Triângulos: Propriedades e Classificação

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Triangulo especiais 
No plano, o triângulo (também aceito como trilátero1 ) é a figura geométrica que 
ocupa o espaço interno limitado por três segmentos de reta queconcorrem, dois a 
dois, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que 
somam 180°.2 Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse 
caso, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. 
Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares 
(pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três 
segmentos de reta.3 
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus 
ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente.3 O perímetro de um 
triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de 
um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa 
de região côncava (curvado na face interna). 
 
Os Tipos De Triângulos 
Os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das 
proporções relativas de seus lados e de seus ângulos internos:2 
 Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. 
Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos 
são congruentes (medem 60°),3 sendo, portanto, classificado como 
um polígono regular. 
 Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e 
dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, consequentemente, um 
caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas 
todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. 
Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é 
chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da 
base e são congruentes. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Segmentos_de_reta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais#Posi.C3.A7.C3.A3o_de_uma_reta_no_plano
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-Brasil_Escola-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_geod%C3%A9sico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-InfoEscola-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-InfoEscola-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-Brasil_Escola-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%AAncia_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equi%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-InfoEscola-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Congru%C3%AAncia_(geometria)
2 
 
 Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os 
ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas 
diferentes. 
Denomina-se base o lado sobre qual se apoia o triângulo. No triângulo isósceles, 
considera-se base o lado de medida diferente. 
Todos esses triângulos são os mesmos encontrados num plano de duas 
dimensões, porem em grandes extensões, como na superfície do planeta por 
exemplo, os ângulos para continuarem os mesmos é necessário que o 
comprimento dos lados sejam deformados ou seja ampliados em igual proporção 
ao perímetro da esfera. 
Em um triângulo, a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados é maior que o 
comprimento do terceiro lado. 
 
Triângulo equilátero 
 
 
Triângulo isósceles 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Equilatero.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Isosceles.png
3 
 
 
Triângulo escaleno 
Essa relação é conhecida como desigualdade triangular. 
 Um triângulo retângulo possui um ângulo reto.2 Num triângulo retângulo, 
denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados 
chamam-se catetos. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo, opostos 
aos catetos, são complementares (ou seja, sua soma é igual a 90°). 
 Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. 
 Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos. 
 
Triângulo retângulo 
 
 
Triângulo obtusângulo 
 
 
Triângulo acutângulo 
Condição de existência de um triângulo 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_Ret%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_reto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-Brasil_Escola-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ret%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_agudo
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_obtuso
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_agudo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Scaleno.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Rettangolo.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangolo-Ottuso.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Acute.png
4 
 
Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer 
um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o 
valor absoluto da diferença entre essas medidas. 
 
 
Fatos básicos 
Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-
4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C. 
Um triângulo é um polígono. 
Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão 
uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes 
são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um 
ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial 
sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são 
proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado 
do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes 
maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será 
duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo.3 Assim, a razão do 
maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado 
e o menor lado do outro triângulo. 
Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções 
trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um 
ângulo que são investigadas natrigonometria. 
Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e 
γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto 
ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ. 
Na Geometria euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a 32ª 
proposição de Euclides afirma que a soma dos ângulos internos de qualquer 
triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a 
determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as 
medidas dos outros dois ângulos. Por exemplo:2 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/300_a.C.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono
https://pt.wikipedia.org/wiki/Similaridade_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-InfoEscola-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Seno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trigonometria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales_(c%C3%ADrculo)
https://pt.wikipedia.org/wiki/32%C2%AA_proposi%C3%A7%C3%A3o_de_Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/32%C2%AA_proposi%C3%A7%C3%A3o_de_Euclides
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-Brasil_Escola-2
5 
 
 
Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os 
ângulosB e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são 
iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos 
internos do triângulo é 180º. 
Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo 
externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-
adjacentes. 
Ex: Sendo a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o 
vértice pode-se afirmar que: 
 
Teorema de Pitágoras. 
Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer 
triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um 
ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira: 
 
Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo 
retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos 
triângulos retângulos. 
O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos: 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_cossenos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangulo180.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Pythagorean.svg
6 
 
Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e 
pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, 
desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam 
conhecidas. 
A lei dos senos diz: 
 
onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência 
que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para 
computar as medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois 
ângulos e de um lado sejam conhecidas. 
Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em 
geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas 
e a proporção de seus lados é: O "triângulo 30º-60º-90º" possui 
ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: 
Área] 
Produto Base Altura 
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela 
medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: 
 onde h é a altura do triângulo, b a medida da base. 
Triângulos equiláteros 
Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com: 
 
Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um 
triângulo equilátero é: 
 
Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas 
usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide 
ao meio em dois triângulos retângulos iguais. 
Semiperímetro 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_senos
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://pt.wikipedia.org/wiki/Seno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cosseno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
7 
 
Ver artigo principal: Teorema de Heron 
Outra maneira de calcular sua área é através do teorema de Herão (ou Heron), 
também conhecido como fórmula do semi-perímetro: 
 
onde: 
 é o semi-perímetro. 
 
Lados 
Também podemos calcular a área a partir dos lados do triângulo. Sendo a e b dois 
lados quaisquer de um triângulo, e o ângulo entre eles, temos que a área é: 
 
Raio circunscrito 
Ver artigo principal: Lei dos senos 
Há ainda a fórmula da área do triângulo em função das medidas dos 
lados e do raio da circunferência circunscrita a esse 
triângulo demonstrada pela lei dos senos: 
 
Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo] 
Mediatriz 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Heron
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Her%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_dos_senos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Circumcenter.png
8 
 
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 
A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto 
médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, 
o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que 
passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser 
achado pela lei dos senos. 
O teorema de Tales (ou Lei angular de Tales) determina que se o circuncentro 
estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. 
Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, 
este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este 
será obtusângulo. 
Altura 
h 
 
O ponto de interseção das alturas é o ortocentro. 
Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu 
prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, 
e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura. 
O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-
se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no 
triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é 
externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema 
ortocêntrico. 
A altura de todo e qualquer triângulo é dado pela fórmula: 
 
 b = hipotenusa do triângulo retângulo formado com a altura do triângulo em 
questão. 
 h = altura procurada. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuncentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Reta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuncentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales_(c%C3%ADrculo)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Segmento_de_reta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Orthocenter.png
9 
 
 c = base do triângulo. 
 x = parte da base C do triângulo que foi dividida pela altura. 
 
Mediana 
 
 
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade. 
Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio 
do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede 
metade da hipotenusa. 
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de 
gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos.3O 
segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro 
ao lado oposto deste vértice. No triângulo equilátero, as medianas, mediatrizes, bissetrizes e 
alturas são coincidentes.
2
 No isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente, no 
escaleno, nenhuma delas. Ainda para o triângulo Isósceles, vale ressaltar que a formação da 
bissetriz, coincidindo com o ponto médio de sua base, divide três semi-retas iguais, as quais 
são percebidas com a inscrição do círculo formado pelo incentro da bissetriz, onde há duas 
semi-retas, as quais serão o raios do círculo, sendo assim, dividindo-se em três partes iguais a 
altura do triângulo (que também coincide com a mediana e a bissetriz, cada ), explicam-se 
as relações de a semi-reta que parte do ponto central do círculo até o lado do triângulo valer o 
mesmo que o raio, isto é, e que o resto até o vértice oposto a esse lado valer 
Síntese para o triângulo isósceles, propriedade baricentro: semi-retas divididas em dois 
segmentos, sendo que um é o dobro do outro. Entende-se portanto no triângulo isósceles que 
se uma parte vale a outra valerá o dobro: = 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mediana_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mediana_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-InfoEscola-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-Brasil_Escola-2https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Centroid.png
10 
 
Bissetriz 
 
 
O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro. 
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de 
um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo 
em dois ângulos congruentes. 
Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção 
delas chama-se incentro. 
O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo 
é denominado círculo inscrito. 
Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado 
entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto. 
As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-
incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas. 
Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a 
um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado 
círculo ex-inscrito. 
Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro, o circuncentro e o baricentro 
são o mesmo ponto. 
 
Reta de Euler 
Ver artigo principal: Reta de Euler 
É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro (os centros). 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Bissetriz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Reta_de_Euler
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Baricentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuncentro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangle.Incircle.png
11 
 
Círculo dos Nove Pontos] 
É a circunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e 
os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices. 
Relações de desigualdades entre lados e ângulos 
 1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é o resultado da soma dos dois 
ângulos internos não-adjacentes. 
 2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-
se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo. 
 3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida maior que a diferença entre 
as medidas dos outros dois. 
 
Teorema da Base Média 
O teorema da base média do triângulo afirma que, dado um triângulo qualquer, 
o segmento com extremos nos pontos médios de dois lados desse triângulo é 
paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual a metade desse terceiro lado.4
 
 
Demonstração[ 
 
Triângulo ABC qualquer. 
 
Demonstração da base média 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo#cite_note-4
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangulo_base_m%C3%A9dia_1.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Triangulo_base_m%C3%A9dia_demostra%C3%A7%C3%A3o.png
12 
 
Dado um qualquer, sendo M ponto médio do lado e N o ponto médio do 
lado . Queremos mostrar que e ainda 
Hipótese: Tese: 
Traçando paralela a , passando por C. Onde 
Pelo caso lado, ângulo, ângulo 
oposto: 
Consequentemente temos e como temos que BCDM 
é paralelogramo, logo . Ainda da congruência dos triângulos 
temos e como , então . 
 
A lei dos co-senos 
Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, 
isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto 
as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para 
determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei 
dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação: 
 
 
Exemplo 1 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
13 
 
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a 
seguir: 
 
a² = b² + c² – 2 * b * c * cos? 
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º 
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5 
49 = x² + 9 – 3x 
x² –3x – 40 = 0 
 
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos: 
 
x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. 
Então o valor de x no triângulo é 8 cm. 
 
Exemplo 2 
 
Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 
7 cm. Determine a medida do ângulo A. 
 
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício. 
 
 
 
Aplicando a lei dos cossenos 
 
14 
 
a = 7, b = 6 e c = 5 
 
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A 
49 = 36 + 25 – 60 * cos A 
49 – 36 – 25 = –60 * cos A 
–12 = –60 * cos A 
12 = 60 * cos A 
12/60 = cos A 
cos A = 0,2 
 
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º. 
 
 
Exemplo 3 
 
Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei 
dos cossenos. 
 
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5 
 
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º) 
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5) 
x² = 125 + 50 
x² = 175 
√x² = √175 
x = √5² * 7 
x = 5√7 
 
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm. 
A lei dos senos 
15 
 
Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os 
ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes 
relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o 
cateto adjacente e a hipotenusa. Observe: 
 
Seno: cateto oposto / hipotenusa 
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa 
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente 
 
Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele 
que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Nos casos 
envolvendo triângulos quaisquer utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos 
no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos a lei dos 
senos mostrando sua fórmula e modelos detalhados de resoluções de exercícios. 
 
Fórmula que representa a lei dos senos: 
 
 
Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida 
oposta ao ângulo. 
 
Exemplo 1 
 
Determine o valor de x no triângulo a seguir. 
http://www.brasilescola.com/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/lei-coseno.htm
16 
 
 
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865 
sen45º = √2/2 ou 0,705 
 
 
Exemplo 2 
 
No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e 
um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida 
de x. 
 
Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, 
mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para 
tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um 
triângulo é igual a 180º. Portanto: 
 
α + 105º + 45º = 180º 
α + 150º = 180º 
α = 180º – 150º 
17 
 
α = 30º 
 
Aplicando a lei dos senos 
 
 
 
A equação da reta 
Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos 
relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 
aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz 
quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da 
equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis 
pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da 
determinação da equação geral: 
 
 
Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e (x2, y2) 
e um ponto genérico representado pelo par (x, y). Observe que a 3º coluna da 
matriz é completada com o algarismo 1. Vamos aplicar esses conceitos na 
obtenção da equação geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8), veja: 
Ponto A temos que: x1 = 1 e y1 = 2 
Ponto B temos que: x2 = 3 e y2 = 8 
Ponto genérico C representado pelo par ordenado (x, y) 
18 
 
 
 
Calcular o determinante de uma matriz quadrada aplicando a regra de Sarrus 
significa: 
 
1º passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz. 
 
2º passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.3º passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária. 
 
4º passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos 
da diagonal secundária. 
Observe todos os passos na resolução da matriz dos pontos da reta: 
 
[(1 * 8 * 1) + (2 * 1 *x) + (1 * 3 * y)] – [(2 * 3 * 1) + (1 * 1 * y) + (1 * 8 * x)] = 0 
[ 8 + 2x + 3y] – [6 + y + 8x] = 0 
8 + 2x + 3y – 6 – y – 8x = 0 
2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0 
–6x + 2y + 2 = 0 
 
Os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equação geral da reta: –6x + 2y + 
2 = 0. 
 
Exemplo 2 
Vamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–
2, 5). 
19 
 
 
 
[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0 
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0 
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0 
–3x – y – 1 = 0 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela 
expressão: –3x – y – 1 = 0. 
Assista a aula 10 e aula 11 do 
vídeo. https://www.youtube.com/watch?v=BeIc3BYLtXw 
A equação da circunferência. 
A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = 
R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir: 
 
Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto 
genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os 
https://www.youtube.com/watch?v=BeIc3BYLtXw
20 
 
pontos C e P utilizando a expressão matemática , de 
acordo com as definições da Geometria Analítica. 
 
 
De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é 
considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R 
(raio), observe: 
(x – a)² + (y – b)² = R² 
 
 
 
 
Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e 
raio 6. 
(x – a)² + (y – b)² = R² 
(x – 2)² + (y + 9)² = 6² 
(x – 2)² + (y + 9)² = 36 
 
(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e 
que passa pelo ponto A (1, 1). 
 
A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio. 
 
(x – a)² + (y – b)² = R² 
21 
 
(x – 2)² + (y – 1)² = 1² 
(x – 2)² + (y – 1)² = 1 
A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) 
possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A 
equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 
1)² = 1, veja: 
(x – 2)² + (y – 1)² = 1 
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0 
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0 
 
O principio multiplicativo 
O Princípio Aditivo e o Princípio Multiplicativo são as bases da Análise 
Combinatória e permitem resolver todos os problemas dessa área daMatemática, 
apesar de suas demais ferramentas. 
Princípio Aditivo: Se A e B forem conjuntos disjuntos – isto é, com intersecção 
vazia, e o número de elementos de A é p e o número de elementos de B é q, 
então o conjunto tem p + q elementos. 
Princípio Multiplicativo: Se um evento A pode ocorrer de p maneiras distintas e 
um evento B pode ocorrer de q maneiras distintas, então o evento A seguido do, 
ou simultâneo ao, evento B pode ocorrer de p . q maneiras distintas. 
Vamos ver um exemplo para ilustrar cada caso: 
1) Rodrigo tem 10 DVDs de Ação, 5 de Comédia e 2 de Terror. De quantas 
maneiras ele pode escolher um DVD para assistir? 
Solução: como os DVDs de ação, de comédia e de terror são conjuntos disjuntos, 
ou seja, não tem nada em comum, e como Rodrigo que assistir a apenas um filme 
sem nenhuma restrição, ele poderá assistir a um filme de 10 + 5 + 2 = 17 maneiras 
diferentes. 
2) Agora, suponha que Rodrigo queira assistir a um filme de Ação, a um filme de 
Comédia e a um filme de Terror. De quantas maneiras ele poderá assistir? 
Solução: Rodrigo deverá assistir a três filmes. O primeiro deverá ser de Ação, logo 
ele tem 10 possibilidades; para cada filme de Ação, ele poderá assistir a 5 
Comédias e, para cada Comédia, 2 filmes de Terror. Logo, Rodrigo poderá assistir 
a um filme de cada gênero de 10 . 5 . 2 = 100 formas diferentes. 
Embora possa resolver todos os problemas, os princípios de contagem podem 
tornar a resolução de problemas com muitas informações difícil. Para resolvê-los, 
http://www.andremachado.org/artigos/386/principio-aditivo-e-principio-multiplicativo.html
http://www.andremachado.org/artigos/386/principio-aditivo-e-principio-multiplicativo.html
http://www.andremachado.org/artigos/386/principio-aditivo-e-principio-multiplicativo.html
http://www.andremachado.org/artigos/386/principio-aditivo-e-principio-multiplicativo.html
http://www.andremachado.org/artigos/wp-content/uploads/2011/08/AUB.gif
22 
 
usamos ferramentas da Análise Combinatória, como Arranjos, Combinações e 
Permutações. 
 
Permutações 
Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, 
onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela 
ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, 
QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma 
permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. 
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24 
 
Exemplo 1 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? 
Resolução: 
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso 
de permutação simples. 
P = 4! = 24 
 
 
Exemplo 2 
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, 
Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais? 
Resolução: 
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da 
permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão 
somente pela ordem dos elementos. 
P = n! 
P = 5! 
P = 5*4*3*2*1 
23 
 
P = 120 
Portanto, o número de posições possíveis é 120. 
 
Exemplo 3 
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e 
seis mulheres: 
a) em qualquer ordem 
Resolução 
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades 
 
b) iniciando com homem e terminando com mulher 
Resolução 
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: 
Seis homens aleatoriamente na primeira posição. 
Seis mulheres aleatoriamente na última posição. 
 
 
P = (6*6) * 10! 
P = 36*10! 
P = 130.636.800 possibilidades 
 
 
Assista a este vídeo. https://www.youtube.com/watch?v=EH_eAYbwr84 
 
 
 
O conceito de probabilidade 
Consideremos a experiência do lançamento de uma moeda e leitura da face 
voltada para cima. Ao realizarmos n vezes a experiência, se obtivermos m vezes o 
resultado “cara” é . É claro que lançada a moeda o resultado é imprevisível, 
pois não podemos dizer com absoluta certeza que o resultado será “cara”, pois 
nada impede que dê “coroa”. 
A experiência provou que conforme se aumenta n, ou seja, à medida que mais 
https://www.youtube.com/watch?v=EH_eAYbwr84
24 
 
lançamentos da moeda são feitos, a frequência relativa tende a estabilizar-se 
em torno de . 
 
Exemplo: 
Em 1000 lançamentos (n = 1000), 529 resultados foram favoráveis (m = 529), o 
que nos dá para o valor de 0,529. 
Em 4040 lançamentos, 2048 resultados foram favoráveis o que nos da = 
0,50693, isso significa que no lançamento de uma moeda “honesta” a 
probabilidade de se obter “cara” é . Essa experiência foi realizada por Kerrich e 
Buffon. 
A definição que permite calcular teoricamente a probabilidade de um evento, sem 
realizar a experiência é: 
 
Dado um espaço amostral S, com n (S) elementos, e um evento a de S, com n(A) 
elementos, a probabilidade do evento A é o P(A) tal que: 
 
 
Propriedades 
 
Sendo S ≠ um espaço amostral qualquer, A um evento de S e o 
complementar de A em S, valem as seguintes propriedades: 
 
? P( ) = 0 
? P(S) = 1 
? 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
? P(A) + P( ) =1 
 
 
Calculandoprobabilidade 
Assista Esta aula: https://www.youtube.com/watch?v=qNZRxSh6pe4 
 
Probabilidade é a medida de como um evento é provável de ocorrer dado um 
número de possíveis resultados. Calcular a probabilidade permite que você use a 
https://www.youtube.com/watch?v=qNZRxSh6pe4
25 
 
lógica e a razão mesmo com algum grau de incerteza. Descubra como fazer as 
contas quando for calcular probabilidades. 
Defina os eventos e resultados. A probabilidade é o quão provável é de um ou 
mais eventos acontecerem, dividido pelo número de resultados possíveis. Então, 
digamos que você esteja tentando encontrar a probabilidade de tirar um três em 
um dado de seis faces. "Tirar um três" é o evento, e já que sabemos que o dado 
pode cair em qualquer um dos seis dados, o número de resultados é seis. Aqui 
estão mais dois exemplos para você entender melhor: 
 Exemplo 1: Qual a probabilidade de escolher um dia que caia no fim de semana 
quando for escolher uma aleatório da semana? 
 "Escolher um dia que caia no fim de semana" é nosso evento e o número de 
resultados é o número total de dias na semana, sete. 
 Exemplo 2: Um pote tem 4 bolas azuis, 5 bolas vermelhas e 11 bolas 
brancas. Se uma bola for tirada do pote aleatoriamente, qual a probabilidade dela 
ser vermelha? 
 "Escolher uma bola vermelha" é nosso evento e o número de resultados é o total 
de bolas no pote, 20. 
 
 
 
26 
 
Divida o número de eventos pelo número de possíveis resultados. Isso nos 
dará a probabilidade de um evento único acontecer. No caso de tirar um três em 
um dado, o número de eventos é um (só há um três em cada dado) e o número de 
resultados é seis. Você também pode pensar nisso como 1 ÷ 6, 1/6, .166, ou 
16.6%. Eis como descobrir a probabilidade dos exemplos restantes: 
 Exemplo 1: Qual a probabilidade de escolher um dia que caia no fim de semana 
quando for escolher a possibilidade em aleatório? 
 O número de eventos é dois (já que dois dias da semana são no fim de semana) e 
o número de resultados é sete. A probabilidade é de 2 ÷ 7 = 2/7 ou .285 ou 28.5%. 
 Exemplo 2: Um pote tem 4 bolas azuis, 5 bolas vermelhas e 11 bolas 
brancas. Se uma bola for tirada do pote aleatoriamente, qual a probabilidade dela 
ser vermelha? 
 O número de eventos é cinco (já que há cinco bolas vermelhas no total) e o 
número de resultados é 20. A probabilidade é 5 ÷ 20 = 1/4 ou .25 ou 25%. 
 
 
 
Divida o problema em partes. Calcular a probabilidade de múltiplos eventos é 
uma questão de dividir o problema em probabilidades separadas. Eis três 
exemplos: 
27 
 
 Exemplo 1: Qual a probabilidade de tirar dois cinco consecutivos ao jogar um 
dado de seis faces? 
 Você sabe que a probabilidade de tirar um cinco é de 1/6, e a probabilidade de 
tirar outro cinco com o mesmo dado também é de 1/6. 
 Este é eventos independentes, porque o que você tira da primeira vez não afeta o 
que acontece da segunda vez; você pode tirar um 3 e depois tirar um 3 
novamente. 
 Exemplo 2: Duas cartas são tiradas aleatoriamente de um baralho. Qual a 
probabilidade de ambas serem do naipe de paus? 
 A probabilidade da primeira carta ser de paus é de 13/52, ou 1/4. (Há 13 cartas 
desse naipe em cada baralho). Agora, a probabilidade da segunda carta ser de 
paus é de 12/51. 
 Você está medindo a probabilidade de eventos dependentes. Isso acontece 
porque o que você faz na primeira vez afeta a segunda vez; se você tirar um 3 de 
paus e não o puser de volta, haverá uma cara a menos desse naipe e uma carta a 
menos no baralho (51 ao invés de 52). 
 Exemplo 3: Um pote tem 4 bolas azuis, 5 bolas vermelhas e 11 bolas 
brancas. Se três bolas forem tiradas aleatoriamente do pote, qual a probabilidade 
da primeira ser vermelha, a segunda azul e a terceira branca? 
 A probabilidade da primeira bola ser vermelha é de 5/20, ou 1/4. A probabilidade 
de a segunda bola ser azul é de 4/19, já que temos uma bola a menos, mas não 
uma bola azul a menos. E a probabilidade da terceira ser uma bola branca é de 
11/18, porque já tiramos duas bolas. Este é outro exemplo de evento dependente. 
 
28 
 
 
 
Multiplique a probabilidade de cada evento pela outra. Isso dará a você a 
probabilidade de múltiplos eventos ocorrerem um após o outro. Eis o que você 
pode fazer: 
 Exemplo 1:Qual a probabilidade de tirar dois cinco consecutivos ao jogar um dado 
de seis faces? A probabilidade dos dois eventos independentes é de 1/6. 
 Isso nos dá 1/6 x 1/6 = 1/36 ou. 027 ou 2.7%. 
 Exemplo 2: Duas cartas são tiradas aleatoriamente de um baralho. Qual a 
probabilidade de ambas serem do naipe de paus? 
 A probabilidade de o primeiro evento acontecer é de 13/52. A probabilidade de o 
segundo evento acontecer é de 12/51. A probabilidade é 13/52 x 12/51 = 12/204 
ou 1/17 ou 5.8%. 
 Exemplo 3: Um pote tem 4 bolas azuis, 5 bolas vermelhas e 11 bolas 
brancas. Se três bolas forem tiradas aleatoriamente do pote, qual a probabilidade 
da primeira ser vermelha, a segunda azul e a terceira branca? 
 A probabilidade do primeiro evento é de 5/20. A probabilidade do segundo evento 
é de 4/19. E a probabilidade do terceiro evento é de 11/18. A probabilidade é de 
5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 ou 3.2%. 
29 
 
Determine as chances. Por exemplo, um golfista é favorito a ganhar com 
chances de 9/4. As chances de um evento são a razão da probabilidade 
dele ocorrer com a probabilidade dele não ocorrer. 
 No exemplo da razão 9:4, o 9 representa a probabilidade do golfista ganhar. O 4 
representa a probabilidade dele perder. Desta forma, é mais provável que ele 
ganhar, do que perder. 
 Lembre-se que nas apostas de esportes, as chances são expressas como 
"chances contra", o que significa que as chances de um evento não acontecerem 
são escritas primeiras e as chances de acontecer vêm depois. Embora possa ser 
confuso, é importante saber disso. Para este artigo, não usaremos as "chances 
contra". 
 
 
 
 
30 
 
 
 
Certifique-se de que dois eventos ou resultados devam ser mutuamente 
excludentes. Isso significa que eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. 
 
 
Defina uma probabilidade que seja um número positivo. Se você chegar a um 
número negativo, verifique seus cálculos novamente. 
 
 
 
31 
 
A probabilidade de todos os possíveis eventos deve somar o total de 1 ou 
100%. Se a probabilidade de todos os possíveis eventos somada não der 1 ou 
100%, você cometeu um erro porque provavelmente deixou algum possível evento 
de lado. 
 A probabilidade de rolar um três num dado de seis lados é de 1/6. Mas a 
probabilidade de rolar todos os outros cinco números também é 1/6. 1/6 + 1/6 + 
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 ou 1 ou 100%. 
 
As medias 
Alguns cálculos envolvendo média podem ser efetuados utilizando os critérios de 
média simples ou média ponderada. Na utilização da média simples, a ocorrência 
dos valores possui a mesma importância e no caso da média ponderada são 
atribuídos aos valores importâncias diferentes. 
Na média simples os valores são somados e dividos pela quantidade de termos 
adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório das 
multiplicações entre valores e pesos divididos pelo somatório dos pesos. Vamos, 
através de exemplos, demonstrar os cálculos envolvendo a média ponderada. 
Exemplo 1 
Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com 
os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja 
relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo 
que as notas em Matemática foram iguais a: 
1º Bimestre: 7,0 
2º Bimestre: 6,0 
3º Bimestre: 8,0 
4º Bimestre: 7,5 
 
 A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3. 
 
32 
 
Exemplo 2 
Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um 
município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 
pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível 
de satisfação compreendema notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na 
tabela a seguir: 
 
 
A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão 
foi igual a 5,0. 
Expoente fracionário 
 
Veja este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=AyBwyZ_6c_Y 
 
Resolver uma potência não costuma ser complicado, basta multiplicar a base por 
ela mesma a quantidade de vezes indicada pelo expoente. Se temos, por 
exemplo, a potência 35, basta multiplicar o 3 por ele mesmo 5 vezes: 
35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243 
https://www.youtube.com/watch?v=AyBwyZ_6c_Y
http://www.mundoeducacao.com/matematica/potencia-base-inteira.htm
33 
 
Até mesmo a resolução de potência com expoente negativo é bem simples. 
Basta aplicar a potência no inverso do número: 
 
Mas e quando a potência apresenta uma fração no expoente ou um número 
decimal? Nesses casos, basta transformar a potência em uma raiz! Mas não se 
espante, aos poucos você vai compreender que isso é muito mais simples do que 
parece. Vejamos como resolver uma potência em que o expoente é uma fração: 
Dada uma potência em que a é real, bem como x e y são inteiros: 
 
Para entender melhor essa definição, veja a resolução de alguns exemplos: 
1° Exemplo: 
2° Exemplo: 
3° Exemplo: 
4° Exemplo: 
E se o expoente for um número decimal? Nesse caso, basta transformar o número 
decimal em fração e realizar o mesmo procedimento. Caso você não saiba como 
essa operação é resolvida, dê uma olha no texto Fração Geratriz (Mesmo que o 
número decimal não seja uma dízima periódica, podemos utilizar esse 
procedimento). Vejamos alguns exemplos de potências com expoentes decimais: 
5° Exemplo: Sabendo que 0,5 = ½, temos 
6° Exemplo: Sabendo que 0,75 = ¾, temos 
 
Equações exponenciais 
 
Equações são expressões algébricas matemáticas que possuem um sinal de 
igualdade entre duas partes. A intenção de resolver uma equação é determinar o 
valor da incógnita (valor desconhecido), aplicando técnicas resolutivas. Veja 
exemplos: 
 
2x + 9 = 5 
4x + 10 = 3x – 45 
x + 6 = 2x + 12 
2*(x + 2) = 3*(x – 3) 
 
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente 
de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial 
permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/potencias-com-expoente-negativo.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/fracao-geratriz.htm
34 
 
Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos 
que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis 
fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, 
Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. 
 
Exemplos de equações exponenciais: 
 
10x = 100 
2x + 12 = 20 
9x = 81 
5x+1 = 25 
 
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para 
igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a 
resolução da equação exponencial a seguir: 
 
3x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37) 
3x = 37 
x = 7 
 
O valor de x na equação é 7. 
 
 
Vamos resolver mais algumas equações exponenciais: 
 
 
2x + 12 = 1024 
2x + 12 = 210 
x + 12 = 10 
x = 10 – 12 
x = – 2 
 
 
2 4x + 1 * 8 –x + 3 = 16 –1 
2 4x + 1 * 2 3(–x + 3) = 2 -4 
2 4x + 1 * 2 –3x + 9 = 2-4 
4x + 1 – 3x + 9 = – 4 
4x – 3x = –1 – 4 – 9 
x = – 14 
 
 
5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 125 
5 x + 3 * 5 x + 2 * 5 x = 5 3 
x + 3 + x + 2 + x = 3 
3x = 3 – 5 
3x = – 2 
x = –2/3 
35 
 
 
 
2 3x – 2 * 8 x + 1 = 4 x – 1 
2 3x – 2 * 2 3(x + 1) = 2 2(x – 1) 
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1) 
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2 
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3 
4x = – 3 
x = –3/4 
 
 
2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 32 
2 2x + 1 * 2 x + 4 = 2 x + 2 * 2 5 
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5 
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4 
2x = 2 
x = 1 
 
 
Logaritmo 
Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados 
por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: 
 
logab = x, onde: 
 
a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
 
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à 
base a para se ter o número b. Dessa forma: 
 
logab = x ↔ ax = b 
 
Exemplos: 
 
log39 ↔ 32 = 9 
log10100 ↔ 102 = 100 
log216 ↔ 24 = 16 
log981 ↔ 92 = 81 
 
A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no 
desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 
 
O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0. 
 
36 
 
loga1 = 0, pois a0 = 1 
 
O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1. 
 
logaa = 1, pois a1 = a 
 
O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 
 
logaa
m = m, pois m * logaa = m * 1 = m 
 
A potência de base a e expoente logab é igual a b. 
 
alog
a
b = b, pois logab = x → ax = b 
 
Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. 
 
logab = logac ↔ b = c 
 
 
 
Exemplos 
 
Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso: 
 
a) log327 = x → 3x = 27 → x = 3 
 
b) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33 → x = 27 
 
c) log4√2 = x → 4x = √2 → 22x = √2 → 22x = 21/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4 
 
d) logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2 
 
e) log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 
3/2 
 
f) log1818 = x → 18x = 18 → x = 1 
 
g) logx1024 = 2 → x2 = 1024 → √x² = √1024 → x = 32 
 
h) log40,25 = x → 4x = 0,25 → 4x = 25/100 → 4x = 1/4 → 4x = 4–1 → x = –1 
 
i) 16log
2
5 = (24)log
2
5 = (2log
2
5)4 = 54 = 625 
 
j) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 → x = –2 
Quero mais:então assista o vídeo . 
 
https://www.youtube.com/watch?v=oiTioPHR3BQ 
https://www.youtube.com/watch?v=oiTioPHR3BQ
37 
 
01. Calcular, usando a definição de logaritmo: 
a) 
 
b) 
 
c) 
Resolução 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
Unidades de volume 
 
Definição: 
 
Volume ou capacidade de um corpo (ou recipiente) e a quantidade de espaço que 
esse corpo ocupa ou que ele dispõe para armazenar alguma coisa 
Definimos volume como o espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele 
tem de comportar alguma substância. As figuras espaciais como o cubo, 
paralelepípedo, cone, pirâmide, cilindro, prismas, entre outras, possuem volume. A 
capacidade de um corpo é calculada através da multiplicação entre a área da base 
e a sua altura. A unidade usual de volume é utilizada de acordo com as unidades 
38 
 
das dimensões do corpo. Observe as unidades de volume de acordo com o SI 
(Sistema Internacional de Medidas): 
 
km³ = quilômetros cúbicos (km * km * km) 
hm³ = hectômetros cúbicos (hm * hm * hm) 
dam = decâmetros cúbicos (dam * dam * dam) 
m³ = metros cúbicos (m * m * m) 
dm³ = decímetro cúbico (dm * dm * dm) 
cm³ = centímetro cúbico (cm * cm * cm) 
mm³ = milímetro cúbico (mm * mm * mm) 
 
Observe a tabela de transformações das unidades de medidas do volume. 
 
 
Algumas unidades de volume são relacionadas com algumas medidas de 
capacidade. Por exemplo: 
 
1m³ (lê-se um metro cúbico) = 1000 litros 
 
1dm³ (lê-se um decímetro cúbico) = 1 litro 
 
1cm³ (lê-se um centímetro cúbico) = 1 mililitro (ml) 
 
 
Exemplo 1 
 
Calcule a capacidade, em litros, de uma piscina com as seguintes dimensões: 8 m 
de comprimento, 6 m de largura e 1,8 m de profundidade (altura). 
Resolução: 
Calculando o volume da piscina. 
V = 8 * 6 * 1,8 
V = 86,4 m³ 
 
Como 1m³ corresponde a 1000 litros, e a piscina possui 86,4m³ temos: 
 
86,4 * 1000 = 86 400 
 
Portanto, precisamos de 86 400 litros de água para encher uma piscina com as 
39 
 
seguintes dimensões: 8m de comprimento x 6m de largura x 1,8m de 
profundidade. 
 
 
Exemplo 2 
 
Um reservatório possui volume de 3000m³. Qual a capacidade desse reservatório 
em litros? 
Resolução: 
 
Como 1m³ equivale a 1000 litros, temos que: 
 
3000 * 1000 = 3 000 000 
 
O reservatório possui capacidadeigual a 3 000 000 de litros de água. 
 
Cubo, (ou caixa de água.) 
 
 
 
 
 
 
Veja as figuras abaixo. São exemplos de cubo e plisma 
 
 
 
40 
 
 
 
 
Cubo, prisma e cilindro 
 
 
 
 
 
41 
 
Pirâmide cone e esfera 
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a = a 
= a ) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são 
quadrados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um cubo é o hexaedro regular. É um dos cinco Sólidos Platónicos. 
Tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. 
Diagonais da base e do cubo 
 
 
 
dc=diagonal do cubo 
db = diagonal da base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TLeUJrxhItI/AAAAAAAAAG4/mkeopUFmAJ8/s1600/imagem.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TLeYyVgTJDI/AAAAAAAAAHA/LnAHcG6r8-U/s1600/vbvbv.bmp
42 
 
Na base ABCD, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No triângulo ACE, temos: 
 
 
 
 
 
Área e Volume 
 
A área total A e volume V de um cubo de comprimento de aresta a são: 
 
A = 6a2 
 
V = a3 
Esfera 
 
História 
 
 O estudo da esfera remonta a uma época muito antiga. Segundo 
historiadores, o matemático grego Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) 
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TLea8cySeSI/AAAAAAAAAHM/Y_BHrVAZ1_U/s1600/imagemfdfd.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TLebRFQ1dbI/AAAAAAAAAHQ/b7hr2Si7p6A/s1600/Formula+1.bmp
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TLecSks2p7I/AAAAAAAAAHU/-o2cAXblALs/s1600/imagemdfdfd.bmp
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TLeczGqCWII/AAAAAAAAAHY/tCDRk9BwLCg/s1600/Formula+2.bmp
43 
 
aparece como o primeiro a escrever um tratado sobre a esfera e o cilindro, no qual 
ele estabelece relações entre as áreas e os volumes dos dois sólidos. 
 
 
Conceito: 
 
 A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função 
de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera 
no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela 
mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria 
dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um 
sólido, herança da Geometria Euclidiana. 
 
Posição relativa entre plano e esfera 
 
Plano secante à esfera 
 
O plano intersecciona a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera 
passando pelo centro temos duas partes de tamanhos iguais. 
 
 
 
 
 
 
Plano tangente à esfera 
 
O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º 
graus com o eixo de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPd8EOcL0iI/AAAAAAAAAJQ/rjxBR79ciWA/s1600/1.bmp
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPd8Sa67nrI/AAAAAAAAAJU/rHWAkmxoBoA/s1600/2.bmp
44 
 
Plano externo à esfera 
 
O plano e a esfera não possuem pontos em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
Área de uma Superfície Esférica 
 
Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a: 
 
 
 
 
 
 
Volume da esfera 
 
Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado 
pela seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Um plano secciona uma esfera a 4 cm do centro 0, determinando uma secção 
plana de raio 3 cm. Calcule o volume dessa esfera e a área de superfície. 
 
Resolução: 
http://3.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPd8ilWlBHI/AAAAAAAAAJY/3Pprq9hcKWY/s1600/3.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeBYNVVKJI/AAAAAAAAAJc/-mQGEW2KkXk/s1600/formula+da+area.bmp
http://3.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeCr3N9sJI/AAAAAAAAAJg/CE0LJi6pPmo/s1600/volume+da+esfera.bmp
45 
 
 
 
2) Duas esferas tangentes exteriormente e tangentes um plano nos pontos A e B 
tem raios iguais a 4 cm . Calcular a distância entre A e B. 
 
Resolução: 
 
 
 
Fuso Esférico e Cunha Esférica 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeLDsCkGNI/AAAAAAAAAJk/lXsh9rXCxXs/s1600/Quest%C3%A3o+1.jpg
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeLj_o-FMI/AAAAAAAAAJo/1qsY21y6RTg/s1600/Quest%C3%A3o+2.jpg
46 
 
 
 
 
 
Azul: é o fuso 
 
Cinza: é a cunha. 
 
Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por "goma de mexerica" 
(metaforicamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeMjGQnqKI/AAAAAAAAAJs/uSl6gPnDoSk/s1600/g.bmp
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeSVUUACTI/AAAAAAAAAJw/y6CYeDNJygA/s1600/fuso+e++cunha.bmp
47 
 
Exemplos: 
 
 
 
1) Calcular o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 
45°. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular a área de um fuso esférico de raio 5 cm cujo ângulo diedro mede π/10. 
 
Resolução: 
 
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeV9AZEARI/AAAAAAAAAJ0/eJDK795YXhE/s1600/Q.+1.jpg
48 
 
 
 
 
Cilindro 
 
Em Matemática, um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de 
revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais 
prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo 
diâmetro ao longo de todo o comprimento. 
 
Objetos geométricos em um "cilindro" 
 
Em um cilindro, podemos identificar vários elementos: 
 
 - Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num 
cilindro existem duas bases. 
 
 - Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". 
 
 - Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que 
contêm as bases do "cilindro". 
 
 - Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não 
estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre 
apoiada sobre a curva diretriz. 
 
 - Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido 
com os pontos das bases do cilindro. 
 
 - Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro. 
 
 - Área total: É a medida da superfície total do cilindro. 
 
 - Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção 
de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro. 
 
 
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPeWNxKA8SI/AAAAAAAAAJ4/p-wDk3KyuGU/s1600/Q.+2.jpg
49 
 
 
 Área da base (Ab) 
 
É a superfície de um círculo com o raio R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPedZmtHseI/AAAAAAAAAJ8/xDyHfs7D24I/s1600/area+da+base.bmp
http://3.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPefAaJJ6hI/AAAAAAAAAKA/cF9k-nKBEOc/s1600/ktgfgfvghk.bmp
50 
 
Volume do Cilindro (V) 
 
O volume do cilindro é igual ao volume de um prisma, ou seja, possui a mesma 
altura e base. 
 
 
 
 
 
 
Principais Fórmulas de um Cilindro 
 
 
 
 
 
 
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPegNw6dCxI/AAAAAAAAAKE/b0lZ79JG9ZI/s1600/im.bmp
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPg6BkYN_vI/AAAAAAAAAKI/nflFOENsLC8/s1600/formulas.bmp
51 
 
 
 
 Tronco do Cilindro 
 
 
 
 
 
Para se determinar a medida da área lateral do tronco do cilindro é necessário 
realizar a operação entre o produto do comprimento da circunferência e o 
segmento do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se determinar o volume do tronco do cilindro é necessário realizar a 
operação entre o produto da área de secção e o segmento do eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhFG9tGFuI/AAAAAAAAAKc/Gd5YEWvBpI0/s1600/8+cm+e+3+cm.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhFG9tGFuI/AAAAAAAAAKc/Gd5YEWvBpI0/s1600/8+cm+e+3+cm.bmp
http://4.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhATnKClCI/AAAAAAAAAKQ/czWjaTFgneU/s1600/yttty.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhBE--_HfI/AAAAAAAAAKY/y4owgm5UHok/s1600/dfdf.bmp
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhApJoyspI/AAAAAAAAAKU/Q5qvNzQpBmg/s1600/rgtrgrg.bmp
52 
 
Exemplos: 
 
1) Em um cilindro circular reto de altura 8 cm, o raio da base mede 3 cm. Calcular 
desse cilindro. 
 
 
a) a área lateral; 
b) a área da base; 
c) a área total; 
d) a área da secção merediana; 
e) o volume. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhFG9tGFuI/AAAAAAAAAKc/Gd5YEWvBpI0/s1600/8+cm+e+3+cm.bmphttp://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhKH2MDRdI/AAAAAAAAAKg/ZIkon0kwT10/s1600/Qust%C3%A3o!+1.jpg
53 
 
2) Um cilindro circular reto de altura 5 m, o raio da base mede 2 m. Calcule, desse 
cilindro: 
 
 
a) a área lateral AL; 
b) a área B de uma base; 
c) a área total AT; 
d) o volume V; 
 
Resolução: 
 
 
Cone 
 
Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm 
uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em 
um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva 
suave, a base). 
 
 
 
 
 
http://3.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPhQfS9j2xI/AAAAAAAAAKk/QU1iG0tiy90/s1600/q+2.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPqieORjcJI/AAAAAAAAAKo/5mBUSpuTTEA/s1600/cone_02.gif
54 
 
Os cones podem ser divididos em: 
 
 1- Reto 
 2- Oblíquo 
 3- Eqüilátero 
 
 
 
Reto 
 
O cone é dito reto quando a sua base é uma circunferência e a reta que liga o 
vértice superior ao centro da circunferência da sua base é perpendicular ao plano 
da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é 
formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a 
pontos constituintes da circunferência do círculo. 
 
Oblíquo 
 
Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é 
oblíquo ao plano da base. 
 
Equilátero 
 
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma 
região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do 
diâmetro da base. 
 
 - Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta. 
 
 - Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a 
própria curva. 
 
 - Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é 
o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base. 
 
 - Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e 
a outra na curva que envolve a base. 
 
 - Altura é à distância do vértice do cone ao plano da base. 
 
 - Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que 
tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. 
 - Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é 
o círculo. 
 
 - Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do 
cone com um plano que contem o eixo do mesmo. 
 
55 
 
 
Fórmulas 
 
 
Área da Base 
 
Ab =π.r² 
 
Área de um setor circular 
 
A = (l. r) /2 
 
Área lateral 
 
Al = π.r.g 
 
 Área Total 
 
At =Ab+ Al 
 
Volume 
 
V = (Ab.h) / 3 
 
 
Exemplos: 
 
1) Em um cone circular reto de altura 12 cm, o raio da base mede 5 cm. Calcular 
desse cone: 
 
a) a área lateral 
b) a área da base 
c) a área total 
d) o volume 
e) a medida O do ângulo central equivalente à superficie lateral do cone. 
f) a área da secção meridiana. 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPvjdBTmbwI/AAAAAAAAAKs/_3YeW6K39vI/s1600/htht.jpg
57 
 
 
2) Em um cone circular reto de altura 6 cm, o raio da base mede 8 cm. Calcule 
desse cone: 
 
a) a área lateral; 
b) a área da base; 
c) a área total; 
d) a medida O do ângulo central equivalente à superfície lateral do cone; 
e) a área da secção meridiana; 
f) o volume. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TPvj3aS4YQI/AAAAAAAAAKw/DyR6LkblN5c/s1600/hgt.jpg
58 
 
 
3) Em um cone circular de 4 m de altura, o raio da base mede 2 m. Um plano, 
paralelo à base desse cone e distante 2 de seu vértice, separa - o em dois sólidos. 
 
 
Resolução: 
 
 
 
Referências 
 
Site: 
Mundo educação. 
Escola Brasil. 
Tele curso 2000. 
 
Apostila: 
Volume (1e 3) 
Kátia e Roku 
Segundo ano. 
 
http://1.bp.blogspot.com/_VBNQiPSfc0M/TP101lavXqI/AAAAAAAAAK0/RjLYzEVg9o0/s1600/digitalizar0001.jpg