Aula 04 Radiciação

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Radiciação
MÓDULO 1 - AULA 4
Aula 4 – Radiciação
Nesta aula estudaremos radiciação que é, conforme você perceberá,
a operação inversa da potenciação. Vamos à definição.
Definição 1
Seja a um número real e n um número natural. O número x
é chamado raiz enésima de a se, e somente se, xn = a. Ou
seja, temos a seguinte equivalência:
x é raiz enésima de a ⇐⇒ xn = a.
Notação
Usaremos a notação n
√
a , para representar ráızes enésimas do número a.
No caso em que n = 2 e a > 0, em vez de 2
√
a , escrevemos simplesmente√
a e lemos “raiz quadrada de a”. Nesta situação, −√a é o simétrico da
raiz quadrada de a e (−√a)2 = a. Mais adiante vamos definir melhor a
representação n
√
a.
Existência
Da definição conclui-se que determinar as ráızes enésimas de a é o
mesmo que determinar todas as soluções da equação xn = a. Vamos examinar
os seguintes casos:
Primeiro caso: a = 0 e n ∈ N, n ≥ 2
A única raiz enésima de zero é o próprio zero, ou seja:
n
√
0 = 0 .
Segundo caso: a > 0 e n ∈ N sendo n par
O número a possui duas ráızes enésimas. Essas duas ráızes são simétricas.
A raiz enésima positiva de a é representada pelo śımbolo n
√
a. A raiz enésima
negativa de a, por simétrica da primeira, é representada pelo śımbolo − n√a.
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CEDERJ
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Portanto cuidado quando escrevemos, por exemplo, 4
√
3 , 6
√
5 ,
√
3 ,
estamos representando números positivos.
Exemplo 1
O número 16 tem duas ráızes quartas. A raiz quarta positiva de 16 é 2.
A raiz quarta negativa de 16 é -2. Assim,
4
√
16 = 2
− 4
√
16 = −2 .
As ráızes quartas de 16 são 2 e -2.
Terceiro caso: a < 0 e n ∈ N sendo n par
Neste caso não existe raiz. O que queremos dizer com isto? Simples-
mente que no conjunto dos números reais não tem sentido uma expressão
como
√
−2 ou 8
√
−6 .
Exemplo 2
Não existe raiz quadrada de -4. Ou dito de outro modo, não existe nenhum
número real x tal que x2 = −4.
Quarto caso: a 6= 0 e n ∈ N sendo n ı́mpar
O número a possui exatamente uma única raiz enésima no conjunto
dos números reais. Esta raiz tem o mesmo sinal de a e é representado pelo
śımbolo n
√
a.
Exemplo 3
a) O número 8 tem uma única raiz cúbica que é representada com o
śımbolo 3
√
8 e vale 2, isto é,
3
√
8 = 2 .
b) O número −64 tem uma única raiz cúbica no conjunto dos números
reais, que é representada pelo śımbolo 3
√
−64 e vale −4, isto é:
3
√
−64 = −4 .
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Obs.:
1) No śımbolo n
√
a dizemos que:
√
é o radical
a é o radicando
n é o ı́ndice da raiz.
2) Conforme já observado, por convenção, na raiz quadrada, omite-se o
ı́ndice. Escreve-se, por exemplo,
√
6 e −
√
6 para representar 2
√
6 .
Exemplo 4
a) O número 8 é uma raiz quadrada de 64, pois 82 = 64.
b) O número -8 é uma raiz quadrada de 64, pois (−8)2 = 64.
c) 3
√
0 = 0.
d)
√
16 = 4.
e) −
√
16 = −4.
f) ±
√
16 = ±4.
g)
√
−4 não tem sentido em R.
h) 3
√
27 = 3.
i) 3
√
−27 = −3.
j) 3
√
−1 = −1.
k) 4
√
2401 = 7.
Propriedades das Ráızes
Sejam a e b números reais e m, n números inteiros. Suponha que as
ráızes enésimas que escreveremos nas propriedades de 1 até 4, a seguir, são
bem definidas. Então valem as seguintes propriedades:
Propriedade 1 (Radicais de mesmo Índice)
Para multiplicar, mantém-se o ı́ndice e multiplicam-se os radicandos, isto é,
n
√
a × n
√
b =
n
√
ab .
Para dividir, mantém-se o ı́ndice e dividem-se os radicandos, isto é,
n
√
a
n
√
b
= n
√
a
b
, b 6= 0 .
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Exemplo 5
a) 3
√
3 × 3
√
9 = 3
√
27 = 3
b)
√
2 ×
√
5 =
√
10
c) 3
√
32 = 3
√
8 × 3
√
4
d)
√
8 =
√
2 ×
√
4 =
√
2 × 2 = 2
√
2
Propriedade 2 (Raiz de Raiz)
Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e multiplicam-
se os ı́ndices, isto é,
n
√
m
√
a = mn
√
a .
Exemplo 6
a)
√
3
√
729 = 6
√
729 = 3
b)
3
√
4
√√
5 = 24
√
5
Propriedade 3 (Raiz de Potência)
Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a potência
e em seguida a raiz, isto é,
(
n
√
a
)m
= n
√
am , m ∈ Z .
Exemplo 7
a)
√
45 =
(√
4
)5
= 25 = 32
b)
4
√
162 =
(
4
√
16
)2
= 22 = 4
Propriedade 4 (Alteração do Índice)
Multiplicar ou dividir ı́ndice e expoente por um mesmo número não altera
o resultado, isto é,
n
√
am = np
√
amp .
Exemplo 8
a)
6
√
23 =
6:3
√
23:3 =
√
2
b)
16
√
28 =
16:8
√
28:8 =
√
2
c)
√
5 × 3
√
2 =
2×3
√
53 × 3×2
√
22 = 6
√
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Notas:
1. Voltamos a enfatizar que as propriedades enunciadas são válidas sob a
condição que as potências e radicais estejam bem definidas. Por exem-
plo, não tem sentido usar a Propriedade 3 para escrever 4
√
(−2)3 =
=
(
4
√
−2
)3
, uma vez que não tem sentido 4
√
−2 , no conjunto dos
números reais.
2. As demonstrações das propriedades enunciadas não são dif́ıceis de serem
realizadas. Basta um uso cuidadoso das definições. Se você tiver tempo
tente provar algumas delas. Se tiver dificuldade procure seu tutor, ou
discuta com seus colegas de grupo de estudo.
Nosso próximo assunto tem como objetivo ampliar a utilização de potên-
cias e radicais com o objetivo de facilitar operações com números reais. Ou de
um outro ponto de vista, veja a Definição 2 a seguir, trataremos a radiciação
como um caso especial de potências de expoentes fracionários.
Potência de Expoente Racional
Definição 2
a) Seja a un número real positivo, n um número natural não-nulo e m
n
um
número racional na forma irredut́ıvel. A potência de base a e expoente
racional m
n
é definido por
am/n = n
√
am .
b) Seja a um número real, n um número natural ı́mpar e m
n
um número
racional na forma irredut́ıvel. A potência de base a e expoente racional
m
n
é definida por
a
m
n = n
√
am .
Nota:
Valem para as potências de expoente racional, as mesmas propriedades
válidas para as potências de expoente inteiro.
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Exemplo 9
a) 33/5 =
5
√
33
b) 21/7 =
7
√
21 = 7
√
2
c) 2−2/5 =
5
√
2−2
d) 2
1
2 × 2
1
3 = 2
1
2
+ 1
3 = 2
5
6 =
6
√
25
Racionalização
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais do
denominador sem alterá-la.
Exemplo 10
a) 1√
3
= 1√
3
×
√
3√
3
=
√
3
3
b) 25√2 =
2
5
√
2
× 5
√
24
5
√
24
= 5
√
16
c) 1√
3−
√
2
= 1(√
3−
√
2
) ×
(√
3+
√
2
)
(√
3+
√
2
) =
√
3+
√
2
1
=
√
3 +
√
2
Exerćıcios Propostos
1. Efetue:
a) 3
√
16 × 3
√
4 d)
3
√
272
b)
√
30√
6
e)
8
√
36
c)
√√
256 f)
√
72
2. Escrever
√
45 +
√
80 na forma de um único radical.
3. Efetue
3
√
228 + 230
10
4. Escreva na forma de um único radical:
a) 4
√
2 × 3
√
3 × 6
√
5 c)
3
√
2
5
√
3
b)
√
3
√
2 d) 3
√
2
4
√
3
5. Dados os dois números 3
√
3 e 4
√
4, determine o maior.
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6. Escrever cada potência na forma de radical:
a) 33/4 b) 31/7 c) 51/2 d) 2−2/3
7. Determine o valor de
(
93/2 − 272/3
)1/2
.
8. Racionalizar o denominador:
a)
3√
2
b)
√
5√
7
c)
1
5
√
27
d)
1√
5 −
√
3
9. Simplificar
√
75
12
.
10. Simplifique
√√
3 + 1√
3 − 1
+
√
3 − 1√
3 + 1
.
Gabarito
1. a) 4 b)
√
5 c) 4 d) 9 e) 4
√
27 f) 6
√
2
2. 7
√
5
3. 29
4. a) 12
√
16200 b) 4
√
18 c) 15
√
32
27
d) 12
√
16
3
5. 3
√
3
6. a) 4
√
27 b) 7
√
3 c)
√
5 d) 13√4
7. 3
√
2
8. a) 3
√
2
2
b)
√
35
7
c)
5
√
9
3
d)
√
5+
√
3
2
9. 5/2
10. 2
Exerćıcios de Reforço
1. (PUC-99) O valor de
√
1, 777 . . .√
0, 111 . . .
é:
a) 4, 444 . . . b) 4 c) 4, 777 . . . d) 3 e)
4
3
2. (PUC-93) Somando as d́ızimas periódicas 0, 4545 . . . e 0, 5454 . . . obtém-
se:
a) um inteiro
b) um racional maior que 1
c) um racional menor que 1
d) um irracional maior que 1
e) um irracional menor que 1
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3. (FGV-SP) Assinale a alternativa incorreta:
a) Todo número inteiro é racional.
b) O quadrado de um irracional é real.
c) A soma de dois númerosirracionais pode ser racional.
d) O produto de dois números irraiconais é sempre irracional.
4. Escrever na forma decimal os números:
a =
1
2
b =
9
5
c =
2
45
5. Escreva na forma fracionária os números
a = 0, 075 b = 2, 4141 . . . c = 1, 325151 . . .
6. (UF-AL-80) A expressão
√
10 +
√
10 ·
√
10 −
√
10 é igual a:
a) 0 b)
√
10 c) 10 −
√
10 d) 3
√
10 e) 90
7. (CESGRANRIO-84) Dentre os números x indicados nas opções abaixo,
aquele que satisfaz
14
11
< x <
9
7
é:
a) 1,24 b) 1,28 c) 1,30 d) 1,32 e) 1,35
8. (UFF-1a¯ fase) Se X e Y são racionais onde X = 0, 1010101010 . . . e
Y = 0, 0101010101 . . . assinale a alternativa que representa o quociente
de X por Y
a) 0, 0101010101 . . . b) 0,11 c) 10, 10101010 . . . d) 10
9. (UFF 95 - 1a¯ fase) Assinale qual das expressões abaixo não é um número
real:
a)
(
−1
2
)− 1
2
b) 3
√
π c)
(
1
2
)− 1
2
d) 3
√−π e)
(
−1
3
)− 1
3
10. (FUVEST) Usando (1, 41)2 < 2 < (1, 42)2, prove que
6, 1 <
50
1 +
√
50
< 6, 3.
11. (FUVEST) Seja r =
√
2 +
√
3.
a) Escreva
√
6 em função de r.
b) Admitindo que
√
6 seja irracional, prove que r também é irracio-
nal.
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12. (FUVEST) Sejam a, b e p números reais, a > 0, b > 0 e p > 1.
Demonstre: Se
a + bp2
a + b
> p, então
a
b
< p.
13. (FATEC-SP) Se a = 0, 666 . . . , b = 1, 333 . . . e c = 0, 1414 . . . , calcule,
então, a · b−1 + c.
14. (PUC-RJ-80) Efetuadas as operações indicadas, conclúımos que o número:
1
2
× (3 − 2
7
)
2/4 − 1/6 + 3
a) é > 5 b) está entre 2 e 3 c) é <
19
14
d) está entre 5 e 6 e) é > 6
15. (FATEC-SP-80) Sejam x ∈ R∗, m = x − 1
4x
e y =
√
1 + m2, então:
a) y =
1
2x
c) y =
4x2 + 1
4x
b) y =
√
4x4 + 4x2 + 2
2x
d) y =
√
x + 1
2x
Gabarito - Exerćıcios de reforço
1. b)
2. a)
3. d)
4. a = 0, 5, b = 1, 8, c = 0, 044 . . .
5. a =
3
40
, b =
239
99
, c =
13219
9900
6. d)
7. b)
8. d)
9. a)
10. Demonstração
11. a)
√
6 =
r2 − 5
2
b) Demonstração
12. Demonstração
13.
127
198
14. e)
15. d)
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