontre a distribuição acumulada de X. 
d) Faça o gráfico do resultado obtido na letra c 
e) Encontre a média de celulares defeituosos, ou seja, a média de X. 
f) Encontre a variância do número de celulares defeituosos, ou seja, a variância de 
X. 
 
2) Considere o lançamento de um dado honesto. Encontre a distribuição de 
probabilidade associada ao resultado da face deste dado. 
3) Suponha ( )
5
x
xP = (onde x assume valores 0, 1, 2, 3). ( )xP Define uma 
distribuição de probabilidade? 
4) Suponha ( )
3
x
xP = (onde x assume valores 0, 1, 2). ( )xP Define uma distribuição 
de probabilidade? 
5) Suponha ( )
( )[ ]!x!x34
3
xP
−
= (onde x assume valores 0, 1, 2, 3). ( )xP Define uma 
distribuição de probabilidade? 
6) O peso de um livro escolhido aleatoriamente é uma variável aleatória discreta ou 
contínua? 
7) O custo de uma peça escolhida aleatoriamente é uma variável aleatória discreta 
ou contínua? 
 113
8) Suponha que a variável aleatória discreta x possa tomar os valores 1, 2, 3, ..., n e 
que esses valores sejam igualmente prováveis. Mostre que 
( )
2
1n +
=µ e 
( )
12
1n22 −=σ 
 
Pricipais propriedades: 
 Considere c constante e X e Y variáveis aleatórias. 
Média Variância 
E(c) = c V(c) = 0 
E(X+c) = E(X) + c V(X + c) = V(X) 
E(cX) = c E(X) V(cX) = c2 V(X) 
E(X+Y) = E(X) + E(Y) DP(cX) = |c| DP(X) 
E(X-Y) = E(X) - E(Y) 
 
 114
 
Distribuições discretas de probabilidade 
 
 Para motivar suponha a seguinte situação: 
A Empresa RS tem 12 funcionários, 4 são administradores. Três funcionários 
são selecionados aleatoriamente. Calcule: 
a) Qual a probabilidade de apenas um ser administrador, considerando seleções 
com reposição? 
b) Qual a probabilidade de o primeiro funcionário administrador ser o 3º funcionário 
selecionado, considerando seleções com reposição? 
 Cada uma destas perguntas tem uma solução diferente. Passaremos agora a 
explicar os métodos necessários para a solução das mesmas. 
 
I) Distribuição Binomial 
 
Premissas assumidas pelo modelo binomial: 
 
a) n provas (ou experimentos) independentes e do mesmo tipo são realizadas; 
b) cada prova admite apenas dois resultados: sucesso e falha; 
c) a probabilidade de sucesso em cada prova é p}sucesso{P = constante em todo o 
experimento. Neste caso consideramos amostragem aleatória com reposição. 
 
A probabilidade da variável X assumir certo valor x, pertencente ao conjunto {0, 1, 2, 
...} é dada por 
xnx pp
x
n
xXP −−





== )1.(.)( 
Onde p.n)X(E = e )p1.(p.n)X(Var −= . 
 
Exercícios: 
1) Numa empresa com 12 funcionários, 4 são administradores. Dois funcionários são 
selecionados aleatoriamente e com reposição. Calcule: 
a) Qual a probabilidade de ambos serem administradores? 
b) Qual a probabilidade de apenas um ser administrador? 
Solução: 
a) Sejam os eventos A: 1º funcionário é administrador e B: 2º funcionário é 
administrador. 
Usando probabilidade (regra da multiplicação) temos 
( )
9
1
12
4
12
4
=⋅=∩ BAP . 
Resolvendo usando a distribuição binomial temos: 
Seja o evento A: um funcionários é administrador e seja a variável aleatória X: 
número de administradores. Então ( )
12
4
pAP == . Assim a probabilidade de 
selecionar dois funcionários administradores é: 
9
1
144
16
)
12
8
.(
12
4
.
2
2
)
12
4
1.(
12
4
.
2
2
)2( 0
2
22
2
==











=−











== −XP 
b) Exercício 
 
 115
2) Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinado poluente 
orgânico. Considere que as amostras sejam independentes com relação à presença 
do poluente. Determine: 
a) a probabilidade de que nas próximas 18 amostras exatamente 2 contenham o 
poluente. 
b) a probabilidade de que no mínimo quatro amostras contenham o poluente. 
c) a probabilidade de que 73 <≤ X . 
Solução: 
a) ( ) 2835,0)1,01.(1,0.
2
18
)2( 218
2
=−





== −XP
 
b) ( ) ( ) 098,0)1,01.(1,0.
18
141)4(
3
0
18 =−





−=<−=≥ ∑
=
−
x
xx
x
XPXP
 
c) ( ) 265,0)1,01.(1,0.
18
)73(
6
3
18 =−





=<≤ ∑
=
−
x
xx
x
XP 
3) Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor 
apresentam algum tipo de defeito. Considerando um lote de 20 itens, calcule a 
probabilidade de (com reposição): 
a) haver algum item com defeito; 
b) haver exatamente dois itens defeituosos; 
c) haver mais de dois itens defeituosos; 
d) qual é o número esperado de itens defeituosos? 
e) e de itens bons? 
 
4) Considere que 7% das lâmpadas de certa marca são defeituosas. Numa amostra 
de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso e com reposição, encontre: 
 
a) a probabilidade de que tenhamos três lâmpadas defeituosas? 
b) qual o número médio de lâmpadas defeituosas? 
c) qual a variância do número de lâmpadas defetuosas? 
 
5) Seja X uma variável aleatória binomial com 10=n e 5,0=p . Determine as 
seguintes probabilidades: 
a) ( )5=XP 
b) ( )2≤XP 
c) ( )52 <≤ XP 
 
6) As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão 
ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam 
ocupadas em sucessivas chamadas sejam independentes. Considere que 10 
chamadas aconteçam. 
a) qual a probabilidade de que as linhas estejam ocupadas em exatamente três 
chamadas? 
b) qual é a probabilidade de que as linhas estejam ocupadas em no mínimo uma 
chamada? 
c) qual é o número esperado de chamadas em que as linhas estejam ocupadas?d) qual a variância do número de chamadas em que as linhas estejam ocupadas? 
 116
II) Distribuição geométrica 
 
Se um caso satisfaz todas as condições de um experimento binomial, exceto 
pelo fato de o número de provas não ser fixo, então aplicamos a distribuição 
geométrica. 
A distribuição geométrica se aplica quando estamos interessados na 
probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer em determinada prova. 
Para que o sucesso ocorra, por exemplo na ésimax − prova, deve-se ser precedido 
por 1x − fracassos, cuja probabilidade é ( ) 1xp1 −− .
 
A distribuição é chamada geométrica porque seus valores sucessivos 
constituem uma progressão geométrica. 
 Considere um experimento E e uma variável aleatória X com 
probabilidade de sucesso p. Se X tem distribuição geométrica, então a 
probabilidade de X obter sucesso na x-ésima prova é dada por 
 
( ) ( ) L,3,2,1,1 1 =−== − xppxXP x
 onde 
( )
( ) ( )
2
1
1
p
p
XVar
p
XE
−
=
=
 
 
 
Exercícios; 
1) Em uma loja de departamento existem 12 estagiários, 4 são estagiários de 
engenharia eletrônica. Seleciona-se aleatoriamente 5 funcionários, com reposição. 
Qual a probabilidade do primeiro estagiário de engenharia eletrônica ser o 3º 
estagiário a ser selecionado? 
Solução: A probabilidade de selecionar um estagiário de engenharia eletrônica é 
( ) 3333,0
12
4
==eletronicap
 
Escolhido 5 estagiários, a probabilidade do primeiro estagiário de engenharia 
eletrônica ser o 3º estagiário selecionado é 
( ) ( ) 1481,03333,013333,03 2 =−⋅==XP 
 
2) A probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande de contaminação é 
de 0,01. Se for considerado que as pastilhas sejam independentes, qual será a 
probabilidade de que exatamente 125 pastilhas necessitem ser analisadas antes que 
uma partícula grande seja detectada? 
Solução: 
Seja x: o número de amostras analisadas até que uma partícula grande seja 
detectada. Então X é uma variável aleatória geométrica com 01,0=p . A 
probabilidade então é: 
( ) ( ) ( ) 0029,001,099,0125 124 ===XP 
 
 117
3) A probabilidade de uma criança contrair uma doença contagiosa, à qual está 
exposta é 0,70. Qual é a probabilidade de a sétima criança exposta à doença ser a 
primeira a contraí-la? 
 
III) Distribuição de Poisson 
 
Suponha que queremos avaliar o número de ocorrência de um evento por 
unidade de tempo, de comprimento, de área, de volume, etc. 
 
Exemplo: 
a) número de consultas em uma base de dados por minuto; 
b) número de erros de tipografia em um formulário; 
Se tivermos: 
a) Independência entre as ocorrências do evento e 
b) Os eventos ocorrerem de forma aleatória, 
 
Então a probabilidade da variável aleatória X assumir um determinado valor é 
dada por 
...,1,0
!
.
)( ===
−
xcom
x
e
xXP
xλλ
 
Onde λ== )X(Var)X(E . 
 
 
Exercícios: 
1) Suponha que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente 
e aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto. Qual a probabilidade 
de que no próximo minuto ocorram: 
a) nenhuma consulta? 
b) uma consulta? 
c) duas consultas? 
d) menos do que três consultas? 
 
Solução: 
 Seja λ = taxa média = 3 consultas/min. 
a) Queremos a probabilidade de não ter consulta no próximo minuto, ou seja, 
x = 0. Assim 
0498,0
1
10498,0
!0
3.
)0(
03
=
⋅
===
−e
XP
 
Portanto a probabilidade de, no próximo minuto, ter nenhuma consulta é 0,0498. 
b) Queremos a probabilidade de ter 1 consulta no próximo minuto, ou seja, 
x = 1. Assim 
1494,0
1
30498,0
!1
3.
)1(
13
=
⋅
===
−e
XP
 
Portanto a probabilidade de, no próximo minuto, ter uma consulta é 0,1494. 
c) Queremos a probabilidade de ter 2 consultas no próximo minuto, ou seja, 
x = 2. Assim 
 118
2241,0
2
90498,0
!2
3.
)2(
23
=
⋅
===
−e
XP
 
Portanto a probabilidade de, no próximo minuto, ter duas consultas é 0,2241. 
 
d) Queremos ( ) ( ) ( ) 4233,02241,01494,00498,0210 =++==+=+= XPXPXP 
 
2) Suponha que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente 
e aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto. Qual a probabilidade 
de que nos próximos dois minutos ocorram mais do que 2 consultas? Resp.: 
 
3) Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média de 4. 
Determine: 
 
a) ( )4=XP 
b) ( )2≤XP 
 
4) O número de falhas na superfície de painéis de plástico usados no interior de 
automóveis tem uma distribuição de poisson, com uma média de 0,05 falha por pé 
quadrado de painel de plástico. Considere que o interior de um automóvel contém 10 
pés quadrados de painel plástico. (Obs.: um pé equivale a 30,48 cm) 
 
a) qual a probabilidade de não haver falha na superfície do interior do automóvel? 
Resp.: 0,6065 
b) Se 10 carros forem vendidos para uma companhia de aluguel de carros, qual será 
a probabilidade de no máximo um carro ter qualquer falha na superfície? Resp.: 
0,0404 
 
5) Tráfego de carros é tradicionalmente modelado como uma distribuição de 
Poisson. Um engenheiro de tráfego monitora o fluxo de carros em um cruzamento 
que tem uma média de 6 carros por minuto. 
Calcule: (Para estabelecer o tempo de um sinal, as seguintes probabilidades são 
usadas) 
 
a) Qual a probabilidade de três ou mais carros passarem pelo cruzamento em 30 
segundos? (Resp.: 0,5768) 
 
b) Calcule o número mínimo de carros que passam pelo cruzamento, em 30 
segundos, x , de modo que ( ) 90,0≥≤ xXP . 
 
 
 119
 
Distribuições contínuas de probabilidade 
 
Variável Aleatória Contínua 
Uma variável aleatória X é dita contínua quando ela assume qualquer valor 
real dentro de um intervalo. 
 Exemplos: 
1) Altura de uma pessoa; 
2) Tempo de viagem; 
3) Tempo de uma reação química; 
4) Volume de leite em um copo; etc 
 
Função de Densidade 
 
A função de densidade de probabilidade representa a probabilidade da 
variável aleatória X assumir determinado valor. 
É representada por )(xf 
 
Propriedades 
 Seja )(xf a função densidade de probabilidade da variável contínua X. Então 
)(xf deve satisfazer às seguintes propriedades: 
 
1) realxxf ∀≥ ,0)( 
2) 
1)( =∫
+∞
∞−
dxxf
 
3) Se [ ]baA ,= , então ∫=≤≤
b
a
dxxfbXaP )()( . 
 
 
 A função de densidade de probabilidade fornece uma descrição simples das 
probabilidades associadas a uma variável aleatória. 
 
 120
Exemplos: 
 
1) Considere a função ( ) 30,12 <≤+= xxxf . Verifique se a função ( )xf é função 
de densidade de probabilidade. 
 
2) Considere a função ( ) ( ) xexf x <= −− 4,4 . Verifique se a função ( )xf é função de 
densidade de probabilidade. 
 
3) Considere a função ( ) xexf x <= − 0, . Verifique se a função ( )xf é função de 
densidade de probabilidade. 
 
Função de distribuição acumulada 
 
 A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua X 
é: 
( ) ( ) ( )∫
∞−
=≤=
x
duufxXPxF 
Para ∞<<∞− x . 
 
 
Média de uma Variável Contínua 
Seja )(xf a função densidade de probabilidade da variável contínua X, então 
a média da variável X é dada por: 
∫
+∞
∞−
== dxxfxXE )(.)(µ 
 
Variância de uma Variável Contínua 
Seja )(xf a função densidade de probabilidade da variável contínua X, então 
a variância da variável X é dada por: 
∫
+∞
∞−
−== dxxfxXVar )(.)()( 22 µσ 
 121
 
Curva de Densidade 
 Uma curva de densidade é o gráfico de uma distribuição contínua de 
probabilidade e deve satisfazer as seguintes propriedades 
1. A área total sob a curva deve ser 1; 
2. Todo ponto da curva deve ter uma altura vertical não inferior a 0. 
 
 
 A seguir descrevemos alguma distribuições de probabilidade importantes. 
 
I) Distribuição Uniforme. 
 
Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme quando todos os seus 
valores possíveis tem a mesma probabilidade. 
 
 Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme de parâmetros α e 
β com αβ > se 




∉
∈
−=
],[,0
],[,
1
)(
βα
βα
αβ
xpara
xpara
xf 
A seguir apresentamos o gráfico da função de densidade uniforme no 
intervalo α e β . 
Gráfico: Curva de densidade de probabilidade 
Da variável X 
 
 
A mediae a variância de uma distribuição uniforme são dadas por: 
2
)(
βα +
=XE
 
12
)(
)(
2αβ −
=XVar 
 122
Exemplos: 
1) Um profissional de computação observou que seu sistema gasta entre 20 e 24 
segundos para realizar determinada tarefa, segundo uma distribuição uniforme em 
[20, 24]. Sua curva de densidade é dada por 
 
Gráfico: Curva de densidade da probabilidade 
de um sistema 
 
Exercício: 
1) Um profissional de computação observou que seu sistema gasta entre 20 e 24 
segundos para realizar determinada tarefa. Considere a probabilidade uniforme em 
[20, 24]. Resolva: 
a) Encontre, graficamente, a função densidade de probabilidade. 
b) )23( >XP . 
c) )(XE 
d) )(XVar . 
 
2) Seja a variável aleatória contínua X a corrente em um fio delgado de cobre, 
medida em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [ ]mA20,0 e considere que 
a função densidade de probabilidade de X seja ( )
20
1
=xf . 
a) Qual é a probabilidade de que uma medida da corrente seja menor que 10 mA? 
b) Determine x de modo que ( ) 95,0=< xXP . 
c) Determine ( )XE e ( )XVar . 
d) Calcule a função de distribuição de probabilidade acumulada. 
 
3) A função de densidade para o peso de pacotes entregues pelo correio é 
 
( )
269
70
x
xf = 
para 701 << x libras. 
 
Calcule: 
 
a) verifique que f é função de densidade de probabilidade; 
 
b) a probabilidade de ser entregue um pacote com peso entre 60 e 70 libras? 
 
 123
 
c) Determine a média do peso; 
 
d) Se o custo para despachar for R$ 5,00 por libra, qual será o custo médio para 
despachar um pacote? 
 
e) A variância do peso? 
 
II) Distribuição Exponencial 
 
Uma distribuição exponencial é utilizada quando queremos modelar a variável 
aleatória contínua que representa: 
a) Tempo até a próxima consulta a uma base de dados; 
b) Tempo entre pedidos a um servidor; 
c) Distância entre defeitos de uma fita. 
 
Sejam as variáveis aleatórias: 
tX = número de ocorrências no intervalo de tempo [0, t]; e 
T = tempo entre as ocorrências. 
Sendo λ a taxa média de ocorrências por unidade de tempo, então, considerando 
independência entre as ocorrências, T tem distribuição exponencial dada por: 
tetf ..)( λλ −= 
 
Onde a média é dada por 
λ
1
)( =TE 
e a variância é 2
1
)(
λ
=TVar
 
 
A curva de densidade da variável T com distribuição exponencial é dada por 
 
 
 124
A probabilidade entre o interval a e b é dada por ( ) ∫
−=≤≤
b
a
t.e.bTaP λλ . 
 
 
Exercícios: 
1) Seja a variável aleatória T definida como o tempo de resposta na consulta a um 
banco de dados, em minutos. Suponha que essa variável tenha a seguinte função 
densidade de probabilidade: 




<
≥
=
−
0,0
0,2
)(
2
tpara
tparae
tf
t
 
 
Calcule: 
a) A probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 minutos? 
b) Calcule )32( ≤≤ TP . 
 
Solução: 
a) ( ) 0025,00025,00.23
3.2.2
3
.2
3
.2 =+=+−=−==≥ −∞−∞−
∞
−
∫ eeedteTP
tt
. 
b) ( ) 0183,00025,0.232
2.23.23
2
.2
3
2
.2 +−=+−=−==≤≤ −−−−∫ eeedteTP
tt
 
 
( ) 0158,032 =≤≤ TP 
2) O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória T com 
distribuição exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas. 
a) Faça a curva de densidade. 
b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500 horas. Resp. 
0,3679 
c) Calcule a probabilidade de o transistor durar entre 300 e 1000 horas. Resp. 
0,4135 
 125
3) A função densidade de probabilidade do tempo em que clientes chegam a um 
terminal (em minutos depois de 8h) é 
( )
10
10
t
e
tf
−
= 
para t > 0. Determine a probabilidade de: 
a) o primeiro cliente chegar até 9h. 
b) o primeiro cliente chegar entre 8h15min e 8h30min. 
c) dois ou mais clientes chegarem antes das 8h40min, entre os cinco que chegam ao 
terminal. Considere que as chegadas dos clientes sejam independentes. 
d) determine a função de distribuição acumulada. 
 
4) Seja a variável aleatória X o diâmetro de um orifício perfurado em uma placa 
com componentes metálicos. O diâmetro-alvo é 12,5 milímetros. A maioria dos 
distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos 
mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função de densidadde 
de probabilidade 
( ) ( )5,122020 −−= xexf 
para 5,12≥x . Determine: 
a) Se uma peça com diâmetro maior que 12,60 mm for descartada, qual será a 
proporção de peças descartadas? 
b) Qual o diâmetro médio? 
c) Qual a variância? 
 
Sugestão: Utilize integração por parte ∫ ∫−= duvuvdvu 
 
 
 126
III) Distribuição Normal 
 
A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições pois descreve 
vários fenômenos físicos e financeiros. Serve também, através do “Teorema do 
Limite Central”, como aproximação de várias outras distribuições. 
É também conhecida como “Distribuição de Gauss ou Gaussiana”. Foi 
introduzida inicialmente pelo matemático Abraham de Moivre em um artigo de 1733. 
A denominação "curva em forma de sino" ou "curva de sino" foi introduzida 
por Esprit Jouffret que inicialmente utilizou o termo "superfície de sino" em 1872. 
A forma da distribuição normal é dada pelo gráfico a seguir 
 
Gráfico: Distribuição normal 
 
 
 
O nome "distribuição normal", foi dado por Charles S. Peirce, Francis Galton e 
Wilhelm Lexis, aproximadamente em 1875. 
É determinada por dois parâmetros: a média e a variância. 
 A seguir é dada a função matemática que descreve a distribuição normal. 
 
Função de densidade Normal 
Dados os parâmetros µ e 0>σ reais, a função de densidade de 
probabilidade da distribuição normal é dada por: 
2)(
2
1
.
2.
1
)( σ
µ
πσ
−
−
=
x
exf 
 
 
Média e Variância 
 A media e a variância da distribuição normal é dada por: 
µ=)(XE 
2)( σ=XVar 
 
 
 127
Como a distribuição normal é definida por dois parâmentros, média e variância, 
então para cada valor destes parâmetros temos uma distribuição diferente. A seguir 
apresentamos um exemplo 
 
 O cálculo de probabilidade usando a distribuição normal não é fácil devido ao 
tipo de função. Uma forma de contornar este problema é utilizar um caso especial da 
distribuição normal definida como “Distribuição Normal Padronizada”. 
A distribuição normal padronizada tem este nome pois sua média é 0 (zero) e 
a variância é 1 (um). Neste caso o gráfico da função de densidade fica centralizado 
na origem. 
Gráfico: Distribuição normal padronizada 
 
 
Propriedades da distribuição normal 
 
1) a curva é simétrica em torno da média; 
2) ( ) 0xflim
x
=
∞→
 
3) a área total sob a curva é igual a 1; 
 
área=1
área=0,5 área=0,5
 
 
 128
Comparação entre média e variância 
 
A
C
B
x
f(x)
 
a) da distribuição A para B muda a tendência central, mas a variabilidade é 
constante; 
b) da distribuição A para C muda a variabilidade, mas a tendência central é 
constante; 
c) da distribuição B para C muda a tendência central e a variabilidade. 
A figura a segui apresenta uma tabela da distribuição normal padronizada nos 
dá a área sobre o gráfico, ou seja, a probabilidade. 
 
 
 A seguir apresentamos alguns exemplos de como utilizar a tabela. 
Exemplo: Calcule 
1) 2422,0)65,00( =<≤ cZP 
2) 1844,0)48,00( =<≤ cZP 
3) 0889,01368,02257,0)35,00()60,00()60,035,0( =−=<≤−<≤=<≤ ccc ZPZPZP 
 129
 
Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição Normal ser 
completamente caracterizada por sua média e desvio-padrão é que a área sob a 
curva entre um ponto qualquer e a média é função somente do número de desvios-
padrões que o ponto está distante da média. 
 
Gráfico: Característica da distribuição normal 
 
 
Como existem uma infinidade de distribuições normais (uma para cada média 
e desvio-padrão), transformamos a unidade estudada seja ela qual for (peso, 
espessura, tempo, etc.) na unidade Z, que indica o número de desvios-padrão a 
contar da média. 
Para padronizar um conjunto de dados que tem distribuição normal é só 
aplicar a fórmula 
σ
µ−
=
X
z 
Exemplo 1: A resistência à tração do papel usado em sacolas de super-mercadoé 
uma característica de qualidade importante. 
Sabe-se que essa resistência segue um modelo Normal com média 40 psi e 
desvio padrão 2 psi. 
Se a especificação estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi, 
qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaça a 
especificação? 
{ } { }35XP135XP ≤−=≥ 
{ } { }5,2ZP
2
4035
ZP35XP −≤=





 −
≤=≤ 
Pela tabela da normal padronizada temos probabilidade de 0,0062. 
Logo a resposta é 1-0,0062 = 99,38%. 
 
 130
 
 
Exercícios 
1) Utilizando a tabela da distribuição normal padronizada calcule: 
a) ( )42,0zP < 
b) ( )75,0zP < 
c) ( )30,0zP −< 
d) ( )56,0zP > 
e) ( )72,0z25,0P << 
f) ( )20,0z25,0P <<− 
g) o valor de z tal que ( ) 90,0zZzP =<<− . 
 
2) Suponha que a absorção de água(%) em certo tipo de piso cerâmico tenha 
distribuição normal com média 2,5% e desvio-padrão 0,6%. Selecionando, 
aleatoriamente, uma unidade desse piso, qual é a probabilidade de ele acusar 
absorção de água entre 2% e 3,5%? 
3) Uma fábrica de chocolates comercializa barras que pesam em média 200g. Os 
pesos são normalmente distribuídos. Sabe-se que o desvio padrão é igual a 40g. 
Calcule a probabilidade de uma barra de chocolate, escolhida aleatoriamente, pesar 
a) entre 200 e 250g; 
b) mais de 230g; 
c) menos que 150g. 
4) Suponha que uma variável aleatória X tenha distribuição normal com média 5 e 
desvio-padrão 4. Calcule: 
( )8X2P <≤ 
 
 
 
 
 131
Distribuição Amostral 
 
 
 Retirado dos livros: Estatística aplicada á Administração, Stevenson e 
Introdução á Estatística, Triola. 
 
 Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidade que nos 
mostra como é a variação da estatística amostral ocasionada por variações na 
amostragem aleatória. 
 
Uma estatística amostral é qualquer função baseada nos dados amostrais 
de uma amostra aleatória. 
Uma estimativa é um valor específico, ou um intervalo de valores, numérico 
de uma estatística amostral. 
Um estimador é uma estatística amostral utilizada para obter uma 
aproximação de um parâmetro populacional. 
Exemplo: 
1) Estimador da média populacional µ : ∑
=
=
n
i
ix
n
x
1
1
. 
2) Estimador da variância populacional 2σ : 
























−
−
=
∑
∑ =
=
n
x
x
n
s
n
i
i
n
i
i
2
1
1
22
1
1
. 
Propriedade do estimador: 
 
Um estimador θ̂ é dito não tendencioso para o parâmetro populacional θ , se 
( ) θθ =ˆE 
Se o estimador θ̂ for tendencioso, então a tendenciosidade é dada por 
( ) θθ −= ˆtendencia E 
 
onde ( ) ∑ ==
i
ii xXPxXE )(. . 
 
 
 132
Para verificar se um estimador é ou não tendencioso deveremos calcular a 
esperança. Para o cálculo desta esperança algumas propriedades são 
fundamentais: 
 
E1) Se cX = , então ( ) cXE = ; 
Prova: X é uma variável aleatória discreta. Então ( ) cccXPcXE ==== 1.)(. . 
 
E2) Se baXY += é uma variável aleatória, então ( ) bXaEYE += )( . 
 
Quando estamos interessados em avaliar qual o melhor estimador entre 
vários, utilizamos o erro quadrático médio – EQM. A seguir temos a definição do 
EQM 
 
O erro quadrático médio de um estimador θ̂ do parâmetro θ é dado por 
( ) ( )2ˆˆ θθθ −= EEQM 
Ou 
( ) ( ) ( )2ˆˆ idadetendenciosVarEQM += θθ 
 
Algumas propriedades da variância: 
 
V1) Se cX = , então 0)( =XVar ; 
 
V2) )()( XVarbXVar =+ 
 
V3) )()( 2 XVarabaXVar =+ 
 
V4) )()()( 22 YVarbXVarabYaXVar +=+ 
 
 133
Para exemplificar estas propriedades, considere o exemplo a seguir. 
 
Exemplo: Seja o experimento lançar duas moedas. Considere a variável aleatória 
X : número de caras. 
A distribuição de probabilidade de X é dada por 
Tabela: dstribuição de probabilidade 
do número de caras 
X )( ixXP = 
0 0,25 
1 0,50 
2 0,25 
 
Temos que 1)( =XE e 5,0)( =XVar . 
Considere a variável aletória 13 += XY . Temos 
a) ∑
=
=+=
3
1
)()13()(
i
ii xXPxYE 
 25,0).12.3(50,0).11.3(25,0).10.3()( +++++=YE 
 4)( =YE 
Podemos verificar que 1)(.3)( += XEYE . 
b) 22 )]([)()( YEYEYVar −= . Mas 5,20)163(])13[()( 222 =++=+= XXEXEYE 
 
Assim, 5,4165,20)]([)()( 22 =−=−= YEYEYVar 
Podemos verificar que )(.3)( 2 XVarYVar = . 
 
OBS.: Resultado: Se X é uma variável aleatória e )(XgY = , então 
∑
=
===
n
i
ii xXPxXgYE
1
)().()( 
 134
Exemplo: (Montgomery) Seja 721 ,,, XXX K uma amostra aleatória de uma 
população com média µ e variância 2σ . Considere os seguintes estimadores: 
7
721
1
XXX +++
=
K
θ 
2
2 461
2
XXX +−
=θ 
Resolva: 
a) Verifique se os estimadores são não-tendenciosos para µ . 
b) Qual é o melhor estimador? 
 
Solução: 
a) A esperança do primeiro estimador é 
µ
µµµ
θ
=
+++
=
+++
=





 +++
=
7
7
)()()(
7
)(
721
721
1
K
K
K
XEXEXE
XXX
EE
 
A esperança do segundo estimador é 
( )
µ
µµµ
θ
=
+−
=
+−
=





 +−
=
2
2
2
)()()(2
2
2
461
461
2
XEXEXE
XXX
EE
 
Verificamos que os dois estimadores não são tendenciosos. 
b) Variância do estimador 1 
 135
2
222
2
721
721
1
7
1
49
7
)()()(
7
)(
σ
σσσ
θ
=
+++
=
+++
=





 +++
=
K
K
K
XVarXVarXVar
XXX
VarVar
 
Variância do estimador 2 
( )
( )
2
222
461
461
461
2
4
6
4
4
4
)()()(4
2
4
1
2
2
σ
σσσ
θ
=
++
=
++
=
+−=





 +−
=
XVarXVarXVar
XXXVar
XXX
VarVar
 
O melhor estimador é aquele que tem menor EQM. Como a tendenciosidade é nula 
para ambos estimadores, então 
( ) ( ) ( )
( )
2
1
2
11
7
1
ˆ
ˆˆ
σ
θ
θθ
=
=
+=
Var
idadetendenciosVarEQM
 
e 
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
22
4
6
ˆ
ˆˆ
σ
θ
θθ
=
=
+=
Var
idadetendenciosVarEQM
 
 Como ( ) ( )21 ˆˆ θθ EQMEQM < , então o melhor estimador é o primeiro. 
 
 136
Resultado 
Sejam nXXX ,,, 21 K variáveis aleatórias independentes com média µ e variância 
2σ . 
Considere nn XXXS +++= ...21 . Então 
2222 )( µσ nnSE n += 
Demonstração: 








= ∑∑
= =
n
i
n
j
jin XXESE
1 1
2)( 
∑∑∑
=
≠
==
+=
n
i
n
ij
j
ji
n
i
in XXEXESE
1 11
22 )()()( 
Como 222)( µσ +=iXE , )()()( jiji XEXEXXE = e 
2
1 1
)1()( µ−=∑∑
=
≠
=
nnXXE
n
i
n
ij
j
ji então 
2222 )( µσ nnSE n += . 
 
Exercícios 
1) Sejam nXXX ,,, 21 K uma amostra aleatória independente de uma população 
com média µ e variância 2σ . Considere o estimador 
∑
=
=
n
i
ix
n
x
1
1
 
a) Calcule a esperança, ( )xE ; 
b) Calcule a variância, ( )xVar ; 
c) Verifique se ele é tendencioso para µ . 
 
 137
2) Sejam nXXX ,,, 21 K uma amostra aleatória de uma população com média µ 
e variância 2σ . Considere os estimadores a seguir 
























−=
∑
∑ =
= n
x
x
n
s
n
i
in
i
i
2
1
1
22
1
1 




















−
−
=
∑
∑ =
= n
x
x
n
s
n
i
in
i
i
2
1
1
22
2
1
1
 
a) Calcule as esperanças, ( )21sE e ( )22sE ; 
b) Verifique se eles são tendenciosos para 2σ ; 
 
 
Solução: 
a) 
( )








































−=
∑
∑ =
= n
x
x
n
EsE
n
i
in
i
i
2
1
1
22
1
1
 
 
( )
























−=
∑
∑ =
= n
xE
xE
n
sE
n
i
in
i
i
2
1
1
22
1 )(
1
 
( )







 +
−+=
n
nn
n
n
sE
222
222
1 )(
1 µσ
µσ 
( ) [ ]222221 )(1 µσµσ nn
n
sE −−+= 
( ) [ ]222221 1 µσµσ nnn
n
sE −−+= 
( )
n
n
sE
2
2
1
)1( σ−
= 
 
 138
Tipos de estimativa 
 
Uma estimativa pontual é um valor único usado para aproximar um 
parâmetro populacional. 
 
Uma estimativa intervalar, ou intervalo de confiança, é uma amplitude de 
valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro 
populacional. 
 
O grau de confiança é a probabilidade α−1 de o intervalo de confiança 
conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. 
 
Um valor crítico é o número na fronteira que separa os valores das 
estatísticas amostrais prováveis deocorrerem, dos valores que têm pouca chance 
de ocorrer. 
 
Quando utilizamos dados amostrais para estimar um parâmetro populacional 
podemos cometer erros. A margem de erro, denotada por E, é a diferença máxima 
provável (com probabilidade α−1 ) entre o valor amostral e o verdadeiro valor 
populacional. A margem de erro E é chamada também de erro máximo da 
estimativa. 
Para entendermos o erro, tomemos o exemplo anterior com amostras de 
tamanho 2: 
Amostras Média 
Amostral 
Média 
populacional 
Erro 
1 e 4 2,5 2,5 0 
1 e 2 1,5 2,5 1 
1 e 3 2 2,5 0,5 
4 e 2 3 2,5 0,5 
4 e 3 3,5 2,5 1 
2 e 3 2,5 2,5 0 
 
 Neste caso o erro máximo foi de 1. 
 139
O quadro a seguir nos mostra como calcular os erros, o intervalo de confiança 
e o tamanho da amostra para uma população infinita. 
 
Parâmetro Cálculo do erro Intervalo de confiança Tamanho de 
amostra 
Média 
(σ conhecido) 
 ou 
(σ desconhecido e 
30>n ) 
 
Se σ conhecido 
n
zE
σ
α ⋅=
2
 
Se σ desconhecido 
n
s
zE ⋅=
2
α 
ExEx +<<− µ 2
2







 ⋅
=
E
z
n
σα
 
Média 
(σ desconhecido 
e 30<n ) 
n
s
tE ⋅=
2
α 
ExEx +<<− µ 2
2







 ⋅
=
E
st
n
α
 
Proporção 
n
qp
zE
ˆˆ
2
⋅= α 
EppEp +<<− ˆˆ 
2
2
2
ˆˆ
E
qpz
n




=
α
 
ou 
2
2
2
25,0
E
z
n




=
α
 
Variância ( ) ( )
2
2
2
2
2 11
LR
snsn
χ
σ
χ
−
<<
−
 
 
Tabelado 
 
 140
Quando trabalhamos com populações finitas e a amostragem constitui mais 
de 5% da população devemos aplicar o fator de correção, 
1−
−
N
nN
. Assim teremos: 
 
Parâmetro Cálculo do erro Intervalo de 
confiança 
Tamanho de amostra 
Média 
(σ conhecido) 
 ou 
(σ desconhecido 
e 30>n ) 
 
12 −
−
⋅=
N
nN
n
zE
σ
α 
ExEx +<<− µ 
)1(222
2
22
2
−+
=
NEz
Nz
n
σ
σ
α
α
 
Média 
(σ desconhecido 
e 30<n ) 
12 −
−
⋅=
N
nN
n
s
tE α 
ExEx +<<− µ 
)1(222
2
22
2
−+
=
NEst
Nst
n
α
α
 
Proporção 
1
ˆˆ
2 −
−
⋅=
N
nN
n
qp
zE α 
EppEp +<<− ˆˆ 
)1(222
2
22
2
−+
=
NEz
Nz
n
σ
σ
α
α
 
 
Exercícios: (Triola) 
 
1) Para as temperatura média do corpo humano temos 106=n , Fx º20,98= e 
Fs º62,0= . Para um nível de significância de 5% determine: 
a) a margem de erro E ; 
b) O intervalo de confiança para µ . 
 
2) Em uma amostra de sete carros, cada um foi testado em relação à emissão 
de óxido de nitrogênio (em gramas por milhas) e obtiveram-se os seguintes 
resultados 
0,06 0,11 0,16 0,15 0,14 0,08 0,15 
 141
Suponha que essa amostra seja representativa dos carros em uso, construa 
um intervalo de confiança de 98% de confiança para a quantidade média das 
emissões de oxigênio de nitrogênio para todos os carros. 
 
3) Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de 
trabalho de um bacharel por uma faculdade. Quantos valores de renda 
devem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de confiança em que a 
média amostral esteja a $500 da verdadeira média populacional? Suponha 
que saibamos, por um estudo prévio, que, para tais rendas, 6250$=σ . 
4) Deseja-se estimar o preço médio de venda de um livro-texto para uma 
faculdade. Quantos exemplares devemos selecionar, para termos 95% de 
confiança de que a média amostral esteja a menos de $2 da verdadeira 
média populacional? (Suponha que os preços variam entre $10 a $90. Use 
4/amplitude=σ ) 
 
5) Os pesquisadores de opinião são atormentados por uma diversidade de 
fatores de confusão, como secretárias eletrônicas. Em uma pesquisa junto a 
1068 americanos, 673 informaram ter secretária eletrônica (com base em 
dados da International Mass Retail Association, relatado em USA Today). 
Com esses resultados amostrais, determine: 
 
a) A estimativa pontual da proporção populacional de todos os americanos 
que têm secretária eletrônica; 
b) A estimativa intervalar de 95% da proporção populacional de todos os 
americanos que têm secretária eletrônica. 
6) Selecionados aleatoriamente e pesquisados 500 universitários, verificou-se 
que 135 deles têm computadores pessoais (com base em dados da America 
Passage Media Corporation). 
a) Determine a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os 
universitários que têm computador pessoal; 
b) Determine um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira proporção 
de todos os universitários que têm computador pessoal. 
 142
7) Um estudo de saúde envolve 1000 mortes selecionadas aleatóriamente, 
dentre as quais 331 causadas por doenças cardíacas (com base em dados 
do Center for Disease Control). 
a) Com os dados mostrais, construa um intervalo de confiança de 99% para 
a proporção de todas as mortes causadas por doenças cardíacas; 
b) Utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho 
de amostra necessário para estimar a proporção de todas as mortes 
causadas por doenças cardíacas. Admita um nível de confiança de 98%, 
em que o erro da estimativa não supere 0.01. 
8) No caso de estimativa da proporção quando temos uma população 
relativamente pequena, de tamanho N, e a amostragem é sem reposição, 
modificamos o erro para 
1
ˆˆ
2 −
−
⋅=
N
nN
n
qp
zE α 
Mostre que o o tamanho da amostra pode ser encontrada por 
( ) 2
2
2
2
2
1ˆˆ
ˆˆ
ENzqp
zqpN
n
−+








=
α
α
 
9) Uma amostra consiste de 71 aparelhos de televisão adquiridos há vários 
anos. Os tempos de substituição desses aparelhos têm média de 8.2 anos e 
desvio-padrão de 1.1 anos ( com base em dados de “Getting Things Fixed,” 
Consumer Reports). Construa um intervalo de confiança de 90% para o 
desvio-padrão dos tempos de substituição de todos os aparelhos de TV 
daquela época. 
10) Um artigo de jornal inclui um gráfico mostrando que certos dados amostrais 
são distribuídos normalmente. 
a) Inadvertidamente, omitiu-se o grau de confiança quando foi dado o 
intervalo de confiança de 944.35581.7 2 << σ . Determine o grau de 
confiança sendo 8.3;2.45;20 === sxn . 
b) Dá-se o seguinte intervalo de confiança: 6816.361.19 << σ . Determine o 
seguinte valor do desvio-padrão, que foi omitido. Use 95% de confiança e 
20=n . 
 
 143
11) (Montgomery) Suponha que 1θ̂ e 2θ̂ sejam dois estimadores do parâmetro 
θ . Sabemos que ( ) θθ =1ˆE , ( )
2
ˆ
2
θ
θ =E , ( ) 10ˆ1 =θVar e ( ) 4ˆ2 =θVar . Qual o 
melhor estimador? 
12) (Montgomery) 
a) Mostre que ( )∑
=
−=
n
i
i XX
n
s
1
22 1 é um estimador tendencioso para 2σ . 
b) Qual é a tendenciosidade? 
c) O que acontece com a tendência a medida que o tamanho da amostra 
aumenta? 
 
Distribuição amostral da média 
 
Para entendermos como é o comportamento da amostra considere o exemplo a 
seguir. 
Exemplo: considere uma população formada pelos elementos 
 
1 4 2 3 
 
Percebemos que a média populacional é de 2,5. 
Vamos então analisar a distribuição amostral da média. Para isso suponha 
todas as amostras de tamanho 2 sem reposição. 
Temos 62,4 =C amostras representadas no quadro a seguir 
 
Amostras Média 
1 e 4 2,5 
1 e 2 1,5 
1 e 3 2 
4 e 2 3 
4 e 3 3,5 
2 e 3 2,5 
 
 144
Percebemos que em 2 amostras das 6 (33,33%) encontramos o verdadeiro 
valor da média populacional. As outras 4 amostras não encontramos a verdadeira 
média, no entanto servem como uma aproximação. 
 
Poderíamos, por exemplo, tomar amostras de tamanho 3 sem reposição. 
Neste caso teremos 43,4 =C amostras representadas no quadro a seguir 
 
Amostras Média 
1, 4 e 2 
3
7
 
1, 4 e 3 
3
8
 
1, 2 e 3 
3
6
 
4, 2 e 3 
3
9
 
 
Neste caso percebemos que nenhuma amostra tem média igual à média 
populacional. 
 
 
Teorema Central do Limite 
Se nXXX ,,, 21 L for uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma 
população (finita ou infinita), com média µ e variância 2σ , e se X for a média 
amostral, então a forma limite da distribuição de 
n
X
Z
σ
µ−
= 
quando n tende ao infinito, é a distribuição normal padrão. 
 
 145
Ou: 
 
Teorema Central do LimiteSe extrairmos todas as amostras aleatórias possíveis, de tamanho n, de uma 
população com média µ e variância 2σ , a média das médias se denota por 
x
µ ; 
assim, 
 
µµ =
x
 
Por sua vez, o desvio-padrão das médias amostrais se denota por 
x
σ ; então, 
 
n
x
σ
σ = 
 
OBS.: (Triola) 
1) O teorema central do limite se aplica quando estamos em face de uma 
distribuição de médias amostrais. Utilizamos o teorema quando o tamanho da 
amostra é maior do que 30 ou quando a população original tem distribuição normal. 
 
2) No caso de amostragem sem reposição, quando o tamanho n da amostra é 
superior a 5% do tamanho N da população finita (isto é, Nn 05,0> ), ajustamos o 
desvio-padrão da média amostral 
x
σ multiplicando o pelo fator de correção para 
população finita: 
1−
−
N
nN
 
 
3) (Stevenson) A figura a seguir nos mostra o efeito do tamanho da amostra sobre a 
distribuição amostral. A distribuição binomial foi utilizada como parâmetro de 
referência. A probabilidade de sucesso foi mantida constante e variou-se o tamanho 
da amostra. Percebemos que à medida que o tamanho da amostra cresce a 
distribuição amostral das proporções tende a uma distribuição normal. Percebe-se 
 146
também que a variabilidade decresce. Observamos que a média da distribuição 
amostral é sempre igual a proporção. 
 
 
 147
1) (Stevenson) A próxima figura nos dá uma idéia do comportamento da 
distribuição amostral considerando a distribuição da população. 
 
 
 
 148
Exemplo: Voltando ao exemplo da população formada pelos elementos 
 
1 4 2 3 
 
e considerando todas as amostras possíveis de tamanho 2 
 
Amostras Média 
1 e 4 2,5 
1 e 2 1,5 
1 e 3 2 
4 e 2 3 
4 e 3 3,5 
2 e 3 2,5 
 
podemos observar que: 
a) Se calcularmos a média das médias (média entre os elementos) 
2,5 1,5 2 3 3,5 2,5 
 
encontramos 5,2=
x
µ que corresponde à média populacional µ . Assim temos, de 
acordo com o teorema, que µµ =
x
. 
b) Considerando os dados populacionais (1,4,2,3) encontramos 
( )
( )
2
5
4
10
30
4
1
1
2
2
2
22
=








−=








−=
∑
∑
σ
σ
σ
N
x
x
N
 
Como o tamanho da amostra é 2=n e o tamanho da população é 4=N , 
verificamos que Nn 05.0> . Assim devemos aplicar o fator de correção, 
encontrando 
1−
−
=
N
nN
n
x
σ
σ . De fato: 
 
 149
6
15
32
5
3
2
2
1
2
5
3
2
2
2
5
14
24
2
2
5
1
=
=
⋅⋅=
=
−
−
=
−
−
=
N
nN
n
x
σ
σ
 
 
 No entanto vemos que, considerando os dados populacionais (pois são todas 
as amostras) 
2,5 1,5 2 3 3,5 2,5 
 
encontramos: 
( )
( )
6
15
36
15
6
225240
6
1
6
15
40
6
1
1
2
2
2
2
2
22
=
=



 −
=








−=








−=
∑
∑
x
x
x
x
x N
x
x
N
σ
σ
σ
σ
σ
 150
Exercícios: 
1) (Triola) Na engenharia humana e no projeto de produtos, freqüentemente é 
importante considerar os pesos das pessoas, de modo que não haja sobrecarga em 
aviões ou elevadores, as cadeiras não quebrem, e não ocorram outros 
acontecimentos perigosos ou embaraçosos. Dado que a população de homens tem 
pesos distribuídos normalmente com média de 173 lb e desvio-padrão de 30 lb (com 
base em dados do National Health Survey dos EUA), determine a probabilidade de 
que: 
 
a) Um homem escolhido aleatoriamente pese mais de 180 lb; 
b) Em 36 homens escolhidos aleatoriamente, o peso médio seja superior a 180 
lb. 
c) Refaça a letra (b) supondo a população de homens igual a 500=N . 
 
2) Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 
100 ohms e um desvio-padrão de 10 0hms. A distribuição de resistências é normal. 
Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores ter uma 
resistência média menor que 95 ohms. 
 
3) Uma população consiste nos valores 2, 3, 6, 8, 11, 18. 
 
a) Determine µ e σ ; 
b) Relacione todas as amostras de tamanho 2=n que podem ser obtidas sem 
reposição; 
c) Determine a população de todos os valores de x achando a média de cada 
amostra da parte (b); 
d) Ache a média 
x
µ e o desvio-padrão 
x
σ ; 
e) Verifique que 
 
µµ =
x
 e 
1−
−
=
N
nN
n
x
σ
σ 
 
 151
4) O calor liberado, em calorias por grama, de uma mistura de cimento tem 
distribuição aproximadamente normal. A média deve ser 100 e o desvio-padrão é 2. 
Desejamos testar 
 
100:
100:
1
0
≠
=
µ
µ
H
H
 
 
com uma amostra de tamanho 9 espécimes. 
 
Suponha que a região de aceitação é definida como 5,1015,98 ≤≤ X . Encontre a 
probabilidade do erro tipo 1 ocorrer. 
 
5) (Stevenson) Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria 
tem uma vida média de 50 meses. Sabe-se que o desvio-padrão correspondente é 
de 4 meses. Coleta-se uma amostra de tamanho 36. Que porcentagem destas 
amostras acusará vida média no intervalo de 49 a 51 meses, admitindo ser 50 
meses a verdadeira vida média das baterias?
 152
Teste de Hipótese Paramétrico 
 
Teste de Hipótese 
 
Em Estatística, uma hipótese é uma afirmação sobre uma propriedade de 
uma população. 
Podemos estar interessados em saber informações sobre a média, a 
proporção ou a variância. 
 
Componentes de um teste de hipótese 
 
1) Hipótese nula - 0H : é uma afirmação sobre o valor de um parâmetro 
populacional. Deve conter o sinal de igualdade e deve escrever-se como ≥≤= ,, . 
2) Hipótese alternativa - 1H : é a afirmação que deve ser verdadeira se a hipótese 
nula for falsa. Não deve conter o sinal de igualdade. 
 
Exemplos: 
a) Testar a afirmação de que a média populacional é 75. 
Solução: Neste caso temos 75:0 =µH e 75:1 ≠µH . 
 
b) Testar a afirmação de que a média é no máximo 2,50. 
Solução: Neste caso temos 50,2:0 ≤µH e 50,2:1 >µH . 
 
3) Erro tipo I: Consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. 
 
 
 
0H verdadeira 0H falsa 
Rejeita 0H Erro tipo I Acerto 
Não rejeita 0H Acerto Erro tipo II 
 
 
4) Nível de significância - α : A probabilidade do erro tipo I ocorrer. 
5) Erro tipo II: Consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. 
6) A probabilidade de ocorrer o erro tipo II é β . 
7) Estatística de teste: É uma estatística amostral baseado nos dados amostrais. 
8) Região crítica: É o conjunto de todos os valores da estatística de teste que 
levam à rejeição da hipótese nula. 
9) Valor Crítico: É o valor, ou valores, que separa(m) a região crítica dos valores 
da estatística de teste que não levam à rejeição da hipótese nula. 
 
 153
Conclusões no teste de hipótese 
 
Em um teste de hipótese concluímos por: 
• rejeitar a hipótese nula ou 
• não rejeitar a hipótese nula. 
 
 
Tipos de teste 
 
• Bilateral (sinal de 1H : ≠ ): a região crítica está situada nas duas regiões. 
Neste caso cada área tem valor 
2
α
. 
 
 
• Unilateral esquerdo (sinal de 1H : <): a região crítica está situada na parte 
esquerda. Neste caso ( ) α=ItipoErroP . 
 
 
• Unilateral direito (sinal de 1H : >): a região crítica está situada na parte direita. 
( ) α=ItipoErroP . 
 
 154
Exercícios 
 
1) Para cada teste a seguir contrua a região crítica, encontre os valores críticos 
e diga o tipo de teste. 
a) 



>
≤
5:
5:
1
0
µ
µ
H
H
 com nível de significância de 2%, n=64 
b) 



≠
=
3:
3:
1
0
µ
µ
H
H
 com nível de significância de 5%, n= 100 
c) 



<
≥
75,2:
75,2:
1
0
µ
µ
H
H
 com nível de significância de 5%, n=120 
d) 



≠
=
5,6:
5,6:
1
0
µ
µ
H
H
 com nível de significância de 2%, n= 36 
 
 
 155
Teste de uma afirmação sobre uma média populacional: Fluxograma 
 
 
 
 156
Teste de uma afirmação sobre uma média populacional: σ conhecido 
 
 Considere uma amostra razoavelmente grande ( 30≥n ) para valer o teorema 
central do limite, ou que os dados provenham de uma distribuição aproximadamente 
normal. Para testarmos alguma informação com respeito à média populacional 
utilizamos a estatística de teste dada por: 
 
Estatísticade teste 
 
n
x
z x
σ
µ−
= 
Os valores críticos são encontrados na Tabela A – 2 
 
Obs.: Caso σ seja desconhecido podemos substituí-lo por s . 
 
Notação 
x : média amostral; 
x
µ : média populacional. 
σ : variância populacional; 
n : tamanho da amostra; 
 
 
Exemplo: 
 O tempo médio entre falhas de um rádio da Telektronic Companhy para 
aviões de pequeno porte é 420 horas. Após terem sido modificados 35 aparelhos de 
rádio, em uma tentativa de melhorar sua confiabilidade, os testes acusaram um 
tempo médio de 385 horas para esta amostra, com desvio-padrão de 24 horas. Ao 
nível de significância de 0,05, teste a afirmação de que o tempo médio, após as 
modificações, é menor que 420 horas . 
 
Solução: 
a) As hipóteses são: 



<
≥
420:
420:
1
0
µ
µ
H
H
 
 157
b) O teste é unilateral esquerdo, pois o sinal de 1H é <. 
c) O nível de significância é 05,0=α ; 
d) Os valores críticos são 645,1=αz ; Logo temos: 
 
e) Os dados amostrais são: 385=x e 24=s ; 
f) Como n=35 ( 30≥n ), a estatística de teste é dada por: 
 
63,8
35
24
420385
−=
−
=
−
=
n
x
z x
σ
µ
 
 
g) Conclusão: Como a estatística de teste está na dentro da região crítica, então 
rejeitamos 0H . 
Exercícios 
 
1) O gerente de uma empresa de transporte suspeita da afirmação de um 
vendedor de pneus de que o seu produto tem uma vida média de, ao menos, 
28 000 milhas. Para verificar a afirmação, a firma instala 40 desses pneus em 
seus caminhões, obtendo uma vida média de 27 563 milhas, com desvio-
padrão de 1 348 milhas. Qual a conclusão do gerente, se a probabilidade de 
um erro tipo I deve ser 0.01? 
 
2) A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é 1615 horas. 
Por similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio-
padrão igual a 120 horas. Utilizando um nível de significância de 2 %, teste a 
afirmação de que a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é igual 
a 1600 horas. 
 158
Teste de uma afirmação sobre uma média populacional: σ desconhecido 
 
Considere uma amostra pequena ( 30<n ). Suponha que: 
a) os dados provenham de uma distribuição normal 
b) o desvio-padrão populacional σ é desconhecido. 
Para testarmos alguma informação com respeito à média populacional 
utilizamos a estatística de teste dada por: 
 
Estatística de teste 
 
n
s
x
t x
µ−
= 
Os valores críticos são encontrados na Tabela A – 3 
O número de Graus de liberdade = n – 1 
 
Obs.: Caso a variância populacional σ seja conhecida então devemos utilizar a 
distribuição normal, independentemente do tamanho da amostra. 
n
x
z x
σ
µ−
= 
Exemplo: 
 Os sete valores relacionados a seguir são cargas axiais (em libras) da 
primeira amostra de sete latas de alumínio de 12oz. A carga axial de uma lata é o 
peso máximo que seus lados podem suportar, e deve ser superior a 165 libras, 
porque esta é a pressão máxima aplicada quando se fixa a tampa no lugar. Ao nível 
de significância de 0,01, teste a afirmação do engenheiro supervisor de que esta 
amostra provém de uma população com média superior a 165 libras. 
 
270 273 258 204 254 228 282 
 
 
Solução: 
a) As hipóteses são: 



>
≤
165:
165:
1
0
µ
µ
H
H
 
 159
b) O teste é unilateral direito, pois o sinal de 1H é >; 
c) O nível de significância é 01,0=α ; 
d) O valor do grau de liberdade é de 7-1 = 6. Logo o valor crítico é 143,3=αt ; 
Logo temos: 
 
 
 
e) Os dados amostrais são: 7,252=x e 6,27=s ; 
 
Como n = 7 ( 30<n ), a estatística de teste é dada por: 
 
407,8
7
6,27
1657,252
=
−
=
−
=
n
s
x
t x
µ
 
 
f) Conclusão: Como a estatística de teste está na dentro da região crítica, então 
rejeitamos 0H . 
Exercícios 
 
1) Admitindo que a pressão sanguínea arterial em homens siga o modelo 
Normal, 7 pacientes foram sorteados e tiveram sua pressão medida obtendo 
os seguintes resultados: 
 
82 - 84 - 78 - 85 - 69 - 80 - 75 
 
 Utilizando um nível de significância de 0,02 , teste a afirmação de a média da 
 pressão sanguínea é de 82. 
 160
2) O inspetor de qualidade da JF Construções mediu 25 barras de aço e obteve 
as seguintes medidas em metros: 
 
4,51 5,38 4,84 5,33 4,74 4,99 5,15 5,52 5,82 5,45 
4,68 4,74 5,53 5,40 4,72 4,97 5,24 4,94 4,75 5,50 
4,81 5,25 4,86 4,93 4,95 
 
Pode-se afirmar, com com nível de significância de 5%, que tais barras foram 
sacadas de um lote cujo comprimento médio é de 5,00 metros? 
 
Teste de uma afirmação sobre variância 
 
Ao testar uma hipótese sobre a variância 2σ de uma população, admitimos 
que os valores da população sejam distribuídos normalmente. 
 
Notação 
 
n = tamanho da amostra 
2s = variância amostral 
2σ = variância populacional 
 
Para testar uma informação sobre a variância 2σ a estatística de teste é dada 
por: 
 
Estatística de teste 
( )
2
2
2 1
σ
χ
sn ⋅−
= 
Os valores críticos são encontrados na Tabela A – 4 
O número de Graus de liberdade = n – 1 
 
 
 
 161
 
Exemplo: 
 O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia 
segundo um modelo normal, com média 7,4 segundos e variância 1,3 segundos 
quadrados. Depois de algumas mudanças na rede, acredita-se numa redução no 
tempo de transmissão de dados, Além de uma possível mudança na variabilidade. 
Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e foram 
coletados os tempos de transmissão, em segundos: 
 
6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,3 6,6 6,3 
 
Resolva: 
a) Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de computadores 
alteraram a variabilidade no tempo de transmissão de dados? Ao nível de 
0,05. 
b) Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de computadores 
alteraram o tempo médio de transmissão de dados? Ao nível de 0,05 
 
Solução da letra a: 
 
a) As hipóteses são: 




≠
=
3,1:
3,1:
2
2
0
1
σ
σ
H
H
 
b) O teste é bilateral direito, pois o sinal de 1H é ≠ ; 
c) O nível de significância é 05,0=α ; 
d) O valor do grau de liberdade é de 10-1 = 9. Logo os valores críticos são 
700,22 =χ e 023,192 =χ ; Logo temos: 
 162
 
 
 
 
e) Os dados amostrais indicam: 261,02 =s ; 
f) a estatística de teste é dada por: 
 
807,1
3,1
261,0)110(2 =
⋅−
=χ 
 
g) Conclusão: Como a estatística de teste está na dentro da região crítica, então 
rejeitamos 0H . 
 
Exercícios 
 
1) A cofap alega que a variância da vida média de seus amortecedores é de nove 
meses. A Chevrolet ensaia 18 peças e encontra variância de um ano para a vida 
média das referidas peças. A 5% de significância, a alegação da Cofap está correta? 
 
2) Um laboratório fez oito determinações da quantidade de impurezas em porções 
de certo composto. Os valores eram (em mg): 
 
12,4 – 12,6 – 12,0 – 12,0 – 12,1 – 12,3 – 12,5 – 12,7 
 
 Teste a hipótese de que o desvio-padrão é 1, ao nível se significância de 0,05. 
 
 163
3) Uma máquina de enchimento automático é usada para encher garrafas com 
detergente líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância 
amostral de volume de enchimento de 0,0153 (onça fluida)2. Se a variância do 
volume de enchimento exceder 0,01 (onça fluida)2, existirá uma proporção 
inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo e cujo enchimento foi em 
demasia. 
Há evidência nos dados da amostra que sugira que o fabricante tenha um problema 
com garrafas cheias com falta e excesso de detergente? Use nível de significância 
de 5%. 
 
Observação: 
Quando vamos trabalhar com graus de liberdade cujos valores críticos não são 
tabelados podemos aproxima-los utilizando a fórmula a seguir 
 
( )22 12
2
1
−+= kzχ 
onde 
k é o número de graus de liberdade 
z é o valor crítico, encontrado na tabela normal padronizada. 
Exemplo: 
1) Suponha que queiramos fazer o teste 




<
≥
21,1:
21,1:
2
2
0
1
σ
σ
H
H
 
com 05,0=α e 120=n teremos: 
a) 119=k 
b) 645,1−=zc) ( ) ( ) 529,9411192645,1
2
1
12
2
1 222 =−×+−=−+= kzχ 
 
 
 
 164
Teste de hipótese para proporção 
 
 O teste para proporção é aplicado em situações nas quais queremos verificar 
se a proporção de algum atributo na população pode ser igual a certo valor 0p . 
SUPOSIÇÕES: 
1) São verificadas as condições para um experimento binomial. Isto é, temos um 
número fixo de provas independentes com probabilidade constante, e cada 
prova comporta dois resultados, que designamos “sucesso” e “falha”. 
 
2) As condições 5≥np e 5≥nq são ambas verificadas, de modo que a 
distribuição binomial das proporções amostrais pode ser aproximada por uma 
distribuição normal com np=µ e npq=σ . 
 
NOTAÇÃO: 
n : número de provas; 
p : proporção populacional (usada na hipótese nula); 
n
x
p =ˆ : proporção amostral; 
pq −=1 
 
 
 A estatística de teste é dada por: 
ESTATÍSTICA DE TESTE: 
n
pq
pp
z
−
=
ˆ
 
 Os valores críticos são obtidos na tabela A – 2 (distribuição normal 
padronizada). 
 
 165
Exemplos: 
1) Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua 
linha de produção para análise da qualidade. As peças da amostra são 
classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa 
exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais de 
1,5% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove 
peças defeituosas. Usando nível de significância de 1%, o processo precisa 
ser revisto? 
Solução: 
h) As hipóteses são: 



>
≤
015,0:
015,0:
1
0
pH
pH
 
i) O teste é unilateral direito, pois o sinal de 1H é > . 
j) O nível de significância é 01,0=α ; 
k) O valor crítico é 33,2=αz ; Logo temos: 
 
 
 
l) Os dados amostrais são: 018,0
500
9
ˆ ==p 
m) Critérios para a aproximação normal: 
 
5,7015,0500 =⋅=⋅ pn e 
5,492985,0500)015,01(500 =⋅=−⋅=⋅qn 
 
n) Estatística de teste é dada por: 
 
 166
552,0
005436,0
003,0
500
985,0015,0
015,0018,0ˆ
==
⋅
−
=
−
=
n
pq
pp
z 
 
o) Conclusão: Como a estatística de teste está fora da região crítica, então não 
rejeitamos 0H . 
 
2) Em um estudo da eficácia do air-bag em automóveis, constatou-se que, em 
821 colisões de carros de tamanho médio equipados com air-bag, 46 colisões 
resultaram em hospitalização do motorista. Ao nível de significância de 0,01, 
teste a afirmação de que a taxa de hospitalização nos casos de air-bag é 
inferior à taxa de 7,8% para colisões de carros de tamanho médio equipados 
com cintos automáticos de segurança. 
3) O controle estatístico de certo processo de fabricação de determinada 
lâmpada estabeleceu que pelo menos 94% delas têm que estar sem defeito. 
Para verificar a validade desta afirmação, foi coletada uma amostra de 150 
lâmpadas das quais 138 estavam sem defeito. 
Com 1% de significância, há evidência de que o processo está de acordo com 
o esperado? 
 
 167
Teste de hipótese não-paramétrico 
 
 
 Os testes não-paramétricos são utilizados quando não temos 
informação sobre a distribuição da população. 
 
Vantagens- Menos suposições são necessárias. Em muitos casos, apenas 
dados nominais (categóricos) ou ordinais (ranks) são necessários, ao invés de 
numéricos (intervalares). 
 
Desvantagens- Freqüentemente preferimos ter um modelo bem definido 
com parâmetros importantes tais como média e variância incluídas para melhor 
interpretação. 
 
São vários os tipos de testes não-paramétricos: 
 
� Teste dos sinais; 
� Teste de postos com sinais de Wilcoxon para duas amostras 
dependentes; 
� Teste da soma de postos de Wilcoxon para duas amostras 
independentes; 
� Teste de kruskal-Wallis; 
� Correlação por postos; 
� Teste de repetições para aleatoriedade; 
� Teste do qui-quadrado; 
� Teste do qui-quadrado para independência ou associação; 
� Teste de Mann-Whitney; 
� Teste da mediana; 
 
 
Não se refere à distribuição da estatística de teste, mas ao fato de que os 
métodos podem ser aplicados a amostras de populações de qualquer distribuição. 
Esta deve ser especificada apenas em termos gerais (ser continua, simétrica, 
 168
idêntica) sem precisar pertencer a alguma família (como normal, uniforme, 
exponencial, etc). 
 
QUANDO PRECISAMOS DOS MÉTODOS NÃO PARAMÉTRICOS? 
 
Mesmo se o teste paramétrico não depende crucialmente da suposição de 
que a amostra vem de uma distribuição particular, se há alguma dúvida quanto a 
isso o teste não paramétrico, depende de suposições mais fracas, é preferível. 
Métodos não paramétricos são usualmente os únicos disponíveis para dados que 
simplesmente especificam ordem ou contagem em várias categorias. 
 
Teste de Correlação por postos 
 
Referência: TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 
 
 O teste de correlação por postos pode ser utilizado para verificar se existe 
alguma associação entre duas variáveis. 
 A taxa de eficiência do teste é de 91%. 
 
Notação: 
 
sr : coeficiente de correlação por postos para dados amostrais emparelhados; 
sρ : coeficiente de correlação por postos para todos os dados populacionais 
emparelhados; 
n : número de pares de dados; 
d : diferença entre postos para as duas observações dentro de um par. 
 
 
 O índice s é utilizado em homenagem a Charles Spearmen (1863 - 1945). 
 Ao testar se há ou não correlação, testamos as seguintes hipóteses: 
 



≠
=
0:
0:
1
0
s
s
H
H
ρ
ρ
 
 169
 
 
Estatística de teste 
 
 A estatística de teste é dada por: 
 
)1(
6
1
2
2
−
−=
∑
nn
d
rs 
onde cada valor de d é uma diferença entre os postos para um par de dados 
amostrais. 
 
Valores críticos: 
 
Se 30≤n , consulte tabela A – 9. 
Se 30>n , use a fórmula 
1−
±
=
n
z
rs 
onde o valor de z corresponde ao nível de significância 
 
OBS.: Caso haja empate nos postos basta: 
a) achar a média dos postos envolvidos; 
b) atribuir o posto médio a cada um dos valores empatados. 
 
 170
Exemplos 
 
1) A tabela a seguir apresenta 9 dados do volume desgastado do aço e da 
viscosidade do óleo. 
 
Volume desgastado 
Y (10-4 mm3) 
Viscosidade 
X 
240 1,6 
181 9,4 
193 15,5 
155 20 
172 22 
110 35,5 
113 43 
75 40,5 
94 33 
 
Há correlação entre as duas variáveis? Use 05,0=α . 
Solução: 
Passo 1: As hipóteses são 



≠
=
0:
0:
1
0
s
s
H
H
ρ
ρ
 
Passo 2: Nível de significância é 05,0=α 
Passo 3: Utilizaremos estatística não-paramétrica pois não temos informação sobre 
a população original. 
Passo 4: Estatística de teste: 
 
Volume desgastado 
Y (10-4 mm3) 
Viscosidade 
X Posto Y Posto X 
d 2d 
240 1,6 9 1 8 64 
181 9,4 7 2 5 25 
193 15,5 8 3 5 25 
155 20 5 4 1 1 
172 22 6 5 1 1 
110 35,5 3 7 4 16 
113 43 4 9 5 25 
75 40,5 1 8 7 49 
94 33 2 6 4 16 
 
Assim temos ∑ = 2222d 
 171
85,0
85,11
720
1332
1
)181(9
)222(6
1
)1(
6
1
2
2
−=
−=
−=
−
−=
−
−=
∑
nn
d
rs
 
 
Passo 5: valores críticos: 
 
Pela tabela A-9, os valores críticos são 683,0± . 
Como 85,0−=sr está dentro da região crítica então rejeitamos 0H . Logo existe 
correlação. 
 
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40 50
 
 
 172
2) Os valores a seguir são referentes às vendas de tubos de aço carbono de certa indústria 
no período especificado. 
 
X = Ano Y = Venda 
80 58 
81 85 
82 123 
83 81 
84 57 
85 118 
86 174 
87 147 
88 190 
89 205 
90 255 
91 223 
92 216 
93 297 
94 184 
95 224 
96 318 
 
Existe correlação entre as variáveis? 
 
 173
 Correlação 
 
Com muita freqüência, na prática, verifica-se que existe uma relação entre 
duas (ou mais) variáveis. Por exemplo: os pesos dos adultos do sexo masculino 
dependem, em certo grau, de suas alturas; as circunferências de círculos dependem 
de seus raios; a pressão de uma determinada massa de gás depende de sua 
temperatura e de seu volume. 
Dado duas variáveis X e Y, nosso objetivo é verificar se existe relação entre 
elas. Por exemplo: Os conjuntos X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {3, 5, 7, 9, 11} são tais que 
Y = 2X+1.Portanto dizemos que as variáveis X e Y são correlacionadas. 
Encontrar uma relação entre variáveis é de fundamental importância para 
podermos predizer valores futuros. Por exemplo: se soubermos que duas variáveis 
se relacionam por Y = 2X – 4, então os valores de Y são encontrado apenas 
atribuindo valores a X. 
 Em engenharia uma das perguntas interessantes é: 
Será que existe relação entre o desgaste em um aço e a viscosidade do óleo 
utilizado? 
 A tabela a seguir apresenta 9 dados do volume desgastado do aço e da 
viscosidade do óleo. No decorrer da exposição nosso objetivo é utilizar os dados da 
tabela abaixo para responder a pergunta inicial. 
Tabela 1 
Volume desgastado 
Y (10-4 mm3) 
Viscosidade 
X 
240 1,6 
181 9,4 
193 15,5 
155 20 
172 22 
110 35,5 
113 43 
75 40,5 
94 33 
 
 
Vamos aqui estudar variáveis que se relacionam linearmente. No final deste 
estudo daremos um exemplo de variáveis que não se relacionam linearmente e sim 
de forma quadrática. 
 
Correlação 
Existe uma correlação entre duas variáveis quando uma delas está, de 
alguma forma, relacionada com a outra. 
 
 Como estamos interessados em variáveis que se relacionam linearmente, 
então estas relações são descritas por uma equação de uma reta, ou seja, equações 
do tipo Y = b0 + b1X. 
 Como não podemos basear nossas conclusões apenas em diagramas, 
necessitamos de métodos mais precisos e objetivos para tirarmos conclusões. 
 174
Vamos utilizar o coeficiente de correlação linear. Ele também é conhecido como 
coeficiente de correlação de Pearson (Karl Pearson). 
 
Coeficiente de correlação linear 
O coeficiente de correlação linear r mede o grau de relacionamento linear 
entre os valores emparelhados x e y em uma amostra. 
 
 O coeficiente de correlação linear r é dado pela expressão: 
 
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
−•−
−
=
2222 )()(
))((
yynxxn
yxxyn
r 
 
 Como r é calculado com base em dados amostrais, é uma estatística amostral 
usada para medir o grau da correlação linear entre x e y. Se tivéssemos todos os 
pares de valores (x, y) para a população, a fórmulas acima seria um parâmetro 
populacional. 
 
Arredondamento do coeficiente de correlação linear 
Arredondamos o coeficiente de correlação linear r para três casas decimais, 
afim de que seu valor possa ser comparado com os valores críticos da tabela A-6. 
 
Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear r 
 
1) O valor de r está sempre compreendido entre –1 e +1; 
2) O valor de r não varia se todos os valores de qualquer uma das variáveis são 
convertidos para uma escala diferente; 
3) O valor de r não é afetado pela escolha de X ou Y; 
4) O valor de r mede a intensidade, ou grau, de um relacionamento linear. Não 
serve para medir a intensidade de um relacionamento não-linear. 
 
Os gráficos de dispersão a seguir descrevem alguns dos tipos de correlação 
existentes. 
 
Correlação linear positiva 
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10
X
Y
 
 A correlação será considerada positiva se valores crescentes de X estiverem 
associados a valores crescentes de Y, ou valores decrescentes de X estiverem 
associados a valores decrescentes de Y. Neste caso 0 < r < 1. 
 175
 
Correlação linear perfeita positiva 
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10
X
Y
 
 A correlação linear será considerada perfeita positiva se valores 
crescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores crescentes de Y, ou 
valores decrescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores 
decrescentes de Y. Neste caso r = 1. 
Correlação Negativa 
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
X
Y
 
 A correlação é considerada negativa quando valores crescentes da variável X 
estiverem associados a valores decrescentes da variável Y, ou valores decrescentes 
de X estiverem associados a valores crescentes da variável Y. Neste caso –1 < r < 
0. 
 
Correlação negativa perfeita 
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
X
Y
 
 
A correlação linear será considerada perfeita negativa se valores crescentes 
de X estiverem perfeitamente alinhados a valores decrescentes de Y, ou valores 
decrescentes de X estiverem perfeitamente alinhados a valores crescentes de Y. 
Neste caso r = -1. 
 
 176
Correlação nula 
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
X
Y
 
 Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou seja, quando as 
variações de X e Y ocorrerem independentemente não existe correlação entre elas. 
Neste caso r = 0. 
 
Correlação não-linear 
0
10
20
30
0 5 10
X
Y
 
 Quando não houver correlação linear entre as variáveis X e Y pode 
acontecer que haja outro tipo de correlação. Esta correlação pode ser quadrática, 
exponencial, logarítmica, uma curva do 3.º grau, etc. 
 
Cálculo do coeficiente de correlação para os dados da tabela 1. 
 Para o cálculo do coeficiente de correlação é conveniente a construção de 
tabelas ampliadas, onde, a partir dos valores de X e Y, são determinadas todas as 
somas necessárias. 
Volume desgastado 
Y (10-4 mm3) 
Viscosidade 
X 
X2 Y2 XY 
240 1,6 2,56 57600 384 
181 9,4 88,36 32761 1701,4 
193 15,5 240,25 37249 2991,5 
155 20 400 24025 3100 
172 22 484 29584 3784 
110 35,5 1260,25 12100 3905 
113 43 1849 12769 4859 
75 40,5 1640,25 5625 3037,5 
94 33 1089 8836 3102 
1333 220,5 7053,67 220549 26864,4 
 
Assim, 
 177
( ) ( ) ( )
938,0
333.1549.22095,220)67,053.7(9
)333.1()5,220()4,864.26(9
)()(
))((
22
2222
−=
−⋅•−⋅
⋅−⋅
=
−•−
−
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
r
r
yynxxn
yxxyn
r
 
 
O valor de r é dado por r = - 0,938. 
 
Interpretação do valor de r 
 
 Se o valor de r está próximo de 0 (zero), concluímos que não há correlação 
linear significativa entre X e Y, mas se r está próximo de –1 ou +1, concluímos pela 
existência de correlação linear significativa entre X e Y. Como o termo “próximo” é 
vaga, temos que adotar um critério de decisão. Para verificarmos se há correlação 
faremos então um teste de hipótese. 
 
Teste de hipótese para determinar se há correlação 
 
Podemos utilizar dois métodos para verificar se duas variáveis possuem 
correlação linear entre elas. Utilizando a teoria do teste de hipótese vamos verificar 
se há correlação entre as variáveis X e Y de uma população. Neste caso usaremos o 
parâmetro ρ para representar a correlação entre duas variáveis de uma população. 
Assim temos: 
H0: ρ = 0 (Não há correlação linear entre as variáveis X e Y) 
H1: ρ ≠ 0 (Há correlação linear significativa entre as variáveis X e Y) 
Método: Estatística de Teste é r. Usamos o valor calculado do Coeficiente de 
Correlação Linear de Pearson r. 
 
Estatística de Teste r para Correlação Linear 
Estatística de Teste: r 
Valores críticos: Tabela do Coeficiente de Correlação r de Peason. 
 
Exemplo: Para os dados da Tabela 1 temos: r = - 0,938 (calculado). Utilizando o 
teste de hipótese teremos: 
 
A estatística de teste é r = - 0,938. Os valores críticos são r = - 0,666 e r = 
0,666 com n = 9 e nível de significância 0,05. Como r está dentro da área crítica, 
então rejeitamos H0. Logo há evidências para apoiar a existência de uma correlação 
linear. 
Rejeitar 
ρ = 0 
Não Rejeitar 
ρ = 0 
Rejeitar 
ρ = 0 
 -1 r = -0,666 r = 0,666 1 
 
 Como sabemos que há correlação entre as variáveis X e Y, basta agora 
encontrar qual a correlação, ou seja, qual a equação que relaciona as duas 
variáveis. Isto podemos facilmente encontrar usando a Regressão Linear. 
 
 178
Regressão Linear 
 
Definição: 
Dada uma coleção de dados emparelhados (X, Y) populacionais, a equação 
de regressão é dada por 
xy 10 ββ += 
 Como não conhecemnos os coeficientes populacionais devemos estimá-los. 
Então dada uma coleção de dados amostrais emparelhados (X, Y), a equação 
de regressão 
xbbŷ 10 += 
descreve a relação entre as duas variáveis. O gráfico da equação de regressão é 
chamado reta de regressão. (ou reta de melhor ajuste, ou reta de mínimos 
quadrados) 
 Esta definição expressa uma relação entre x (chamada variável independente 
ou variável preditora)e ŷ (chamada variável dependente ou variável resposta). 
Temos que b0 é o intercepto y e b1 é o coeficiente angular. 
 
Suposições: 
 
1) Estamos investigando apenas relações lineares. 
2) Para cada x, y é uma variável aleatória com distribuição normal. Todas essas 
distribuições de y têm a mesma variância e, ainda, para um dado valor de x, a 
média da distribuição dos valores de y está sobre a reta de regressão. 
 
Estimação dos coeficientes da regressão 
 Estimamos os valores b0 e b1 , utilizando método dos mínimos quadrados, 
pelas fórmulas a seguir. 
 
221
22
2
0
)x()x(n
)y)(x()xy(n
b
)x()x(n
)xy)(x()x)(y(
b
∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑∑
−
−
=
−
−
=
 
 
Arredondamentos 
 
 Cálculos intermediários arredondar para seis casas decimais. Arredondar o 
resultado final para uma casa decimal a mais que os dados. 
 
 Voltando ao problema proposto, Tabela 1, vamos calcular a reta de regressão 
entre as variáveis X e Y. 
 
 179
07,234
)5,220()67,053.7(9
)4,864.26)(5,220()67,053.7)(333.1(
)()(
))(())((
0
20
22
2
0
=
−⋅
−
=
−
−
=
∑∑
∑∑∑∑
b
b
xxn
xyxxy
b
 
e 
51,3
)5,220()67,053.7(9
)333.1)(5,220()4,864.26(9
)()(
))(()(
1
21
221
−=
−⋅
−⋅
=
−
−
=
∑∑
∑∑∑
b
b
xxn
yxxyn
b
 
 
Assim a reta de regressão é dada por xy 51,307,234ˆ −= . 
 As equações de regressão podem ser úteis quando usadas para predizer o 
valor de uma variável, dado um valor determinado da outra variável. Ao predizer um 
valor de y com base em determinado valor de x: 
 
1) Se não há correlação linear significativa, o melhor valor predito de y é a média 
de y; 
2) Se há correlação linear significativa, obtém-se o melhor valor predito de y 
substituindo-se o valor de x na equação de regressão. 
 
Por exemplo, se queremos saber qual o desgaste quando a viscosidade for 
de 41 então basta substituir na reta de regressão o valor de x por 41: 
16,90
4151,307,234
=
⋅−=
y
y
 
 
Estimativa da variância 
Seja ( )∑
=
−=
n
i
iiE yySQ
1
2ˆ a soma dos quadrados dos erros. Uma estimativa da 
variância do modelo é dada por 
2
ˆ 2
−
=
n
SQEσ . 
 
 
 180
No nosso exemplo teremos: 
 
Volume desgastado 
Y (10-4 mm3) Ŷ 
2)ˆ( YY − 
240 228,454 133,3101 
181 201,076 403,0458 
193 179,665 177,8222 
155 163,87 78,6769 
172 156,85 229,5225 
110 109,465 0,286225 
113 83,14 891,6196 
75 91,915 286,1172 
94 118,24 587,5776 
 2.787,978 
 
 Assim, 
28,398ˆ
7
978,787.2
ˆ
2
ˆ
2
2
2
=
=
−
=
σ
σ
σ
n
SQE
 
Exemplo: 
1) Os dados a seguir trazem os resultados do experimento que avalia o índice de 
octanagem da gasolina (y) em função da adição de um novo aditivo (x), em 
porcentagem. 
 
x (%) y (%) 
1 80 
2 81 
3 82 
4 83 
5 83 
6 85 
 
A reta de regressão estimada é XY 9,01,79 += . Qual a estimativa da variância da 
reta estimada? 
 
 
 181
Teste de hipótese na regressão linear simples 
 
 Quando estimamos os coeficientes da regressão linear é importante 
testarmos a hipótese de que eles são ou não iguais a zero. Caso isso seja 
verdadeiro podemos retira-lo do modelo. 
 No caso da regressão simples testamos: 
 
0:
0:
01
00
≠
=
β
β
H
H
 e 
0:
0:
11
10
≠
=
β
β
H
H
 
 
Para testarmos estar a hipótese sobre 0β utilizamos a estatística de teste 
xxS
T
2
0
0
ˆ
ˆ
σ
β
= onde 0T tem distribuição t com n-2 graus de liberdade. Utilizamos 
n
x
xS
n
i
i
n
i
ixx
2
1
1
2








−=
∑
∑ =
=
. 
 
Utilizamos o método análogo para testar 1β . Neste caso a estatística de teste 
é 
xxS
T
2
1
1
ˆ
ˆ
σ
β
= onde 1T tem distribuição t com n-2 graus de liberdade. 
 
Exemplo: Voltando ao nosso exemplo anterior teremos: 
 
1º caso: Para testarmos a hipótese sobre 0β 
 
( )
42,651.1
25,402.567,053.7
9
5,220
67,053.7
2
2
1
1
2
=
−=
−=








−=
∑
∑ =
=
xx
xx
xx
n
i
i
n
i
ixx
S
S
S
n
x
xS
 
 
 Estatística de teste 
 
 182
63,476
42,651.1
28,398
07,234
ˆ
ˆ
0
0
2
0
0
=
=
=
T
T
S
T
xx
σ
β
 
 
 Para valores críticos temos 365,2±=t com nível de significância 05,0=α . 
Como a estatística 0T está dentro da região crítica, então rejeitamos a hipótese 
nula. Logo o coeficiente é significativo. 
 
2º caso: Para testar hipótese sobre 1β : 
 
Estatística de teste 
 
147,7
42,651.1
28,398
51,3
ˆ
ˆ
1
1
2
1
1
−=
−
=
=
T
T
S
T
xx
σ
β
 
 
Para valores críticos temos 365,2±=t com nível de significância 05,0=α . 
Como a estatística 0T está dentro da região crítica, então rejeitamos a hipótese 
nula. Logo o coeficiente é significativo. 
 
 
Intervalo de confiança para os coeficientes 
Sob a suposição de que as observações sejam normal e independentemente 
distribuídas, um intervalo de confiança de ( )%1100 α− para a inclinação na 
regressão linear simples é: 
xx
n
xx
n S
t
S
t
2
2,
2
11
2
2,
2
1
ˆˆˆˆ σββ
σ
β αα −− +≤≤− 
 
Similarmente, um intervalo de confiança de ( )%1100 α− para a interseção na 
regressão linear simples é: 
 








++≤≤








+−
−−
xx
n
xx
n S
x
n
t
S
x
n
t
2
2
2,
2
00
2
2
2,
2
0
1
ˆˆ
1
ˆˆ σββσβ αα 
 183
 
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, um intervalo de confiança de 95% para 
os coeficientes é dado por: 
 
58,26656,201
42,651.1
5,24
9
1
28,398365,207,234
42,651.1
5,24
9
1
28,398365,207,234
42,651.1
5,24
9
1
28,398365,207,234
42,651.1
5,24
9
1
28,398365,207,234
1
ˆˆ
1
ˆˆ
0
2
0
2
2
0
2
2
2
2,
2
00
2
2
2,
2
0
≤≤








++≤≤








+−








++≤≤








+−








++≤≤








+−
−−
β
β
β
σββσβ αα
xx
n
xx
n S
x
n
t
S
x
n
t
 
 
e 
 
35,267,4
42,651.1
28,398
365,251,3
42,651.1
28,398
365,251,3
ˆˆˆˆ
1
1
2
2,
2
11
2
2,
2
1
−≤≤−
+−≤≤−−
+≤≤−
−−
β
β
σ
ββ
σ
β αα
xx
n
xx
n S
t
S
t
 
 
Exercício: 
 
1) Considere Y a pureza do oxigênio (%) e X o nível de hidrocarboneto (%). A reta 
de regressão entre Y e X é dada por: 
 
XY 947,14283,74 += 
 
A estimativa da variância é de 18,1ˆ 2 =σ e 68088,0=xxS . Use 05,0=α e 18=n . 
 
Encontre um intervalo de 95% de confiança para a inclinação 1β . 
 
Exercícios Suplementares 
 
1) Mostre que, para um modelo de regressão linear simples, as seguintes 
afirmações são verdadeiras: 
a) ( ) 0ˆ
1
=−∑
=
n
i
ii yy 
b) ( ) 0ˆ
1
=−∑
=
i
n
i
ii xyy 
c) yy
n
i =∑ ˆ
1
 
 184
Regressão Múltipla 
 
Este material foi retirado do livro: Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. Douglas C. Montgomery & George C. Runger. 
 
1. Definição: 
 
 Uma equação de regressão linear múltipla expressa um relacionamento entre 
uma variável dependente ou de resposta, y , e as variáveis independentes ou 
regressoras ( )kxxx ,,, 21 K . 
 
 O modelo de regressão linear múltiplo com k variáveis é definido por: 
 
εββββ +++++= kk xxxy L22110ˆ 
 
Notação: 
 
n : tamanho da amostra; 
k : número de variáveis independentes; 
ŷ : valor predito da variável dependente; 
kxxx ,,, 21 K : variáveis independentes; 
kββββ ,,,, 210 K : coeficientes de regressão; 
ε : erro. 
 
 O parâmetro jβ representa a variação esperada na resposta y por unidade 
de variação unitária em jx quando todos os outros regressores restantes ( )jixi ≠ 
forem mantidos constantes. 
 
Exemplo: 
a) 21 01253,074427,226379,2ˆ xxy ++= ; 
 
2. Estimação de Mínimos Quadrados dos Parâmetros 
 185
 
O método dos mínimos quadrados pode ser usado para estimar os 
coeficientes de regressão no modelo de regressão múltipla. 
 O objetivo é minimizar a função 
 
∑
=
=
n
i
L
1
2ε 
 Queremos minimizar a função L com relação a kββββ ,,,, 210 K . As 
estimativas de mínimos quadrados têm de satisfazer 
 
0ˆˆ2
1 1
0ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ
0 210
=








−−−=
∂
∂
∑ ∑
= =
n
i
k
j
ijji xy
L
k
ββ
β ββββ K (1) 
e 
 
kjxxy
L
ij
n
i
k
j
ijji
j
k
,,2,1,0ˆˆ2
1 1
0ˆ,,ˆ,ˆ,ˆ 210
K
K
==








−−−=
∂
∂
∑ ∑
= =
ββ
β ββββ (2)
 
 
 Simplificandoas equações (1) e (2), obtemos as equações normais de 
mínimos quadrados: 
 
∑
=
=∑
=
++∑
=
+∑
=
+
∑
=
=∑
=
++∑
=
+∑
=
+
∑
=
=∑
=
++∑
=
+∑
=
+
∑
∑
=
=
n
i
iyx
n
i
xk
n
i
ixx
n
i
xxx
n
i
iyx
n
i
ikxxk
n
i
ixx
n
i
xx
n
i
iy
n
i
ikxk
n
i
ix
n
i
ixn
ikikikiik
n
i
ik
iiii
n
i
i
11
ˆ
1
22
ˆ
1
1
ˆ
0
ˆ
11
ˆ
1
22
ˆ
1
1
ˆ
0
ˆ
11
ˆ
1
22
ˆ
1
11
ˆ
0
ˆ
2
1
1
111
2
1
1
1
ββββ
ββββ
ββββ
K
MMMMM
K
K
 
 
 
 186
 Note que há 1+= kp equações normais, uma para cada um dos coeficientes 
desconhecidos da regressão. A solução para as equações normais serão os 
estimadores de mínimos quadrados. 
 
Exemplo 1: Os dados referem-se a resistência à tração de um fio colado, em um 
processo de fabricação de semicondutores, do comprimento do fio e da altura da 
garra. 
Número da 
observação 
Resistência à 
tração 
y 
Comprimento 
do fio 
1x 
Altura da garra 
2x 
1 9,95 2 50 
2 24,45 8 110 
3 31,75 11 120 
4 35 10 550 
5 25,02 8 295 
6 16,86 4 200 
7 14,38 2 375 
8 9,60 2 52 
9 24,35 9 100 
10 27,50 8 300 
11 17,08 4 412 
12 37 11 400 
13 41,95 12 500 
14 11,66 2 360 
15 21,65 4 205 
16 17,89 4 400 
17 69 20 600 
18 10,30 1 585 
19 34,93 10 540 
20 46,59 15 250 
21 44,88 15 290 
22 54,12 16 510 
 187
23 56,63 17 590 
24 22,13 6 100 
25 21,15 5 400 
 
 Ajustaremos o modelo 
 
εβββ +++= 22110ˆ xxy 
 
 Para o modelo a ser ajustado as equações normais são: 
∑
=
=∑
=
+∑
=
+
∑
=
=∑
=
+∑
=
+
∑
=
=∑
=
+∑
=
+
∑
∑
=
=
n
i
iyx
n
i
x
n
i
xxx
n
i
iyx
n
i
ixx
n
i
xx
n
i
iy
n
i
ix
n
i
ixn
iiii
n
i
i
iii
n
i
i
11
2
ˆ
1
1
ˆ
0
ˆ
11
22
ˆ
1
1
ˆ
0
ˆ
11
22
ˆ
1
11
ˆ
0
ˆ
2
2
221
1
2
11
2
1
1
1
βββ
βββ
βββ
 
 
De acordo com a tabela temos: 
 
71,816.274;47,008.8;177.77
848.531.3;396.2;294.8
206;82,725;25
25
1
2
25
1
1
25
1
21
25
1
2
2
25
1
2
1
25
1
2
25
1
1
25
1
===
===
===
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
===
===
==
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
yxyxxx
xxx
xyn
 
 
 Substituindo as somas temos: 
 
71,816.2742
ˆ848.531.31
ˆ177.770
ˆ294.8
47,008.82
ˆ177.771
ˆ396.20
ˆ206
82,7252
ˆ294.81
ˆ2060
ˆ25
=++
=++
=++
βββ
βββ
βββ
 
 
A solução encontrada é: 
 
 188
21 01253,07442,226379,2ˆ xxy ++= 
3. Abordagem matricial para a regressão linear múltipla 
 
O modelo de regressão é um sistema de n equações, que pode ser expresso 
na notação matricial 
 
εβ += Xy
 
onde 
 












=












=












=












=
nknknn
k
k
n xxx
xxx
xxx
X
y
y
y
y
ε
ε
ε
ε
β
β
β
β
MM
K
MMMM
K
K
M
2
1
1
0
21
22221
11211
2
1
;;
1
1
1
; 
 
As equações normais do modelo são: 
 
yXXX '' ˆ =β
 
'X representa a transposta da matriz X . 
A estimativa de mínimos quadrados é: 
 
( ) yXXX '1'ˆ −=β
 
 
4. Estimativa da variância 
 
A estimativa da variância é obtida através do estimador não-tendencioso 
 
pn
SQ
pn
E
n
i
i
−
=
−
=
∑
=1
2
2ˆ
ε
σ
 
onde 
 
 189
( ) εεε 'ˆ
1 1
22 ==−=∑ ∑
= =
n
i
n
i
iiiE yySQ 
 
 No denominador temos 
pn −
 que é denominado graus de liberdade do erro 
ou do resíduo. 
 
5. Testes de hipóteses para a regressão linear múltipla 
 
5.1. Teste para a significância da regressão 
 
O teste para a significância da regressão é um teste para determinar se existe 
uma relação linear entre as variáveis de resposta e as regressoras. 
As hipóteses são: 
 



≠
====
jummínimonoparaH
H
j
k
0:
0:
1
210
β
βββ K
 
 A estatística de teste é dada por: 
 
( )
E
R
E
R
MQ
MQ
pn
SQ
k
SQ
F =
−
=0 
 
onde 
 
























−−








−=
∑∑
==
n
y
yX
n
y
yySQ
n
i
i
n
i
i
E
2
1
2
1
''ˆ' β 
n
y
yXSQ
n
i
i
E
2
1
''ˆ








−=
∑
=β
 
 190
 Podemos também usar o 
2
R
e o 
2
R
 ajustado como uma estatística global 
para avaliar o ajuste do modelo. Assim temos: 
 
( )
( )1
12
−
−
−=
n
SQ
pn
SQ
R
T
E
ajustado 
 
5.2. Testes para os coeficientes individuais de regressão e subconjuntos de 
coeficientes 
 
As hipóteses para testar se um coeficiente individual de regressão, como jβ , 
é igual a um dado valor 0jβ é: 
 




≠
=
01
00
:
:
jj
jj
H
H
ββ
ββ
 
 A estatística de teste é dada por: 
 
jj
jj
C
T
2
0
0
ˆ
σ
ββ −
= 
 
 
 
6. Intervalos de confiança para a regressão linear múltipla 
 
Um intervalo de confiança de ( )%1100 α− para o coeficiente de regressão 
kjj ,,2,1,0, K=β no modelo de regressão linear múltipla é dado por: 
 
jjpnjjjjpnj CtCt
2
,2
2
,2 ˆ
ˆˆˆ σββσβ αα −− +≤≤− 
 
 191
7. Previsão de novas observações 
 
Um intervalo de previsão de ( )%1100 α− para uma futura observação é dado 
por: 
 
( )( ) ( )( )01'02,20001'02,20 '1ˆˆ'1ˆˆ xXXxtyYxXXxty pnpn −−−− ++≤≤+− σσ αα 
 
8. Uso do computador 
 
Podemos, facilitar as contar, utilizando o apoio computacional. Este apoio visa 
simplesmente agilidade. Isso não implica que não devemos entender o processo. O 
bom entendimento faz parte do conhecimento profundo do assunto. 
Podemos utilizar qualquer software que permita fazer a análise de regressão 
múltipla, entre eles: Excell, SPSS, R, Minitab, etc. 
A seguir damos um exemplo com o apoio do Excell. 
Voltamos ao exemplo 1, onde os dados referem-se a resistência à tração de 
um fio colado. Os resultados são apresentados a seguir: 
 
Estatística de regressão 
R múltiplo 0,990523843 
R-Quadrado 0,981137483 
R-quadrado ajustado 0,979422709 
Erro padrão 2,288046833 
Observações 25 
 
ANOVA 
 gl SQ MQ F F de significação 
Regressão 2 5990,771221 2995,386 572,1671503 1,07546E-19 
Resíduo 22 115,1734828 5,235158 
Total 24 6105,944704 
 
 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores 
Interseção 2,263791434 1,060066238 2,135519 0,04409945 0,065348623 4,462234246 
Variável X 1 2,744269643 0,093523844 29,34299 3,90691E-19 2,550313062 2,938226225 
Variável X 2 0,012527811 0,002798419 4,476746 0,000188266 0,006724246 0,018331377 
 
 192
 
RESULTADOS DE RESÍDUOS 
Observação Y previsto Resíduos 
1 8,37872129 1,57127871 
2 25,59600783 -1,146007833 
3 33,95409488 -2,204094876 
4 36,59678413 -1,596784129 
5 27,91365294 -2,893652939 
6 15,74643228 1,113567716 
7 12,45025999 1,92974001 
8 8,403776913 1,196223087 
9 28,21499936 -3,864999362 
10 27,976292 -0,476291996 
11 18,4023283 -1,322328298 
12 37,46188206 -0,461882064 
13 41,45893285 0,491067154 
14 12,26234282 -0,60234282 
15 15,80907134 5,840928659 
16 18,25199456 -0,361994562 
17 64,66587113 4,334128869 
18 12,33683074 -2,036830738 
19 36,47150602 -1,541506015 
20 46,55978893 0,030211071 
21 47,06090138 -2,180901385 
22 52,56128953 1,558710467 
23 56,30778409 0,322215913 
24 19,98219043 2,147809568 
25 20,9962642 0,153735795 
 
 193
 
Exercício: 
 
1) A energia elétrica consumida mensalmente por uma indústria química está 
relacionada à temperatura média ambiente ( )1x , ao número de dias no mês 
( )2x , à pureza média do produto ( )3x e às toneladas do produto produzido 
( )4x . Os dados históricos do ano passado estão disponíveis e são 
apresentados na tabela a seguir: 
 
y 
1x 2x 3x 4x 
240 25 24 91 100 
236 31 21 90 95 
270 45 24 88 110 
274 60 25 87 88 
301 65 25 91 94 
316 72 26 94 99 
300 80 25 87 97 
296 84 25 86 96 
267 75 24 88 110 
276 60 25 91 105 
288 50 25 90 100 
261 38 23 89 98 
 
Faça: 
 
a) Encontre a reta de regressão; 
b) Calcule a estimativa da variância; 
c) Teste a significância da regressão; 
d) Teste os coeficientes; 
e) Encontre um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente 0β e 1β da 
regressão; 
 
 194
2) Um estudo foi realizado sobre o desgaste de um mancal, y , e sua relação 
com 1x a viscosidade do óleo e 2x carga. Os dados são o seguinte:y 
1x 2x 
293 1,6 851 
230 15,5 816 
172 22 1058 
91 43 1201 
113 33 1357 
125 40 1115 
 
Faça: 
 
a) Encontre a reta de regressão; 
b) Calcule a estimativa da variância; 
c) Teste a significância da regressão; 
d) Teste os coeficientes; 
e) Encontre um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente 0β e 1β da 
regressão; 
 195
Bibliografia 
 
1. TOLEDO, Geraldo Luciano. OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística Básica. 2ª edição. 
São Paulo: Atlas, 1985. 
 
2. MONTGOMERY, Douglas C., RUNGER, George C.. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 
3. MILONE, Giuseppe. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 
2006. 
 
4. BRUNI, Adriano Leal. Estatística aplicada à gestão empresarial. 2ª edição. São 
Paulo: Atlas, 2008. 
 
 196
Anexo 1 
 
1. Algoritmo para calcular frequência em tabela agrupada em classes. 
 
freqagrup<-function(dados){ 
cat("Dados",dados,"\n\n") 
 
n<-length(dados) 
cat("dimensão dados =",n,"\n\n") 
menor<-min(dados) 
maior<-max(dados) 
At<-maior-menor; 
k1<-1+3.3*log(n)/log(10); 
cat("Numero de classes sem arredondamento =",k1,"\n\n") 
 
k2<-round(1.5+3.3*log(n)/log(10),0); 
cat("Número de classes arredondado =",k2,"\n\n") 
k<-k2 
Ac<-At/k; 
cat("At =",At,"\n\n") 
cat("k =",k,"\n\n") 
cat("Ac =",Ac,"\n\n") 
 
for(j in 1:k){ 
if(j<k){ 
freq2<-0 
freq1<-0 
for(i in 1:n){ 
 
if((menor+(j-1)*Ac)<=dados[i]&dados[i]<(menor+(j)*Ac)){ 
freq<-1 
freq1<-freq+freq1 
} 
 
} 
freq2[j]<-freq1 
 
cat("Classe (",j,")=>","De",(menor+(j-1)*Ac),"até",(menor+j*Ac),"=> frequênica 
=",freq2[j],"\n\n") 
} 
if(j==k) 
{ 
freq2<-0 
freq1<-0 
for(i in 1:n){ 
 
if((menor+(j-1)*Ac)<=dados[i]&dados[i]<=(menor+(j)*Ac)){ 
freq<-1 
freq1<-freq+freq1 
} 
 197
 
} 
freq2[j]<-freq1 
 
cat("Classe (",j,")=>","De",(menor+(j-1)*Ac),"até",(menor+j*Ac),"=> frequênica 
=",freq2[j],"\n\n") 
} 
} 
 
} 
 198
Anexo 2 
 
 
 Comandos Software R 
 
 #======================================================= 
 Gerar amostras aleatórias 
 #======================================================= 
 
 criar vetor de amostras x 
 
 sort(x)# ordena os valores de x. 
 
 sample(x,5,T)# gera 5 amostras do vetor x com reposição 
 
 sample(x,5)# gera 5 amostras do vetor x sem reposição 
 
 #======================================================= 
 # Mudar diretório 
 #======================================================= 
 Arquivo 
 
 Mudar diretorio 
 
 Nome da pasta 
 #======================================================= 
 # Leitura e Preliminares dos Dados 
 #======================================================= 
 
 Leitura dos dados 
 
 gasolina <- scan(file="gasolina.txt") 
 
 frango <- scan(file="frango.txt") 
 
 alcatra <- scan(file="alcatra.txt") 
 
 dados<-data.frame(frango,alcatra) # banco de dados juntos frango + alcatra 
 
 attach(dados)# apresenta os nomes das variáveis 
 
 names(dados)# apresenta os nomes das variáveis 
 
 dim(dados) # dimensão dos dados 
 
 dados[1:15]# apresenta os 15 primeiros resultados 
 
 
 
 199
 #========================================================== 
 # Estatísticas Descritivas 
 #========================================================== 
 
 summary(gasolina) 
 
 summary(frango) 
 
 mean(gasolina) 
 
 median(gasolina) 
 
 quantile(gasolina) # retorna os quartis 
 
 var(gasolina)# variância 
 
 cov(frango,alcatra) #Covariância 
 
 cor(frango,alcatra)#correlação 
 
#============================================================== 
# Tabela 
#=============================================================== 
 
 table(frango)# apresenta tabela distribuição frequencia simples. 
 
 
#============================================================== 
# Graficos 
#=============================================================== 
 
 boxplot(gasolina,ylab="Preços da Gasolina") 
 
 boxplot(frango,alcatra,ylab="Preços",xlab="frango X alcatra") 
 
 hist(frango) 
 
 plot(alcatra) 
 
 pairs(cbind(frango,alcatra)) # faz o gráfico de dispersão x1 versus x2 e vice 
versa 
 
 t<-ts(frango) # transforma um conjunto de dados frango em uma série 
temporal 
 
 plot(t)# faz o gráfico da série temporal 
 
 par(mfrow=c(2,1))#divide a tela em 2. 
 
 hist(gasolina) 
 200
 
 abline(v=mean(gasolina))# faz uma linha na média de x1. 
 
 abline(v=median(gasolina))# faz uma linha na mediana de x1. 
 
 abline(v=quantile(gasolina))# faz uma linha nos quantis de x1. 
 
 
 
#============================================================== 
 Regressão linear 
#=============================================================== 
 
 plot(x, y) # gráfico de dispersão. 
 
 fm <- lm(y ~ x) # regressão entre conjuntos pareados y e x. 
 
 fm # apresenta os coeficientes da regressão. 
 
 anova(fm)# apresenta tabela anova do modelo. 
 
 abline(lm(y~x)) # traça a reta de regressão.