Matematica_Financeira

Prévia do material em texto

Matemática Financeira
Marcos Antonio Barbosa
Roberto José Medeiros Junior 
2012
Curitiba-PR
e-Tec Brasil 2 Matemática Financeira
Catalogação na fonte pela Biblioteca do Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia - Paraná 
© INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA - PARANÁ - 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Este Caderno foi elaborado pelo Instituto Federal do Paraná para o Sistema Escola 
Técnica Aberta do Brasil - e-Tec Brasil.
Presidência da República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
Secretaria de Educação a Distância
Prof. Irineu Mario Colombo
Reitor
Prof. Joelson Juk
Chefe de Gabinete
Prof. Ezequiel Westphal
Pró-Reitoria de Ensino - PROENS
Gilmar José Ferreira dos Santos
Pró-Reitoria de Administração - PROAD
Prof. Silvestre Labiak
Pró-Reitoria de Extensão, Pesquisa e Inovação - 
PROEPI
Neide Alves
Pró-Reitoria de Gestão de Pessoas e Assuntos 
Estudantis - PROGEPE
Bruno Pereira Faraco
Pró-Reitoria de Planejamento e Desenvolvimento
Institucional - PROPLAN
Prof. Marcelo Camilo Pedra
Diretor Geral do Câmpus EaD
Prof. Célio Albes Tibes Jr.
Diretor Executivo do Câmpus EaD
Luana Cristina Medeiros de Lara
Diretora de Administração e Planejamento do 
Câmpus EaD
Profª Márcia Denise Gomes Machado Carlini
Coordenadora de Ensino Médio e Técnico do 
Câmpus EaD
Profª. Elaine Arantes
Coordenadora do Curso
Adriana Valore de Sousa Bello
Mayara Machado Gomes Faria
Francklin de Sá Lima
Kátia Regina Vasconcelos Ferreira
Assistência Pedagógica
Profª Ester dos Santos Oliveira
Prof.ª Sheila Cristina Mocellin
Prof.ª Vanessa dos Santos Stanqueviski
Revisão Editorial
Paula Bonardi
Diagramação
e-Tec/MEC
Projeto Gráfico
e-Tec Brasil
Apresentação e-Tec Brasil
Prezado estudante,
Bem-vindo ao e-Tec Brasil!
Você faz parte de uma rede nacional pública de ensino, a Escola Técnica 
Aberta do Brasil, instituída pelo Decreto nº 6.301, de 12 de dezembro 
2007, com o objetivo de democratizar o acesso ao ensino técnico público, 
na modalidade a distância. O programa é resultado de uma parceria entre 
o Ministério da Educação, por meio das Secretarias de Educação a Distancia 
(SEED) e de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC), as universidades e 
escolas técnicas estaduais e federais.
A educação a distância no nosso país, de dimensões continentais e grande 
diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao 
garantir acesso à educação de qualidade, e promover o fortalecimento da 
formação de jovens moradores de regiões distantes, geograficamente ou 
economicamente, dos grandes centros.
O e-Tec Brasil leva os cursos técnicos a locais distantes das instituições de 
ensino e para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a 
concluir o ensino médio. Os cursos são ofertados pelas instituições públicas 
de ensino e o atendimento ao estudante é realizado em escolas-polo 
integrantes das redes públicas municipais e estaduais.
O Ministério da Educação, as instituições públicas de ensino técnico, seus 
servidores técnicos e professores acreditam que uma educação profissional 
qualificada – integradora do ensino médio e educação técnica, – é capaz 
de promover o cidadão com capacidades para produzir, mas também com 
autonomia diante das diferentes dimensões da realidade: cultural, social, 
familiar, esportiva, política e ética.
Nós acreditamos em você!
Desejamos sucesso na sua formação profissional!
Ministério da Educação
Janeiro de 2010
Nosso contato
etecbrasil@mec.gov.br
Indicação de ícones
Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas de 
linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual.
Atenção: indica pontos de maior relevância no texto.
Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o 
assunto ou “curiosidades” e notícias recentes relacionadas ao 
tema estudado.
Glossário: indica a definição de um termo, palavra ou expressão 
utilizada no texto.
Mídias integradas: sempre que se desejar que os estudantes 
desenvolvam atividades empregando diferentes mídias: vídeos, 
filmes, jornais, ambiente AVEA e outras.
Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em 
diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa 
realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado. 
e-Tec Brasil
e-Tec Brasil
Sumário
Palavra dos professores-autores 9
Aula 1 – O contexto das finanças na história da matemática 11
1.1 Dinheiro e temporalidade 11
1.2 Juros 13
Aula 2 – Relação algébrica: razão e proporção 17
2.1 Razão 17
2.2 Aplicações 18
2.2 Proporção 20
Aula 3 – Relação entre razão e proporcionalidade: 
“regra de três” 23
3.1 Grandeza diretamente proporcional. 23
3.2 Grandeza inversamente proporcional. 24
3.3 Proporcionalidade 25
Aula 4 – Porcentagem 29
Aula 5 – Revendo o conceito de potencialização 35
5.1 Potenciação 35
Aula 6 – Taxas e coeficientes 41
6.1 Tipos de Taxas 43
Aula 7 – Calculando as taxas 45
7.1 Proporcionalidade entre taxas: conversão de 
taxa nominal para efetiva (capitalização simples) 45
7.2 Equivalências de taxas: conversão entre taxas efetivas 
(capitalização composta) 48
7.3 Comparações entre proporcionalidade e equivalência 50
Aula 8 – Capitalização simples 53
8.1 Definindo capitalização simples 53
8.2 Fórmula para cálculo do juro simples 55
Aula 9 – Tipos de Juros e cálculo de montante 59
9.1 Algumas definições usuais 59
9.2 Juros Ordinários 59
9.3 Juros Exatos 59
9.4 Juros pela regra do banqueiro 60
9.5 Fórmula para cálculo do montante 60
Aula 10 – Descontos simples 63
10.1 Descontos 63
10.2 Valor atual no desconto comercial 65
Aula 11 – Descontos simples – Continuação 69
11.1 Desconto racional 69
11. 2 Valor atual racional (Var) 70
Aula 12 – Descontos proporcionais 73
Aula 13 – Equivalência de títulos ou Capitais 
(Capitalização Simples) 77
Aula 14 – Capitalização composta 81
14.1 Variação da fórmula do montante da capitalização 
composta 82
Aula 15 – Juros compostos e a função exponencial 83
Aula 16 – Continuação de juros compostos e 
exercícios resolvidos 87
Aula 17 – Desconto composto 93
17.1 Desconto composto 93
Aula 18 – Títulos equivalentes de capitalização composta 95
Aula 19 – Operações de fluxo de caixa 101
19.1 Valor presente 103
19.2 Séries de pagamentos 103
19.3 Operações postecipadas 104
Aula 20 – Outras séries de pagamento 107
20.1 Operações antecipadas 107
20.2 Operações com carência postecipada 108
20.3 Amortizações 109
20.4 O que é amortização? 109
20.5 Depreciação 109
20.6 Sistemas de Amortização (pagamento) do seu 
financiamento imobiliário 110
Referências 115
Atividades autoinstrutivas 117
Currículo dos professores-autores 133
e-Tec Brasil Matemática Financeira
e-Tec Brasil9
Palavra dos professores-autores
Prezado estudante,
Este material tem como objetivo enriquecer o estudo acerca das atividades 
e práticas relativas à disciplina de Matemática Financeira, na modalidade de 
Educação a Distância, do Instituto Federal do Paraná (IFPR). O método de 
Ensino contempla, também, atividades autoinstrutivas e as supervisionadas, 
abrangendo conteúdos relevantes na área do Secretariado, apresentação 
diferenciada das propostas de atividades práticas aliadas ao caráter teórico-
-reflexivo das atividades.
Cada capítulo foi estruturado pensando em retomar conceitos elementares 
de Matemática importantes para o desenvolvimento da teoria e atividades 
autoinstrutivas. Estudaremos proporcionalidade (regra de três), percenta-
gem, progressões, séries, sequências e uso de calculadoras simples.
Os tópicos apresentados estão divididos de modo a contemplar o “bê-á-bá” 
das Finanças e da Educação Financeira com foco nos conhecimentos mate-
máticos pertinentes e interdisciplinares. Em finanças pessoais, o profissional 
técnico em Administração terá clareza da aplicabilidade dos conhecimentos 
matemáticos à saúde financeira do dinheiro, das aplicações em curto, médio 
e longo prazo e de ações determinantes da empresa da qual faz parte.O livro encontra-se dividido de modo didático, seguindo um critério de 
aprendizado rico de conhecimentos, porém de fácil assimilação. Observan-
do uma evolução de conceitos e técnicas apresentadas gradativamente à 
maneira que se realizam as atividades autoinstrutivas e supervisionadas com 
a utilização de recursos de acompanhamento pedagógico, entre eles o te-
lefone (0800) e fóruns via web (tutoria). A intenção é valorizar cada ponto 
como se fosse um módulo condensado e relevante, visando levar você para 
um mundo de reflexão, reeducação financeira e aprendizado contínuo. Sen-
timentos que serão estimulados em cada aula com a presença (mesmo que 
virtual) do professor conferencista e professor web.
Desejamos muito sucesso e aprendizado!
Sincero abraço!
Professores Roberto José Medeiros Junior e Marcos Antonio Barbosa
e-Tec Brasil11
Aula 1 – O contexto das finanças na 
história da matemática
No decorrer desta aula você irá aprender sobre o que são finan-
ças e educação financeira, saberá também a razão de utilizar 
Matemática nesses procedimentos. 
1.1 Dinheiro e temporalidade
Figura 1.1: Moeda
Fonte: http://www.fatosdaeconomia.com.br/
Quando tratamos de dinheiro e temporalidade, alguns elementos básicos 
devem ser levados em consideração, tais como:
•	 Inflação: Os preços não são os mesmos sempre;
 Isso ocorre porque podemos ter aumento dos custos de produção dos pro-
dutos. Exemplo: aquisição de maquinários, escassez da mão de obra, falta 
de matéria-prima. Podemos também ter aumento do consumo, e se esse 
aumento for maior que a capacidade de produção, isso gera inflação.
•	 Risco: Investimentos envolvem riscos que geram perda ou ganho de dinheiro; 
 Em decisões de financiamento e investimento existem muitos tipos de ris-
cos que devemos considerar. Segundo o dicionário Aurélio, a palavra risco 
- original do latim risicu - é definida como “perigo ou possibilidade de 
perigo”. Para Castanheira (2008) os riscos podem ser classificados como: 
Antigamente alguns governos, 
emitiam (produziam) dinheiro, 
sempre que precisavam. Isso de 
maneira descontrolada produzia 
inflação.
No Brasil, são os famosos índices 
econômicos que medem a inflação, 
entre eles, destacamos o: 
•	 IGP – índice geral de preços, 
calculado pela FGV .
•	 (Fundação Getúlio Vargas)
•	 IPC – Índice Preço ao 
Consumidor, calculado pela 
FIPE (Fund. Inst. Pesquisas 
Econômicas)
•	 INPC – Índice Nacional 
de Preços ao Consumidor, 
medido pelo IBGE.
•	 IPCA – Índice de Preço ao 
Consumidor amplo, também 
medido pelo IBGE.
Inflação
A Inflação é um conceito 
econômico que representa o 
aumento de preços dos produtos 
num determinado país ou região, 
durante um período.
 – Risco de Crédito, quando quem emprestou não paga sua dívida;
 – Risco de Liquidez, quando há atraso no pagamento da dívida;
 – Risco de mercado, quando há um processo de inflação;
 – Risco Operacional, quando não há retorno de investimento em fun-
ção de problemas operacionais da empresa;
 – Risco-País, em função da situação econômica do país.
•	 Incertez: Não há como saber que tipo de investimento é mais rentável 
sem estudo prévio;
 Em qualquer decisão financeira, sempre há alguma incerteza sobre o seu 
resultado. Podemos definir a incerteza, como sendo o desconheci-
mento do resultado de um acontecimento, até quando ele acontecer 
no futuro. Sabemos também que existe incerteza na maioria das coisas 
que fazemos enquanto administradores financeiros, porque ninguém 
sabe precisamente que mudanças ocorrerão no tempo determinado, no 
universo financeiro, ou seja, é difícil prever o que pode ocorrer com os 
impostos, demanda de consumidor, economia, ou taxa de juros. 
Dessa forma conceituamos Incerteza como sendo a situação em que não é 
“sabido” o que irá acontecer.
•	 Utilidade: Se não é útil, deve ser adquirido?
 Não podemos deixar nos levar pelo modismo ou pelo consumismo exa-
gerado. Na hora de você trocar uma máquina ou um equipamento, leve 
em consideração duas coisa: a primeira é saber se com a troca você irá 
satisfazer suas necessidades. A segunda se vale é vantajoso fazer a troca 
ou aperfeiçoar o que você já tem.
•	 Oportunidade: Sem dinheiro as oportunidades dizem adeus. 
 Com dinheiro é muito mais fácil ter crédito, fazer ótimos negócios e se 
tranquilizar em crises econômicas.
Figura 1.2: Dinheiro
Fonte: http://www.jogoscelular.net
Matemática Financeirae-Tec Brasil 12
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema eco-
nômico. A palavra FINANÇAS remete especificamente àquelas relações da 
matemática com o dinheiro tal e qual o se concebe nas diversas fases da 
História da humanidade. 
Muitas situações estão presentes no cotidiano das pessoas e têm ligação 
imediata com o dinheiro, seja o fato de ter um pouco de dinheiro, nada de 
dinheiro ou muito dinheiro. Em todas as situações ter educação financeira 
torna-se fator determinante da ascensão profissional e saúde financeira pes-
soal e empresarial.
Os financiamentos são os mais diversos e criativos. Essa “mania” é muito an-
tiga, remete as relações de troca entre mercadorias que com o passar das eras 
e diferentes civilizações evoluíram naturalmente quando o homem percebeu 
existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo - “tempo é dinheiro”. 
Figura 1.3: Tempo
Fonte: http://bloglucrativo.blogspot.com/
1.2 Juros
O conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a exis-
tência de uma afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acú-
mulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros devido 
ao valor momentâneo do dinheiro (cada dia as diferentes moedas têm um 
valor). Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam pela organização dos 
dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através 
de operações matemáticas. 
Os sumérios, povos que habitaram o Oriente Médio, desenvolveram o mais 
antigo sistema numérico conhecido, registravam documentos em tábuas de 
argila. Essas tábuas retratavam documentos de empresas comerciais. Algu-
mas eram utilizadas como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados 
ao sistema de peso e medida. Havia tábuas para a multiplicação, números 
quadrados, números cúbicos e exponenciais (ideia de função). As funções 
Você sabia que existem várias 
passagens na Bíblia que tratam de 
finanças?
Finanças: (1 Cr.29:12-14; 
1Tm.6:9-10).
Em suma, todo cristão, como filho 
de Deus, recebe coisas, inclusive o 
dinheiro, que deve ser utilizado de 
maneira correta, sensata e temente 
a Deus para a glória do nome 
dele. Temos que ser equilibrados, 
ganhando com práticas honestas e 
fugindo das práticas ilícitas. É lícito 
desfrutarmos dos benefícios que o 
dinheiro traz, mas não apegarmos 
à cobiça a qualquer custo para 
conseguir dinheiro. Podemos usar 
o dinheiro para dízimos, ofertas, 
no lar, no trabalho e em lazer. 
As pessoas devem evitar contrair 
dívidas fora do alcance, comprar 
sempre que possível à vista, fugir 
dos fiadores, pagar os impostos, e 
como patrão pagar justos salários. 
Além disso, deve haver economia 
doméstica, com liberdade moral e 
responsável, evitando conflitos, pois 
afinal o dinheiro é de uso do casal.
Fonte: www.discipuladosemfronteiras.
com/contato.php acessado em 
03/2009.
e-Tec BrasilAula 1 – O contexto das finanças na história da matemática 13
exponenciais estão diretamente ligadas aos cálculos de juros compostos e 
os juros simples à noção de função linear. Mais adiante veremos com mais 
detalhes essas relações.
Figura 1.4: Escrita dos sumérios
Fonte: http://www.cyberartes.com.br/
Consequentemente existe a relação da escrita antiga dos Sumérios com o 
nosso sistema de numeração, o sistema indo-arábico: (que tem esse nome 
devido aos hindus que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmiti-
ram para a Europa Ocidental).
Figura 1.5:Hindu
Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br
E os juros? Sempre existiram?
Na época dos Sumérios, os juros eram pagospelo uso de sementes e de outros 
bens emprestados. Os agricultores realizavam transações comerciais em que 
adquiriam sementes para efetivarem suas plantações. Após a colheita, os agri-
cultores realizavam o pagamento através de sementes com a seguida quanti-
dade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de pagamento dos juros 
foi modificada para suprir as exigências atuais, no caso dos agricultores, claro 
que o pagamento era feito na próxima colheita. A relação tempo/juros foi se 
ajustando de acordo com a necessidade de cada época. Atualmente, nas tran-
sações de empréstimos, o tempo é preestabelecido pelas partes negociantes. 
Matemática Financeirae-Tec Brasil 14
Vale observar que os juros sempre so-
freram com as intempéries. Naquela 
época, muito mais relacionadas com 
o clima, época de plantio e colheita. 
Atualmente, além disso, os juros so-
frem alterações de base por conta das 
políticas monetárias, do banco central, 
ou seja, dependem da vontade políti-
ca/econômica do Ministro da Fazenda 
e das decisões do COPOM (Comitê de 
Política Monetária do Banco Central) e de políticas econômicas nacionais 
e internacionais, de diferentes gestões, período de crises financeiras, alta 
e baixa da taxa de desemprego, da instalação de indústrias e de índices de 
desenvolvimento humano (IDH).
Atualmente se utiliza o financiamento para as mais diversas situações do 
universo capitalista, porque o “ter” é a engrenagem da máquina financeira 
mundial. A compra da casa própria, carro, moto, realizações pessoais (em-
préstimos), compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações finan-
ceiras, investimentos em bolsa de valores, entre outras situações financeiras 
que dependem do quanto se ganha e de quanto está disposto a arriscar em 
financiamentos a curto, médio e longo prazo. Em resumo, todas as movi-
mentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros 
e envolvem o tempo para quitar a dívida. 
Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de 
prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do em-
préstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o 
nome de juros, ou seja, o bem adquirido tem valor agregado maior do que 
se fosse comprado à vista (em parcela única). Uma questão pertinente: é 
melhor comprar parcelado ou guardar o dinheiro para comprar à vista? Esse 
é o grande objetivo da formação para a Educação Financeira, nossa meta 
para este curso.
Resumo
Vimos nessa aula as relações do dinheiro com a temporalidade, o que é a 
inflação, como identificar os tipos de Risco, o que significa a taxa de juros e 
pudemos perceber um pouco da evolução histórica financeira.
Figura 1.6: Índices
Fonte: http://www.cgimoveis.com.br
e-Tec BrasilAula 1 – O contexto das finanças na história da matemática 15
Atividades de aprendizagem
Pesquise:
1. O que quer dizer Risco-País?
2. Existem outros tipos de risco?
3. Qual o significado da palavra índice econômico?
Responda:
1. Quais outros índices são usados no cotidiano regional? E a nível nacional?
2. O que é significa a sigla que determina o índice INCC? O que ele mede?
3. Dê um exemplo de índice financeiro e explique o que ele mede.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 16
e-Tec Brasil17
Aula 2 – Relação algébrica: 
razão e proporção
No decorrer desta aula, retomaremos o conceito de razão, pro-
piciando maior entendimento e exploração de conceitos mate-
máticos fundamentais, por meio de deduções, exploraremos as 
relações algébricas (fórmulas) que são tão úteis aos cálculos na 
Matemática Financeira.
A noção de relação algébrica em matemática financeira é importante para 
representar de modo geral as relações que estabeleceremos entre o dinheiro, 
os juros e o tempo. De modo geral atribuímos letras (variáveis) para repre-
sentar o dinheiro gasto, o financiamento, investimento, tempo de aplicação, 
juros mensais, entre outros. Sendo assim é muito provável que cada autor 
encontrará diferentes letras para representar as variáveis citadas. 
Uma relação bastante útil em matemática financeira é a proporcionalidade, 
frequentemente conhecida como “regra de três”. Sua utilidade vai desde o 
cálculo de porcentagens até a transformação de unidades de tempo e valor 
monetário. Contudo, primeiramente vamos nos ater a noção de razão e 
proporção.
2.1 Razão
Podemos definir razão – dentro da matemática - como sendo a compa-
ração entre números ou grandezas.
Mas o que entendemos por Grandeza? Entendemos por grandeza tudo 
aquilo que pode ser medido ou contado. As grandezas podem ter suas me-
didas aumentadas ou diminuídas. Vejamos alguns exemplos de grandeza: o 
volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, 
o tempo, o custo e a produção. É comum situações em que relacionamos 
duas ou mais grandezas no dia a dia. 
Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, uma delas é usando 
a linguagem matemática, quando se escreve a > b (lê-se “a” maior do que 
“b”) ou a < b (lê-se “a” menor do que “b”) e a = b (lê-se “a” igual ao “b”), 
estamos comparando as grandezas a e b. Essa comparação pode ser feita 
Em uma corrida de “quilômetros 
contra o relógio”, quanto maior 
for a velocidade, menor será o 
tempo gasto nessa prova. Aqui 
as grandezas são a velocidade e 
o tempo.
Fonte: http://www.somatematica.
com.br/fundam/grandeza.php 
através de uma razão entre as duas grandezas, isto é o quociente entre essas 
grandezas. Em resumo, uma razão é a representação da divisão entre dois 
valores “a” e “b”. Observe:
a
b
 = a : b = a/b
Exemplo: Em uma turma de 27 alunos, foi feito uma pesquisa para saber 
quantos alunos gostam de matemática e quantos não gostam. O resultado 
obtido foi:
Gostam: 07 alunos
Não gostam: 20 alunos
Então, podemos dizer que o quociente 7/20 é a razão do número de alunos 
que gostam de matemática. Viram que simples o conceito de razão. 
•	 Podemos ler a razão acima do seguinte modo: “7 esta para 20”
•	 Distinguimos a razão acima chamando o 7 de antecessor e o 20 de 
consequente. 
2.2 Aplicações
Entre as aplicações práticas de razões especiais, as mais comuns, são:
a) Velocidade média
A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela razão entre uma 
distância percorrida e um tempo gasto neste percurso.
velocidade = distância percorrida
tempo gasto no percurso
Exemplo:
I. Suponhamos que um carro percorreu 120 km 
em 2 horas. A velocidade média do carro nes-
se percurso será calculada a partir da razão:
Vmédia = 
120km
2h
 = 60km/h
O que significa que, em 1 hora o carro percor-
reu 60 km. Portanto, podemos dizer que nossa 
razão é de 60 Km/h
Figura 2.1: Estrada
Fonte: http://www.freefoto.com/
Matemática Financeirae-Tec Brasil 18
b) Escala
Escala é a comparação entre o comprimento observado no desenho (mapa, 
por exemplo) e o comprimento real correspondente, ambos na mesma uni-
dade de medida.
Escala = comprimento do desenho
comprimento real
Exemplo:
II. Em um mapa, um comprimento de 8 m está representado por 16 cm. 
Qual a escala usada para fazer esse mapa?
Para resolver esse exercício precisamos deixar ambos os valores com a mes-
ma unidade de medida. Neste caso, transformamos 8 m em cms. 8m = 800 
cm, pois, 1 m = 100 cm, logo 8.100 m = 8. 100 cm = 800cm. Certo! Mas 
agora vamos para a escala:
Escala = 16 cm
800 cm
 = 1
50
ou ainda escala 1:50, como é mais comum nos desenhos e mapas.
Isto significa que cada 1 cm medido no desenho é igual 50 cm no tamanho 
no real. E assim nossa razão é lida por “1 esta para 50”
c) Densidade Demográfica
Figura 2.2 Densidade demográfica
Fonte: http://www.grupoescolar.com
Densidade demográfica = número de habitantes
área total do território
e-Tec BrasilAula 2 – Relação algébrica: razão e proporção 19
Exemplo:
III. Um município ocupa a área de 5.000 km2jj, de acordo com o censo rea-
lizado, tem população aproximada de 100.000 habitantes. A densidade 
demográficadesse município é obtida assim:
Densidade demográfica = 100.000 hab
5.000 km2
Isto significa que para cada 1 quilômetro quadrado, esse município tem 20 
habitantes. Assim a razão é de 20 hab/Km2
Para o nosso caso mais específico de finanças um exemplo de razão é rela-
cionar a noção de razão com a transformação de frações em números deci-
mais (com vírgula), vejamos alguns exemplos:
A razão 20:2, ou 
20
2
 é igual à 10. A razão de 20 para 2 é 10, ou seja vinte é 
dez vezes maior que dois.
A razão 12 : 3 ou 12/3 é igual a quatro, ou seja doze é quatro vezes maior 
que três.
A razão 
4
6
 : 
4
6
 é igual a1. A razão de 4/6 para 4/6 é 1 (um inteiro ou 100%).
2.2 Proporção
Podemos definir proporção como a igualdade entre duas razões. Vejamos 
como é simples esse conceito!
Dada a razão 2/3, se multiplicarmos por 2 teremos uma nova razão de valor 
4/6. Lembremos que uma razão não se altera quando ela é multiplicada ou 
dividida por um número diferente de zero. Logo, deduzimos que as duas 
razões são iguais, ou seja, 2/3 = 4/6. Concluimos que “a igualdade de duas 
razões é uma proporção”. 
E essa igualdade é lida da seguinte forma: dois está para três assim como 
quatro esta para seis, que pode ser representada por 2:3:: 4:6.
De modo genérico a proporção é representada por 
A
B : 
C
D, onde os números 
A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 20
Usa no cotidiano a proporção para achar o termo desconhecido de uma ra-
zão, normalmente essa aplicação se da na famosa REGRA de TRÊS. Veremos 
isto mais adiante.
As frações abaixo são outros exemplos de proporção:
a) ½ = 5/10 b) 3/4 = 9/12 c) 21/43 = 42/86
Resumo 
Nesta aula, revisamos o conceito de razão e proporção, compreendendo 
suas principais aplicações 
Atividades de aprendizagem
Resolva as atividades abaixo, seguindo o modelo resolvido:
1. Faça a leitura das razões abaixo:
a) ¾ = três esta para 4
b) 3/5 = .
c) 9/28 = .
d) A/B = .
e) ½ / 1/3 = .
2. Estabeleça a razão entre as grandezas:
a) A idade de um rapaz é 20 anos e a idade de sua irmã é 16. Qual é a razão 
da idade do rapaz para a da sua irmã?
 Resposta: a razão é 20/16
b) Qual é a razão do número de dias do mês de fevereiro para os dias de 
um ano bissexto?
 R: .
c) O time de futebol Amigos da bola marcou 36 gols, e sofreu 10 gols. Qual 
é a razão do número de gols marcados para o número de gols sofridos? 
R: .
d) Uma caixa de chocolate possui 250g de peso líquido e 300g de peso 
bruto. Qual é a razão do peso líquido para o peso bruto? 
 R: .
Pesquisando sobre a 
“Propriedade fundamental da 
proporção” e “Propriedades da 
proporção”
e-Tec BrasilAula 2 – Relação algébrica: razão e proporção 21
3. Verifique se as igualdades abaixo são ou não proporção, respondendo 
sim ou não.
a) 5/2 = 15/6, sim é uma proporção, pois se multiplicarmos a fração 5/2 por 
3, temos a fração 15/6.
b) 81/63 = 9/7 
c) 4/5 = 24/20 
d) ¾ = 27/32 
e) 6/5 = 36/30 
4. Calcule o termo desconhecido das seguintes proporções:
a) 2/3 = 16/x
 Utilizando a propriedade fundamental, sabemos que “o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos”, então temos:
 2.x = 16.3
 2.x = 48
 X = 48/2
 X = 24
b) 7/6 = 42/x
c) 2/5 = x/30
d) 360/50 = x/10
e) x/4 = 72/32
Matemática Financeirae-Tec Brasil 22
e-Tec Brasil23
Aula 3 – Relação entre razão e 
proporcionalidade: “regra de três”
Veremos nesta aula, alguns dos elementos que estabelecem a 
relação entre razão e proporção.
3.1 Grandeza diretamente proporcional.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma 
delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma 
delas, a outra também diminui na mesma proporção.
Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que 
expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma cons-
tante K tal que:
X
Y
 = K
Exemplo: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água. A cada 
15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm. =centímetros e min. = 
minutos)
15 minutos 50 cm 30 minutos 100 cm 45 minutos 150 cm
     
     
     
Figura 6.6: Exemplo
Fonte: Elaborado pelo autor
Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:
Tempo (min) Altura (cm)
15 50
30 100
45 150
Observamos que, quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível 
da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a 
altura do nível da água também é triplicada. Desta maneira, tiramos as 
seguintes conclusões:
•	 Quando o intervalo de tempo passa de 15 min. para 30 min., dizemos 
que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia 
de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observa-
mos que estas duas razões são iguais: 15
30
 = 50
100
 = 1
2
.
•	 Quando o intervalo de tempo varia de 15 min. para 45 min., a altura 
varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 
e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais: 
15
45
 = 50
150
 = 1
3
.
•	 Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira 
fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre 
igual, assim, dizemos que a altura do nível da água é diretamente pro-
porcional ao tempo que a torneira ficou aberta.
3.2 Grandeza inversamente proporcional.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando 
uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma 
delas, a outra aumenta na mesma proporção. Vamos ver um exemplo para 
entender melhor:
Observe a tabela, que representa a relação entre a velocidade e tempo em 
uma situação de distância qualquer.
Velocidade (Km/h) tempo (h)
400 3
480 2h30min
Podemos observar que à medida que a velocidade aumenta o tempo percor-
rido diminui. Assim, temos a caracterização de uma grandeza inversamente 
proporcional.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 24
3.3 Proporcionalidade
•	 Regra de Três Simples
“Regra de três simples” é um processo prático para resolver problemas que 
envolvem grandezas diretas ou inversamente proporcionais. É normal no sen-
so comum entendermos como cálculo do valor desconhecido, quando há pre-
sença de três deles valores conhecidos e precisamos descobrir o valor do quar-
to. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos didáticos utilizados para resolver problemas com 
a regra de três simples
1º Passo: Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie 
em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes 
em correspondência.
2º Passo: Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente pro-
porcionais.
3º Passo: Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo 1: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2 m2, uma 
lancha com motor movido à energia solar consegue produzir 400 watts por 
hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m2, qual será a energia 
produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Área
1,2
1,5
400
x
Energia
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. 
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
e-Tec BrasilAula 3 – Relação entre razão e proporcionalidade: “regra de três” 25
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar 
que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, coloca-
mos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos:
Área
1,2
1,5
400
x
Energia
1,2
1,5
 = 400
x
1,2x = 1,5 . 400
x = 1,5 . 400
1,2
 = 500
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
Exemplo 2: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, 
faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mes-
mo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montandoa tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Velocidade
400
480
3
x
Tempo
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª 
coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso di-
minui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos 
afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, 
colocamos outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Mon-
tando a proporção e resolvendo a equação temos:
Velocidade
400
480
3
x
Tempo 3
x
 = 480
400
480x = 3.400
x = 3.400
480
 = 2,5
invertemos 
os termos
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 26
Fonte: http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3c.php
Resumo
Nesta aula descobrimos como funciona a Proporção direta e inversa. Identi-
ficamos, também, a regra de três simples e como calculá-la.
Atividades de aprendizagem
1. Compare as grandezas abaixo e assinale I para grandeza inversamente 
proporcional e D para grandeza diretamente proporcional.
a) Número de livros e seu preço (D)
b) Metros de tecido e preço ( )
c) Número de maquinas e tempo para executar um trabalho ( )
d) Quantidade de ração e número de animais ( )
e) Salário de um operário e horas de trabalho ( )
e-Tec BrasilAula 3 – Relação entre razão e proporcionalidade: “regra de três” 27
2. Resolva as regras de três a seguir e diga se elas são diretas ou inversa-
mente proporcionais:
a) 4 chocolates custam R$ 20,00. Qual o preço de 5 chocolates?
b) Uma máquina produz 1000 peças. Quantas peças seriam produzidas por 
5 máquinas?
c) 20 costureiras fazem 60 camisas por quinzena. Quantas camisas fariam 
30 costureiras?
d) 20 operários constroem uma obra em 10 dias. Qual seria o tempo gasto 
por uma equipe de 5 operários?
Matemática Financeirae-Tec Brasil 28
e-Tec Brasil29
Aula 4 – Porcentagem
O objetivo desta aula é rever conceitos de porcentagem, ou seja, 
a importância da expressão “por cento” e as aplicações cotidia-
nas nas questões financeiras.
Observem nas lojas os encartes, e na internet 
a quantidade de vezes que a representação 
% (por cento) está presente na comunicação 
das mais diversas empresas e órgãos públicos. 
Trata-se de uma linguagem amplamente di-
fundida, e é senso comum entre a população 
de que se trata de um modo de comunicação 
com vistas em representar a parte de um todo 
de 100 unidades. Dada essa importância, ve-
jamos alguns exemplos da representação em 
porcentagem versus a representação na forma 
de razão e o equivalente em decimal:
Tabela 4.1: Representação
Representação Exemplo de situação usual
50% “UNE quer que 50% dos recursos do Fundo Social sejam investidos em educação”.
½ “Emagreça 1/2 kg por dia comendo sanduíche”.
0,5 “Oferta: Lapiseira Pentel Técnica 0,5mm Preta - P205”
Metade “Governo Federal reduziu pela metade o dinheiro destinado ao sistema penitenciário”.
Fonte: Elaborado pelo autor
Note que a tabela traz diferentes situações que são representadas pelo mes-
mo conceito de “metade”. Porém, cada situação exposta pede uma diferen-
te representação, por exemplo, não seria adequado dizer: “emagreça 50% 
de um quilograma por dia”. Para o nosso caso específico utilizaremos ampla-
mente a notação de porcentagem, por estar intimamente relacionada com o 
sistema monetário que está definido como número decimal posicional.
Toda razão da forma a/b na qual o denominador b =100, é chamada taxa de 
porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
Figura 4.1: Porcentagem
Fonte: http://www.sxc.hu
Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de arit-
mética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma 
abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que 
em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades.
O cálculo de 10% de 80, por exemplo, pode ser obtido como o produto de 
10% por 80, isto é: 10%.80 = 
10
100
 . 80 = 800 / 100 = 8.
Situações mais elementares, como a citada anteriormente, podem ser re-
solvidas “de cabeça” (cálculo mental). Imagine que os 80 citados são na 
verdade o valor da conta de um jantar em família; sobre esse valor vamos 
acrescentar a taxa de serviço de garçom que é de 10% sobre o consumo to-
tal. Sendo assim, basta dividir por 10 o valor da conta, resultando em 8, ou 
melhor, em 8,00 reais e somar este resultado ao total consumido:
R$8,00 + R$80,00 = R$88,00.
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para 
calcular M% de um número N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = 
M
100
 . N
Exemplo 1. 
Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão 
etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com núme-
ro par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Solução:
Etiquetas Pares = 52% de 25 fichas = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13. O restan-
te, (100% - 52% = 48% são de fichas número ímpar, que seria nesse caso 
12 fichas)
Poderíamos ainda calcular o valor de 50% e acrescentar 2% (1% + 1%). 
Vejamos:
(metade de 25) 50% de 25 = 12,5 + 1% de 25 (a centésima parte de 25) + 
1% de 25 (a centésima parte de 25). Somando os valores temos:
12,5 + 0,25 + 0,25 = 13.
Nesse fichário, há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com 
número ímpar.
1. Percentagem x 
Porcentagem
“É opcional dizer percentagem 
(do latim per centum) ou 
porcentagem (em razão da 
locução ‘por cento’). Mas 
só se diz percentual. Com 
as expressões que indicam 
porcentagens o verbo pode 
ficar no plural ou no singular. 
Conforme o caso, já que a 
concordância pode ser feita com 
o número percentual ou com o 
substantivo a que ele se refere”.
Por Maria Tereza de Queiroz 
Piacentini.
Fonte: http://kplus.
cosmo.com.br/materia.
asp?co=49&rv=Gramatica, 
acessado em setembro de 2009.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 30
Exemplo 2.
Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou quatro par-
tidas na primeira fase e venceu três. Qual a porcentagem de vitórias obtida 
por essa seleção nessa fase?
Solução:
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse 
problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3
Assim temos:
x
100
 . 4 = 3
4x
100
 = 3
4x = 300
x = 75
Ou ainda poderíamos utilizar o conceito de razão: ¾ = 0,75, ou seja, na 
primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.
Exemplo 3.
Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço mar-
cado na etiqueta. Pagou-se R$690,00 pela mercadoria. Qual o preço original 
da mercadoria?
Solução:
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o 
preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço 
original e isto significa que 92% de X = 690
Assim temos:
92%.x = 690
92
100
 x = 690
92x
100
 = 690
92. x = 69.000
x = 69.000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$750,00.
e-Tec BrasilAula 4 – Porcentagem 31
Exemplo 4
Calcule quanto é 8 % de 120.
Solução:
8/100.120 = 9,6
Exemplo 5
Quanto por cento representa 8 de 130.
Solução:
8/130 = 0,0615 para transformar em percentagem basta multiplicar 
por 100, assim temos:
0,0615 . 100 = 6,15 % (considerando duas casas decimais)
Exemplo 6
Calcule o total (ou seja, 100%) sabendo que 22% valem 56. 
Solução: Utilizamos a regra de três, veja:
22 --------------------- 56
100 --------------------- x , multiplicando cruzado, temos:
22x = 56.100
22X = 5600
X = 5600/22
X = 254,54 (considerando duas casas truncadas)
Resumo
Nesta aula, revisamos o conceito de porcentagem, ou seja, a importância do 
“por cento” e das aplicações cotidianas nas questões financeiras utilizando 
apenas o denominador 100 nas razões do tipo a/b (com b sempre igual a 100).
Atividades de aprendizagem
1. Calcule, quanto é:
a) 8% de 1200 =
Há duas formas de se resolver 
uma porcentagem:por regra de 
três ou por fórmula. Dependendo 
apenas de como se calcula, ou 
por fração, ou taxa percentual.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 32
b) 40% de 80 =
c) 13% de 50 =
d) 1,99 % de 12.000 =
e) 0,5 % de 2.458,50 =
2. Calcule quantos por cento representa:
a) 12 de 120 = 
b) 20 de 50 = 
c) 2,5 de 12 = 
d) 35 de 1000 =
e) 56 de 80 =
e-Tec BrasilAula 4 – Porcentagem 33
3. Calcule o total (ou seja, 100%):
a) Se 10% vale 16, o total é? R = 
b) Se 7% vale 7, o total é? R = 
c) Se 30% vale 120, o total é? R =
d) Se 12,5 % vale 625, o total vale? R =
Matemática Financeirae-Tec Brasil 34
e-Tec Brasil35
Aula 5 – Revendo o conceito de 
potencialização
Nesta aula, você retomará o significado de algumas proprieda-
des da potenciação e porcentagem, ou seja, conhecerá a im-
portância da palavra “por cento” e também suas aplicações nas 
questões financeiras. 
5.1 Potenciação
A ideia de potenciação pode ser explicada, quando usamos a seguinte situ-
ação no lançamento de dados:
Figura 3.1: Dados
Fonte: http://cute-and-bright.deviantart.com
http://usefool-deviantart.com
Quando lançamos dois dados consecutivos, podemos obter os seguintes 
resultados:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Assim, temos 36 resultados possíveis nesses lançamentos.
Entretanto, podemos chegar a essa conclusão utilizando outro raciocínio, que 
seria a multiplicação das possibilidades de resultado para cada um dos dados:
1º dado
6 possibilidades
2º dado
6 possibilidades
 6 x 6 = 62 = 36
Faça da mesma maneira lançando três dados consecutivos:
1º dado
6 possibilidades
2º dado
6 possibilidades
3º dado
6 possibilidades
 6 x 6 x 6 = 63 = 216
Generalizando, com n lançamentos consecutivos:
1º dado
6 possibilidades
2º dado
6 possibilidades
3º dado
6 possibilidades
(...)
n° dado
6 possibilidades
 6 x 6 x (...)x 6 = 6n
Logo percebemos que esta situação representa uma potência, ou seja, um 
caso particular da multiplicação. 
Desta maneira, podemos definir potência como um produto de fatores 
iguais. Veja a representação matemática que define potência:
an= a .a . a . a . (...) a
Onde: “a” é a base
“n” é o expoente, o resultado é a potência.
Por exemplo:
(-2)2 = (-2).(-2) = 4
(-3)3 = (-3). (-3). (-3) = -27
44 = 4.4.4.4 = 256
55 = 5.5.5.5.5 = 3125
Observação:
•	 Pela observação dos exemplos acima temos as seguintes conclusões:
 (+)par = +
 (-)par = +
 (+)ímpar = +
 (-)ímpar = –
 – Expoente par o resultado dá sempre positivo
 – Expoente ímpar sempre se conserva o sinal da base
Matemática Financeirae-Tec Brasil 36
5.1.1 Casos particulares
Considere a seguinte sequência de potência de base 2:
24 = 16 
¯:2
23 = 8
¯:2
22 = 4 
¯:2
21 = 2 
¯:2
20 = 1
¯:2
2-1 = 
1
2
¯:2
2-2 = 
1
4
¯:2
2-3 = 
1
8
¯:2
2-4 = 
1
16 ...
Com estes resultados concluímos que:
1. Toda potência de expoente 1 é igual à base
a1 = a
2. Toda potência de expoente zero é igual a 1, sendo a ≠ 0.
a0 = 1
3. Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de 
expoente positivo 
a-n= 1
an
, sendo a ≠ 0
e-Tec BrasilAula 5 – Revendo o conceito de potencialização 37
5.1.2 Propriedades das potências:
As propriedades das potências são utilizadas para simplificar os cálculos arit-
méticos, observe as mais utilizadas no dia-dia:
am . an = am + n
am : an = am – n
(am)n = am . n
A seguir temos alguns exemplos dos casos particulares e das propriedades 
das potências.
a) 10 = 1
b) 51 = 5
c) 2-5 = 
1
25 = 
1
32
d) 22 . 23 = 22+3 = 25 = 32
e) 23 ÷ 22 = 23-2 = 21 = 2
f) (22)3 = 26 = 64
Resumo
Nesta aula, retomamos o significado da potenciação por meio de exem-
plos práticos relacionados à probabilidade e estatística. Tais exemplos serão 
úteis ao entendimento que se tem sobre as fórmulas as quais serão vistas 
mais adiante.
Atividades de aprendizagem
1. Em 7² = 49, responda:
a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?
Matemática Financeirae-Tec Brasil 38
2. Escreva na forma de potência:
a) 4x4x4 = 
b) 5x5 = 
c) 9x9x9x9x9 = 
d) 7x7x7x7 = 
e) 2x2x2x2x2x2x2 = 
f) cxcxcxcxc = 
3. Calcule a potência:
a) 3² = 
b) 8² = 
c) 2³ = 
d) 3³ = 
e) 6³ = 
f) 24 = 
e-Tec BrasilAula 5 – Revendo o conceito de potencialização 39
e-Tec Brasil41
Aula 6 – Taxas e coeficientes
Nesta aula, você compreenderá a diferença entre as taxas e co-
eficientes. Veremos também os tipos de taxas.
Acompanhe a citação:
“No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e 
executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de 
juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. 
O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado 
o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento 
entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de 
Matemática Financeira existe uma verdadeira ‘poluição’ de taxas de 
juros.” (SOBRINHO, 2000)
As taxas se referem aos valores expressos preferencialmente em porcenta-
gem enquanto que os coeficientes são estritamente numéricos (números 
decimais). Já os coeficientes dizem respeito a valores independentes da re-
presentação em porcentagem, os valores passam a ser absolutos. Se as taxas 
são expressas em grupos de 100 partes (por cento), os coeficientes servem 
para qualquer quantidade de dados numéricos e ajudam a representar in-
tervalos, variações de máximo e mínimo, de correlação com tabelas preesta-
belecidas. Veja um exemplo, que relata parte de uma notícia no jornal valor 
econômico online:
“Se, de um lado, a expectativa de um corte maior nos juros indica in-
flação mais alta para 2012 e 2013, seu impacto na atividade deve ace-
lerar o crescimento econômico no próximo ano, avaliam economistas 
ouvidos pelo Valor. Após a redução de 0,75 ponto percentual na Selic, 
que foi para 9,75% ao ano na semana passada, analistas revisaram li-
geiramente para cima suas projeções para o avanço do Produto Interno 
Bruto (PIB) de 2013, de 4,15% para 4,20%, segundo o Boletim Focus 
divulgado nesta segunda-feira pelo Banco Central. As estimativas para 
este ano foram mantidas em 3,3%.”
Fonte:http://www.valor.com.br/brasil/2566168/queda-da-selic-eleva-projecoes-para-o-pib-de-2013-no-focus, 
acessado em 03/12.
Na notícia acima os valores 9, 75 %, 4,20%, 4,15%, 3,3 % são determina-
das como taxas. Já o valor 0,75 é o que entendemos por coeficiente.
No Brasil, o governo federal emite títulos públicos e, por meio da venda 
deles, toma empréstimos para financiar a dívida pública no país e outras 
atividades como educação, saúde e infraestrutura. Quem compra esses 
títulos aplica seu dinheiro para, em troca, receber uma contrapartida: os 
juros. Mas quem define isso? “O Banco Central, que administra os leilões 
de títulos do governo, define uma remuneração sobre eles, que é a taxa 
básica de juros”, explica o professor. Dentro desse órgão, existe outro cha-
mado Comitê de Política Monetária, o Copom. Ele foi criado em 1996 e 
sua função é, como diz o próprio nome, definir as diretrizes da política mo-
netária do país e a taxa básica de juros. Periodicamente, o Copom divulga 
a taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia), que é a média de 
juros que o governo brasileiro pago aos empréstimos tomados de bancos. 
É a Selic que define a taxa básica de juros no Brasil, pois é com base nela 
que os bancos realizam suas operações, influenciando as taxas de juros de 
toda a economia. 
Aumentar ou reduzir esse imposto pode trazer diferentes implicações à 
economia de um país. “Quando o Banco Central aumenta a taxa de juros, 
ele está nos dando a seguinte orientação: ‘Não consumam hoje os bens, 
peguem seu dinheiro e apliquem no mercado financeiro, pois assim vocês 
poderão consumir mais no futuro’. Quanto ele a reduz, diz o contrário, queé mais conveniente comprar os bens hoje e não aguardar o futuro para obtê-
-los”, diz Carlos Antônio Luque. Ou seja, o aumento na taxa básica de juros 
atrai mais investimentos em títulos públicos e a quantidade de dinheiro em 
circulação diminui. Com isso, as pessoas compram menos. A lei de mercado 
faz com que a queda na demanda baixe os preços dos produtos e serviços 
em oferta. Assim, consegue-se conter o avanço da inflação, mas o ritmo 
da economia desacelera. Porém, se a taxa for reduzida, acontece o inverso: 
os bancos diminuem os investimentos nos títulos do governo e passam a 
aumentar o crédito à população, o que eleva a quantidade de dinheiro cir-
culando e estimula o consumo. O crescimento na demanda de produtos e 
serviços aquece o setor produtivo e, consequentemente, a economia como 
um todo. Em compensação, faz os preços se elevarem e possibilita o avanço 
da inflação.
Para entender a taxa básica de 
juros, é preciso primeiro saber 
o que é o juro. O dicionário 
Houaiss o define como “quantia 
que remunera um credor pelo 
uso de seu dinheiro por parte 
de um devedor durante um 
período determinado, ger. uma 
percentagem sobre o que foi 
emprestado; soma cobrada 
de outrem, pelo seu uso, por 
quem empresta o dinheiro”. 
Em linguagem mais simples, 
Carlos Antonio Luque, professor 
da Faculdade de Economia, 
Administração e Contabilidade 
da Universidade de São Paulo 
(USP), dá um exemplo de 
como isso funciona: “Se eu 
tiver à disposição uma maçã 
e se alguém quiser tomá-la 
emprestada, eu vou exigir 
que, no futuro, essa pessoa 
me devolva a maçã e mais um 
pedaço. Esse pedaço extra é o 
que representa os juros”.
http://revistaescola.abril.com.
br/geografia/fundamentos/taxa-
basica-juros-479759.shtml
Matemática Financeirae-Tec Brasil 42
6.1 Tipos de Taxas
Há vários tipos de taxas nas operações financeiras, veremos algumas:
6.1.1 Taxa Proporcional
Quando entre duas taxas existe a mesma relação que a dos períodos de 
tempo a que se referem, elas são proporcionais. Utilizada na capitalização 
simples, como podemos observar no exemplo:
12 % ao ano são proporcionais a 6 % ao semestre.
5 % ao trimestre são proporcionais a 20 % ao ano.
6.1.2 Taxa Equivalentes
São aquelas que, referindo-se a períodos de tempos diferentes, fazem com 
que o capital produza um mesmo montante num mesmo tempo. Muito uti-
lizado na capitalização composta. Exemplo: 
1,39 % ao mês são equivalentes a 18 % ao ano.
26,824 % ao ano são equivalentes a 2 % ao mês.
6.1.3 Taxa nominal
É a taxa que vem descrita nos contratos ou documentos financeiros. Quando 
procuramos um financiamento junto a um agente financeiro, ele sempre nos 
informa a taxa anual do contrato.
Pra entendermos melhor, observe a situação:
“A Caixa Econômica Federal oferece dinheiro a 5 % ao ano, com capitaliza-
ção mensal.”
A taxa de 5 % acima é dita Nominal.
Também, podemos defini-la como sendo a taxa em que os períodos de ca-
pitalização dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está 
referida. Exemplos:
1200% a.a. com capitalização mensal.
30 % a.s. com capitalização mensal.
6.1.4 Taxa Efetiva
É quando o período de capitalização dos juros ao Capital coincide com aque-
le a que a taxa está referida.
Exemplos:
120% a.m. com capitalização mensal.
45% a.s. com capitalização semestral.
e-Tec BrasilAula 6 – Taxas e coeficientes 43
6.1.5 Taxa Real
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
Resumo 
Nesta aula vimos a definição de taxas e coeficientes, bem como os tipos 
de taxas: a taxa nominal, equivalente, proporcional, efetiva e a taxa real. 
Na sequência veremos que a transformação de taxas será bastante útil nos 
cálculos financeiros. 
Atividades de aprendizagem
1. Pesquise e Responda:
a) Qual a diferença entre taxa e coeficiente?
b) Qual a diferença entre taxa proporcional e equivalente?
c) Qual a diferença entre taxa nominal e efetiva?
d) Qual a diferença entre taxa real da efetiva?
Pagamento do Imposto de Renda 
Pessoa Física: um exemplo de 
taxa a pagar.
Fonte: http://g1.globo.com/
economia/imposto-de-
renda/2012/noticia/2012/02/
tabela-do-imposto-de-renda-
2012-foi-corrigida-em-45-
conheca-os-limites.html, 
Acesse!!!!!
Matemática Financeirae-Tec Brasil 44
e-Tec Brasil45
Aula 7 – Calculando as taxas 
Nesta aula de hoje veremos como calcular as diversas taxas de juros. 
Faremos alguns exercícios para se apropriar desse conhecimento.
Segundo Camargo (2010): “... todo cálculo de matemática financeira se 
baseia no desconto ou capitalização de um valor monetário através da utili-
zação de uma taxa de juros.”
Numa operação financeira a escala de tempo (n) utilizada na operação deve 
coincidir com a mesma unidade de tempo referenciada na taxa de juros (i). 
ou seja, se tivermos prestações mensais, por exemplo, a taxa de juros deve 
ser especificada também em meses.
Quando a escala de tempo (n) e a taxa de juros (i) não estiverem especificadas 
na mesma unidade de tempo, é necessário compatibilizá-las alterando a esca-
la de tempo ou o período a que a taxa se refere (SOUZA, CLEMENTE, 2004). 
Para alterar o período de taxas diferentes, utilizamos diariamente duas ope-
rações: a conversão de taxas nominais em taxas efetivas, o que se dá pelo 
processo de proporcionalidade, ou a conversão de uma taxa efetiva em ou-
tra taxa efetiva, o que se dá pelo processo de equivalência.
7.1 Proporcionalidade entre taxas: 
conversão de taxa nominal para 
efetiva (capitalização simples)
Vamos relembrar a diferença entre taxa nominal e efetiva. Uma taxa de juros 
é dita nominal quando o período de referência da taxa não coincide com o 
período de capitalização, ou seja, a taxa pode estar especificada em ano, 
mas o pagamento de juros é feito mensalmente, o que acontece em diversos 
tipos de contratos de financiamentos. 
Por exemplo: Pode ter em um contrato uma taxa nominal de 16% ao ano 
com capitalização mensal.
Para a taxa efetiva, o tratamento é diferente. Ela é aquela efetivamente uti-
lizada na operação, pois o período de referência da taxa é igual ao período 
de capitalização do valor monetário. Ou seja:
Ex: taxa efetiva de 1,5 % ao mês com capitalização mensal
7.1.1 A proporcionalidade
Relembrando o que vimos na aula 2 no item 2.2 sobre proporção, sabemos 
que a proporcionalidade é a igualdade entre razões. Entre duas taxas de juros, 
significa que a razão entre as taxas é igual a razão entre seus períodos, portanto:
Razão entre as taxas: I1
I2
Razão entre os períodos (tempo) n1
n2
Proporção entre razão das taxas e razão dos períodos: I1
I2
 = n1
n2
Assim, 15%a.a. é proporcional a 1,25%a.m, pois se calcularmos pela pro-
porção temos:
15
x
 = 12
1
15 . 1 = 12 . x
15 = 12x
15
12
 = x
x = 1,25
Somente taxas efetivas, que se referem ao mesmo período de capitalização, 
podem ser utilizadas nos cálculos financeiros, pois esta representa a real 
remuneração do capital. Portanto, toda vez que tivermos uma taxa nominal 
precisamos transformá-la em taxa efetiva para fins de cálculos. Vejamos mais 
alguns exemplos. 
Exemplo 1 – Encontrar a taxa efetiva mensal de 24% a.a. com capita-
lização mensal.
Resolução:
Primeiramente devemos pegar a taxa nominal e transformá-la em uma taxa 
mensal, assim consideramos seu tempo igual 12, pois cada ano tem doze meses.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 46
Aí jogamos na proporção:
24
x
 = 12
1
24 . 1 = 12 . x
24 = 12x
24
12
 = x
x = 2
Exemplo 2 – Qual a taxa efetiva bimestral da taxa nominal de 21% a.s.?
Resolução: :
21
x
 = 3
1
21 . 1 = 3 . x
21 = 3x
21
3
 = x
x = 7
Observação: A taxa semestral teve que ser dividida por três para chegarmos 
à taxa efetiva bimestral, pois em cada semestre temos três bimestres.
Exemplo 3 – Um banco anuncia taxa nominal de 1,5% a.m. em suas 
operações de crédito. Nesse caso, qual a taxa efetiva se-
mestral da operação?
Resolução: :
1,5
x
 = 1
6
1,5 . 6 = 1 . x
9 = x
x = 9
Observação: Como temos umataxa ao mês, porém o pagamento de juros 
só é feito semestralmente, devemos multiplicar a taxa nominal por seis, visto 
que um semestre tem seis meses.
Processo rápido
24% a.a. / 12 meses = 2% a.m.
 taxa nominal taxa efetiva
Processo rápido
21% a.s. / 3 bimestres = 7% a.b.
 taxa nominal taxa efetiva
Processo rápido
1,5% a.m. * 6 meses = 9% a.s.
 taxa nominal taxa efetiva
e-Tec BrasilAula 7 – Calculando as taxas 47
7.2 Equivalências de taxas: conversão entre 
taxas efetivas (capitalização composta)
Como já vimos anteriormente, uma taxa é efetiva quando o período ao qual 
esta se refere é o mesmo período de capitalização dos juros. Um exemplo 
seria uma aplicação financeira que remunera o investidor de dois em dois 
meses e anuncia uma taxa bimestral. É comum encontrar taxas efetivas que 
não especificam o período de capitalização, ou seja, apenas são demonstra-
das como 5%a.b., por exemplo.
Desse modo duas taxas de juros efetivas são ditas equivalentes se, ao 
serem aplicadas sobre um mesmo principal (capital ou VP), durante 
um mesmo período de tempo (n), produzirem o mesmo valor futuro 
(montante ou VF), como mostrado pela equação seguinte.
VP (1 + i1)
1 = VP (1 + i2)
2
Para encontrar uma taxa equivalente utilizamos a seguinte equação:
i2 = (1 + i1)
n2/n1 - 1
Onde:
•	 i2 é a taxa de juros que quero encontrar,
•	 i1 é a taxa de juros para o período que já tenho,
•	 n2 é o período de tempo em dias da taxa que quero encontrar
•	 n1 é o período em dias referente a taxa de juros que já tenho. Para sim-
plificar, utilizamos a fórmula abaixo que facilita mais:
iquero = (1 + itenho)
prazo em dias que quero/ prazo em dias que tenho - 1
Onde iquero é a taxa que quero, e assim por diante.
Acompanhe os exercícios resolvidos para facilitar.
Exercício resolvido 1 – Achar a taxa equivalente semestral de 1,25% a.m.
Resolução: 
Nesse exemplo a taxa que você tem é a mensal, e a taxa que você quer 
encontrar é a semestral. Cada mês tem 30 dias (prazo que tenho) e cada 
semestre é composto por 180 dias (prazo da taxa que quero encontrar). Sa-
bendo disso é fácil realizar o cálculo, utilizando a fórmula:
iquero = (1 + itenho)
prazo em dias que quero/ prazo em dias que tenho - 1
Matemática Financeirae-Tec Brasil 48
isemestral = (1 + 0,0125)
180
3 – 1
isemestral = (1,0125)60 – 1
isemestral = 1,07738 – 1
isemestral = 0,07738 – 1
is = 0,07738 . 100
is = 7,73831 7,74
Só lembrando que a taxa é 7, 7381 é a taxa unitária semestral. Para transfor-
má-la em taxa de juros percentual é preciso multiplicar por 100. 
Comprovando: se ambas as taxas aplicadas pelo mesmo período produzem 
o mesmo montante, façamos o teste fictício. 
Se aplicarmos um capital de R$ 5.000,00 por 60 meses, com capitalização 
mensal e depois com capitalização semestral, será que termos o mesmo 
montante? Iremos usar a formula de capitalização composta, que veremos 
mais adiante. M = C . (1 + i)n
Capitalização mensal Com capitalização semestral
Dados: Dados:
i = 0,0125 i = 0,07738381
n = 60 meses n = 10 semestres
VP = 5.000,00 VP = 5.000,00
VF = 500.000 (1 + 0,0125)60 VF= 2.500.000(1+0,0773831)10
VF = R$10.535,90 VF = R$10.535,90
Obviamente este resultado só foi possível, pois utilizamos a taxa semestral 
com todas as casas decimais existentes (16 casas depois da vírgula). Como a 
maioria das calculadoras só chega a apresentar 10 casas decimais, o resulta-
do nem sempre é exatamente igual. Nos próximos exemplos, no entanto, só 
apresentaremos taxas com quatro casas decimais.
Exercício resolvido 2 – Converter 24% a.a. em taxa bimestral
Resolução:
A taxa que queremos encontrar aqui é bimestral, cujo prazo é de 60 dias, 
enquanto que a taxa que temos é anual com 360 dias. Assim é só substituir 
os valores na fórmula. Sendo assim temos:
iquero = (1 + 0,24)
60/360 – 1 
ia.b = (1,24)
1/6 – 1 = 0,0365 ou 3,6502% a.b.
e-Tec BrasilAula 7 – Calculando as taxas 49
7.3 Comparações entre proporcionalidade 
e equivalência
Sabe-se que 1% a.m. é proporcional a 12% a.a., pois 0,01/0,12 = 1/12. Po-
rém, no regime de capitalização composta, estas não são taxas equivalentes, 
pois como pode ser visto abaixo, se forem aplicadas sobre o mesmo capital 
(R$1.000,00) pelo mesmo período de tempo (1 ano = 12 meses) não produ-
zirão o mesmo montante.
Cálculo com taxa mensal: Cálculo com taxa anual:
i = 0,01 i = 0,12
n = 12 meses n = 1 ano
C = R$1.000,00 C = R$1.000,00
M = 1.000 (1 + 0,01)12 M = 1.000 (1 + 0,12)1
M = R$1.126,82 M = R$1.120,00
Segundo Camargo:
“O capital aplicado a uma taxa mensal produz um montante maior, 
pois será capitalizado mais frequentemente, o quer gerará mais juros 
sobre juros. Assim, o rendimento de juros auferido no primeiro mês 
será novamente capitalizado e produzirá um juro maior no mês seguin-
te, e assim por diante. (2010, p.56)
Isso mostra a importância de determinar exatamente a taxa de juros da ope-
ração, visto que esta é uma variável de fundamental importância nos cálcu-
los financeiros e análise de investimentos.
Resumo
Vimos nessa aula como calcular taxas proporcionais (capitalização simples) e 
taxas equivalentes (capitalização composta).
Atividades de aprendizagem
1. Qual a taxa anual equivalente a 2% ao trimestre?
Solução:
R = 8,24
Matemática Financeirae-Tec Brasil 50
2. Qual a taxa semestral equivalente a 5,6 % ao mês?
Solução:
R= 38,67
3. Qual o montante de um principal de R$72.000,00, no fim de 1 ano, com 
juros de 8% a.a./a.t?
Solução:
R= R$77.935,12
e-Tec BrasilAula 7 – Calculando as taxas 51
4. Determinar:
a) A taxa efetiva para 30 dias (mensal) proporcional a 24% a.a. na capita-
lização simples?
Solução:
R= 2
b) Taxa nominal anual proporcional 3% a.m.
Solução:
R= 36 %
Matemática Financeirae-Tec Brasil 52
e-Tec Brasil53
Aula 8 – Capitalização simples
Nesta aula veremos como se calcula o juro simples, o montante 
como sendo a soma do capital com o juro, o desconto simples.
8.1 Definindo capitalização simples
É o regime de capitalização (construção de capital) em que a taxa de juros 
utilizada é simples. Vamos ver um exemplo para facilitar nossa compreensão:
Exemplo:
Imaginemos a situação de um empréstimo de R$ 1.000,00 que você fez 
perante seu primo. A taxa estipulada foi no valor de 10% ao mês, para um 
prazo de 10 meses. Acompanhe a evolução dos juros nessa situação finan-
ceira, no quadro abaixo:
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Final do mês
0 - - 1.000,00
1 1.000,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.100,00
2 1.100,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.200,00
3 1.200,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.300,00
4 1.300,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.400,00
5 1.400,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.500,00
6 1.500,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.600,00
7 1.600,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.700,00
8 1.700,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.800,00
9 1.800,00 1.000,00 x 0,10 = 100 1.900,00
10 1.900,00 1.000,00 x 0,10 = 100 2.000,00
Podemos observar que a coluna dos juros na tabela acima, sempre se man-
teve constante, ou seja, os juros foram o mesmo. Por isso, dissemos que na 
capitalização simples os “juros são calculados, sobre o valor do capital 
inicial”, que nesse caso foi de R$ 1.000,00.
Também podemos considerar o regime de capitalização simples, equivalente 
aos conceitos matemáticos, correspondentes a Função Afim e Progressão 
Aritmética (P.A), onde os juros crescem de forma constante ao longo do tem-
po. Como vimos no exemplo acima, onde o capital de R$1.000,00 (dinheiro 
emprestado) aplicado por dez meses a uma taxa de 10% a.m., acumula um 
montante de R$2.000,00 no final. Graficamente a tabela acima fica:
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Período
Va
lo
re
s
Figura 8.1: Gráfico
Fonte: Elaborado pelo autor
O gráfico representa uma função polinomial do 1º grau, usualmente chama-
da de função afim, cuja simbologia é y = ax + b. 
Note que o primeiro valor assumido pela função é igual a R$1.000,00; e com 
o passar dos 10 meses, a função vai assumindo os valores de uma PA (1.000; 
1.100 ;1.200 ; . . . ; 2.000) cuja razão vale R$100,00 (os juros).
Segundo Souza e Clemente (2000), o juro representa o custo da imobilização 
de uma unidade capital por certo período de tempo. Normalmente, o juro 
é expresso através de uma taxa que incide sobre o valor imobilizado (base).
Juros? E os juros?
Os juros são representados em taxas (por cento), muitas vezes prefixadas por 
alguma política financeira ou índice predefinido pelo governo. O importante 
é que ambas (taxas e coeficientes) são modos de expressar os índices que 
determinada gestão ou diretoria utiliza para controlar e reajustar preços e 
demais aplicações financeiras.
E quando aparecem anúncios sedutores de prestações sem juros?
Figura 8.2: Divulgando o Credconstrução
Fonte: http://1.bp.blogspot.com
Matemática Financeirae-Tec Brasil 54
Antes de irmos para a fórmula precisamos conhecer alguns elementos, tais 
como:
•	 O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de 
valor presente ou capital “C”.
•	 A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinhei-
ro é denominada taxa de juros “J”.
•	 O tempo n deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está sub-
metida à taxa “i”, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para 
que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, 
estejam na mesma unidade.
•	 O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os 
juros, é denominado valor futuro ou montante “M”.
8.2 Fórmula para cálculo do juro simples
J = C.i.t
Saiba mais
Para calcular os juros simples de um valor presente ou capital “C”, du-
rante “t” períodos com a taxa percentual “i”, utilizamos uma variação 
temporal da função linear:
f(t) = a.t J = C.i.t
Note a semelhança da fórmula f(t) com a fórmula J
Alguns exemplos resolvidos:
1. Um valor de R$ 4.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 4% 
ao mês. Qual seria o valor dos juros simples durante cinco meses?
Resolução
J = C . i . n
J = 4.000,00 . 0,04 . 5
J = 4.000,00 . 0,20
J = 800,00
Transformando a taxa percentual em decimal:
4 % = 4/100 = 0,04 
e-Tec BrasilAula 8 – Capitalização simples 55
2. Qual o valor de um capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% 
ao mês, rendeu depois de um ano R$240,00 de juros?
Resolução
Como a taxa mensal é 2% = 0,02, devemos considerar, para o tempo de 1 
ano, 12 meses, pois tempo e taxa devem estar na referência temporal (neste 
caso em meses). Assim:
J = C. i .t
240 = C . 0,02. 12
240 = C . 0,24 
C = 240
0,24
C = 1000
Veja que o capital aplicado inicialmente foi de R$1.000,00.
Um empréstimo de R$10.000,00 rendeu juros simples de R$2.700,00 ao 
final de 6 meses. Qual a taxa mensal de juros do empréstimo?
Resolução: Dados: C = 10.000 J = 2.700 t = 6 meses, quere-
mos encontrar a taxa, “i” ?
Temos: J = C. i .t, isolando o “i” para facilitar, a formula fica: i = J
C . t
i = 2.700
10.000 . 6
i = 2.700
60.000
i = 0,045
i = 4,5%
A taxa de juros do empréstimo foi de 4,5% ao mês.
Ao trabalhar com as fórmulas de juros simples devemos nos atentar 
para algumas particularidades:
a) A taxa percentual “i” deve ser OBRIGATORIAMENTE transformada em 
coeficiente (forma decimal). Por exemplo, se a taxa for de (10%), deve-
mos dividi-la por 100, transformando-a no coeficiente (0,10);
Matemática Financeirae-Tec Brasil 56
Em Resumo
Forma Percentual Transformação Forma Decimal
12% a.a.
12
100
0,12
0,5% a.m.
0,5
100
0,005
b) Se o período e a taxa de juros não possuírem o mesmo referencial tempo-
ral, deve ser feita a conversão de um deles (preferencialmente o mais fácil).
Por exemplo: uma taxa de 5% a.m. e o período de 2 anos. Essa situação 
precisa, ou melhor, necessita ser convertida: a taxa para ano ou o período 
para mês:
1ª Opção: convertendo o período para mês (2 anos equivalem a 24 meses). 
Portando, teríamos a mesma referência temporal (taxa mensal de 5% e o 
período de 24 meses).
2ª Opção: convertendo a taxa para anos (1 mês equivale a 
1
12 anos). Portan-
do, teríamos a mesma referência temporal (taxa anual de 0,41% e período 
de 2 anos).
Resumo 
Nesta aula estudamos o conceito de juros e sua evolução; como calculá-lo 
na capitalização simples, e determinando o valor dos juros com o capital, 
que entendemos por Montante. Vimos também alguns exercícios resolvidos.
Atividades de aprendizagem
1. Apresente uma definição sobre juros?
2. Pesquise:
a) O que quer dizer capitalização simples?
e-Tec BrasilAula 8 – Capitalização simples 57
b) O que quer dizer a lei 8.078/90 do Código de Defesa do Consumidor?
3. Nos exercícios abaixo, calcule o que se pede:
a) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 100.000,00 durante 3 
meses a taxa de 1,5 % ao mês
b) Qual o juro produzido pelo capital de R$ 200.000,00 durante 1 ano a 
taxa de 2 % ao mês.
c) Depositei R$ 12.000,00 durante 2 anos, a taxa de 42 % ao ano. Quanto 
recebi de juros?
d) Transforme as seguintes unidades numa só:
•	 3 anos e 4 meses em meses
•	 5 anos e 20 dias em dias
•	 3 meses e 5 dias
•	 5 anos, 3 meses e 12 dias em dias
Matemática Financeirae-Tec Brasil 58
e-Tec Brasil59
Aula 9 – Tipos de Juros e 
cálculo de montante
Na aula de hoje estudaremos as diferenças entre juros ordinários 
e exatos. Veremos também a regra do banqueiro.
9.1 Algumas definições usuais
“Juro é o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma emprestado”, 
refere-se ao quanto será acrescentado à parcela de compra para cobrir as 
despesas financeiras, que por vezes é uma das partes do lucro. 
“Juro é o dinheiro produzido quando o 
capital é investido”, refere-se à rentabi-
lidade de fundos de investimento. Por 
exemplo, a poupança, títulos de capitali-
zação, investimentos de alto e baixo risco.
Segundo Castanheira e Serenato (2008, 
p. 22) o juro é calculado por intermédio 
de uma taxa percentual aplicada sobre o 
capital que “sempre se refere a uma uni-
dade de tempo: ano, semestre, bimestre, 
trimestre, mês e dia”.
Nas operações que envolvem juros, é importante diferenciar os juros exatos 
dos ordinários, Então preste atenção!!!
9.2 Juros Ordinários
Definimos como juros ordinários aquele que trabalha com o tempo comer-
cial. O tempo comercial define o mês com 30 dias, o mesmo acontece com 
o ano comercial, cujo número de dias é igual a 360.
9.3 Juros Exatos
Como o próprio nome diz, considera-se o mês igual ao do calendário civil, ou 
seja, meses com 30 ou 31 dias. Não podemos esquecer o mês de fevereiro 
que tem 28 dias ou 29, se for bissexto. Já o ano pode ter 365 ou 366 dias 
(ano bissexto).
Figura 9.1: Juros simples
Fonte: http://perlbal.hi-pi.com
Vejamos alguns exemplos:
1. Um capital de R% 5.000,00 foi aplicado a juros simples durante os meses 
de maio e junho, a uma taxa de 24 % ao ano. Calcule os juros ordinários 
e os juros exatos.
Juros ordinários
Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a
N = 2 meses, transformando em ano, temos 2/12 em anos. Substituindo 
na formula J = C. i. n,
J = 5.000,00 0,24 . 2/12 = 200
Juros exatos
Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a
N = 2 meses, transformando em ano, temos 61/365 em anos. Substituin-
do na formula J = C. i. n,
J = 5.000,00 0,24 . 61/365 = 200,55
9.4 Juros pela regra do banqueiro
Nessa regra, considera-se o tempo tanto no modo civil juntamente com o 
tempo comercial. Para facilitar vamos rever o exemplo acima, mas calculado 
pela regra do banqueiro, observe:
Dados: C = 5.000,00 i = 24 % ao ano = 0,24 a. a
J = C. i. n
J = 5.000,00 . 0,24 . 61/360
J = 203,33
Como podemos observar os juros calculados pela regra do banqueiro é 
maior que os juros exatos e ordinários.
9.5 Fórmula para cálculo do montante 
Para calcular o valor futuro ou montante “M”, durante “t” períodos com 
uma taxa percentual “i”, sobre um valor presente ou capital “C”, utilizamos 
uma variação temporal da função afim:
f(t) = a.t + b M = J + C M = C.i.t+ C
Os juros do cheque especial 
utilizado pelos bancos, seguem 
uma composição do “MétodoHamburguês”, que considera 
apenas os dias em que o saldo 
é negativo. Assim, podemos 
generalizar a formula por J = i. 
∑Cj . nj , onde j varia de 1 até Z.
Matemática Financeirae-Tec Brasil 60
Note a semelhança da fórmula f(t) com a fórmula M, que pode evoluir para:
M = C.(1 + i.t)
Vejamos alguns exemplos resolvidos
1. Qual o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de juros 
simples de 10 % ao ano pelo prazo de 2 anos ?
Resolução
Dados: C = 1.000 i = 10% = 0,1 t = 2 anos
Queremos encontrar o montante, ou seja, o valor de M. Sabemos que a 
formula é M= C.(1 +i. t)
M = 1.000.(1 + 0,1. 2)
M = 1.000. (1 + 0,2)
M = 1.000. (1,2)
M = 1.200
O montante, após 2 anos, à taxa de juros simples de 10 % ao ano, será 
de R$1.200,00.
2. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$450.000,00 
por 225 dias com taxa de juros simples de 5,6% ao mês.
Resolução: Dados: C = 450.000 i = 5,6% ao mês
t = 225 dias M = ?
Antes de alimentarmos a fórmula do montante com os dados, precisa-
mos converter, pois a taxa está em meses e o período está em dias:
1ª Opção: convertendo o período para mês (1 mês equivale a 30 dias). 
Portando, teríamos a mesma referência temporal (taxa mensal de 5,6% e 
o período de 225
30
 meses).
2ª Opção: convertendo a taxa para dias (1 dia equivale a 
1
30 meses). 
Portando, teríamos a mesma referência temporal (taxa diária de 5,6
30
% e 
período de 225 dias).
Resolvendo pela 1ª opção:
M = C.(1 +i .t)
M = 450.000.(1 + 0,056 . 
225
30 )
M = 450.000.(1 + 
12,6
30 )
M = 450.000.(1 + 0,42)
M = 450.000.(1,42)
M = 639.000
e-Tec BrasilAula 9 – Tipos de Juros e cálculo de montante 61
Resolvendo pela 2ª opção:
M = C.(1 +i .t)
M = 450.000.(1 + 
0,056
30 . 225)
M = 450.000.(1 + 0,42)
M = 450.000.(1,42)
M = 639.000
O montante será de R$639.000,00
Resumo 
Vimos nessa aula: juros ordinários, juros exato, tempo comercial, civil, cálcu-
lo do montante de capitalização simples.
Anotações 
Matemática Financeirae-Tec Brasil 62
e-Tec Brasil63
Aula 10 – Descontos simples
O objetivo da aula é proporcionar a compreensão de como fun-
ciona a questão do desconto simples nas operações financeiras: 
o desconto comercial.
10.1 Descontos
Quando uma pessoa contrai uma dívida é muito comum o credor emitir um 
documento que serve como comprovante desta operação financeira, este 
documento é chamado de título. O valor que descreve a dívida ou crédito 
nesse documento é chamado de valor nominal. Muitas empresas possuem 
o direito de receber os valores contidos nestes títulos e utilizam um produto 
bancário chamado de “desconto”. Este produto visa antecipar o valor a ser 
recebido em uma data futura, buscando assim, atender eventuais necessi-
dades de caixa. Exemplos de títulos: nota promissória; duplicata; letras de 
câmbio e cheques.
Assim podemos definir desconto como sendo:
“antecipação do pagamento de uma dívida ou o abatimento propor-
cional ao tempo de antecipação da dívida.”
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: 
o desconto comercial e o desconto racional. Discutiremos nessa aula 
somente desconto comercial.
10.1.1 Desconto comercial ou desconto por “fora”
Esta modalidade de desconto é amplamente utilizada no mercado, princi-
palmente em operações bancárias e comerciais de curto prazo. A taxa de 
desconto neste sistema incide sobre o montante ou valor nominal do título 
(ou dívida); em consequência disto, gera-se um valor maior e mais justo de 
desconto do que no sistema racional. Este desconto equivale aos juros sim-
ples, em que o capital corresponde ao valor nominal do título. 
Vamos identificar alguns elementos do desconto comercial, para facilitar 
nosso entendimento:
N = valor nominal
V = valor atual
Dc = desconto comercial
d = taxa de descontos simples
n = número de períodos (tempo de antecipação)
No desconto comercial, a taxa de desconto (d) incide sobre o valor nominal 
(N) do título. Logo a fórmula que utilizamos é:
Dc = N . d . n
Em outras palavras, segundo Abreu: “... desconto comercial (Dc) correspon-
de ao juro produzido pelo valor nominal (N) da dívida, considerando-se como 
prazo o número de períodos antecipados e a aplicação de uma determinada 
taxa de desconto (d)”(2009,p.28).
Observe o exemplo:
Um título no valor de R$ 6.500,00, emitido em 10/03/2007 com venci-
mento para o dia 29/07/2007, foi descontado à taxa de desconto de 
30% ao trimestre no dia 10/05/2007. Determine o valor do desconto 
recebido na operação.
Solução: O primeiro aspecto a observar é o cenário que temos. Des-
sa forma apresentamos uma linha do tempo, para facilitar nosso 
raciocínio.
Data Emissão Data resgate. Data do Vencimento.
10/03/2007 10/05/2007 29/07/2007
Os dados que temos são:
N = 6.500,00 - valor nominal 
D = 30% a.t.
n = 80 dias, ou 80/90 trimestres
Substituindo na formula Dc = N . d . n temos:
Dc = N . d . n
Dc = 6.500,00 . 0,30 . 80/90
Dc = 1.733,33
80 dias
Matemática Financeirae-Tec Brasil 64
Viram como é fácil!!! Vejamos outro exemplo:
Exemplo 2
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o descon-
to comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da 
data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
V = 10.000,00 . 0,05 . 3
Dc = 500,00 . 3
Dc = 1.500,00
10.2 Valor atual no desconto comercial
O valor atual no desconto comercial é a diferença entre o valor da 
dívida e o valor pago por ela, depois de se ter efetuado uma anteci-
pação em seu vencimento. Assim para calcular o valor atual no des-
conto comercial (Vac) utilizamos a expressão:
Vac = N - Dc
Sabendo-se que Dc = N.i.n, podemos substituí-la e usar a expressão:
Vac = N . (1 - d . n)
Vamos ver como se dá, na prática, esse cálculo.
Suponha que uma dívida de R$ 50.000,00 com vencimento previsto para 
25/08/2011 foi quitada em 11/07/2011. Como podemos descobrir o valor 
pago dessa dívida, sabendo-se que a taxa de desconto aplicada foi de 30% 
ao semestre?
A primeira coisa a verificar é saber o que se pede no problema, e nesse caso 
queremos saber o valor pago ( valor atual = Vac ) levando em conta as infor-
mações que temos. Vejamos!
N = 50.000,00 – valor nominal da dívida;
d = 30% ao semestre, ou seja, taxa de desconto;
n = 45 dias, pois se contarmos do dia 11/07 a 25/08, temos 45 dias corridos.
e-Tec BrasilAula 10 – Descontos simples 65
Logo, temos: 
Vac = N . ( 1 - d . n)
Vac = 50.000,00 . ( 1 – 0,30 . 45/180) = lembre-se tempo com mesma unidade!!! 
Vac = 50.000,00. ( 1 – 0,075)
Vac = 50.000,00 . 0,925
Vac = 46.250,00
Ou seja, o valor atual pago foi de R$ 46.250,00.
Observe mais uma situação-exemplo:
Uma dívida no valor de R$ 3.500,00 foi paga e o seu vencimento foi ante-
cipado em 72 dias. Encontre o valor inicial da dívida sabendo que a taxa de 
desconto aplicada foi de 18% a. t.
Resolução:
Dados do problema: Vac = 3.500,00; N = queremos descobrir; d = 18% at; 
n= 72 dias.
Lembre-se que temos o tempo em dias e a taxa em trimestres. Ao fazermos 
a conversão do tempo para trimestres encontramos: 
N = 72/90 (o valor 90 é o total de dias do trimestre) = 0,8 trimestres. Assim, 
substituindo na fórmula fica:
Vac = N . ( 1 - d . n)
3.500,00 = N . ( 1 – 0,18 . 0,8) = lembre-se tempo com mesma unidade!!! 
3.500,00 = N. ( 1 – 0,144)
3.500,00 = N . 0,856
3.500,00/0,856 = N
N = 4.088,78
O valor inicial da dívida (valor nominal) era de R$ 4.088,78
E então, pessoal, o exemplo facilitou o entendimento de desconto comercial 
e valor atual comercial?
Resumo
Entendemos o “Desconto” como um abatimento em função do adianta-
mento do pagamento. Vimos o desconto comercial, que considera o valor 
nominal da dívida bem como o valor atual comercial. 
Matemática Financeirae-Tec Brasil 66
Atividades de aprendizagem
1. Um título de R$ 10.000,00, com vencimento em 23/09/10, foi resgatado 
em 15/06/10. Qual foi o desconto recebido se a taxa de juro contratada 
foi de 27% aa?
2. O desconto de um título