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Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1 
AULA 01 
 
NÚMEROS PROPORCIONAIS 
 
1. Razões e Proporções 
 
Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de 
duas grandezas na mesma unidade. 
Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao 
quociente de a por b e indica-se por 
b
a
 
Obs.: a razão 
b
a
é usualmente lida assim: “a está para b”. 
A igualdade entre duas razões é uma proporção. 
 
Representação: 
d
c
b
a
= 
onde: a, d = extremos b, c = meios 
A expressão 
d
c
b
a
= lê-se assim: a está para b assim como c 
está para d 
 
Observações: 
 
Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas 
sucessões numéricas dadas nessa ordem. 
 
• A e B são diretamente proporcionais se: 
 k
f
c
e
b
d
a
=== 
 
 k é a constante de proporção. 
 
Propriedade: 
fed
cba
f
c
e
b
d
a
++
++
=== 
 
• A e B são inversamente proporcionais se: 
a . d = b . e = c . f = k 
Propriedade: a . d = b . e = c . f = 
f
1
c
e
1
b
d
1
a
== 
Exercícios de Sala  
 
01) Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão 
 entre a distância percorrida e o tempo gasto em 
 percorrê-la é: 
 
02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é 
 42 e que a razão entre eles é 
4
3
. 
 
 
03) a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 
 3, 5 e 7. 
 
 b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 
 3 e 4. 
Tarefa Mínima  
 
01) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos 
 para o curso de Odontologia. Sabendo que foram 
 fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de 
 candidatos em relação ao número de vagas? 
 
02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é 
 60 e que a razão entre eles é 
3
2 . 
03) Determinar os valores de x e y sendo: 
 x – y = 10 e 
3
1
x
y
= 
 
04) Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números 
 diretamente proporcionais, então: 
 
 a) x = 1 e y = 6 
 b) x = 2 e y = 12 
 c) x = 1 e y = 12 
 d) x = 4 e y = 2 
 
05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos 
 números 2, 3, 4 e 6. 
 
Tarefa Complementar 
 
06) Divida o número 220 em partes inversamente 
 proporcionais aos números 
7
4
4
3,
3
2 e . 
 
07) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos 
 e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas 
 pessoas. 
 
08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente 
 proporcionais, isto, é, para que se verifique a 
 igualdade 
20
5
8
x
y
9
== , os valores de x e y devem 
 ser respectivamente: 
 a) 2 e 36 b) 
5
1 e 
4
1 
 c) 2 e 5 d) 5 e 35 
 e) n.d.a. 
 
09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a, 2, 5) e 
 (3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e 
 a + mb = 10, então m é igual a: 
 
 a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 
 d) 2,5 e) 5,0 
 
10) p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que 
 p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? 
 
 a) – 2 b) 0 c) 0,5 
 d) 2 e) 3 
 
11) ( UFMG ) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 
 
432
zyx
== , o valor de x é: 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 2 
12) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 72 m. As 
 medidas de seus lados são inversamente proporcionais 
 a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado 
 desse terreno, é: 
 
13) ( UFBA ) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 
 60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. 
 Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de 
 mortas para o número de vivas é: 
 
 1 1 4 4a) b) c) d) e) n.d.a.4 5 1 5 
 
14) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente 
 proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de 
 p e m. 
 
 x y 
 1 2 
 2 p 
 m 8 
 
15) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25 
 litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. 
 
a) do óleo para a gasolina 
b) da gasolina para a mistura 
c) do óleo para a mistura 
 
AULA 02 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
1. Ângulos 
 
Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma 
origem (vértice). 
 
O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual: 
OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice 
 
2. Unidades angulares 
 
Sistema Sexagesimal (Grau) 
 
1 grau é 
360
1 da circunferência. 
 
Submúltiplos do Grau: 1° = 60 ´e 1´= 60´´ 
 
Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua 
abertura. 
 
Ângulo Agudo 
 
 
 
Ângulo Reto 
 
 
 
Ângulo Obtuso 
 
 
 
Dois ângulos α e β podem ser: 
 
a) complementares: α + β = 90º 
b) suplementares: α + β = 180º 
c) replementares: α + β = 360º 
 
3. Ângulos opostos pelo vértice 
 
 
 
 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes 
 
4. Ângulos formados por duas 
 paralelas e uma transversal 
 
 
5. Triângulos 
 
Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se 
triângulo A, B, C (indicado por: ∆ABC) à reunião dos segmentos 
AB, AC e BC. 
 
 
Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: 
 
Quanto aos lados 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3 
Quanto aos ângulos 
 
 
 
CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e 
 considerando a, o lado maior temos: 
 
• a2 < b2 + c2 ⇔ triângulo acutângulo 
• a2 = b2 + c2 ⇔ triângulo retângulo 
• a2 > b2 + c2 ⇔ triângulo obtusângulo 
 
6. Ângulos num Triângulo 
 
 A + B + C = 180° 
 
6.1. Triângulo Equilátero 
 
Se AB = BC = AC então A = B = C = 60° 
 
6.2. Triângulo Retângulo 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 
 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede: 
 
 
02) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse 
ângulo mede: 
 
a) 30° b) 45° c) 60° 
d) 80° e) 15° 
 
03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x. 
 
 a) r //s 
 
 
 
 b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo 
 equilátero. 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 
 8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é: 
 
a) 80° b) 70° c) 40° d) 20° e) 10° 
 
02) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então 
 esse ângulo mede: 
 
a) 45° b) 135° c) 100° d) 175° 
 
03) Determine o valor de x na figura abaixo: 
 x s
r s//
25º
130º
 
 
04) Nas figuras abaixo, o valor de x é: 
 
 a) 
 
 
 b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4 
05) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então: 
 
 
 
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° 
d) x = y e) 3x = 2y 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em 
 graus, do arco x é: 
 
 
07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento 
 mede: 
 
a) 100° b) 144° 
c) 36° c) 80° e) n.d.a. 
 
08) ( UFSC ) Dados os ângulos: 
 Â = 22°32'15'' C
∧
= 75°01'52'' 
 B
∧
= 17°49'47'' D
∧
= 32°44'20'' 
 
 Calcular o valor, em graus, da expressão: 
 
 A C B D
∧
+
∧



−
∧
+
∧


 
 
 
09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da 
 diferença x − y é: 
23o
y
x112o
r
s
t
r // s // t
 
 
 
 
10) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. 
 A medida do ângulo y, em graus, é: 
 
11) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por 
 uma transversal de modo que a soma de dois ângulos 
 agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos 
 obtusos formados mede: 
 
a) 142° b) 144° c) 148° 
d) 150° e) 152° 
 
12) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o 
 ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, 
 em graus, do ângulo 3 é: 
 
 
 
a) 50 b) 55 c) 60 
d) 80 e) 100 
 
13) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o 
 seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em 
 graus, a medida do ângulo 
 
 
14) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. 
 
60°
70°
Y
r 
s
 
 
15) Na figura , o valor de x é: 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5 
AULA 03 
 
ESTUDO DOS POLÍGONOS 
 
1. Elementos 
 
 
2. Classificação 
 
Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. 
Os mais conhecidos são: 
 
• Triângulos - 3 lados 
• Quadriláteros - 4 lados 
• Pentágono - 5 lados 
• Hexágono - 6 lados 
• Heptágono - 7 lados 
• Octógono - 8 lados 
• Eneágono - 9 lados 
• Decágono - 10 lados 
• Undecágono – 11 lados 
• Dodecágono - 12 lados 
• Pentadecágono – 15 lados 
• Icoságono - 20 lados 
 
Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados 
iguais) e equiângulo (ângulos iguais) 
 
3. Número de Diagonais 
 
 O número de diagonais de um polígono de n lados é 
 dado pela expressão: 
 
 
4. Soma dos ângulos internos 
 
 A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n ≥ 
3) é dado pela expressão: 
 
 
5. Soma dos ângulos externos 
 
A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n ≥ 
3) é sempre igual a 360° 
 
Observações 
 
• Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo 
interno ou externo através das seguintes relações: 
 
 
 
 
 
• Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então 
n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro. 
• Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro. 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos 
congruentes. 
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa 
circunferência. 
 
Nomenclatura 
 
 é o lado do polígono 
R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono 
a é o raio da circunferência inscrita ou apótema 
 
Triângulo Equilátero 
 
 
h
 
 
 
Quadrado 
 
 
 
 
 
Hexágono Regular 
 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6 
Exercícios de Sala  
 
01) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o 
 segmento de reta que une dois vértices não 
 consecutivos do polígono. Se um polígono convexo 
 tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? 
 
a) 72 b) 63 c) 36 
d) 27 e) 18 
 
02) Em um icoságono regular ABCDE... calcule: 
 
 a) a soma dos ângulos internos 
 b) a soma dos ângulos externos 
 c) cada ângulo interno e externo 
 
03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 2 3 cm, 
 determine: 
 
a) altura do triângulo 
b) raio da circunferência circunscrita 
c) raio da circunferência inscrita 
 
04) Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma 
 circunferência cujo raio, em cm, é igual a: 
 
a) 5 2 b) 10 
c) 10 2 d) 20 2 
e) 3 2 
 
 
05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de 
 um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do 
 lado desse hexágono, em centímetros, é: 
 
 a) 3 b) 2 c) 2,5 
d) 3 c) 4 
Tarefa Mínima  
 
01) O polígono que tem o número de lados igual ao 
 número de diagonais é o: 
 
a) hexágono b) pentágono 
c) triângulo d) heptágono 
e) não existe 
 
02) Cada ângulo interno de um decágono regular mede: 
 
a) 230° b) 130° c) 144° 
d) 28° e) 150° 
 
03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo 
 do externo? 
 
 a) Dodecágono b) Pentágono 
 c) Octógono d) Heptágono 
 e) Hexágono 
 
04) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine: 
 
 a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo 
 
 
 
 b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo 
 
 
 
 c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo 
 
 
 
05) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa 
 circunferência mede 2 6 cm. Determine a 
 medida da altura do triângulo. 
a) 2 2 b) 2 c) 3 2 d) 2 e) n.d.a. 
 
06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de 
 árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, 
 cujas arestas das bases meçam 20cm, é: 
a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 20 2 cm e) 80 cm 
Tarefa Complementar  
 
07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos 
 ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: 
 
a) 15 diagonais b) 20 diagonais 
c) 25 diagonais d) 30 diagonais 
e) 35 diagonais 
 
08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja 
 razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o 
 número de lados é 1/3. 
 
 
09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono 
 regular medem 20°. Então o número de diagonais 
 desse polígono é: 
 
a) 90 b) 104 
c) 119 d) 135 
e) 152 
 
10) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de 
 lado “a”. A diagonal AB mede: 
 
A
B 
 
a) 2a b) a 2 
c) 
2
3a d) a 3 
e) 
3
2a2 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7 
11) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das 
 circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: 
 
 a) 2 b) 3 c) 2 2 
 d) 2 3 e ) 
2
3
 
 
12) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de 
 um hexágono regular. A medida, em graus de um dos 
 ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: 
 
a) 90 b) 100 c) 110 
d) 120 e) 150 
 
13) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono 
 Regular. 
 
14) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e 
 inscrito de um triângulo equilátero de lado a? 
 
15) Determinar em função do raio R, o lado de um 
 decágono regular inscrito numa circunferência de raio R. 
 
AULA 04 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
1. Elementos 
 
 
Raio: segmnento CB. 
Corda: segmento MN. 
Diâmetro: segmento AB. 
 
2. Ângulos da circunferência 
 
2.1. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro 
 da circunferência. 
 
 
 
2.2. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na 
 circunferência. 
 
 
 Propriedade: 
 
 Conseqüências 
 
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência 
tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo 
retângulo. 
 
2.3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior 
 
 
 
2.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior 
 
 
 
2.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência 
 
3. Segmentos Tangentes 
 
 
4. Teorema de Pitot 
 
Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, 
a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois: 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Semelhança de TriângulosDois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos 
internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim tem-
se: 
 
 






=
====
=
FˆCˆ
k
f
c
e
b
d
a
 então EˆBˆ
DˆAˆ
:Se
 
 
k é a constante de proporção ou constante de semelhança 
 
Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos 
semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados 
homólogos quaisquer. 
 
Triângulo Retângulo – relações métricas 
 
Considere o triângulo abaixo, retângulo em A. 
 
 
 
 Seus elementos são: 
 a: hipotenusa 
 b e c: catetos 
 h: altura relativa à hipotenusa 
 n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a 
hipotenusa. 
 
Relações Métricas 
 
Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as 
seguintes relações: 
 a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras) 
 a.h = b.c 
 b2 = a.n 
 c2 = a.m 
 h2 = m.n 
Exercícios de Sala  
 
01) Determine o valor de x em cada caso abaixo: 
 
 a) 
 
 b) 
 
x 20°
O
 
 c) 
 
 
02) Determine o valor do complemento do ângulo x 
 indicado na figura abaixo: 
 
x
40°
 
 
03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC, 
 AB=8, AC=9 e BC=7 
. Então x vale: 
 
A
B P C
x 
a) 1,5 b) 2,8 c) 3,0 
d) 4,6 e)5,0 
04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e A Bˆ D são 
 congruentes. Então o valor de x é: 
 
a) 42 b) 32 c) 21 
d) 60 e) 10 
Tarefa Mínima  
 
01) Nas figuras abaixo, determine o valor de x 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9 
02) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é: 
 
3x 150°A
B
C
O
 
 
a) 25° b) 30° c) 50° 
d) 75º e) 100° 
03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos 
 arcos (AC) mede: 
 
40°
A B
C
 
 
04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é: 
 
 
3
x
2
10
 
 
 
05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. 
 Nessas condições, determine o valor de x + y. 
 A y D 18 B
 15
C
E
10
x
10
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na 
 circunferência de centro O é: 
 
 
07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um 
 pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é: 
 
 
08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, 
 e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do 
 ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura 
 AH do triângulo. 
 
 
09) Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência. 
Calcule o perímetro do triângulo PRS. 
 
10) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono 
abaixo, calcule x + y. 
 
 
11) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: 
 3x + 1
3x 2x
x+1
 
 
12) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e 
9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao 
primeiro, cujo perímetro mede 38cm. 
a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm 
c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm 
e) 5cm, 14cm e 19cm 
 
13) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em 
três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD´ 
mede 13cm e as retas BB´e CC ´são paralelas a DD .´ Determine 
os comprimentos dos segmentos AB ,´ B´C ´e C´D´ 
 
14) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 
4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um 
retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence 
ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, 
é: 
 A B
C
M N
Q P
 
 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 10 
15) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B 
 têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância 
 entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente 
 interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, 
 em centímetros, a medida do segmento CD. 
 
 
 
AULAS 05 
 
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
 
Triângulos Quaisquer 
 
 
 
Triângulo Equilátero 
 
 
 
Quadriláteros 
 
 PARALELOGRAMO 
 
 A = a.h 
 
 
 
 
 
Círculo e suas partes 
 
Círculo 
 A = πR2 
 
Coroa Circular 
 A = π (R2 – r2 ) 
 
Setor Circular 
 A = 
360
απR2
 
Exercícios de Sala  
 
01) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado 
 do quadrado EFGD mede, em m: 
 
A
B C
DE
F
10
2
 
 
a) 4 b) 5 c) 2 5 
d) 5 2 e) 6 
 
02) A área da coroa limitada pelas circunferências 
 inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é: 
 
a) 2,25π b) 5π c) 4π 
d) 2π e) 8π 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 11 
Tarefa Mínima  
 
01) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a 
 figura, é: 
 
120°
AB
C
4
3 
 
 a) 3 b) 2 3 
 c) 3 d) 4 3 e) 6 
 
02) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito 
 numa circunferência de raio 2 é igual a: 
 
 a) 3 3 cm2 b) 3 2 cm2 
 c) 2 3 cm2 d) 2 2 cm2 
 e) n.d.a. 
 
03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma 
 circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. 
 Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em 
 centímetros quadrados, é: 
 
 
 
04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido 
 em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a 
 figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da 
 de A e um terço da de C. 
 
A
B C
 
 
 Com base nessas informações, é correto afirmar: 
 
 01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2. 
 02. A área de A é 1/6 da área de C. 
 04. A área de A é 24m2. 
 08. Um dos lados de A mede 2m. 
 16. Um dos lados de C mede 8m. 
 
05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de 
 16 π cm2. Sabendo-se que a diferença entre os dois 
 raios é 2cm, determine o valor numérico do produto 
 desses raios. 
 
 
 
 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 20cm, 
 BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero 
 MBNP é um losango de área 8cm2 
 
 
A
B C
M
N
P
 
 
 A medida, em graus, do ângulo BNP é: 
 
a) 15 b) 30 c) 45 
c) 60 d) 75 
 
07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é 
 aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A 
 área do novo retângulo formado é: 
 
 a) 1,04 S b) 1,02 S 
 c) S d) 0,98 S 
 e) 0,96 S 
 
08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um 
 retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em 
 quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo 
 CEF e a área do retângulo é: 
 
 A B
C
E F G
D
 
 
a) 1/6 b) 1/7 
c) 1/8 d) 1/9 
e) 1/10 
 
09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita 
 e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 
 6cm é igual a: 
 
A
B C
O
 
 
10) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a 
área do setor assinalado é: 
 
 
 
9
8π
 e) 
9
5π
 d)
18
5π
 c) 
18
7π
 b) 
9
7π
 a)
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 12 
11) ( UEM ) Considere o triânguloABC, com base BC 
 medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito 
 nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x 
 cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para 
 que a área do retângulo seja máxima? 
 
12) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num cercado de 
pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 
50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada 
num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,14, calcule 
a área, em metros quadrados, da região do cercado que o 
cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. 
 
a) 1244 b) 1256 
c) 1422 d) 1424 
e) 1444 
 
13) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua 
 área cresce: 
 
a) 14% b) 14,4% c) 40% 
d) 44% e) 144% 
 
14) ( UFSC ) Considere as circunferências C1 de raio r e 
 C2 de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de 
 C2 e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela 
 circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, 
 calcule em cm2, a área do círculo limitado pela 
 circunferência C2. 
 
15) ( FUVEST-2003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto 
 médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = 
 NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e 
 CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB. 
 
 
 AULAS 06 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
POLIEDROS 
 
Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos. 
 
 
 
Relação de Euler: V + F = A + 2 
 
Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v – 2) 
onde “v” é o número de vértices. 
 
Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro 
limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais? 
 
 
 
 
 
Poliedros Regulares 
 
Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e 
ângulos formados pelas faces iguais. 
 
 
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces 
quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e 
vértices. 
 
02) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces 
quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine 
o número de vértices. 
 
03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular 
 de aresta l 
 
Tarefa Mínima  
 
01) (FISS – RJ) Um poliedro convexo é formado por 20 faces 
triangulares. O número de vértices desse poliedro é: 
 
a) 12 b) 15 
c) 18 d) 20 e) 24 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 13 
02) (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces 
triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a 
soma dos ângulos internos de todas as faces será: 
 
a) 3240º b) 3640º c) 3840º 
d) 4000º e) 4060º 
 
03) (PUC –PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e 
algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse 
polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do 
número de faces triangulares? 
 
a) 6 b) 4 c) 5 
d) 3 e) 8 
 
04) (PUC – PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 
faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total 
de faces desse poliedro? 
a) 4 b) 6 c) 8 
d) 10 e) 12 
 
05) (PUCCAMP – SP) Sobre as sentenças: 
 
I . Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
 
É correto afirmar que apenas: 
a) I é verdadeira b) II é verdadeira 
c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras 
e) II e III são verdadeiras. 
Tarefa Complementar  
 
06) Some as alternativas corretas: 
 
01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 
vértices. 
02. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente 
faces triangulares possui 9 arestas. 
04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 
arestas. 
08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices 
pentaédricos possui 12 faces. 
16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual 
ao número de faces possui um número par de arestas. 
 
07) (UFPR) Um poliedro convexo de 29 vértices possui somente 
faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o 
poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número 
de faces hexagonais? 
 
08) (CESGRANRIO – RJ) Considere o poliedro regular, de faces 
triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das 
faces desse poliedro vale, em graus: 
a) 180 b) 360 c) 540 
d) 720 e) 900 
 
09) (UFRGS) Um octaedro regular possui: 
a) mais diagonais do que vértices; 
b) mais faces que arestas; 
c) mais vértices do que faces; 
d) menos diagonais que faces; 
e) igual número de vértices e de arestas. 
 
10) (PUC – PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro 
regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: 
 
a) 12 b) 8 c) 6 d) 20 e) 4 
 
 AULAS 07 
 
PRISMAS 
 
1. Definição 
 
Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e 
congruentes denominadas bases e as demais faces em forma de 
paralelogramos. 
 
2. Elementos 
 
BASES: são os polígonos A´B´C´D´E ´ e ABCDE 
FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA´B´; 
BCB´C; CDC´D´; …… 
ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA´; BB ;´ CC ;´ DD ´ 
e EE ´
ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada 
altura do Prisma 
ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A´B´; B´C´; C´D ´; 
D´E ´e E´A´ 
 
3. Nomenclatura 
 
O nome do prisma dá-se através da figura da base. 
 
• Prisma Triangular: As bases são triangulares. 
• Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. 
• Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos 
 
Observação: Se o polígono da base for 
regular, o prisma também será chamados de Regular. 
 
4. Classificação 
 
De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: 
 
Reto: quando as arestas 
laterais são perpendiculares 
aos planos da base. 
Oblíquo: quando as arestas 
laterais são oblíquas aos planos 
da base. 
 
 
No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura. 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 14 
4. Fórmulas 
 
Considere um prisma reto regular com n lados da base. 
 
 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Dado um Prisma triangular regular com 
 aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a 
 2cm. Determine: 
 
 
 a) a área total do prisma 
 b) o volume do prisma 
 
02) ( UFSC ) O volume de um prisma hexagonal regular 
 de 2cm de aresta da base é 42 3 cm3. A medida, em 
 cm2, da área lateral desse prisma é: 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( ACAFE ) Um prisma de 8dm de altura tem por base 
 um quadrado de 2dm de lado. O volume do prisma é: 
 
02) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área 
 total de ( 96 + 2 3 ) cm2. Sabe-se que a aresta da base 
 mede 2cm. A medida, em centímetros, da altura do 
 prisma é: 
 
03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de 3 m de 
 altura, cuja base é um hexágono de 2 m de lado, é: 
 
 a) 3 m3 b) 3 3 m3 
 c) 9 m3 d) 3 m3 
 e) 8 3 m3 
 
04) ( Mack-SP ) Num prisma de base triangular, a altura é 
 6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em 
 cm3: 
Tarefa Complementar  
 
05) ( PUC-SP ) Se a área da base de um prisma diminui 
 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume: 
 
 a) aumenta 8% b) aumenta 15% 
 c) aumenta 108% d) diminui 8% 
 e) não se altera 
 
06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango 
 cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. 
 Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse 
 prisma, em cm3, é: 
 
 
07) ( ITA-SP ) Considere P um prisma reto de base 
 quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 
 80m2. O lado dessa basequadrada mede: 
 
08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto 
 de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e 
 ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm2, é: 
 
 
a) 1852 b) 1016 
c) 926 d) 680 
e) 508 
 
09) ( UFSC-2005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta 
 AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG 
 é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os 
 lados medindo 2cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o 
 trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em 
 planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule 
 o volume (em cm3) do sólido limitado pelas faces 
 ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios. 
 
 
 
 
 AULAS 08 
 
TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS 
 
Paralelepípedo reto retângulo 
 
Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são 
paralelogramos a as faces opostas são retângulos congruentes. 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 15 
Possui três dimensões: 
• comprimento (a) 
• largura (b) 
• altura (c) 
 
 Fórmulas 
 
Área Total: ST = 2(ab + ac + bc) 
 
Volume: V = a.b.c 
 
Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2 
 
RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c)2 = D2 + ST 
 
Cubo – Hexaedro Regular 
 
Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais. 
 
Todas as faces são quadrados 
 
Fórmulas 
 
Área Total: ST = 6 2 
Volume: V =  3 
Diagonais: d =  2 D =  3 
Exercícios de Sala  
 
01) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é 
 24 m3. Sabendo-se que suas dimensões são 
 proporcionais aos números 4, 3 e 2, calcule, em metros 
 quadrados, a área total desse paralelepípedo. 
02) No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 
 cm2. Calcule o volume do cubo. 
 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o 
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 2 ) cm. 
Calcule o volume do cubo em cm3. 
 
 
 
02) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um 
paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões 
são diretamente proporcionais aos números 8 e 2, e que a 
soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm2, a área 
total desse paralelepípedo. 
03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m2 de área total. Em quanto 
deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu 
volume se torne igual a 216 m3? 
 
 
04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de 
dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem 
tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de 
lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça 
parte do volume da caixa, em cm3, é: 
 
 
05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das 
arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, 
em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, 
sabendo que a área total mede 132 cm2, é: 
 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é 
de 376 m2 e as suas dimensões são proporcionais aos 
números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume 
desse paralelepípedo. 
 Depois, passe o resultado para o cartão resposta. 
 
07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo 
retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 
1/2 cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm3, então a 
soma das áreas de suas faces é: 
 
 a) 292cm2 b) 298cm2 c) 296cm2 
 d) 294cm2 e) 290cm2 
 
08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm 
agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que 
for correto. 
 
 
 01. A área do triângulo ABC é 2 dm2. 
 02. AD = 2 6 dm. 
 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 
 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 
 dm3 
 16. O perímetro do triângulo BCD vale 4 2 dm. 
09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por 
base um retângulo de lados 0,50m e 1,20m. Uma pedra, ao 
afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 
0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é: 
 
10) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 128litros de água de uma 
caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm. 
 
a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa 
b) calcule sua capacidade em litros 
 
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 16 
 AULA 09 
 
PIRÂMIDES 
 
1. Definição 
 
Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal 
ABCDEF e as faces são regiões triangulares. 
Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal 
do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for 
regular 
 
 
2. Nomenclatura 
 
Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. 
Observe alguns exemplos. 
• Pirâmide Triangular → a base é um triângulo 
 
• Pirâmide quadrangular → a base é um quadrado 
 
 
• Pirâmide Pentagonal → a base é um pentágono 
 
 
3. Pirâmides Regulares 
 
Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, 
a pirâmide é regular. 
Elementos e Formulário 
 
 
• aresta da base - ℓ 
• aresta lateral -aℓ 
• altura – h 
• apótema da base – ab 
• apótema da pirâmide – ap 
• Raio da circunferência circunscrita – R 
 
Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as 
seguintes relações: 
 
Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base 
 
Área Lateral : SL = n. 
.ap
2
 
 
Área Total: ST = SB + SL 
 
Volume V = 
3
.hSB
 
 
Relações Auxiliares na Pirâmide 
 
• ap2 = H2 + ab2 
• a  2 = ap2 + 

2
2



 
• a  2 = H2 + R2 
 
Exercícios de Sala  
 
01) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a 
aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa 
pirâmide. 
 
02) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja 
altura mede 33 m e o perímetro da base mede 12 m? 
 
03) ( UFSC-2006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m2 
de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e 
a secção assim feita tem 64 m2 de área. Qual a altura da 
pirâmide? 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta 
da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em 
cm3, o volume dessa pirâmide. 
 
02) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular 
regular mede 4cm e sua altura mede 2 3 cm. Determine a 
área total, em cm2, dessa pirâmide. 
 
03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta 
lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm3, 
é: 
04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com 12cm de altura, tendo 
como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral 
é: 
 
a) 240cm2 b) 260cm2 c) 340cm2 
d) 400cm2 e) n.d.a. 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 17 
05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas 
medindo 2. Então, a sua altura mede: 
 a) 1 b) 2 c) 3 
 d) 4 e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm3 de 
volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da 
base? 
 
07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é 
igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base 
de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, 
em cm, é: 
 
08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro 
da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 
metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o 
resultado obtido em m2 por dez ) 
 
09) ( UEPG-PR ) Calculea área total de um tetraedro regular de 
aresta igual a 4 cm. 
 a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm2 
 c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm2 
 e) 24 3 cm2 
 
10) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação 
 de um sólido. O volume desse sólido é de: 
 
 
a) 1152cm3 b) 1440cm3 
c) 384cm3 d) 1200cm3 
e) 240cm3 
 
11) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de 
madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P 
são os pontos médios das arestas, como se mostra na 
ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro 
que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 
 
 1 3 2 5 3a) V b) V c) V d) V e) V2 4 3 6 8
 
 
12) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de 
aresta igual a 4 cm. 
 a) 4 3 cm2 b) 8 3 cm2 
 c) 12 3 cm2 d) 16 3 cm2 
 e) 24 3 cm2 
13) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal 
regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de 
uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m2. 
 a) 6.10-4 b) 6.10-2 
 c) 12.10-4 d) 12.10-2 
 e) 15.10-4 
 
14) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 225 cm2 
de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 
36cm2 de área. A altura da pirâmide é: 
 a) 4,5 cm b) 7,5 cm 
 c) 1,5 cm d) 9,5cm 
 e) 3,5cm 
 
 AULAS 10 
 
CILINDRO, CONE e ESFERA 
 
1. Cilindro de Revolução 
 
Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em 
torno de uma reta, uma região retangular. Também é chamado de 
cilindro circular. 
 
Elementos 
 
 
Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos 
que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No 
caso do cilindro reto, temos que g = h 
 
Fórmulas 
 
Considere um cilindro reto. 
 
 
 
Área da Base: SB = πr2 
 
Área Lateral: SL = 2πrh 
 
Área Total: ST = 2SB + SL 
 
Volume: V = πr2h 
 
Secção Meridiana: 
 
A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu 
eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção 
meridiana é um retângulo de área: 2r.h. Quando a secção é um 
quadrado temos um cilindro eqüilátero 
(g = h = 2r) 
2R
h
 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 18 
2. Cone de Revolução 
 
Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um 
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é 
a altura do cone o outro é o raio do cone, e a hipotenusa é a 
geratriz do cone. 
 
 
Fórmulas 
 
Área da Base: SB = πr2 Área Lateral: SL = πrg 
Área Total: ST = SB + SL Volume: V = 
3
hπr 2
 
Relação auxiliar: g2 = h2 + r2 
 
Secção Meridiana 
 
No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. 
Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero teremos 
um cone eqüilátero ( G = 2R ) 
h g
2R 
3. Esfera 
 
Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao 
ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser 
considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo 
em torno de um de seus diâmetros. 
 
Secção de uma esfera 
 
Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina 
como secção plana um círculo de raio r. 
 
d é a distância entre o plano α e o centro da esfera. 
R é o raio da esfera. 
r é o raio da secção. 
 Relação: R2 = r2 + d2 
Fórmulas da esfera 
superfície esférica: As = 4πR2 volume: V = 3πR
3
4
 
Exercícios de Sala  
 
01) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de 27π 
dm3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: 
 
 a) 4dm b) 9dm c) 2dm d) 5dm e) 3dm 
 
02) ( UFSC ) Determinar 
1
π
 do volume em m3 de um cone de 
revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 
20π m2. 
 
03) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20cm e 
raio da base r = 2 cm com esferas tangentes ao mesmo e 
tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às 
esferas vale: 
 
a) 102 
π
3
cm3 b) 80 
π
3
 cm3 c) 40 π cm3 
d) 160 cm3 e) 80 π cm3 
 
Tarefa Mínima  
 
01) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 36πm2. 
O valor, em m3, de 
1
π
do volume desse cilindro é: 
 
02) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 
9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de 
15
π
 cm de altura e 12 cm de raio da base. O volume, em 
cm3, de ferro que sobrou após a modelagem, é: 
 
03) UDESC ) Uma caixa d’água de forma cilindrica tem 1,5 m de 
diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é: 
 
 a) 3,2 m b) 3,6 m 
 c) 4,0 m d) 4,8 m 
 
04) ( SUPRA ) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 
10 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e 
possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de 
água em seu interior, a água: 
 
 a) ultrapassa o meio do cano 
 b) transborda 
 c) não chega ao meio do cano 
 d) enche o cano até a borda 
 e) atinge exatamente o meio do cano 
 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 19 
05) ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada 
por um plano situado a uma distância de 12cm do centro da 
superfície esférica, determinando uma circunferência, em 
cm, é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Tarefa Complementar  
 
06) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63πcm3 de volume. Sabendo 
que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a 
sua altura. 
 
07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 
20% e sua altura é diminuída de 25%. O volume deste 
cilindro sofrerá um aumento de: 
 a) 2% b) 4% c) 6% 
 d) 8% e) n.d.a. 
 
08) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 
3 2 cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume 
do sólido de revolução gerado? 
 a) 3 2 cm3 b) 9 π cm3 
 c) 18 π cm3 d) 27 π cm3 
 e) 1/3 π cm3 
 
09) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 
5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção. 
 a) 39 b) 36 c) 32 
 d) 65 e) n.d.a. 
 
10) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total 
é 2. O valor de 
1
3π
do volume da esfera, inscrita nesse 
cubo, é: 
 
11) ( UFSC ) O volume, em cm3, de um cubo circunscrito a 
uma esfera de 16π cm2 de superfície é: 
 
12) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o 
mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da 
esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone 
é: 
 a) 9/4 b) 9/2 c) 3/4 
 d) 2/3 e) 1 
 
13) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone eqüilátero 
mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em 
cm3, é: 
 a) 144π b) 152π c) 192π 
 d) 288π e) 302π 
 
14) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro está 
completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua 
altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de 
bolinhas de 2cm de raio que se podem obter com toda a 
massa é: 
 a) 300 b) 250 c) 200 
 d) 150 e) 100 
15) ( UFSC ) A geratriz de um cone eqüilátero mede 32 cm. 
Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, 
multiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no 
cartão-resposta. 
 
AULA 11 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
1. Conceitos Iniciais 
 
Vamos considerar a seqüência (an ) onde an = 3n + 1, sendo n 
inteiro positivo. Temos: 
 a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 e assim por diante. 
 
 (4, 7, 10, 13, ...........) 
 
Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor 
mantém-se igual a 3. Seqüências como esta são denominadas 
progressões aritméticas.2. Definição 
 
Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a partir 
do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu 
antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da 
P.A. e é indicada por r. 
 
Veja que para a seqüência a1.a2.a3...an ser uma P.A. é necessário 
que: 
 
 a2 − a1 = a3 − a2 = ...... an − an−1 = ..... = r 
Veja os exemplos: 
 
a) a seqüência (2, 5, 8, .......) é uma P.A., pois 
 5 – 2 = 8 – 5 = ..... Sua razão é igual a 3. 
 
b) a seqüência (1, 4, 5, .....) não é P.A., pois 
 4 – 1 ≠ 5 – 4. 
 
3. Classificação da P.A. 
 
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. 
Observe o quadro abaixo: 
 
 r > 0 ⇔ P.A. crescente (2, 4, 6, 8, 10) r = 2 
 r < 0 ⇔ P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -2) r = –3 
 r = 0 ⇔ P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 
 
4. Fórmula do Termo Geral da P.A. 
 
Considere a seqüência (a1, a2, a3......an). Partindo da definição 
temos: 
 a2 = a1 + r 
 a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
 a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
 . 
 . 
 an = a1 + (n – 1).r 
 
Importante: 
 
Se an e ak são dois termos quaisquer de uma P.A. , da fórmula do 
termo geral temos: 
 
an = a1 + (n – 1)r (1) 
ak = a1 + (k – 1)r (2) 
 
Subtraindo-se (1) de (2) vem: 
 
an – ak = (n – 1)r – (k – 1)r 
an – ak = (n – 1 – k + 1) r 
an = ak + (n – k)r 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 20 
Logo, para dois termos quaisquer an e ak, podemos escrever: 
 
 an = ak + (n – k).r 
 
Exemplos: a12 = a3 + 9r; a20 = a6 + 14r; a8 = a2 + 6r 
 
Representações Especiais 
 
Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar 
os seguintes artifícios: 
 
• Três termos em P.A. 
 : x – r . x . x + r 
• Quatro termos em P.A 
 : x – 3r . x – r . x + r . x + 3r 
• Cinco termos em P.A. 
 : x – 2r . x – r . x . x + r . x + 2r 
 
Propriedades da P.A. 
 
Dada um Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, 
podemos observar as seguintes propriedades: 
 
• Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média 
aritmética entre o termo anterior e o posterior 
 
 
2
1na1na
na
++−= 
 
 
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23) 
 
 
2
14811 += 
 
• Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é 
igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos. 
 
Observação: Se dois termos ap e aq são eqüidistantes dos 
extremos tem-se: 
 
p + q = n + 1 
 
 
Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são 
eqüidistantes dos extremos ou não. 
Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a16 e a35 são 
eqüidistantes dos extremos, pois 
16 + 35 = 50 + 1. 
 
3. Interpolação Aritmética 
 
Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b 
significa formar uma P.A. de extremos a e b com 
m + 2 elementos. 
 
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a 
razão da P.A. 
 
4. Soma dos Termos da P.A. 
 
 .n2
na1a
nS 






 +
= 
 
Exercícios de Sala  
 
01) A seqüência (19 – 6x, 2 + 4x, 1 + 6x) são termos 
consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é: 
 
02) Em uma P.A., a5 = 30 e a16 = 118. Calcular a razão da P.A. 
 
03) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição 
correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 
1e1995, é 
 
 01. 198.000 
 02. 19.950 
 04. 199.000 
 08. 1.991.010 
 16. 19.900 
Tarefa Mínima  
 
01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as 
seqüências representem três números consecutivos em P.A. 
 
a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 ) 
b) (2x – 3, 2x + 1, 3x + 1) 
c) (x + 4)2, (x – 1)2 , (x + 2)2 
 02) ( FGV-SP ) A seqüência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma progressão 
aritmética. Sua razão é: 
 
03) ( PUC-SP ) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são 
respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é: 
 
04) Calcular a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro 
termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo 
segundo é 110. 
 
05) ( LONDRINA ) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os 
números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo 
quinto termo vale: 
 
06) ( PUC-SP ) Três números positivos estão em PA. A soma 
deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: 
 
07) ( U.F OURO PRETO ) A soma dos n primeiros números 
naturais ímpares é dada por: 
 
a) n2 b) 2n c) n/2 d) 2n – 1 e) n3 
 
08) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os 
formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um 
triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na 
segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma 
progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia 
é: 
 
 a) 400 b) 410 c) 420 d) 800 e) 840 
 
Tarefa Complementar 
 
09) ( UFSC ) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos 
termos extremos é 92, e a diferença entre os dois primeiros 
termos é − 5. O valor do 1º termo é: 
 
10) O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21e 
623 é: 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 21 
11) ( U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência (1 – 3x, x 
– 2, 2x + 1…) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 – 
3x, x + 7, ….) é: 
 
a) 62 b) 40 c) 25 d) 89 e) 56 
 
12) ( PUC ) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a 
área de um quadrado estão em P.A, nessa orden. O lado do 
quadrado mede: 
 a) 2 b) 2 2 - 1 c) 1 + 2 d) 4 e) 2 
 
13) ( CEFET-PR ) O número de inteiros compreendidos entre 
200 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 
15, é: 
 
 a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) 80 
 
14) ( POLI ) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, 
qual é o sexto termo da P.A. 
 
15) ( Unicamp-SP ) Os lados de um triângulo retângulo estão em 
progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, 
determine a soma dos lados do triângulo. 
 
16) ( UFSC ) As medidas dos lados de um triângulo são números 
inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 291 
decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado 
desse triângulo. 
 
17) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão 
aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine 
o raio da circunferência inscrita nesse triângulo. 
 
18) ( UFSC ) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo 
primeiro termo e último termos são respectivamente, −7 e 17 
é: 
 
19) ( UFSC ) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na 
qual o primeiro termo é igual a razão e a3 + a8 = 18 é: 
 
20) ( UFSC ) Qual deve ser o número mínimo de termos da 
seqüência (−133, −126, −119, −112...) para que a soma de 
seus termos seja positiva. 
 
AULA 12 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
1. Definição 
 
É uma seqüência de números não nulos em que cada termo a 
partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um 
número fixo chamado razão da PG. 
 
Representação: :: a1 : a2 : a3 : .... :an 
 
 onde 
 a1 é o primeiro termo 
 a2 é o segundo termo 
 a3 é o terceiro termo 
 an é o enésimo ou último termo 
 n é o número de termos 
 q é a razão da P.G. 
 
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
= = = =
−
2
1
3
2
4
3 1
 
 
2. Classificação da P.G. 
 
1º caso: a1 > 0 
 
 Se q > 0 → P.G. crescente → ( 2, 6, 18, 54,...) 
 Se q = 1 → P.G. constante → ( 5, 5, 5, 5,...) 
 Se 0 < q < 1 → P.G. decrescente → (256, 64, 16,...) 
 
2º caso: a1 < 0 
 
 Se q > 0 → P.G. decrescente →(-2, -10, -50,..) 
 Se q = 1 → P.G. constante → ( -3, -3, -3,...) 
 Se 0 < q < 1 → P.G. crescente → ( -40, -20, -10,...) 
 
Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que 
cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre 
quando q < 0. 
 
3. Termo Geral 
 
Considere a seqüência (a1, a2, a3, ........., an). Partindo da definição 
temos: 
 a2 = a1.q 
 a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2 
 a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
 . 
 . 
 an = a1.qn - 1 
 
Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer 
de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. am e ak, 
podemos dizer que: 
 
 am = ak.qm - k 
 
 
1. Representação de três termos em 
 P.G. 
 
x x x q
q
, , ⋅ 
 
2. Propriedades 
 
1ª Propriedade: 
 
Dada uma P.G com três termos consecutivos (a1, a2, a3), podemos 
dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior 
(a1) e o seu posterior (a3), ou seja: 
 
 a22 = a1.a3 ou an2 = an - 1.an + 1 
 
2ª Propriedade 
 
Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto 
dos termos eqüidistantes dos extremos. 
Veja a P.G. ( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ). 
Observe que: 2.64 = 4.32 = 8.16 = 128 
 
3. Interpolação Geométrica 
 
Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b 
significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + 2 
elementos. 
Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a 
razão da P.G. 
Matemática C Inclusão para a Vida 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 22 
3. Soma dos termos de uma P.G. finita. 
 
A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela 
expressão: 
 
11 1
1 1
n
na q aa qSn
q q
.( ) −−
= =
− −
 
 
Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos 
 uma P.G. constante, e a soma dos 
 termos dessa P.G será dada por: 
 Sn = n. a1 
4. Soma dos termos de uma P.G. infinita. 
 
Dada uma P.G. com: n → ∞ e an → 0, sua soma pode 
ser calculada pela expressão: 
 
q
aS
−
=
1
1 0 < |q| < 1 
5. Produto dos termos de uma P.G. finita 
 
O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: 
 
 |Pn | = 
n). n1 a( a 
 
Exercícios de Sala  
01) ( UEL-PR ) A seqüência (2x + 5, x + 1, 
2
x , ....) é uma 
 progressão geométrica de termos positivos. O décimo 
 terceiro termo dessa seqüência é: 
 
 a) 2 b) 3-10 c) 3 d) 310 e) 312 
 
02) ( MACK-SP ) Em uma progressão geométrica o 
 primeiro termo é 2 e o quarto é 54. O quinto termo 
 dessa P.G. é: 
 
 a) 62 b) 68 c) 162 d) 168 e) 486 
 
03) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S10 = 3069 e que 
 a razão vale 2, o valor do quinto termo é: 
 
 a) 46 b) 47 c) 48 d) 24 e) 56 
 
04) A solução da equação: x x x x+ + + +. =
3 9 27
15.. 
 é: 
Tarefa Mínima  
 
01) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as 
seqüências representem três números consecutivos em P.G. 
 
a) (x + 1; x + 4; x + 10) 
b) (4x, 2x + 1, x – 1) 
 
02) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último é 
486. Calcular a razão dessa P.G. 
 
03) ( Fuvest-SP ) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma 
dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. 
Calcule a razão da progressão. 
 
04) ( UFES-ES ) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a 
soma de seus termos é 14 e o produto 64? 
 
 a) 4 b) 2 c) 2 ou 1/2 d) 4 ou 1 
 
05) ( UFCE ) A solução da equação 
 x x x x+ + + +. =
3 9 27
60.. é: 
 
 a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 51 
 
06) A soma dos termos da P.G. (2, 6, ......, 486) é: 
 
 a) 567 b) 670 c) 728 d) 120 
 e) n.d.a. 
 
Tarefa Complementar  
 
07) ( UFPA ) A seqüência (a, ab, 3a), com a ≠ 0, é uma P.G. 
Então, o número b é: 
 
 a) o triplo de a. b) a terça parte de a. 
 c) racional d) irracional 
 e) n.d.a. 
 
08) ( UFPA ) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo 
número a 1,3 e 2, nessa ordem é 
 
 a) -1/2 b) 1/2 c) 2 d) - 2 e) -1/3 
 
09) ( FGV-SP ) Em um triângulo, a medida da base, a medida da 
altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. 
Então a medida da base vale: 
 
10) ( UFSC ) Em uma progressão geométrica o 3º termo é 
16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo. 
 
11) ( UFSC ) Na progressão geométrica 
 ( 10, 2, 2
5
, 2
25
, ... ), a posição do termo 2
625
 é: 
 
12) Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado, 
mensalmente, em 12% sobre o preço anterior. Se fizermos 
uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma 
 progressão: 
 
 a) aritmética de razão 12 
 b) aritmética de razão 0,12 
 c) geométrica de razão 12 
 d) geométrica de razão 1,12 
 e) geométrica de razão 0,12 
 
13) ( UFSC ) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º 
termo com o último é 12500. Determine o valor do 3º termo. 
 Obs.: Considere a P.G. de termos positivos. 
 
14) ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 
e 5832, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º termo dessa 
 seqüência. 
 
 a) 648 b) 78 c) 102 d) 354 e) 245 
 
 
Inclusão para a vida Matemática C 
 
PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 23 
15) ( UFSC ) Sejam x, 6, y uma progressão aritmética onde x e y 
são dois números positivos. A sucessão x, 10, y + 40 é uma 
progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é: 
 
 
16) ( UDESC ) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os 
meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. 
Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém-
se um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a 
 soma das áreas de todos os quadrados obtidos. 
 
17) ( IME ) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, 
de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela 
sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância 
(em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até 
atingir o repouso. 
 
18) ( FGV-SP ) O conjunto solução da equação 
 
2
1...
2793
2 −=−−−−−
xxxxx é: 
a) {
2
1
, 1} b) {– 
2
1
, 1} c) {1, 4} 
d) {1, - 4} e) {1, 2} 
 
19) Considere a expressão A = ...
81
4
27
3
9
2
3
1
++++ em que os 
numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam 
uma P.G. Determine o valor de 12A 
 
20) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados à(s) 
proposição(ões) VERDADEIRA(S). 
 
 01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500. 
 02. O valor de x que satisfaz a equação 
 (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ..... + (x + 28) = 155 é 
 x = 1 
 04. O oitavo termo da P.G. ( 2 , 2, ....) é a8 = 16. 
 08. A soma dos termos da P.G. 1
3
2
9
4
27
, , ,...




 é igual a 1. 
 
 
GABARITO – MAT C 
 
 
AULA 1 
 
1) 34,50 cand/vaga 2) 24 e 36 
3) x = 15 e y = 5 4) c 
5) 48, 72, 96, 144 6) 72, 64, 84 
7) 35 anos e 20 anos 8) a 
9) d 10) d 
11) 04 12) 10 
13) a 14) p = 
2
1
 m = 
2
1
± 15) 
6
1,
6
5,
5
1 
 
 
AULA 2 
 
1) c 2) b 3) 75° 4) a) 20° b) 44° c) 20° d) 30o 
 
5) a 6) 85° 7) a 8) 47 9) 21 10) 80 
11) b 12) e 13) 30° 14) 130° 15) 120 
 
 
 
 
 
AULA 3 
 
1) b 2) c 3) c 4) a) 10 3 b) 10 c) 10 2 
5) c 6) d 7) e 8) quadrado e dodecágono 
9) d 10) d 11) a 12) d 13) 40o 14) 2 
15) 
R
2
15 − 
 
AULA 4 
 
1) a) 43° b) 50° c) 75° 2) a 3) a 4) 3/55) 29 6) a 7) c 8) 50° 9) 32 10) 215° 
11) 20 12) b 13) 2,6; 3,9; 6,5 14) b 15) 20 
 
AULA 5 
 
1) c 2) a 3) 12 4) 13 5) 15 6) b 7) e 
8) c 9) 9π cm2 10) b 11) 03 12) a 13) d 
14) 16 15) 20 
 
AULA 6 
 
1) a 2) a 3) a 4) e 5) e 6) 23 7) 18 
8) d 9) d 10) a 
 
AULA 7 
 
1) 32dm3 2) 16 3) c 4) 36 5) a 6) 96 7) 04 
8) d 9) 72 
 
AULA 8 
 
1) 64 2) 68 3) 02 4) 64 5) 02 6) 48 7) a 
8) 13 9) 06 10) a) 80 b) 512 
 
AULA 9 
 
1) 64 2) 48 3) 24 4) b 5) b 6) 03 7) 18 
8) 64 9) d 10) c 11) d 12) d 13) a 14) b 
 
AULA 10 
 
1) 54 2) 09 3) c 4) a 5) e 6) 07 7) d 
8) b 9) a 10) 96 11) 64 12) a 13) d 14) d 
15) 09 
 
AULA 11 
 
1) a) – 1 b) 4 c) -9/8 2) 07 3) 01 4) 06 5) 54 
6) 04 7) a 8) a 9) 61 10) 120 11) d 12) b 
13) b 14) 30 15) 60 16) 99 17) 02 18) 35 
19) 90 20) 40 
 
AULA 12 
 
1) a) 2 b) – 1/8 2) 03 3) 03 4) c 5) b 6) c 
7) d 8) a 9) 16 10) 16 11) 06 12) d 
13) 50 14) a 15) 96 16) 32 17) 3h 18) a 
19) 09 20) 15 
 
	NÚMEROS PROPORCIONAIS
	GEOMETRIA PLANA
	ESTUDO DOS POLÍGONOS
	Observações
	POLÍGONOS REGULARES
	Quadrado
	Hexágono Regular
	CIRCUNFERÊNCIA
	SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
	TRIÂNGULO RETÂNGULO
	ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
	GEOMETRIA ESPACIAL
	POLIEDROS
	Poliedros Regulares
	PRISMAS
	TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS
	PIRÂMIDES
	3. Pirâmides Regulares
	Elementos e Formulário
	CILINDRO, CONE e ESFERA
	3. Esfera
	Fórmulas da esfera
	PROGRESSÃO ARITMÉTICA
	PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
	AULA 1
	AULA 2
	AULA 3
	AULA 4
	AULA 5
	AULA 6
	AULA 7
	AULA 8
	AULA 9
	AULA 10
	AULA 11
	AULA 12