Apostila_de_Matematica_16_Polinomios

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Apostila de Matemática 16 – Polinômios 
 
 
1.0 Definições 
 
 Expressão polinomial ou polinômio – Expressão que obedece a esta forma: 
 
 
 
 an, an-1, an-2, a2, a1, a0 – Números complexos chamados de coeficientes. 
 n – Número inteiro positivo ou nulo: 
 ‘n’ não será negativo – ‘x’ não poderá aparecer no denominador. 
 ‘n’ não poderá ser fracionário – ‘x’ não poderá aparecer sob radical. 
 O maior grau do expoente de ‘x’ é o grau da expressão. 
 Polinômio completo – Todos os coeficientes são nulos. 
 Polinômio incompleto – 1 ou mais coeficientes são nulos. 
 
2.0 Função Polinomial 
 
 Funções polinomiais - : 
 
 
 
 Para todo ‘x’ complexo, é denominada função polinomial de grau ‘n’, em que 
‘n’ é um número inteiro positivo ou nulo e an é diferente de zero. 
 A cada função polinomial associa-se um único polinômio e vice-versa. 
 Polinômio identicamente nulo (Pin): 
 Os coeficientes são todos nulos. 
 Não se define grau para ele. 
 Se p(x) for zero – ‘x’ é denominado raíz de p(x). 
 Conjunto de uma solução algébrica – Conjunto solução de todas as raízes da 
equação. 
 Teorema fundamental da Álgebra – Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n 
(n 1) possui pelo menos uma raiz complexa (real ou não). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.0 Operações com Polinômios 
 
3.1 Igualdade de Polinômios 
 
 Se 2 polinômios são iguais, então seus valores numéricos são iguais para todo 
x C. 
 A diferença dos polinômios deve ser igual ao Pin. 
 Polinômios de graus diferentes nunca são iguais. 
 
3.2 Operações Simples com Polinômios 
 
 Soma, subtração, multiplicação de polinômios e multiplicação de um número 
real por polinômio - Ocorre do jeito normal. Soma-se, subtrai-se ou multiplicam-
se os valores. 
 Na soma e subtração de polinômios de graus diferentes, conserva-se o maior 
grau. 
 Numa multiplicação de graus – Grau (P.Q) = Grau (P) + Grau (Q). 
 
3.3 Divisão de Polinômios 
 
 Dividir 2 polinômios significa encontrar mais 2 polinômios que satisfaçam as 
condições: 
 
p(x) = h(x)q(x) + r(x) 
 
 O grau de r(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de h(x), ou 
r(x) = 0. 
 
p(x) – Dividendo. 
h(x0 – Divisor. 
q(x) – Quociente. 
r(x) – Resto. 
 
3.3.1 Método das Chaves 
 
 Processo: 
 Divide-se o termo de maior grau de p(x) pelo de maior grau de h(x) – 
Obtêm-se assim o primeiro termo do quociente q(x). 
 Multiplica-se o quociente obtido, por h(x) – O resultado é colocado com 
o sinal trocado, sob os termos semelhantes de p(x). 
 Somam-se os termos semelhantes, e os termos de p(x) que não têm 
semelhantes devem ser copiados – Obtêm-se um resto parcial. 
 Repetem-se os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o 
grau de r(x) se torne menor que grau de h(x). 
 
Exemplo: 
 
 
 
p(x) h(x) 
r(x) q(x) 
3.3.1 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini 
 
 Obtêm-se a divisão de polinômios do tipo ‘x – a’ de uma maneira mais simples e 
rápida. 
 O quociente q(x) será um polinômio de grau nx – 1. 
 
Termo Constante do 
divisor, com sinal trocado 
Coeficientes de ‘x’ do 
dividendo p(x) 
Termo constante do 
dividendo p(x) 
 
Coeficientes do quociente 
q(x) 
Resto 
 
 Processo: 
 Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo. 
 Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o 
próximo termo do dividendo. 
 Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto. 
 
Exemplo: 
 
Divisão de p(x) = 2x³ – 3x² – 3x + 2 por h(x) = x + 1: 
 
-1 2 -3 -3 2 
 
 
1 – Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo. 
 
-1 2 -3 -3 2 
 2 
 
2 – Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o próximo 
termo do dividendo. 
 
-1 . 2 = -2 
-2 + (-3) = -5 
 
-1 2 -3 -3 2 
 2 -5 
 
3 – Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto. 
 
-1 . (-5) = 5 
5 + (-3) = 2 
 
-1 . 2 = -2 
-2 + (-2) = 0 
 
-1 2 -3 -3 2 
 2 -5 2 0 
 
Conclui-se que: 
 
q(x) = 2x² - 5x +2 e r(x) = 0 
 
p(x) = h(x)q(x) + r(x) 
 
2x³ – 3x² – 3x + 2 = (x + 1)(2x² - 5x + 2) 
 
 
3.3.2 Teorema de D’Alembert 
 
 O resto da divisão de um polinômio p(x) por x – a é p(a). 
 
r = p(a) 
 
3.3.3 Teorema do Fator 
 
 Se ‘c’ é uma raíz do polinômio p(x): 
 x – c é um fator de p(x). 
 p(c) é zero. 
 Pode-se dizer que p(x) é divisível por (x – a) e (x – b), com a ≠ B, se p(x) for 
divisível por (x – a)(x – b). 
 
4.0 Decomposição em Fatores de Primeiro Grau 
 
 Usando o teorema fundamental da Álgebra, pode-se provar que todo polinômio 
p(x) pode ser decomposto num produto de ‘n’ fatores de 1ª grau. 
 Toda equação polinomial de grau ‘n’ tem exatamente ‘n’ raízes complexas. 
 
 
 
 x1, x2, x3 e xn são as raízes do polinômio. 
 Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução. 
 Conhecendo uma raíz do polinômio, pode-se baixar o grau deste. 
 Se conhecermos 1 raíz do polinômio de terceiro grau, podem-se conhecer as 
outras 2 raízes, baixando o polinômio para segundo grau e aplicando o Teorema 
de Báskara. 
 O polinômio terá como uma das raízes ‘1’ se a soma dos coeficientes for zero. 
 
4.1 Multiplicidade da Raíz 
 
 Toda equação de grau ‘n’ pode ter no máximo ‘n’ raízes distintas. 
 Pode existir ‘n’ raízes iguais – O número de vezes que uma mesma raíz aparece 
indica a multiplicidade da raíz. 
 
 
 
4.2 Raízes Complexas Não Reais 
 
 Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes o número 
complexo ‘a + bi’, com b ≠ 0, então o complexo conjugado ‘a – bi’ também é 
raíz da equação. 
 
5.0 Relações de Girard 
 
5.1 Equação de Segundo Grau 
 
 Considere a equação: 
 
ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2), a ≠ 0 
 
 Desenvolvendo o produto: 
 
ax² + bx + c = a[x² - (x1 – x2)x + x1x2] 
 
 Dividindo os termos por ‘a’: 
 
 
 Pela igualdade dos polinômios, tem-se que: 
 
 
 
 
 
5.2 Equação de Terceiro Grau 
 
 Considere a equação: 
 
ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), a ≠ 0 
 
 Desenvolvendo o produto: 
 
ax² + bx + c = a[x³ - (x1 + x2 + x3)x² + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3] 
 
 Dividindo os termos por ‘a’: 
 
 
 
 
 
 
 
 Pela igualdade dos polinômios, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Equação de Grau n 
 
 Considere a equação: 
 
 
 
 Relações de Girard: 
 Soma das raízes: 
 
 
 
 Produto das raízes: 
 
 
 
 Soma do produto das raízes: 
 De 2 em 2: 
 
 
 
 De 3 em 3: 
 
 
 
 De 4 em 4: